METODE KEKAKUAN (METODE DEFORMASI)

METODE KEKAKUAN (METODE DEFORMASI) (DISPLACEMENT METHOD ATAU STIFFNESS METHOD)

Handayanu

Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS

1

DEFINISI MATRIK KEKAKUAN • Matrik kekakuan elemen: kˆ

ˆ sehingga persamaan sistem adalah: fˆ = kˆ d dimana lokal

kˆ

(xˆ, yˆ , zˆ )

berada dalam sistem koordinat

dan demikian pula deformasi ˆ dan gaya lokal fˆ dalam satu lokal d elemen.

Handayanu


2

ELEMEN PEER atau RANGKA atau BATANG (Spring or Truss or Bar) k 1

2

fˆ1 xˆ ,dˆ 1 xˆ

xˆ

fˆ 2 xˆ ,dˆ 2 xˆ

k = konstanta peer (kekakuan peer)

L Node (titik)

Node fˆ1xˆ gaya titik lokal dˆ 1xˆ Handayanu

derajat kebebasan

xˆ arah koordinat (titik) lokal

fˆ2xˆ gaya titik lokal dˆ 2xˆ


derajat kebebasan 3

Penurunan Matrik Kekakuan Elemen Peer (Spring) • Beberapa contoh Konstanta kekakuan: – Elemen Peer: k = EA/L, E adalah modulus elastisitas, A: luas penampang, L: panjang elemen. – Elemen Torsi: k = GJ/L, G: modulus geser, J:momen inersia polar penampang. – Elemen konduksi panas: k = A Kxx /L, Kxx adalah koef. Konduksi panas. – Elemen aliran air dalam media berpori: k = A Kxx /L, Kxx adalah koef. Permeabilitas. Handayanu


4

Penurunan Matrik Kekakuan Elemen Peer (Spring) • Standar persamaan matrik sistem elemen peer:

⎧fˆ1x ⎫ ⎡ k 11 ⎨ˆ ⎬ = ⎢ ⎩f 2 x ⎭ ⎣k 21

Handayanu

k 12 ⎤ ⎧dˆ1x ⎫ ⎨ˆ ⎬ ⎥ k 22 ⎦ ⎩d 2 x ⎭


5

Penurunan Matrik Kekakuan Elemen Peer (Spring) (lanj.) • Ada 4 Tahap: – Menentukan jenis elemen: elemen peer. – Menentukan Fungsi Deformasi. – Menentukan hubungan Regangan dgn. Deformasi dan hubungan Tegangan dgn. Regangan. – Menurunkan Matrik Kekakuan Elemen dan Persamaan Sistem. Handayanu


6

Penurunan Matrik Kekakuan Elemen Peer (Spring) (lanj.) 1. Menentukan jenis elemen: elemen peer. Elemen peer mempunyai gaya T pada kedua titiknya dengan panjang elemen L. k T

1

2 dˆ1xˆ

T

xˆ

dˆ 2 xˆ

L Handayanu


7

Penurunan Matrik Kekakuan Elemen Peer (Spring) (lanj.) • Menentukan Fungsi Deformasi u ˆ sehingga persamaan deformasinya:linier

uˆ = a1 + a 2 xˆ

Jumlah derajat kebebasan (dof) = jumlah parameter. Dalam bentuk matrik:

⎧a1 ⎫ uˆ = [1 xˆ]⎨ ⎬ ⎩a 2 ⎭ Handayanu


8

Penurunan Matrik Kekakuan Elemen Peer (Spring) (lanj.) • Persamaan deformasi uˆ pada masing-2 koordinat titik dari elemen sebagai fungsi deformasi pada titik tersebut dˆ1x , dˆ 2x

uˆ(0) = a1 + a 2 (0) = dˆ 1x = a1 uˆ(L ) = a1 + a 2 (L ) = dˆ 2 = a 2 L + dˆ 1x

dˆ 2 x − dˆ 1x Selesaikan a2 : a 2 = L Handayanu


9

Penurunan Matrik Kekakuan Elemen Peer (Spring) (lanj.) Disubstitusikan dalam: uˆ = a1 + a 2 xˆ

⎛ dˆ 2 x − dˆ1x ⎞ ˆ ⎟ ⎜ ˆ ˆ x d u + = 1x Didapatkan: ⎟ ⎜ L ⎠ ⎝ Dalam bentuk matrik: ⎡ xˆ uˆ = ⎢1 − ⎣ L

xˆ ⎤ ⎧dˆ 1x ⎫ ⎨ ˆ ⎬; uˆ = [N 1 ⎥ L ⎦ ⎩d 2x ⎭

xˆ dimana : N1 = 1 − L Handayanu

⎧dˆ 1x ⎫ N 2 ]⎨ ⎬ ˆ ⎩d 2x ⎭ xˆ ; N2 = L


10

Penurunan Matrik Kekakuan Elemen Peer (Spring) (lanj.) Fungsi Deformasi • N1 dan N2 disebut Fungsi Deformasi (Shape Functions or Interpolation Functions). • Keduanya menyatakan asumsi deformasi yang terjadi. • N1 =1 N2 =0 pada titik 1 • N1 =0 N2 =1 pada titik 2 • N1 + N2 =1 Handayanu


11

Penurunan Matrik Kekakuan Elemen Peer (Spring) (lanj.) N1

N2

1

1

2

L

L N1 1 Handayanu

2

N2 L

2


12

Penurunan Matrik Kekakuan Elemen Peer (Spring) (lanj.) • Menentukan hubungan Regangan dgn. Deformasi dan hubungan Tegangan dgn. Regangan. T = kδ δ = uˆ (L) − uˆ (0) δ = dˆ − dˆ 2x

1x

k

1

2 dˆ 1 xˆ

ε = δ ; σ = Eε L Handayanu


L

dˆ 2 xˆ

13

Penurunan Matrik Kekakuan Elemen Peer (Spring) (lanj.) • Menurunkan Matrik Kekakuan Elemen dan Persamaan Sistem. fˆ1x = − T ⎧fˆ1x ⎫ ⎡ k ⎨ˆ ⎬ = ⎢ ⎩f 2 x ⎭ ⎣ − k

− k ⎤ ⎧dˆ 1x ⎫ ⎨ˆ ⎬ ⎥ k ⎦ ⎩d 2 x ⎭

fˆ2 x = T T = −fˆ1x = k dˆ 2 x − dˆ 1x T = fˆ = k dˆ − dˆ 2x

[]

ˆk = ⎡ k ⎢− k ⎣ Handayanu

− k⎤ k ⎥⎦

( (

( ( 2x

fˆ1x = k dˆ 1x − dˆ 2 x fˆ2 x = k dˆ 2 x − dˆ 1x Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS

) )

) 1x ) 14

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan Sistem Peer (Spring) • Ada 6 tahap umum: – Menentukan jenis elemen dan diskritisasi. – Menentukan gaya luar yang bekerja pada titik (nodes) – Menggabungkan matrik kekakuan elemen-2 menjadi matrik kekakuan global, berikut persamaan global dari sistem. – Menentukan syarat batas. – Menyelesaikan deformasi dari derajat kebebasan yang tak diketahui. – Menghitung gaya dalam elemen, tegangan, dan regangan elemen. Handayanu


15

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan Sistem Peer (Spring) • Contoh pada Sistem dua peer.

1

1

2

3 F3x

k1

Handayanu

2 F2x

x

k2


16

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan Sistem Peer (Spring) Persamaan dari masing-2 elemen: Elemen 1 : ⎧fˆ1x ⎫ ⎡ k 1 ⎨ˆ ⎬ = ⎢ ⎩f 3x ⎭ ⎣− k 1

− k 1 ⎤ ⎧dˆ 1x ⎫ ⎨ ⎬ k 1 ⎥⎦ ⎩dˆ 3x ⎭

Elemen 2 : ⎧fˆ3x ⎫ ⎡ k 2 ⎨ˆ ⎬ = ⎢ ⎩f 2x ⎭ ⎣− k 2 Handayanu

− k 2 ⎤ ⎧dˆ 3x ⎫ ⎨ ⎬ k 2 ⎥⎦ ⎩dˆ 2x ⎭


17

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan Sistem Peer (Spring) • Elemen 1 dan 2 berhubungan pada titik (node) 3. Hal ini disebut sebagai persyaratan continuitas atau compatibilitas. Sehingga: (1) d 3x

Handayanu

( 2) = d 3x

= d 3x


18

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan Sistem Peer (Spring)

Penggabung an matrik gaya global (1) (2) ˆ ˆ F3x = f 3x + f 3x (2) ˆ F2x = f 2x (1) ˆ F =f 1x

Handayanu

1x


19


• Gaya pada titik konsisten dengan asumsi vektor gaya pada elemen 1

1 F1x

f 1(x1 )

2

3 f 3( 1x)

2

f 3( 2x )

f 2( 2x )

F2x

F3x

Handayanu


20

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan Sistem Peer (Spring) F3x = −k 1d1x + k 1d 3x + k 2d 3x − k 2d 2x F2x = −k 2d 3x + k 2d 2x F1x = k 1d1x − k 1d 3x dalam bentuk matrik : ⎧F1x ⎫ ⎡ k 1 ⎪ ⎪ ⎢ ⎨F2x ⎬ = ⎢ 0 ⎪F ⎪ ⎢− k ⎩ 3x ⎭ ⎣ 1

0 k2 − k2

− k 1 ⎤ ⎧d1x ⎫ ⎪ ⎪ − k 2 ⎥⎥ ⎨d 2x ⎬ k 1 + k 2 ⎥⎦ ⎪⎩d 3x ⎪⎭

or [F] = [K ]{d} Handayanu


21

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan Sistem Peer (Spring) Matrik Gaya Global :

Matrik Deformasi Global : ⎧ d1x ⎫ ⎪ ⎪ ⎨d 2 x ⎬ ⎪d ⎪ ⎩ 3x ⎭

⎧ F1x ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ F2 x ⎬ ⎪F ⎪ ⎩ 3x ⎭

Matrik Kekakuan Global : ⎡ k1 ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣− k1 Handayanu

0 k2 − k2

− k1 ⎤ − k 2 ⎥⎥ k1 + k 2 ⎥⎦


22

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan Sistem Peer (Spring) • Cara lain membentuk matrik kekakuan global. dˆ 1x

[k

(1 )

⎡ k1 ]= ⎢ ⎣− k 1 dˆ 3x

[k Handayanu

( 2)

⎡ k2 ]= ⎢ ⎣− k 2

dˆ 3 x

− k1 ⎤ k 1 ⎥⎦ dˆ 2 x − k2⎤ k 2 ⎥⎦


23

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan Sistem Peer (Spring) – Menyatakan matrik kekakuan elemen dalam sistem global (1 ) ⎫ ⎧ ( 1 ) ⎫ ˆ ⎧ f 1x d 1 0 1 − ⎤ 1x ⎡ ⎪⎪ (1) ⎪⎪ ⎪⎪ (1) ⎪⎪ ⎥ ⎢ k 1 ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎨dˆ 2x ⎬ = ⎨f 2 x ⎬ ⎢⎣ − 1 0 1 ⎥⎦ ⎪⎪dˆ (31x) ⎪⎪ ⎪⎪f 3(1x) ⎪⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ( 2) ( 2) 0 ⎤ ⎧dˆ 1x ⎫ ⎧f1x ⎫ ⎡0 0 ⎪⎪ ( 2 ) ⎪⎪ ⎪⎪ ( 2) ⎪⎪ ⎥ ⎢ k 2 ⎢0 1 − 1⎥ ⎨dˆ 2x ⎬ = ⎨f 2x ⎬ ⎢⎣0 − 1 1 ⎥⎦ ⎪⎪dˆ (32x) ⎪⎪ ⎪⎪f 3( 2x) ⎪⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Handayanu


24

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan Sistem Peer (Spring) • Kesetimbangan gaya

⎧f (1) ⎫ ⎧ 0 ⎫ ⎧ F1x ⎫ ⎪ 1x ⎪ ⎪ ( 2 ) ⎪ ⎪ ⎪ + = f F 0 ⎨ ⎬ ⎨ 2x ⎬ ⎨ 2x ⎬ ⎪f (1) ⎪ ⎪f ( 2 ) ⎪ ⎪F ⎪ ⎩ 3x ⎭ ⎩ 3x ⎭ ⎩ 3x ⎭

(1) (2) ˆ ˆ ⎧ ⎫ ⎧ − 1 0 1 d 0 0 0 d ⎡ ⎤ 1x ⎡ ⎤ 1x ⎫ ⎧F1x ⎫ ⎪ ˆ (1) ⎪ ⎪ ˆ (2) ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ k 1 ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎨d 2x ⎬ + k 2 ⎢0 1 − 1⎥ ⎨d 2x ⎬ = ⎨F2x ⎬ (2) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪F ⎪ ˆ ⎢⎣− 1 0 1 ⎥⎦ ⎪dˆ (1) ⎢ ⎥ − 0 1 1 d ⎣ ⎦ ⎩ 3x ⎭ ⎩ 3x ⎭ ⎩ 3x ⎭ Handayanu


25

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan Sistem Peer (Spring) ⎡ k1 ⎢ ⎢ 0 ⎢− k 1 ⎣

0 k2 − k2

⎤ ⎧d 1x ⎫ ⎧ F1x ⎫ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − k 2 ⎥ ⎨d 2 x ⎬ = ⎨F2x ⎬ k 1 + k 2 ⎥⎦ ⎪⎩d 3 x ⎪⎭ ⎪⎩F3x ⎪⎭ − k1

• Kompatibilitas ⎧dˆ (1) ⎫ ⎧dˆ ( 2 ) ⎫ ⎧d ⎫ ⎪⎪ 1(1x) ⎪⎪ ⎪⎪ 1( 2x) ⎪⎪ ⎪ 1x ⎪ ⎨dˆ 2 x ⎬ = ⎨dˆ 2 x ⎬ = ⎨d 2 x ⎬ ⎪dˆ (1) ⎪ ⎪dˆ ( 2 ) ⎪ ⎪d ⎪ ⎪⎩ 3 x ⎪⎭ ⎪⎩ 3 x ⎪⎭ ⎩ 3 x ⎭ Handayanu


26


• Syarat Batas (Boundary Condition, BC) – Harus menentukan syarat batas untuk menghindari gerakan benda pejal (rigid body). – Ada dua macam syarat batas: • Deformasi homogen (homogeneous displacement) = 0 • Deformasi tak homogen (Nonhomogeneous displacements) = harga tidak nol

Handayanu


27

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan Sistem Peer (Spring) Penyelesaian dengan Prinsip Partisi • Anggap d1 sebagai derajat kebebasan yang bebas • Anggap d2 sebagai derajat kebebasan yang tidak bebas

⎡K 11 | K 12 ⎤ ⎧d1 ⎫ ⎧F1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎢−− = − − − − ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎥ ⎢ ⎢⎣K 21 | K 22 ⎥⎦ ⎪⎩d 2 ⎪⎭ ⎪⎩F2 ⎪⎭ K 11d1 = F1 − K 12d 2 F2 = K 21d1 + K 22d 2 Handayanu


28

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan Sistem Peer (Spring) • Titik 1 sebagai perletakan: d1x = 0, ⎡ k1 ⎢ ⎢ 0 ⎢− k 1 ⎣

− k2

⎡ k2 ⎢− k ⎣ 2

− k2 k1 + k 2

0 k2

⎤ ⎧ 0 ⎫ ⎧ F1x ⎫ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − k 2 ⎥ ⎨d 2 x ⎬ = ⎨F2 x ⎬ k 1 + k 2 ⎥⎦ ⎪⎩d 3 x ⎪⎭ ⎪⎩F3 x ⎪⎭ − k1

⎤ ⎧d 2 x ⎫ ⎧F2 x ⎫ ⎬ ⎬=⎨ ⎥⎨ ⎦ ⎩d 3 x ⎭ ⎩F3 x ⎭

F1x = −k 1 d 3 x Handayanu


29


• Syarat Batas pada kondisi perletakan tanpa deformasi. – Hilangkan persamaan yg berkenaan dgn. Syarat batas. – Selesaikan persamaan untuk derajat kebebasan yang tidak diketahui. – Hitung reaksi pada perletakan menggunakan persamaan yg berkenaan dgn syarat batas. Handayanu


30

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan Sistem Peer (Spring) • Syarat Batas dengan harga deformasi perletakan ≠ 0. ⎡ k1 0 − k 1 ⎤ ⎧ δ ⎫ ⎧ F1x ⎫ ⎥⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ k2 − k 2 ⎥ ⎨d 2 x ⎬ = ⎨F2 x ⎬ ⎢ 0 ⎢ − k 1 − k 2 k 1 + k 2 ⎥ ⎪⎩d 3 x ⎪⎭ ⎪⎩F3 x ⎪⎭ ⎦ ⎣ ⎡ k2 ⎢− k ⎣ 2 Handayanu

− k2

⎤ ⎧d 2 x ⎫ ⎧ F2 x ⎫ ⎬ ⎨ ⎬=⎨ ⎥ k 1 + k 2 ⎦ ⎩d 3 x ⎭ ⎩k 1δ + F3x ⎭ Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS

31


• Syarat Batas dengan harga deformasi perletakan ≠ 0. – Pindahkan kesebelah kanan persamaan yg berkenaan dgn deformasi yg diketahui. – Selesaikan deformasi dari derajat kebebasan yg tidak diketahui. – Hitung reaksi perletakan dari persamaan global yg berkenaan dgn syarat batas. Handayanu


32

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan Sistem Peer (Spring) • Sifat dari matrik kekakuan: [k] dan [K] – Simetris thdp diagonal. – [K] singular (det[K]=0). Dgn menghilangkan persamaan pada syarat batas => [K] nonsingular (det[K] ≠0). – Komponen diagonal (kii, Kii) matrik [k] dan [K] adalah positif.

Handayanu


33

Contoh Rangkaian 3 Peer k2=2000 lb/in

k1=1000 lb/in

1

4

3 2

1

[ k ] = ⎡⎢−1000 1000 (1)

⎣

− 1000⎤ 1000 ⎥⎦

5000 lb

[ k ] = ⎡⎢−2000 2000 ( 2)

⎣

k3=3000 lb/in

− 2000⎤ 2000 ⎥⎦

2

x

3

[ k ] = ⎡⎢−3000 3000 ( 3)

⎣

− 3000⎤ 3000 ⎥⎦

− 1000 0 0 ⎡ 1000 ⎤ ⎢ 0 ⎥ − 3000 0 3000 ⎥ [ K] = ⎢ ⎢ − 1000 − 2000 ⎥ 0 1000 + 2000 ⎢ ⎥ − − + 0 3000 2000 2000 3000 ⎣ ⎦ Handayanu


34

Contoh Rangkaian 3 Peer (lanj.) • Persamaan sistem peer: 0 0 ⎤ ⎧d1x ⎫ ⎧F1x ⎫ − 1000 ⎡ 1000 ⎢ 0 ⎥ ⎪d ⎪ ⎪F ⎪ 3000 − 0 3000 ⎢ ⎥ ⎪⎨ 2x ⎪⎬ = ⎪⎨ 2x ⎪⎬ ; ⎢− 1000 0 3000 − 2000⎥ ⎪d 3x ⎪ ⎪F3x ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − − 0 3000 2000 5000 ⎣ ⎦ ⎩d 4x ⎭ ⎩F4x ⎭

⎧F1x ⎫ ⎧ F1x ⎫ ⎪F ⎪ ⎪ F ⎪ ⎪ 2x ⎪ ⎪ 2x ⎪ ⎬ ⎨ ⎬=⎨ F 0 3x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩F4x ⎪⎭ ⎪⎩5000⎪⎭

d1x = d 2x = 0 ⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

Handayanu

0 0 0 ⎤ ⎧d1x ⎫ ⎧F1x ⎫ 0 0 0 ⎥⎥ ⎪⎪d 2x ⎪⎪ ⎪⎪F2x ⎪⎪ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎥ 0 3000 − 2000 ⎪d 3x ⎪ ⎪F3x ⎪ ⎥ 0 − 2000 5000 ⎦ ⎪⎩d 4x ⎪⎭ ⎪⎩F4x ⎪⎭

⎡ 3000 − 2000⎤ ⎧d 3x ⎫ ⎧ 0 ⎫ ⎢− 2000 5000 ⎥ ⎨d ⎬ = ⎨5000⎬ ⎣ ⎦ ⎩ 4x ⎭ ⎩ ⎭


35

Contoh Rangkaian 3 Peer (lanj.) d 3 x = 10

11

d 4 x = 15

11

in in

− 1000 0 0 ⎤ ⎧ 0 ⎫ ⎧ F1x ⎫ ⎡ 1000 ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 0 ⎥ F − 3000 0 3000 ⎢ ⎥ ⎪⎨10 ⎪⎬ = ⎪⎨ 2 x ⎪⎬ ⎢ − 1000 0 3000 − 2000⎥ ⎪ 11⎪ ⎪F3 x ⎪ ⎢ ⎥ ⎪15 ⎪ ⎪ − − 0 3000 2000 5000 ⎣ ⎦ ⎩ 11⎭ ⎩F4x ⎪⎭ ⎧ F1x ⎫ ⎧ − 909.1 ⎫ ⎪F ⎪ ⎪− 4090.9⎪ ⎪ 2x ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ F 0 ⎪ 3x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩F4 x ⎪⎭ ⎪⎩ 5000 ⎪⎭ Handayanu


36

Contoh Rangkaian 3 Peer (lanj.) • Gaya Elemen 1: ⎡ 1000 − 1000⎤ ⎧⎪ 0 ⎫⎪ ⎧fˆ1x ⎫ ⎢ − 1000 1000 ⎥ ⎨10 ⎬ = ⎨ ˆ ⎬ ⎣ ⎦ ⎪⎩ 11⎪⎭ ⎩f 3 x ⎭

909.1 lb

1

1

3

909.1 lb

xˆ

⎧fˆ1x ⎫ ⎧− 909.1⎫ ⎬ ⎨ˆ ⎬ = ⎨ 909 . 1 f ⎭ ⎩ 3x ⎭ ⎩

• Gaya Elemen 2: ⎡ 2000 − 2000⎤ ⎧⎪10 11⎫⎪ ⎧fˆ3x ⎫ ⎢ − 2000 2000 ⎥ ⎨15 ⎬ = ⎨ ˆ ⎬ ⎣ ⎦ ⎪⎩ 11⎪⎭ ⎩f 4 x ⎭

909.1 lb

3

2

4

909.1 lb

xˆ

⎧fˆ3x ⎫ ⎧− 909.1⎫ ⎨ˆ ⎬ = ⎨ ⎬ 909 . 1 f ⎩ ⎭ ⎩ 4x ⎭ Handayanu


37

Contoh Rangkaian 3 Peer (lanj.) • Gaya Elemen 3: ⎡ 3000 − 3000⎤ ⎧⎪15 ⎫⎪ ⎧fˆ4x ⎫ ⎢− 3000 3000 ⎥ ⎨ 11⎬ = ⎨ ˆ ⎬ ⎣ ⎦ ⎪⎩ 0 ⎪⎭ ⎩f 2x ⎭

4090.9 lb

Handayanu

4

3

⎧fˆ4x ⎫ ⎧ 4090.9 ⎫ ⎨ˆ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎩f 2x ⎭ ⎩− 4090.9⎭

2


4090.9 lb

xˆ

38

Contoh: Syarat Batas ≠ 0 k 1

2

1

k

3

2

k

k

4

3

[ k ] = [ k ] = [ k ] = [ k ] = ⎡⎢⎣−200 200 ( 2)

( 3)

x

4

k=200 kN/m (1)

5

(4)

δ =0.02m

− 200⎤ 200 ⎥⎦

0 0 0 ⎤ ⎡ 200 − 200 ⎢ − 200 400 − 200 ⎥ 0 0 ⎢ ⎥ [ K ] = ⎢ 0 − 200 400 − 200 0 ⎥ ⎢ ⎥ − − 0 0 200 400 200 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 − 200 200 ⎥⎦ 0 0 Handayanu


39

Contoh: Syarat Batas ≠ 0 (lanj.) •

Persamaan sistem peer:

0 0 0 ⎤ ⎧d 1x ⎫ ⎧ F1x ⎫ ⎡ 200 − 200 ⎢ − 200 400 − 200 ⎥ ⎪d ⎪ ⎪F ⎪ 0 0 ⎢ ⎥ ⎪⎪ 2x ⎪⎪ ⎪⎪ 2 x ⎪⎪ ⎢ 0 − 200 400 − 200 0 ⎥ ⎨d 3x ⎬ = ⎨F3 x ⎬ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − − 0 0 200 400 200 ⎢ ⎥ ⎪d 4 x ⎪ ⎪F4 x ⎪ ⎢⎣ 0 − 200 200 ⎥⎦ ⎪⎩d 5 x ⎪⎭ ⎪⎩F5 x ⎪⎭ 0 0

d 1x = 0 d 5 x = 20 mm = 0.02 m F2 x = F3 x = F4 x = 0 ⎡ 200 − 200 ⎢ − 200 400 ⎢ ⎢ 0 − 200 ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢⎣ 0 0 Handayanu

0

0

− 200

0

400

− 200

− 200 0

400 − 200

0 ⎤ ⎧ 0 ⎫ ⎧ F1x ⎫ ⎪ ⎪ 0 ⎥⎥ ⎪⎪ d 2 x ⎪⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ = 0 ⎨ d 3x ⎬ ⎨ 0 ⎬ ⎥⎪ − 200 ⎥ d 4 x ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 200 ⎥⎦ ⎪⎩0.02 ⎪⎭ ⎪⎩F5 x ⎪⎭


40

Contoh: Syarat Batas ≠ 0 (lanj.) ⎡ − 200 ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 0

400 − 200

− 200 400

0 − 200

0

− 200

400

⎡ 400 ⎢ − 200 ⎢ ⎢⎣ 0 ⎧d 2 x ⎫ ⎪ ⎪ ⎨d 3 x ⎬ = ⎪d ⎪ ⎩ 4x ⎭ Handayanu

− 200 400 − 200

⎧ 0 ⎫ 0 ⎤ ⎪ d 2 x ⎪ ⎧0 ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎥ 0 ⎥ ⎨ d 3 x ⎬ = ⎨0 ⎬ − 200 ⎥⎦ ⎪ d 4 x ⎪ ⎪⎩0 ⎪⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎩0.02 ⎪⎭

0 ⎤ ⎧d 2 x ⎫ ⎪ ⎪ ⎥ − 200 ⎥ ⎨d 3 x ⎬ = 400 ⎥⎦ ⎪⎩d 4 x ⎪⎭

⎧0 ⎫ ⎪ ⎪ ⎨0 ⎬ ⎪4 ⎪ ⎩ ⎭

⎧ 0.005 m ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ 0 .01 m ⎬ ⎪ 0.015 m ⎪ ⎩ ⎭ Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS

41

Contoh: Syarat Batas ≠ 0 (lanj.) • Penyelesaian Reaksi Perletakan pada syarat batas 0 0 0 ⎤ ⎧ 0 ⎫ ⎧ F1x ⎫ ⎡ 200 − 200 ⎢ − 200 400 − 200 ⎥ ⎪.005⎪ ⎪F ⎪ 0 0 ⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 2x ⎪⎪ ⎢ 0 − 200 400 − 200 0 ⎥ ⎨ .01 ⎬ = ⎨F3x ⎬ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − − 0 0 200 400 200 ⎢ ⎥ ⎪.015⎪ ⎪F4 x ⎪ ⎢⎣ 0 − 200 200 ⎥⎦ ⎪⎩ .02 ⎪⎭ ⎪⎩F5 x ⎪⎭ 0 0 ⎧ F1x ⎫ ⎧− 1.0 kN⎫ ⎪F ⎪ ⎪ ⎪ 0 . 0 kN 2 x ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨F3 x ⎬ = ⎨ 0.0 kN ⎬ ⎪F ⎪ ⎪ 0.0 kN ⎪ ⎪ 4x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩F5x ⎪⎭ ⎪⎩ 1.0 kN ⎪⎭ Handayanu


42

Contoh: Syarat Batas ≠ 0 (lanj.) • Gaya Elemen 1: ⎡ 200 − 200⎤ ⎧ 0 ⎫ ⎧ fˆ1x ⎫ ⎢ − 200 200 ⎥ ⎨.005⎬ = ⎨ ˆ ⎬ ⎭ ⎩f 2x ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎧ fˆ1x ⎫ ⎧− 1.0 kN⎫ ⎬ ⎨ˆ ⎬ = ⎨ 1 . 0 kN f ⎭ ⎩ 2x ⎭ ⎩

1.0 kN

1

• Gaya Elemen 2: ⎡ 200 − 200⎤ ⎧0.005⎫ ⎧fˆ2x ⎫ ⎢− 200 200 ⎥ ⎨ 0.01 ⎬ = ⎨ ˆ ⎬ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩f 3x ⎭ ⎧fˆ2x ⎫ ⎧− 1.0 kN⎫ ⎬ ⎨ˆ ⎬ = ⎨ 1.0 kN f ⎭ ⎩ 3x ⎭ ⎩ Handayanu

1.0 kN

2


1

2

2

3

1.0 kN

xˆ

1.0 kN

xˆ

43

Contoh: Syarat Batas ≠ 0 (lanj.) • Gaya Elemen 3: ⎡ 200 − 200⎤ ⎧0.010⎫ ⎧fˆ3x ⎫ ⎢− 200 200 ⎥ ⎨0.015⎬ = ⎨ ˆ ⎬ ⎭ ⎩f 4x ⎭ ⎦⎩ ⎣ ⎧fˆ3x ⎫ ⎧− 1.0 kN⎫ ⎬ ⎨ˆ ⎬ = ⎨ 1.0 kN f ⎭ ⎩ 4x ⎭ ⎩

1.0 kN

3

• Gaya Elemen 4: ⎡ 200 − 200⎤ ⎧0.015⎫ ⎧fˆ4x ⎫ 1.0 kN ⎢− 200 200 ⎥ ⎨ 0.02 ⎬ = ⎨ ˆ ⎬ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩f 5x ⎭ ⎧fˆ4x ⎫ ⎧− 1.0 kN⎫ ⎨ˆ ⎬ = ⎨ ⎬ 1.0 kN f ⎭ ⎩ 5x ⎭ ⎩ Handayanu

4


3

4

4

5

1.0 kN

xˆ

1.0 kN

xˆ

44

Rangkaian 3 Peer (2) k2 k1

2 2

1 1 Rigid Bar

Handayanu

3 P

2

x k3 4

2 3


45

Rangkaian 3 Peer (2) (lanj.) B.C. : d 1x = d 3x = d 4x = 0 Compatibility :

(1) d 2x

Nodal equilibrium :

Handayanu

(2) = d 2x

(3) = d 2x

(1) F1x = f1x (1) (2) P = f 2x + f 2x (2) F3x = f 3x (3) F4x = f 4x


(3) + f 2x

46

Rangkaian 3 Peer (2) (lanj.) Free Body Diagram (1) f1x

(1) f1x

F1x

(1) f 2x

1

1

f 2x(2)

1

2

(2) f 3x

Handayanu

F3x

3 4

3

P (3) f 2x

3

2

(1) f 2x

2

2 f 2x(3)

(2) f 2x

(3) f 4x

F4x

4 Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS

47

Rangkaian 3 Peer (2) (lanj.) • Persamaan matrik sistem: ⎡ k1 ⎢− k ⎢ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

− k1

0

k1 + k 2 + k 3

− k2

− k2

k2

− k3

0

0 ⎤ ⎧d 1x ⎫ ⎧ F1x ⎫ − k 3 ⎥⎥ ⎪⎪d 2 x ⎪⎪ ⎪⎪F2 x ⎪⎪ ⎬ ⎬=⎨ ⎨ 0 ⎥ ⎪d 3 x ⎪ ⎪F3 x ⎪ ⎥ k 3 ⎦ ⎪⎩d 4 x ⎪⎭ ⎪⎩F4 x ⎪⎭

• Memasukkan beban & syarat batas: ⎡ k1 ⎢− k ⎢ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0 Handayanu

− k1 k1 + k 2 + k 3 − k2 − k3

0 − k2 k2 0

0 ⎤ ⎧ 0 ⎫ ⎧ F1x ⎫ − k 3 ⎥⎥ ⎪⎪d 2 x ⎪⎪ ⎪⎪ P ⎪⎪ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎥ 0 ⎪ 0 ⎪ ⎪F3 x ⎪ ⎥ k 3 ⎦ ⎪⎩ 0 ⎪⎭ ⎪⎩F4 x ⎪⎭


48

Rangkaian 3 Peer (2) (lanj.) 0 ⎡0 ⎢0 k + k + k 1 2 3 ⎢ ⎢0 0 ⎢ 0 ⎣0

0 0 0 0

( k 1 + k 2 + k 3 )d 2x = P

0⎤ ⎧ 0 ⎫ ⎧F1x ⎫ 0⎥⎥ ⎪⎪d 2x ⎪⎪ ⎪⎪ P ⎪⎪ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ 0⎥ ⎪ 0 ⎪ ⎪F3x ⎪ ⎥ 0⎦ ⎪⎩ 0 ⎪⎭ ⎪⎩F4x ⎪⎭

Reaksi Perletakan:

P d 2x = (k 1 + k 2 + k 3 )

F1x = −k 1d 2 x F2 x = −k 2 d 2 x F3 x = −k 2 d 2 x

Handayanu


49

Pendekatan Energi Potensial • Kesetimbangan terjadi saat energi potensial minimum. • Energi potensial total adalah jumlahan energi regangan U dan energi potensial dari gaya luar Ω. • πp = U + Ω

Handayanu


50

Pendekatan Energi Potensial (lanj.) • Suatu Sistem:

F x

k

• Kurva deformasi thdp gaya:

F

k x Handayanu


51

Pendekatan Energi Potensial (lanj.) dU = F dx F=kx dU = k x dx U = ∫ k x dx 1 1 2 1 U = kx = (kx)x = Fx 2 2 2 Ω = −Fx 1 2 π p = kx − Fx 2 Handayanu


52

Pendekatan Energi Potensial (lanj.) • Kondisi ‘Stationary’

G

G = G(x)

maximum

Harga ' Stationary' dapat sbg titik maximun, minimum, atau netral

netral

sebagai fungsi dari x dimana : dG =0 dx

minimum

x

π p = π p (d1 , d 2 , L , d n ) = π p ({d i }) Turunan pertama dari π p (dinyatakan sbg δπ p ) digunakan untuk meminimumk an π p Handayanu


53

Pendekatan Energi Potensial (lanj.) Prinsip dari Energi Potensial Minimum: Kesetimbangan terjadi saat di pada kondisi dimana δπp = 0 untuk perubahan kecil yg dapat diterima δd1 dari kondisi setimbang

Handayanu


54

Pendekatan Energi Potensial (lanj.) Variasi Deformasi yg dapat diterima: • Suatu variasi yg dapat diterima adalah suatu harga deformasi yg terjadi memenuhi syarat batas yg ada dan kontinyuitas antar elemen. u Fungsi Deformasi yg dpt diterima u+ δu

δu Fungsi Deformasi sebenarnya

x Handayanu


55

Pendekatan Energi Potensial (lanj.) Kondisi Variasi Deformasi yg dapat diterima:

δπ p =

∂π p ∂d 1

δd 1 +

∂π p ∂d 2

δd 2 + L

∂π p ∂d n

δd n

δπ p = 0 ∂π p ∂d 1 ∂π p ∂d1 Handayanu

= 0,

=0

∂π p ∂d 2

= 0, L ,

(i = 1,2,3,L , n )

∂π p ∂d n or

=0

∂π p

∂{d}


=0 56

Pendekatan Energi Potensial (lanj.) • Contoh sistem peer: F=1000 lb

F

x

k

k = 500 lb/in

x Handayanu


57

Pendekatan Energi Potensial (lanj.) • Contoh sistem peer (lanj.): πp = U + Ω

π p = 250x 2 − 1000x

1 U = kx2 2 Ω = −Fx 1 π p = kx 2 − Fx 2 ∂π p δπ p = δx = 0 ∂x

∂π p

Handayanu

∂x ∂π p

=0 = 500x − 1000 = 0

∂x x = 2.00 in π p = −1000 lb − in


58

Pendekatan Energi Potensial (lanj.) •

Contoh sistem peer (lanj.):

10000

π p = 250x 2 − 1000x

PE

8000

6000

Deformation Potential Energy -4.00 8000 -3.00 5250 -2.00 3000 -1.00 1250 0.00 0 1.00 -750 2.00 -1000 3.00 -750 4.00 0 Handayanu

4000

2000

x 0 -4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00

-2000


59

Pendekatan Energi Potensial (lanj.) • Contoh sistem 3 peer: k2=2000 lb/in

k1=1000 lb/in

1

4

3 1

2

k3=3000 lb/in

2

x

5000 lb 3

3

1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) π p = ∑ π (e) = k d − d + k d − d + k d − d p 1 3x 1x 2 4x 3x 3 2x 4x 2 2 2 e =1 − f1x(1)d1x − f 3x(1)d 3x − f 3x(2)d 3x − f 4x(2)d 4x − f 4x(3)d 4x − f 2x(3)d 2x Handayanu


60

Pendekatan Energi Potensial (lanj.) • Contoh sistem 3 peer (lanj.): ∂π p ∂d1x ∂π p ∂d 2x

= −k 1d 3x + k 1d1x − f1x(1) = 0 = k 3d 2x − k 3d 4x − f

⎡ k1 ⎢ 0 ⎢ ⎢− k 1 ⎢ ⎣ 0 Handayanu

(3) 2x

0

− k1

k3

0

0 −k3

k1 + k 2 −k2

∂π p ∂d 3x ∂π p

=0

∂d 4x

= k 1d 3x − k 1d1x − k 2d 4x + k 2d 3x − f 3x(1) − f 3x(2) = 0 = k 2d 4x − k 2d 3x − k 3d 2x + k 3d 4x − f 4x(2) − f 4x(3) = 0

⎤ ⎧d1x ⎫ ⎧ f1x(1) ⎫ ⎪ ⎪ − k 3 ⎥⎥ ⎪⎪d 2x ⎪⎪ ⎪ f 2x(3) ⎪ ⎨ ⎬ = ⎨ (1) (2) ⎬ ; − k 2 ⎥ ⎪d 3x ⎪ ⎪f 3x + f 3x ⎪ ⎥ k 2 + k 3 ⎦ ⎪⎩d 4x ⎪⎭ ⎪⎩f 4x(2) + f 4x(3) ⎪⎭ 0


⎧ f1x(1) ⎫ ⎧F1x ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (3) f ⎪ 2x ⎪ ⎪F2x ⎪ ⎨ (1) (2) ⎬ = ⎨ ⎬ ⎪f 3x + f 3x ⎪ ⎪F3x ⎪ ⎪⎩f 4x(2) + f 4x(3) ⎪⎭ ⎪⎩F4x ⎪⎭ 61

METODE KEKAKUAN (METODE DEFORMASI)

Recommend Documents