MENGEMBANGKAN INSTRUMEN UNTUK MENGUKUR HIGH ORDER MATHEMATICAL THINKING SKILLS
Oleh: Utari Sumarmo Pascasarjana STKIP Siliwangi Bandung Makalah disajikan dalam Workshop Pendidikan Matematika di Universitas Islam Negeri Jakarta tanggal 22 Oktober 2014
ABSTRAK Pada dasarnya Kurikulum Matematika 2013 menganut kurikulum berbasis kompetensi dan memuat pendidikan budaya dan karakter yang berasal dari pandangan hidup atau ideologi bangsa Indonesia, agama, budaya, dan nilai-nilai yang terumuskan dalam tujuan pendidikan nasional. Kurikulum 2013 memuat Kompetensi Inti (KI) dan Kompetensi Dasar (KD) sikap spiritual dan sosial yang merupakan perilaku afektif (affective behavior) matematik dan relevan dengan pendidikan nilai dan karakter; serta memuat KI dan KD pengetahuan dan keterampilan matematika yang merupakan kemampuan berpikir matematik (mathematical thinking skills). Terdapat beragam jenis dan level kemampuan berpikir matematik. Ditinjau dari jenis proses berpikirnya, kemampuan berpikir matematik meliputi: pemahaman, komunikasi, dan representasi, koneksi, pemecahan masalah, penalaran matematik dan semuanya dapat diklasifikasikan pada tingkat rendah (low order mathematical thinking, LOMT), dan pada tingkat tinggi (high order mathematical thinking skills, HOMT) yang dapat dikembangkan dalam pembelajaran matematika. Pada dasarnya level kemampuan berpikir matematik tidak hanya dilukiskan oleh kata kerja operasional dan jenis kemampuan berpikir matematik namun juga bergantung pada level proses matematik dan materi matematika yang terlibat. Selain itu terdapat pula beberapa jenis berpikir matematik yang tergolong pada HOMT antara lain berpikir kritis, kreatif, dan reflektif matematik. Dalam Kurikulum 2013, pengembangan kemampuan berpikir matematik dapat dilaksanakan melalui beragam pendekatan pembelajaran yang memiliki karakteristik pembelajaran aktif, kreatif, efisien, menyenangkan (PAKEM). Dalam makalah ini disajikan contoh-contoh butir tes untuk mengukur kemampuan berpikir matematik tingkat rendah dan tinggi. Kata kunci: kompetensi inti (KI) sikap spiritual dan sosial, kompetensi dasar (KD) pengetahuan dan keterampilan, kemampuan berpikir matematik tingkat tinggi (HOMT), perilaku afektif matematik (mathematical affective behavior)
A. Pendahuluan Pendidikan adalah suatu proses enkulturasi, berfungsi mewariskan dan mengembangkan nilai-nilai budaya dan prestasi masa lalu menjadi nilai-nilai budaya dan karakter bangsa yang sesuai dengan kehidupan masa kini dan masa datang. Undang-Undang Nomor 20 Tahun 2003 tentang Sistem Pendidikan Nasional, Pasal 1 angka 1 menyatakan bahwa pendidikan adalah usaha sadar dan terencana untuk mewujudkan suasana belajar dan proses pembelajaran agar peserta didik secara aktif mengembangkan potensi dirinya untuk memiliki kekuatan spiritual keagamaan, pengendalian diri, kepribadian, kecerdasan, akhlak mulia, serta keterampilan yang diperlukan dirinya, masyarakat, bangsa dan negara. Merujuk UU No 20 tahun 2003 tentang Sistem Pendidikan Nasional, Kurikulum 2013 bertujuan untuk mempersiapkan manusia Indonesia agar memiliki kemampuan hidup sebagai pribadi dan warga negara yang beriman, produktif, kreatif, inovatif, dan afektif serta mampu berkontribusi pada kehidupan bermasyarakat, berbangsa, bernegara, dan peradaban dunia. Untuk mencapai tujuan Kurikulum tahun 2013, peserta didik perlu memiliki Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar sesuai dengan bidang studi dan jenjang pendidikan yang bersangkutan.
1
Kompetensi inti meliputi: Kompetensi Inti sikap spiritual; Kompetensi Inti sikap sosial; Kompetensi Inti pengetahuan; dan Kompetensi Inti keterampilan. Kompetensi dasar merupakan penjabaran dari Kompetensi Inti yang terdiri atas: Kompetensi Dasar sikap spiritual; Kompetensi Dasar sikap sosial; Kompetensi Dasar pengetahuan; dan Kompetensi Dasar keterampilan. Kompetensi inti (KI) dan kompetensi dasar (KD) sikap spiritual matematika meliputi: Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya. Kompetensi inti sikap sosial matematika meliputi: Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (toleransi, gotong royong), santun, percaya diri, dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam dalam jangkauan pergaulan dan keberadaannya. Sebagai rincian KI sosial, KD sikap sosial matematika meliputi: 1) Menunjukkan sikap logis, kritis, analitik, konsisten dan teliti, bertanggung jawab, responsif, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah. 2) Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri, dan ketertarikan pada matematika serta memiliki rasa percaya pada daya dan kegunaan matematika, yang terbentuk melalui pengalaman belajar. 3) Memiliki sikap terbuka, santun, objektif, menghargai pendapat dan karya teman dalam interaksi kelompok maupun aktivitas sehari-hari. Kompetensi inti (KI) pengetahuan matematika meliputi: Memahami dan menerapkan pengetahuan (faktual, konseptual, dan prosedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata. Kompetensi inti (KI) keterampilan matematika meliputi: Mengolah, menyaji, dan menalar dalam ranah konkret (menggunakan, mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat) dan ranah abstrak (menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori. Kompetensi dasar (KD) pengetahuan dan keterampilan matematika merupakan rincian dari KI inti pengetahuan dan keterampilan yang berkaitan dengan konten matematika pada tingkat kelas dan jenjang sekolah. Ditinjau dari ruang lingkup ranahnya, KI dan KD sikap sosial matematika di atas tergolong pada ranah afektif dalam matematika atau mathematical affective domain dan dinamakan pula sebagai mathematical soft skill. Demikian juga, KI dan KD pengetahuan dan keterampilan matematika tergolong pada ranah kognitif atau mathematical cognitive domain dan dinamakan pula sebagai mathematical hard skill atau kemampuan berpikir matematik (mathematical thinking ability). Sesuai dengan pedoman pembelajaran matematika dalam Kurikulum 2013, pembinaan mathematical hard skill dan soft skill dilaksanakan secara bersamaan dan berimbang melalui pembelajaran yang aktif, kreatif, efisien, dan menyenangkan (PAKEM). B. Mathematical Thinking Skills dan Alat Ukurnya Ditinjau dari segi tuntutan kognitif yang termuat, kemampuan berpikir matematik (mathematical thinking ability atau mathematical thinking skill) diklasifikasikan dalam dua level yaitu tingkat rendah (low order mathematical thinking, LOMT) dan tingkat tinggi (high order mathematical thinking, HOMT). Pengertian istilah berpikir matematik tingkat tinggi (higher order mathematical thinking, HOMT) kadang-kadang tertukar dengan istilah advanced mathematical thinking (AMT). Ditinjau dari segi proses yang berlangsung, dalam beberapa kondisi proses HOMT juga dijumpai pada proses AMT misalnya keduanya memuat proses kognitif yang tidak sederhana, namun sebaliknya terdapat proses AMT yang tidak berlangsung dalam proses HOMT. Sebagai ilutrasi, AMT dilawankan dengan berpikir matematik elementer (elementary mathematical thinking, EMT) sedangkan HOMT dilawankan dengan berpikir matematik tingkat rendah (low order mathematical thinking, LOMT). Proses perpindahan dari LOMT ke HOMT, adalah proses sederhana yang algoritmik atau prosedural ke proses
2
menyadari tindakan yang dilaksanakan atau dari pencapaian pengetahuan hafalan ke pengetahuan yang bermakna (meaningful). Misalnya melakukan operasi hitung sederhana, menerapkan rumus atau prinsip secara langsung, bekerja secara algoritmik atau prosedural adalah tergolong pada berpikir matematik tingkat rendah (low order mathematical thinking, LOMT). Sebaliknya, pemahaman bermakna, menyusun konjektur, menarik analogi dan generaliasi, penalaran logis, pemecahan masalah, dan non prosedural komunikasi dan koneksi adalah tergolong pada berpikir matematik tingkat tinggi (higher order mathematical thinking, HOMT) (Webb and Coxford, 1993). Beberapa penulis menggunakan beragam istilah untuk istilah HOMT. Misalnya, Champagne (1990) menamkannya dengan high order cognitive skills, sedangkan Draper (1992) memandang HOMT sebagai berpikir yang terstruktur, dinamik, generik, ilmiah, closed-loop, dan kontinum. Istilah lain dari HOMT adalah proses metakognitif, (Davidson, Deuser, dan Stemberg, 1994), dan berpikir kritis, kreatif, dan konstruktif (Thomas and Albee, 1998, Williams, 2002). Berbeda proses perpindahan dari LOMT ke HOMT, perpindahan dari elementer ke AMT memuat transisi dari melukiskan ke mendefinisikan, dan dari meyakinkan ke membuktikan secara logik. Beberapa proses yang tergolong dalam AMT di antaranya adalah: proses representasi, proses abstraksi, hubungan representasi dan abstraksi, kreativitas matematis (mathematical creativity), dan bukti matematis (mathematical proof). Bloom menggolongkan tujuan dalam ranah kognitif dalam enam tahap sebagai berikut. a) Ingatan/hafalan (C1): menghafal fakta; mengingat kembali konsep, rumus, prinsip matematika sederhana. Tahap kognitif ini dapat menggunakan kata kerja operasional: mendefinisikan, mengidentifikasikan, mendaftarkan, menjodohkan, menyatakan, mereproduksi. b) Pemahaman (C2): melaksanakan perhitungan sederhana, memahami hubungan konsep sederhana. Tahap kognitif ini dapat menggunakan kata kerja operasional: c) Aplikasi (C3): menerapkan rumus/prinsip/atura/konsep secara langsung d) Analisis (C4): menguraikan hubungan/situasi yang kompleks atas komponen/konsepkonsep dasar. e) Sintesis (C5): menggabungkan/menyusun kembali komponen/bagian menjadi struktur baru f) Evaluasi (C6): menerapkan konsep/rumus/prinsip matematika untuk menilai suatu situasi matematik. Dalam matematika, tiga tahap pertama yaitu C1, C2 , C3 tergolong pada berpikir tingkat rendah (LOMT) dan C4, C5 , C6 tergolong pada berpikir tingkat tinggi (HOMT). Pada umumnya dalam menyusun butir soal untuk tiap jenjang kognitif di atas dicirikan oleh kata kerja operasional yang menggambarkan kedalaman tuntutan tugas dalam soal yang bersangkutan. Namun dalam menyusun butir soal matematika suatu kata kerja operasional tidak selalu menentukan jenjang kognitif soal yang bersangkutan. Hal ini karena kedalaman tugas matematik tidak hanya pada kata kerja operasionalnya saja tetapi juga bergantung pada proses matematik yang berlangsung dan materi matematika yang terlibat. Selanjutnya, berdasarkan jenisnya, berpikir matematik secara garis besar dapat diklasifikasikan dalam lima jenis kompetensi dasar matematik yaitu: pemahaman, komunikasi, koneksi, pemecahan masalah, dan penalaran matematik. Pemecahan masalah matematik tergolong pada berpikir matematik tingkat tinggi, sedang keempat jenis berpikir matematik lainnya dapat tergolong tingkat rendah atau tingkat tinggi. Selain pemecahan masalah matematik, berpikir matematik tingkat tinggi lainnya adalah berpikir kritis, berpikir kreatif, berpikir reflektif matematik yang tergolong di atas jenjang C6 dari taksonomi Bloom. Berikut ini disajikan rincian indikator jenis berpikir matematik dan contoh butir tesnya yang relevan.
3
1.
Pemahaman matematik (mathematical understanding) Istilah pemahaman matematik sebagai terjemahan dari istilah mathematical understanding memiliki tingkat kedalaman tuntutan kognitif yang berbeda. Misalnya, seorang pakar matematika memahami suatu teorema matematika, maka ia mengetahui secra mendalam tentang teorema yang bersangkutan. Selain ia menguasai aspek-aspek deduktif dan pembuktian teorema itu, ia juga paham akan contoh aplikasi dan atau akibat teorema itu, serta memahami hubungannya dengan teorema lainnya. Secara umum indikator pemahaman matematika meliputi; mengenal, memahami dan menerapkan konsep, prosedur, prinsip dan idea matematika. Ditinjau berdasarkan level berpikirnya, pemahaman matematik dapat tergolong rendah atau tinggi. a) Pemahaman mekanikal, komputasional, instrumental, dan induktif (Sumarmo, 1987) dengan indikator mengingat dan menerapkan rumus secara rutin atau dalam kasus sederhana, dan menghitung secara sederhana tergolong pada kemampuan atau berpikir matematik tingkat rendah. b) Pemahaman rasional, fungsional, relasional, dan intuitif: (Sumarmo, 1987), setara dengan pemahaman relasional (Skemp, dalam Sumarmo, 1987) dengan indikator: mengkaitkan satu konsep/prinsip dengan konsep/prinsip lainnya, menyadari proses yang dikerjakannya, dan membuat perkiraan benar tanpa ragu-ragu tergolong pada kemampuan atau berpikir matematik tingkat tinggi. Berikut ini disajikan contoh butir tes pemahaman matematik dan perkiraan level kognitif yang relevan untuk siswa pada jenjang sekolah tertentu. Contoh Butir Soal Pemahaman Matematik: rasional, relasional, tingkat tinggi C4 untuk SMP, dan pemahaman mekanikal, komputasional, instrumental, tingkat rendah atau jenjang C3 untuk siswa SMA. 1)
Urutkan bilangan di bawah ini dari yang terkecil ke yang lebih besar. 0,105 ; 0,13 ; 10,2%; 8% ; 0,90%
2)
Satu set meja makan memuat empat kursi. Serombongan tamu berjumlah 60 orang. Berapa set meja makan harus disediakan agar tiap tamu duduk di kursi masing-masing? Jelaskan
3)
Sebuah kotak berukuran 15,6 cm X 12,5 cm x 20 cm. Ada sejumlah kubus kecil dengan panjang rusuknya 1 cm. Berapa banyak kubus kecil yang dapat dimuat? Jelaskan. Andaikan kotak diisi penuh dengan pasir, volume pasir sama dengan jumlah volume kubus kecil. Benarkah pernyataan tersebut. Jelaskan.
4)
Pagar depan sebuah rumah akan dipasang tiang tembok yang berjarak 2 meter. Diketahui panjang pagar 20 meter dan tiang tembok di pasang di awal pagar. Ada berapa tiang yang akan dipasang? Bagaimana cara menghitungnya?
5)
Lantai sebuah kamar berukuran 3,5 m x 5,5 m akan dipasang ubin berukuran 30 cm x 20 cm. Satu dus berisi 40 ubin. Berapa dus paling sedikit harus disediakan? Bagaimana cara mengihitungnya?
4
Contoh Butir Soal Pemahaman Matematik, rasional, relasional, tingkat tinggi C4 untuk siswa SMA (Permana, 2010) 6)
Pak Aman memiliki kebun seperti pada gambar di bawah ini. Ukuran sudut BDA adalah θ, BD = CD dan panjang sisi AB adalah a unit. Nyatakan panjang BC dalam a and θ. B
A
C D a. Tulis semua konsep matematika yang digunakan untuk menyelesaikan soal tersebut. b. Nyatakan arti konsep tersebut dengan kata-katamu sendiri. c. Tulis model matematika masalah tersebut dan selesaikanlah.
Contoh Butir Soal Pemahaman Statistik, rasional, relasional, tingkat tinggi C4 untuk mahasiswa (Dasari, 2009) 7) Bacalah dengan cermat pesan yang tertera pada sebuah kemasan obat berikut ini. Perhatian: Penggunaan krem ini pada permukaan kulit, sebesar 15 % mungkin kulit akan terbakar. Bila terjadi seperti itu, hubungi dokter secepatnya. Pilih satu pernyataan yang merupakan interpretasi terbaik dari pesan di atas, dan jelaskan. a) Jangan gunakan obat ini pada permukaan kulit, karena akan membakar kulit anda. b) Untuk menggunakan obat ini, gunakan 15 % dari dosis yang dianjurkan dokter c) Bila kulit anda terbakar, maka akan terjadi pada 15% dari permukaan kulit anda. d) Sekitar 15 dari 100 orang yang menggunakan obat ini kulitnya terbakar. e) Bila seseorang menggunakan krim ini, probabilitas kulitnya akan terbakar sangat tinggi. 2. Komunikasi matematik (mathematical communication) dan Representasi Matematik (mathematical representation) Komunikasi matematik merupakan kemampuan matematik esensial yang tercantum dalam kurikulum matematika sekolah menengah (NCTM, 1999, KTSP, 2006). Selain tercantum dalam kurikulum matematika sekolah, pengembangan kemampuan komunikasi matematik juga sesuai dengan hakekat matematika sebagai bahasa simbol yang efisien, padat makna, memiliki sifat keteraturan yang indah dan kemampuan analisis kuantitatif, bersifat universal dan dapat dipahami oleh setiap orang kapan dan di mana saja, dan membantu menghasilkan model matematika yang diperlukan dalam pemecahan masalah berbagai cabang ilmu pengetahuan dan masalah kehidupan sehari-hari. Setiap simbol matematik mempunyai arti yang jelas, dan disepakati secara bersama oleh semua orang. Sifat universal dari simbol matematik, misalnya terlukis dalam contoh simbol bilangan 9 , operasi +, , - berlaku di tiap jenjang sekolah di mana pun dan dapat dipahami oleh semua orang yang belajar matematika. Pentingnya pemilikan kemampuan komunikasi matematik antara lain dikemukakan Baroody (Yonandi, 2010) dengan rasional: a) Matematika adalah bahasa esensial yang tidak hanya sebagai alat berpikir, menemukan rumus, menyelesaikan masalah, atau menyimpulkan saja, namun matematika juga memilki nilai yang tak terbatas untuk menyatakan beragam idea secara jelas, teliti dan tepat; b) Matematika dan belajar matematika adalah jantungnya kegiatan sosial manusia, misalnya dalam interaksi antara guru dan siswa, antara siswa dan siswa, antara bahan pembelajaran matematika dan siswa. Peran penting lainnya dari pemilikian kemampuan komunikasi matematik dikemukakan Asikin (Yonandi, 2010) yaitu: membantu siswa menajamkan cara siswa berpikir, sebagai alat untuk menilai pemahaman siswa, membantu siswa mengorganisasi pengetahuan matematik mereka, membantu siswa membangun
5
pengetahuan matematikanya, meningkatkan kemampuan pemecahan masalah matematik, memajukan penalarannya, membangun kemampuan diri, meningkatkan keterampilan sosialnya, serta bermanfaat dalam mendirikan komunitas matematik. Berdasarkan analisis terhadap beberapa tulisan, Sumarmo (2006) mengidentifikasi indikator komunikasi matematik yang meliputi kemampuan: a) Menyatakan situasi atau masalah ke dalam bentuk model matematika (gambar, tabel, diagram, relasi/ ekspresi matematika) b) Menyatakan/menjelaskan model matematika (gambar, tabel, diagram, ekspresi/relasi matematika) ke dalam bahasa biasa c) Mendengarkan, berdiskusi, menulis matematika d) Membaca presentasi matematika e) Menjelaskan/bertanya tentang matematika Butir a, dan b, untuk indikator penyusunan butir tes (soal) tertulis, dan butir a, b, c, d, dan e, untuk indikator penyusunan soal latihan selama pembelajaran. Butir a, dan butir b adalah bagian dari indikator komunikasi matematik yang juga merupakan representasi matematik. Semula, representasi matematik dinyatakan sebagai bagian dari komunikasi matematik. Namun karena representasi matematik sangat luas dan penting, selanjutnya representasi matematik merupakan komptensi matematik atau berpikir matematik tersendiri. Steffe dan Weigel, Schultz dan Waters, Joijner dan Reijs dalam Mudzakir (2011) mengemukakan bahwa representasi adalah gambaran mental dalam diri seseorang yang divisualisasikan dalam bentuk verbal, gambar, atau benda konkrit (model matematika). Hampir serupa dengan pendapat di atas, Downs dan Downs, dan Goldin (Mudzakir, 2011) menyatakan bahwa representasi adalah suatu konfigurasi atau konstruksi matematis yang menggambarkan, mewakili, atau melambangkan aspek konstruksi matematis lainnya ke dalam bentuk matematis tertentu. Dalam proses representasi matematis berlangsung dua tahap yaitu secara internal dalam fikiran individu dan secara eksternal dalam bentuk perwujudan hasil representasi internal. Suatu representasi eksternal yang ditampilkan dalam beragam cara dinamakan representasi multipel (RM) yang meliputi representasi dalam bentuk kata-kata (words) yang dapat diungkapkan secara lisan (talk) atau tulisan (written); dalam bentuk simbol, ekspresi, atau notasi matematis (mathematical expressions); dalam bentuk visual seperti gambar (pictures), grafik (graphs), diagram (diagrams), atau tabel (tables); dan dalam wujud konkrit seperti alat peraga (hands on). Dalam pembelajaran, penumbuhan multipel representasi dapat dirangsang melalui penyajian situasi kontekstual yang telah diakrabi oleh siswa sebagai starting point kemudian dilanjutkan dengan mengkaitkannya ke pengetahuan yang diperoleh dalam materi baru. Representasi matematik tersebut dihadirkan secara beragam dalam bentuk dan levelnya, misalnya representasi standar, non-standar, atau bahkan representasi yang anehaneh (idiocyncratic) dengan level konkrit, semi konkrit, semi abstrak, atau abstrak. Pada dasarnya, RM dapat digunakan dalam seluruh aspek materi matematika. Namun, aljabar memberi peluang besar dalam meningkatkan kemampuan RM matematik dan penggunaannya dalam penyelesaian soal. Misalnya: 1) menuangkan atau menyatakan ide atau konsep matematik dari situasi masalah ke dalam bentuk persamaan, tabel, diagram, grafik, atau representasi lainnya, serta menggunakannya dalam penyelesaian soal, yang melibatkan variabel. Pembahasan tentang variabel dipelajari dalam aljabar; 2) Dalam aljabar, situasi kontekstual yang memicu munculnya RM matematik bervariasi. Misalnya, situasi kontekstual yang mengkoneksikan matematika dengan suasana keseharian (real world), antar materi matematika, atau bahkan antar disiplin ilmu. Berikut ini disajikan contoh butir tes pemahaman matematik dan perkiraan level kognitif yang relevan untuk siswa pada jenjang sekolah tertentu.
6
Contoh Butir soal Komunikasi Matematik Tingkat Rendah atau Jenjang C3 untuk Siswa kelas 1 SD. Butir ini juga contoh soal Representasi Matematik bentuk gambar (picture) Tingkat Rendah atau Jenjang C3 untuk Siswa kelas 1 SD.
1)
Isi kotak kosong dengan gambar yang sesuai lalu hubungkan dengan bilangan yang sesuai +
a)
b)
=
9
=
7
=
11
-
c)
d)
-
+
=
5
Contoh Butir soal Komunikasi atau Representasi Matematik dalam bentuk gambar Tingkat Tinggi atau C5 untuk Siswa SD dan C4 untuk siswa SMP. 2) Pak Ali mempunyai kebun berbentuk persegi panjang dengan ukuran lebar 8 m dan panjangnya 10 m. Seperempat bagian kebun ditanami kol, seperenam bagian kebun ditanami cabe dan sisanya ditanami jagung. a) Gambarlah sketsa kebun pak Ali seluruhnya dan bagian kebun yang ditanami kol, cabe, dan jagung. b) Hitung luas kebun seluruhnya dan luas kebun kol, kebun cabe, dan kebun jagung. (Butir soal ini bersifat terbuka, banyak cara menggambar bagian-bagian kebun dan dapat tergolong kemampuan berpikir kreatif matematik tingkat tinggi C4 untuk siswa SMP)
Contoh Butir soal Komunikasi Matematik atau Representasi Matematik dalam bentuk gambar dan ekspresi Tingkat Tinggi atau C5 untuk Siswa SD dan C4 untuk siswa SMP (Abdurahman, 2014) 3. ABCD adalah trapesium dengan sisi-sisi sejajar AB = 14 cm, CD = 8 cm, dan sisi-sisi tidak sejajar AD = 8 cm, BG = 12 cm. Sebuah garis EF dibuat sejajar AB sehingga keliling dua trapesium yang terbentuk sama. a) Ilustrasikan situasi di atas dalam bentuk gambar yang mudah dipahami. b) Susun kalimat matematika untuk menghitung panjang garis AE dan selesaikan.
Contoh Butir soal Komunikasi Matematik atau Representasi Matematik dalam bentuk gambar dan ekspresi Tingkat Tinggi atau Jenjang C4 untuk Siswa SMA (Isnaeni, 2014)
7
4. Diketahui bidang α dan β yang saling tegak lurus dan berpotongan sepanjang garis m. Garis n terletak pada bidang β dan sejajar garis m. Titik P dan Q terletak pada m. a) Gambarlah jarak antara garis n dan garis PQ. b) Misalkan bidang γ tegak lurus garis n. Jelaskan kedudukan antara bidang γ dan α, antara bidang γ dan β, serta kedudukan antara garis perpotongan bidang γ dan β dengan garis n. Contoh Butir Tes Komunikasi Matematik atau Representasi Matematik dalam bentuk bagan (diagram) dan ekspresi (model matematika) Tingkat Tinggi untuk Siswa SMA (Yonandi, 2010) 5. Sebuah kompleks perumahan mempunyai beberapa blok. Di sebuah blok yaitu blok melati terdapat beberapa rumah bernomor terdiri dari tiga angka yang berbeda dan nilainya lebih besar dari 640 tetapi lebih kecil dari 860 serta hanya mengandung angka 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. a) Ilustrasikan permasalahan tersebut ke dalam bentuk bagan ! b) Dari gambar tersebut, buatlah model matematika kemudian selesaikanlah model untuk menentukan banyak rumah yang ada di blok melati, dan selesaikan ! Contoh butir tes komunikasi matematik atau representasi multipel matematik dalam bentuk grafik, dan ekspresi (model matematika) tingkat tinggi C6 untuk siswa SMA (Mudzakir, 2010)
6. Dua hari menjelang hari raya, Ibu membekukan beberapa kilogram daging yang dibungkus plastik masing-masing beratnya 1 kg di lemari pendingin. Besoknya, seluruh daging itu dilumerkan untuk dimasak. Tabel berikut menyatakan berat daging (X dalam kg, X real positif) dan waktu yang diperlukan untuk melumerkan dan memasak daging (Y dalam menit, Y real positif). X (kg) 1 2 3 4
Berdasarkan situasi masalah dan tabel yang disajikan, buatlah model-model matematika lainnya dalam tiga bentuk berbeda (representasi multipel/RM).
Y (menit) 55 85 115 145 …
…
Contoh jawaban yang dapat dibuat: a) Representasi grafik Dengan memasangkan nilai variabel X dan variabel Y dari tabel dalam bidang Cartesius, siswa memperoleh grafik garis lurus seperti berikut:
Y 145 5 115 85 55 O
1
2
3
4
X
b) Representasi ekspresi matematik
8
Dengan mengamati pola bilangan dalam tabel, siswa dapat menduga atau membuat konjektur sehingga diperoleh aturan keumumannya (generalisasi). Kemudian, siswa menuliskan generalisasi tersebut dalam ekspresi matematik berupa persamaan linear dua peubah yang menghubungkan variabel X dan variabel Y . Misalnya: 55 = 30.1 + 25 atau 55 = 35.1 + 20 = 35.1 + 5 (5 – 1) 85 = 30.2 + 25 85 = 35.2 + 15 = 35.2 + 5 (5 – 2) 115 = 30.3 + 25 115 = 35.3 + 10 = 35.2 + 5 (5 – 3) 145 = 30.4 + 25 145 = 35.4 + 5 = 35.4 + 5 (5 – 4) 175 = 30.5 + 25 175 = 35.5 + 0 = 35.5 + 5 (5 – 5) dan seterusnya Bila dibuat generalisasinya, akan diperoleh … Y = 30 X + 25 atau Y = 35 X + 5 (5 – X) Persamaan Y = 30 X + 25 merupakan representasi standar dengan cara mengamati selisih antara bilangan-bilangan dalam variabel Y yang konstan dan menghubungkannya dengan bilangan dalam variabel X. Sedangkan persamaan Y = 35 X + 5 (5 – X) diperoleh dengan acuan mengamati hubungan antara bilangan dalam variabel Y = 175 dan variabel X = 5 dilanjutkan dengan pengamatan terhadap hubungan antara bilangan-bilangan Y dan X lainnya. c) Representasi kata-kata (teks tertulis) Interpretasi hubungan antara variabel X dan variabel Y dari data atau persamaan dalam kata-kata adalah waktu yang dibutuhkan untuk melumerkan daging selama 25 menit sedangkan waktu yang dibutuhkan untuk memasak tergantung pada banyaknya daging. Misalnya, untuk memasak 1 kg daging dibutuhkan waktu 30 menit, untuk 2,5 kg dibutuhkan waktu 75 menit, dan seterusnya. 3. Koneksi matematik (mathematical connection) Kegiatan yang terlibat dalam tugas koneksi matematik menujukkan bahwa pada dasarnya matematika memuat sejumlah konsep yang saling berelasi, sehingga seorang individu mampu mengkonstruksi dan mengkreasi pemahaman konsep yang bermakna. Demikian pula tugas koneksi matematik terlibat dalam tugas analogi dan generalisasi matematik yang melibatkan keserupaan hubungan antar konsep dan atau proses matematik. Indikator koneksi matematik meliputi a) Mencari hubungan berbagai representasi konsep dan prosedur matematika b) Mencari hubungan satu prosedur ke prosedur lain dalam representasi yg ekuivalen c) Memahami representasi ekuivalen konsep yang sama d) Menerapkan hubungan antar topik matematika dan dengan topik BS lain e) Menggunakan matematika dalam BS lain/ kehidupan sehari-hari Kemampuan koneksi matematik dapat tergolong pada tingkat rendah atau tingkat tinggi bergantung pada kekompleksan dan tingkat kedalaman tuntutan kognitif dalam hubungan yang disajikan. Contoh Butir Soal Koneksi Matematik Hubungan berbagai representasi konsep dan prosedur matematika 1) Jelaskan konsep yang termuat dalam hubungan antara f’(2) dengan grafik y = f(x) 2)
Jelaskan konsep matematika yang termuat dalam hubungan fungsi f dan f ‘ dan yang termuat dalam hubungan persamaan gerak S(t) dan kecepatan sesaat v(t).
9
3)
Jelaskan prosedur yang termuat dalam pernyataan , segitiga ABC berlaku sin A = sin (B + C)
Contoh Butir Soal Koneksi Matematik Representasi ekuivalen suatu konsep 4)
Nyatakan notasi {1, 3, 5, 7} dalam bentuk lainnya, dan tuliskan nama cara penulisan notasi tersebut.
5) Nyatakan notasi {(1, 2), (3,4), (5.6), ...} dalam beberapa bentuk lainnya (multipel representasi). Periksa apakah notasi tersebut merupakan fungsi. 6) Nyatakan ekspresi f(x) = 2x – 1 dalam selang (-2, 4) dalam bentuk lainnya. 7) Diberikan y = f(x). Notasi lain dari f’(x) adalah (pilih yang benar dan sertakan penjelasan) a)
lim h 0
f(x h) - f(x) h
b) ⌡f(x) dx
8) Urutkan bilangan-bilangan ini dari yang kecil ke yang lebih besar. Beri penjelasan cara menyelesaikan soal ini. 1 0,120 ; ¼ ; /8 ; 0,245 ; 20% ; 0,090; 350/00 ; Contoh butir soal koneksi matematik tingkat tinggi atau jenjang C5 untuk siswa SMP (Umar, 2014) 9) Gambar di bawah ini adalah pengubinan dengan menggunakan keramik berbentuk segitiga sama sisi dengan sisinya 1 satuan. a) Berapa banyak keramik yang diperlukan untuk membentuk segitiga dengan panjang sisi 5 satuan? b) Tuliskan hubungan antara panjang sisi segitiga dengan banyaknya keramik yang dibutuhkan pada butir pertanyaan c) Tuliskan konsep matematika yang digunakan dan jelaskan cara memperolehnya Contoh butir soal koneksi matematik tingkat tinggi atau jenjang C5 untuk siswa SMP (Rahmat, 2014) 10) Diketahui suatu persegi dengan panjang sisinya a cm Kemudian persegi serupa diletakkan berimpit di kanan persegi semula. Proses tersebut dilanjutkan dengan persegi ketiga dan seterusnya sampai persegi ke-n. a) Gambarlah situasi tersebut b) Susun model matematika untuk menyatakan keliling dan luas bangun yang terbentuk dari gabungan: 2 persegi, 3 persegi, 4 persegi dan n persegi! c) Tuliskan konsep yang termuat dalam persoalan di atas! Contoh butir soal koneksi matematik tingkat rendah atau jenjang C3 untuk siswa SMA 11) Pilih jawaban yang paling sesuai disertai penjelasan atau alasan. Gradien garis singgung terhadap kurva fungsi f di titik x1 pada f adalah: a) Absis titik ekstrim f b) Ordinat titik ekstrim f c) f‘(x1)
10
4. Pemecahan masalah matematik (mathematical problem solving) Proses pemecahan masalah matematik berbeda dengan proses menyelesaikan soal matematika. Perbedaan tersebut terkandung dalam istilah masalah dan soal. Menyelesaikan soal atau tugas matematik belum tentu sama dengan memecahkan masalah matematik. Apabila suatu tugas matematik dapat segera ditemukan cara menyelesaikannya, maka tugas tersebut tergolong pada tugas rutin dan bukan merupakan suatu masalah. Suatu tugas matematik digolongkan sebagai masalah matematik apabila tidak dapat segera diperoleh cara menyelesaikannya namun harus melalui beberapa kegiatan lainnya yang relevan. Suatu masalah untuk siswa pada jenjang sekolah tertentu belum tentu merupakan masalah untuk siswa jenjang sekolah yang lebih tinggi. Ditinjau dari banyaknya solusi dan atau cara penyelesaiannya masalah matematik dapat bersifat tertutup (closed) atau terbuka (open-ended). Masalah tertutup adalah masalah yang memiliki solusi dan cara penyelesaian tertentu sedang masalah terbuka adala masalah yang mempunyai lebih dari satu atau beragam solusi dan atau cara penyelesaian. Misalnya tugas matematik 2x2 – 3x + 7 = 5x2- 7x + 6 di atas, adalah contoh masalah tertutup karena solusi dan cara penyelesaiannya tertentu. Contoh lain misalnya: Susunlah persamaan yang mempunyai akar-akar 3 dan 5. Solusi tugas tersebut beragam, misalnya x2 – 8x + 15 = 0, atau 3p2 – 2p + 2 = 4 p2 - 10p + 17 atau masih banyak lagi persamaan yang memenuhi. Ditinjau dari susunan unsur-unsurnya, masalah matematik dinamakan masalah terstruktur (well- structured) atau masalah tidak terstruktur (ill-structured). Masalah terstruktur adalah masalah yang memiliki unsur-unsur yang lengkap sehingga masalah dapat diselesaikan, sedang masalah yang tidak terstruktur adalah masalah yang memiliki unsur yang belum lengkap dan untuk menyelesaikannya harus dicari lebih dulu unsur-unsur tertentu yang relevan. Proses pemecahan masalah matematik merupakan salah satu kemampuan dasar matematik yang harus dikuasai siswa sekolah menengah. Pentingnya pemilikan kemampuan tersebut tercermin dari pernyataan Branca (Sumarmo, 2005) bahwa pemecahan masalah matematik merupakan salah satu tujuan penting dalam pembelajaran matematika bahkan proses pemecahan masalah matematik merupakan jantungnya matematika Pemecahan masalah matematik mempunyai dua makna yaitu: a. Pemecahan masalah sebagai suatu pendekatan pembelajaran, yang digunakan untuk menemukan kembali (reinvention) dalam memahami materi, konsep, prinsip matematika dan menyelesaikan masalah. Pembelajaran diawali dengan penyajian masalah kontekstual kemudian melalui induksi siswa menemukan konsep/prinsip matematika b. Pemecahan masalah sebagai kemampuan atau berpikir matematik yang memiliki indikator: i. Mengidentifikasi kecukupan data untuk memecahkan masalah ii. Membuat model matematik dari suatu masalah dan menyelesaikannya. iii. Memilih dan menerapkan strategi untuk menyelesaikan masalah matematika dan atau di luar matematika iv. Menjelaskan atau menginterpretasikan hasil sesuai permasalahan asal, serta memeriksa kebenaran hasil atau jawaban Karakteritik masalah dalam pemecahan masalah bersifat tidak rutin, oleh karena itu kemampuan pemecahan masalah matematik tergolong pada kemampuan atau berpikir matematik tingkat tinggi. Contoh butir tes pemecahan masalah matematik tingkat tinggi atau C5 untuk siswa SD kelas 6 1)
Lantai di ruang kelas 6 berbentuk persegi panjang berukuran 9,5 m x 8 m akan dipasang keramik berukuran 30 cm x 30 cm. Satu dus keramik berisi 20 keping dan harganya Rp.40.000,00. Hitunglah biaya yang diperlukan untuk membeli keramik untuk menutupi lantai tersebut? Jelaskan cara menghitungnya.
11
Contoh butir tes pemecahan masalah matematik tingkat tinggi atau C6 untuk siswa SMP (Rahmat, 2014) 2)
Diketahui bentuk atap sebuah rumah terdiri atas sepasang trapesium sama kaki dan sepasang segitiga sama kaki. Panjang sisi sejajar atap yang berbentuk trapesium adalah 5 m dan 3 m dan panjang alas atap yang berbentuk segitiga adalah 7 m. Kedua jenis bangun atap mempunyai tinggi yang sama yaitu 4 m. a. Buatlah sketsa atap rumah di atas. b. Atap akan ditutup dengan genting berbentuk persegi panjang berukuran 30 cm x 45 cm Tentukan banyak genteng minimum yang harus disediakan untuk menutup seluruh atap. c. Andaikan harga 1 buah genteng Rp1.500,00, hitunglah biaya untuk membeli genteng yang diperlukan.
Contoh butir tes pemecahan masalah matematik tingkat tinggi atau c5 untuk siswa SMA (Isnaeni, 2014)
3)
Sebuah bejana berbentuk seperti pada gambar. Permukaan bejana berbentuk persegi panjang (dengan ukuran dalam cm). Hitunglah nilai kosinus sudut antara tepi bejana yang miring terhadap alas bejana disertai dengan penjelasan !
Contoh butir tes pemecahan masalah matematiktingkat tinggi atau C5 untuk siswa SMA (Yonandi, 2010) 4)
Suatu SMA akan membentuk Tim untuk mengikuti suatu kontes kepemimpinan antar SMA di suatu kota. Terdaftar ada 4 siswa kelas-10, 5 siswa kelas-11, dan 6 siswa kelas-12 untuk berkompetisi. Tim terdiri dari seorang ketua, seorang wakil ketua, dan seorang sekretaris. Tingkat kelas ketua lebih tinggi dari tingkat kelas wakil ketua, dan tingkat kelas wakil ketua lebih tinggi dari tingkat kelas sekretaris. Berapa banyak tim yang dapat disusun? Jawablah pertanyaan tersebut dengan cara yang berbeda dan bandingkan hasilnya.
5. Penalaran matematik (mathematical reasoning) Secara garis besar penalaran dapat digolongkan dalam dua jenis yaitu penalaran induktif dan penalaran deduktif. Penalaran induktif diartikan sebagai penarikan kesimpulan yang bersifat umum atau khusus berdasarkan data yang teramati. Nilai kebenaran dalam penalaran induktif dapat bersifat benar atau salah. Beberapa kegiatan yang tergolong pada penalaran induktif di antaranya adalah: a) Transduktif: menarik kesimpulan dari satu kasus atau sifat khusus yang satu diterapkan pada yang kasus khusus lainnya. Suatu penalaran transduktif dapat bersifat benar atau salah. b) Analogi: penarikan kesimpulan berdasarkan keserupaan data atau proses c) Generalisasi: penarikan kesimpulan umum berdasarkan sejumlah data yang teramati d) Memperkirakan jawaban, solusi atau kecenderungan: interpolasi dan ekstrapolasi e) Memberi penjelasan terhadap model, fakta, sifat, hubungan, atau pola yang ada f) Menggunakan pola hubungan untuk menganalisis situasi, dan menyusun konjektur
12
Pada umumnya penalaran transduktif tergolong pada kemampuan berpikir matematik tingkat rendah sedang yang lainnya tergolong berpikir matematik tingkat tinggi. Penalaran deduktif adalah penarikan kesimpulan berdasarkan aturan yang disepakati. Nilai kebenaran dalam penalaran deduktif bersifat mutlak benar atau salah dan tidak keduanya bersama-sama. Penalaran deduktif dapat tergolong tingkat rendah atau tingkat tinggi. Beberapa kegiatan yang tergolong pada penalaran deduktif di antaranya adalah: a) Melaksanakan perhitungan berdasarkan aturan atau rumus tertentu. b) Menarik kesimpulan logis (penalaran logis) berdasarkan aturan inferensi (proposisional), memeriksa validitas argumen, dan menyusun argumen yang valid; menarik kesimpulan berdasarkan proporsi, berdasarkan kombinasi, dan berdasarkan peluang; menyusun analisis dan sintesis beberapa kasus. c) Menyusun pembukltian langsung, pembukltian tak langsung dan pembuktian dengan induksi matematika. Kemampuan pada butir a) dapat tergolong berpikir matematik tingkat rendah, atau tingkat tinggi bergantung kedalaman tingkat perhitungannya. Sedangkan kemampuan lainnya tergolong berpikir matematik tingkat tinggi. Contoh butir soal penalaran transduktif matematik a)
Segitiga ABC siku-siku di A, berlaku BC2 = AB2 + AC2 Segitiga PQR siku-siku di P. Jadi berlaku QR2 = PQ2 + PR2 (transduktif yang benar)
b)
15 bilangan ganjil dapat dibagi 3, 7 bilangan ganjil, jadi dapat dibagi 3 (transduktif yang salah)
c)
Fungsi f(x) = sin x adalah fungsi trigonometri dan f fungsi ganjil Fungsi g(x) = cos x adalah fungsi trigonometri, jadi g fungsi ganjil (transduktif yang salah)
d)
R
O S Q
P
Diketahui lingkaran pusat O, jari-jari OR. Sudut POQ adalah sudut pusat lingkaran dan sudut PRQ adalah sudut keliling lingkaran, dan keduanya menghadapi busur kecil PQ. Besar sudut PRQ sama dengan setengah besar sudut POQ Sudut POR adalah sudut pusat lingkaran dan sudut PSR adalah sudut keliling lingkaran , dan keduanya menghadapi busur kecil PR. Jadi besar sudut PSR sama dengan setengah besar sudut POR (transduktif yang benar)
Contoh butir soal penalaran analogi matematik tingkat rendah atau C3 untuk siswa SD 2) C O
B Serupa dengan
A
Titik O adalah pusat lingkaran Perbandingan luas juring AOB dengan luas lingkaran
Perbandingan luas .......... buah persegi panjang kecil dengan luas persegi panjang seluruhny Jelaskan keserupaannya.
13
Contoh butir soal penalaran analogi matematik tingkat rendah atau C3 untuk siswa SMA (Rosliawati, 2014) S 3) C
40 O
T
B
0
80
Serupa dengan
0
A
U
R
P
Q
Perbandingan luas juring BOC Perbandingan luas segitiga PQU dengan luas juring AOB dengan luas segitiga ................... . Berikan penjelasan tentang keserupaan dalam kasus di atas.
Contoh butir tes analogi matematik tingkat rendah atau C3 untuk siswa SMA 4) Perhatikan gambar kubus di bawah ini! Kedudukan garis BE dengan garis GH pada kubus ABCD.EFGH di bawah ini, serupa dengan H
G
E F
D C A
B
kedudukan antara garis yang mempunyai persamaan garis yang mempunyai persamaan a. 3x - 2y = -5 b. 3y = 2x + 10 c. 2x = 3y + 5 d. 2x + 3y = 10 Jelasan keserupaan konsep dalam soal di atas.
2x – 3y = 5 dengan
Contoh butir tes analogi permutasional matematik tingkat tinggi atau C6 untuk siswa SMA (Budiyanto, 2014) 5)
Perhatikan kasus di bawah ini dengan cermat, kemudian jawablah pertanyaan berikut. Manakah dari empat kasus berikut yang serupa dengan banyaknya cara menyusun bilangan ratusan berbeda yang terdiri dari angka 1, 2, 3, 4, dan 5. Tulislah konsep matematika yang termuat pada tiap kasus dan serta penjelasan anda. a) Menyusun pasangan dobel putra dari 5 orang pemain bulutangkis putra b) Memilih 3 orang dari 5 orang calon untuk menduduki jabatan ketua, sekretaris, dan pengelola keuangan suatu organisasi. c) Menyusun tim kontes matematika yang terdiri dari 3 orang yang dipilih dari 5 orang calon. d) Memilih juara pertama, juara 2, dan juara 3 dari 5 orang finalis suatu kontes kecantikan.
Contoh butir soal generalisasi matematik tingkat tinggi atau C6 untuk siswa SMA (Syaban, 2008) 6.. Perhatikan gambar di bawah ini
B1 B2 B3 B4 B5
60
0
C1 A1
A2
A3
A4
A5
14
Dari gambar di atas diketahui panjang A1B1 = 10 cm. Proses dilanjutkan sampai ke-n (An Bn). Tentukan jumlah panjang garis A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 + A4 B4 + A5 B5 + ... Konsep matematika apa yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan tersebut? Berikan penjelasan. Contoh butir soal memperkirakan intrapolasi dan ekstrapolasi tingkat tinggi atau C5 untuk siswa SMA 7). Perhatikan diagram produksi barang A di bawah ini. 90 80 70 40
Bulan ke
1
2
3
4
5
6
7
Berdasarkan diagram di atas, perkirakan produksi pada bulan ke-3 dan bulan ke 7. Sertakan penjelasan. Apakah kurva persamaan di atas mendekati fungsi linier, kuadrat atau pangkat tiga? Jelaskan Contoh butir soal penalaran matematik: menganalisis, mensintesa, menyusun perkiraan korelasi tingkat tinggi, atau C5 untuk siswa SMA 8) Sebanyak 45 orang siswa, mengikuti tes matematika dan tes fisika (skor maksimum tes masingmasing 100). Diperoleh data sebagai berikut: 7 siswa skor matematika-nya 85 dan skor fisika-nya 70, 25 siswa skor matematika-nya 70 dan skor fisika-nya 65, dan sisanya skor matematika-nya 55 dan skor fisika-nya 50. Dari data tersebut, benarkah pernyataan berikut? Jelaskan. a. Tes fisika lebih sukar dari tes matematika. Konsep apa yang terlibat dalam pernyataan ini? Tuliskan perhitungannya! (menganalisis dan mensintesa) b. Terdapat korelasi yang cukup tinggi antara skor matematika dan skor fisika. Sertakan alasan yang mendasari perkiraan di atas (menyusun perkiraan korelasi) Contoh butir soal penalaran matematik: menganalisis, mensintesa, menyusun perkiraan tingkat tinggi, atau C5 untuk siswa SMA 9) Sebanyak 45 orang siswa, mengikuti tes matematika dan tes fisika (skor maksimum tes masingmasing 100). Diperoleh data sebagai berikut: 7 siswa skor matematika-nya 85 dan skor fisika-nya 70, 25 siswa skor matematika-nya 70 dan skor fisika-nya 65, dan sisanya skor matematika-nya 55 dan skor fisika-nya 50. Dari data tersebut, benarkah pernyataan berikut? Jelaskan. a. Tes fisika lebih sukar dari tes matematika. Konsep apa yang terlibat dalam pernyataan ini? Tuliskan perhitungannya! (menganalisis dan mensintesa) b. Terdapat korelasi yang cukup tinggi antara skor matematika dan skor fisika. Sertakan alasan yang mendasari perkiraan di atas (menyusun perkiraan korelasi)
15
Contoh butir soal penalaran memperkirakan data, tingkat tinggi, atau C6 untuk siswa SMA 10) Dalam suatu penelitian diperoleh data seperti pada tabel di bawah ini. KM PM
Tg
Tg
9
Sd
Rd
Tot
15
0
24
Sd
5
43
10
56
Rd
0
0
0
0
Tot
14
56
10
80
Ket.: PM pemecahan masalah matematik KM komunikasi matematik
Berdasarkan data pada tabel di atas, perkirakanlah tes mana yang lebih sukar. Jelaskan.
Contoh soal melaksanakan perhitungan matematika berdasarkan aturan atau rumus yang berlaku, C5 untuk Siswa SD D
11)
O
A
C
Perhatikan gambar di bawah ini. Diketahui lingkaran berpusat di O berjari-jari 7 cm. Hitung keliling daerah ABOCD.
B
Contoh soal melaksanakan perhitungan matematika berdasarkan aturan atau rumus yang berlaku, C5 untuk Siswa SD D
12) A
O
C
Perhatikan gambar di bawah ini. Diketahui lingkaran berpusat di O berjari-jari 7 cm. Hitung luas daerah dalam lingkaran di luar daerah ABOCD. Gunakan π = 22/7
B
Contoh soal melaksanakan perhitungan matematika berdasarkan aturan atau rumus yang berlaku, C5 untuk Siswa SMP 13) Diketahui titik A(-1,6) dan titik B (4, 8). Tentukan koordinat titik C agar terbentuk segitiga sama sisi ABC Contoh soal penalaran logis matematik melaksanakan perhitungan berdasarkan aturan atau rumus yang berlaku, C4 untuk siswa SMA 14) Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(2,4) dan tegak lurus garis yang melalui A(-1,6) dan B (4, 8)
16
Contoh soal penalaran logis matematik: melaksanakan perhitungan berdasarkan aturan tertentu, tingkat tinggi atau c6 untuk siswa sma 15) Tentukan ekstrim dan jenisnya fungsi f di bawah ini.
2x 3 6 x f(x) 6 -x
jika - 3 x 3 jika 3 x 5
Contoh butir soal menarik kesimpulan berdasarkan proporsi yang sesuai, tingkat tinggi C5 untuk siswa SD dan C4 untuk siswa SMP 16) Ani membuat tiga liter sirup dari dua kg gula. Kemudian, Nuri dari tiga kg gula membuat lima liter sirup. Sirup siapa yang lebih manis? Jelaskan. Contoh menarik kesimpulan berdasarkan proporsi yang sesuai tingkat tinggi C4 untuk siswa SMP 17)
Diketahui garis l Ξ y = ½ x + 3, garis m Ξ 6x + by + c = 0 garis n Ξ 2x + qy + r = 0 i) Berapa b dan c agar m ekuivalen dengan l , jelaskan. ii) Berapa q dan r agar n tidak memotong l, jelaskan.
Contoh butir soal menarik kesimpulan berdasarkan kombinasi beberapa variabel, tingkat tinggi atau C5 untuk siswa SMA (Maya, 2010) 18) Warung Bu Harja menyediakan 4 macam sayur, 3 macam lauk kering, dan 3 macam buah-buahan. Kupon A dapat ditukarkan dengan satu macam sayur, satu macam lauk kering dan satu macam buah dari tiap kelompok makanan dan buah. Kupon B dapat ditukarkan dengan dua macam sayur, satu macam lauk kering dan satu macam buah. Paket manakah yang memberi lebih banyak pilihan? Jelaskan. Contoh butir soal penalaran logis matematik menarik kesimpulan, berdasarkan peluang, tingkat tinggi atau C6 untuk siswa SMA 19) Di satu SMA akan dibentuk panitia yang terdiri 1 orang ketua, 1 orang wakil ketua, 1 orang sekretaris dan 3 orang anggota. Ada 6 orang siswa laki-laki dan 4 orang siswa perempuan akan berpartisipasi dalam kepanitiaan tersebut. Tiap siswa berpeluang sama untuk menduduki salah satu jabatan di atas. a. Siswa perempuan atau siswa laki-laki yang berpeluang lebih besar untuk menjadi ketua? Tuliskan aturan atau rumus yang digunakan. b. Sudah terpilih ketua dan wakil ketua adalah siswa laki-laki, dan sekretaris adalah siswa perempuan. Sekarang akan dipilih sekali gus tiga anggota. Manakah yang peluangnya lebih besar, ketiganya siswa perempuan atau satu perempuan dan dua laki-laki. Tuliskan konsep dan rumus yang digunakan dalam menyelesaikan masalah di atas. Contoh soal mengikuti aturan inferensi, tingkat tinggi atau C4 untuk siswa SMA 20) Nyatakan premis berikut dalam bentuk simbol. Kemudian tariklah kesimpulannya dan sertakan aturan yang digunakan. Jika fungsi f = f (x) terdeferensialkan di titik c maka f kontinu di titik c. Diketahui f diskontinu di titik c
17
Contoh soal pembuktian langsung tingkat tinggi atau C5 untuk siswa SMA 21)
Misalkan x > 3 dan y < 2. Buktikan bahwa
x2 – 2y > 5.
Contoh soal pembuktian tak langsung tingkat tinggi atau C6 untuk siswa SMA 22) Diketahui x bilangan genap. Buktikan bahwa x2 – 6x + 5 adalah bilangan ganjil.
Contoh soal pembuktian dengan induksi matematik tingkat tinggi atau C6 untuk siswa SMA 23)
Periksa proposisi di bawah ini dengan induksi matematik 1 + 2 + 3 + . . . + n =
n (3n - 1) 2
7. Berpikir Kritis Matematik Berpikir kritis tidak ekuivalen dengan keterampilan berpikir tingkat tinggi. Dalam berpikir kritis termuat semua komponen berpikir tingkat tinggi, namun juga memuat disposisi kritis yang tidak termuat dalam berpikir tingkat tinggi. Ennis (Baron, dan Sternberg, (Eds), 1987) mendefinisikan berpikir kritis sebagai berpikir reflektif yang beralasan dan difokuskan pada penetapan apa yang dipercayai atau yang dilakukan. Beberapa indikator kemampuan berpikir kritis adalah: memfokuskan diri pada pertanyaan, menganalisis dan mengklarifikasi pertanyaan, jawaban, dan argumen, mempertimbangkan sumber yang terpercaya, mengamati dan menganalisis deduksi, menginduksi dan menganalisis induksi, merumuskan eksplanatori, kesimpulan dan hipotesis, menarik pertimbangan yang bernilai, menetapkan suatu aksi, dan berinteraksi dengan orang lain. (Ennis, dalam Baron dan Sternberg, (Eds), 1987). Dihubungkan dengan taksonomi Bloom, Gokhale (1995) mendefinisikan soal berpikir kritis adalah soal yang melibatkan analisis, sintesis, dan evaluasi dari suatu konsep. Dalam matematika, Glaser (2000) mendefinisikan berfikir kritis matematik sebagai kemampuan dan disposisi yang menggabungkan pengetahuan awal, penalaran matematik, dan strategi kognitif untuk mengeneralisasi, membuktikan, dan mengevaluasi situasi matematis secara reflektif. Contoh butir tes berpikir kritis matematik tingkat tinggi atau C4 untuk siswa SD 1)
Di sebuah kebun berbentuk persegi panjang terdapat 10 batang pohon pisang dan 12 batang pohon mangga. Hitunglah luas kebun dan jelaskan cara menghitungnya.
Contoh butir tes berfikir kritis matematik tingkat tinggi atau C5 untuk siswa SMP 2)
Perhatikan gambar di sebelah kiri. Tiap petak kecil mempunyai luas yang sama Apakah daerah yang berwarna gelap pada gambar di sebelah kiri menunjukkan (1/5 + 1/3) bagian dari luas petak besar. Jelaskan alasanmu.
Contoh butir tes berpikir kritis matematik tingkat tinggi atau C5 untuk siswa SD
18
3). Andi mempunyai tabungan sebanyak Rp. 100.000,00 dan Tuti mempunyai tabungan sebanyak Rp 150.000,00. Tabungan Andi diambil setengahnya untuk membeli buku matematika. Tuti mengambil sepertiga tabungannya untuk membeli buku IPA. Uang Andi untuk membeli buku matematika lebih banyak dari uang Tuti untuk membeli buku IPA, karena setengah lebih besar daripada sepertiga. Benarkah pernyataan di atas? Jelaskan. Contoh butir tes berpikir kritis matematik tingkat tinggi atau C5 untuk siswa SMP (Rohaeti, 2008) 4) Diketahui empat buah persamaan garis berikut: (1) x + 2y + 3 = 0 (2) 3x + 2y + 5 = 0 (3) x + 2y - 3 = 0 (4) 2x + y + 5 = 0 Manakah garis yang mempunyai kemiringan paling tajam! Berikan alasannya! Contoh Butir Tes Berfikir Kritis Matematik Tingkat Tinggi C5 Untuk Siswa SMA (Jayadipura,
2014) 5) Di dalam sebuah ruangan berukuran 8m x 6m akan dipasang pita dari titik pusat langit-langit ruangan ke tiap titik sudut pada lantai ruangan. Vira ditugaskan untuk menghitung panjang minimal pita yang dibutuhkan. a. Cukupkah data yang tersedia untuk menyelesaikan tugas Vira? Jelaskan jawabanmu! b. Kalau cukup selesaikan disertai dengan penjelasan, kalau tidak cukup lengkapi datanya dan kemudian selesaikan! Contoh butir tes berfikir kritis matematik tingkat tinggi atau c6 untuk siswa SMA (Rosidawati, 2014) Perhatikan penyelesaian soal berikut ini. =
.
= = Karena x mendekati ∞, maka
Jadi
=
= 0
=
Periksalah apakah tiap langkah perngerjaan di atas benar dan lengkap? Tulislah konsep yang digunakan pada tiap langkap dan sertakan penjelasan.
8. Berpikir kreatif matematik Rhodes (Munandar,1977), Munandar (1992), dan Supriadi (1994) mendefinisikan kreativitas dengan menganalisis empat dimensinya yang dikenal dengan istilah “the Four P's of Creativity, atau “empat P dari kreativitas” yaitu Person, Product, Process, dan Press Pertama, kreativitas sebagai person mengilustrasikan individu dengan pikiran atau ekspresinya yang unik. Kedua kreativitas sebagai produk merupakan kreasi yang asli, baru, dan bermakna. Ketiga, kreativitas sebagai proses merefleksikan keterampilan dalam berfikir yang meliputi: kemahiran/kelancaran (fluency), fleksibilitas (flexibility), originalitas (originality), dan elaborasi (ellaboration) (Munandar, 1992, 2000). Keempat,
19
kreativitas sebagai press adalah kondisi internal atau eksternal yang mendorong munculnya berfikir kreatif. Selanjutnya, Munandar (1977), merinci ciri-ciri keempat komponen berpikir kreatif sebagai proses sebagai berikut. Ciri-ciri fluency meliputi: 1) Mencetuskan banyak ide, banyak jawaban, banyak penyelesaian masalah, banyak pertanyaan dengan lancar; 2) Memberikan banyak cara atau saran untuk melakukan berbagai hal; 3) Selalu memikirkan lebih dari satu jawaban. Ciri-ciri flexibility di antaranya adalah: 1) Menghasilkan gagasan, jawaban, atau pertanyaan yang bervariasi, 2) Melihat suatu masalah dari sudut pandang yang berbeda; 3) Mencari banyak alternatif atau arah yang berbeda; 4) Mengubah cara pendekatan atau cara pemikiran. Ciri-ciri originality di antaranya adalah: 1) Melahirkan ungkapan yang baru dan unik; 2) Memikirkan cara yang tidak lazim; 3) Membuat kombinasi yang tidak lazim dari bagian atau unsur-unsurnya. Ciri-ciri elaboration di antaranya adalah :1) Memperkaya dan mengembangkan suatu gagasan atau produk; (2) Menambah atau merinci detil-detil dari suatu obyek, gagasan, atau situasi sehingga menjadi lebih menarik. Contoh butir tes berfikir kreatif matematik tingkat tinggi atau C4 untuk siswa SD 1)
Ibu menimbang terigu sebanyak 1,85 kg. Tersedia anak timbangan dengan ukuran berat: 2 kg; 1 kg; ½ kg; 200 gr, 100 gr; dan 50 gr. Tuliskan beberapa cara penimbangan yang lebih efektif.
2) Tersedia papan berpaku seperti pada gambar. Dengan menggunakan sebuah karet gelang, buatlah beberapa bangun geometri yang tidak sama bentuknya tetapi kirakira mempunyai luas yang sama. Jelaskan jawabanmu
Contoh butir tes berfikir kreatif matematik tingkat tinggi atau C5 untuk siswa SD 3)
Gb 1 11)
Gb.2
Gb 3
dan seterusnya
Petak-petak kecil di atas adalah persegi dengan sisi 1 cm. Hitunglah keliling Gambar 2, dan Gambar 3. Jika proses diteruskan, hitunglah keliling Gambar 5. Bagaimana cara menghitungnya? Sekarang buatlah pola gambar yang lain. Kemudian buat pertanyaan pada pola yang kamu buat dan selesaikanlah
Contoh butir tes berfikir kreatif matematik tingkat tinggi atau C5 untuk siswa SMP (Gunawan, 2014) 12) Rasio panjang dan lebar suau persegipanjang adalah 3 : 2. Jika panjangnya dikurangi 3 dan lebarny ditambah 2 maka persegipanjang tersebut menjadi persegi. Tulislah beberapa pertanyaan dari data tersebut dan kemudian selesaikan.
20
Contoh butir tes berfikir kreatif matematik tingkat tinggi atau c5 untuk siswa smp (rohaeti, 2008) 6) dan seterusnya Berdasarkan pola yang ada, hitung banyaknya batang korek api pada pola ke-100. Kemudian buatlah susunan batang korek api dengan pola yang lain dan hitung banyaknya batang korek api pada pola tertentu yang baru kamu susun Contoh butir tes berfikir kreatif matematik tingkat tinggi atau C6 untuk siswa SMA 7). Dalam sebuah kotak terdapat 12 bola merah dan 8 bola putih yang identik. Diambil 2 buah bola secara acak sekali gus. a) Manakah yang mempunyai peluang lebih besar dari peristiwa bola yang terambil: Keduanya berwarna merah, keduanya berwarna putih, atau satu bola merah dan satu bola putih. Bagaimana cara menghitungnya? Konsep apa yang digunakan? b) Tuliskan beberapa pertanyaan yang berhubungan dengan kombinasi k unsur dari n unsur dari informasi di atas. Contoh butir tes berfikir kreatif matematik tingkat tinggi atau C6 untuk siswa SMA 8) Satu kelas terdiri dari 24 siswa perempuan dan 16 siswa laki-laki. Guru akan menyusun pasangan siswa untuk mengerjakan tugas kelompok. a) Pasangan manakah yang mempunyai peluang paling besar di antara: keduanya siswa perempuan, keduanya laki-laki, dan satu siswa perempuan dan satu siswa laki-laki. Bagaimana cara menghitungnya? Konsep apa yang digunakan? b) Ajukan pertanyaan lain yang berhubungan dengan kombinasi k unsur dari n unsur dan kemudian selesaikan. Contoh butir tes berfikir kreatif matematik tingkat tinggi atau C6 untuk siswa SMA (Sumarmo, dkk, 2012) 9) Dalam suatu segitiga PQR, diketahui sin P= 0,5 dan cos Q = 0, 6 a) Uraikan beberapa cara untuk menghitung nilai cos R. Kemudian selesaikanlah dengan memilih salah satu cara yang kamu sukai. b) Cukupkah data untuk menghitung luas daerah segitiga PQR? Kalau cukup, selesaikanlah. Kalau tidak cukup, lengkapi data agar luas segitiga PQR dapat dihitung!
9. Berpikir Reflektif Matematik Tiga istilah berpikir matematik yaitu berpikir reflektif matematik, berpikir kritis matematik, dan berpikir metakognitif matematik memiliki keterkaitan yang erat dan memuat beberapa karakteristik yang serupa. Pernyataan tersebut terlukis dalam beberapa pendapat pakar antara lain sebagai berikut: a) Berpikir kritis sebagai berpikir reflektif yang beralasan dan difokuskan pada penetapan apa yang dipercayai atau yang dilakukan (Ennis dalam Baron, dan Sternberg, Eds., 1987); b) Berpikir reflektif kadang-kadang diartikan sebagai berpikir kritis (Bruning, et al dalam Jiuan, 2007); c) Berpikir kritis matematik memuat kemampuan penalaran matematik, dan strategi kognitif yang sebelumnya dan digunakan untuk menggeneralisasikan, membuktikan, mengases situasi matematik secara reflektif (Glaser, 2000). Pendapat di atas menunjukkan bahwa berpikir kritis memiliki cakupan yang lebih luas dari berpikir reflektif atau berpikir kritis memuat berpikir reflektif namun tidak sebaliknya.
21
Berdasarkan pendapat beberapa pakar, Nindiasari (2011) merangkum indikator berpikir reflektif matematik sebagai berikut. 1) Menginterpretasi suatu kasus berdasarkan konsep matematika yang terlibat, mengidentifikasi konsep ; 2) Mengevaluasi kebenaran suatu argumen, menarik analogi dua kasus serupa, menganalisis dan mengklarifikasi pertanyaan dan jawaban; 3) Menggeneralisasi dan menganalisis generalisasi; 4) Membedakan antara data relevan dan tidak relevan; 5) Mengecek kembali solusi yang dibuat. Memperhatikan tuntutan kognitif yang termuat dalam indikator berpikir reflektif matematik, kemampuan berpikir reflektif matematik tergolong berpikir tingkat tinggi, setara dengan tingkat berpikir kritis matematik dan berpikir kreatif matematik. Berikut ini disajikan beberapa contoh soal berpikir reflektif matematik Contoh soal berpikir reflektif matematik, menginterpretasi konsep dalam suatu kasus, tingkat tinggi C6 untuk siswa SMA (Nindiasari, 2011) 1)
Suatu jalan dengan kemiringan sebesar 0,005 dimulai dari titik O sampai ke titik A. Tinggi titik A dari bidang datar adalah 5 meter. Analisislah pernyataan berikut, kemudian berikan komentar anda dan tuliskan konsep matematika dan atau rumus yang mendasarinya/digunakan. a) Apakah jalan tersebut tergolong agak landai atau curam? Berikan penjelasan disertai dan konsep dan atau rumus matematika yang digunakan. b) Jika Dodi berjalan kaki sepanjang jalan tersebut mulai pukul 07.00 dengan kecepatan 2,5 km/jam, maka ia akan sampai diujung jalan kira-kira pada tengah hari. Benarkah perkiraan tersebut? Berikan penjelasan disertai dengan perhitungan dan rumus yang digunakan.
Contoh soal berpikir reflektif matematik, menarik analogi dari dua kasus serupa tingkat tinggi C6 untuk siswa SMA (Nindiasari, 2011) 2)
Perhatikan persamaan a sin2x + b sin x +c = 0 dan a cos2x + b cos x + c = 0. a) Tuliskan bangun aljabar dasar yang serupa dengan kedua persmaan di atas. Agar masing-masing persamaan dapat diselesaikan, apakah persyaratan yang harus dipenuhi oleh kedua persamaan di atas sama? Berikan alasan yang mendasari jawaban anda. b) Andaikan x adalah salah satu besar sudut dalam suatu segitiga, apakah jawaban pada butir a. sudah memenuhi syarat agar ada penyelesaian x? Berikan alasan yang mendasari jawaban anda.
Daftar Pustaka Abdurahman, D. (2014). Meningkatkan Kemampuan Penalaran dan Komunikasi serta Disposisi Matematik Siswa SMP melalui Pembelajaran Inkuiri Terbimbing. Tesis pada Sekolah Pascasarjana Universitas Pendidikan Indonesia, tidak dipublikasi. Bandura, A. (1997). Self Efficacy. The exercise of Control. New York, W.H. Freeman and Company. Baron, J. B. dan Sternberg, R.J. (Editor), (1987) Teaching Thinking Skill. New York: W.H. Freeman and Company Berman, S. (2001) “Thinking in context: Teaching for Open-mindeness and Critical Understanding” dalam A. L. Costa,. (Ed.) (2001). Developing Minds. A Resource Book for Teaching Thinking. 3 rd Edidition. Assosiation for Supervision and Curriculum Development. Virginia USA Budiyanto, A.M. (2014). Meningkatkan Kemampuan Berpikir Logis dan Kreatif Matematik serta Kemandirian Belajar Siswa SMA melalui Pembelajaran Berbasis Masalah. Program Pascasarjana STKIP Siliwangi Bandung
22
Departemen Nasional Pendidikan. (2013). Lampiran Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan, Nomor 69 Tahun 2013. Tentang Kerangka Dasar Dan Struktur Kurikulum Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah, Sekolah Menengah Atas/Madrasah Alyah. Ghozi, A. (2010). Pendidikan Karakter dan Budaya Bangsa dan Implementasinya dalam Pembelajaran. Makalah disampaikan pada Pelatihan Tingkat Dasar Guru Bahasa Perancis Tanggal 24 Okober s.d 6 November 2010 Gunawan, H. (2014). Mengembangkan kemampuan berpikir kreatif Matematik Siswa SMP melalui Pembelajaran Berbantuan Komputer. Tesis pada Sekolah Pascasarjana UPI. Tidak diterbitkan. Hendriana, H. (2009). Pembelajaran dengan Pendekatan Methaporical Thinking untuk Meningkatkan Kemampuan Pemahaman Matematik, Komunikasi Matematik dan Kepercayaan Diri Siswa Sekolah Menengah Pertama. Disertasi pada Sekolah Pasca Sarjana UPI : tidak diterbitkan. Hendriana, H. (2013). Membangun Kepercayaan Diri Siswa melalui Pembelajaran Matematika Humanis. Makalah disajikan pada Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, di STKIP Siliwangi Bandung, tanggal 31 Agustus 2013. Isnaeni (2014). Peningkatan Kemampuan Pemecahan Masalah, dan Komunikasi serta Disposisi Matematik Siswa SMA melalui Pembelajaran Generatif. Tesis pada Program Pascasarjana STKIP Siliwangi Bandung. Tidak diterbitkan. Jayadipura, Y. (2014). Mengembangkan Kemampuan Berpikir Kritis dan Kreatif Matematis serta Kemandirian Belajar Siswa SMA melalui Pembelajaran Kontekstual. Program Pascasarjana STKIP Siliwangi.Bandung. Maya, R. (2005). Mengembangkan Kemampuan Matematik Tingkat Tinggi Siswa SMA melalui Pembelajaran Langsung dan Tak Langsung. Tesis pada Sekolah Pascasarjana Universitas Pendidikan Indonesia, tidak dipublikasi. Mudzakir, H. (2006). Meningkatkan Kemampuan Representasi Multipel Matematik Siswa SMP melalui Strategi Think-talk-write. Tesis pada Pascasarjana UPI, tahun 2006. Munandar, U. (1987). Creativity and Education. Disertasi Doktor. Fakultas Psikologi-UI. Jakarta : Tidak diterbitkan Munandar, S.C.U. (1992). Mengembangkan Bakat dan Kreativitas Anak Sekolah, Petunjuk Bagi Guru dan Orang Tua. Jakarta: Gramedia. Nindiasari, H. (2013). Meningkatkan kemampuan berpikir reflektif dan kemandirian belajar matematis melalui pendekatan metakognitif pada siswa SMA. Disertasi pada Pascasarjana UPI. Makalah dimuat dalam Jurnal Nasional, Edusentris, No. .. Vol. Hal... 2014 Permana, Y. (2010). Kemampuan Pemahaman dan Komunikasi serta Disposisi Matematik: Eksperimen terhadap Siswa SMA melalui Model – Eliciting Activities Disertasi pada Sekolah Pascasarjana Universitas Pendidikan Indonesia, tidak dipublikasi. Polking J. (1998). Response To NCTM's Round 4 Questions [Online] In http://www.ams.org/government/argrpt4.html. Rachmat, U,S. (2014). Meningkatkan Kemampuan Koneksi dan Pemecahan Masalah Matematik serta Kepercayaan Diri Siswa SMP melalui Pembelajaran Kontekstual berbantuan Mathematical Manupulative. Thesis at Post Graduate Study, Siliwangi School of Teacher Training and Education, Bandung. Rochaeti, E.E.(2008). Pembelajaran dengan Pendekatan Eksplorasi untuk Mengembangkan Kemampuan Berfikir Kritis dan Kreatif Matematik Siswa Sekolah Menengah Pertama, Disertasi pada Sekolah pascasarjana UPI. Tidak diterbitkan Rosliawati, Iis, S.E. (2014). Mengembangkan Kemampuan Penalaran dan Komunikasi serta Disposisi Matematik Siswa SMP melalui Pembelajaran Berbasis Masalah. Program Pascasarjana STKIP Siliwangi Bandung
23
Sinurat, R. (2014). Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kritis dan Kreatif serta Disposisi Matematik Siswa SMA melalui Pembelajaran Kontekstual. Tesis pada Pascasarjana STKIP Siliwangi, Bandung, tidak dipublikasi. Sauri, S. (2010). Membangun Karakter Bangsa melalui Pembinaan Profesionalisme Guru Berbasis Pendidikan Nilai. Jurnal Pendidikan Karakter. Vol.2. No.2. Sumarmo, U. (1987). Kemampuan Pemahaman dan Penalaran Matematika Siswa SMA Dikaitkan dengan Kemampuan Penalaran Logik Siswa dan Komponen Proses Belajar Mengajar. Disertasi pada Sekolah Pascasarjana Universitas Pendidikan Indonesia, tidak dipublikasi. Sumarmo, U. (2006). Kemandirian Belajar: Apa, Mengapa, dan Bagaimana dikembangkan pada Peserta Didik. Makalah disampaikan pada seminar di FPMIPA, Universitas Pendidikan Indonesia. Dimuat dalam Website Sekolah Pascasarjana Universitas Pendidikan Indonesia. Sumarmo, U. (2010). Pengembangan Berpikir dan Disposisi Kritis, Kreatif pada Peserta Didik dalam Pembelajaran Matematika. Makalah dimuat dalam Website Sekolah Pascasarjana Universitas Pendidikan Indonesia. Sumarmo, U., Hidayat, W., Zulkarnaen, R., Hamidah, Sariningsih, R. (2012). “Kemampuan dan Disposisi Berpikir Logis, Kritis, Dan Kreatif Matematis: Eksperimen terhadap Siswa SMA Menggunakan Pembelajaran Berbasis Masalah dan Strategi Think-Talk-Write”. Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 17, No.1, 17-33, April 2012. Supriadi, D. (1994). Kreativitas, Kebudayaan, dan Perkembangan Iptek. Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. Jakarta: CV.Alfabet Syaban, M. (2008). Menumbuhkan daya dan disposisi siswa SMA melalui pembelajaran investigasi. Disertasi pada Sekolah Pascasarjana Universitas Pendidikan Indonesia, tidak dipublikasi. Umar, A. M. (2014). Meningkatkan Kemampuan Koneksi, Representasi, dan Self Efficacy Matematis Siswa SMP melalui Pendekatan Kontekstual dengan Stretegi FormulateShare-Listen-Creat. Tesis pada Sekolah Pascasarjana Universitas Pendidikan Indonesia, tidak dipublikasi. Wongsri, N., Cantwell, R.H., Archer, J. (2002). The Validation of Measures of Self-Efficacy, Motivation and self-Regulated Learning among Thai tertiary Students. Paper presented at the Annual Conference of the Australian Association for Research in Education, Brisbane, December 2002 Yonandi (2010). Meningkatkan Kemampuan Komunikasi dan Pemecahan Masalah Matematik melalui Pembelajaran Kontekstual Berbantuan Komputer pada Siswa Sekolah Menengah Atas. Disertasi pada PPs UPI, tidak dipublikasikan
24
