HANDOUT MATAKULIAH PROSES BERPIKIR MATEMATIK Oleh: UTARI SUMARMO
9/5/2015
1
Tujuan Pendidikan Nasional: Mengembangkan potensi peserta didik agar menjadi manusia yang: beriman dan bertaqwa kepada Tuhan YME berahlak mulia, sehat, berilmu, cakap, kreatif, mandiri dan menjadi warga negara yang demokratis serta bertanggung jawab
Visi Bidang Studi Matematika : Agar siswa memiliki kemampuan matematik memadai, berfikir dan bersikap kritis, kreatif dan cermat, obyektif dan terbuka, menghargai keindahan matematika, serta rasa ingin tahu dan 9/5/2015 senang belajar matematika.
Tujuan pembelajaran matematika : a) Memahami konsep matematika, keterkaitannya, mengaplikasikannya dalam pemecahan masalah, b) Menggunakan penalaran, membuat generalisasi, menyusun bukti, c) Memecahkan masalah; d) Mengkomunikasikan gagasan melalui simbol-simbol matematika e) Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, sikap rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah 9/5/2015
3
1. 2. 3.
4. 5.
HAKEKAT MATEMATIKA Kegiatan manusia, proses yang aktif, dinamik, dan generatif Bahasa simbol yg efisien, teratur, berkemampuan analisis kuantitatif Terstruktur dan sistimatis, deduktif, logis dan aksiomatik, diawali dengan proses induktif: menyusun konjektur, model mat. analogi, generalisasi Ilmu bantu Melatih berfikir kritis, obyektif dan terbuka
9/5/2015
4
HAKEKAT MATEMATIKA 1. Kegiatan manusia, proses yang aktif, dinamik, generatif Keterangan: Semua orang dalam hidupnya melaksanakan kegiatan matematik mulai dari yang sangat sederhana (perhitungan sangat sederhana misalnya, menjumlah, mengurangi, mengalikan, dan membagi ) sampai dengan yang sangat kompleks (yang dikerjakan matematikawan, misalnya pembuktian yang sangat rigor) 9/5/2015
5
2. Matematika sebagai bahasa simbol yg efisien, teratur, berkemampuan analisis kuantitatif Contoh simbol: 0, 5, Σ , = , #, δ, ε, ≤, %, adalah lambang bilangan, lambang operasi (aljabar dan non aljabar), dan lambang lainnya yg dapat menganalisis secara kuantitatif. Tiap simbol memiliki makna dan nama tertentu, misalnya 3 + 4x dan 56,2 – 1/5 dalam matematika dinamakan “ekspresi”, bentuk x = 2 dan bentuk 3x + y < 50 dinamakan “kalimat” Kekuatan bahasa simbol matematik diungkapkan oleh Baron: (Sumarmo, 1987) dari A Mathematician Apology: “A Mathematician, like a painter or a poet, is a maker of patterns. If his are more permanent than theirs, it is 9/5/2015 because they are made of ideas”.
6
3. Matematika sbg ilmu yg terstruktur dan sistimatis, deduktif, logis dan aksiomatik, yang diawali dengan proses induktif: analogi, generalisasi menyusun konjektur, dan model matematika Matematika disusun dari konsep yg tidak terdefinisi (yg diterima keberadaannya tanpa hrs dibuktikan), dan berkembang menjadi konsep yg terdefinisi, prinsip, teorema/rumus/dalil dan seterusnya yang dibuktikan kebenarannya secara deduktif. Dalam perkembangannya matematika memuat proses induksi untuk menemukan praduga yang kemudian kebenarannya dibuktikan secara deduktif 9/5/2015 7
4. Matematika sebagai Ilmu bantu. Melalui kekuatannya matematika dapat membantu disiplin lain dalam perhitungan dan menyelesaikan masalahnya, membantu menganalisis secara kuantitatif, menyusun praduga, dan menerapkan konsep/prinsip matematika dalam disiplin lain dalam
5. Matematika melatih individu dapat mengembangkan kemampuan berfikir rasional (masuk akal), kritis, kreatif, obyektif, reflektif, dan terbuka. 9/5/2015
8
VISI MATEMATIKA
Masa kini Memiliki pemahaman konsep mat dan dpt menerapkannya dlm hidup sehari-hari
9/5/2015
Masa Datang Mampu bernalar induktif, logis, kritis, sistimatis, cermat Mampu menyusun konjektur, model mat. analogi, generalisasi Memiliki rasa percaya diri, rasa keindahan, sikap terbuka dan objektif 9
Tkt berfikir matematik
Tkt rendah: pemahaman komputasional perhitungan rutin /algoritmik
Tingkat tinggi: Pemahaman (yg relasional/fungsional) Pemecahan masalah matematik Komunikasi, Koneksi, Penalaran, Representasi matematik (yg relasional/fungsional) Berfikir kritis dan kreatif matematik
9/5/2015
10
TAKSONOMI TUJUAN BELAJAR 1. TAKSONOMI BLOOM: a) Ingatan / Hafalan: menghafal fakta; mengingat kembali konsep, rumus, prinsip mat sederhana b) Pemahaman: melaksanakan perhitungan sederhana memahami hubungan konsep c) Aplikasi: memilih rumus/prinsip/atura/konsep untuk diterapkan secara langsung d) Analisis: menguraikan hubungan/situasi yang kompleks atas komponen/konsep-konsep dasar. e) Sintesis: menggabungkan/menyusun kembali komponen/bagian menjadi struktur baru f) Evaluasi: menerapkan konsep/rumus/prinsip matematika untuk menilai suatu situasi matematik 9/5/2015
11
5. Jenjang Tujuan Belajar Berdasarkan Taksonomi Bloom C6.Mengevaluasi C5. Mensintesa C4. Menganalisa C3. Menerapkan C2. Memahami C1. Mengingat, menghapal 12
C. Jenis Hard Skill Matematik 1. Pemahaman matematik 2. Komunikasi matematik 3. Koneksi matematik 4. Pemecahan masalah matematik 5. Penalaran matematik 6. Berpikir kritis matematik 7. Berpikir kreatif matematik 13
1. Indikator Pemahaman matematik a. Pemahaman (rendah): mekanikal, komputasional, instrumental, dan induktif: mengingat dan menerapkan rumus secara rutin, perhitungan sederhana b. Pemahaman (tinggi) rasional, fungsional, relasional, dan intuitif: mengkaitkan satu konsep/prinsip dengan konsep/prinsip lainnya, menyadari proses yang dikerjakannya, dan membuat perkiraan benar 14
Contoh Butir Soal Pemahaman Matematik, C4 untuk siswa SD, dan C2 untuk siswa SMP, dan C1 untuk siswa SMA) 3) Urutkan bilangan di bawah ini dari yang terkecil ke yang lebih besar. 0,105 ; 0,13 ; 10,2%; 8% ; 0,90% 4) Satu set meja makan memuat empat kursi. Serombongan tamu berjumlah 62 orang. Berapa set meja makan harus disediakan agar tiap tamu duduk di kursi masing-masing? Jelaskan 5) Sebuah kotak berukuran 15,2 cm X 12,5 cm x 20 cm. Ada sejumlah kubus kecil dengan panjang rusuknya 1 cm. Berapa banyak kubus kecil yang dapat dimuat? Jelaskan. Andaikan kotak diisi penuh dengan pasir, volume pasir sama dengan jumlah volume kubus kecil. Benarkah pernyataan tersebut. Jelaskan.
Contoh Butir Soal Pemahaman Matematik, relasional, tingkat tinggi C4 untuk siswa SD, dan pemahaman mekanikal C2 untuk siswa SMP, dan C1 untuk siswa SMA) 1) Gambarlah persegi ABCD dengan panjang sisinya 8 cm. Titik-titik P, Q, R, dan S masing-masing titik tengah AB, BC, CD, dan DA. Tuliskan nama bangun PQRS dan jelaskan. Berapa luasnya 2) Pagar depan rumah akan dipasang tiang tembok yang berjarak 2 meter. Diketahui panjang pagar 20 meter dan tiang tembok di pasang di awal pagar. Ada berapa tiang yang akan dipasang? Bagaimana cara menghitungnya? 16
3) Contoh pemahaman matematik tk rendah (C1 untuk siswa SMP) Tuliskan bentuk bidang diagonal ACGH pada kubus ABCD.EFGH dan hitung luasnya jika panjang sisinya 8 cm. 4) Contoh pemahaman tingkat rendah C3 untuk siswa SMA, dan tingkat tinggi C4 untuk siswa SMP. Lantai sebuah kamar berukuran 3 m x 5 m akan dipasang ubin berukuran 30 cm x 20 cm. Satu dus berisi 40 ubin. Berapa dus paling sedikit harus disediakan? Bagaimana cara mengihitungnya? 17
2. Indikator Komunikasi Matematik a) Menyatakan situasi ke dlm model matematika (gambar, tabel, diagram, relasi/ ekspresi matematika) b) Menyatakan/menjelaskan model matematika (gambar, tabel, diagram, ekspresi/relasi matematika) dlm bahasa biasa c) Menjelaskan/bertanya tentang matematika (a, b, c pedoman utk membuat butir tes) d) Mendengarkan, berdiskusi, menulis mat. e) Membaca presentasi matematika (a, b, c, d, dan e, untuk latihan selama pembelajaran)
18
1) Contoh Butir soal Komunikasi Matematik Tingkat Tinggi atau C5 untuk Siswa SD Pak Ali mempunyai kebun berbentuk persegi panjang dengan ukuran lebar 8 m dan panjangnya 10 m. Seperempat bagian kebun ditanami kol, seperenam bagian kebun ditanami cabe dan sisanya ditanami jagung. a) Gambarlah sketsa kebun pak Ali seluruhnya dan bagian kebun yang ditanami kol, cabe, dan jagung. b) Hitung luas kebun seluruhnya dan luas kebun kol, kebun cabe, dan kebun jagung. 19
2) Contoh Butir soal Komunikasi Matematik Tingkat Rendah atau C3 untuk Siswa SD Isi kotak kosong dengan gambar yang sesuai lalu hubungkan dengan bilangan yang sesuai a)
+
=
9
b)
-
=
7
c)
-
=
11
d)
+
=
5 20
3) Contoh Butir soal Komunikasi Matematik Tingkat Tinggi C5 untuk Siswa SMP ABCD adalah trapesium dengan sisi-sisi sejajar AB = 14 cm, CD = 8 cm, dan sisi-sisi tidak sejajar AD = 8 cm, BC = 12 cm. Sebuah garis EF dibuat sejajar AB sehingga keliling dua trapesium yang terbentuk sama. a) Ilustrasikan situasi di atas dalam bentuk gambar sehingga mudah dipahami. b) Susun kalimat matematika untuk menghitung panjang garis AE dan selesaikan.
21
3) Contoh Butir soal Komunikasi Matematik Tingkat Tinggi C5 untuk Siswa SMP (Abdurahman, 2014) ABCD adalah trapesium dengan sisi-sisi sejajar AB = 14 cm, CD = 8 cm, dan sisi-sisi tidak sejajar AD = 8 cm, BG = 12 cm. Sebuah garis EF dibuat sejajar AB sehingga keliling dua trapesium yang terbentuk sama. a) Ilustrasikan situasi di atas dalam bentuk gambar sehingga mudah dipahami. b) Susun kalimat matematika untuk menghitung panjang garis AE dan selesaikan.
22
4) Contoh Butir soal Komunikasi Matematik Tingkat Tinggi, C4 untuk Siswa SMA (Isnaeni, 2014) Diketahui bidang α dan β yang saling tegak lurus dan berpotongan sepanjang garis m. Garis n terletak pada bidang β dan sejajar garis m. Titik P dan Q terletak pada m. a) Gambarlah jarak antara garis n dan garis PQ. b) Misalkan bidang γ tegak lurus garis n. Jelaskan kedudukan antara bidang γ dan α, antara bidang γ dan β, serta kedudukan antara garis perpotongan bidang γ dan β dengan garis n.
23
3. Indikator Koneksi Matematis a) Mencari hubungan berbagai representasi konsep dan prosedur matematika b) Mencari hubungan satu prosedur ke prosedur lain dalam representasi yang ekuivalen c) Memahami representasi ekuivalen konsep yang sama d) Menerapkan hubungan antar topik Mat. dan dengan topik BS lain e) Menggunakan matematika dlm BS lain/ kehidupan sehari-hari 24
1) Contoh Butir Soal Koneksi Matematik Tingkat Tinggi atau Jenjang C5 untuk Siswa SD, dan C3 untuk siswa SMP Urutkan bilangan-bilangan ini dari yang kecil ke yang lebih besar. Beri penjelasan cara menyelesaikan soal ini. 0,120 ; ¼ ; 1/8 ; 0,245 ; 20% ; 0,090; 350/00 ; 6/7 ; 8/9
25
2) Contoh Butir Soal Koneksi Matematik Tingkat Tinggi C5 untuk Siswa SMP (Rahmat, 2014) Diketahui suatu persegi dengan panjang sisinya a cm Kemudian persegi serupa diletakkan berimpit di kanan persegi semula. Proses tersebut dilanjutkan dengan persegi ketiga dan seterusnya sampai persegi ke-n a) Gambarlah situasi tersebut b) Susun model matematika untuk menyatakan keliling dan luas bangun yang terbentuk dari gabungan: 2 persegi, 3 persegi, 4 persegi dan n persegi! c) Tuliskan konsep yang termuat dalam persoalan di atas! 26
3) Contoh Butir Soal Koneksi Matematik Tingkat Tinggi, C5 untuk Siswa SMP (Umar, 2014) Gambar di bawah ini adalah pengubinan dengan menggunakan keramik berbentuk segitiga sama sisi dengan sisinya 1 satuan.
a) Berapa banyak keramik yang diperlukan untuk membentuk segitiga dengan panjang sisi 5 satuan? b) Tuliskan hubungan antara panjang sisi segitiga dengan banyaknya keramik yang dibutuhkan pada butir pertanyaan a). c) Tuliskan konsep matematika yang digunakan dan jelaskan cara memperolehnya 27
4. Pemecahan masalah sebagai hard skill matematik yang memiliki indikator: a) Mengidentifikasi kecukupan data untuk memecahkan masalah b) Membuat model matematik dari suatu masalah dan menyelesaikannya. c) Memilih dan menerapkan strategi untuk menyelesaikan masalah matematika dan atau di luar matematika d) Menjelaskan atau menginterpretasikan hasil sesuai permasalahan asal, serta memeriksa kebenaran hasil atau jawaban
28
1) Contoh Butir Tes Pemecahan Masalah Matematik Tingkat Tinggi atau C5 untuk Siswa SD Kelas 6 Lantai di ruang kelas 6 berbentuk persegi panjang berukuran 9,5 m x 8 m akan dipasang keramik berukuran 30 cm x 30 cm. Satu dus keramik berisi 20 keping dan harganya Rp.40.000,00. Hitunglah biaya yang diperlukan untuk membeli keramik untuk menutupi lantai tersebut! Jelaskan cara menghitungnya! 29
2) Contoh Butir Tes Pemecahan Masalah Matematik Tingkat Tinggi C6 untuk siswa SMP (Rahmat, 2014) Diketahui bentuk atap sebuah rumah terdiri atas sepasang trapesium sama kaki dan sepasang segitiga sama kaki. Panjang sisi sejajar atap yang berbentuk trapesium adalah 5 m dan 3 m dan panjang alas atap yang berbentuk segitiga adalah 7 m. Kedua jenis bangun atap mempunyai tinggi yang sama yaitu 4 m. a) Buatlah sketsa atap rumah di atas. b) Atap akan ditutup dengan genting berbentuk persegi panjang berukuran 30 cm x 45 cm Tentukan banyak genteng minimum yang harus disediakan untuk menutup seluruh atap. c) Andaikan harga 1 buah genteng Rp1.500,00, hitunglah biaya untuk membeli genteng yang diperlukan. 30
3)
Contoh Butir Tes Pemecahan Masalah Matematik Tingkat Tinggi atau C5 untuk Siswa SMA (Isnaeni, 2014) 60 cm
20 cm
80 cm 30 cm
Sebuah bejana berbentuk seperti pada gambar. Permukaan bejana berbentuk persegi panjang (dengan ukuran dalam cm). Hitunglah nilai kosinus sudut antara tepi bejana yang miring terhadap alas bejana disertai dengan penjelasan ! 31
4)
Contoh Butir Tes Pemecahan Masalah Matematik Tingkat Tinggi atau C5 untuk siswa SMA (Yonandi, 2010) Suatu SMA akan membentuk Tim untuk mengikuti suatu kontes kepemimpinan antar SMA di suatu kota. Terdaftar ada 4 siswa kelas-10, 5 siswa kelas-11, dan 6 siswa kelas-12 untuk berkompetisi. Tim terdiri dari seorang ketua, seorang wakil ketua, dan seorang sekretaris. Tingkat kelas ketua lebih tinggi dari tingkat kelas wakil ketua, dan tingkat kelas wakil ketua lebih tinggi dari tingkat kelas sekretaris. Berapa banyak tim yang dapat disusun? Jawablah pertanyaan tersebut dengan cara yang berbeda dan bandingkan hasilnya.
32
5. Penalaran Matematik 1) Penalaran induktif: Transduktif: menarik kesimpulan dari satu kasus atau sifat khusus yang satu diterapkan pada yang kasus khusus lainnya. Analogi: penarikan kesimpulan berdasarkan keserupaan data atau proses Generalisasi: penarikan kesimpulan umum berdasarkan sejumlah data yang teramati Memperkirakan jawaban, solusi atau kecenderungan: interpolasi dan ekstrapolasi Memberi penjelasan terhadap model, fakta, sifat, hubungan, atau pola yang ada Menggunakan pola hubungan untuk menganalisis situasi, dan menyusun konjektur 33
5.1. Penalaran Induktif a) Transduktif; Analogi; Generalisasi Penalaran ini didasarkan atas pengamatan terhadap data yang terbatas. Oleh karena itu kebenaran kesimpulannya bersifat probabilitik dapat benar, salah atau mungkin kurang tepat.
Contoh 1: butir tes transduktif a) Segitiga ABC siku-siku di A berlaku BC2 = AB2 + AC2 Segitiga PQR siku-siku di P. Jadi QR2 = PQ2 + PR2 (Transduktif yg Benar) b) 15 bilangan ganjil dapat dibagi 3 7 bilangan ganjil jadi dapat dibagi 3 (Transduktif yg Salah) 9/5/2015
34
1) Contoh Butir Soal Penalaran Analogi Matematik, C3 untuk siswa SMP C serupa dengan D
O
B
A Perbandingan luas juring AOB dengan luas daerah lingkaran
Jelaskan jawabanmu.
Perbandingan luas ....... buah persegi panjang kecil dengan luas persegi panjang seluruhnya.
2) Contoh Butir Soal Analogi tk rendah, C3 utk siswa SMA Pada kubus ABCD.EFGH di samping ini, kedudukan garis BE dengan garis CH,
serupa dengan: Kedudukan antara garis dengan persamaan 2x – 3y = 5 dan garis dengan persamaan a) 3x - 2y = -5 b) 3y = 2x + 10 c) 2x = 3y + 5 d) 2x + 3y = 10 Jelasan keserupaan konsep dalam soal di atas.
36
3) Contoh Butir Tes Analogi Permutasi Matematik Tingkat Tinggi atau C6 untuk Siswa SMA (Budiyanto, 2014) Perhatikan kasus di bawah ini dengan cermat. Manakah dari empat kasus berikut yang serupa dengan banyaknya cara menyusun bilangan ratusan yang berbeda dari angka 1, 2, 3, 4, dan 5. Tulislah konsep matematika yang termuat pada tiap kasus dan serta penjelasan anda. a) Menyusun pasangan dobel putra dari 5 orang pemain bulutangkis putra b) Memilih 3 orang dari 5 orang calon untuk menduduki jabatan ketua, sekretaris, dan pengelola keuangan suatu organisasi. c) Menyusun tim kontes matematika yang terdiri dari 3 orang yang dipilih dari 5 orang calon. d) Memilih juara pertama, juara 2, dan juara 3 dari 5 orang finalis suatu kontes kecantikan. Jelasan keserupaan konsep dalam soal di atas. 37
c) Menyusun tim kontes matematika yang terdiri dari 3 orang yang dipilih dari 5 orang calon. d) Memilih juara pertama, juara 2, dan juara 3 dari 5 orang finalis suatu kontes kecantikan.
Jelasan keserupaan konsep dalam soal di atas.
38
4) Contoh Butir soal generalisasi Diberikan lingkaran besar berdiameter 2R. Di dalam lingkaran dibuat dua lingkaran kecil yang bersinggungan di luar dan menyinggung di dalam lingkaran besar. Berapakah jumlah kelililing dua lingkaran kecil itu ? Kemudian dibuat tiga lingkaran seperti di atas. Berapa jumlah keliling tiga lingkaran itu? Kalau proses tersebut dilakukan sampai n kali, berapa jumlah keliling n buah lingkaran tersebut? ........................ (C6) 39
5) Contoh Butir soal generalisasi : Perhatikan gambar di bawah ini
60 0
Dari gambar di atas diketahui panjang A1 B1 = 10 cm. Tentukan jumlah panjang garis A1B1 + A2B2 + A3B3 + A4B4 + A5B5 + ... Konsep apa yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan tersebut? Berikan penjelasan. 40
b) Penalaran induktif: Memperkirakan kecenderungan, intrapolasi, ekstrapolasi Contoh1. Perhatikan diagram produksi barang A di bawah ini. 100 70 40
Bulan ke
1
2
3
4
5
6
7
Berdasarkan diagram di atas, perkirakan produksi pada bulan ke-3 dan bulan ke 7. Sertakan penjelasan. Apakah kurva persamaan mendekati fungsi linier, kuadrat atau pangkat tiga? Jelaskan (C5) 41
Penalaran induktif: Memperkirakan kecenderungan, hubungan korelasional, intrapolasi, ekstrapolasi 2) Contoh Soal Memperkirakan data Dalam suatu penelitian diperoleh data seperti pada tabel di bawah ini. Kon. mat Kom. mat
Tg
Sd
Rd
Tot
Tg
9
15
0
24
Sd
5
43
10
56
Rd
0
0
0
0
Tot
14
56
10
80
Berdasarkan data pada tabel di atas, perkirakanlah tes mana yang lebih sukar. Jelaskan. (C5)
42
5) Menarik kesimpulan, perkiraan, interpretasi berdasarkan berdasarkan kombinasi Contoh 3. Suatu panitia terdiri dari seorang ketua, seorang wakil ketua, dan seorang sekretaris. Terdapat 6 calon laki-laki dan 5 calon perempuan . Panitia tersebut tidak boleh lakilaki semua atau perempuan semua. Manakah yang lebih besar peluangnya untuk terpilih, dua laki-laki dan satu perempuan atau dua perempuan dan satu laki-laki. Jelaskan
6) Menyusun analisa dan sintesa bbrp kasus. Contoh 4: Diberikan data temuan suatu penelitian seperti pada Tabel 1 . Berdasarkan data pada tabel tersebut, jawablah tugas-tugas berikut disertai dengan penjelasan. a) Susun kesimpulan umum dari temuan studi di atas b) Adakah temuan dari studi itu yang berbeda dengan temuan lainnya? c) Ditinjau dari kualitasnya, apakah temuan penelitian tsb sudah memuaskan? d) Coba berikan pendapat anda terhadap temuan- temuan di atas! 9/5/2015
44
Temuan Suatu Studi Kelas E-learning
KAM
Kemamp tg Kemamp sd
Kemamp rd
Total
Kelas Blended learning
Kelas Konvensional
PMH
KNK
PM
PMH
KNK
PM
PMH
KNK
PM
x
87,1
87,5
90,6
84,4
85,6
90,5
85,9
83,7
84,4
SD
10,2
4,5
5,9
9,9
6,4
5,8
7,7
7,5
4,4
x
75,0
73,3
77,7
72,7
70,7
74,4
70,6
72,7
72,0
SD
11,5
8,8
8,9
8,7
8,8
15,2
10,1
10,8
8,9
x
64,4
57,6
57,6
69,5
62,9
56,2
63,5
57,1
61,4
SD
10,3
9,6
11,9
11,4
13,1
9,0
8,0
11,8
9,9
x
75.5
72.9
75.6
75.3
72.8
73.8
73.0
71.3
72.6
SD
13.8
14.1
15.9
11.6
13.2
17.4
12.5
14.5
12.1
70
70
70
70
70
70
70
70
70
Ukuran Sampel
Skor ideal : 100
2. Penalaran deduktif: a) Melaksanakan perhitungan mat berdasarkan aturan yang disepakati b) Penalaran logis: penalaran proporsional, penalaran kombinatorial, penalaran probaliti, dan penalaran proposisional (mengikuti aturan inferensi) c) Menyusun argumen valid dan memeriksa validitas argumen d) Membuktikan secara langsung/tak langsung 46 dan induksi matematis
1) Contoh soal melaksanakan perhitungan matematika berdasarkan aturan atau rumus yang berlaku, C5 untuk Siswa SD Perhatikan gambar di bawah ini. Diketahui lingkaran D berpusat di O berjari-jari 7 cm. Hitung keliling daerah ABOCD. A
O
C
B
2) Contoh soal melaksanakan perhitungan matematika berdasarkan aturan atau rumus yang berlaku, C5 untuk Siswa SMP Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(2,4) dan tegak lurus garis yang melalui A(-1,6) dan B (4, 8) 47
3) Contoh soal melaksanakan perhitungan matematika berdasarkan aturan atau rumus yang berlaku, C5 untuk Siswa SD Perhatikan gambar di bawah ini. Diketahui lingkaran D berpusat di O berjari-jari 7 cm. Hitung luas daerah dalam lingkaran di luar daerah O A C ABOCD. Gunakan π = 22/7 B
4) Contoh soal melaksanakan perhitungan matematika berdasarkan aturan atau rumus yang berlaku, C5 untuk Siswa SMP Diketahui titik A(-1,6) dan titik B (4, 8). Tentukan koordinat titik C agar terbentuk segitiga sama sisi ABC 48
5) Contoh Butir Soal Penalaran Logis Matematik: Melaksanakan Perhitungan berdasarkan Aturan Tertentu, Tingkat Tinggi atau C6 untuk Siswa SMA Tentukan ekstrim dan jenisnya fungsi f di bawah ini.
2x 3 6 x f(x) 6 -x
jika - 3 x 3 jika 3 x 5
6) Contoh Butir Soal Penalaran Logis Matematik: Melaksanakan Perhitungan berdasarkan Aturan Tertentu, Tingkat Tinggi atau C5 dan C6 untuk Siswa SMA Selesaikan soal berikut dan sertakan teorema atau sifat yang mendasari tiap langkah pengerjaannya 6) Tentukan
d3y dx 3
dari y = sin2 (2 x3) ......... (C5)
sin 2x - cos x2 1 7) Hitung lim x0 3x2
........ (C6)
8) Contoh menarik kesimpulan berdasarkan proporsi yang sesuai Ani membuat tiga liter sirup dari dua kg gula. Kemudian, Tuti dari tiga kg gula membuat lima liter sirup. Sirup siapa yang lebih manis? Jelaskan. (C4 utk siswa SD dan C2 untuk siswa SMP) 9) Contoh menarik kesimpulan berdasarkan proporsi yang sesuai Diketahui garis l Ξ y = ½ x + 3, garis m Ξ 6x + by + c = 0 garis n Ξ 2x + qy + r = 0 i) Berapa b dan c agar m ekuivalen dengan l , jelaskan. ii) Berapa q dan r agar n tidak memotong l, jelaskan. (C4 utk siswa SMP dan C2 untuk siswa SMA) 9/5/2015
10) Contoh butir tes menyimpulkan berdasarkan kombinasi beberapa variabel, C5 untuk siswa SMA Warung Bu Harja menyediakan 4 macam sayur, 3 macam lauk kering, dan 3 macam buah-buahan. Kupon A dapat ditukarkan dengan satu macam sayur, satu macam lauk kering dan satu macam buah dari tiap kelompok makanan dan buah. Kupon B dapat ditukarkan dengan dua macam sayur, satu macam lauk kering dan satu macam buah. Paket manakah yang memberi lebih banyak pilihan? Jelaskan. 9/5/2015
52
11) Contoh Butir Soal Menarik Kesimpulan, berdasarkan Peluang, Tingkat Tinggi C6 untuk Siswa SMA Di satu SMA akan dibentuk panitia yang terdiri 1 orang ketua, 1 orang wakil ketua, 1 orang sekretaris dan 3 orang anggota. Ada 6 orang siswa laki-laki dan 4 orang siswa perempuan akan berpartisipasi dalam kepanitiaan tersebut. Tiap siswa berpeluang sama untuk menduduki salah satu jabatan di atas. a) Siswa perempuan atau siswa laki-laki yang berpeluang lebih besar untuk menjadi ketua? Tuliskan aturan atau rumus yang digunakan. b) Sudah terpilih ketua dan wakil ketua siswa laki-laki, dan sekretaris siswa perempuan. Akan dipilih sekali gus tiga anggota. Manakah yang peluangnya lebih besar, ketiganya siswa perempuan atau dua laki-laki dan satu perempuan. Tuliskan konsep yang digunakan. 9/5/2015 53
1) Kesimpulan Berdasarkan Aturan Inferensi a. Pernyataan (proposisi) : • Satu kalimat afirmatif yang mempunyai nilai kebenaran benar saja atau salah saja dan tidak keduanya secara bersama-sama. • Contoh: a) f adalah fungsi genap: proposisi bernilai benar b) Tidak benar f adalah fungsi genap : proposisi bernilai salah c) Apakah f fungsi genap? (kalimat tanya): bukan proposisi karena tidak mempunyai nilai kebenaran d) Selesaikan soal di bawah ini! (kalimat perintah) : bukan proposisi karena tidak mempunyai nilai kebenaran
b. Jenis Pernyataan (proposisi) dan simbolnya: • Proposisi tunggal: mempunyai satu subyek dan satu predikat • Proposisi majemuk: Beberapa proposisi tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung (disebut pula predikat) • Tiap satu proposisi tunggal diberi simbol dengan huruf kecil (misalnya: p, q, r, dst) • Kata hubung dan simbolnya lawan (negasi): ; ~ dan (konjungsi) : ˄ ; & ; atau (disjungsi) : ˅ jika …. maka (implikasi) : jika dan hanya jika (bi-implikasi):
c. Tabel Kebenaran p
q
p
q
p
q
~p
p˄q
p˅q
B
B
S
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
B
S
B
B
S
S
S
B
S
S
B
B
No Aturan inferensi 1) Ad isi
2) 3)
4)
5)
Simbol
p q Jadi p ˄ q p˄q p˄q Simplifikasi Jadi p Jadi q p˅q p˅q ~p ~q Jadi q Jadi p Modes Ponen (MP) p q p q Modes Tolen (MT) p ~q Jadi q (MP) Jadi p (MT) Bi-implikasi p q p q p ~q Jadi q Jadi ~ p
No Aturan inferensi 6) Silogisme
Simbol p q
q r Jadi p
r
7)
Negasi ganda
~ (~ p) ≡ p
8)
Negasi konjungsi
~ (p ˄ q ) ≡ (~ p ˅ ~ q)
9) Negasi disjungsi 10) Distribusi
~ (p ˅ q ) ≡ (~ p ˄ ~ q) p ˄ (q ˄ r) ≡ (p ˄ q ) ˄ (p ˄ r)
11) Distribusi
p ˅ (q ˄ r) ≡ (p ˅ q ) ˄ (p ˅ r)
12) Kesamaan implikasi
p
q≡ p˅~q
Contoh 4: Buatlah tabel kebenaran dari (p v q) v (q
p B B B B S S S S
q B B S S B B S S
r B S B S B S B S
p˅q B B B B B B S S
q
r B S B B B S B B
(p v q) v (q
r) r)
B B B B B B B B
Nilai kebenaran kolom terakhir selalu benar untuk nilai kebenaran apapun dari komponennya (p, q, dan r). Proposisi (p v q) v (q r) dinamakan tautologi
Contoh 4: Buatlah tabel kebenaran dari (p ˄ q) ˄ (q
~r
p˄ q
q
~r
~ r)
(p ˄ q) ˄ (q
p
q
r
B B B B
B B S S
B S B S
S B S B
B B S S
S B B B
S B S S
S
B
B
S
S
S
S
S S S
B S S
S B S
B S B
S S S
B B B
S S S
~ r)
Nilai kebenaran kolom terakhir ada yang benar ada yang salah untuk nilai kebenaran dari komponennya (p, q, dan r).
Contoh 5: Buatlah tabel kebenaran dari
(p ˄ ~ r) ↔ ~ (q → r)
p˄~r (1)
q→~r (2)
~ (q → ~ r) (1) (3)
S B
S B
S B
B S
S S
S B S B S B
S B S S S S
S S S B S S
S S B S S B
S S S S S S
p
q
r
~r
B B
B B
B S
B B S S S S
S S B B S S
B S B S B S
(3)
Nilai kebenaran proposisi majemuk (p ˄ ~ r) ↔ ~ (q → r) selalu bernilai salah (S) apapun nilai kebenaran komp Proposisi majemuk seperti itu dinamakan kontradiksi.
Contoh 13: Nyatakan proposisi berikut dalam bentuk simbol a) f adalah fungsi naik b) f bukan fungsi naik c) f fungsi naik dan f positif dalam selang (0,6) d) f fungsi naik atau g fungsi genap e) Jika m adalah gradien garis singgung terhadap f maka m = f’(x) f) Jika dan hanya jika f fungsi naik maka gradien garis singgungnya positif
Penyelesaian: a) f adalah fungsi naik : p b) f bukan fungsi naik : ~ p c) f fungsi naik dan f positif dalam selang(0,6) f adalah fungsi naik : p f positif dalam selang (0,6) : q Jadi p ˄ q d) f fungsi naik atau g fungsi genap f adalah fungsi naik : p g fungsi genap : r Jadi (p ˅ r)
Penyelesaian: e) Jika m adalah gradien garis singgung terhadap f maka m = f’(x) m gradien garis singgung terhadap f : s m = f’(x) : t Jadi (s t) f) Jika dan hanya jika f fungsi naik maka gradien garis singgungnya positif f fungsi naik : p Gradien garis singgungnya positif: u Jadi (p u)
Contoh 14 Tentukan kesimpulan dari serangkaian proposisi di bawah ini. Jika dan hanya jika f fungsi ganjil maka f(-x) = - f(x). Diketahui f(-3) ≠ f(3) Penyelesaian f fungsi ganjil : p ; f(-x) = - f(x) : q f(-3) = - f(3) : r ; f(-3) ≠ f(3) : ~ r p q q r Jadi p r Namun ~ r . Jadi ~p Tidak benar f fungsi ganjil
Contoh 15 x adalah bilangan ganjil. (x + y) bilangan ganjil Buktikan y bilangan genap. Penyelesaian: Andaikan y bilangan ganjil (p) x adalah bilangan ganjil (q) x + y bilangan genap (r) (p ˄ q ) r ~r Jadi ~ (p ˄ q ) ≡ (~ p ˅ ~ q). Diketahui q, jadi ~ p Jadi tidak benar y bilangan ganjil. Ini berarti y adalah bilangan genap (terbukti)
16) Contoh Soal Mengikuti Aturan Inferensi, Tingkat Tinggi atau C4 untuk Siswa SMA Nyatakan premis berikut dalam bentuk simbol. Kemudian tariklah kesimpulannya dan sertakan aturan yang digunakan. Jika fungsi f = f (x) terdeferensialkan di titik c maka f kontinu di titik c. Diketahui f diskontinu di titik c
17) Contoh Soal Pembuktian Langsung Tingkat Tinggi atau C5 untuk Siswa SMA Misalkan x > 3 dan y < 2. Buktikan bahwa x2 – 2y > 5. 9/5/2015
67
5) Menarik kesimpulan, perkiraan, interpretasi berdasarkan berdasarkan kombinasi Contoh 6. Suatu panitia terdiri dari seorang ketua, seorang wakil ketua, dan seorang sekretaris. Terdapat 6 calon laki-laki dan 5 calon perempuan . Panitia tersebut tidak boleh lakilaki semua atau perempuan semua. Manakah yang lebih besar peluangnya untuk terpilih, dua laki-laki dan satu perempuan atau dua perempuan dan satu laki-laki. Jelaskan
6) Menyusun analisa dan sintesa bbrp kasus. Contoh 7: Diberikan data temuan suatu penelitian seperti pada Tabel 1 . Berdasarkan data pada tabel tersebut, jawablah tugas-tugas berikut disertai dengan penjelasan. a) Susun kesimpulan umum dari temuan studi di atas b) Adakah temuan dari studi itu yang berbeda dengan temuan lainnya? c) Ditinjau dari kualitasnya, apakah temuan penelitian tsb sudah memuaskan? d) Coba berikan pendapat anda terhadap temuan- temuan di atas! 9/5/2015
69
Temuan Suatu Studi Kelas E-learning
KAM
Kemamp tg Kemamp sd
Kemamp rd
Total
Kelas Blended learning
Kelas Konvensional
PMH
KNK
PM
PMH
KNK
PM
PMH
KNK
PM
x
87,1
87,5
90,6
84,4
85,6
90,5
85,9
83,7
84,4
SD
10,2
4,5
5,9
9,9
6,4
5,8
7,7
7,5
4,4
x
75,0
73,3
77,7
72,7
70,7
74,4
70,6
72,7
72,0
SD
11,5
8,8
8,9
8,7
8,8
15,2
10,1
10,8
8,9
x
64,4
57,6
57,6
69,5
62,9
56,2
63,5
57,1
61,4
SD
10,3
9,6
11,9
11,4
13,1
9,0
8,0
11,8
9,9
x
75.5
72.9
75.6
75.3
72.8
73.8
73.0
71.3
72.6
SD
13.8
14.1
15.9
11.6
13.2
17.4
12.5
14.5
12.1
70
70
70
70
70
70
70
70
70
Ukuran Sampel
Skor ideal : 100
3) Membuktikan secara langsung, secara taklangsung, dan dengan induksi matematik Contoh 9: Butir tes pembuktian taklangsung Diketahui x bilangan ganjil dan x+y bilangan ganjil. Buktikan bahwa y bilangan genap. Bukti: Misalkan y bilangan ganjil, y = 2k + 1 (dg k bilangan asli). Diketahui x bilangan ganjil, x = 2m + 1 (dg m bilangan asli). x + y = (2m + 1) + (2k + 1) = 2 (m + k) + 2 = 2 (m + k + 1), berarti (x + y) bilangan genap Padahal diketahui (x + y) bilangan ganjil, jadi tidak benar pemisalan y bilangan ganjil. Jadi y bilangan 9/5/2015 genap
71
18) Contoh Soal Pembuktian Tak Langsung Tingkat Tinggi atau C6 untuk Siswa SMA Diketahui x bilangan genap. Buktikan bahwa x2 – 6x + 5 adalah bilangan ganjil. 19) Contoh Soal Pembuktian Langsung Tingkat Tinggi atau C6 untuk Siswa SMA Dalam suatu segitiga ABC, buktikan bahwa: sin A + sin B + sin C = 4 cos A cos B2 cos C 2 2
9/5/2015
72
Pembuktian dg Induksi Matematik Pada dasarnya dalam proses pembuktian dg induksi matematik, kita tidak membuktikan kebenaran proposisi ybs namun menetapkan implikasinya. Prosedur dalam pembuktian dg induksi matematik adalah sebagai berikut: a. Periksa kebenaran proposisi untuk satu bilangan asli tertentu (misal 1 atau yg lainnya) b. Dimisalkan berlaku untuk bilangan asli k c. Diperiksa apakah proposisi berlaku untuk bilangan asli k+1. Bila berlaku maka proposisi tadi benar untuk semua biangan asli n. Bila tidak maka proposisi tdi tidak benar. 9/5/2015
73
Contoh 10: Periksa proposisi di bawah ini dg induksi matematik 1 + 2 + 3 + . . . + n = n (3n - 1) 2 Penyelesaian: a. Periksa untuk n = 1 n 1+2+3+...+n= (3n - 1) 2 1
1 = 2 b. Periksa untuk n = 2
(2) = 1 ............ Benar
2 1+2= (6 - 1) = 5 (pernyataan ini tidak benar) 2 Jadi proposisi 1 + 2 + 3 + . . . + n =
n 2
(3n - 1)
Tidak benar 9/5/2015
74
Contoh 11: Buktikan proposisi di bawah ini dg induksi matematik 11n+2 + 122n+1 dapat dibagi 133 Penyelesaian: a. Periksa untuk n = 1 113 + 123 = 3059 dan ini dapat dibagi 133 b. Andai benar untuk bil asli k, jadi 11k+2 + 122k+1 dapat dibagi 133 c. Akan diperiksa untuk (k+1) 11k+1+2 + 122(k+1) +1 = 11k+3 + 122k+3 = 11. 11k+2 + 122.122k+1 = 11. 11k+2 + 11. 122k+1 + 133.122k+1 = 11 (11k+2 + 122k+1) + 133.122k+1 = 11. p. 133 + 133. 122k+1 Ruas kanan adalah kelipatan 133. Jadi bentuk 11k+3 + 122k+3 dapat dibagi 133 9/5/2015
75
Soal Latihan Buktikan dengan induksi matematik 1. Untuk tiap bilangan bulat positif positif n dan bilangan real x > -1, (1 + x)n ≥ 1 + n 2n
2. Σ
i 2
= (n +
1 4
)2
i=1
3. 2n-1(3n +4n) > 7n 4. Periksa dengan induksi matematik 1 + 2 + 3 + . . . + n = 1/2 n (3n - 1) 5. Tiap bilangan bulat terdiri dari 3 n angka 9/5/2015 identik habis dibagi 3
76
7. Indikator Berpikir Kritis Matematik a) Memusatkan pada satu pertanyaan, masalah, tema b) Memeriksa kebenaran argumen, pernyataan dan proses solusi c) Bertanya dan menjawab disertai alasan d) Mengamati dengan kriteria , mengidentifikasi asumsi , memahami dengan baik, mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan e) Mendeduksi dan menginduksi f) Membuat pertimbangan, menilai secara menyeluruh g) Mencari alternatif 77
1) Contoh Butir Tes Berpikir Kritis Matematik Tingkat Tinggi atau C4 untuk Siswa SD Di sebuah kebun berbentuk persegi panjang terdapat 10 batang pohon pisang dan 12 batang pohon mangga. Hitunglah luas kebun dan jelaskan cara menghitungnya.
2) Contoh Butir Tes Berpikir Kritis Matematik Tingkat Tinggi atau C5 untuk Siswa SD Andi mempunyai tabungan sebanyak Rp. 100.000,00 dan Tuti mempunyai tabungan sebanyak Rp 150.000,00. Tabungan Andi diambil setengahnya untuk membeli buku matematika. Tuti mengambil sepertiga tabungannya untuk membeli buku IPA. Uang Andi untuk membeli buku matematika lebih banyak dari uang Tuti untuk membeli buku IPA. Benarkah pernyataan di atas? Jelaskan. 78
3) Contoh Butir Tes Berfikir Kritis Matematik Tingkat Tinggi atau C5 untuk siswa SD Perhatikan gambar di sebelah kiri. Tiap petak kecil mempunyai luas yang sama. Apakah daerah yang berwarna biru pada gambar di sebelah kiri menunjukkan (1/5 + 1/3 ) bagian dari luas petak besar. Jelaskan alasanmu.
79
4) Contoh Butir Tes Berpikir Kritis Matematik Tingkat Tinggi atau C5 untuk Siswa SMP (Rohaeti, 2008) Diketahui empat buah persamaan garis berikut: (1) x + 2y + 3 = 0 (2) 3x + 2y + 5 = 0 (3) x + 2y - 3 = 0 (3) 2x + y + 5 = 0 Manakah garis yang mempunyai kemiringan paling tajam! Berikan alasannya!
80
Contoh : Butir tes berpikir kritis matematik siswa SMA (Sumarmo dkk, 2012) Dari pemantauan terhadap 105 anak berusia 8 – 10 tahun yang minum sejenis obat penurun panas ditemukan 3 anak menderita alergi dan suhu tubuh anak lainnya menjadi normal. a) Sebagian besar anak usia 8 –10 tahun cenderung aman dari alergi setelah minum obat tersebut. Periksa kebenaran pernyataan tersebut, dan tuliskan alasanmu.
9/5/2015
81
Contoh : Butir tes berpikir kritis matematik siswa SMA (Sumarmo dkk, 2012) .
b) Anak usia 8 – 10 tahun tidak dianjurkan minum obat tersebut ketika tubuh mereka panas. Cocokkah anjuran tersebut? Berikan alasanmu. (Membuat pertimbangan) c) Obat tersebut kurang efektif menurunkan panas anak di atas 10 tahun. Benarkah kesimpulan tersebut? Mengapa?
9/5/2015
82
8. Kemampuan berpikir kreatif matematik a) Kelancaran (fluency) : Memberikan banyak jawaban b) Kelenturan (fleksibility): Menghasilkan beragam cara penyelesaian c) Keaslian (Originality): Mengungkapkan cara yang tidak biasa/baku; d) Elaborasi (elaboration) : Memperinci detil-detil dari suatu objek / situasi
Contoh Butir Tes Berfikir Kreatif Matematik Tingkat Tinggi atau C5 untuk siswa SD 1) Ibu menimbang terigu sebanyak 1,85 kg. Tersedia anak timbangan dengan ukuran berat: 2 kg; 1 kg; ½ kg; 200 gr, 100 gr; dan 50 gr. Tuliskan beberapa cara penimbangan yang dapat dilakukan. 2)
Tersedia papan berpaku seperti pada gambar. Dengan menggunakan sebuah karet gelang, buatlah beberapa bangun geometri yang tidak sama bentuknya tetapi kira-kira mempunyai luas yang sama. Jelaskan jawabanmu 84
Contoh Butir Tes Berfikir Kreatif Matematik Tingkat Tinggi atau C5 untuk siswa SD 3) Gb 1
Gb.2
Gb 3
dan seterusnya
Petak-petak kecil di atas adalah persegi dengan sisi 1 cm. Hitunglah keliling pada Gambar 2, dan Gambar 3. Jika proses diteruskan, hitunglah keliling Gambar 5. Bagaimana cara menghitungnya? Sekarang buatlah pola gambar yang lain. Kemudian buat pertanyaan pada pola yang kamu buat dan selesaikanlah
85
3) Contoh Butir Tes Berpikir Kreatif, C5 untuk siswa SMP Perhatikan gambar di bawah ini
Berdasarkan pola yang ada, hitung banyaknya batang korek api pada pola ke-100. Kemudian buatlah susunan batang korek api dengan pola yang lain dan hitung banyaknya batang korek api pada pola tertentu yang baru kamu susun
86
4) Contoh Butir Tes Berfikir Kreatif Matematik Tingkat Tinggi atau C5 untuk siswa SMP (Gunawan, 2014) Rasio panjang dan lebar suau persegipanjang adalah 3 : 2. Jika panjangnya dikurangi 3 dan lebarnya ditambah 2 maka persegipanjang tersebut menjadi persegi. Tulislah beberapa pertanyaan dari data tersebut dan kemudian selesaikan.
87
5) Contoh Butir Tes Berfikir Kreatif Matematik Tingkat Tinggi atau C6 untuk siswa SMA (Budiyanto, 2014) Dalam sebuah kotak terdapat 12 bola merah dan 8 bola putih yang identik. Diambil 2 buah bola secra acak sekali gus. Manakah yang mempunyai peluang lebih besar dari peristiwa bola yang terambil: Keduanya berwarna merah, keduanya berwarna putih, atau satu bola merah dan satu bola putih. Bagaimana cara menghitungnya? Konsep apa yang digunakan? Tuliskan beberapa pertanyaan yang berhubungan dengan kombinasi k unsur dari n unsur dari informasi di atas.
88
6) Contoh Butir Tes Berfikir Kreatif Matematik Tingkat Tinggi atau C6 untuk siswa SMA (Sumarmo, dkk, 2012) Dalam suatu segitiga PQR, diketahui sin P= 0,5 dan cos Q = 0, 6 a) Uraikan beberapa cara untuk menghitung nilai cos R. Kemudian selesaikanlah dengan memilih salah satu cara yang kamu sukai. b) Cukupkah data untuk menghitung luas daerah segitiga PQR? Kalau cukup, selesaikanlah. Kalau tidak cukup, lengkapi data agar luas segitiga PQR dapat dihitung!
89
7) Contoh Butir Tes Berfikir Kreatif Matematik Tingkat Tinggi atau C6 untuk siswa SMA Satu kelas terdiri dari 24 siswa perempuan dan 16 siswa laki-laki. Guru akan menyusun pasangan siswa untuk mengerjakan tugas kelompok. a) Pasangan manakah yang mempunyai peluang paling besar di antara: keduanya siswa perempuan, keduanya laki-laki, dan satu siswa perempuan dan satu siswa laki-laki. Bagaimana cara menghitungnya? Konsep apa yang digunakan? b) Ajukan pertanyaan lain yang berhubungan dengan kombinasi k unsur dari n unsur dan kemudian selesaikan.
90
8. Contoh Butir tes berpikir kreatif siswa SMP, (Rochaeti, 2008) Gambarlah 3 buah titik A, B, dan C yang tidak segaris dalam sebuah diagram kartesius. Kemudian tentukan sebuah titik D sehingga ABCD merupakan sebuah jajaran genjang! Jelaskan cara memperoleh titik D tersebut! Contoh 9: Butir tes berfikir kreatif matematik (aspek fleksibilitas) untuk mahasiswa (Nurlaelah, 2010) Berikan contoh group G dan sub-group original H sehingga G issomorphic dengan H. Kemudian tunjukkan bahwa jawaban anda sesuai dengan persyaratan yang diperlukan. 9/5/2015
91
Contoh 10: Butir tes berfikir kreatif matematik siswa SMA (Wardani, 2009) Adik mempunyai beberapa kartu berbentuk persegi dan segitiga. Kartu persegi memuat satu gambar ayam dan empat gambar burung, dan kartu segitiga memuat dua gambar ayam dan satu gambar burung. Berapa banyak kartu persegi dan segitiga yang harusdisediakan agar termuat 25 gambar ayam dan 51 gambar burung ? a). Buatlah model matematika untuk menghitung banyaknya kartu persegi dan kartu segitiga yang harus disediakan. 9/5/2015
92
Contoh 10 b: Butir tes berfikir kreatif matematik siswa SMA (Tamsil 2015)(keaslian): Gunakan konsep atau prosedur yang menurut anda efektif untuk menentukan nilai k dari persamaan 2015
k x 2014 x 2013 dx 90
2012
Contoh butir tes kreatif matematik (kelancaran): Selesaikan bentuk dengan beberapa cara!
s in
2
3x dx 93
Contoh butir tes penalaran matematik (generalisasi) Bernard, 2015 Diketahui panjang kayu yang disediakan adalah 2 meter akan dibentuk segitiga dari yang terbesar sampai yang terkecil dimana tinggi segitiga tersebut terbuat dari kayu, perhatikan gambar di bawah ini! 600
30 0 Jika diketahui bahwa L1 = 1 meter tentukan nilai dari L4 ! Berapa jumlah panjang kayu diperlukan jika disusun sampai tak terhingga 94
Contoh Butir tes komunikasi (menyusun model matematik dan menyelesaikannya, Qodariyah, 2015) Produser rekaman membuat acara promo album, dengan tawaran sebagai berikut. Jika membeli 1 CD maka pembeli tidak mendapat kupon; Jika membeli 2 CD pembelai akan mendapat 2 kupon; dan jika membeli 3 Cdmendapat maka pembeli memperoleh 4 kupon hadiah. a. Untuk memudahkan pembagian kupon hadiah kepada pembeli produser harus membuat aturan atau model matematika. Tentukan aturan atau model matematika tersebut b. Andi membeli 12 CD, berapa kupon hadiah yang 9/5/2015 95 diterima Andi?
Contoh butir tes penalaran matematik (memberi penjelasan terhadap kecukupan unsur untuk menyelesaikan masalah (Mulyana, 2015) Ari menggambar jaring-jaring sebuah tabung di atas kertas. Ukuran kertas gambarnya adalah 20 cm x 15 cm. Tabung yang digambar berjari-jari 2 cm dan tingginya 10 cm. Dari ukuran kertas yang diketahui cukupkah untuk membuat tabung yang diinginkan? Jelaskan!
9/5/2015
96
Beberapa Kesulitan Siswa • Cenderung menyalin solusi dari guru • Kurang menguasai konsep dasar • Kemampuan dasar matematik dan kemampuan berpikir kritis dan kreatif matematik siswa dalam pre-tes sangat rendah. • Sulit: membuat model matematika, menuliskan algoritma penyelesaian masalah, menginterpretasi solusi sesuai masalah awal, dan mencari alternatif solusi lainnya; menerapkan representasi grafik/tabel dan membuat representasi teks tertulis 9/5/2015
97
Beberapa pendapat siswa yang keliru (Schoenfeld, 1992) a. Masalah matematika mempunyai satu dan hanya satu jawab yang benar b. Hanya ada satu cara penyelesaian soal yang benar yaitu yang ditunjukkan guru di kelas. c. Siswa biasa tidak dapat memahami matematika, mereka hanya dapat menghapal dan mengaplikasikannya secara mekanik tanpa pemahaman.
9/5/2015
98
Beberapa pendapat siswa yang keliru (Schoenfeld, 1992) d. Matematika adalah kegiatan yang tersendiri, dan dilakukan oleh individu yang terisolasi. e. Siswa yang paham matematika yang dipelajarinya akan dpt menyelesaikan soal apapun dalam waktu yang sangat singkat f. Matematika yg dipelajari di sekolah tidak berkaitan dengan dunia nyata g. Bukti formal tidak relevan dengan proses diskoveri atau penemuan 9/5/2015
99
Kelemahan Guru: • Lebih banyak memberi tahu dan kurang memberi kesempatan siswa mengeksplor kurang melibatkan siswa belajar aktif, kurang menekankan pada pemahaman • Berpikir kritis bukan tujuan utama, kurang menguasai karakteristik berpikir kritis dan pembelajaran yang inovatif • Pembelajaran kurang menarik/membosankan • Kurang mengkaitkan pengetahuan awal siswa • Sulit menyusun bahan ajar dan soal latihan dg pembelajaran baru dan penyajiannya terutama dengan menggunakan ICT Kurang fasilitas komputer dan kurang waktu 9/5/2015
100
