1. 1.
H´ armas Integr´ al
hat´ar´ert´ek.
Bevezet´ es ´ es defin´ıci´ ok
Jel¨ ol´es: RRR RRR f (x, y, z)dV vagy f (x, y, z)dxdydz
A bevezet´es els˝ o r´esz´eben egy feladaton kereszt¨ ul jutunk el a h´ armasintegr´ al defin´ıci´ oj´ ahoz.
D
D
Megjegyz´es:
Feladat:
Ha f (x, y, z) ≥ 0, akkor
RRR
f (x, y, z)dV a D test
D
Legyen D ⊂ R3 korl´ atos test, ´es a D testnek legyen az f (x, y, z) ≥ 0 folytonos f¨ uggv´eny a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye. Sz´ amoljuk ki a D test t¨ omeg´et!
t¨omeg´et sz´amolja ki, ahol f (x, y, z) a test s˝ ur˝ us´eg´et jelenti. 1. t´ etel (H´armasintegr´al l´etez´ese). Ha f (x, y, z) folytonos ´es korl´atos f¨ uggv´eRRR ny, valamint D ⊆ R3 korl´atos tartom´ any, akkor l´etezik az f (x, y, z)dV .
Megold´ as:
D
Mivel D korl´ atos test, emiatt ∃ a, b, c, d, f, g ∈ R, hogy (x, y, z) ∈ D esetben:
Kisz´ am´ıt´ as: 1.1.
a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, f ≤ z ≤ g.
T´ eglatest tartom´ anyon
Legyen D = {(x, y, z) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, f ≤ z ≤ g}, ekkor ZZZ f (x, y, z)dV =
Az [a, b] intervallumot n r´eszre osztjuk:
D
Zb Zd Zg
Az [c, d] intervallumot m r´eszre osztjuk:
f (x, y, z)dz dy dx = x=a
y=c
z=f
Zd Zg Zb
Az [f, g] intervallumot p r´eszre osztjuk:
= y=c
z=f
f (x, y, z)dx dz dy = . . .
x=a
(hatf´ele vari´aci´os lehet˝os´eg van)
Jel¨ olje ∆Vijk az
P´eld´ak:
{(x, y, z) : xi−1 ≤ x ≤ xi , yi−1 ≤ y ≤ yi , zi−1 ≤ z ≤ zi , x, y, z ∈ D}
1. Legyen adva egy t´eglatest tartom´any, ´es egy rajta ´ertelmezett f¨ uggv´eny a k¨ovetkez˝ok´eppen:
r´esz t´erfogat´ at!
f (x, y, z) = xy 2 z 3 ,
Ha ∆xi = xi − xi−1 , ∆yj = yj − yj−1 , ∆zk = zk − zk−1 ´ert´ekek kicsik, akkor tetsz˝ oleges
D = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, 2 ≤ z ≤ 6}
(ξijk , ηijk , δijk ) ∈ {(x, y, z) : xi−1 ≤ x ≤ xi , yi−1 ≤ y ≤ yi , zi−1 ≤ z ≤ zi , x, y, z ∈ D}
Ekkor a k¨ovetkez˝o m´odokon tudjuk kisz´amolni az integr´alt:
esetben ennek a kis t´eglatest D-be es˝ o r´esz´enek a t¨omege ≈ f (ξijk , ηijk , δijk )∆Vijk
ZZZ
´Igy az eg´esz D test t¨ omege: X ≈ f (ξijk , ηijk , δijk )∆Vijk
xy 2 z 3 dxdydz =
D
Z2 Z3 Z6 =
i,j,k
1. defin´ıci´ o (H´ armas Integr´ al). Az f (x, y, z) f¨ uggv´eny h´ armas integr´ alhat´ o a D ⊆ R3 tartom´ anyon, ha l´etezik a X lim f (ξijk , ηijk , δijk )∆Vijk n,m,p→∞
x=0
y=0
xy 2 z 3 dz dy dx =
z=2
Z2 Z3 4 z=6 2z dy dx = = xy 4 2 x=0
max{∆xi ,∆yj ,∆zk }→0 i,j,k
1
y=0
Z2 Z3 = x=0
z=1 Z1 Z1 = ex+y+z dy dx =
xy · 324 − xy · 4dy dx = 2
2
x=−1
y=0
Z2 Z3 = x=0
Z1 Z1
xy · 320dy dx = 2
=
e x=−1
y=0
y=3 Z2 Z2 y3 dx = 2880 · xdx = = 320 · x 3 0
x+y+1
−e
x+y−1
dy dx =
y=−1
y=1 Z1 ex+y+1 − ex+y−1 = dx =
x=0
x=0
−1
y=−1
−1
x=−1
x=2 = 1440 · x2 = 5760.
Z1 =
0
ex+2 − ex − (ex − ex−2 )dx =
x=−1
Z1
Ugyanerre az eredm´enyre jutunk ha a 6 lehets´eges sorrend k¨ oz¨ ul m´ asikat v´ alasztunk az integr´ al´ashoz: (az elj´ ar´ as azonos, de nagyobb l´ept´ek˝ u)
=
ex+2 − 2 · ex + ex−2 dx =
x=−1
x=1 = ex+2 − 2 · ex + ex−2 = −1
ZZZ
xy 2 z 3 dxdydz =
= e3 − 2 · e1 + e1 − (e1 − 2 · e−1 + e−3 ) = = e3 − 3 · e+ 3 · e−1 − e−3 .
D
Z6 Z3 Z2
xy 2 z 3 dx dy dz =
= z=2
y=0
Z6 Z3 = z=2
x2 2 3 y z 2
y=0
Z6 Z3 = z=2
Z6
z=2
x=2
dy dz =
D = {(x, y, z) : a ≤ x ≤ b, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x),
0
h1 (x, y) ≤ z ≤ h2 (x, y)}
2 · y 2 z 3 dy dz =
ZZZ f (x, y, z)dV =
2·
y3 3 z 3
z=2
=
Norm´ altartom´ anyon
y=0
= Z6
1.2.
x=0
y=3
D
dz =
Zb gZ2 (x)
0
z=6 z4 18 · z 3 dz = 18 · = 5760. 4 2
x=a
y=g1 (x)
h2Z(x,y)
f (x, y, z)dz dy dx
z=h1 (x,y)
Vagy att´ol f¨ ugg˝oen, hogy kapjuk a tartom´anyunkat: D = {(x, y, z) : a ≤ z ≤ b, g1 (z) ≤ y ≤ g2 (z),
2. Most n´ezz¨ unk egy m´ asik f¨ uggv´enyt ´es egy m´asik tartom´ anyt:
h1 (y, z) ≤ x ≤ h2 (y, z)}
f (x, y, z) = ex+y+z ,
ZZZ f (x, y, z)dV =
D = {(x, y, z) : −1 ≤ x, y, z ≤ 1. D
ZZZ D Z ZZ
=
Zb gZ2 (z) ex+y+z dxdydz = z=a
ex+y+z dzdydx =
e
= y=−1
x+y+z
y=g1 (z)
f (x, y, z)dx dy dz
z=h1 (y,z)
(Term´eszetesen itt is ¨osszesen 6 kombin´aci´os lehet˝ os´eg¨ unk van.)
D
Z1 Z1 Z1 x=−1
h2Z(y,z)
P´elda:
dz dy dx =
z=−1
2
T´etelezz¨ uk fel, hogy a tartom´any a k¨ovetkez˝o s˝ ur˝ us´eggel rendelkezik: f (x, y, z) = xyz. Sz´amoljuk ki a t¨omeg´et!
Legyen adott a k¨ ovetkez˝ o tartom´ any: D = {(x, y, z) : 1 ≤ y ≤ 3, y ≤ x ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 6x + 6y}
Megold´as: ZZZ xyzdxdydz = D
Z3 Z3 6x+6y Z = xyzdz dx dy = y=1
x=y
Z3
Z3
= x=y
y=1
z=0
z=6x+6y z2 xy dx dy = 2 0
Z3 Z3 = x=y
y=1
Z3
Z3
= y=1
Z3 = =
y=3 y2 y3 y4 y6 = 364, 5 + 324 + 81 − 25, 5 = 2 3 4 6 1 27 81 36 9 + 324 · + 81 · − 25, 5 · − 2 3 4 6 364, 5 324 81 25, 5 −( + + − ) = 2792. 2 3 4 6
= 364, 5 ·
1dxdydz = D
Z3 Z3 6x+6y Z = 1dz dx dy = x=y
= y=1
Z3 = y=1
Z3 =
364, 5y + 324y 2 + 81y 3 − 25, 5y 5 dy =
y=1
1 -et vesz¨ unk az
ZZZ
Z3 Z3
x=y
y=1
Megold´ as:
y=1
18x3 y + 36x2 y 2 + 18xy 3 dx dy =
x=3 Z3 x4 x3 2 x2 3 = 18 y + 36 y + 18 y dy = 4 3 2 y
Sz´ amoljuk ki D t´erfogat´ at!
T´ arfogatsz´ amol´ asn´ al f (x, y, z) integr´ alba!
xy 2 (6x + 6y) dx dy = 2
Feladat:
z=0
1. Tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o k´et s´ık meghat´arozott r´esze k¨ oz´e es˝o r´eszt, valamint a hozz´a tartoz´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enyt:
6x + 6ydx dy =
x=y
x=3 2 3x + 6y dy =
z = x + y,
y
z = x − y, 0 ≤ x, y ≤ 1,
27 + 18y − (3y 2 + 6y 2 )dy =
f (x, y, z) = x + y
y=1
Z3 =
Hat´arozzuk meg a t¨omeg´et! 27 + 18y − 9y 2 dy = 2. Hat´arozzuk meg a cs´ ucsaival adott tetra´eder t¨ omeg´et, ha cs´ ucsai ´es s˝ ur˝ us´ege a k¨ovetkez˝ok:
y=1
y=3 y3 y2 = 27y + 18 − 9 = 2 3 1
A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(0, 2, 0), D(0, 0, 2) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2
= 81 + 81 − 81 − (27 + 9 − 3) = 42. 3
1.3.
M´ ern¨ oki alkalmaz´ as: RRR M= f (x, y, z)dV (t¨ omeg)
M´eg egy apr´os´agot meg kell jegyezni, nevezetesen azt, hogy az integr´al´as sor´an egy eddig nem haszn´alt m´ odszert alkalmazunk majd, amit a p´elda v´eg´en t´argyalunk r´eszletesebben.
D
Statikai nyomat´ekok a koordin´ atatengelyekre vonatkoz´ oan: ZZZ Myz = x · f (x, y, z)dV
Z2
√ y=− 4−x2 √ Z4−x2
x=−2
√ y=− 4−x2
x=−2
y · f (x, y, z)dV D
=
ZZZ z · f (x, y, z)dV
Mxy =
Z4−x2
Z4
M=
ZD ZZ Mxz =
√
Z2
1dz dy dx =
z=x2 +y 2
4 − (x + y )dy dx = 2
2
D
T¨ omegk¨ oz´eppont:
Myz Mxz Mxy M , M , M
Elv´egezz¨ uk a k¨ovetkez˝o helyettes´ıt´est:
Feladat: x = r · cos(ϕ),
Hat´ arozza meg az al´ abbi homog´en ´ek t¨ omegk¨ oz´eppontj´at!
y = r · sin(ϕ), 0 ≤ ϕ ≤ 2π 0≤r≤2
Kapjuk hogy: Z2π Z2 = ϕ=0
r=0
r=2 Z2π 1 dϕ = (4 − r )rdr dϕ = 2r2 − r4 4 0
2
ϕ=0
P´elda:
Z2π =
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o k´et fel¨ ulet k¨ oz¨ otti r´esz s´ ulypontj´ at, ha a s˝ ur˝ us´ege C:
ϕ=2π 4dϕ = 4ϕ = 8π 0
ϕ=0
Itt szint´en ´eszre kellett venni, hogy miut´an elv´egezt¨ uk a helyettes´ıt´est az integr´alon bel¨ uli r´esz m´eg meg lett szorozva egy r-rel. Hogy ez mi´ert t¨ort´ent ´ıgy a k¨ ovetkez˝ o r´eszben fog kider¨ ulni. Addig is sz´amoljuk ki a nyomat´ekot is hasonl´o m´odszerrel:
z = x2 + y 2 , z = 4,
Z2
f (x, y, z) = C
√
Z4−x2
Z4
Mxy = ´ Eszre kell vegy¨ uk, hogy ez egy z tengely k¨ or¨ uli forg´as M test, ´ıgy sx = 0, sy = 0, sz = Mxy a fent tanult m´odon.
x=−2
Z2
√ y=− 4−x2 z=x2 +y 2 √ Z4−x2 2 4
=
A m´ asik dolog amit ´erdemes ´eszrevenni, hogy mivel mind a t¨ omeg, mind a nyomat´ek tartalmazza az integr´ alj´ aban a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enyt, ami most konstans C, ´ıgy az kiemelhet˝ o, ´es egyszer¨ us´ıthet¨ unk vele. Jelen helyzetben el´eg f (x, y, z) = 1 -re elv´egezni az integr´ al´ asokat.
√ y=− 4−x2 √ Z4−x2
z 2
x=−2
Z2
8−
= x=−2
4
zdz dy dx =
√ y=− 4−x2
dy dx =
z=x2 +y 2
(x2 + y 2 )2 dy dx = 2
1.5.
Megint elv´egezz¨ uk az el˝ obbi helyettes´ıt´est: Z2π Z2 = ϕ=0
r=0
r=2 Z2π r4 r6 dϕ = 4r2 − (8 − )rdr dϕ = 2 12 0
Z2π 16 −
=
Hengerkoordin´ at´ as helyettes´ıt´ es
ϕ=0
x = r · cos(ϕ) y = r · sin(ϕ)
ϕ=0
64 dϕ = 12
Z2π
ϕ=2π 32 32 64 dϕ = ϕ π = 3 3 3 0
z=z
ϕ=0
Innen m´ ar k¨ onnyen ad´ odik, hogy: 64 π Mxy 8 sz = = 3 = M 8π 3 8 s = 0, 0, 3
∂x ∂r J = ∂y ∂r ∂z ∂r
Megjegyz´es:
∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂z ∂ϕ
∂(r·cos(ϕ)) ∂r ∂(r·sin(ϕ)) ∂y ∂z = ∂r ∂z ∂z ∂z
∂x ∂z
∂(r·cos(ϕ)) ∂ϕ
∂(r·cos(ϕ)) ∂z
∂(r·sin(ϕ)) ∂ϕ
∂(r·sin(ϕ)) ∂z
∂z ∂ϕ
∂r
∂z ∂z
cos(ϕ) −r · sin(ϕ) 0 L´ attuk, hogy az el˝ obbi feladatban a t¨ omeg ´es a ny cos(ϕ) −r · sin(ϕ) omat´ek kisz´ amol´ as´ ahoz is egy u ´j m´ odszert kellett = haszn´ alnunk, m´egpedig a Helyettes´ıt´es m´ odszer´et. Ennek = sin(ϕ) r · cos(ϕ) 0 = sin(ϕ) r · cos(ϕ) r´eszletes t´ argyal´ asa k¨ ovetkezik most. El˝ obb megn´ezz¨ uk 0 altal´ ´ anosan mi is a helyettes´ıt´es, hogyan alakul ´at az 0 1 integr´ alunk. Majd speci´ alis tipus´ u helyettes´ıt´esi eseteket vesz¨ unk. Nevezetesen megn´ezz¨ uk a Hengerkoordin´ at´ akra = r · cos2 (ϕ) − (−r · sin2 (ϕ)) = r · (cos2 (ϕ) + sin2 (ϕ)) = r ´es a G¨ ombkoordin´ at´ akra val´ o´ att´er´est. 1. P´elda: 1.4.
´ Altal´ anosan a helyettes´ıt´ es N´ezz¨ uk meg az el˝oz˝o feladatban, hogy alakul a sz´amol´as, ha azonnal ´att´er¨ unk hengerkoordin´ at´ akra:
x = x(u, v, w) y = y(u, v, w) z = z(u, v, w)
x = r · cos(ϕ),
−→
y = r · sin(ϕ), z=z
2. t´ etel (Helyettes´ıt´es h´ armasintegr´ aln´ al).
0 ≤ ϕ ≤ 2π 0≤r≤2
ZZZ f (x, y, z)dxdydz =
2
r = x2 + y 2 ≤ z ≤ 4
D
f (x, y, z) = C ZZZ f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))· Az, hogy a s˝ ur˝ us´eg konstans C most se v´altoztat semmin.
T
· |J (u, v, w)|dudvdw ,ahol J (u, v, w) a Jacobi -determin´ anst jel¨ oli, k¨ ovetkez˝ ok´epp sz´ amoljuk:
Z2
´es a
∂u
∂x ∂v
∂x ∂w
∂y ∂v
∂y ∂w
∂z ∂v
∂z ∂w
Z4−x2
Z4
M= x=−2
∂x ∂u ∂y J (u, v, w) = ∂u ∂z
√
√ y=− 4−x2
z=x2 +y 2
Z2π Z2 Z4
=
ϕ=0
Z2π Z2
rdz dr dϕ =
z=r 2 2
(4 − r )rdr dϕ = · · · = 8π
= ϕ=0
5
r=0
1dz dy dx =
r=0
=
√
Z4−x2
Z2
Mxy =
Z2 Z1
=
zdz dy dx = √ y=− 4−x2
x=−2
Z2π Z2 Z4 ϕ=0
r=0
z=r 2
Z2
Z2π = ϕ=0
z2 ·r 2
r=0
Z2π Z2
ϕ=0
z=x2 +y 2
r=0 π 2
z · rdz dr dϕ =
=
π
π
Z4
Z =
1 Z2 1 2r 1 2 dr dϕ = · · ln(1 + r ) dϕ = 4 1 + r2 4 0 ϕ=0
1 1 π π · ln(2) · (ln(2) − 0)dϕ = · ln(2) · = 4 4 2 8
ϕ=0
z=4
dr dϕ =
1.6.
G¨ ombikoordin´ at´ as helyettes´ıt´ es
r2
r4 64 (8 − )rdr dϕ = · · · = π 2 3
=
x = r · sin(α) · cos(β) y = r · sin(α) · sin(β)
r=0
ϕ=0
z = r · cos(α)
Sz´epen l´ atszik, hogy ugyanarra az eredm´enyre jutot tunk, hogy: s = 0, 0, 83 2. P´elda: ´ kkordin´at´ak jelent´ese: Uj Legyen adott a k¨ ovetkez˝ o tartom´ any ´es azon ´ertelmezett s˝ ur˝ us´eg:
• r: orig´ot´ol val´o t´ avols´ ag • α: z tengely pozit´ıv fel´evel bez´art sz¨og • β: xy s´ıkra vett vet´ıt´es x tengely poozit´ıv fel´evel bez´ert sz¨oge
D = {(x, y, z) : x2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2, x, y ≥ 0} z f (x, y, z) = 1 + x2 + y 2
Jacobi determin´ans: ∂x ∂r J = ∂y ∂r ∂z ∂r
Sz´ amoljuk ki a test t¨ omeg´et!
∂y ∂α
∂x ∂β
∂y ∂α
∂y ∂β
∂z ∂α
∂z ∂β
=
Megold´ as: ∂(r·sin(α)·cos(β)) ∂r = ∂(r·sin(α)·sin(β)) ∂r ∂(r·cos(α))
El˝ osz¨ or is t´erj¨ unk ´ at hengerkoordin´ at´ akra: π x = r · cos(ϕ) 0≤ϕ≤ 2 y = r · sin(ϕ) 0≤r≤1
∂r
0≤z≤1
z=z √
Z1 Z1−x2 Z2 M= x=0
y=0
Z Z1 Z2 = r=0
Z Z1 = ϕ=0
z · rdz dr dϕ = 1 + r2
r=0
Z Z1 =
∂(r·sin(α)·sin(β)) ∂α
∂(r·sin(α)·sin(β)) ∂β
∂(r·cos(α)) ∂α
∂(r·cos(α)) ∂β
r · cos(α) · cos(β) −r · sin(α) · sin(β) = cos(α) · r · cos(α) · sin(β) r · sin(α) · cos(β)
2 2 r z dr dϕ = 1 + r2 2 0
π 2
ϕ=0
z dz dy dx = 1 + x2 + y 2
z=0
π 2
∂(r·sin(α)·cos(β)) ∂β
=
sin(α) · cos(β) r · cos(α) · cos(β) −r · sin(α) · sin(β) = sin(α) · sin(β) r · cos(α) · sin(β) r · sin(α) · cos(β) = cos(α) −r · sin(α) 0
z=0
π 2
ϕ=0
∂(r·sin(α)·cos(β)) ∂α
sin(α) · cos(β) −r · sin(α) · sin(β) −(−r · sin(α)) · sin(α) · sin(β) r · sin(α) · cos(β)
1 r · dr dϕ = 2 1 + r2
r=0
6
− =
π
= cos(α) · r2 sin(α) cos(α) cos2 (β)− − −r2 sin(α) cos(α) sin2 (β) + +r sin(α)· r sin2 (α) cos2 (β)− − −r sin2 (α) sin2 (β) = = cos(α) · r2 sin(α) cos(α) cos2 (β) + sin2 (β) + +r sin(α) · r sin2 (α) cos2 (β) + sin2 (β) =
π
Z2 Z2 Z1 = α=0
β=0
π
α=0
β=0
Z Z2 =
Z
= r2 sin(α) cos2 (α) + r2 sin3 (α) = = r2 sin(α) cos2 (α) + sin2 (α) =
= α=0
sin(2β) dr dβ dα = 2
r=0
π 2
π 2
r4 sin3 (α)
1 sin(2β) 3 sin (α) dβ dα = 5 2
β= π2 1 − cos(2β) 3 sin (α) dα = 5 4 0
π
2
= r sin(α)
Z2 =
Most n´ezz¨ unk p´ ar p´eld´ at:
1 sin(α) · 1 − cos2 (α) dα = 10
α=0 π 2
1. P´elda:
Z
1 1 sin(α) + (− sin(α)) cos2 (α)dα = 10 10
= Legyen adott a k¨ ovetkez˝ o tartom´ any ´es azon ´ertelmezett s˝ ur˝ us´eg:
α=0
α= π2 −1 1 cos3 (α) = cos(α) + = 10 10 3 0 1 1 1 −1 + · = =0−0− 10 10 3 15
D = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1,
2. P´elda:
x, y ≥ 0} f (x, y, z) = xy
Legyen adott a k¨ovetkez˝o tartom´any ´es azon ´ertelmezett s˝ ur˝ us´eg: p D = {(x, y, z) : 1 ≥ x2 + y 2 + z 2 ≥ 4, z ≥ x2 + y 2 } f (x, y, z) = z
Sz´ amoljuk ki a test t¨ omeg´et! Megold´ as: El˝ osz¨ or is t´erj¨ unk ´ at g¨ ombi koordin´ at´ akra: π 2 π 0≤β≤ 2 0≤r≤1
x = r · sin(α) · cos(β)
0≤α≤
y = r · sin(α) · sin(β) z = r · cos(α) √
√
Z1 Z1−x2
1−x2 −y 2
Z
M= x=0 π 2
π 2
y=0
Z Z
xydz dy dx = Sz´amoljuk ki a test t¨omeg´et!
z=0
Z1
Megold´as:
r sin(α) cos(β) · r sin(α) sin(β) ·
= α=0
β=0
r=0
El˝osz¨or is t´erj¨ unk ´at g¨ombi koordin´at´akra: x = r · sin(α) · cos(β)
·r · sin(α)dr dβ dα = 2
y = r · sin(α) · sin(β) z = r · cos(α) 7
0 ≤ α ≤ 2π π 0≤β≤ 4 1≤r≤2
ZZZ M=
zdzdydx = D
π
Z4 Z2π Z2
2
r cos(α) · r sin(α)dr dβ dα =
= α=0
r=1
β=0 π 4
Z Z2π = α=0
r4 4
β=0
2
sin(2α) dβ dα = 2 1
π 4
=
Z 2π 15 sin(2α) β · · dα = 4 2 0
α=0
π
Z4 2π ·
=
15 sin(2α) · dα = 4 2
α=0
15π − cos(2α) · = 2 4
π4 0
15π 0 −1 15π = · − − = 2 4 4 8
3. P´elda: Legyen adott a k¨ ovetkez˝ o tartom´ any ´es azon ´ertelmezett s˝ ur˝ us´eg: D = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 ≥ 4} f (x, y, z) = 1 A g¨ omb¨ ot a z tengely ment´en ´ atf´ urjuk egy 1 sugar´ u (henger alak´ u) f´ ur´ oval. Mi lesz a marad´ek r´esz t´erfogata?
Vmarad´ek = Vg¨omb − Vhenger
8
