MODEL PEMANENAN DALAM MANAJEMEN PERIKANAN
DIAN LESTARI
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
ABSTRAK DIAN LESTARI. Model Pemanenan dalam Manajemen Perikanan. Dibimbing oleh ENDAR HASAFAH NUGRAHANI dan ALI KUSNANTO. Pemanenan merupakan salah satu kegiatan yang umum dilakukan dalam pemanfaatan sumber daya alam, seperti pemanenan sumber daya kelautan. Dalam manajemen perikanan, ada beberapa strategi pemanenan yang dapat dilakukan yaitu pemanenan konstan, proporsional, threshold proporsional dan musiman. Usaha pemanenan didefinisikan sebagai peubah kontrol dalam strategi pemanenan. Hal itu penting untuk menemukan usaha pemanenan optimal yang dapat memberikan hasil pemanenan maksimum yang berkelanjutan, sehingga kepunahan populasi ikan tidak terjadi. Dalam karya ilmiah ini, pengaruh peubah kontrol terhadap dinamika populasi ikan dibahas dengan mengajukan model matematika yang sesuai. Selanjutnya, usaha pemanenan optimal dapat ditentukan. Simulasi komputer ditampilkan untuk menyelidiki kedinamikaan populasi ikan dan perilaku optimal pemanenan dengan memberikan nilai parameter.
ABSTRACT DIAN LESTARI. Harvesting Models in Fishery Management. Supervised by ENDAR HASAFAH NUGRAHANI and ALI KUSNANTO. Harvesting is one of the common activities in using natural resources, such as harvesting of marine resources. In fishery management, there are several harvesting strategies which can be applied, i.e. constant, proportional, proportional with threshold, and seasonal harvesting. Fishing effort is defined as a control variable in the harvesting strategies. It is important to be able to find an optimal fishing effort that gives maximum sustainable yield, so that extinction of fish population does not happen. In this paper the effect of control variable toward the dynamics of fish population has been discussed by proposing suitable mathematical models. Furthermore, the optimal fishing effort has been determined. Computer simulations are performed to investigate the dynamics of fish population and optimal harvesting with the given value of parameters.
MODEL PEMANENAN DALAM MANAJEMEN PERIKANAN
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Oleh : DIAN LESTARI G54050769
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
Nama : Model Pemanenan dalam Manajemen Perikanan Nama : Dian Lestari NRP : G54050769
Menyetujui,
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, M.S. NIP. 19631228 198903 2 001
Drs. Ali Kusnanto, M.Si. NIP. 19650820 199003 1 001
Mengetahui, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Dr. drh. Hasim, DEA NIP. 19610328 198601 1 002
Tanggal Lulus :
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bandung pada tanggal 24 Mei 1988 sebagai anak pertama dari dua bersaudara, anak dari pasangan Wawan dan Berty. Tahun 2005 penulis lulus dari SMU Negeri 1 Margahayu Bandung dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Tahun 2006 masuk di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan penulis menjadi asisten mata kuliah persamaan diferensial biasa program S1 semester genap 2008/2009, asisten mata kuliah persamaan diferensial parsial program S1 semester ganjil 2008/2009, asisten mata kuliah persamaan diferensial biasa program S1 semester genap 2007/2008, asisten mata kuliah pengantar matematika program S1 semester ganjil 2007/2008, asisten mata kuliah kalkulus program S1 semester genap 2007/2008, bendahara 2 Matematika Ria IPB 2007, pengurus Gumatika staf Departemen Keilmuan IPB 2006/2007.
KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, M.S. selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini). 2. Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, saran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini). 3. Dr. Hadi Sumarno, M.S. selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya). 4. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan). 5. Pa Yono, Bu Susi, Bu Ade, Bu Marisi, Mas Bono, Mas Heri, Mas Deni. 6. Keluargaku tercinta: Papah (terima kasih atas doa dan dukungannya), Mamah (terima kasih banyak atas semua doa, dukungan, kerja keras dan kasih sayangnya), Ade ku Widya (makasih atas doa, semangat dan dukungannya). 7. Teman-teman : Mba ik, Mba Rie, Bundo, Mba Vino, Agem, Uni, Fence, Atieh, Yie2, Utie, Nida, Noviar (makasih atas doa,dorongan, saran, dan semangat yang kalian berikan selama ini). 8. Teman-teman Math 42 : Ayank Nur Vita, Senior Jane, Niken, Hikmeh, Otong, Tasya, Ryu, Ida, Iput, Yusep, Ardy, Kaisar Dendy, Eko, Mas Warno, Awie, Mocco, Djawa, Bude Tie2, Acuy, Mira, Facrie, Sapto, Mas Ayep, Achi, Hapsari, Ilie, Pp, Lisda, Gita, Riken, Ocoy, Bima, Eyyi, Ridu, Nyoman, Ayu, Agnes, K’Mukhtar, Lela, Rima, Herry, Yuni, Oby, Zil, Yudi, Danuradi, Erlin, Acuy, Sima, Pipit, Rendy, Boy dan lainnya (makasih buat doa, bantuan, saran, semangat, dan dukungannya). 9. Tema-teman PF : Kudung, Agus, Poye, Sars dan lainnya (terima kasih semangat, bantuan, dan dukungannya). 10. Adik-adik 43: (makasih atas doa, semangat dan dukungannya). 11. Adik-adik 44: (makasih atas doa, semangat dan dukungannya). 12. Adik-adik 45 : (makasih atas doa dan semangatnya). 13. Teman – teman sman_387 : 8-an (Desay, Umie, Dara, Holiday, Sitay, Dinay, Wie2), Echo, Vlma, Ch, Jaka, Yanuar, Heri dan lainnya (makasih atas doa dan semangat yang kalian berikan). Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, Juli 2009
Dian Lestari
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL ............................................................................................................. viii DAFTAR GAMBAR ......................................................................................................... viii DAFTAR LAMPIRAN ....................................................................................................... viii I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ...................................................................................................... 1.2 Tujuan ...................................................................................................................
1 1
II LANDASAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial Biasa .................................................................................. ` 2.2 Persamaan Diferensial Terpisahkan ....................................................................... 2.3 Teknik Mencari Solusi Persamaan Diferensial Terpisahkan .................................... 2.4 Persamaan Bernoulli............................................................................................... 2.5 Masalah Kontrol Optimum ..................................................................................... 2.6 Kestabilan PD Orde Satu ........................................................................................ 2.7 Digram Fase ...........................................................................................................
1 1 1 2 2 2 3
III MODEL – MODEL DASAR 3.1 Model Logistik ...................................................................................................... 3.2 Model Umum Pemanenan ...................................................................................... 3.3 Model Usaha Pemanenan ....................................................................................... 3.4 Model Keuntungan Maksimum .............................................................................. 3.5 Teori Modal ...........................................................................................................
3 4 4 5 5
IV MODEL PEMANENAN PERIKANAN 4.1 Model Pemanenan Ikan ......................................................................................... 5 4.1.1 Pemanenan Konstan ..................................................................................... 5 4.1.2 Pemanenan Proporsional .............................................................................. 6 4.1.3 Pemanenan Threshold Proporsional .............................................................. 6 4.1.4 Pemanenan Musiman ................................................................................... 6 4.2 Maksimum Sustainable Yield ................................................................................. 6 4.2.1 Level Usaha Pemanenan .............................................................................. 7 4.2.2 Hasil Pemanenan Maksimum ....................................................................... 13 V KEBIJAKAN PEMANENAN OPTIMAL 5.1 Penentuan Solusi Optimal Usaha Pemanenan ......................................................... 5.1.1 Pemanenan Konstan yang Optimal ............................................................... 5.1.2 Penentuan Pemanenan Proporsional yang Optimal ........................................ 5.2 Contoh Penerapan dalam Manajemen Perikanan .....................................................
16 16 16 17
KESIMPULAN ................................................................................................................. 18 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................ 19 LAMPIRAN ...................................................................................................................... 20
DAFTAR TABEL Halaman 1 Dinamika populasi pemanenan konstan ........................................................................... 2 Dinamika populasi dengan beberapa nilai awal ................................................................ 3 Dinamika populasi pemanenan proporsional ....................................................................
7 8 9
DAFTAR GAMBAR Halaman .
1 Bidang fase x f ( x ) ..................................................................................................... 3 2 Kurva pertumbuhan logistik ............................................................................................. 4 3 Dinamika pemanenan konstan ......................................................................................... 8 4 Dinamika populasi pemanenan konstan q 0.2dengan nilai awal ...................................... 8 5 Dinamika populasi pemanenan proporsional .................................................................... 9 6 Pengaruh nilai β terhadap dinamika populasi ................................................................... 9 7 Bidang fase pemanenan threshold ................................................................................... 10 8 Pengaruh nilai β = 1 ........................................................................................................ `11 9 Pengaruh nilai β = 2.5 ..................................................................................................... 11 4
10 Pengaruh nilai 2.5 10 ...................................................................................... 11 Dinamika populasi dengan q 0.8 0.5, 1 ......................................................... 12 Dinamika populasi pemanenan musiman ....................................................................... 13 Pengaruh nilai β untuk αq = 0.49 .................................................................................. 14 Pengaruh nilai β untuk αq = 0.04 ................................................................................. 15 Kurva saha pemanenan konstan ..................................................................................... 16 Kurva usaha pemanenan proporsional ............................................................................ 17 Kurva usaha pemanenan proporsional threshold ............................................................ 18 Kurva usaha pemanenan musiman ................................................................................. 19 Kurva keuntungan .........................................................................................................
11 11 12 12 13 13 14 15 15 17
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Solusi Pemanenan Konstan ............................................................................................. 2 Solusi Pemanenan Proporsional ....................................................................................... 3 Waktu Awal Pemanenan Proporsional ............................................................................. 4 Integral Parsial dari Fungsi Present Value .......................................................................
21 22 23 24
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Perikanan merupakan salah satu sumber daya alam yang dapat diperbaharui, tetapi kepunahan mungkin dapat terjadi. Hal ini disebabkan karena kecanggihan alat penangkapan ikan dan peningkatan penangkapan ikan yang dilakukan manusia. Untuk menghindari kepunahan, ada beberapa strategi pemanenan yang dapat dilakukan. Pemanenan merupakan salah satu kegiatan yang dipilih masyarakat untuk memanfaatkan sumber daya perikanan. Di dalam melakukan pemanenan diperlukan berbagai sarana sebagai input yang biasa disebut sebagai usaha pemanenan. Hal yang sangat penting dalam manajemen perikanan adalah diperolehnya keuntungan maksimum yang dapat berkelanjutan. Hal penting lainnya adalah usaha pemanenan tanpa menggerakkan sistem lingkungannya menuju kepunahan (Brauer & Soudack, 1981). Strategi pemanenan yang dapat diterapkan dalam manajemen perikanan, diantaranya pemanenan yang dilakukan secara konstan, proporsional, threshold proporsional, dan musiman. Model persamaan diferensial dapat digunakan untuk memperoleh berbagai model
pemanenan. Dengan melakukan analisis terhadap model pemanenan tersebut dapat dilihat dinamika populasi dan pengaruh peubah kontrol (usaha pemanenan) terhadap nilai kestabilan dan dinamika populasinya. Karya ilmiah ini menjelaskan pemanenan-pemanenan yang dapat diterapkan dalam manajemen perikanan dan pengaruh dari usaha pemanenan terhadap dinamika populasinya. Sebagai contoh penerapannya dibahas pula pemanenan optimal yang memberikan keuntungan maksimum dan berkelanjutan (sustainable). Pembahasan pemanenan optimal hanya dibatasi untuk pemanenan yang dilakukan secara konstan dan proporsional. 1.2 Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini meliputi: 1. memodelkan dinamika populasi ikan dan analisis kestabilannya; 2. menganalisis pengaruh peubah kontrol terhadap nilai kestabilan dan dinamika populasinya; 3. menganalisis model kebijakan pemanenan optimal yang memberikan keuntungan maksimum dan berkelanjutan.
II LANDASAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Persamaan diferensial biasa merupakan suatu persamaan yang melibatkan turunan pertama atau lebih dari fungsi sebarang peubah tak bebas terhadap peubah bebas. Suatu persamaan diferensial biasa orde I dapat dinyatakan sebagai berikut '
g ( x ) x (t ) f (t ).
dengan g ( x ) adalah fungsi dalam x dan x merupakan peubah tak bebas ( x x (t )) dan f (t ) adalah fungsi dalam t , dengan t peubah bebas. (Farlow, 1994) 2.2 Persamaan Diferensial Terpisahkan Persamaan diferensial (PD) terpisahkan adalah persamaan yang dapat ditulis sebagai
. dx F ( x, t ) atau x F ( x, t ). dt dengan F ( x , t ) merupakan persamaan yang
ditulis sebagai F ( x , t ) f ( x ) g (t ) , f ( x ) merupakan fungsi dari x dan g (t ) merupakan fungsi dari t . Kemudian persamaan tersebut dapat terpisahkan menjadi dx g (t )dt. f ( x) (Bajpai & Hyslop, 1970) 2.3 Teknik Mencari Solusi PD Terpisahkan (i) Menuliskan persamaan diferensial dengan terpisah dx g (t )dt. f ( x) (ii) Mengintegralkan kedua ruas sehingga
2
diperoleh dx g (t ) dt A. f (x) dengan A merupakan konstanta pengintegralan yang merupakan hasil penggabungan dua konstanta pengintegralan yaitu A1 dan A2 dari
dx
A1 g (t )dt A2 . f ( x) (iii) Melakukan substitusi sederhana untuk mereduksi persamaan yang peubahnya tidak dapat dipisahkan. (Bajpai & Hyslop, 1970)
2.4 Persamaan Bernoulli PDB linear orde satu tak homogen dapat dinyatakan dengan dx P (t ) x Q (t ). (2.1) dt dx n P (t ) x Q (t ) x . dt (2.2) (i) Persamaan (2.1) dapat disederhanakan menjadi P(t ) x Q(t ) dt dx 0. yang merupakan PDB tak eksak karena P(t ) x Q(t ) (1) . x y dengan memilih faktor integrasi yang hanya tergantung pada t , yaitu (t ) , maka persamaan (2.1) dapat dituliskan ( (t ) P(t ) x (t )Q (t )) dt (t ) dx 0. yang merupakan PDB eksak, sehingga harus memenuhi ( (t ) P (t ) x (t )Q (t )) (t ) . x t dan diperoleh P(t )dt e dengan 0. selanjutnya dengan mengalikan pada persamaan (2.1) diperoleh solusi berikut P (t ) dt dx P (t ) dt P (t )dt e e P (t ) x Q ( t ) e dt d
e
P (t )dt
x Q (t ) e
P (t ) dt
dt P (t ) dt P(t )dt e x e Q (t ) dt c P(t )dt P(t ) dt xe Q (t ) dt c. e (ii) Persamaan (2.2) dapat disederhanakan
menjadi x n
dx P(t ) x1 n Q(t ). dt
(2.3)
dipilih dv dx (1 n) x n dt dt (2.4) dx x n dv . dt (1 n) dt dengan mensubstitusikan persamaan (2.4) ke persamaan (2.3) diperoleh 1 dv P ( t ) v Q (t ) (1 n) dt (2.5) dv (1 n) P(t )v (1 n)Q(t ). dt dengan memisalkan Pp(t ) (1 n) P (t ). v x1 n maka
Qq(t ) (1 n)Q(t ). sehingga persamaan (2.5) dapat dituliskan menjadi dv Pp(t )v Qq(t ). (2.6) dt persamaan (2.6) memiliki bentuk persamaan yang sama dengan persamaan (2.1) sehingga diperoleh solusi Pp(t 0dt Pp(t )dt v (t ) e Qq(t )dt c e 1
1 n 1 x (t ) . v (t )
(Farlow, 1994) 2.5 Masalah Kontrol Optimum Masalah kontrol optimum terdiri atas pemilihan semua peubah kontrol U (t ) yang mungkin, yang membawa sistem dinamik (dalam hal ini sistem satu dimensi) dari suatu keadaan awal x (t 0 ) pada waktu t 0 ke keadaan akhir x (T ) pada waktu T , sedemikian sehingga menghasilkan fungsi tujuan yang maksimum, yaitu T Maks J U f 0 ( x (t ), u (t ), t ) dt . t0 dengan f0 ( x , u , t ) diberikan dan merupakan fungsi bernilai real. (Tu, 1993) 2.6 Kestabilan PD Orde Satu Suatu persamaan diferensial linear orde satu berbentuk . x ax 0 dengan a 0. (2.7)
.. memiliki nilai x a yang bersifat stabil jika a 0 dan bersifat tidak stabil jika a 0 .
Bukti : Tuliskan persamaan (2.7) sebagai kemudian kedua sisi dx / x adt , diintegralkan sehingga diperoleh at x (t ) x 0 e . Jika a 0 , maka solusi akan meningkat secara eksponensial. Jika a 0 , maka solusi akan menuju nol. Solusi ekuilibrium adalah x(t ) 0. Jika a 0 maka solusi bersifat tak stabil, karena lim t | x (t ) 0 | lim t | x0 | e
at
.
Jika a 0 maka solusi bersifat stabil, karena lim t | x (t ) 0 | lim t | x0 | e
at
sumbu horizontal, yaitu x meningkat sepanjang waktu yang ditunjukkan oleh panah . dari arah kiri ke kanan. Jika x 0 maka kurva berada di bawah sumbu horizontal, yaitu x menurun sepanjang waktu ditunjukkan oleh panah dari arah kanan ke . kiri. Pada sumbu horizontal, x 0 yaitu tidak berubah, merupakan titik ekuilibrium atau titik tetap. ' Jika f ( x ) 0 maka f ( x ) adalah fungsi turun, sehingga ekuilibrium stabil. Jika ' f ( x ) 0 maka f ( x ) adalah fungsi naik, sehingga ekuilibrium tak stabil. (Tu, 1994) .
x
0.
(Tu, 1994) f ' ( x) 0
2.7 Diagram Fase . Suatu persamaan diferensial x f ( x ) tidak semuanya dapat diselesaikan secara kuantitatif. Jika hal ini terjadi maka diperlukan solusi kualitatif dalam bentuk diagram fase. Diagram fase akan . menggambarkan perubahan kecepatan ( x ) terhadap x (Lihat pada Gambar 1). . Jika x 0 maka kurva berada di atas
x(t ) '
f ( x) 0
. Gambar 1 Bidang fase x f ( x )
III MODEL - MODEL DASAR 3.1 Model Logistik Menurut Clark (1976), Murray (1993) dan Kreyszig (1993), jika dimisalkan x (t ) adalah populasi ikan pada waktu t , maka tingkat pertumbuhan populasi ikan terhadap waktu t pada suatu daerah tertentu dapat dituliskan sebagai berikut dx / dt = kelahiran- kematian + migrasi. Model sederhana tingkat pertumbuhan populasi tanpa migrasi dapat dituliskan seperti berikut dx / dt ( n m ) x Rx. dengan n, m adalah konstanta positif yang masing-masing menyatakan tingkat kelahiran dan kematian populasi ikan dan R adalah
parameter yang menyatakan pertumbuhan alamiah ikan (kelahiran dikurangi kematian) dan diasumsikan positif. Adanya persaingan antar individu, keterbatasan ruang, keterbatasan makanan dan keterbatasan sumber daya lainnya akan mempengaruhi pertumbuhan populasi ikan. Untuk itu model yang lebih baik adalah model pertumbuhan logistik yang diperkenalkan oleh P.F. Velhurst, yaitu
dx / dt Rx ax 2
2
; R 0, a 0.
dengan ax merupakan faktor pengendali yang dimaksudkan untuk mencegah terjadinya ledakan populasi. Dengan a menyatakan konstanta rata-rata pertemuan dua individu
4
dalam populasi per satuan waktu. Misalkan dalam populasi ada x individu, dan daya dukung lingkungan K dimasukkan ke dalam model, maka lingkungan masih dapat mendukung K x individu. Jadi masih ada bagian lingkungan yang masih bisa diisi Kx sebesar . Bagian inilah yang sebanding K dengan pertumbuhan populasi. Oleh karena itu persamaan pertumbuhan menjadi dx
x (t )
(3.1) . dt K Persamaan (3.1) disebut model pertumbuhan logistik. F ( x ) Rx (t ) 1
Sebagai keterangan K R / a menyatakan daya dukung lingkungan atau titik maksimum dimana laju pertumbuhan akan menurun bahkan berhenti. Dari persamaan matematis (3.1) terlihat dx bahwa dalam keadaan seimbang 0 dt populasi akan sama dengan daya dukung lingkungan, sedangkan maksimum pertumbuhan akan terjadi pada kondisi setengah daya dukung lingkungan. Kurva pertumbuhan logistik dapat dilihat pada gambar di bawah ini .
x
faktor penangkapan belum dimasukkan ke dalam model. Dalam usaha penangkapan ikan dibutuhkan berbagai sarana sebagai faktor masukkan atau input yang biasa disebut sebagai usaha pemanenan. Hubungan antara tingkat pertumbuhan alamiah dengan usaha pemanenan merupakan dinamika populasi persediaan ikan. Laju pertumbuhan persediaan ikan ( dx / dt ) ditentukan oleh kemampuan reproduksi alamiah dan hasil ikan yang dipanen dari persediaan ikan tersebut. Hasil pemanenan dapat dituliskan sebagai h(t ) yang merupakan fungsi produksi yang diasumsikan menggambarkan dua kuantitas, yaitu ukuran persediaan populasi ikan saat t dan tingkat usaha pemanenan (0 U 1) sehingga h(t ) qx (t )U . (3.3) dengan 0 q 1 adalah konstanta yang menyatakan catchability (kemampuan tangkap) . Menurut Clark (1979), jika usaha pemanenan dilakukan dengan ukuran h(t ) , maka persamaan (3.1) menjadi dx F ( x ) h(t ) dt Rx (t )(1 x (t ) / K ) qx(t )U . (3.4) dengan peubah tak bebas x (t ) 0 , peubah kontrol U (t ) 0 yang tergantung pada strategi pemanenan yang dilakukan. Populasi awal x (0) diasumsikan diketahui, sedangkan
h(t ) diasumsikan 0 h(t ) hmaks , dengan hmaks hasil maksimum ikan yang dipanen setiap waktu. K /2
K
x(t )
Gambar 2 Kurva pertumbuhan logistik Solusi persamaan (3.1) menggunakan masalah nilai awal x (0) K / N , dimana N suatu konstanta positif tak nol N 1 dapat diselesaikan dengan pengintegralan terpisahkan, yaitu K x (t ) . (3.2) Rt 1 ( N 1)e 3.2 Model Umum Pemanenan Persamaan pertumbuhan logistik (3.1) menunjukkan bahwa model perikanan tersebut belum mengalami eksploitasi atau
3.3 Model Usaha Pemanenan Diasumsikan usaha pemanenan konstan yaitu U (t , x ) U . Sedangkan usaha pemanenan tak konstan diasumsikan sebagai berikut 1 dx U (t , x ) (t ) (t ) . (3.5) x dt dengan 0 dan 0 adalah fungsi kontinu terhadap t , akan tetapi dalam pembahasan selanjutnya dan diasumsikan konstan. (Idels & Wang, 2008)
3.4 Model Keuntungan Maksimum Dalam kegiatan penangkapan ikan, perusahaan menjual tingkat output tertentu h(t ) dengan harga pasar p per unit output yang dijual. Maka penerimaan total per unit waktu dapat dituliskan Prev (t ) ph(t ). Dalam memproduksi h(t ) total biaya ekonomi per unit usaha yang ditanggung dapat dinyatakan dengan cU dan dituliskan sebagai berikut cU cBU nwU . dengan cB : biaya overhead untuk pemeliharaan satu perahu per unit waktu t, dengan c 0. n : rata-rata jumlah pemancing per perahu. : harga jual per unit ikan, p 0. p w : gaji satu pemancing per unit waktu. Sehingga keuntungan per unit waktu yang dapat berkelanjutan dituliskan P (U ) pqUx (t ) cU . (3.6) Dalam pembahasan ini c B , n , p dan w diasumsikan bernilai konstan. Kondisi yang diperlukan untuk nilai U konstan yang memaksimumkan keuntungan ditentukan ' dengan P (U ) 0.
B (t ) P 1 k
(3.7)
.
Jika suku bunga dimajemukkan secara kontinu (bukan tahunan, bulanan, atau harian, tetapi setiap saat) dengan kata lain k , maka rumus (3.7) akan berubah dengan perhitungan sebagai berikut k Misalkan n maka n dan k n sehingga kt n t 1 P 1 P 1 k n t 1 n P 1 . n karena n , maka
1
n t
t Pe . (3.8) n dengan B (t ) adalah future value, waktu t 0 dan e 2.718 . Present value dari penerimaan sebesar B di masa yang akan datang adalah B (t ) lim n P 1
t
P B (t )e . (3.9) Total present value yang kontinu dari deretan pendapatan P 0 , dengan 0 t T dapat dirumuskan sebagai berikut T
P B (t )e
3.5 Teori Modal Apabila modal awal P diinvestasikan pada suku bunga tahunan dan dimajemukkan k kali per tahun, maka setelah t tahun nilainya akan bertambah secara eksponensial seperti berikut
kt
t
(3.10)
dt .
0
Untuk kasus menjadi
T , persamaan T
P limT B (t )e
t
(3.10)
dt
0
P B (t )e
t
dt .
(3.11)
0
(Hoftmann & Bradley, 1989)
IV MODEL PEMANENAN PERIKANAN 4.1 Model Pemanenan Ikan 4.1.1 Pemanenan Konstan Pemanenan konstan yaitu pemanenan dengan hasil panen yang tetap setiap tahunnya. Diasumsikan usaha pemanenan U (t , x ) U adalah fungsi konstan dan hasil pemanenan h(t ) dijaga tetap konstan, sehingga model pemanenan konstan, yaitu
dx
x (t )
(4.1) qUx(t ). dt K Solusi persamaan (4.1) diperoleh dengan menggunakan persamaan Bernoulli (Lihat pada Lampiran 1), yaitu K ( R qU ) x (t ) . (4.2) t ( R qU ) CK ( R qU )e R dengan C suatu konstanta. Rx (t ) 1
6
xthre 0 , 0 1 merupakan konstanta yang menyatakan ukuran proporsional. Persamaan (4.6) dapat disederhanakan menjadi
4.1.2 Pemanenan Proporsional Pemanenan proporsional yaitu pemanenan dengan hasil panen yang meningkat secara proporsional setiap tahunnya. Diasumsikan usaha pemanenan tak konstan. Dengan mensubstitusikan persamaan (3.5) ke persamaan (3.4) diperoleh model pemanenan proporsional, yaitu dx dt
Rx (t ) 1
x (t ) K
1 qx(t ) (t ) (t ) x
dx
dt
(i) jika x(t ) xthre maka dt
x (t )
q x(t ) xthre
K
1 dx ( t ) (t ) . x dt
(ii) jika x(t ) xthre , maka dx dt
Rx (t ) 1
x (t )
.
K
(4.6)
x (t )
0 1 q ( x (t ) xthre )
K
.
xthre 1 q 1 x (t )
dx
4.1.3 Pemanenan Threshold Proporsional Pemanenan threshold adalah pemanenan proporsional dengan batasan harus ada populasi yang dipertahankan. Diasumsikan usaha pemanenan tak konstan serta ada besaran populasi yang harus dipertahankan yaitu xthre . Dengan mensubstitusikan persamaan (3.5) ke persamaan (3.4) diperoleh model pemanenan threshold proporsional, yaitu
Rx (t ) 1
dt
.
(4.3) konstanta yang 0 1 merupakan menyatakan ukuran proporsional. Persamaan (4.3) dapat disederhanakan menjadi dx R x(t ) q x (t ) 1 K 1 q x(t ). dt 1 q (4.4) dengan q 1. Solusi persamaan (4.4) diperoleh dengan menggunakan persamaan Bernoulli (Lihat pada Lampiran 2), yaitu K ( R q ) x (t ) . t R q 1q CK ( R q )e R (4.5) dengan C suatu konstanta.
dx
Rx (t ) 1
(4.7)
1 xthre x (t ) 1 . q
4.1.4 Pemanenan Musiman Pemanenan dengan hasil panen yang berubah setiap tahunnya, ada saat hasil panennya meningkat dan ada saat hasil panennya menurun. Hal ini dikarenakan adanya pengaruh musim yang dirumuskan dengan fungsi periodik ( (t )) . Selanjutnya diasumsikan usaha pemanenan tak konstan. Dengan mensubstitusikan persamaan (3.5) ke persamaan (3.4) diperoleh model pemanenan musiman, yaitu dx Rx (t ) 1 x (t ) (t ) qx (t ) dt K 1 dx (t ) ( t ) . x dt
(4.8)
(t ) merupakan fungsi periodik dengan periode satu tahun. Persamaan (4.8) dapat disederhanakan menjadi x (t ) Rx (t ) 1 (t )qx (t ) dx K . dt 1 (t ) q (4.9) dengan (t )q 1. 4.2 Maximum Sustainable Yield Menurut Clark (1976), manajemen sumber daya yang dapat diperbaharui (perikanan) didasarkan pada konsep maximum sustainable yield (MSY) atau hasil pemanenan maksimum yang berkelanjutan. Konsep tersebut didasarkan pada model pertumbuhan biologi yang mengasumsikan jika banyaknya persediaan dalam populasi lebih rendah dibandingkan dengan suatu level persediaan K , maka akan terdapat surplus produksi
7
yang dapat dipanen. Jika surplus tersebut tidak dipanen maka akan menyebabkan peningkatan level atau menuju daya dukung lingkungan K. Untuk memperlihatkan perilaku dinamika dari populasi yang berhubungan dengan kesimbangan dan kestabilan ekuilibrium biologis dalam perikanan, akan ditinjau dua hal berikut, yaitu
dF
( R qU ) K .
dx
dF
*
x
K
qU
0
R
* xu 0 dan
*
xs 1
qU
*
*
xs diperoleh dengan memeriksa turunan pertama model pertumbuhannya, kemudian disesuaikan dengan kondisi kestabilan pada sub bab 2.6. dF 2 Rx (t ) R qU . (4.10) dx K *
Dengan mensubstitusi persamaan (4.10) diperoleh dF R qU . dx
*
xu 0
ke
*
Agar sistem di titik xu stabil, maka harus dipenuhi syarat
dF
0
dx dF
K stabil,
dF
R
0
0 ( R qU )
dx
R qU . Pada keadaan
*
qU
K dapat R dilakukan pemanenan, karena kepunahan tidak akan terjadi. xs 1
Sehingga dapat disimpulkan
K. R
Kondisi kestabilan dari titik tetap xu ,
a. Kestabilan Titik Tetap xu
qU
xs 1
dx
(1) Pemanenan Konstan Untuk level usaha pemanenan konstan, maka persamaan (4.1) akan memiliki ekuilibrium stabil pada x 0 , yang diberikan oleh
*
Agar sistem di titik
4.2.1 Level Usaha Pemanenanan
*
, yaitu
dx
maka harus dipenuhi
Rx 1
dF
ke persamaan (4.10) diperoleh
0 R qU .
dx
qU 1 x R 0 *
K
;
jika R>qU
;
selainnya
Misalkan K 1, R 0.3, q 0.10 / 0.20 / 0.36 / 0.42 / 1.00 * dan U 1.15 ,sehingga diperoleh xs 0.617 untuk q 0.15 dan xs * 0.233 untuk q 0.20 , sedangkan untuk q lainnya populasi akan menuju kepunahaan. Tabel 1 Dinamika populasi pemanenan konstan q x(t )
0.1
0.2
0.36
0.42
1
x(0)
1.069
0.6
0.6
0.6
0.6
x(10)
0.661 0.33
0.09
0.05
0
x(15)
0.633
0.3
0.05
0.02
0
x(20)
0.623 0.27
0.03
0.01
0
x(25)
0.619 0.26
0.01
0
0
x(30)
0.618 0.25
0.01
0
0
x(100)
0.617 0.23
0
0
0
*
Pada keadaan xu 0 tidak dapat dilakukan pemanenan, karena populasi akan menuju kepunahan. *
b. Kestabilan Titik Tetap xs Dengan mensubstitusikan qU * xs 1 K R
8
Tabel 2 Dinamika populasi dengan beberapa nilai awal
x (t ) 0.7 0.6
x(t)
q
0.2
0.5
x(0)
0.1
0.2
0.3
0.6
0.4
x(10)
0.14
0.22
0.26
0.3
0.3
x(15)
0.16
0.22
0.25
0.3
0.2
x(20)
0.18
0.22
0.24
0.3
0.1
x(25)
0.19
0.23
0.24
0.3
0.0
x(30)
0.2
0.23
0.24
0.3
x(100)
0.23
0.23
0.23
0.2
0
5
10
15
20
25
30
t
Kenaikan q dengan U tetap yang menyebabkan qU R maka populasi menuju nol (kepunahan), tetapi jika qU R maka populasi menuju nilai kestabilannya untuk sembarang nilai awal. x (t )
Gambar 4 Dinamika populasi pemanenan konstan q 0.2dengan nilai awal (2) Pemanenan Proporsional Untuk level usaha pemanenan proporsional, maka persamaan (4.4) akan memiliki ekuilibrium stabil pada x 0 , yang diberikan oleh R q * * x* x 1 x 1 q K 1 q
0.7 0.6
*
*
q
xu 0 dan xs 1 K. R
0.5
*
0.3 0.2 0.1 0.0
*
Kondisi kestabilan dari titik tetap xu , xs diperoleh dengan memeriksa turunan pertama model pertumbuhannya, kemudian disesuaikan dengan kondisi kestabilan pada sub bab 2.6. dF R 2 Rx q . dx 1 q K (1 q ) 1 q
0.4
0
5
10
15
20
25
30
t
a. Kestabilan Titik Tetap xu Gambar 3 Dinamika populasi pemanenan konstan Keterangan : Kuning : q = 0.10 Merah Ungu Hijau Hitam
: : : :
q = 0.20 q = 0.36 q = 0.42 q = 1.00
*
Dengan mensubstitusikan persamaan (4.11) diperoleh
*
xu 0 ke
dF , yaitu dx
dF R q . dx 1 q *
Agar sistem di titik xu 0
stabil, maka
dF 0 dx dF q R 0 dx 1 q R q .
harus dipenuhi syarat
Pada
keadaan
*
xu 0
tidak dapat
dilakukan pemanenan, karena populasi akan menuju kepunahan.
9
b. Kestabilan Titik Tetap xs Dengan mensubstitusikan * q xs 1 K R ke persamaan (4.1.1) diperoleh
*
Perubahan nilai tidak mempengaruhi nilai kestabilan, tetapi kenaikan menyebabkan populasi lebih cepat menuju nilai kestabilannya.
dF , yaitu dx
x (t )
dF q R . dx 1 q
0.7 0.6
q Agar sistem di titik xs 1 K stabil, R *
0.4
dF 0 dx dF q R 0 0 dx 1 q R q .
maka harus dipenuhi
0.3 0.2 0.1 0.0
q Pada keadaan xs 1 K R *
Sehingga dapat disimpulkan q
0
5
10
15
20
dapat
dilakukan pemanenan, karena kepunahan tidak akan terjadi.
0.5
Gambar 5 Dinamika populasi proporsional Keterangan : Merah : 0.5; q 0.6 Hijau : 0.5; q 0.1 Ungu : 0.7; q 0.6
25
30
t pemanenan
; jika R q
* 1 K xs R 0
x (t )
; selainnya
0.7 0.6
Selanjutnya akan diperlihatkan pengaruh peubah kontrol terhadap dinamika populasi menuju nilai kestabilannya. Kenaikan menyebabkan populasi lebih cepat menuju nilai kestabilannya. Misalkan R 0.5, 0.5, q 0.8, 1.0, 1.0, K 1 dan
q 0.4 0.5 , sehingga diperoleh
*
xs 0.2 . Kenaikan sehingga q 0.5
menyebabkan (kepunahan).
populasi
menuju
nol
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
0
0.1
15
20
25
30
Gambar 6 Pengaruh nilai terhadap dinamika populasi
Ungu
0.6
10
Keterangan : Merah : 1 Hijau : 0.5
Tabel 3 Dinamika populasi pemanenan proporsional x(0)
5
t
β
x(5)
x(20) x(50) x(100)
1
0.28
0.21
0.2
0.2
0.5
0.31
0.21
0.2
0.2
0.3
0.32
0.21
0.2
0.2
1
0.14
0.19
0.19
0.2
0.5
0.13
0.18
0.2
0.2
0.3
0.13
0.18
0.2
0.2
: 0.3
(3) Pemanenan Threshold Proporsioanal Untuk level pemanenan threshold proporsional, maka persamaan (4.7) akan memiliki ekuilibrium stabil pada x 0 , yang diberikan oleh
*
* x
K
Rx 1 1
* q x xthre
q * x xthre * x
10
Misalkan 1.0, K 1.0, xthre 0.2 1, R 0.5, 0.5
0
q 0.8, 1.0, sehingga
xu
*
K ( q R )
2 2 ( q R ) K 4 RK ( q xthre )
x
s
diperoleh
*
xu 0.312
dan
*
0
xs 0.512 . . x
2R
0.08
dan *
q 0.4 0.5 ,
dan
K ( q R )
2 2 ( q R ) K 4 RK ( q xthre )
0.06
0
2R 0.04
a. Kestabilan Titik Tetap xu
* 0.02
*
xu 0 menunjukkan populasi ikan punah.
0.1
0.2
0.3
0.4
*
b. Kestabilan Titik Tetap xs Jika x (t ) xthre dengan 0 xthre K maka pemanenan dapat dilakukan dan populasi menuju titik tetap stabil dengan *
nilai xs lebih kecil dari K pemanenan threshold proporsional tidak menyebabkan populasi menuju kepunahan (Lihat pada Gambar 7). Suatu persamaan diferensial tidak semuanya dapat diselesaikan secara kuantitatif. Dinamika populasi dan pengaruh peubah kontrol β akan diperlihatkan dengan solusi kualitatif.
0.5
x
Gambar 7 Bidang fase pemanenan threshold Akan diperlihatkan pengaruh nilai terhadap dinamika populasi pada Gambar 8, 9, 10. Pada gambar tersebut dapat terlihat bahwa perubahan nilai tidak mempengaruhi nilai kestabilannya, akan tetapi kenaikan menyebabkan populasi lebih cepat menuju nilai kestabilannya. Pada pemanenan threshold proporsional, meskipun q R populasi tidak akan menuju nol atau kepunahan (Lihat pada Gambar 11) .
11
Gambar 8 Pengaruh nilai 1
Gambar 9 Pengaruh nilai 2.5
Gambar 10 Pengaruh nilai
2.5 10
Gambar 11 Dinamika populasi dengan
4
q 0.8 0.5, 1
(4) Pemanenan Musiman Untuk level usaha pemanenan musiman, maka persamaan (4.9) akan memiliki ekuilibrium stabil pada x (0) 0 , yang diberikan oleh * x * * Rx 1 K (t ) qx 0 1 (t ) q *
xu 0
Kondisi *
*
dan
*
xs 1
kestabilan
titik
Dengan
mensubstitusi
persamaan (4.12) diperoleh
*
xu 0
ke
dF , yaitu dx
dF R (t )q . dx 1 (t )q *
Agar sistem di titik xu 0 stabil, maka dF 0 dx dF R (t ) q 0 0 dx 1 (t ) q R (t ) q .
harus dipenuhi syarat
(t ) q K. R
dari
a. Kestabilan Titik Tetap
tetap
xu , xs diperoleh dengan memeriksa turunan pertama model pertumbuhannya, kemudian disesuaikan dengan kondisi kestabilan pada sub bab 2.6, yaitu 2 Rx R (t )q dF K . dx 1 (t ) q (4.12)
Dengan demikian xu
*
merupakan titik
* tetap tak stabil dan pada keadaan xu 0 tidak dapat dilakukan pemanenan, karena populasi akan menuju kepunahan.
12
* b. Kestabilan Titik Tetap xs Dengan mensubstitusikan * (t ) q xs 1 K R ke persamaan (4.12) diperoleh dF (t ) q R . dx 1 (t )q
x (t )
0.6
0.5
0.4
* (t ) q xs 1 K R dF stabil, maka harus dipenuhi 0 dx dF (t ) q R 0 0 R (t )q . dx 1 (t ) q
Agar sistem di titik
(t )q K R
Misalkan (t )
0 0
*
Sehingga dapat disimpulkan
0.1
xs merupakan titik
tetap stabil dan pada keadaan * (t ) q xs 1 dapat dilakukan K R pemanenan, karena kepunahan tidak akan terjadi.
* 1 x 0
0.2
; ;
1 sin(2 t ) 4
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Gambar 12 Dinamika populasi musiman Keterangan : : q 0.04 : q 0.30 : q 0.49
0.8
0.9
1
t pemanenan
jika R>λ(t)qα selainnya
0.6
0.5
akan maksimum
pada saat (0.25 n) 0.5 dan minimum pada saat (0.75 n) 0 untuk n =0, 1, 2, … karena (t ) bersifat periodik menyebabkan
0.4 x(t)
Dengan demikian
0.3
0.3
0.2
*
nilai xs berubah-rubah. Misalkan diberikan data seperti berikut R 0.3, 4, q 0.04 / 0.30 / 0.49, K 1
0.1
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 t
0.6
0.7
0.8
Gambar 13 Pengaruh nilai untuk q 0.49 Keterangan : : 1.5 : 3 : 4
0.9
1
13
diperoleh
dengan
menentukan
dh 0 dU
* sehingga diperoleh U R / 2q pada saat x (t ) K / 2 . Solusi inilah yang dikenal dengan maximum sustainable yield (MSY).
0.6
0.5
0.4 x(t)
h 0.3
hMSY 0.2
0.1
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 t
0.6
0.7
0.8
0.9
1
R / 2q R/q U Gambar 15 Kurva usaha pemanenan konstan
Gambar 14 Pengaruh nilai untuk q 0.04 Keterangan : : 0 : 1.5 : 4 Dari Gambar 13 dan 14 terlihat bahwa *
nilai mempengaruhi xs , jika x (0) di atas * xs maka penurunan nilai akan *
menyebabkan kenaikan pada xs . Tetapi jika *
x (0) di bawah xs maka perubahan nilai *
tidak menyebabkan perubahan pada xs . Pada pemanenan ini, populasi tidak akan menuju kepunahan. 4.2.2 Hasil Pemanenan Maksimum 1. Pemanenan Konstan Ekuilibrium hasil pemanenan (sustainable yield), diperoleh dengan * mensubstitusikan persamaan xs ke persamaan (3.3), sehingga diperoleh persamaan berikut * h(U ) qxs U
h(U ) q 1
qU
KU . R
(4.13)
Persamaan (4.13) merupakan persamaan kuadrat yang memiliki grafik berbentuk parabola. Nilai U yang memaksimumkan h
Gambar 15 menyatakan hubungan antara U dan h , kenaikan U akan meningkatkan hasil pemanenan hingga sampai pada level pemanenan maksimum yaitu pada U R / 2q dan x (t ) K / 2 , untuk U R / 2q hasil pemanenan akan menurun menuju nol. Untuk U R / q hasil pemanenan adalah nol. Usaha pemanenan yang cukup besar dapat menyebabkan populasi punah dan hasil panen menjadi nol. Level pemanenan h konstan dx F ( x ) h. (4.14) dt Sehingga hasil pemanenan maksimum (maximum sustainable yield ) diperoleh pada dx saat 0 yaitu dt dx F ( x) h 0 dt h F ( x) MSY
x (t ) K RK K /2 1 2 K RK . 4 Misalkan K 1, R 0.5, q 0.8
Rx (t ) 1
(4.15) sehingga
* diperoleh hMSY 0.125 dengan U 0.3125 pada saat persediaan populasi ikan * x (t ) 0.5. Jika dipilih U 0.25 U maka hasil panen sebesar h 0.12 , sehingga usaha
14
pemanenan masih dapat ditingkatkan sampai mencapai hasil panen yang maksimum. 2. Pemanenan Proporsional Ekuilibrium hasil pemanenan (sustainable yield) h , diperoleh dengan * mensubstitusikan persamaan xs dan persamaan (3.5) ke persamaan (3.3), sehingga diperoleh persamaan berikut * h ( ) q x s q h( ) q K 1 (4.16) . R Persamaan (4.16) merupakan persamaan kuadrat yang memiliki grafik berbentuk
Dari Gambar 16 dapat dilihat hubungan antara dan h , kenaikan akan meningkatkan hasil pemanenan hingga sampai pada level pemanenan maksimum yaitu pada R / 2q dan x(t ) K / 2 , untuk R / 2q hasil pemanenan akan menurun menuju nol, sedangkan untuk R / q hasil pemanenan adalah nol. Usaha pemanenan yang cukup besar dapat menyebabkan populasi punah dan hasil panen menjadi nol. Misalkan R 0.5, 0.5, q 0.8, 1.0, 1.0, K 1 sehingga
diperoleh hMSY 0.125 .
Dengan
*
parabola. Nilai h( ) diperoleh
yang memaksimumkan dengan menentukan R dh / d 0, sehingga diperoleh 2 q dengan x (t ) K / 2. Solusi inilah yang dikenal dengan maximum sustainable yield (MSY). Dengan mensubstitusikan nilai R * ke persamaan (4.16), maka akan 2 q diperoleh hasil pemanenan maksimum dalam *
keadaan seimbang tanpa kepunahan h yaitu RK hMSY . (4.17) 4 h
hMSY
0.625 pada saat populasi x(t ) 0.5 . Jika dipilih 3 * menyebabkan hasil panen nol, karena usaha yang dilakukan cukup besar sehingga populasi akan punah. 3. Pemanenan Threshold Proporsional Strategi usaha pemanenan ini dapat dilakukan apabila populasi ikan lebih besar dari batas populasi minimum ( xthre ) yang ditentukan. Dengan adanya ( xthre ) Sehingga akan terhindar dari eksploitasi yang dapat menyebabkan kepunahan. Ekuilibrium hasil pemanenan (sustainable yield) h , diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan xs * dan persamaan (3.5) ke persamaan (3.3), sehingga diperoleh persamaan berikut h( ) q xs* xthre (4.18) Nilai yang memaksimumkan h( ) diperoleh dengan menentukan dh / d 0 , diperoleh
KR 2 Kq 4 qxthre
dan R / 2q
R / q
Gambar 16 Kurva usaha pemanenan proporsional
x (t )
qKR K R 2 Kq 4 qx thre
2 qKR qKR R K 2 4 RK x thre 2Kq 4 qx 2 Kq 4 qx thre thre 2R
15
Solusi inilah yang dikenal dengan maximum sustainable yield (MSY). hMSY q x(t ) xthre (4.19) KR x(t ) xthre . 2 K 4 xthre
Karena (t ) merupakan fungsi periodik yang menyatakan pengaruh musim. Jika pada musim panen pemanenan tidak dilakukan populasi akan terus meningkat menuju daya dukung lingkungan. Hasil pemanenan (sustainable yield), akan meningkat proporsional sebesar (t ) q . Populasi maksimum terjadi pada saat x t K 2 dengan R 2 q ( t ) , sehingga hasil pemanenan maksimum sustainable yield ) : hMSY ( t ) q x s
(maximum
*
R K 2 2 RK . 4
Gambar 17 Kurva usaha pemanenan proporsional threshold Gambar 17 menyatakan hubungan dan h , kenaikan akan meningkatkan hasil pemanenan hingga sampai pada level pemanenan maksimum yaitu pada KR dan x t , untuk 2 Kq 4 qxthre KR > hasil pemanenan akan 2 Kq 4 q xthre menurun menuju xthre . Misalkan R 0.5 , 0.5 , q 0.8 ,
1.0 1.0 , sehingga
K 1.0 ,
diperoleh *
dengan 1.042 x t 0.499904019 .
xthre 0.2
hMSY 0.124960007
pada
saat
populasi
(4.21)
h
(t)
α
Gambar 18 Kurva usaha pemanenan musiman Misalkan
t
1sin 2 t 4
,
fungsi
tersebut akan maksimum pada saat 0.25 n 0.5 dan minimum pada saat
dan
0.75 n 0 untuk n 0,1, 2, .... hal ini berarti pemanenan musiman maksimum jika nilai t 0.5 untuk t 0.25 n . Misalkan R 0.5 , 0.5 , q 0.8 , 1.0 1.0 , K 1.0 sehingga diperoleh
persamaan (3.5) ke persamaan (3.3), sehingga diperoleh persamaan berikut
hMSY 0.125 dengan 0.625 pada saat
4.1.4 Pemanenan Musiman Ekuilibrium hasil pemanenan (sustainable yield) diperoleh dengan mensubstitusikan
h q xs
persamaan
xs
*
populasi x t 0.5 .
*
q t h q K 1 . R
*
(4.20)
V KEBIJAKAN PEMANENAN OPTIMAL 5.1 Penentuan Pemanenan yang Optimal 5.1.1 Pemanenan Konstan yang Optimal Keuntungan per unit usaha dengan usaha pemanenan yang dilakukan secara konstan memiliki fungsi sebagai berikut P (U ) ph(t ) cU qU p q 1 KU cU R qU U pqK 1 c . R dengan c pqK .
(5.1)
maks J J (U ) e t pqUx cU dt. 0
Keuntungan maksimum diperoleh dengan menentukan P ' (U ) 0 dan diperoleh
U * ( U optimal), yaitu R (1 ) U* . (5.2) 2q Ukuran populasi ikan yang optimal ( dapat diperoleh dengan mensubstitusikan R(1 ) U* ke dalam persamaan xs * , 2q yaitu K (5.3) xs * (1 ). 2 sehingga ukuran hasil pemanenan optimal dapat dituliskan h(U * ) xs *qU (5.4) pRK 1 2 . 4 dan keuntungan maksimum dalam keadaan seimbang ( P* ) tanpa kepunahan dapat dituliskan P (U * ) U * pqxs* c (5.5) pRK ( 1)2 . 4 5.1.2 Penentuan Pemanenan Proporsional yang Optimal Total keuntungan di masa yang akan datang (dalam kasus t yang dihitung dengan present value adalah
J e t P x, U , t dt 0
(5.6)
e 0
t
pqUx cU dt.
Tujuan usaha pemanenan adalah memaksimumkan present value (nilai sekarang) dari pendapatan pemanenan ikan dengan syarat populasi ikan tidak mengalami kepunahan dan menggunakan tingkat usaha pemanenan U (t ) sebagai kontrolnya, sehingga fungsi objektif keuntungan maksimum dari pemanenan berkelanjutan dengan tingkat usaha U (t ) adalah
(5.7) dengan kendala x(0) x0 0. U (t ) 0. menurut (Tu, 1993) permasalahan di atas merupakan masalah kontrol optimum. Untuk pemanenan proporsional yang optimal dituliskan kembali fungsi (5.7) terhadap kendala-kendalanya sebagai berikut x(0) x0 0.
U (t, x) 0. Sehingga diperoleh fungsi keuntungan maksimum untuk pemanenan proporsional adalah Maks J J ( , t , x )
e t pq x c dt
(5.8)
0
e t pqx (t ) c dt. 0
Substitusi x(t ) xs * ke persamaan (5.8) maka diperoleh J ( ) , sebagai berikut
q J ( ) e t pqK 1 c dt . R t dengan t merupakan waktu awal dilakukannya pemanenan (Lihat pada Lampiran 3). R 1 t ln ( N 1) 1 . (5.9) R q dengan pengintegralan biasa J ( ) dapat dituliskan t q e J ( ) pqK 1 . c R (5.10)
17
c substitusi ke dalam persamaan pqK (5.10), sehingga diperoleh bentuk seperti berikut pqK q J ( ) e t . (5.11) 1 R Fungsi keuntungan maksimum akan q menjadi negatif jika 1 0 artinya R tidak menghasilkan keuntungan. Sebaliknya q ketika 1 fungsi keuntungan 0 R akan positif. Perilaku J ( ) akan diperlihatkan seperti yang di gambar berikut J ( )
Keuntungan J ( ) akan maksimum ketika nilai mencapai * ( optimum). Kondisi yang diperlukan untuk nilai optimum diperoleh dengan menentukan J ' ( ) 0 . Diperoleh optimum (Lihat pada Lampiran 4). 2 R 8 3 1 . 4q R R R (5.12) * dengan mensubstitusikan ( ) ke persamaan (5.11) maka diperoleh keuntungan maksimum yang berkelanjutan pada waktu t , yaitu
*
J ( * )
* Gambar 19 Kurva keuntungan
2 3 1 8 2 R R R pK R 8 J ( * ) 3 1 1 4 R R R 4
e t
(5.13) 1 4 t ln ( N 1) 1 . 2 R 8 3 1 R R R
5.2 Contoh Penerapan dalam Manajemen Perikanan Model pemanenan M.B. Scheafer (Clark, 1976) salah satunya dapat diterapkan pada populasi yellowfin tuna ( Thunnus albacores) di kawasan pasifik bagian barat. Scheafer menduga parameter R, K , q yang masing-
(5.14)
masing menyatakan tingkat pertumbuhan alamiah, daya dukung lingkungan, dan koefisien pemanenan ikan sebagai berikut R 2.61 per tahun K 1.34 108 kg q 1.34 10 5 per Standar Pemanenan Harian misalkan p = $ 15 per kg
c $2500 per SPH 10%/tahun x(0) 1000000 kg
SPH/tahun sehingga diperoleh keuntungan maksimum (persamaan 5.5) sebesar P (U * ) $1.227.074.805.
5.2.1 Pemanenan Konstan Dari data tersebut dapat diperoleh hasil panen optimal dengan menggunakan persamaan (5.4) sebesar h (U * ) 87.341.328,81 kg/tahun dengan usaha pemanenan optimal yang dilakukan (persamaan 5.2) sebesar U * = 33.218,05102
5.2.2 Pemanenan Proporsional Dari data tersebut dapat diperoleh usaha pemanenan optimal yang dilakukan dengan menggunakan (persamaan 5.12) sebesar * 33.778,30605 SPH/tahun sehingga diperoleh keuntungan maksimum (persamaan 5.13) sebesar J ( * ) $10.152.704.828.
KESIMPULAN Usaha pemanenan menentukan dinamika populasi menuju nilai kestabilannya. Usaha pemanenan yang lebih besar daripada pertumbuhan alamiah ikan akan menyebabkan populasi menuju kepunahan, tetapi tidak terjadi pada pemanenan threshold proporsional. Perubahan peubah kontrol pada pemanenan konstan, proporsional, dan threshold proporsional tidak mempengaruhi
nilai kestabilannya, tetapi mempengaruhi kecepatan populasi menuju nilai kestabilannya. Pada pemanenan musiman, penurunan peubah kontrol menyebabkan kenaikan nilai kestabilan hanya pada saat populasi awal lebih besar daripada titik tetap stabilnya. Pemanenan proporsional menghasilkan keuntungan yang lebih besar dibandingkan dengan pemanenan konstan.
DAFTAR PUSTAKA Bajpai A.C. & Hyslop J. 1970. Ordinary Differential Equation. London: John Wiley & Sons Ltd. England. Brauer F. & Soudcak A.C. 1981. Constant Rate Harvesting and Stocking in PredatorPrey Systems. Academic Press, Inc., pp 131-143. Clark C.W. 1979. Mathematical Models in the Economics of Renewable Resources. SIAM J. Appl. Math., pp. 81-99. Clark C.W. 1976. Mathematical Bioeconomics: The Optimal Management of Renewable Resources. Jolin Wiley and Sons. New York. Farlow S.J. 1994. An Introduction to Differential Equation and Their Application. New York: Mc Graw Hill, Inc. Hoftmann LD & Bradley GL. 1989. Calculus for Business, Economics and the Social and Life Science. 4th edition. McGrawHill. Singapore.
Idels L.V. & Wang M. 2008. Harvesting Fisheries Management Strategies with Modified Effort Function, Int. J. Modelling Indentification and Control, vol.3 (1), pp.83-87. Kreyzig E. 1993. Matematika Teknik Lanjutan. Edisi Keenam. Jilid 1. Erlangga. Jakarta. Murray J.D. 1993. Mathematical Biology. Second, Corrected Edition. SpringerVerlag. Berlin. Heidelberg. Tu P. N. V. 1993. Introductory Optimazation Dynamics: Optimal Control with Economics and Management Applications. Second, Revised and Enlarged Edition. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. Tu P. N. V. 1994. Dynamical Systems: An Introduction with Application in Economics and Biology. Second Revised and Enlarged Edition. Springer Verlag. Berlin. Velhurst F. 1990. Nonlinear Differential Equation and Dynamical System. Springer-Verlag. Heidelberg.
LAMPIRAN
Lampiran 1 Solusi Pemanenan Konstan Berikut adalah persamaan Bernoulli untuk mencari solusi pemanenan konstan. dx Rx 2 Rx qUx dt K
dx Rx 2 ( R qU ) x dt K dx Rx 2 ( R qU ) x dt K 1 dx 1 R ( R qU ) x 2 dt K x misalkan v x
1
dan
dv 2 dx x dx dt
lakukan substitusi, sehingga 1 R 2 dv ( x ) ( R qU )v 2 dt K x dv R ( R qU )v dt K misalkan Q (t ) R / K P (t ) R qU P (t ) dt ( R qU ) dt ( R qU )t sehingga diperoleh ( R qU )t ( R qU )t R v (t ) e dt c e K R ( R qU )t ce K ( R qU ) ce
( R qU )t
R ( R qU ) 1 ( R qU )t e R qU e K
K ( R qU )ce( R qU )t R K ( R qU )
Dengan demikian diperoleh solusinya yaitu K ( R qU ) x (t ) K ( R qU )ce( R qU )t R
21
Lampiran 2
22
Solusi Pemanenan Proporsional Berikut adalah persamaan Bernoulli untuk mencari solusi pemanenan proporsional. dx R q x x 1 x dt 1 q K 1 q dx Rx Rx 2 q x dt 1 q K (1 q ) 1 q dx R q Rx 2 x dt 1 q K 1 q
1 dx R q 1 R x 2 dt K 1 q 1 q x
dv 2 dx x dx dt lakukan substitusi, sehingga 1 R 2 dv R q ( x ) v 2 dt K 1 q 1 q x dv R q R v dt 1 q K 1 q misalkan v x
1
dan
misalkan Q (t )
R K 1 q R q 1 q
P (t )
R q R q t dt 1 q 1 q
P (t )dt
sehingga diperoleh R q R q t 1 q 1 q v (t ) e e
R q t 1 q ce
R q t 1 q
R dt c K 1 q
R q R q t R 1 q 1 q 1 q e e R q K 1 q
R q t 1 q K ( R q )ce R
ce
t
R K ( R q )
Dengan demikian diperoleh solusinya yaitu K ( R q ) x (t ) R q t K ( R q )ce 1 q R
K ( R q )
t
Lampiran 3
23
Waktu Awal Pemanenan Proporsional Berikut adalah penentuan waktu dimulainya pemanenan proporsional. K 1 ( N 1)e
R R q R R q
e
Rt
q
K
Rt
1
Rt
R q
R 1 ( N 1)e
q
1
1 1 ( N 1)e
Rt
1 ( N 1)e 1 ( N 1)e
R
R
Rt Rt
R 1 N 1 R q 1
Dengan melogaritmakan kedua ruas maka diperoleh waktu awal pemanenan yaitu
1 R R q N 1 R q q 1 Rt ln N 1 R q 1 1 q t ln R N 1 R q 1 R t ln ( N 1) 1 R q Rt ln
Lampiran 4
24
Integral Parsial dari Present Value Berikut adalah penentuan usaha optimal yang harus dilakukan untuk mendapatkan keuntungan maksimum berkelanjutan pada pemanenan proporsional dengan integral parsial dari present value. J ( )
pqK
q t e 1 R
dengan
t
1 R
R
q
ln ( N 1)
1
sehingga J ( ) dapat dituliskan J ( )
pqK
e 1 R q
ln ( N 1) R 1 q R
' ' ' J ( ) diperoleh dengan : u v v u misalkan pqK u ' pqK u
dan
q
q
v 1
R ' ' ' v y zz y misal kan
y 1
e
ln ( N 1) R 1 q R
R q ' y R ln ( N 1) R 1 q R ze ln ( N 1) R 1 q d 1 R R ' z e ln ( N 1) 1 d R q e
ln ( N 1) R 1 q R
R ( N 1) ( N 1) 1 2 q q
1
ln ( N 1) R 1 ln ( N 1) R 1 1 q q R q q R R v e e 1 1 2 R q q R '
'
Sehingga J ( )
25
q pqK ' J ( ) 1 e R R ln ( N 1) 1 R q pK e
dengan menentukan
ln ( N 1) R 1 q R
R 1 q
'
q 1 R
J ( ) = 0 diperoleh usaha optimal yaitu
R 2 8 * 3 1 4q R R R
1
R ln ( N 1) 1 2 R pq K q e R
