Mérnöki alapok 7. előadás

Mérnöki alapok 7. előadás Készítette: dr. Váradi Sándor

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék

1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91 http://www.vizgep.bme.hu

Áramló folyadék egyensúlya Jellemzi a sebesség- és nyomáseloszlás; változhat a hely (helyvektor:) (r ) és az idő (t) függvényében

Mérnöki alapok. 7. előadás

Időben állandó (stacionárius) áramlás: a sebesség (v), a nyomás (p), a sűrűség (ρ) nem függ az időtől, csak a helytől Időben változó (instacionárius) áramlás: a fenti jellemzők hely és idő függvényei Pl. lakás fűtés gázkazánnal, hőfokszabályozás („cirko”) keringtető szivattyú indul – vagy leáll: instacionárius közben állandó fordulatszámon jár: stacionárius (az áramlás szempontjából, de közben melegszik, tehát a hőtechnikai folyamat instacionárius) Mérnöki alapok. 7. előadás

Áramlások leírása: az anyagmegmaradás és a mozgásegyenletekben

Anyagmegmaradás törvénye (kontinuitás) – csőben egyváltozós függvény


Térfogatáram: időegység alatt áthaladó folyadék térfogat (q v. Q) 3  m Q=Av mértékegysége:    s 

keresztmetszet átlagsebesség Tömegáram: időegység alatt áthaladó folyadék tömeg (m& ) kg m& = ρq = ρAv mértékegysége:    s  Anyagmegmaradás: m & állandó a hely függvényében

m& = áll. = ρ1 A1v1 = ρ 2 A2 v2 A1v1 = A2 v2 Ha ρ=áll. (cseppfolyós közeg) Nagy keresztmetszet, kis sebesség Mérnöki alapok. 7. előadás

Alkalmazás Lakás központi fűtés kazánjának vízellátását végző szivattyú q=8dm3/min vizet szállít (egy vödör víz 1.25min!). A csővezeték hálózat ¾”-os és ½”-os csövekből épült. ¾” belső átmérő d3/4=20mm; A3/4= 3.14*10-4m2 ½” belső átmérő d1/2=13mm; A1/2=1.33*10-4m2 Vízsebességek: v3 / 4

q 8 1 = = 3 * = 0.425m / s −4 A3 / 4 10 * 60 3.14 *10


Legyen: fele balra, fele jobbra

v1/ 2

1 1 *q *8 1 =2 = 23 * = 0.5m / s −4 A1/ 2 10 * 60 1.33 *10 Mérnöki alapok. 7. előadás

MOZGÁSEGYENLET Legegyszerűbb eset:

Ideális folyadék (nincs súrlódás) Állandósult áramlás (nem függ az időtől)

Energia megmaradás: a helyzeti és mozgási energia összegének megváltozása a külső erők munkájával egyenlő



A h1, h2 szinteket közös alapsíktól mérjük Anyagmegmaradás (ρ=áll. esetében)

V = A1∆s1 = A1v1∆t = A2v2 ∆t = A2 ∆s2 F1 erő munkája F2 erő munkája E1 energia E2 energia

W1 = F1∆s1 = p1 A1v1∆t = p1V W2 = F2 ∆s2 = p2 A2 v2 ∆t = p2V

ρ 2 E1 = Vρgh1 + V v1 + Eközös rész 2 ρ 2 E2 = Eközös rész + Vρgh2 + V v2 2 Mérnöki alapok. 7. előadás

Egyensúly:

W1 − W2 = E2 − E1

ρ 2 ρ 2  ( p1 − p2 )V = V  ρgh2 + v2 − ρgh1 − v1  2 2   Rendezve

ρ 2 ρ 2 p1 + ρgh1 + v1 = p2 + ρgh2 + v2 2 2

ρ 2 p + ρgh + v = áll. 2

Bernoulli egyenlet (energia megmaradás) Mérnöki alapok. 7. előadás

Bernoulli, Daniel (1700-1782) (Alapképzettsége orvos) Bázelben fizika professzor 1738-ban „Hidrodinamika” c. könyvet jelentet meg Strassburgban Ebben már benne van a róla elnevezett egyenlet Eulerrel együtt sok problémát közösen oldanak meg


A levezetett egyenletben minden tag mértékegysége: [N/m2] p nyilván kgm 2 kg m kg N ρgh s 3

m s

2

m=

ms

2

=

m

2

=

m

2

kgm 2 kg  m  kg N s = = =  3  2 2 2 m s ms m m 2

ρ 2 v 2 Energetikai szempontból:

Pa =

N m

2

=

Nm m

3

=

J m

3

térfogategységre eső energia Mérnöki alapok. 7. előadás

ρ-val osztva minden tag mértékegysége azaz tömegegységre eső energia:

2

p v + gh + = áll. ρ 2

ρg-vel osztva minden tag mértékegysége

azaz súlyegységre eső energia:

 Nm   kg   

 J Nm   N = N = m   2

p v +h+ = áll. ρg 2g Mérnöki alapok. 7. előadás

Bármelyik alakot használjuk az egyenletek dimenzionális homogenitásának teljesülnie kell! Ez a felismerés FOURIER, Jean-Baptiste Joseph báró (1768-1830) francia matematikus és fizikus nevéhez fűződik. 1807-ben mutatta be a francia akadémián a hővezetés differenciálegyenletét tartalmazó dolgozatát. Ebben azt is állította, hogy bármely, a [0, 2π] intervallumon értelmezett függvény, trigonometrikus sorba fejthető és ilyen sorokkal az egyenlet megoldható. 1822-ben publikálta „A hővezetés matematikai elmélete” című klasszikus művét. Két évvel később az akadémia tagja és titkára lett. Ma már a Fourier-sorok és a Fourier transzformáció nélkülözhetetlen eszközei a parciális differenciálegyenletek megoldásának. Mérnöki alapok. 7. előadás

Alkalmazás: Folyadék energiája a központi fűtés csövében

Adatok: ρ=103kg/m3 p=1.5bar v=0.425m/s h=3m


2

5

2

p v 1.5 *10 0.425 + +h= 3 + + 3 = 15.29m + 0.0092m + 3m ≈ 18.29m ρg 2 g 10 * 9.81 2 * 9.81

A sebesség négyzetes tag, tehát a súlyegységre vonatkoztatott mozgási energia ebben a feladatban elhanyagolható! Légvezeték esetén (pl. áruházi szellőztető-fűtő rendszer) Adatok: ρ=1.2kg/m3 p=0.1bar=104N/m2 v=15m/s h=8m (a fejünk felett) Mérnöki alapok. 7. előadás

p+

ρ 2 1.2 4 2 4 v + ρgh = 10 + * 15 + 1.2 * 9.81 * 8 = 10 Pa + 135 Pa + 94 Pa = 10229 Pa 2 2

Itt az utolsó két tag azonos nagyságrendű


VENTURI CSŐ Elemei: konfúzor torok vagy nyak diffúzor


Kontinuitás (ρ=áll.)

A1v1 = A2v2 Bernoulli 1-2

v1 A2 = v2 A1

ρ 2 ρ 2 p1 + v1 = p2 + v2 2 2

Mivel az ábrán bemutatott Ventúri cső vízszintes helyzetű, azaz a két nyomásmegcsapolás azonos magasságban van, így a térfogategységre felírt helyzeti energia a Bernoulli egyenlet mindkét oldalán azonos, ezért kiesik Mérnöki alapok. 7. előadás

2 2     v1   A2   ρ 2 ρ 2 ρ 2 2 p1 − p2 = v2 − v1 = v2 1 −    = v2 1 −    2 2   v2   2   A1      

(

)

ha kör-keresztmetszet:

2

 A2   d 2    =    A1   d1 

4

ezzel a Bernoulli egyenlet: 4   d2   ρ 2 p1 − p2 = v2 1 −    2   d1    


v2 =

2( p1 − p2 )   d 4  ρ 1 −  2     d1  

Manométer egyensúlyi egyenlet:

p1 + ρv g (z + ∆h ) = p2 + ρv gz + ρ Hg g∆h

p1 − p2 = (ρ Hg − ρv )g∆h


Ventúri cső mint mérőeszköz ∆h-t megmérem

∆p számolható

q = A2 v2 = A2

v2 számolható

2( p1 − p2 )   d 4  ρ 1 −  2     d1  

Tehát a Ventúri cső nyomáskülönbség mérése alapján működő térfogatáram mérőeszköz, ugyanilyen típusú mérőeszköz a mérőperem is Mérnöki alapok. 7. előadás

Mérnöki alapok 7. előadás

Recommend Documents