MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER

MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER

MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 082334051324

Daftar Referensi : 1. Kreyzig Erwin, Advance Engineering Mathematic, Edisi ke-7, John wiley,1993 2. Spiegel, Murray R, Advanced Calculus, Shcaum’s Series, mc. Graw Hill, Singapore, 1981 3. Spiegel, Murray R, Vektor Analysis, Shcaum’s Series, mc. Graw Hill, Singapore, 1981 4. T. Sutojo, S.Si., dkk, Aljabar Linier & Matriks, Penerbit Andi, 2010

STIMATA

BY : SRI ESTI


1. VEKTOR 1. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Besaran-besaran pada fisika banyak yang termasuk besaran vektor. Contohnya gaya, kecepatan, percepatan, perpindahan, momen gaya dan momentum.. Vektor jika digambar dilambangkan dengan tanda panah (→). Besar vektor proporsional dengan panjang panah dan arahnya bertepatan dengan arah panah. Vektor dapat melambangkan perpindahan dari titik A ke B. Vektor sering ditandai sebagai Contoh: 𝐴𝐵

B

A 𝐴𝐵

= notasi pada vektor AB



Titik pangkal di A



Titik ujung di B



Arah vektor dari A menuju



Besar vektor ditunjukkan oleh panjang garis AB

Vektor-vektor yang mempunyai arah dan panjang yang sama dikatakan ekivalen

Vektor yang panjangnya nol dinamakan vektor nol dan dinyatakan dengan 0. Penjumlahan dengan vektor nol didefinisikan 0+v=v+0=v Jika v sebarang vektor tak nol, maka −v (negatif v) adalah vektor yang mempunyai besaran sama seperti v tetapi arahnya berlawanan dengan v.

STIMATA

BY : SRI ESTI


Selain cara di atas, vektor bisa juga diberi lambang huruf alfabet kecil, misalkan diberikan vektor a. Jika elemen-elemen ditulis berderet membentuk satu baris, disebut vektor baris.

a=

vektor kolom [

a = [ a1, a2, a3, …, an] vektor baris

]

Latihan soal: 1. Berikut adalah gambar lima buah mobil yang diamati berdasarkan ciri-ciri yang dimilikinya yaitu massa, kecepatan, tinggi, panjang, dan harganya.

1

2

3

4

5

Misalkan data-data dari mobil tersebut adalah: Mobil ke :

1 2 3 4 5

Massa (kg)

Kecepatan (km/jam)

Tinggi (m)

Panjang (m)

Harga (Juta Rp)

50 75 150 400 100

2,7 2 1,5 1,2 2,5

3,5 3 2,3 2 2,4

300 200 400 700 550

2000 900 700 300 1000

Nyatakan data-data di atas sebagai vektor baris. 2. Ada 5 citra yang akan dikenali menggunakan komputer. Beberapa ciri untuk mengenali citra tersebut adalah dilihat dari standar deviasi intensitas warna dalam tiaptiap citra σ, rata-ratanya μ, histogramnya h, dan entropinya e.

1

2

3

4

5

Maka vektor ciri 5 buah citra tersebut dapat dinyatakan sebagai …

STIMATA

BY : SRI ESTI


1. Ruang Vektor 1.1 Vektor di ruang R2 dan R3 Vektor Satuan dan Vektor Basis di Ruang R2 Tinjau vektor-vektor berikut : y

j=(0, 1)

x i=(1, 0)

Masing-masing vektor ini mempunyai panjang 1 dan terletak sepanjang sumbu koordinat. Vektor tersebut dinamakan vektor satuan di ruang R2. Vektor basis di ruang R2 pada sumbu x dinyatakan dengan i, vektor satuan pada sumbu y dinyatakan dengan j, atau dalam bentuk vektor baris ditulis sebagai berikut e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) atau dalam bentuk vektor kolom berikut * +

* +

Oleh karena i dan j sebagai basis di ruang R2, maka setiap vektor ̅ = (V1, V2) di ruang R2 dapat dinyatakan dengan i dan j sebagai berikut : ̅ = (V1, V2) = V1(1, 0) + V2 (0, 1) = V1i, V2j = V1 * + + V2* +

Contoh : Vektor ̅ * +

artinya sama dengan [

]

(

)

(

)

* +

* +

Misalkan v suatu vektor pada bidang, titik awal v diletakkan pada pusat sistem koordinat, dan titik ujung v terletak pada koordinat (𝑣1,𝑣2), maka (𝑣1,𝑣2) dinamakan komponen dari v. Dalam hal ini ditulis v = (𝑣1,𝑣2).

STIMATA

BY : SRI ESTI


Secara geometri 𝑣1 menyatakan komponen pada sumbu x dan 𝑣2 menyatakan komponen pada sumbu y. Jika v = (𝑣1,𝑣2) dan w = (𝑤1,𝑤2) adalah vektor-vektor pada bidang (𝑅2), maka v ekivalen dengan w jika dan hanya jika 𝑣1=𝑤1 dan 𝑣2=𝑤2 . Jika v = (𝑣1,𝑣2) dan w = (𝑤1,𝑤2), maka berlaku 1. v + w = (𝑣1+𝑤1, 𝑣2+𝑤2) 2. k v = (𝑘𝑣1,𝑘𝑣2) dengan k suatu skalar

Contoh : Misalkan v = (−2, 1) dan w = (1, 3), maka v + w = (−2, 1) + (1, 3) = (−2+1, 1+3) = (−1, 4) 2v = 2(−2, 1) = (2.(−2), 2.1) = (−4, 2) v − w = (−2, 1) − (1, 3) = (−2−1, 1−3) = (−3, −2) w − v = (1, 3) − (−2, 1) = (1−(−2), 3−1) = (3, 2)

Kadang-kadang vektor diletakkan sedemikian sehingga titik awalnya tidak terletak pada pusat koordinat. Misalkan titik awalnya adalah 𝑃1(𝑥1,𝑦1) dan titik ujungnya adalah 𝑃2(𝑥2,𝑦2) maka 𝑃̅ ̅̅̅ 𝑃 = (𝑥2−𝑥1 , 𝑦2−𝑦1). Komponen 𝑃̅ ̅̅̅ 𝑃 didapat dengan mengurangkan koordinat tititk awal dari koordinat titik ujung. Jika dijelaskan dengan gambar, didapat pula 𝑃̅ ̅̅̅ 𝑃 = ̅ ̅̅̅ 𝑃 − ̅ 𝑃̅ = (𝑥2,𝑦2 ) − (𝑥1,𝑦1 ) = (𝑥2−𝑥1 , 𝑦2−𝑦1).

STIMATA

BY : SRI ESTI


Jika v = (𝑣1,𝑣2) adalah vektor di R2 maka panjang vektor (disebut norm ) v didefinisikan sebagai ‖𝑣‖ = √𝑣

𝑣

Jika 𝑃1(𝑥1,𝑦1) dan 𝑃2(𝑥2,𝑦2) adalah dua titik di R2, maka jarak dua titik tersebut didefinisikan sebagai norm dari vektor 𝑃̅ ̅̅̅ 𝑃 , yaitu d = √((𝑥

𝑥 )

(𝑦

𝑦 ) )

Vektor Satuan dan Basis di Ruang R3 Tinjaulah vektor-vektor berikut : z

k=(0,0,1) y j=(0,1,0) x

i=(1,0,0)

Masing-masing vektor ini mempunyai panjang 1 dan terletak sepanjang sumbu koordinat. Vektor tersebut dinamakan vektor satuan dan menjadi vektor basis di ruang R3. Vektor basis (vektor satuan) di ruang R3 pada sumbu x dinyatakan dengan i, vektor satuan pada sumbu y dinyatakan dengan j, sedang vektor satuan pada sumbu z dinyatakan dengan k, atau dalam bentuk vektor baris berikut :

e1 = (1,0,0),

e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)

atau dalam bentuk vektor kolom berikut :

STIMATA

BY : SRI ESTI


e1= [ ]

e2= [ ]

e3= [ ]

Oleh karena i, j, dan k basis di ruang R3, maka setiap vektor ̅ = (V1, V2, V3) di ruang R3 dinyatakan dengan i, j, k sebagai berikut : ̅ = (V1, V2, V3) = V1(1,0,0) + V2 (0,1,0) + V3(0,0,1) = V1i, V2j, V3k = V1[ ] + V2[ ] + V3[ ]

Contoh : Vektor ̅ [

]

𝑘 artinya sama dengan [

]

(

)

(

)

(

)

[ ]

[ ]

[ ]

Vektor di ruang R2 dan R3 diposisikan sedemikian rupa sehingga titik awalnya berada di titik asal sistem koordinat siku-siku, dan koordinat titik terminal tersebut dinamakan komponen-komponen vektor. Misalkan v suatu vektor pada ruang (𝑅3), maka komponen dari v adalah (𝑣1,𝑣2,𝑣3) yang secara geometri 𝑣1 menyatakan komponen pada sumbu x dan 𝑣2 menyatakan komponen pada sumbu y dan 𝑣3 menyatakan komponen pada sumbu z. Jika v = (𝑣1,𝑣2,𝑣3), dan w = (𝑤1,𝑤2,𝑤3), maka: 1. v ekivalen dengan w jika dan hanya jika 𝑣1=𝑤1,𝑣2=𝑤2,𝑣3=𝑤3. 2. v + w = (𝑣1+𝑤1,𝑣2+𝑤2,𝑣3+𝑤3) 3. k v = (𝑘𝑣1,𝑘𝑣2,𝑘𝑣3) dengan k suatu skalar Jika P1(𝑥1,𝑦1,𝑧1) dan P2(𝑥2,𝑦2,𝑧2) adalah titik-titik di 𝑅3, maka ̅̅̅ = (𝑥2−𝑥1 , 𝑦2−𝑦1, 𝑧2−𝑧1) 𝑃̅ 𝑃 Jika w = (𝑤1,𝑤2,𝑤3) suatu vektor di 𝑅3, maka panjang vektor (norm) w didefinisikan sebagai ‖ ‖ = √(𝑤 STIMATA

𝑤

𝑤 ) BY : SRI ESTI


Jika (𝑥1,𝑦1,𝑧1) dan P2(𝑥2,𝑦2,𝑧2) adalah dua titik di 𝑅3, maka jarak antara dua titik tersebut adalah norm dari vektor 𝑃̅ ̅̅̅ 𝑃 , yaitu 𝑥 )

d = √(𝑥

(𝑦

𝑦 )

(𝑧

𝑧 )

Contoh : Norma vektor v = (3, 4, 0) adalah ‖𝑣‖= √(

)=5

Jarak di antara titik P1(2, 1, 0) dan P2(4, −3, 1) adalah )

d= √((

(

)

(

) )= √(

(

)

)=√21.

Latihan soal: Tentukan komponen vektor dari gambar berikut: Y

1.

v 2 j 0

i

4

x z

2. 6

w

k 4 5

i

j

y

1.2 Vektor di ruang Rn Pada saat pertama kali ilmu vektor dikembangkan , hanya dikenal vektor – vektor di R2 dan R3 saja, tetapi dalam perkembangannya ternyata didapatkan permasalahan yang lebih kompleks sehingga dikembangkan vektor – vektor di ruang berdimensi 4 , 5 atau secara umum merupakan vektor – vektor di Rn . Secara geometris memang vektor – vektor di R4 dan seterusnya memang belum bisa digambarkan , tetapi dasar yang digunakan seperti operasi – operasi vektor masih sama seperti operasi pada vektor – vektor di R2 dan R3 . Orang yang pertama kali mempelajari vektor – vektor di Rn adalah Euclidis sehingga vektor – vektor yang berada di Rn dikenal sebagai vektor Euclidis , sedangkan ruang vektornya disebut ruang –n Euclidis.

STIMATA

BY : SRI ESTI


Vektor ̅ di ruang Rn dinyatakan sebagai ̅

[

]

Panjang sebuah vektor ̅ disebut juga norma ̅ dinyatakan dengan : ‖𝑎‖

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎 𝑎 𝑎 ‖𝑎‖

𝑎𝑛

𝑎𝑛

Vektor satuan dalam arah ̅ adalah : 𝑒𝑎

Contoh : Tentukan panjang vektor ̅ = i + 2j – 3k dan vektor satuan dalam arah a adalah : ‖ ‖

(

√ [

]

*

√

√

)

√

√

√

+

2. Jarak Euclidean Antara Dua Vektor ] dan vektor ̅

[

Jarak vektor ̅

[

] dinyatakan

sebagai : ‖𝑎𝑏‖

𝑏 )

√(𝑎

(𝑎

𝑏 )

(𝑎

𝑏 )

(𝑎𝑛

𝑏𝑛 )

Contoh : 𝑘 dan vektor ̅

Jarak vektor ̅ ‖

‖

√(

)

(

)

𝑘 adalah (

)

√

√

Aplikasi Jarak Euclidean dalam Pengenalan Pola Wajah Contoh: Diketahui tiga buah citra wajah yaitu Citra 1 (Dila), Citra 2 (Agil), dan Citra 3 (Alim) yang akan digunakan sebagai basis data untuk pengenalan pola wajah menggunakan komputer.

STIMATA

BY : SRI ESTI


1

2

3

Citra 1 :

σ = 0,15

μ = 40

e = 1,25

Citra 2 :

σ = 0,05

μ = 60

e = 2,35

Citra 3 :

σ = 0,24

μ = 53

e = 0,85

Kemudian diambil satu citra lagi, yaitu citra ke-4 sebagai citra uji. Pada citra uji dihitung nilai-nilai ciri citra tersebut, diperoleh data berikut: Citra 4 :

σ = 0,23

μ = 55

e = 0,82

Tentukan bagaimana komputer bisa mengenali citra ke-4? Dan siapakah nama dari citra ke-4 menurut hasil pengenalan komputer? Penyelesaian: Komputer bisa mengenali citra ke-4 menggunakan metode jarak dari euclidean. Pertama masing-masing basis data dari ciri citra dan citra uji dijadikan bentuk vektor berikut. C=[ ]

C1 = [

]

C2 = [

]

C3 = [

]

d14 = √(

)

(

)

(

)

d24 = √(

)

(

)

(

)

d34 = √(

)

(

)

(

)

C4 = [

]

Dari hasil perhitungan jarak menunjukkan bahwa citra ke-3 dan citra ke-4 mempunyai jarak paling kecil. Artinya citra ke-4 sangat mirip dengan citra ke-3, dibanding dengan citra ke-1 dan ke-2. Sehingga dari hasil perhitungan ini komputer memutuskan bahwa nama dari cara uji (citra ke-4) adalah Alim.

3. Aljabar Vektor Operasi-operasi pada vektor : 1. Kesamaan Dua Vektor Dua vektor ̅ dan ̅ adalah sama jika mereka memiliki besar/panjang dan arah yang sama dimanapun titik awalnya; ̅ = ̅

STIMATA

BY : SRI ESTI

MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER ̅ ̅

2. Negatif Sebuah Vektor Sebuah vektor dengan arah berlawanan terhadap vektor ̅ tetapi memiliki besar atau panjang yang sama dinyatakan sebagai - ̅.

̅ -̅

3. Resultan Dua Buah Vektor Jumlah atau resultan vektor ̅ dan ̅ adalah sebuah vektor ̅ yang terbentuk dengan meletakkan titik awal ̅ pada titik akhir ̅ dan menghubungkan titik awal ̅ ke titik akhir ̅. Jumlah ̅ ditulis sebagai ̅ + ̅. Definisi ini sama dengan hukum jajargenjang untuk penjumlahan vektor. ̅

̅ ̅

̅

̅

̅+̅

̅+̅ ̅

Perluasan terhadap jumlah lebih dari dua vektor dapat dilakukan secara langsung, contohnya : ̅ ̅ ̅ D

̅ ̅ E

4. Selisih vektor Selisih vektor ̅ dan ̅, direpresentasikan ̅ - ̅ adalah vektor ̅ yang ditambahkan ke ̅ menghasilkan ̅. Secara ekuivalen ̅ - ̅ dapat didefinisikan sebagai ̅ + ( ̅). Jika ̅ = ̅, maka ̅ - ̅ didefinisikan sebagai vektor kosong atau vektor nol. Vektor ini memiliki besar nol tetapi tidak memiliki arah.

STIMATA

BY : SRI ESTI


̅

̅-̅

̅ +(- ̅) ̅ ̅

5. Perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar Perkalian sebuah vektor ̅ dengan sebuah skalar m menghasilkan sebuah vektor m ̅ yang memiliki besar | | kali besar ̅ dan arah sama atau berlawanan dengan ̅ tergantung pada apakah m positif atau negatif. Jika m = 0, maka m ̅ = 0, berarti vektor nol. Contoh : Diketahui dua vektor a = i + 2j –3k dan b = 2i + 5j + 4k, maka: 5a = 5 (i + 2j –3k) = 5i + 10j – 15k 2a + 4b = 2 (i + 2j –3k) + 4 (2i + 5j + 4k) = (2i + 4j – 6k) + (8i + 20j + 16k) = 10i + 24j +10k Latihan soal: 1. Diketahui vektor A = 3i + 4j, gambarlah vektor 2A dan – 1/2A 2. Momentum adalah besaran vektor yang didefinisikan oleh P = mv. Sebuah massa 10 kg bergerak dengan kecepatan v = (5i + 5j – 20k) m/s. Tentukan momentum yang dimiliki oleh massa tersebut.

Dalil pada Operasi vektor : 1. ̅ + ̅ = ̅ 2. ̅ + ( ̅

̅ ̅)= ( ̅

hukum komutatif penjumlahan ̅)

̅

hukum asosiatif penjumlahan

3. m(n̅ ) = (mn) ̅ = n(m ̅ )

hukum asosiatif perkalian

4. (m + n) ̅ = m ̅ + n ̅

hukum distributif

5. m(̅ + ̅) =

̅

̅

hukum distributif

6. ̅ + 0 = ̅ 7. ̅ +(- ̅) = 0 8. ̅ .1 = ̅

STIMATA

BY : SRI ESTI


Operasi perkalian titik atau perkalian skalar :

Bila A= [

] dan B = [

(0

)

] adalah vektor di Rn, ϴ adalah sudut antara ̅ dan ̅

A= [

𝐴 𝐴

]

𝐴𝑛

𝜃

B=[

̅.̅

𝐵 𝐵

]

𝐵𝑛

Perkalian titik dari dua vektor ̅ dan ̅ , dilambangkan dengan ̅ . ̅ (dibaca ̅ dot ̅ ) didefinisikan sebagai perkalian dari besar ̅ dan ̅ dan cosinus sudut antara keduanya. Ini dituliskan : ̅ . ̅ = A1

B1 + A2B2 + ... + An Bn

Sedangkan sudut antara dua vektor tersebut didefinisikan oleh : ̅̅ ‖ ‖‖ ‖

Sifat-sifat perkalian titik : Misalkan ̅ dan ̅ adalah vektor di ruang Rn , 1. ̅ ̅ 2.

‖ ‖

( ̅ ̅)

‖ ‖

⁄

𝑘

𝑘 𝑘

⁄

𝑦

𝑘

𝑦

𝑘

𝑘 ̅ ̅

𝑦

𝑘

𝑣 𝑘

𝑘 ̅ ̅ 𝑘 ̅ ̅

Bukti : 1. Karena sudut ̅ ̅

STIMATA

di antara ̅ dan ̅ adalah 0, maka dapat diperoleh :

‖ ‖‖ ‖

‖ ‖

‖ ‖

BY : SRI ESTI


2. Karena ‖ ‖

̅ ̅

‖ ‖

‖ ‖‖ ‖

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

⁄

4. Cross Product Operasi perkalian silang atau perkalian vektor :

̅

̅ 𝜃 ̅

Jika ̅ = (A1, A2, A3) dan ̅ = (B1, B2, B3) adalah vektor di ruang R3, maka hasil kali ̅ 𝑥 ̅ adalah vektor ̅ yang tegak lurus terhadap ̅

̅ yang didefinisikan oleh determinan

berikut. 𝑘 ̅𝑥 ̅

|

̅𝑥 ̅

(|

̅𝑥 ̅

(

|

|

|

||

|)

)

Contoh : Carilah A x B dimana ̅

(

̅

)

(

)

Jawab : * A x B = (|

STIMATA

+ |

|

| |

|)

(

)

BY : SRI ESTI


Teorema Jika ̅

̅ adalah vektor dalam ruang R3, maka :

1. A.(A x B) = 0 2. | 𝑥 | Jika

| | | |

|

|

(Identitas Lagrange) ̅

adalah sudut di antara

̅ , maka A.B = | || |

, sehinga identitas

Lagrange dapat dituliskan kembali sebagai : | 𝑥 |

| | | |

|

| | | |

| | || |

| | | |

| | | |

| | | | (

| |

)

| | | | atau | 𝑥 |

| || |

Jadi besar dari hasil perkalian silang antara dua vektor ̅ genjang yang sisi-sisinya adalah panjang vektor ̅

̅ sama dengan luas jajaran

̅

Sifat-sifat hasil kali silang : 1. ̅ x ̅ = -(̅ 2. ̅ x ( ̅

̅) ̅ ) = ( ̅𝑥 ̅ )

( ̅𝑥 ̅ )

3. (̅ + ̅)𝑥 ̅ = ( ̅𝑥 ̅ )

( ̅ 𝑥 ̅)

4. k (̅ x ̅) = ( ̅ ) ̅

̅ ( ̅)

5. ̅ x 0 =

𝑥̅

6. ̅ x ̅ = 0 Soal-soal latihan: 1. Carilah komponen-komponen vektor yang bertitik awal di P dan terminal di Q a. P(-4,6) dan Q(7,9)

b. P(10,15,-8) dan Q(8,-8,-6)

2. Carilah vektor yang bertitik awal P(2,-4,3) yang mempunyai arah seperti v[1,3,1] 3. Carilah vektor yang bertitik terminal Q(4,0,-6) yang mempunyai arah berlawanan dengan v=[-4,6,8] 4. Misalkan P adalah titik (3,-3,4) dan Q adalah tititk (6,5,-1)

STIMATA

BY : SRI ESTI


a. Carilah titk tengah dari segmen garis yang menghubungkan P dan Q b. Carilah titik pada segmen garis yang menghubungkan P & Q yang ¾ dari P dan Q 5. Hitunglah panjang v bila a. v = [2,2,6]

b. v = [-6,-9,4]

6. Hitunglah jarak antara P dan Q bila a. P(4,2) dan Q(4,5)

b. P(2,1,-4) dan Q(8,-4,4)

7. Diketahui tiga citra buah, yaitu Citra 1(jeruk), Citra 2(Apel), Citra 3(Pisang) yang akan digunakan sebagai basis data untuk pengenalan pola wajah menggunakan komputer

Beberapa ciri untuk mengenali citra tersebut adalah dilihat dari standar deviasi intensitas warna dalam tiap-tiap citra σ, rata-ratanya μ, dan entropinya e. Setelah ketiga ciri tersebut dihitung diperoleh data berikut: Citra 1 :

σ = 0,05

μ = 30

e = 1,42

Citra 2 :

σ = 0,25

μ = 70

e = 1,65

Citra 3 :

σ = 0,45

μ = 58

e = 2, 65

Kemudian diambil 1 citra lagi, yaitu citra ke-4 sebagai citra uji. Pada citra uji dihitung nilai-nilai ciri citra tersebut, diperoleh data berikut: Citra 4 :

σ = 0,04

μ = 31

e = 1,41

Tentukan bagaimana komputer bisa mengenali citra ke-4? Dan apa nama buah dari citra ke-4 menurut hasil pengenalan komputer? 8. Sebuah massa 20 kg bergerak dengan kecepatan v = (-2i+8j -4k) m/s. tentuakan momentum yang dimiliki oleh massa tersebut. 9. Tentukan : a. a.b bila a = [4,8,-9] dan b = [-8,12,-4] b. Jarak A(4,6,6), B(-6,-8,1) c. Jarak vektor a = [2,8] dan b = [-7,-4] 10. a. Tentukan k supaya a = [3,k,-4,1] mempunyai panjang √ b. Berapa sudut antara a = [-1,4,8,-4] dan b = [2,0,4,0] c. Tentukan k supaya a = [2,k,-5] tegak lurus b =[0,-k,4]

STIMATA

BY : SRI ESTI

MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER

Recommend Documents