MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET „A” Matematika 11. évfolyam TANULÓK KÖNYVE 2. FÉLÉV

A kiadvány KHF/4387-13/2008. engedélyszámon 2008.12.17. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv

A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3.1.1. központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás feladataira) keretében készült, a suliNova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: www.educatio.hu címen.

Matematika szakmai vezető: Oláh Vera Szakmai tanácsadók: Csatár Katalin, Árváné Doba Mária Alkotószerkesztő: Oláh Judit Grafika: Darabos Noémi Ágnes, dr. Fried Katalin Lektor: Pálmay Lóránt Felelős szerkesztő: Teszár Edit

H-AMAT1102 © Szerzők: Csákvári Ágnes, Darabos Noémi Ágnes, Vidra Gábor Educatio Kht. 2008. Tömeg: 420 gramm Terjedelem: 15,61 (A/5 ív)

A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Tantárgy-pedagógiai szakértő: Kónya István Tudományos szakmai szakértő: dr.Marosváry Erika Technológiai szakértő: Ábrahám Júlianna

tartalom

6. modul: Koordinátageometria1 – Az egyenes (Vidra Gábor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7. modul: Koordinátageometria2 – A kör (Vidra Gábor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 8. modul: E gyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek (Darabos Noémi Ágnes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel (Csákvári Ágnes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

A könyvben kidolgozott MINTAPÉLDÁK segítenek a tananyag megértésében. A FELADATOK szintjét a sorszám előtti házikó mutatja: alapszintű feladatok: középszintű feladatok: emelt szintű feladatok: Ahol nincs ilyen jelzés, azt a példát mindenkinek ajánljuk.

6. MODUL koordinátageometria1 – Az egyenes Készítette: Vidra Gábor

6

MATEMATIKA „A” • 11. ÉVFOLYAM

TANULÓK KÖNYVE

I. Az egyenes pontjai, ábrázolása A koordináták és a velük kapcsolatos tevékenységek átszövik a mindennapjainkat még akkor is, ha ezzel nem vagyunk tisztában. Mobiltelefonok használata, műholdas helymeghatározás, ábrák, képek, honlapok monitoron történő megjelenítése, adó-vevő antennák telepítése, csillagok tanulmányozása, robottevékenységek tervezése: mind-mind olyan feladat, amikor szükség van a koordinátákra mint a helymeghatározás vagy a mozgások leírásának legalapvetőbb eszközére. Ebben a modulban megismerjük azokat a problémákat a koordinátageometriából, amelyeket egyenesekkel tudunk megoldani. A koordináta-rendszert tartalmazó síkot koordinátasíknak nevezzük. Ha kiegészítjük egy origón áthaladó, mindkét koordinátatengelyre merőleges z tengellyel (számegyenessel), akkor térbeli koordináta-rendszert kapunk. A koordináta-rendszer x tengelyét abszcisszatengelynek, y tengelyét ordinátatengelynek nevezzük. A koordinátasíkon minden pontot egy rendezett (azaz nem felcserélhető) valós számpár jellemez. A számpár első tagját abszcisszának, második tagját ordinátának nevezzük. Ezek a pont koordinátái. Pont ( abszcissza; ordináta )

Mintapélda1 Döntsük el, hogy a P(1; 0), az R(–3; –6) és az S(20; 40) pont eleme-e az e : y = 2 x − 2 egye-

nesnek? Megoldás: Aki tud egyenest ábrázolni, az a P és R pontról valószínűleg könnyen el tudja dönteni, hogy rajta van-e, vagy sem. Azonban a 40 mint koordináta általában kívül esik azon a tartományon, amit ábrázolni szoktunk, ezért találnunk kell egy másik módszert az eldöntésre.

Egy pont akkor eleme egy egyenesnek, ha a pont megfelelő koordinátáit az egyenes egyenletébe behelyettesítve, az egyenes egyenlete igazzá válik.

Másképpen fogalmazva egy pont akkor van rajta az egyenesen, ha a pont koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét.

7

6. modul: KOORDINÁTAGEOMETRIA – Az egyenes

Az S(20; 40) pont koordinátáit behelyettesítve az e egyenes egyenletébe: 40 = 2 ⋅ 20 − 2 állítást kapjuk, ami nem igaz. Az S pont koordinátái nem teszik igazzá az egyenes egyenletét, ezért S nem eleme e egyenesnek. Ezzel szemben a P(1; 0) pont esetében 0 = 2 ⋅ 1 − 2 valóban fennáll, vagyis P ∈ e . Hasonlóan: R ∉ e , mert − 6 ≠ 2 ⋅ (− 3) − 2 . Az egyenesek grafikonjának elkészítésekor az egyenes egyenletének y = mx + b alakját használtuk általános iskolában. m jelenti a meredekséget, b pedig azt az értéket, ahol az egyenes metszi az y tengelyt.

A meredekség megmutatja, hogy ha az egyenes egyik pontjától 1 egységgel x irányba lépünk, akkor y irányba hány egységet kell lépnünk egy másik pont megjelöléséhez. Például az y = 2 x − 5 egyenes esetén m = 2, b = −5 . Ábrázoláskor az y tengelyen –5 értékhez bejelöljük az egyenes egy pontját. Az egyenes egy másik pontját kapjuk, ha 1-et jobbra, 2-t felfelé lépünk a meredekségnek megfelelően. Ekkor az (1; –3) pontba érünk.

Megjegyzés: A koordináta-rendszerben egy egyenest úgy is ábrázolhatunk, hogy meghatározzuk két tetszőleges pontjának koordinátáit, ezeket kijelöljük és összekötjük.

Feladatok 1. Döntsd el, hogy eleme-e az e egyenesnek a P pont!

a) e : 2 x − y = 6 , P(5; 4);

b) e : x + 4 y = 10 , P(–2; 3);

c) e : 3 y + 2 x − 5 = 0 , P(–1; 3);

d) e : −3x = − y + 6 , P(3; 14).

2. Válaszd ki, hogy p mely értéke mellett illeszkedik az A(4, –2) pont az e : 3x + py = 20

egyenesre!

a) 4;

b) – 0,5;

c) 0,25;

d) – 4;

e) 0.

3. Válaszd ki a megadottak közül az e : 3x − 5 y = 4 egyenes y tengellyel alkotott metszés-

pontját! 4 a) − ; 5

b)

4 ; 3

4⎞ ⎛ c) ⎜ 0; − ⎟ ; 5⎠ ⎝

⎛4 ⎞ d) ⎜ ; 0 ⎟ ; ⎝3 ⎠

e) (3; 0).

8


TANULÓK KÖNYVE

4. A P(4; 6) pont illeszkedik az y = mx + 3 egyenesre. Mennyi az egyenes meredeksége?

4 b) − ; 3

a) 4;

c) –3;

d)

3 ; 4

e) −

3 4

5. Melyik értéknél metszi az e : 3x − 2 y = p egyenes az y tengelyt, ha az egyenes átmegy az

R(6; 7) ponton?

a) 3;

b) – 2;

c)

3 ; 2

d)

2 ; 3

e) 2.

6. Add meg az 5 x + y = 12 egyenes tengelymetszeteit (vagyis azokat az értékeket, ame-

lyeknél az egyenes metszi a tengelyeket), és még 2-2 pontját ábrázolás nélkül! 7. Határozd meg az 5 x − 2 y = 10 egyenes metszéspontját az x tengellyel! 8. Adott egy háromszög három csúcsa: A(–9; –4), B(3; 4) és C(11; –4). Olvasd le az

oldalegyeneseinek jellemző adatait, és írd fel azok az egyenleteit! 9. Adott egy háromszög oldalegyeneseinek egyenlete: 2 y + x + 4 = 0; x = y − 7; y + 2 x = 4 .

Ábrázold koordináta-rendszerben a háromszöget, add meg csúcspontjainak koordinátáit, és határozd meg a háromszög területét! 10. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége –2, és

a) az y tengelyt az A(0; 3) pontban metszi! b) az x tengelyt a (4; 0) pontban metszi! 11. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége 0,4, és át-

megy az (5; – 1) ponton! 12. Adott egy háromszög három csúcsa: A(–5; 2), B(2; –3) és C(3; 1).

a) Lehet-e az e : x = y + 1 egyenes a háromszög egyik oldalegyenesének egyenlete? b) Lehet-e az f : x = 3 y egyenes a háromszög egyik súlyvonalának egyenlete?

9


II. Az egyenes egyenlete Mintapélda2

Megadunk néhány pontot, amelyek egy-egy egyenesen vannak. Keressünk összefüggést a pontok koordinátái között! a) A(– 2; 1), B(4; 3), C(10; 5);

b) A(5; 2), B(– 2; 2), C(11; 2);

c) A(– 4; 1), B(– 4; 2), C(– 4; – 5);

d) A(0; 4), B(– 3; 6), C(12; – 4).

Megoldás:

A három pont egy egyenesen fekszik. Ábrázolás után leolvashatjuk az egyenesek egyenleteit:

a) x = 3 y − 5 ;

b) y = 2 ;

c) x = −4 ;

d) 2 x + 3 y = 12 .

A koordinátageometriában a pontokat mindig koordinátáikkal jellemezzük. Az alakzatoknak végtelen sok pontja lehet (egyenesek, körök, parabolák stb.), ezért nem lehet egy alakzatot úgy megadni, hogy a pontjait felsoroljuk. Helyette megadjuk azt, hogy milyen szabály érvényes az alakzat pontjainak koordinátáira. Például az e: x = 3 y − 5 összefüggés egy egyenest ad meg, és minden kétismeretlenes, elsőfokú egyenlet (x és y ismeretlenekkel) megfeleltethető egy egyenesnek a koordinátasíkon. Úgy is fogalmazhatunk, hogy 1. az egyenes minden pontjának két koordinátájára érvényes az egyenletében megadott összefüggés (vagyis az e pontjainak x és y koordinátájára érvényes, hogy x = 3 y − 5 ), ugyanakkor 2. csak az egyenesen találhatók olyan pontok a koordinátasíkon, amelyeknek koordinátáira érvényes az összefüggés (vagyis az összes pont, amelynek x és y koordinátájára 3x − y = 5 fennáll, rajta van az e egyenesen).

Megjegyzés: Sok alakzat egyenlete az egyenes egyenleténél algebrailag bonyolultabb. Az alábbi ábra példákat mutat görbékre és egyenleteikre:

10


TANULÓK KÖNYVE

Általánosságban egy alakzat egyenletén olyan egyenletet értünk, amelyet az alakzat pontjainak koordinátái, és csakis azok tesznek igazzá.

Másképpen fogalmazva, egy alakzat egyenletét pontjainak koordinátái kielégítik, és a pontjain kívül semmilyen más pont koordinátái nem elégítik ki. Ha az alakzat egyenlete y = 4 , akkor a pontjai (x; 4) alakúak, ahol x végigfutja a valós számok halmazát. Ez az alakzat egy x tengellyel párhuzamos egyenes.

Egy alakzat egyenlete alkalmas arra is, hogy ha egy pontjának megadjuk az egyik koordinátáját, akkor az egyenletből meghatározhatjuk a másik koordináta értékét. Például ha a pont a 3x − y = 5 egyenes egyik pontja, és a pont y koordinátája 1, akkor ezt behelyettesítve az egyenletbe, megkapjuk a pont x koordinátáját: 3x − 1 = 5 ⇒ x = 2 , vagyis a pont a (2; 1). Megjegyzés: A számítógépek a görbéket ugyanilyen elv alapján tárolják és ábrázolják: részgörbékre bontják, és a képpontok helyett a görbék egyenleteinek megfelelő kifejezéseket, kiszámított állandókat tárolják.

Az egyenes irányának jellemzői Az egyenes irányát jellemző mennyiségek: irányvektor, v(v1; v2): olyan vektor, amely az egyenessel párhuzamos, és hossza nem nulla; normálvektor, n(A; B): olyan vektor, amely az egyenesre merőleges, és hossza nem nulla; irányszög, α: az egyenesnek az x tengely pozitív irányával bezárt szöge,

nagysága − 90° < α ≤ 90° ;


11

meredekség, m: például az y = mx + b alakú egyenes egyenletéből határozhatjuk meg; azt

mutatja meg, hogy az x tengely pozitív irányába egységnyit lépve mennyit „emelkedik” vagy „süllyed” az egyenes.

Az egyenes meredekségének két másik elnevezését is használjuk: iránytényező és iránytangens. A meredekség az egyenes irányszögének tangensével egyenlő:

m = tg α. Megjegyzés: Nem minden egyenesnek van meredeksége. 90°-nak nincs tangense, ezért az x = állandó egyenletű, y tengellyel párhuzamos egyenesek esetén iránytényezőről nem beszélhetünk.

Az egyenes egyenletei Az egyenes egyenletének felírásához szükségünk van az egyenes egy pontjára, amit P0(x0; y0)-lal jelölünk. Ezenkívül vagy egy másik pont, vagy egy olyan adat, amelyik az egye-

nes irányát jellemzi. A v(v1; v2) irányvektorú, P0 (x0; y0) ponton átmenő egyenes egyenlete (röviden irányvektoros egyenlet): v2 ⋅ ( x − x0 ) = v1 ⋅ ( y − y0 ) , átalakított formájában v2 x − v1 y = v2 x0 − v1 y 0 . Az n(A; B) normálvektorú, P0(x0; y0) ponton átmenő egyenes egyenlete (röviden normálvektoros egyenlet): Ax + By = Ax0 + By0 . Az m iránytangensű, P0(x0; y0) ponton átmenő egyenes egyenlete (röviden iránytényezős egyenlet): y − y0 = m( x − x0 ) . Ezt átalakítva kapjuk a jól ismert y = mx + b alakot (b = y0 − mx0 ) .

12


TANULÓK KÖNYVE

Megjegyzések:

1. Ha P1 ( x1 ; y1 ) és P2 (x2 ; y 2 ) az egyenes két pontja, akkor egy irányvektor a pontok koordinátáiból is meghatározható: v (v1; v2) = v (x2 – x1; y2 – y1)

2. Az egyenes egyenletei egymásból levezethetők. A meredekség és az irányvektor között találjuk a következő kapcsolatot: m = tgα =

v2 y 2 − y1 = . v1 x2 − x1

v2 ( x − x0 ) . v1 v1-el szorozva v1 ⋅ ( y − y 0 ) = v 2 ⋅ ( x − x0 ) , vagyis az irányvektoros egyenlet adódik. Ezt beírva az iránytényezős egyenletbe: y − y0 =

3. A normálvektoros egyenlet is levezethető az irányvektoros egyenletből. Ehhez azt használjuk fel, hogy a normálvektort +90°-kal vagy –90°-kal elforgatva az egyenes egy irányvektorát kapjuk: n(A; B) → v(B; –A). v1 helyébe B -t, v2 helyébe (–A) -t helyettesítünk az irányvektoros egyenletbe, és átalakítjuk: − A ⋅ ( x − x0 ) = B ⋅ ( y − y0 ) ⇒ Ax0 + By0 = Ax + By . 4. Az eddigi egyenleteken kívül az egyenesnek több egyenlete is ismeretes. Az egyenes egyenletének általános alakja: Ax + By + C = 0, ahol A, B és C állandók (A és B közül legfeljebb az egyik lehet 0, azaz A 2 + B 2 ≠ 0 ). Térben ez kiegészül az Ax + By + Cz + D = 0 alakra ( A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 ).

Feladatok 13. Határozd meg a következő egyenesek meredekségét, irányszögét, valamely irányvekto-

rát és normálvektorát!

13


14. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek irányvektora v, és átmegy a meg-

adott ponton! a) v(3; 5), A(1; 3);

b) v(–2; 7), B(0; –3);

c) v(0; 4), C(0; 0);

d) v(–2; 2), D(–4; –6).

15. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek normálvektora n, és átmegy a

megadott ponton!

a) n(–3; 5), A(3; 0);

b) n(0; –2), C(0; 0);

c) n(5; 10), B(–2; 4);

d) n(–3; 2), D(–3; –2).

16. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége m, és átmegy a

megadott ponton!

a) m =

3 , A(4; –2); 4

2 c) m = − , C(4; –2); 3

b) m = –1, B(–2; –2); d) m = 0, D(–2; –2).

17. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek irányszöge α, és átmegy a meg-

adott ponton!

a) α = 45°, A(−3; 4) ;

b) α = 135°, P (0; 2) ;

c) α = 60°, C (5; −1) ;

d) α = 141,3°, R(5; 6) .

18. Határozd meg a következő egyenesek irányszögét, valamely irányvektorát és normál-

vektorát!

a) e : 2 x − y = 5 ;

b) f : 4 y − 7 = −2 x ;

c) g : x + 7 = 0 ;

d) h : y = 3 .

19. Az egyenes négy irányjellemző adatából (α, m, v és n) egyet megadtunk. Add meg a

többi jellemző értékét!

a) m =

2 ; 3

c) n( 5; 3);

b) v( 3; –7); d) α = 66,04° .

14


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda3 Adott A(–4; 1), B(4; 5) és C(4; –5). Írjuk fel az ABC háromszög néhány nevezetes vonalának egyenletét: az mc magasság, sa súlyvonal és kc középvonal egyenletét keressük. Megoldás:

Az egyenesek egyenletéhez olyan vektorokat keresünk, amelyek párhuzamosak az adott egyenessel vagy merőlegesek rá.

mc felírásához az AB vektort használjuk, mert merőleges mc-re, így normálvektor: n = AB(b1 − a1 ; b2 − a2 ) = AB(8; 4) .

⎧ n( 8; 4) mc : ⎨ ⎩C (4; − 5)

Ax + By = Ax0 + By0 8x + 4 y = 8 ⋅ 4 − 4 ⋅ 5 / : 4 mc : 2 x + y = 3

sa egyenes párhuzamos AF vektorral. Az AF -t meghatározzuk, ez a keresett súlyvonal egyenesének egyik irányvektora. Az egyenes egyenletének meghatározásához mindegy, hogy az A vagy az F pont koordinátáit helyettesítjük be, ugyanazt az eredményt kapjuk. ⎛b +c b +c ⎞ A felezőpont: F ⎜ 1 1 ; 2 2 ⎟ = F (4; 0) , 2 ⎠ ⎝ 2 AF ( f1 − a1 ; f 2 − a 2 ) = AF (8; − 1)

⎧ v(8; − 1) sa : ⎨ ⎩ F (4; 0)

v 2 x − v1 y = v 2 x0 − v1 y 0 − x − 8 y = (−1) ⋅ 4 − 8 ⋅ 0 sa : x + 8 y = 4

kc középvonallal párhuzamos az AB , és a középvonal átmegy az F felezőponton. Mivel AB(8; 4 ) , ezért a normálvektor: n(4; –8).

⎧n( 4; − 8) kc : ⎨ ⎩ F (4; 0)

Ax + By = Ax0 + By0

4 x − 8 y = 4 ⋅ 4 + (− 8) ⋅ 0 / : 4 kc : x − 2 y = 4

15


Feladatok 20. Készíts vázlatot, majd írd fel az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenletét!

a) A( 1; 5), B(5; 1);

b) A( –3; 2), B(7; –4);

c) A( –3; 1), B(1; –7);

⎛ 8 ⎞ ⎛ 10 ⎞ d) A⎜ − ; 3 ⎟, B⎜ ; 1⎟ . ⎝ 3 ⎠ ⎝3 ⎠

21. Adott egy háromszög három csúcsa: A(3; 5), B(0; – 4), C(– 4; 4). Lehet-e az

e : 2 y = x + 7 egyenes a háromszög egyik magassága?

22. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik a tengelyeket az A és B

pontokban metszi! a) A(3; 0), B(0; 6); b) A(–4; 0), B(0; 2);

c) A(–6; 0), B(0; –5); d) A(3; 0), B(0; –5).

23. Mekkora területű háromszöget vág le a tengelyekből az az egyenes, amely az AB vek-

torral párhuzamos, és átmegy a P ponton? a) A(2; 5), B(4; 2), P(–3; –1);

b) A(1; 4), B(–2; 2), P(4; 4).

24. Egy háromszög oldalfelező pontjai P(–3; 0), Q(0; –2) és R(2; 2). Határozd meg a há-

romszög oldalait alkotó egyenesek egyenleteit!

25. Adott A(3; –4), B(–5; –4) és C(0; 2). Írd fel az ABC háromszög legrövidebb oldalának

és a hozzá tartozó nevezetes vonalaknak (oldalfelező merőleges, magasság, súlyvonal, középvonal) az egyenleteit!

26. Bizonyítsd be, hogy A(–7; 0), B(–1; 2) és C(8; 5) egy egyenesbe eső pontok!

27. Adottak az A(–5; 4), B(1; 0) és C( 11; –6) pontok. Bizonyítsd be, hogy ez a három pont

nem esik egy egyenesbe!

16


TANULÓK KÖNYVE

III. Egyenesek kölcsönös helyzete Egyenesek metszéspontja Két metsző egyenes metszéspontja mindkét egyenesre illeszkedik, ezért a metszéspont koordinátái igazzá teszik mindkét egyenes egyenletét. Az egyenesek (és bármely két görbe) metszéspontját úgy határozzuk meg, hogy megoldjuk az egyenleteikből álló egyenletrendszert.

Feladatok 28. Egy négyzet A csúcsából kiinduló két oldalának egyenlete y = 2 x − 4 és 2 y + x = 22 .

Válaszd ki az A csúcs az origótól mért távolságát az alábbiak közül! a) 6;

b) 7;

c) 8;

d) 9;

e) 10.

29. Készíts vázlatot, majd határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik átha-

lad az e és f egyenes metszéspontján, és még egy adott P ponton! a) e : x + y = 1;

f : y + 5 = 2 x;

b) e : 2 y = x + 1; c) e : 2 y = 2 x + 17;

P(− 3; − 1) ;

f : 2 y + 13 = 3 x;

P(− 1; − 2 ) ;

f : 4 y + 3 x = 6; P(− 2; 1) .

30. Adott a háromszög három csúcsa: A(–5; 5), B(7; 1), C(–1; –7). Határozd meg a

C csúcshoz tartozó magasság talppontját!

17


31. Adott a háromszög három csúcsa: A(0; 6), B(–6; 2), C(4; –2). Határozd meg a követke-

ző pontokat: a) Az a oldalhoz tartozó magasság és a b oldalhoz tartozó súlyvonal metszéspontja; b) A c oldalhoz tartozó magasság és a c oldalhoz tartozó középvonal metszéspontja; c) A háromszög magasságpontja;

Párhuzamos és merőleges egyenesek Mintapélda4 Egy háromszög csúcsai: A(0; –3), B(8; 3), C(–4; 5). a) Írjuk fel a C csúccsal szemközti oldalegyenes (c), a c oldalhoz tartozó magasság (m) és oldalfelező merőleges (f), valamint a c oldallal párhuzamos középvonal (k) egyenletét! b) Határozzuk meg c, k, m és f egyenesek valamely irányvektorát, valamely normálvektorát és meredekségét! c) Hasonlítsuk össze az előbb kapott értékeket, és keressünk szabályt: mikor párhuzamos egymással két egyenes, illetve mikor merőleges egymásra két egyenes? Megoldás: 90° a) AB(b1 − a1 ; b2 − a2 ) ⇒ AB(8; 6) ⎯⎯ ⎯→(6; − 8) ⎛a +c a +c ⎞ AC felezőpontja: ⎜ 1 1 ; 2 2 ⎟ = (− 2; 1) , 2 ⎠ ⎝ 2 ⎛a +b a +b ⎞ AB felezőpontja: ⎜ 1 1 ; 2 2 ⎟ = (4; 0) , 2 ⎠ ⎝ 2

⎧⎪ v = AB (8; 6) c:⎨ ⇒ c : 3x − 4 y = 12 ⎪⎩ A(0; − 3)

⎧⎪ v = AB(8; 6) k :⎨ ⇒ c : 3x − 4 y = −10 ⎪⎩ (-2; 1)

⎧⎪n = AB(8; 6) m:⎨ ⇒ c : 4 x + 3 y = −9 ⎪⎩ A(0; − 3)

⎧⎪n = AB(8; 6) f :⎨ ⇒ c : 4 x + 3 y = 16 ⎪⎩ (4; 0)

b) A normálvektorokat leolvassuk az egyenesek Ax + By = Ax0 + By0 alakú egyenletéből: nc(3; – 4);

nk(3; – 4);

nm(4; 3);

nf(4; 3).

A normálvektort 90°-kal elforgatva kapunk irányvektorokat: vc(4; 3);

vk(4; 3);

vm(3; – 4);

vf(3; – 4).

18


TANULÓK KÖNYVE

A meredekségeket leolvashatjuk, ha az egyenesek egyenleteit y = mx + b alakúra átalakítjuk, de használhatjuk az m =

mc =

3 4;

mk =

3 4;

v2 összefüggést is: v1

mm = −

4 3;

mf = −

4 3.

c) Egymással párhuzamos egyenesek esetén az irányvektorai, illetve a normálvektorai is párhuzamosak (egymás skalárszorosai).

Irányvektora azonban végtelen sok lehet egy egyenesnek, ezért célszerű az iránytényezők között is összefüggést megfogalmazni (mármint ha van az egyenesnek iránytényezője). Természetesen a párhuzamos egyenesek irányszöge megegyezik, míg a merőleges egyenesek irányszögének különbsége 90°. Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha iránytényezőjük megegyezik:

e || f ⇔ me = m f

Két egyenes akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha iránytényezőjük egymás negatív reciproka:

e ⊥ f ⇔ me = −

1 mf

A fenti feltételrendszer csak iránytényezővel rendelkező egyenesekre érvényes. (A merőleges esetben egyik iránytényező sem nulla.)

Feladatok 32. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik merőleges az f : y = egyenesre, és átmegy a P(3; 6) ponton! 33. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik párhuzamos az

f : 4 y + x = 12 , egyenessel, és átmegy a P(–5; 2) ponton!

4 x+4 7

19


34. Az e egyenes egyenlete: 4 y = px − 5 . a) Igaz-e, hogy p = 3 esetén e párhuzamos az f : 3 y + 1 = 4 x egyenessel? b) p milyen értéke mellett lesz e merőleges az f : 3 y + 2 = 12 x egyenesre?

35. Az alábbi egyenesek közül melyik merőleges az y + 2 x = 5 egyenesre?

e : y = 2x + 2 ;

f :y=

1 x +3; 2

1 g : y = − x −1; 2

h : y = −2 x ;

i: y = x −2.

36. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik áthalad e : 3 y = x + 10 és

f : 2 y + x = 5 egyenesek metszéspontján, és párhuzamos a g : 3 y = 2 x + 2 egyenessel!

37. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik áthalad e : 2 y + 3x = 1 és

f : 2 y + 3 = x egyenesek metszéspontján, és merőleges a g : 3 y + 2 x = 25 egyenesre!

Mintapélda5 3 Határozzuk meg a következő két egyenes hajlásszögét: e : y = 2 x − 7 és f : y = − x + 6 . 4

Megoldás: A feladat megoldásához célszerű felrajzolni az egyeneseket, és az ábrán megvizsgálni a hajlásszögüket, amelyek nagysága az iránytangensekből számítható: tgα1 = 2 ⇒ α1 ≈ 63,43° és tgα = −

3 ⇒ α 2 ≈ 36,87° . 4

A két szög összege adja a hajlásszöget: α1 + α 2 ≈ 100,3° . Mivel ez 90°-nál nagyobb, ezért a megoldás 180° − 100,3° = 79,7° .

20


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda6 Határozzuk meg a következő két egyenes távolságát: e : y =

3 3 x − 4 és f : y = x + 3 . 2 2

1. megoldás: Észrevehetjük, hogy a két egyenesnek egyenlő az iránytényezője, ezért párhuzamosak. Az f egyenes egyik tetszőleges pontját (P) kiválasztva, ezen át merőlegest állítunk az e egyenesre (g), és meghatározzuk e és g metszéspontját (R). Végül kiszámítjuk a PR távolságot (d). ⎧ P(2; 6) ⎪ g :⎨ 2 ⎪⎩m = − 3

⇒

y−6 = −

2 (x − 2) ⇒ 3

⎧e : −3x + 2 y = −8 ⇒ ⎨ ⎩ g : 2 x + 3 y = 22

R = e∩ g

⇒

d = PR =

( p1 − r1 )2 + ( p 2 − r2 )2

⇒

g : 2 x + 3 y = 22 ⎛ 68 50 ⎞ R⎜ ; ⎟ . ⎝ 13 13 ⎠

PR =

196 ≈ 3,9 . 13

2. megoldás: Tekintsük az ábrán látható ABC derékszögű háromszöget, melynek α szöge az egyenesek irányszögével egyenlő: m = tgα =

3 2

⇒

α ≈ 56,3° .

Az AB távolság meghatározásához tudjuk, hogy AC = 7 egység, és az ABC háromszögből szögfüggvénnyel kiszámítjuk a keresett távolságot:

d = AC ⋅ cos α ≈ 3,9 .

Megjegyzés: Mindkét megoldási módszernek van előnye és hátránya. Az első megoldás több számolással (és ezzel együtt több hibázási lehetőséggel is) jár, viszont pontos irracionális értéket kapunk. A második esetben rövidebb, egyszerűbb a számítás, de a kerekítések (és a lehetséges kerekítési hibák) miatt előfordulhat, hogy az előzőnél kevésbé pontos megoldást kapunk.

21


Feladatok 38. Határozd meg az origó és az adott egyenesek távolságát, ha a) 3 y +12 = x ;

b) y = 4 x + 10 ;

c) 5 x + 8 y = 16 ;

d) 3x = 8 y + 13 .

39. Határozd meg a P pont és az e egyenes távolságát, ha a) P(–4; 4), e : x = 3 ;

b) P(–4; 7), e : y = x + 2 ;

40. Határozd meg e és f egyenesek hajlásszögét!

c) P(–4; –1), e : 2 x + 3 y = 16 .

a) e : 2 y = x + 7, f : 2 y + 3x = −5 ;

b) e : 3 y = 2 x + 21 , és az f egyenes áthalad a P(0; –4) és R(–2; 2) pontokon.

41. Határozd meg e és f egyenesek távolságát, ha b) e : 5 y + 4 = 2 x ; f : 2 x + 7 = 5 y ;

a) e : y = 3 x − 5 ; f : y = 3x + 3 ; c) e : 4 x + 3 y = 2 ; f : 4 x + 3 y = 12 .

42. Egy négyzet A csúcsából kiinduló két oldalának egyenlete 3 y − x = 15 és y = −3x − 15 . Válaszd ki az A csúcs az origótól mért távolságát az alábbiak közül! a) 6;

b) 9 5 ;

c) 8;

d)

45 ;

e) 10 .

43. Egy négyzet két oldalegyenesének egyenlete: 3x + 5 y = 10 és 3x + 5 y = −15 . Határozd meg a négyzet területét!

44. Egy szabályos hatszög két oldalegyenesének egyenlete: 4 y = x + 18 és 4 y = x − 12 . Határozd meg a hatszög területét!

45. Egy repülő a megfigyelő radar képernyőjén az e : 4 y + 3x = −7 egyenletű egyenesen halad. Mellette mindkét oldalon, tőle 4 egység távolságban két másik repülő nyomvonala látható. Határozd meg a másik két repülő útjának egyenletét!

22


TANULÓK KÖNYVE

IV. Vegyes feladatok 46. Adott az egyenlőszárú háromszög alapjának két végpontja: A(–1; –1) és B(–5; 5), a harmadik (C) csúcs az e : y + 3 = 3x egyenesre illeszkedik. Határozd meg C koordinátáit!

47. Adott egy háromszög két csúcsa: A(–5; –3) és B(9; –6), valamint a súlypontja S(2; –1). a) Határozd meg a hiányzó C csúcsot! b) Határozd meg a háromszög oldalegyeneseit!

48. A P pontot tükröztük az e egyenesre. Határozd meg a tükörkép (P’) koordinátáit! a) e : 2 y + 4 x = −9, P (− 4; − 3) ;

b) e : y + 6 = 3 x, P(6; − 3) .

49. Egy tűzoltó helikopter repül a B(8; 6) bázisról a T(–4; 2) tűzesethez, miközben vizet vesz fel az y = −1 egyenletű folyóból. Határozd meg a folyónak azt a pontját, amelyet a lehető legrövidebb út megtétele közben érintenie kell!

50. Egy biliárdasztal egyik sarkához rögzített koordináta-rendszerben a piros golyó az A(4; 4) pontban, a kék golyó a B(16; 10) pontban áll. A pirossal a falat (x tengelyt) érintve kell eltalálni a kék golyót. a) Milyen egyenletű egyenes mentén kell elindítani a piros golyót? b) A faltól számítva milyen szögben indítsuk a piros golyót?

51. Egy biliárdasztal egyik sarkához rögzített koordináta-rendszerben a piros golyó az A(2; 10) pontban, a kék golyó a B(16; 4) pontban áll. A pirossal mindkét falat (y, majd x tengelyt) érintve kell eltalálni a kék golyót. a) Milyen egyenletű egyenes mentén kell elindítani a piros golyót? b) Milyen szögben indítsuk a piros golyót?

52. Egy háromszög két csúcsának koordinátái A(–5; –5) és B(1; 6), és a harmadik csúcsnál levő szöget az y = 2 egyenes felezi. Határozd meg a harmadik csúcs koordinátáit!


23

53. Adott az A(–5; 3) és B(7; 6) pont. Határozd meg az x tengelynek azt a P pontját, amelyre az APB törött vonal hossza a lehető legrövidebb! 54. Állítsunk az e : 2 y = x + 4 egyenesre merőlegest a 4 abszcisszájú pontjában. Ennek az egyenesnek melyik lesz az a pontja, amelynek az ordinátája kétszer akkora, mint az abszcisszája?

55. Egy négyzet átlójának egyenese e : 5 y = x + 1 , egyik csúcsa A(3; –7). Határozd meg a négyzet többi csúcsát!

56. Az A(3; 6) pont és e : x + 2 y = 5 egyenesre tükrözött képe (C) egy négyzet szemközti csúcsait adják. Határozd meg a hiányzó csúcsok koordinátáit!

57. A(–2; 6) a négyzet egyik csúcsa, e : 18 x − 4 y = 25 az egyik középvonala. Határozd meg a hiányzó csúcsokat!

58. Egy háromszög egyik csúcsa A(–6; 0), másik két csúcson átmenő magasságvonal egyenlete mb : 9 x + 5 y = −24 és mc : 5 x − 3 y = 0 . Határozd meg a háromszög hiányzó csúcsainak koordinátáit!

59. A g : 2 y + x = 6 egyenesnek melyik pontja van egyenlő távolságra az e : 2 y = x + 10 és

f : 2 y = x − 6 párhuzamos egyenesektől? 60. Adott a háromszög B(–6; 6) csúcsa, valamint az a oldalhoz tartozó súlyvonalának és magasságvonalának egyenlete: s a : 9 x − 8 y + 26 = 0, ma : 5 y = 4 x + 26 . Határozd meg a hiányzó csúcsok koordinátáit!

61. Egy koordináta-rendszerben adottak az A(−8,0), B(0,−3), C(8,0), D(0,3) pontok. Igaze, hogy ez a négy pont egy rombuszt határoz meg? A választ indokold!

24


TANULÓK KÖNYVE

Kislexikon Abszcisszatengely: a koordináta-rendszer x tengelye. Ordinátatengely: a koordináta-rendszer y tengelye. Alakzat egyenlete: olyan egyenlet, amelyet az alakzat pontjainak koordinátái, és csakis azok tesznek igazzá. Másképpen fogalmazva egy alakzat egyenletét pontjainak koordinátái kielégítik, és pontjain kívül semmilyen más pont koordinátái nem elégítik ki.

Meredekség: megmutatja, hogy ha az egyenes egyik pontjától 1 egységgel x irányba lépünk, akkor y irányba hány egységet kell lépnünk egy másik pont megjelöléséhez.

Az egyenes irányát jellemző mennyiségek: irányvektor, v(v1; v2): olyan vektor, amely az egyenessel párhuzamos, és hossza nem nulla; normálvektor, n(A; B): olyan vektor, amely az egyenesre merőleges, és hossza nem nulla; irányszög, α: az egyenes x tengely pozitív irányával bezárt szöge, nagysága 0° ≤ α < 180° ; meredekség, m: például az y = mx + b alakú egyenes egyenletéből határozhatjuk meg; azt mutatja meg, hogy az x tengely pozitív irányába egységnyit lépve mennyit „emelkedik” vagy „süllyed” az egyenes.

iránytényező, iránytangens: az egyenes meredekségének két másik neve. A meredekség az egyenes irányszögének tangensével egyenlő: m = tg α.

Megjegyzés: Nem minden egyenesnek van meredeksége. 90°-nak nincs tangense, ezért az x = állandó egyenletű, y tengellyel párhuzamos egyenesek esetén az iránytényezőről nem beszélhetünk.

25


Az egyenes egyenletei a síkbeli koordináta-rendszerben: y = mx + b alak: az egyenesek grafikonjának ábrázolásakor is használjuk.

m jelenti a meredekséget, b pedig azt az értéket, ahol az egyenes metszi az y tengelyt.

irányvektoros egyenlet: a v(v1; v2) irányvektorú, P0(x0; y0) ponton átmenő egyenes egyenlete: v2 ⋅ ( x − x0 ) = v1 ⋅ ( y − y0 ) , másik formájában v2 x − v1 y = v2 x0 − v1 y0 ;

normálvektoros egyenlet: az n(A; B) normálvektorú, P0(x0; y0) ponton átmenő egyenes egyenlete: Ax + By = Ax0 + By0 ;

iránytényezős egyenlet: Az m iránytangensű, P0(x0; y0) ponton átmenő egyenes egyenlete: y − y 0 = m( x − x 0 ) ;

általános alak: Ax + By + C = 0 , ahol A 2 + B 2 ≠ 0 .

Egyenesek párhuzamosságának feltétele:

e || f ⇔ me = m f ( me ≠ 0, m f ≠ 0 ). Egyenesek merőlegességének feltétele:

e ⊥ f ⇔ me = −

1 mf

( me ≠ 0, m f ≠ 0 ).

Egyenesek metszéspontjának meghatározása: megoldjuk az egyenleteikből álló egyenlet-

rendszert.

7. MODUL koordinátageometria2 – A kör Készítette: Vidra Gábor

28


TANULÓK KÖNYVE

I. A kör egyenlete Mintapélda1 Jelölje k a C(3; – 5) középpontú, 10 egység sugarú kört. a) Ábrázoljuk a kört koordináta-rendszerben! b) Döntsük el a P(–7, – 5), Q(15; –5), R(9; 3) és S(3; –13) pontokról, hogy illeszkednek-e kra! Megoldás: Az esetek többségében az ábráról nem olvasható le pontosan az illeszkedés, ezért ellenőrzésnek használjuk a Pitagorasz-tételt! Gondoljuk végig, mi annak a feltétele, hogy a pont a körön legyen! (Például 8; 6 és 10 pitagoraszi számhármast alkotnak.) P és R illeszkednek, S és Q nem illeszkedik a körre. c) Keressünk további pontokat, amelyek illeszkednek k körre! d) Határozzuk meg, hogy a kör hol metszi a tengelyeket! Megoldás: A négyzetrács adta lehetőségeket kihasználva, a Pitagorasz-tétel segítségével határozzuk meg a tengelymetszetekhez tartozó távolságokat. Például az ábrán pirossal jelölt derékszögű háromszögben a nagyobb befogó hossza: 10 2 − 32 = 91 ≈ 9,5 . Így az y tengellyel alkotott metszéspontok: K(0, 4,5)és M(0; –14,5). Hasonlóan, a másik jelölt derékszögű háromszögben az x tengelyen található befogó hossza: 10 2 − 5 2 = 75 ≈ 8,7 . Az x tengellyel alkotott metszéspontok: N(11,7; 0) és L(–5,7; 0).

7. modul: KOORDINÁTAGEOMETRIA – A kör

29

e) A kör egy pontjának abszcisszája (x koordinátája) –1. Határozzuk meg a pont hiányzó ordinátáját (y koordináta)! Megoldás: A tengelymetszetek esetében alkalmazott módszert használjuk: a négyzetrácson megkeressük a megfelelő derékszögű háromszöget. d = 10 2 − 4 2 = 84 ≈ 9,2 .

Két pontot találtunk. F(–1; 4,2) és G(–1; –14,2).

Mintapélda2 a) Jelölje g az x 2 + y 2 = 25 egyenletű görbét. Keressünk olyan pontokat, amelyek illeszkednek a görbére, és ábrázoljuk a megtalált pontokat koordináta-rendszerben! Megoldás: A 3; 4; 5 pitagoraszi számhármas (azaz igaz rá, hogy

32 + 4 2 = 5 2 ). Ennek ismeretében az egész koordinátájú pontokat könnyű megtalálni: (0; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 0). A szimmetria miatt ezen pontok tükörképei a tengelyekre és az origóra szintén a görbe pontjai, pl. (–3; 4) vagy (–3; –4). Nem egész koordinátájú pontok a görbén például

(2; −

)(

)

21 , − 3,5; 12,75 stb.

A pontok egy körön helyezkednek el.

30


TANULÓK KÖNYVE

b) Jelölje k az (x + 2) + ( y − 3) = 25 egyenletű görbét. Keressünk olyan egész koordinátájú 2

2

pontokat, amelyek illeszkednek a görbére, és ábrázoljuk a megtalált pontokat koordinátarendszerben!

Megoldás: Az a) feladathoz hasonlóan járunk el. A pontok most is egy körön helyezkednek el. Az egész koordinátájú pontok: (3; 3), (2; 6), (1; 7), (–2; 8), (–5; 7), (– 6; 6), (–7; 3), (– 6; 0), (–5; –1), (–2; –2), (1; –1), (2; 0). A 2. mintapéldában kapott ponthalmazok körök, amelyeknek egyenletei: x 2 + y 2 = 25 , illetve

(x + 2)2 + ( y − 3)2 = 25 .

Az 1. mintapéldában található kör középpontja C(3; –5), sugara

10 egység, és a kör pontjainak koordinátáira érvényes az (x − 3) + ( x + 5) = 100 összefüggés. 2

2

Ezek az egyenletek a körvonal minden pontjának koordinátáira érvényesek, és a körvonalra nem illeszkedő pontok koordinátái nem teszik igazzá az egyenleteket. A C(u; v) középpontú, r sugarú kör egyenlete:

(x − u )2 + ( y − v )2 = r 2

Mintapélda3 Írjuk fel az A(–6; 4) és B(2; –2) végpontú AB szakasz Thalész-körének egyenletét! Megoldás: A köregyenlethez a középpont koordinátáira és a sugárra van szükség. •

⎛ a +b a +b ⎞ A középpont az AB szakasz felezőpontja: F ⎜ 1 1 ; 2 2 ⎟ = F (− 2;1) . 2 ⎠ ⎝ 2

•

A sugár az AB szakasz hosszának a fele, és AB =

(a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2

= 64 + 36 = 10 .

Az (x − u ) + ( y − v ) = r 2 köregyenletbe behelyettesítve az u = −2; v = 1 és r = 5 értéke2

2

ket: [ x − (− 2) ] 2 + ( y − 1) = 25 , ahonnan a megoldás: (x + 2 ) + ( y − 1) = 25 . 2

2

2

31


Feladatok 1. Írd fel az AB szakasz Thalész-körének egyenletét, ha a szakasz végpontjai:

a) A(–6; 0), B(0; 0);

b) A(2; –6), B(–4; 6);

c) A(6; 4), B(–4; 1).

2. Egy rádióadó helye a koordináta-rendszerben a P(5; –4) pont, és az adás 13 egység su-

garú körben fogható. Döntsd el az alábbi pontokról ábrázolás nélkül, hogy azokban fogható-e a rádióadás? A(–8; –4), B(0; 7), C(–10; 0), D(10; 8), E(16; 2), F(16; –2), G(–2; –16). 3. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelyik az (x + 2) + ( y − 4) = 20 körrel koncent2

rikus, és

a) kétszer akkora sugarú;

2

b) áthalad az A(3; – 5) ponton!

4. Írd fel az ábrán látható négyzetekbe, illetve köréjük írható körök egyenleteit!

5. Egy négyzet három oldalegyenesének egyenlete: y = −5; y = 7; x = 3 .

a) Írd fel a négyzet csúcsainak koordinátáit! b) Írd fel a négyzetbe írható kör egyenletét! c) Írd fel a négyzet köré írható kör egyenletét! 6. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a C pont, és érinti az e egye-

nest!

a) C (0; 0 ), e : y = −6 ;

b) C (− 1; 2 ), e : x = 3 ;

c) C (3; − 2 ), e : 4 x − 3 y = −7 ;

d) C (6; − 4 ), e : 3 x − 4 y = −16 .

32


TANULÓK KÖNYVE

A kör egyenletének különböző alakjai A kör egyenletét az előzőektől eltérő algebrai alakban is felírhatjuk. Például az

(x − 2)2 + ( y + 5)2 = 9

kör egyenlete felírható a négyzetre emelés elvégzése és rendezés után

az x 2 + y 2 − 4 x + 10 y + 20 = 0 alakban is. Az egyenlet az algebrai átalakítások után is ugyanannak a körnek az egyenlete. Például: 1 2 1 2 x + y − 2 x + 5 y + 10 = 0 2 2

3x 2 + 3 y 2 − 12 x + 30 y + 60 = 0

Szokás az ilyen módon megadott köregyenletet a kör általános egyenletének nevezni.

Mintapélda4 Párosítsuk össze az ugyanazt a kört leíró köregyenleteket! A. (x + 4) + y 2 = 25 2

1. 9 x 2 + 9 y 2 + 30 x + 36 y − 47 = 0

2

1⎞ ⎛ B. x + ⎜ y − ⎟ = 1 2⎠ ⎝ 2

2. 2 x 2 + 2 y 2 − 32 x − 20 y − 22 = 0

2

5⎞ ⎛ 2 C. ⎜ x + ⎟ + ( y + 2) = 12 3⎠ ⎝

3. 4 x 2 + 4 y 2 − 4 y − 3 = 0

D. (x − 8) + ( y − 5) = 100

4. x 2 + y 2 + 8 x − 9 = 0

2

2

Megoldás: Elvégezzük a hatványozást és megvizsgáljuk, kell-e az eredményként kapott kifejezést tovább alakítani, hogy megegyezzen a jobb oldali oszlop valamelyik kifejezésével.

(x + 4)2 + y 2 = 25

⇒ x 2 + 8 x + 16 + y 2 = 25

/ − 25

⇒

x 2 + y 2 + 8x − 9 = 0 ;

2

1⎞ 1 1 3 ⎛ x + ⎜ y − ⎟ = 1 ⇒ x 2 + y 2 − 2 ⋅ ⋅ y + = 1 ⇒ x 2 + y 2 − y − = 0 /⋅ 4 2⎠ 2 4 4 ⎝ 4x 2 + 4 y 2 − 4 y − 3 = 0; 2

2

5⎞ 5 25 ⎛ 2 2 + y 2 + 4 y + 4 = 12 / − 12 ⎜ x + ⎟ + ( y + 2 ) = 12 ⇒ x + 2 ⋅ ⋅ x + 3 3 9 ⎝ ⎠ 10 47 x2 + y2 + x + 4 y − = 0 /⋅ 9 3 9 9 x 2 + 9 y 2 + 30 x + 36 y − 47 = 0 ;

33


(x − 8)2 + ( y − 5)2 = 100

⇒ x 2 − 16 x + 64 + y 2 − 10 y + 25 = 100 / − 100 x 2 + y 2 − 16 x − 10 y − 11 = 0

/⋅ 2

2 x + 2 y − 32 x − 20 y − 22 = 0. 2

2

Így az egymásnak megfelelő párok: A – 4; B – 3; C – 1; D – 2. Észrevehetjük, hogy a kör egyenlete kétismeretlenes, másodfokú egyenlet, de nem minden kétismeretlenes másodfokú egyenlet kör egyenlete. Tudnunk kell eldönteni egy másodfokú, kétismeretlenes egyenletről, hogy az köregyenlet-e vagy sem, és a köregyenletből tudnunk kell meghatározni a kör középpontját és sugarát. A kör egyenletének általános alakja: Ax 2 + Ay 2 + Bx + Cy + D = 0 , ahol A ≠ 0 . Vegyük észre, hogy ebben az egyenletben az x2 és y2 tag együtthatója egyenlő, és nincs benne xy-os tag. Csak az ilyen alakú egyenlet lehet kör egyenlete!

Mintapélda5 Határozzuk meg a következő körök középpontját és sugarát! a) x 2 + y 2 + 10 x − 6 y − 15 = 0 ;

b) 2 x 2 + 2 y 2 − 2 x − 2 y − 1 = 0 ;

c) x 2 + y 2 + 4 x + 2 y + 21 = 0 ;

d) x 2 − 7 x + y 2 + 2 y + 13,25 = 0 .

Megoldás: Az egyenlet bal oldalán teljes négyzetet tartalmazó kifejezéseket alakítunk ki. a) x 2 + y 2 + 10 x − 6 y − 15 kifejezésben x 2 + 10 x az (x + 5) kifejezésben található, hiszen 2

(x + 5)2 = x 2 + 10 x + 25 . Hasonlóan:

( y − 3)2 = y 2 − 6 y + 9 .

y 2 − 6 y az ( y − 3) kifejezés része: 2

Ennek megfelelően az egyenlet bal oldalát átalakítjuk:

x 2 + y 2 + 10 x − 6 y − 15 = 0

⇒

(x + 5)2 − 25 + ( y − 3)2 − 9 − 15 = 0

Átrendezve:

(x + 5)2 + ( y − 3)2 = 49

A kör egyenlete:

(x − u )2 + ( y − v )2 = r 2

/ + 49

Ezeket összehasonlítva u = −5 , v = 3 és r 2 = 49 adódik, ahonnan a kör középpontja C(– 5; 3), sugara 7 egység.

34


TANULÓK KÖNYVE

b) A teljes négyzetté kiegészítés előtt az egyenletet 2-vel osztjuk, hogy az x2 és az y2 kifejezések együtthatója 1 legyen. Elvégezzük a teljes négyzetté alakítást: x2 + y2 − x − y −

1 =0 2

2

2

1⎞ 1 ⎛ 1⎞ 1 1 ⎛ ⎜x − ⎟ − +⎜ y − ⎟ − − = 0 2⎠ 4 ⎝ 2⎠ 4 2 ⎝

⇒

2

2

1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎜x − ⎟ +⎜ y − ⎟ =1 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝

⎛1 1⎞ A köregyenlettel ezt összevetve, a középpont: C ⎜ ; ⎟ , a sugár 1 egység. ⎝2 2⎠ c) Elvégezzük a teljes négyzetté kiegészítéseket: x 2 + y 2 + 4 x + 2 y + 21 = 0

⇒

(x + 2)2 − 4 + ( y + 1)2 − 1 + 21 = 0 (x + 2)2 + ( y + 1)2 = −16

–16 nem lehet egy valós szám négyzete (így a sugáré sem), ezért az egyenlet nem köregyenlet. (Egy „üres alakzat” egyenlete.) d) Átalakítás után x 2 − 7 x + y 2 + 2 y + 13,25 = ( x − 3,5) − 3,5 2 + ( y + 1) − 1 + 13,25 = 2

2

= ( x − 3,5) + ( y + 1) − 13,25 + 13,25 = ( x − 3,5) + ( y + 1) , vagyis (x − 3,5) + ( y + 1) = 0 . 2

2

2

2

2

2

Ez azt jelenti, hogy a „kör” sugara nulla: csak a (3,5; –1) koordinátájú pont elégíti ki az egyenletet.

Mintapélda6 Válasszuk ki az alábbi egyenletekből a köregyenleteket! a) x 2 + y 2 − 10 x + 19 = 0 ;

b) 8 x 2 + 8 y 2 − 4 x + 12 y + 9 = 0 ;

c) x 2 − y 2 − 2 x + 2 y + 2 = 0 ;

d) 2 x 2 + 2 y 2 + 24 x + 32 y = 0 .

Megoldás: 2

2

a) (x − 5) + y = 6 , köregyenlet;

1⎞ ⎛ 3⎞ 1 ⎛ b) ⎜ x − ⎟ + ⎜ y + ⎟ = − , nem köregyenlet; 4⎠ ⎝ 4⎠ 2 ⎝

c) nem köregyenlet;

d) (x + 6 ) + ( y + 8) = 100 , köregyenlet.

2

2

2

2

35


Feladatok 7. Melyik köregyenlethez melyik középpont tartozik?

A. (x − 6) + ( y + 2) = 10 ;

B. x 2 + y 2 + 5 x − 5 y + 0,5 = 0 ;

C. x 2 + y 2 + 6 x − 2 y + 2 = 0 ;

D. x 2 + y 2 − 7 x − 3 y = 0 ;

2

1. (− 2,5; 2,5) ;

2

2. (− 3; 1) ;

3. (6; − 2 ) ;

⎛7 3⎞ 4. ⎜ ; ⎟ . ⎝2 2⎠

8. Melyik pont nem lesz egyik körnek sem a középpontja?

A. x 2 + y 2 − 16 x − 10 y − 11 = 0 ;

B. x 2 + y 2 + 3 y − 10 = 0 ;

C. x 2 + y 2 − 2 x + 2 y + 2 = 0 ;

D. 9 x 2 + 9 y 2 − 6 x − 1 = 0 ;

1. (0; − 1,5) ;

⎛1 ⎞ 2. ⎜ ; 0 ⎟ ; ⎝3 ⎠

3. (8; 5) ;

4. (2; − 2 ) .

9. Határozd meg a következő egyenletekkel megadott körök középpontját, sugarát!

a) x 2 + y 2 − 24 x − 6 y + 89 = 0 ;

b) x 2 + y 2 + 2,5 x + 5 y + 3,8125 = 0 ;

c) 4 x 2 + 4 y 2 + 8 x − 8 y − 1 = 0 ;

d) 3x 2 + 4 x + 3 y 2 − 8 y = 0 .

10. Ábrázold a koordináta-rendszerben a következő egyenletekkel megadott köröket!

a) x 2 + y 2 − 4 x + 3 y = 0 ;

b) x 2 + y 2 + 8 x − 10 y + 5 = 0

c) 25 x 2 + 25 y 2 + 20 x + 160 y + 196 = 0 ;

d) 20 x 2 + 20 y 2 − 220 x − 140 y − 595 = 0 .

11. A k kör két pontja A(2 ; − 1) és B(6 ; 7 ) , és középpontja illeszkedik a 2 y = x + 6 egye-

nesre. Válaszd ki, hogy a következő egyenletek közül melyik lehet k egyenlete! A. x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 6 = 0 ;

B. x 2 + y 2 + 4 x − 8 y − 6 = 0 ;

C. x 2 + y 2 − 4 x − 8 y − 5 = 0 ;

D. 2 x 2 + 2 y 2 − 8 x + 16 y + 5 = 0 .

12. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek érintője az y = 4 egyenes, azon az érin-

tési pont a P(5; 4 ) pont, és a sugara 7 egység. Az egyenletet összeg alakban add meg!

36


TANULÓK KÖNYVE

13. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely felezi a x 2 + y 2 + 10 x + 14 y + 14 = 0

egyenletű kör területét, és illeszkedik az A(2; 5) pontra! 14. Az ABC háromszög átfogójának két végpontja: A és B. A harmadik csúcsról tudjuk,

hogy valamelyik koordinátatengelyre illeszkedik. Határozd meg a háromszög harmadik csúcsát! (Ügyelj a megoldások számára is!) a) A(− 7 ; − 7 ), B(1; − 1) ;

b) A(− 2 ; 6 ), B(14 ; − 6 ) ;

c) A(− 5 ; 2 ), B(− 5 ; − 6 ) ;

d) A(2 ; − 6 ), B(6 ; 2 ) .

37


II. A kör és az egyenes A kör és az egyenes kölcsönös helyzete

Az egyenesek metszéspontját a koordináta-rendszerben úgy határoztuk meg, hogy megoldottuk az egyenleteikből álló egyenletrendszert. Akkor említettük, hogy ez a módszer általános esetben, bármely két alakzat metszéspontjának kiszámításához, így kör és egyenes esetében is használható. Egy kör és egy egyenes metszéspontját úgy határozzuk meg, hogy megoldjuk az egyenleteikből álló egyenletrendszert. Természetesen ennek a másodfokú, kétismeretlenes egyenletrendszernek nincs mindig megoldása. A megoldás során az is kiderül, hogy milyen a kör és az egyenes kölcsönös helyzete. Ha az egyenletrendszernek nincs megoldása, akkor az egyenesnek és a körnek nincs közös pontja, egy megoldás esetén érintő, két megoldás esetén metsző az egyenes.

Mintapélda7 Határozzuk meg az ( x − 2 ) + ( y + 5) = 20 és az y + 2 x = −5 egyenes közös pontjainak szá2

2

mát! Megoldás:

Megoldjuk a két egyenletből álló egyenletrendszert, pl. behelyettesítő módszerrel. Az egyenes egyenletéből y = −2 x − 5 , így a (− 2 x − 5) kifejezést y helyére a köregyenletbe behelyettesítjük:

38


TANULÓK KÖNYVE

(x − 2)2 + [(− 2 x − 5) + 5]2 = 20

⇒

x 2 − 4 x + 4 + 4 x 2 = 20

5 x 2 − 4 x − 16 = 0 másodfokú egyenlet adódik.

⇒

(x − 2)2 + (− 2 x )2 = 20 , a négyzetre emelések után:

A metszéspontok száma attól függ, hogy ennek a másodfokú egyenletnek hány megoldása van. A megoldások számát a diszkrimináns dönti el: D = (− 4) − 4 ⋅ 5 ⋅ (− 16 ) = 336 . 2

Mivel a diszkrimináns pozitív, az egyenletnek két megoldása van, vagyis az egyenes (két pontban) metszi a kört.

Mintapélda8 Az (x − 1) + ( y + 2 ) = 25 egyenletű körnek mely pontjai vannak egyenlő távolságra az 2

2

A(8 ; 2) és a B(10 ; − 4 ) pontoktól? Megoldás:

A keresett pontok az AB szakasz felezőmerőlegesének és a körnek a metszéspontjai. A szakasz felezőpontja F (9 ; − 1) , f normálvektora az AB (2 ; − 6 ) . A 1 felezőmerőleges egyenes egyenlete: f : y = x − 4 . 3 A kör és f metszéspontjának kiszámításához az f egyenletéből és a kör egyenletéből álló egyenletrendszert kell megoldani. Célszerű az egyenes egyenletéből x-et kifejezni, mert így egész együtthatókkal számolhatunk : f : 3 y = x − 12

⇒

x = 3 y + 12 .

Ezt beírjuk a kör egyenletébe:

(3 y + 12 − 1)2 + ( y + 2)2 = 25

⇒

(3 y + 11)2 + ( y + 2)2 = 25 . Négyzetre emelés és rende-

zés következik, majd megoldjuk a kapott másodfokú egyenletet: 9 y 2 + 66 y + 121 + y 2 + 4 y + 4 − 25 = 0

⇒ 10 y 2 + 70 y + 100 = 0 / : 10 y 2 + 7 y + 10 = 0

y1, 2 =

− 7 ± 49 − 4 ⋅1⋅10 − 7 ± 3 = 2 2

⇒

y1 = −5 ; y 2 = −2 . Két metszéspontot kaptunk.

Mindkettőhöz kiszámítjuk a hiányzó abszcisszát: x1 = 3 ⋅ (− 5) + 12 = −3 , illetve x2 = 3 ⋅ (− 2 ) + 12 = 6 . A keresett pontok: (–3; –5) és (6; –2).

39


Feladatok 15. Határozd meg a kör és egyenes kölcsönös helyzetét az alábbi feladatokban! Ha az egye-

nes metsző vagy érintő, akkor határozd meg az érintési, illetve a metszéspontokat is! a) (x − 4) + ( y + 2) = 25 és y = x + 2 ; 2

2

b) (x − 3) + ( y + 5) = 100 és x = −7 ; 2

2

c) x 2 + y 2 + 6 x + 4 y − 12 = 0 és y = x − 4 ; d) (x − 6) + ( y + 9) = 169 és 2 x + 3 y = 11 . 2

2

16. Egy kör áthalad az (1; 2) ponton, és egyik érintőjének egyenlete az e : y = 10 .

Az e egyenes –3 abszcisszájú pontja az érintési pont. Írd fel a kör általános egyenletét (az egyenlet nem tartalmaz teljes négyzetet)! 17. Egy kör áthalad a (6; – 11) ponton, és egyik érintőjének egyenlete e : 3x + 4 y = 24 .

Az e egyenes 3 ordinátájú pontja az érintési pont. Írd fel a kör általános egyenletét! 18. Egy egyenlőszárú háromszög alapjának két csúcsa A és B, az alaphoz tartozó magasság-

vonal hossza m egység. Határozd meg a háromszög harmadik csúcsának koordinátáit! a) A(1; 3), B(− 3 ; − 3), m = 52 ;

b) A(− 3; 5), B(3; − 1), m = 2 2 .

19. Egy rombusz egyik átlójának végpontjai: A és C. A másik átló hossza d egység. Hatá-

rozd meg a másik két csúcs koordinátáit! a) A(− 5 ; 2), C (7 ; − 4 ), d = 4 5 ;

b) A(− 5 ; 4 ), C (7 ; − 5), d = 10 .

20. A derékszögű háromszög egyik befogójának csúcsai: (0; 5) és (4, –3), a köré írt kör

sugara 2 10 egység. Határozd meg a háromszög hiányzó csúcsát! 21. Egy egyenlőszárú háromszög alapjának két csúcsa A(2; 5) és B(10; 1), a harmadik

csúcs az x 2 + y 2 − 2 x − 6 y − 90 = 0 egyenletű körön található. a) Melyek a háromszög harmadik csúcsának koordinátái? b) Határozd meg a háromszög(ek) súlypontját! c) Határozd meg a háromszög alapjának hosszát! d) Mekkora a háromszög(ek) területe?

40


TANULÓK KÖNYVE

22. Határozd meg, hogy mekkora területű körszeleteket vág le az x 2 + y 2 = 100 egyenletű körből a 2 y = x − 10 egyenletű egyenes!

A kör érintője Egyes körrel kapcsolatos koordinátageometriai feladatokban bonyolult lenne visszavezetni a megoldást az elemi geometriában megtanult ismereteinkre, ezért ilyen esetekben ezt nem is érdemes megpróbálni.

Mintapélda9 Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amelyik érinti mindkét koordinátatengelyt, és áthalad az (1, – 8) ponton! Megoldás: Kiindulunk az (x − u ) + ( y − v ) = r 2 köregyenletből 2

2

és abból, hogy a keresett kör – elhelyezkedése következtében – milyen kapcsolatok találhatók az ismeretlen u, v és r között. A vázlat elkészítése után leolvashatók a következő összefüggések: (hiszen r > 0 , de v < 0)

u = r és v = − r

Ezeket a köregyenletbe helyettesítve az az

(x − r )2 + ( y + r )2 = r 2

egyenletté egyszerűsödik.

Mivel a megadott pont illeszkedik a körre, koordinátáit behelyettesítve igazzá válik a kör egyenlete: (1 − r ) + (− 8 + r ) = r 2 . ebben már csak r az ismeretlen, vagyis r-re má2

2

sodfokú egyenletet kapunk. Elvégezzük a négyzetreemelést és az összevonást: 1 − 2r + r 2 + 64 − 16r + r 2 = r 2

/ − r2

r 2 − 18r + 65 = 0 r1, 2 =

18 ± 18 2 − 4 ⋅ 65 18 ± 8 = 2 2

⇒

r1 = 13 r2 = 5

A megoldások: (x − 13) + ( y + 13) = 169 és (x − 5) + ( y + 5) = 25 . 2

2

2

2

41


A megoldás során a köregyenletet egyszerűsítettük mindaddig, amíg egyetlen ismeretlent tartalmazó egyenletet kaptunk. A következőkben is ezt a módszert követjük a feladatok megoldása során.

Feladatok 23. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelyik érinti mindkét koordinátatengelyt, és

áthalad az

a) A(8; 1);

b) B(–4; 2);

c) C(– 8; – 9) ponton!

24. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelyik áthalad az (1; 2) ponton, a sugara 5 egy-

ség, és érinti az

a) x tengelyt;

b) y tengelyt!

25. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a (3, – 4) ponton, középpontja az

y = 2 x egyenesre illeszkedik, és érinti az x tengelyt! 26. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a (6, 2) ponton, középpontja az

y = 2 x + 1 egyenesre illeszkedik, és érinti az x tengelyt!

Mintapélda10 Írjuk fel az (x + 3) + ( y − 1) = 25 egyenletű körnek az (1, 4) pontra illeszkedő érintőjét! 2

2

Megoldás: Jelölje P az (1, 4) pontot! Behelyettesítéssel ellenőrizzük, hogy a P illeszkedik-e a körre:

(1 + 3)2 + (4 − 1)2 = 16 + 9 = 25 ,

vagyis P a körvonal egy

pontja. A kör középpontja: C(– 3; 1), sugara 5 egység. Elkészítjük a vázlatot, berajzoljuk az érintőt, valamint az érintési pontba húzott sugár vektorát (r = CP ). Az érintő merőleges a sugárra, ezért r az érintő normálvektora. r = CP ( p1 − c1 ; p 2 − c2 ) ⇒ ⎧n(4 ; 3) e:⎨ ⎩ P(1; 4)

r(4; 3).

Ax + By = Ax0 + By0 4 x + 3 y = 4 ⋅1 + 4 ⋅ 3

Az érintő egyenlete e : 4 x + 3 y = 16 .

42


TANULÓK KÖNYVE

Feladatok 27. Írd fel a k kör P pontjába húzható érintőjének egyenletét!

a) k : ( x − 2) + ( y + 3) = 25 , P(5 ; 1) ; 2

2

b) k : ( x − 1) + ( y − 3) = 100 , P(− 7 ; − 3) ; 2

2

c) k : x 2 + y 2 + 8 x + 12 y − 117 = 0 , P(8 ; − 1) ; d) k : x 2 + y 2 + 8 x − 14 y − 35 = 0 , P(4 ; 1) . 28. Írd fel az x 2 + y 2 = 169 egyenletű kör 5 abszcisszájú pontjaiba húzható érintők egyen-

letét! 29. Írd fel az x 2 + y 2 = 25 egyenletű kör 3x + 4 y = 0 egyenletű egyenessel párhuzamos

érintőinek egyenletét! 30. Határozd meg az x 2 + y 2 = 16 egyenletű körnek azokat az érintőit, amelyek a P (− 10 ; 4 ) ponton haladnak keresztül.

31. Határozd meg az (x − 5) + ( y − 3) = 9 egyenletű körnek azokat az érintőit, amelyek a 2

2

P(2 ; − 5) ponton haladnak keresztül.


43

Vegyes feladatok 32. Adott az ( x − 4 ) + ( y − 2) = 36 egyenletű kör. 2

2

a) Döntsd el az alábbi pontokról, hogy a kör belső vagy külső pontjai, vagy a körvonalra illeszkednek-e: A(− 1; 1), B (7 ; − 3), C (− 2 ; 5) ! b) Add meg a körnek azokat a pontjait, amelyek abszcisszája 4! 33. Mekkora a sugara annak a körnek, amely az x 2 + y 2 + 14 x − 6 y + 42 = 0 egyenletű kör-

rel koncentrikus, és átmegy a P(−1; 3) ponton? 34. Egy négyzet szemközti csúcsai: A(− 5 ; − 3) és C (9 ; 5) . Írd fel a négyzet köré írható

kör egyenletét! 35. Egy négyzet szomszédos csúcsai: A(− 3; − 2 ) és B(5 ; 0 ) . Írd fel a négyzet köré írható

kör egyenletét! Ügyelj a megoldások számára! 36. Írd fel az ábrán látható kör és egyenes egyenletét, majd számítással határozd meg a

metszéspontjukat! 37. Írd fel annak a körnek az általános egyenletét, amelynek érintője az x = 5 egyenletű

egyenes, a sugara 6 egység és középpontja illeszkedik az 3 y + x = 8 egyenletű egyenesre! 38. Egy téglalap rövidebb oldalának csúcsai A(2; – 2) és B(– 2; 0). A hosszabb oldal hosz-

sza a rövidebb oldal hosszának másfélszerese. Határozd meg a téglalap köré írható kör egyenletét! 39. Milyen messze van az x 2 + y 2 + 8 x + 6 y + 9 = 0 egyenletű kör középpontja a

3x + 2 y = 8 egyenletű egyenestől? 40. Egy derékszögű háromszög egyik befogójának végpontjai A(– 1; – 2) és C(1; 1), a má-

sik befogó hossza AC hosszának háromszorosa. Írd fel a derékszögű háromszög köré írt körének egyenletét!

44


TANULÓK KÖNYVE

41. Egy derékszögű háromszög átfogójának egyik végpontja az A(– 5; 3) pont, derékszögű

csúcsa a C(4, 6). A háromszög harmadik csúcsa az x tengelyen van. Határozd meg a háromszög köré írható kör egyenletét! 42. Egy kör egyenlete x 2 + y 2 + 6 x + 8 y + 18,75 = 0 . Adott egy négyzet két szomszédos

csúcsa: A(–8; –5) és B(–3; 6), és a négyzetnek van olyan pontja, amely az I. síknegyedben található. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik a négyzetnek és a körnek is felezi a területét!

y=

2 x −2. 3

43. A derékszögű háromszög egyik befogójának csúcsai: (2; 5) és (4, –1), az átfogója

130 egység. Határozd meg a háromszög hiányzó csúcsának koordinátáit! 44. Egy háromszög csúcsai A(− 3; 9 ), B(5 ; − 7 ), C (11; 11) . Írd fel a háromszög köré írható

kör egyenletét! 45. Egy számítógép monitorán olyan kört akarunk ábrázolni, amely három adott ponton

halad keresztül. A pontok koordinátái: A(542 ; 384 ), B (611; 651), C (905 ; 483) . Határozd meg a három ponton áthaladó kör egyenletét! A monitoron a koordináta-rendszer kezdőpontját a bal alsó sarokhoz rögzítjük. 46. A PQRS négyszög csúcsai: P(3; –1), Q(1; 3), R(–6; 2) és S(–5; –5). Igaz-e, hogy a

PQRS négyszög húrnégyszög? 47. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely az e : y + 2 x = −1 egyenest az E (− 2 ; 3)

pontban érinti, és sugara

45 egység!

48. Írd fel az x 2 + y 2 + 12 x + 16 y = 0 egyenletű kör –2 ordinátájú pontjaiba húzható érin-

tők egyenletét!


45

49. Írd fel az x 2 + y 2 − 8 x − 4 y − 5 = 0 egyenletű körnek azokat az érintőit, amelyek párhu-

zamosak az e : y =

4 x egyenessel! 3

50. Írd fel az x 2 + y 2 − 8 x + 6 y − 75 = 0 egyenletű körnek azokat az érintőit, amelyek merő-

legesek a 3 y + 4 x = 0 egyenesre! 51. Egy kör sugarának hossza 4, középpontja a (–3; 5) pont. Írd fel a kör egyenletét! 52. Adott a síkon az x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 47 = 0 egyenletű kör.

a) Állapítsd meg, hogy az A (7; 7) pont illeszkedik-e a körre! b) Határozd meg a kör középpontjának koordinátáit és a kör sugarát! c) Legyenek A (7; 7) és B (0; 0) egy egyenlő szárú háromszög alapjának végpontjai. A háromszög C csúcsa rajta van az x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 47 = 0 egyenletű körön. Számítsd ki a C csúcs koordinátáit! 53. Tekintsük a koordináta-rendszerben adott A(6; 9), B(− 5; 4) és C(− 2; 1) pontokat!

a) Mekkora az AC szakasz hossza? b) Írd fel az AB oldalegyenes egyenletét! c) Igazold (számítással), hogy az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van! d) Írd fel az ABC háromszög körülírt körének egyenletét! 54. Egy négyzet oldalegyenesei a koordinátatengelyek és az x = 1 , valamint az y = 1

egyenletű egyenesek. a) Ábrázold derékszögű koordináta-rendszerben a négyzetet, és add meg csúcsainak koordinátáit! b) Írd fel a négyzet köré írható kör egyenletét! c) Állapítsd meg, hogy a négyzet kerülete hány százaléka a kör kerületének? d) Az y = −4 x + 2 egyenletű egyenes a négyzetet két részre bontja. Számítsd ki e részek területének arányát! 55. Írd fel annak a két egyenesnek az egyenletét, amelyek párhuzamosak a 3x − 4 y = 0

egyenletű egyenessel, és érintik az x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 20 = 0 egyenletű kört!

46


TANULÓK KÖNYVE

Kislexikon Az origó középpontú, r sugarú kör egyenlete: x 2 + y 2 = r 2 . A C (u ; v ) középpontú, r sugarú kör egyenlete: (x − u ) + ( y − v ) = r 2 . 2

2

A kör általános egyenlete: Ax 2 + Ay 2 + Bx + Cy + D = 0 , ahol A ≠ 0 .

8. MODUL egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Készítette: Darabos Noémi Ágnes

48


TANULÓK KÖNYVE

I. Trigonometrikus függvények és transzformációik (ismétlés) Minden valós számnak mint radiánban megadott szögnek létezik szinusza, illetve koszinusza, valamint minden szöghöz pontosan egy szinusz-, illetve koszinusz-érték tartozik. Ezért készíthetünk olyan függvényt, amely minden valós számhoz hozzárendeli azok szinuszát, illetve koszinuszát. Ismételjük át ezeknek a függvények a grafikonját, illetve legfontosabb tulajdonságaikat!

Mintapélda1 Készítsük el a következő függvények grafikonját, majd jellemezzük a függvényeket! a) f ( x ) = sin x ;

b) g (x ) = cos x ;

c) h( x ) = tg x .

Megoldás: a)

Jellemzés: 1. É.T.: R 2. É.K.: [− 1; 1] 3. Zérushely:

sin x = 0 ⇒ x = kπ , k ∈ Z 4. Periódus: 2π . 5. Monotonitás:

Szigorúan monoton növekvő: − Szigorúan monoton csökkenő:

π 2

π 2

+ 2lπ ≤ x ≤

+ 2mπ ≤ x ≤

6. Szélsőérték:

Maximumhely: x =

π 2

+ 2nπ , n ∈ Z.

Maximumérték: sin x = 1 . Minimumhely: x =

3π + 2sπ , s ∈ Z. 2

Minimumérték: sin x = −1 . 7. Paritás: Páratlan, mert sin x = − sin (− x ) .

π 2

+ 2lπ , l ∈ Z.

3π + 2mπ , m ∈ Z. 2

8. modul: EGYSZERŰBB TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK

b)

Jellemzés: 1. É.T.: R 2. É.K.: [− 1; 1]

3. Zérushely:

sin x = 0 ⇒ x =

π 2

+ kπ , k ∈ Z.

4. Periódus: 2π . 5. Monotonitás:

Szigorúan monoton csökkenő: 2lπ ≤ x ≤ π + 2lπ , l ∈ Z. Szigorúan monoton növekvő: π + 2mπ ≤ x ≤ 2π + 2mπ , m ∈ Z. 6. Szélsőérték:

Maximumhely: x = 2nπ , n ∈ Z. Maximumérték: cos x = 1 . Minimumhely: x = π + 2sπ , s ∈ Z. Minimumérték: cos x = −1 . 7. Paritás: Páros, mert cos x = − cos x .

c)

Jellemzés:

⎧π ⎫ 1. ÉT: R \ ⎨ + kπ ⎬, k ∈ Z ⎩2 ⎭ 2. ÉK: R 3. Zérushely: tg x = 0 ⇒ x = lπ , l ∈ Z 4. Periódus: π 5. Monotonitás:

π ⎤ π ⎡ Szigorúan monoton növekvő: ⎥ − + mπ ; + mπ ⎢, m ∈ Z. 2 ⎦ 2 ⎣ 6. Szélsőérték: Nincs 7. Paritás: páratlan, mert tg x = − tg (− x ) .

49

50


TANULÓK KÖNYVE

A trigonometrikus függvényekkel a fizikában is találkozhatunk. (Például a harmonikus rezgőmozgás, az elektromágneses rezgések, a hanghullámok tanulmányozásakor.) Azonban a gyakorlatban sokszor nem az egyszerű sin x vagy cos x függvény fordul elő, hanem ennél bonyolultabb, összetettebb alakokkal találkozunk, amelyek az alapfüggvényekből bizonyos függvénytranszformációval származtathatók.

y tengely menti eltolás Mintapélda2 Ábrázoljuk a függvény grafikonját, és jellemezzük az f (x ) = cos x − 2 függvényt! Megoldás: Jellemzés: 1. É.T.: R 2. É.K.: [− 1; − 3] 3. Zérushely: cos x − 2 = 0 ⇒

cos x = 2 ⇒ nincs zérushelye 4. Periódus: 2π 5. Monotonitás:

Szigorúan monoton növekvő: π + k ⋅ 2π ≤ x ≤ 2π + k ⋅ 2π Szigorúan monoton csökkenő: 0 + l ⋅ 2π ≤ x ≤ π + l ⋅ 2π 6. Szélsőérték:

Maximumhely: x = k ⋅ 2π

k ∈ Z.

Maximumérték: f ( x ) = −1 . Minimumhely: x = π + l ⋅ 2π Minimumérték: f ( x ) = −3 . 7. Paritás: páros.

l ∈ Z.

k ∈ Z. l ∈ Z.

51


y tengely menti nyújtás / zsugorítás Mintapélda3 Ábrázoljuk a függvény grafikonját, és jellemezzük az f (x ) = 2 sin x függvényt! Megoldás: Jellemzés: 1. É.T.: R 2. É.K.: [− 2; 2] 3. Zérushely:

2 sin x = 0 ⇒ sin x = 0 ⇒ x = k ⋅ π , k ∈Z 4. Periódus: 2π 5. Monotonitás:

Szigorúan monoton növekvő: − Szigorúan monoton csökkenő:

π 2

π 2

+ k ⋅ 2π ≤ x ≤

+ l ⋅ 2π ≤ x ≤

6. Szélsőérték:

Maximumhely: x =

π 2

+ k ⋅ 2π

k ∈ Z.

Maximumérték: f (x ) = 2 . Minimumhely: x = −

π 2

+ l ⋅ 2π

Minimumérték: f ( x ) = −2 . 7. Paritás: páratlan.

l ∈ Z.

π 2

+ k ⋅ 2π

3π + l ⋅ 2π 2

k ∈ Z. l ∈ Z.

52


TANULÓK KÖNYVE

x tengely menti eltolás Mintapélda4 π⎞ ⎛ Ábrázoljuk a függvény grafikonját, és jellemezzük az f (x ) = sin ⎜ x − ⎟ függvényt! 4⎠ ⎝ Megoldás: Jellemzés: 1. É.T.: R 2. É.K.: [− 1; 1] 3. Zérushely:

π⎞ ⎛ sin ⎜ x − ⎟ = 0 ⇒ 4⎠ ⎝

x=

π 4

+ k ⋅π

k ∈ Z.

4. Periódus: 2π 5. Monotonitás:

Szigorúan monoton növekvő:

−π 3π + k ⋅ 2π ≤ x ≤ + k ⋅ 2π 4 4

Szigorúan monoton csökkenő:

3π 7π + l ⋅ 2π ≤ x ≤ + l ⋅ 2π 4 4

6. Szélsőérték:

Maximumhely: x =

3π + k ⋅ 2π 4

k ∈ Z.

Maximumérték: f ( x ) = 1 . Minimumhely: x =

7π + l ⋅ 2π 4

Minimumérték: f ( x ) = −1 . 7. Paritás: nem páros, nem páratlan.

l ∈ Z.

k ∈ Z. l ∈ Z.

53


x tengely menti nyújtás / zsugorítás Mintapélda5 Ábrázoljuk a függvény grafikonját, és jellemezzük az f (x ) = cos 2 x függvényt! Megoldás: Jellemzés: 1. É.T.: R 2. É.K.: [− 1; 1] 3. Zérushely:

cos 2 x = 0 ⇒

π

x=

4

+k⋅

π

k ∈ Z.

2

4. Periódus: π 5. Monotonitás:

Szigorúan monoton növekvő:

π 2

+ k ⋅π ≤ x ≤ π + k ⋅π

Szigorúan monoton csökkenő: 0 + l ⋅ π ≤ x ≤

π 2

+ l ⋅π

k ∈ Z. l ∈ Z.

6. Szélsőérték:

Maximumhely: x = k ⋅ π

k ∈ Z.

Maximumérték: f ( x ) = 1 . Minimumhely: x =

π 2

+ l ⋅π

l ∈ Z.

Minimumérték: f ( x ) = −1 . 7. Paritás: páros.

Feladatok 1. Ábrázold és jellemezd a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket!

a) f ( x ) = sin x − 3

b) h( x ) = −2 sin x

2. Ábrázold és jellemezd a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket!

a) g ( x ) = − sin x

b) h( x ) = cos(− x )

54


TANULÓK KÖNYVE


π⎞ ⎛ a) f ( x ) = sin⎜ x − ⎟ 3⎠ ⎝

π⎞ ⎛ b) g (x ) = cos⎜ x + ⎟ 2⎠ ⎝


a) f ( x ) = sin 2 x

b) g ( x ) = sin

c) h( x ) = cos

x 2

x 2

5. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a valós számok halmazán értelmezett követke-

ző függvényeket, és a h függvényt jellemezd! a) f (x ) = sin x

g ( x ) = 2 sin x

h( x ) = 2 sin x − 2

b) f ( x ) = cos x

g ( x ) = −2 cos x

h( x ) = 2 − 2 cos x

c) f ( x ) = cos x

π⎞ ⎛ g ( x ) = cos⎜ x − ⎟ 2⎠ ⎝

π⎞ ⎛ h( x ) = cos⎜ x − ⎟ + 1 2⎠ ⎝

d) f (x ) = sin x

g ( x ) = sin 2 x

h(x ) = 2 sin 2 x


a) f ( x ) = sin 2 x − 1

π⎞ ⎛ b) h( x ) = 2 sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝


II. Összefüggések a szögfüggvények között (ismétlés) Nevezetes szögek szögfüggvényei

α 30° 45° 60°

π 6

π 4

π 3

sin α

cos α

tg α

1 2

3 2 2 2 1 2

3 3

3

1

1

3

3 3

2 2 3 2

ctg α

Pitagoraszi azonosság sin 2 α + cos 2 α = 1

Pótszögek szögfüggvényei sin α = cos(90° − α ) cos α = sin (90° − α ) tg α = ctg (90° − α ) α ≠ 90° + k ⋅ 180° k ∈ Z ctg α = tg (90° − α ) α ≠ l ⋅ 180° l ∈ Z

55

56


TANULÓK KÖNYVE

A tangens és kotangens szögfüggvényekre vonatkozó összefüggések tg α =

sin α cos α

ctg α =

α ≠ 90° + k ⋅ 180° k ∈ Z

cos α sin α

α ≠ l ⋅ 180° l ∈ Z

Mintapélda6 A számológép használata nélkül állítsuk növekvő sorrendbe az alábbi kifejezések pontos értékeit! a) sin 2 130° − 2 + cos 2 130° ;

b) sin 63° − cos 27° ;

c) tg (− 115°) ⋅ ctg 65° ;

d) sin 2

π 12

5π − 3. 12

+ sin 2

Megoldás: a) sin 2 130° + cos 2 130° − 2 = 1 − 2 = −1 b) sin 63° − sin (90° − 27°) = sin 63° − sin 63° = 0 c) tg (180° − 115°) ⋅ ctg 65° = tg 65° ⋅ ctg 65° = 1 d) sin 2

π

π ⎛ 6π 5π ⎞ 2 π + cos 2 ⎜ − + cos 2 − 3 = 1 − 3 = −2 ⎟ − 3 = sin 12 12 12 ⎝ 12 12 ⎠

d) < a) < b) < c)

Mintapélda7 Az α szög meghatározása nélkül számítsuk ki a többi szögfüggvényértéket, ha cos α = 0,8 ! Megoldás: Minden α szögre teljesül, hogy sin 2 α + cos 2 α = 1 , ebből sin 2 α = 1 − cos 2 α . Behelyettesítve: sin 2 α = 1 − 0,8 2 = 0,36 , ebből sin α = 0,6 . sin α 1 = 0,6;

tg α 1 =

sin α 2 = −0,6.

sin α 1 0,6 3 = = 0,75 = ; 4 cos α 1 0,8

ctg α 1 =

1 1 4 = = ; tg α 1 0,75 3

tg α 2 =

sin α 2 − 0,6 3 = = −0,75 = − . 4 cos α 2 0,8

ctg α 2 =

1 1 4 = =− . tg α 2 − 0,75 3


Feladatok 8. Keresd meg a párját (számológép használata nélkül)!

a) sin 420°

A) 1

b) cos(− 210°)

B)

c) tg 210°

C) − 1

d) ctg 660°

D)

e) ctg (−150°)

E) −

3 3

f) tg 300°

F) −

3 2

g) ctg 1935°

G)

h) tg (− 315°)

H) −

i) cos(− 300°)

I) − 3

j) sin (− 30°)

J)

3 2

k) cos 225°

K)

1 2

l) sin 135°

L) −

2 2

3

3 3 1 2

2 2

9. Mennyi a következő kifejezések pontos értéke?

b) cos 2 330° − sin 2 150° ;

a) sin 11° ⋅ cos 79° + sin 79° ⋅ cos11° ; 2

2

π π ⎞ ⎛ π π ⎞ ⎛ c) ⎜ sin + cos ⎟ + ⎜ sin − cos ⎟ . 10 ⎠ ⎝ 10 10 ⎠ ⎝ 10

10. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki sin α pontos értékét, ha cos α = −0,6 !

57

58


TANULÓK KÖNYVE

11. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki cos α pontos értékét, ha sin α = 0,36 ! 12. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki tg α pontos értékét, ha cos α =

2 ! 3

3 13. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki ctg α pontos értékét, ha sin α = − ! 5 14. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki a többi szögfüggvényértéket, ha

a) sin α =

2 2 ; 3

b) cos α = −

2 10 ; 7

c) tg α =

3 . 5

59


III. Trigonometrikus egyenletek Azokat az egyenleteket és egyenlőtlenségeket, amelyekben az ismeretlen valamilyen szögfüggvénye szerepel, trigonometrikus egyenleteknek, illetve egyenlőtlenségeknek nevezzük. Ezeknek az egyenleteknek a megoldásához a tanult trigonometrikus azonosságok nyújtanak segítséget.

Mintapélda8 Oldjuk meg a sin x =

1 egyenletet a valós számok halmazán! 2

Megoldás:

A feladat megoldásában segítségünkre lehet akár a sin x definíciója az egységsugarú körben, akár az f ( x ) = sin x függvény grafikonja.

Két különböző egységvektor van, amelyek második koordinátája tozó forgásszögek a sin x =

1 . Az ezekhez tar2

1 egyenlet megoldásai: 2 x1 = 30° + k ⋅ 360° k ∈ Z x2 = 150° + l ⋅ 360° l ∈ Z

A megoldások ívmértékben: x1 = x2 =

π

+ k ⋅ 2π

k∈Z

5π + l ⋅ 2π 6

l∈Z

6

Ellenőrizhetjük, hogy x1 és x 2 valóban gyökei a sin x =

1 egyenletnek. 2

60


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda9 Oldjuk meg a 2 cos x + 3 = 0 egyenletet a valós számok halmazán! Megoldás:

Rendezzük az egyenletet: cos x = −

3 2

Két különböző egységvektor van, amelyek első koordinátája − zó forgásszögek a cos x = − Az egyenlet megoldásai:

3 . Az ezekhez tarto2

3 egyenlet megoldásai: 2 x1 = 150° + k ⋅ 360° k ∈ Z x 2 = 210° + l ⋅ 360° l ∈ Z

A megoldások ívmértékben: x1 =

5π + k ⋅ 2π 6

k∈Z

x2 =

7π + l ⋅ 2π 6

l∈ Z

melyek igazzá is teszik az eredeti egyenletet.

Mintapélda10 Oldjuk meg a 3tg x = − 5 egyenletet a valós számok halmazán! Megoldás:

Rendezzük az egyenletet: tg x = −

5 . 3

Számológéppel vagy függvénytáblázat segítségével kapjuk a megoldást:


61

A feladat megoldásában segítségünkre lehet akár a tg x definíciója az egységsugarú körben, akár az f ( x ) = tg x függvény grafikonja.

x ≈ − 36,7° + k ⋅180° k ∈ Z Ívmértékben: x ≈ − 0,64 + k ⋅ π k ∈ Z Ennek helyességéről az ellenőrzés során meggyőződhetünk. Megjegyzés: A trigonometrikus egyenletek gyökeit általában radiánban adjuk meg, mert az

valós szám, és a megoldásokat nagy részben ezen a halmazon keressük. Vigyázzunk a számológép DRG beállítására!

Feladatok 15. Add meg azoknak a 0° és 360° közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az

alábbi egyenlőség! a) sin α = 0

b) sin α = −

1 2

16. Add meg azoknak az α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség!

a) cos α = 0

b) cos α = −

2 3

17. Add meg azoknak a 0° és 360° közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az

alábbi egyenlőség! a) tg α =

3 3

b) tg α = −4

62


TANULÓK KÖNYVE

18. Add meg azoknak a 0 és 2π közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az

alábbi egyenlőség! a) ctg α = −

2 3

b) ctg α = 0

19. Oldd meg a következő egyenleteket!

a) sin α = 0,6

b) sin α = 1,5

c) 8 sin α = 4


a) cos α = −0,4

b) cos α =

3 2

c) 2 cos α + 1 = 0


b) 2tg x = −3

a) tg x = 2,75

c) 3tg x − 2 = 0

22. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!

a) ctg x = −1,25

b) 2ctg x = 5

c) 3ctg x + 1 = 0

Mintapélda11 Oldjuk meg

3 cos x = sin x egyenletet a valós számok halmazán!

Megoldás:

Oszthatunk cos x -szel, mert cos x ≠ 0 , ui. sin x és cos x nem lehet egyszerre 0. 3=

sin x = tg x cos x

x = 60° + k ⋅ 180° =

π 3

+ k ⋅π

k∈Z

Ez valóban megoldása az egyenletünknek.

63


Mintapélda12 Oldjuk meg a 2 sin x cos x + 4 cos x = 3 cos x egyenletet a valós számok halmazán! Megoldás:

Rendezzük nullára az egyenletet: 2 sin x cos x + cos x = 0 Alakítsunk szorzattá: cos x(2 sin x + 1) = 0 Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, ezért vagy cos x = 0 ⇒ vagy sin x = −

1 ⇒ 2

x1 = 90° + k ⋅ 180° =

π 2

x 2 = 210° + l ⋅ 360° =

+ k ⋅π

k∈Z

7π + l ⋅ 2π 6

x3 = 330° + m ⋅ 360° =

l ∈ Z,

11π + m ⋅ 2π 6

m∈ Z

Ez valóban megoldása az egyenletünknek.

Feladatok 23. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!

a) cos x = 3 sin x

b) 2 cos x − sin x = 0

c) − 5 sin x + cos x = 3 cos x


a) sin x(2 cos x − 1) = 0

b) 4 cos 2 x + cos x = 0


a) sin 2 x =

1 9

b) 4 sin 2 x = 1

c) cos 2 x =

1 2

64


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda13 4π ⎞ ⎛ Oldjuk meg a 2 cos⎜ 3x − ⎟ + 1 = 0 egyenletet a valós számok halmazán! 3 ⎠ ⎝ Megoldás:

4π ⎞ 1 ⎛ Rendezzük az egyenletet: cos⎜ 3x − ⎟=− 3 ⎠ 2 ⎝ Vezessünk be új változót: α = 3x − Ebből: cos α = −

1 2

α1 =

2π + k ⋅ 2π 3

3x1 −

4π 2π = + k ⋅ 2π 3 3

x1 =

4π 3

k∈ Z

2π k ⋅ 2π + 3 3

Az egyenlet megoldásai:

α1 =

4π + l ⋅ 2π 3

3x1 −

4π 4π = + l ⋅ 2π 3 3

x2 =

l∈Z

8π l ⋅ 2π + 9 3

x1 =

2π k ⋅ 2π 2π (k + 1) k ∈ Z + = 3 3 3

x2 =

8π l ⋅ 2π 2π (4 + 3l ) l ∈ Z + = 9 3 9

Ezek helyességéről ellenőrzéssel győződjünk meg.

65


Feladatok 26. Oldd meg a következő egyenleteket!

a) sin (− 2 x ) = 0

b) sin (2 x + 25°) = 0,5261


5π ⎛ b) cos⎜ x − 4 ⎝

a) cos 3 x = 0,5

⎞ ⎟ =1 ⎠


a) tg 2 x =

π⎞ ⎛ b) tg ⎜ 2 x − ⎟ = −1 4⎠ ⎝

3 3


π⎞ ⎛ b) ctg ⎜ 2 x + ⎟ = − 3 6⎠ ⎝

a) ctg 3 x = 1


π⎞ ⎛ a) 4 sin 2 ⎜ 2 x − ⎟ = 3 6⎠ ⎝

π⎞ ⎛ b) cos 2 ⎜ 3x + ⎟ = 1 2⎠ ⎝

31. Határozd meg, hogy mely valós x számokra értelmezhetők a következő kifejezések!

a)

sin x

b)

1 sin x

c) 1 + cos x

d) 1 − sin 2 x

66


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda14 Oldjuk meg a sin (3 x − 20°) = sin ( x + 100°) egyenletet! Megoldás:

Meghatározzuk azokat a szögeket, amelyeknek szinuszai egyenlőek: II. eset

I. eset

Ha a két szög megegyezik, illetve csak a peri- Ha a két szög egymás kiegészítő szögei, illetódus egész számú többszörösével térnek el ve csak a periódus egész számú többszöröséegymástól:

vel térnek el egymástól:

3x − 20° = x + 100° + k ⋅ 360° k ∈ Z

3 x − 20° = 180° − ( x + 100°) + l ⋅ 360° l ∈ Z

2 x = 120° + k ⋅ 360°

4 x = 100° + l ⋅ 360°

x = 60° + k ⋅ 180°

x = 25° + l ⋅ 90°

Az egyenlet megoldásai: x1 = 60° + k ⋅ 180° k ∈ Z x2 = 25° + l ⋅ 90° l ∈ Z

Ezek helyességéről az ellenőrzés során győződjünk meg.

Mintapélda15 2π ⎞ π⎞ ⎛ ⎛ Oldjuk meg a cos⎜ 2 x + ⎟ = cos⎜ x − ⎟ egyenletet a valós számok halmazán! 6⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎝ Megoldás: Meghatározzuk azokat a szögeket, amelyeknek koszinuszai egyenlőek:

II. eset

I. eset

Ha a két szög megegyezik, illetve csak a peri- Ha a két szög egymás ellentettje, illetve csak ódus egész számú többszörösével térnek el a periódus egész számú többszörösével térnek egymástól: 2x +

π

x=−

6

= x−

el egymástól: 2π + k ⋅ 2π 3

5π + k ⋅ 2π 6

k ∈Z

2x + 3x =

π

2π ⎛ = −⎜ x − 6 3 ⎝

π 2

+ l ⋅ 2π

⎞ ⎟ + l ⋅ 2π ⎠

⇒

x=

π 6

l ∈Z

+

l ⋅ 2π 3


67

Az egyenlet megoldásai: x1 = − x2 =

5π + k ⋅ 2π 6

π 6

+

l ⋅ 2π 3

k ∈Z

l ∈Z


Mintapélda16 Oldjuk meg a tg (8x − 42°) = tg (5x + 132°) egyenletet! Megoldás:

Két szög tangense csak akkor egyenlő, ha a két szög megegyezik, illetve csak a periódus egész számú többszörösével térnek el egymástól: 8 x − 42° = 5 x + 132° + k ⋅ 180° k ∈ Z 3 x = 174° + k ⋅ 180° x = 58° + k ⋅ 60°

Az egyenlet megoldásai: x = 58° + k ⋅ 60° k ∈ Z,

melyek igazzá is teszik az eredeti egyenletet.

68


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda17 7π ⎞ ⎛ ⎛ 2π ⎞ − 2 x ⎟ egyenletet a valós számok halmazán! Oldjuk meg a sin ⎜ 6 x − ⎟ = sin ⎜ 5 ⎠ ⎝ ⎝ 5 ⎠ Megoldás:

I. eset

II. eset



6x −

7π 2π = − 2 x + k ⋅ 2π 5 5

8x =

9π + k ⋅ 2π 5

x=

k∈Z

6x −

7π ⎛ 2π ⎞ =π −⎜ − 2 x ⎟ + l ⋅ 2π 5 ⎝ 5 ⎠

4 x = π + l ⋅ 2π

x=

9π π +k⋅ 40 4

π 4

+l⋅

π 2

Az egyenlet megoldásai: x1 = x2 =

9π π +k⋅ 40 4

π 4

+l⋅

π 2

k∈ Z l∈ Z

Ellenőrizzük, hogy x1 és x 2 valóban gyökei az eredeti egyenletnek.

Feladatok 32. Oldd meg a következő egyenleteket!

a) sin 2 x = sin x

π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ b) sin ⎜ 2 x + ⎟ = sin ⎜ x − ⎟ 3⎠ 6⎠ ⎝ ⎝

c) cos 3 x = cos x

d) cos 4 x = cos(25° − x )


a) tg 2 x = tg x

b) tg 5 x = tg 3x

c) tg 6 x = tg (2 x + 70°)


a) sin 3 x = − sin 5 x

b) cos 2 x = − cos 6 x

l∈ Z


69

Mintapélda18 Oldjuk meg a sin (3 x + 20°) = cos x egyenletet! Megoldás:

Az egyenlet mindkét oldalát úgy alakítjuk át, hogy mindkét oldalon azonos szögfüggvények szerepeljenek. Felhasználjuk, hogy egy szög koszinusza megegyezik pótszögének szinuszával: sin (3 x + 20°) = sin (90° − x )

Meghatározzuk azokat a szögeket, amelyeknek szinuszai egyenlők: I. eset

II. eset



3x + 20° = 90° − x + k ⋅ 360° k ∈ Z

3 x + 20° = 180° − (90° − x ) + l ⋅ 360° l ∈ Z

4 x = 70° + k ⋅ 360°

2 x = 70° + l ⋅ 360°

x = 17,5° + k ⋅ 90° k ∈ Z

x = 35° + l ⋅ 180° l ∈ Z

Az egyenlet megoldásai:

x1 = 17,5° + k ⋅ 90° k ∈ Z x2 = 35° + l ⋅ 180° l ∈ Z

A megoldások helyességéről ellenőrzéssel győződjünk meg.

Feladatok 35. Oldd meg a következő egyenleteket! (A megoldáshoz használd fel a pótszögek szög-

függvényei közötti összefüggéseket!) a) sin 3 x = cos x

5π ⎞ π⎞ ⎛ ⎛ b) cos⎜ x − ⎟ = sin ⎜ x + ⎟ 6 ⎠ 3⎠ ⎝ ⎝

70


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda19 Oldjuk meg a tg 2 x −

4 tg x + 1 = 0 egyenletet a valós számok halmazán! 3

Megoldás:

Az egyenletnek csak ott van értelme, ahol a cos x ≠ 0 , azaz x ≠

π 2

+ k ⋅π

k∈Z

Ez tg x -ben másodfokú egyenlet. Vezessük be a tg x = y új ismeretlent, ekkor y 2 − így kapott másodfokú egyenletet: y1 = 3 tg x = 3 ⇒ tg x =

3 3

⇒

y2 =

x1 = 60° + k ⋅ 180° = x2 = 30° + k ⋅ 180° =

π 3

π 6

4 y + 1 = 0 , majd oldjuk meg az 3

3 . 3

+ k ⋅π

k∈Z

+ k ⋅π

k∈Z

Mintapélda20 Oldjuk meg a 8 + 7 cos x = 6 sin 2 x egyenletet! Megoldás: A pitagoraszi összefüggés alapján: sin 2 x = 1 − cos2 x Ezt helyettesítsük be az eredeti egyenletbe: 8 + 7 cos x = 6(1 − cos 2 x ) Rendezzük az egyenletet: 6 cos 2 x + 7 cos x + 2 = 0 Ez cos x -ben másodfokú egyenlet. Vezessük be az y = cos x új ismeretlent, ekkor 6 y 2 + 7 y + 2 = 0 majd oldjuk meg az így kapott másodfokú egyenletet: y1 = − cos x = −

cos x = −

1 ⇒ 2

2 ⇒ 3

1 2

y2 = −

2 3

x1 = 120° + k ⋅ 360° =

2π + k ⋅ 2π 3

k∈Z

x2 = 240° + l ⋅ 360° =

4π + l ⋅ 2π 3

l∈ Z

x3 ≈ 131,81° + m ⋅ 360° m ∈ Z x 4 ≈ 288,19° + n ⋅ 360° n ∈ Z



71

Mintapélda21 Oldjuk meg a

3 cos x = 2 sin x − 1 egyenletet a valós számok halmazán!

Megoldás: Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát: 3 cos 2 x = 4 sin 2 x − 4 sin x + 1 Mivel cos 2 x = 1 − sin 2 x , ezért 3(1 − sin 2 x ) = 4 sin 2 x − 4 sin x + 1 Rendezzük az egyenletet: 7 sin 2 x − 4 sin x − 2 = 0 Ez sin x -ben másodfokú egyenlet. Vezessük be az y = sin x új ismeretlent, ekkor 7 y 2 − 4 y − 2 = 0 majd oldjuk meg az így kapott másodfokú egyenletet: y1 = 0,8918 sin x = 0,8918 ⇒

y2 = −0,3204 .

x1 ≈ 63,10° + k ⋅ 360° k ∈ Z x 2 ≈ 116,90° + l ⋅ 360° l ∈ Z

sin x = −0,3204 ⇒

x3 ≈ 341,31° + m ⋅ 360° m ∈ Z x 4 ≈ 198,69° + n ⋅ 360° n ∈ Z

Behelyettesítéssel meggyőződhetünk arról, hogy x1 és x 4 valóban gyökei az eredeti egyenletnek, x 2 és x3 azonban nem. Ez abból is látható, hogy ezekre az értékekre sin x és cos x előjele különböző, továbbá 2 sin x 2 > 1 .

Feladatok 36. Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!

a) 2 sin 2 x + 9 sin x − 5 = 0

b) 5 + 8 cos x = 4 cos 2 x

c) 3 cos 2 x + 2 − cos x = 5 cos x + 11

d) cos 2 x + 7 cos x = sin 2 x + 3

e) 5 sin 2 x + cos 2 x + 2 = 4 3 sin x

f) (3 sin x − 2 ) ⋅ (sin x − 1) = −4

g) 3tg x = 2 cos x

h) tg x + ctg x = 2

i) ctg x = 3 − tg x

j) sin x − 1 = cos x

37. Derékszögű háromszögben az α hegyesszögre teljesül, hogy tg α + ctg α = 3,1114 .

Határozd meg az α szöget!

α 1 ≈ 70°, α 2 ≈ 20°

72


TANULÓK KÖNYVE

IV. Trigonometrikus egyenlőtlenségek Mintapélda22 Oldjuk meg a cos 2 x ≤

3 egyenlőtlenséget! 2

Megoldás:

3 2

Legyen 2 x = α . A határszögek: cos α =

30° + k ⋅ 360° ≤ 2 x ≤ 330° + k ⋅ 360° , vagy

⇒ α1 = 30° =

π 6

+ k ⋅ 2π ≤ 2 x ≤

π 6

α 2 = −30° = −

11π + k ⋅ 2π 6

π 6

k ∈Z

Az egyenlőtlenség megoldása:

15° + k ⋅ 180° ≤ x ≤ 165° + k ⋅ 180° , vagy

π 12

+ k ⋅π ≤ x ≤

11π + k ⋅π 12

k ∈Z

Mintapélda23 Oldjuk meg a 2 sin x cos x < sin x egyenlőtlenséget!

Megoldás: Rendezzük

az

egyenlőtlenséget,

úgy

2 sin x cos x − sin x < 0 Kiemelünk sin x -et: sin x(2 cos x − 1) < 0

hogy

a

jobb

oldalon

0

legyen:

73


Egy két tényezős szorzat akkor negatív, ha tényezői ellenkező előjelűek, ezért a következő két eset fordulhat elő: I. eset: Ha sin x > 0 és 2 cos x − 1 < 0 sin x > 0

A határszögek: sin x = 0 ⇒ x1 = 0° = 0 x2 = 180° = π

0° + k ⋅ 360° < x < 180° + k ⋅ 360° , vagy k ⋅ 2π < x < π + k ⋅ 2π cos x <

k ∈Z

1 2

A határszögek: cos x =

1 2

⇒

x1 = 60° =

60° + k ⋅ 360° < x < 300° + k ⋅ 360° , vagy

π

π 3

3

x 2 = 300° =

+ k ⋅ 2π < x <

5π 3

5π + k ⋅ 2π 3

k ∈Z

A két intervallum metszete:

60° + k ⋅ 360° < x < 180° + k ⋅ 360° , vagy

π 3

+ k ⋅ 2π < x < π + k ⋅ 2π

k ∈Z

74


TANULÓK KÖNYVE

II. eset: Ha sin x < 0 és 2 cos x − 1 > 0 sin x < 0

A határszögek: sin x = 0 ⇒ x1 = 180° = π

x 2 = 360° = 2π

180° + k ⋅ 360° < x < 360° + k ⋅ 360° , vagy π + k ⋅ 2π < x < 2π + k ⋅ 2π cos x >

k ∈Z

1 2

A határszögek: cos x =

1 2

⇒

x1 = 60° =

60° + k ⋅ 360 > x > −60° + k ⋅ 360° , vagy

π 3

π 3

x 2 = −60° = −

+ k ⋅ 2π > x > −

π 3

π 3

+ k ⋅ 2π

k ∈Z

A két intervallum metszete:

300° + k ⋅ 360 < x < 360° + k ⋅ 360° , vagy

5π + k ⋅ 2π < x < 2π + k ⋅ 2π 3

k ∈Z

75


Összefoglalva, az egyenlőtlenség megoldása:

60° + k ⋅ 360° < x < 180° + k ⋅ 360° , vagy 300° + k ⋅ 360 < x < 360° + k ⋅ 360° , vagy

π 3

+ k ⋅ 2π < x < π + k ⋅ 2π

k ∈Z

5π + k ⋅ 2π < x < 2π + k ⋅ 2π 3

Mintapélda24 Oldjuk meg a tg (3x + 15°) > 1 egyenlőtlenséget!

Megoldás: Értelmezési tartomány: x ≠ 25° + k ⋅ 60° k ∈ Z Legyen α = 3x + 15° . A határszög: tg α = 1 ⇒ α = 45°

Ebből: 45° + k ⋅ 180° < 3x + 15° < 90° + k ⋅ 180° k ∈ Z

30° + k ⋅ 180° < 3x < 75° + k ⋅ 180° k ∈ Z Az egyenlőtlenség megoldása: 10° + k ⋅ 60° < x < 25° + k ⋅ 60° k ∈ Z Ezt mutatja az első négy negyedben az alábbi ábra:

k ∈Z

76


TANULÓK KÖNYVE

Feladatok 38. Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket, majd keresd meg a feladathoz tartozó áb-

rát! a) sin x ≥ 0

A)

1 2

B)

b) cos x <

c) sin x ≤ −

3 2

C)

d) cos x > −

2 2

D)


e) tg x > 3

E)

f) ctg x ≤ −1

F)

39. Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán!

a) sin x >

1 2

b) cos x ≤

3 2

c) sin 2 x <

1 2

d) cos 2 x ≥

3 4


a) sin 2 x ≥ −

1 2

b) cos 3 x ≤ −

2 2

77

78


TANULÓK KÖNYVE

V. Vegyes feladatok 41. Ábrázold és jellemezd a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket! 1 b) f ( x ) = cos x 2

a) g (x ) = cos x + 2


a) f ( x ) = tg (− x )

b) g ( x ) = tg x


π⎞ ⎛ b) i ( x ) = cos⎜ x + ⎟ + 1 3⎠ ⎝

a) g ( x ) = 3 cos 2 x

44. Mennyi a következő kifejezések pontos értéke? 3 + tg

π

4 ⋅ tg π ; π 6 sin 3

a) (tg 45° + cos 60°) ⋅ sin 30° ;

b)

c) sin 70° − tg 55° ⋅ ctg 55° − cos 20° ;

d) sin 2 35° − 2 sin 35° ⋅ cos 55° + cos 2 55° .


alábbi egyenlőség! a) sin α =

3 2

b) sin α = −

2 2


alábbi egyenlőség! a) cos α =

1 2

b) cos α = −1


alábbi egyenlőség! a) tg α = −1

b) tg α = − 3

79



alábbi egyenlőség! d) ctg α = 3

a) ctg α = 1


b) sin α = −0,7231

a) sin α = 1

c) 2 sin α − 3 = 0


a) cos α = −3

b) cos α = 0,3492

c) 3 cos α − 3 = 0

51. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán:

a) cos x ⋅ sin x = − sin x

b) 3 cos 2 x =

3 4

c) 3 sin 2 x =

9 2


a) sin 3x = −

1 2

π⎞ ⎛ b) 2 sin ⎜ x + ⎟ − 2 = 0 8⎠ ⎝


a) cos(− 4 x ) = 1

b) 3 cos(2 x + 15°) = 5


π⎞ ⎛ a) tg ⎜ 3x + ⎟ = 3 6⎠ ⎝

2π ⎞ 3 ⎛ b) ctg ⎜ x − ⎟= 3 ⎠ 3 ⎝

55. Egy háromszög α szögére a következő összefüggést kaptuk: sin (α + 30°) = 0,8192 .

a) Mekkora lehet α ?

b) Mekkora a harmadik szög, ha a háromszög derékszögű?

56. Egy derékszögű háromszög α és β hegyesszögeire fennáll, hogy

sin α + cos β = 1,2856 . Mekkorák a háromszög hegyesszögei? 57. Igazoljuk, hogy minden derékszögű háromszögben sin α + cos α > 1 (α < 90°) !

80


TANULÓK KÖNYVE

58. Egy háromszög területe 94,64 cm2, két oldala 15 cm és 22 cm. Mekkora lehet a két

oldal által közbezárt szög? 59. Egy paralelogramma egyik oldalának hossza14 cm, a másik oldalhoz tartozó magasság

hossza 5,92 cm. Mekkorák a paralelogramma szögei? 60. Egy 5 m hosszú létrát a ház falának támasztottak, úgy hogy a lába 1,5 m-re volt a fal-

tól. Mekkora szöget zár be a létra a talajjal? Milyen magasan van létra a falhoz támasztva? 61. Sík terepen egy férfitől 50 m távolságban van egy 30 m magas torony. Mekkora szög-

ben látja a férfi a tornyot, ha szemmagassága 180 cm-re van a földtől? 62. Egy pontra ható két, egymásra merőleges erő nagysága F1 = 570 N,

F2 = 830 N .

Mekkora az eredő erő nagysága és F1 -gyel bezárt szöge? 63. Oldd meg a következő egyenleteket!

a) sin 3 x = sin ( x + 18°)

3π ⎞ π⎞ ⎛ ⎛ b) cos⎜ 2 x − ⎟ = cos⎜ 3 x + ⎟ 2⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝


a) cos 2 x = sin 5 x

b) sin ( x + 15°) = cos( x − 20°)


a) (sin x + 1) cos x > 0

b) sin 3 x ≥ sin x

c) cos 2 x < 2 ⋅ cos x


81

Kislexikon sin 2 α + cos 2 α = 1

Pitagoraszi azonosság: Pótszögek szögfüggvényei sin α = cos(90° − α ) cos α = sin (90° − α )

tg α = ctg (90° − α ) α ≠

π + k ⋅ π k ∈Z 2

ctg α = tg (90° − α ) α ≠ l ⋅ 180° l ∈ Z

Összefüggés egy szög tangense és kotangense között

1 ctg α 1 ctg α = tg α tg α =

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ α ≠ k ⋅ 90° k ∈ Z ⎪ ⎪⎭

tg α ⋅ ctg α = 1

Trigonometrikus egyenlet (egyenlőtlenség): Az olyan egyenleteket és egyenlőtlenségeket,

amelyekben az ismeretlen valamilyen szögfüggvénye szerepel, trigonometrikus egyenleteknek, illetve egyenlőtlenségeknek nevezzük. Megjegyzés: A fogalmak definíciói részletesebben a 10. évfolyam 11. moduljának kislexi-

konában találhatók.

9. MODUL szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes

84


TANULÓK KÖNYVE

Bevezetés Derékszögű háromszögekben már megismertük a szögfüggvényeket. sin α =

szöggel szemközti befogó a = átfogó c

cos α =

szög melletti befogó b = átfogó c

tg α =

szöggel szemközti befogó a = szög melletti befogó b

ctg α =

szög melletti befogó b = szöggel szemközti befogó a

Ekkor a szögek 0° és 90° közötti értékeket vehettek fel. Később kiterjesztettük a szögfüggvény fogalmát tetszőleges szögekre is. Először 0° és 360° közötti szögekre, majd a forgásszögekre is értelmeztük a szögfüggvényeket. Tetszőleges forgásszög koszinuszán az adott irányszögű egységvektor x koordinátáját, szinuszán pedig az y koordinátáját értjük. Forgásszög tangensét, illetve kotangensét a következőképpen definiáltuk:

tg α =

sin α , ahol cos α ≠ 0, cos α

ctg α =

cos α , ahol sin α ≠ 0. sin α

Mivel általános háromszögekben nem alkalmazhatók ezek az összefüggések, így azok hiányzó szögeinek, oldalainak kiszámításához általában a magasságvonalakat hívtuk segítségül. Ez az eljárás ugyan jó eredményre vezetett, de meglehetősen hosszadalmas, néha bonyolult is volt. Ebben a modulban olyan trigonometrikus összefüggéseket ismerünk meg, amelyek jóval egyszerűbbé teszik korábbi számításainkat.

85

9. modul: SZINUSZ- ÉS KOSZINUSZTÉTEL

I. Szinusztétel Mintapélda1 Egy hegy aljáról a tetejére libegővel és gyalog egyaránt fel lehet jutni. Ha az ösvényen megyünk a hegy tetejére, közvetlenül a libegő állomásánál lyukadunk ki. A libegő pályájának meredeksége 15°, a hegy oldalán felvezető egyenes ösvényé 17°. A libegő indulási pontjától mindössze 120 m-t kell síkterepen előre sétálnunk, hogy elérkezzünk az ösvényig.

a) Hányszorosa a kötélpálya hossza az ösvény hosszának? b) Milyen hosszú a libegő kötélpályája? Mennyit kell gyalogolnia annak, aki az ösvényt választja? c) Milyen magas a hegy? Megoldás: A: a libegő kiindulási pontja B: az ösvény kiindulási pontja C: a hegy teteje, ahová megérkezünk.

Továbbá tudjuk még, hogy AB = 120 m; α = 15°; β = 17°. Feltételezzük, hogy B-ből C-be szintén egyenes szakasz vezet. Keressük az

AC b = arányt. Továbbá: b =?; a = ?; m = ? BC a

A magasság talppontját jelöljük M-mel. a) Az AMC derékszögű háromszögben sin α = A BMC derékszögű háromszögben sin β =

m b

⇒ m = b ⋅ sin α .

m ⇒ m = a ⋅ sin β . a

86


TANULÓK KÖNYVE

Ebből a ⋅ sin β = b ⋅ sin α . Mindkét oldalt elosztjuk b-vel, illetve sinβ -val:

a sin α = . b sin β

Tehát a két oldalhossz aránya megegyezik a velük szemközti szögek szinuszának arányával, vagyis

a sin 15° = = 0,8852 (sin 17° = sin 163°). Ebből átrendezéssel adódik, b sin 17°

hogy b ≈ 1,13 a. A kötélpálya hossza kb. 1,13-szorosa az ösvény hosszának. b) Az ABC háromszögben ismerjük az AB oldalt, ami 120 m és a rajta fekvő két szöget. A háromszög harmadik szöge: γ = 2°. Bizonyítható, hogy az a) részben kapott összefüggéshez hasonlóan igaz

a sin α = és c sin γ

b sin β = összefüggés is. c sin γ Behelyettesítés után kapjuk:

a 120 ⋅ sin 15° sin 15° ⇒ a= ≈ 889,9 , = sin 2° 120 sin 2° illetve

b 120 ⋅ sin 17° sin 17° ⇒ b= ≈ 1005,3 . = sin 2° 120 sin 2°

Az ösvény kb. 890 m hosszú, míg a kötélpálya kb. 1005 m hosszú. c) A hegy magasságának meghatározásához például felhasználhatjuk a BMC derékszögű háromszöget. sin 17° ≈

m . Ebből m ≈ 889,9⋅sin 17° ≈ 260,2 . 889,9

A hegy kb. 260 m magas. Szinusztétel: Bármely háromszögben az oldalak aránya megegyezik a velük szemközti szögek szinuszának arányával: a : b : c = sin α : sin β : sin γ


87

A szinusztétel bizonyítása (kiegészítő anyag) A háromszög területét kiszámíthatjuk, ha ismerjük két oldalát és az általuk közbezárt szöget. A területet megkapjuk, ha a két oldal szorzatát megszorozzuk a közbezárt szög szinuszával, és vesszük a kapott szorzat felét. a ⋅ b ⋅ sin γ a ⋅ c ⋅ sin β b ⋅ c ⋅ sin α . T= = = 2 2 2 a ⋅ c ⋅ sin β b ⋅ c ⋅ sin α = . Ebből 2 2 Mindkét oldalt beszorozzuk 2-vel és elosztjuk c-vel (c ≠ 0): a ⋅ sin β = b ⋅ sin α , ami az állítást igazolja. Megjegyzés: A szinusztétel más alakban is felírható. Mindkét oldalt elosztjuk b-vel és sin β-val. Az osztást elvégezhetjük, mert a háromszög egyik oldala sem és szögei szinusza sem lehet 0. a sin α Kapjuk: . = b sin β a sin α b sin β Hasonlóan igazolhatók: = , és = . c sin γ c sin γ a b c . = = Átrendezés után kapjuk: sin α sin β sin γ

Mintapélda2 A szokásos jelöléseket használva adjuk meg a háromszög néhány adatát. Határozzuk meg a háromszög hiányzó oldalait és szögeit! a) a = 4,2 cm; c = 3,7 cm; α = 54° b) a = 4,2 cm; c = 3,7 cm; γ = 54° c) b = 8 cm; a = 4 cm; α = 30° d) β = 75°; a = 12,1 dm; b = 8,2 dm

Megoldás: a) Adott: a = 4,2 cm; c = 3,7 cm; α = 54°. Keressük a b oldalt, valamint a β és γ szögeket. A szinusztétel segítségével γ könnyen meghatározható: sin γ c = sin α a

⇒ sin γ =

c ⋅ sin α 3,7 ⋅ sin 54° = = 0,7127 . 4,2 a

Két olyan szög létezik 0° és 180° között, amelyiknek szinusza 0,7127:

γ1 = 45,5° és γ2 = 180° – 45,5° = 134,5°. Minthogy a > c, ezért α > γ, így γ2 nem megoldás.

88


TANULÓK KÖNYVE

Tudjuk, hogy α + β + γ = 180° , ebből β = 180° –54°– 45,5° = 80,5°. A b oldalt ismét szinusztétellel határozzuk meg:

b sin β = c sin γ

⇒ b=

3,7 ⋅ sin 80,5° ≈ 5,1 . sin 45,5°

A keresett háromszög oldalai 4,2 cm, 3,7 cm és 5,1 cm hosszúak, szögei pedig 54°; 45,5° és 80,5°. b) Adott: a = 4,2 cm; c = 3,7 cm; γ = 54°. Keressük a b oldalt, valamint az α és β szögeket. A szinusztétel segítségével α meghatározható: Ebből sin α =

sin α a = . sin γ c

a ⋅ sin γ 4 ,2 ⋅ sin 54° . Behelyettesítve: sin α = = 0 ,9183 . c 3,7

Két olyan szög létezik 0° és 180° között, amelyiknek a szinusza 0,9183:

α1 = 66,7° és α2 = 180° – 66,7° = 113,3°.

Két háromszög is lehet jó megoldás. Az egyik hegyes, a másik tompaszögű.

I. esetben α1 = 66,7° Tudjuk, hogy α + β + γ = 180°. Ebből β = 180° –66,7° – 54°= 59,3°. A b oldalt ismét szinusztétellel határozzuk meg: Átrendezéssel adódik: b =

b sin β = a sin α1

a ⋅ sin β 4,2 ⋅ sin 59,3° = ≈ 3,9 . sin α1 sin 66 ,7°

89


II. esetben α 2 = 113,3° Az I. megoldáshoz hasonlóan járunk el. Ezúttal β = 180° –113,3° –54°= 12,7°. Alkalmazzuk a szinusztételt az α2 és β szögekre, valamint az a és a keresett b oldalra:

b sin β = . a sin α 2

Átrendezéssel adódik: b =

a ⋅ sin β 4,2 ⋅ sin 12,7° = ≈ 1,0 . sin α 2 sin 113,3°

A következő két megoldást kaptuk: I. A hegyesszögű háromszög hiányzó adatai: α1 = 66,7° ; β = 59 ,3° ; b = 3,9 cm. II. A tompaszögű háromszög hiányzó adatai: α 2 = 113,3° ; β = 12,7° ; b = 1,0 cm. c) Adott: b = 8 cm; a = 4 cm; α = 30°. Keressük a β és γ szögeket, valamint a c oldalt. A szinusztétel alkalmazásával megkapjuk a β szöget: sin β b 8 ⋅ sin 30° = Ebből átrendezéssel kapjuk: sin β = =1 ⇒ sin α a 4

β = 90° ,

tehát a háromszög derékszögű.

γ = 90° – 30° = 60°, a c oldalt vagy szögfüggvény, vagy Pitagorasz-tétel segítségével határozhatjuk meg. Most alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt: c 2 = b 2 − a 2 = 8 2 − 4 2 = 48 . Ebből c = 48 = 4 3 ≈ 6,9 .

A keresett értékek: β = 90°; γ = 60° és c ≈ 6,9 cm. d) Adott: β = 75°; b = 8,2 dm; a = 12,1 dm. Keressük az α és a γ szögeket, valamint a c oldalt. A szinusztétel alkalmazásával kiszámíthatjuk az α szöget: Ebből sin α =

sin α a = . sin β b

a ⋅ sin β 12 ,1 ⋅ sin 75° = ≈ 1,4253 . b 8,2

Bármely szög szinusza legfeljebb 1, ezért ilyen háromszög nem létezik.

90


TANULÓK KÖNYVE

Megjegyzés: A szinusztételnél tapasztaltak megegyeznek az elemi geometriában tanult isme-

reteinkkel: Ha adott egy háromszög két oldala, és a rövidebbikkel szemközti szöge, akkor a következő esetek lehetségesek: 1. A feladatnak két megoldása van, egy tompa- és egy hegyesszögű háromszög.

Ekkor sinγ < 1 és γ-ra egy hegyes és egy tompaszög adódik. 2. A feladatnak egyetlen megoldása van, mégpedig a háromszög derékszögű.

Ekkor sinγ = 1, innen γ = 90°.

3. Nincs ilyen háromszög.

Ekkor sinγ > 1, nincs háromszög.

91


Feladatok 1. Az alábbi táblázatban háromszögek adatai szerepelnek a szokásos jelölésekkel. (Az ol-

dalak mértéke az egység.) Számold ki a táblázat hiányzó értékeit! a a)

b

c

13

17

b) 52

c) d)

3,6

e)

27

f)

11,32

g)

13

α

β

γ 58°

20

69,5’

75

16,27°

4,2

41,6°

76° 18,2

103,4°

15,02

37° 97°

51°

Mintapélda3 Milyen hosszúak az általános négyszög oldalai, ha az AC átlója 18 cm hosszú? Az A csúcsnál lévő szöget az átló 36,2°-os és 32,6°-os, a C csúcsnál lévő szöget pedig 18°-os és 42°-os részekre bontja úgy, hogy a 36,2°-os és a 18°-os szögek vannak azonos oldalon. Megoldás: Tudjuk, hogy az α szöget az átló két részre bontja: α1 = 36,2°; α2 = 32,6°. A szöveg alapján α = 36,2° + 32,6° = 68,8°. Az átlót e-vel jelölve e = 18 cm. Az átló a γ szöget is két részre bontja. γ1 = 18°; γ2 = 42°. Terv:

1. A négyszög B és D csúcsánál lévő szögének meghatározása 2. CDA háromszög oldalainak kiszámítása szinusztétellel 3. ABC háromszög oldalainak kiszámítása szinusztétellel Számítás:

1. CDA háromszögből δ = 180° – 36,2° – 18° = 125,8°. Az ABC háromszögből β = 180° – 42° – 32,6° = 105,4°.

92


2.

d sin γ 1 = e sin δ

⇒ d=

c sin α1 = e sin δ 3.

b sin α 2 = e sin β

e ⋅ sin γ 1 18 ⋅ sin 18° = = 6,9 sin δ sin 125,8° e ⋅ sin α1 18 ⋅ sin 36,2° = = 13,1 sin δ sin 125,8°

⇒ c= ⇒ b=

a sin γ 2 = e sin β

TANULÓK KÖNYVE

e ⋅ sin α 2 18 ⋅ sin 32,6° = = 10,1 sin β sin 105,4°

⇒ a=

e ⋅ sin γ 2 18 ⋅ sin 42° = = 12,5 sin β sin 105,4°

A négyszög oldalainak hossza: 12,5 cm; 10,1 cm; 13,1 cm; 6,9 cm.

Mintapélda4 Az utasokat a folyón egy komp viszi az egyik partról a másikra. A kiindulási pontból a cél a folyási iránnyal a parthoz viszonyítva 30°-os szögben látszik. A folyó sodrása miatt a kompnak más irányban kell haladnia. Mekkora ez az eltérés, ha a komp sebessége állóvízben 2,5 m/s, a folyóé 2 m/s? Megoldás: A K kiindulási pontból az E érkezési pontba szeretnénk eljutni. Ha az E pontot célozzuk meg, akkor a folyó sodrása miatt lejjebb kötünk ki. Ezért egy feljebb lévő pont a cél, amit a komp akkor érne el, ha állóvízben közlekedne. A kompot a K kiindulási pontból a víz sodra 1 másodperc alatt a 2 méterre levő L pontba viszi. Az LKE szög 30°. A komp álló vízben 1 sec alatt 2,5 métert tesz meg, így a K pontból az F pontba jutna. Az EKF szöget keressük. Továbbiakban jelöljük α-val. Egy másodperc alatt a komp az E’ pontba jut. KL = FE ′ = 2 ;

KF = E ′L = 2,5

A KL és a KF vektorok eredője a KE ′ . Az ábrán a vektorösszeadásnak megfelelő paralelogramma szerepel. Az LKE’ szög és a KE’F szög megegyezik, mert váltószögek. A KE’F háromszögnek ismerjük két oldalát, a nagyobbikkal szemben lévő szögét, és keressük a kisebbikkel szemben lévőt. Mivel nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, ezért a keresett szög 30°nál kisebb lesz.


93

Felírjuk erre a háromszögre a szinusztételt: sin α 2 = ⇒ sin α = 0,4 ⇒ α ≈ 23,6° . sin 30° 2,5 A másik megoldás tompaszög lenne, ami nem lehetséges. A kompnak egy 23,6°-kal feljebb lévő pontot kell célba vennie, hogy a kikötőhöz érkezzen.

Feladatok 2. A folyóparton lévő kikötőből két irányba szoktak indítani kompot. A célállomások a

folyó túlpartján vannak. Az egyik 1,5 km-re van a folyó sodrásával megegyező irányban. Ebből a célállomásból a kiindulási pont 11,5°-os szögben látszik. A másik célállomásból pedig, ami a folyó sodrásával ellentétes irányban található, 7,2°-os szögben látszik. Milyen távol van a másik célállomás a kiindulási ponttól? 3. Egy emeletes családi házban a padlásra eredetileg 60°-os emelkedésű, 3,4 m hosszú

falépcsőt építettek. A tulajdonos ezt túlságosan meredeknek tartotta, és kicseréltette 45°-os emelkedésű lépcsőre. Mennyivel lett hosszabb a lépcső? 4. A domb tetején lévő kilátó tetejétől 30°-os depressziószögben (a

vízszintestől negatív irányban felvett szög) látszik a kilátó aljától 3 km-re lévő kicsiny település egy pontja. A kilátó 20 m magas. Mekkora szögben látszik e pontból a kilátó? 5. Egy háromszög területe 62 m2. Két szöge 40° és 60°. Milyen hosszúak az oldalai? 6. Egy háromszög két szöge 76° és 48°. A 76° nagyságú szög szögfelezője 8,6 cm hosszú.

Milyen hosszúak a háromszög oldalai, és mekkora a harmadik szöge? 7. Egy trapéz hosszabbik alapján fekvő szögei 32° és 64° fokosak. Két alapja 6 és 14 egy-

ség. Milyen hosszúak a szárai? 8. Egy trapéz rövidebbik alapja, CD = 4,6 dm. Az egyik átlója, AC = 5,7 dm. A D csúcsnál

lévő szög 110°, a B csúcsnál lévő pedig 50°. Milyen hosszúak a trapéz ismeretlen oldalai és szögei?

94


TANULÓK KÖNYVE

9. Egy szabályos a oldalú ötszögbe rajzoljunk egy szabályos háromszöget úgy, hogy a

háromszög egyik oldala párhuzamos legyen az ötszög egy oldalával, valamint ezzel az oldallal szemközti csúcs az ötszög egyik csúcsa. Hányszorosa a háromszög oldala az ötszög oldalának? 10. A síkságon állva két, egymás mögött lévő hegycsúcsot látunk, a közelebbit 22°, a távo-

labbit 27° emelkedési szögben. Ha 800 métert gyalogolunk előre, akkor a két hegycsúcs közös, 53°-os emelkedési szög alatt látszik. Milyen magasan vannak a hegycsúcsok a síkság fölött, és milyen távol vannak egymástól légvonalban?


95

II. Koszinusztétel Míg a szinusztétel a háromszög két oldala és a velük szemközti szögek között mutat összefüggést, addig a koszinusztétel a háromszög 3 oldala és egyik szöge között.

Mintapélda5 Egy sebességmérő műszer az autóút egyenes szakaszán 32 m távolságban érzékelt egy balról közeledő autót. Egy másodperc múlva ugyanazt az autót már jobbra, 46 m-re mérte be. Az autó első helyzete (A), a radar (C), és az autó második helyzete (B) meghatározta ACB szög 35°. Mekkora az autó sebessége? Megoldás: Készítsünk ábrát! A sebesség kiszámításához szükségünk van arra, hogy hány métert tett meg ez idő alatt az autó: c = ? Alkalmazható a következő összefüggés, amelyet koszinusztételnek nevezünk: c2 = a2 + b2 – 2ab⋅cosγ .

Behelyettesítjük a, b és γ értékét: c2 = 462 + 322 – 2⋅46⋅32⋅cos 35° = 3140 – 2411,6 = 728,4 c ≈ 27 (m) Ennek az alapján v =

c 27 m km = = 27 = 97,2 . t 1 s h

Az autó sebessége 97,2 km/h a műszer szerint.

Koszinusztétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldalának négyzetösszegéből kivonjuk a közbezárt szög koszinuszának és ezen oldalaknak a kétszeres szorzatát: c2 = a2 + b2 – 2ab⋅cos γ a2 = b2 + c2 – 2bc⋅cos α b2 = c2 + a2 – 2ca⋅cos β

96


TANULÓK KÖNYVE

Megjegyzések:

1. Ha γ = 90°, ui. a háromszög derékszögű, akkor a c2 = a2 + b2 – 2ab⋅cos 90° képlet átalakul, azaz c2 = a2 + b2, mivel cos 90° = 0, így 2ab⋅cos 90° = 0. A koszinusztétel derékszögű háromszög esetén a Pitagorasz-tételt adja. 2. A koszinuszfüggvény 0° és 180° között kölcsönösen egyértelmű, ezért a koszinusztétel minden esetben egyértelmű megoldást ad, feltéve, hogy létezik a megadott adatoknak megfelelő háromszög. 3. A koszinusztétel és a 2. megjegyzés azt is jelenti, hogy c2 = a2 + b2 csak akkor áll fenn, ha

γ = 90°. (A Pitagorasz-tétel megfordítása is igaz.)

A koszinusztétel bizonyítása (kiegészítő anyag) Az ABC háromszögben vezessük be a következő jelöléseket: CB = a; CA = b. Ekkor AB = c = a – b. A háromszög oldalainak hossza éppen ezen vektorok hosszával egyenlő. Tudjuk, hogy a2 = |a|2 = a2, b2 = |b|2 = b2 és c2 = |c|2 = c2. Emeljük négyzetre a c = a – b egyenlet mindkét oldalát! c2 = (a – b)2 c2 = a2 + b2 – 2ab A kétszeres szorzatban ab két vektor skaláris szorzatát jelenti. Eszerint ab = |a|⋅|b|⋅cosγ = ab⋅cosγ . Behelyettesítjük a megfelelő helyekre a vektorok négyzete és az oldalak négyzete közötti összefüggéseket valamint figyelembe vesszük a skaláris szorzat definícióját, így megkapjuk a koszinusztételt: c2 = a2 + b2 – 2ab⋅cosγ .

Mintapélda6 Egy háromszög oldalai 8 cm, 11 cm és 13 cm hosszúak. Mekkorák a szögei? Megoldás: Terv:

1. Mivel a koszinuszfüggvény 0° és 180° között kölcsönösen egyértelmű, ezért koszinusztétellel kiszámítjuk a legnagyobb oldallal szemközti szöget. 2. Ezek után már bármely másik szöget meghatározhatjuk szinusztétellel. Most már nem kell odafigyelni a tompaszögű megoldásra, hiszen a legnagyobb szöget az első lépésben megkaptuk. 3. A háromszög belső szögeinek összege 180°. A harmadik szöget ennek alapján határozzuk meg.


97

Számítás:

1. 132 = 112 + 82 – 2⋅11⋅8⋅cosγ A kijelölt műveletek elvégzése és egyenletrendezés után kapjuk: cosγ = 0,0909 ⇒ γ = 84,8°. sin 84,8° 13 = ⇒ sin β = 0,8427 ⇒ β = 57,4° , a tompaszögű megoldás nem sin β 11

2.

lehetséges, mert a háromszög legnagyobb szöge 84,8°. 3. α = 180° – 84,8° – 57,4° = 37,8° A háromszög szögei: 84,8°; 57,4° és 37,8°. Mindig az adott feladatban megadott adatoktól függ, hogy a háromszögekre kimondott két tétel közül melyiket alkalmazzuk. A szinusztételt akkor alkalmazhatjuk, ha 1. adott egy háromszög egyik oldala és két szöge. 2. adott két oldal és az egyikkel szemközti szög. A koszinusztételt akkor alkalmazhatjuk, ha 1. adott két oldal és a közbezárt szög. 2. adott három oldal.

Mintapélda7 A szokásos jelöléseket használva megadjuk a háromszög néhány adatát. Határozzuk meg hiányzó oldalait és szögeit! a) a = 14,2 cm; b = 9,2 cm; γ = 72° b) a = 5 cm; b = 6 cm; c = 7 cm c) a = 5,4 cm; c = 7,8 cm; α = 37° Megoldás: a) Készítsünk ábrát!

Mivel a c oldalhoz tartozó szög adott, ezért a következőképpen írjuk fel a koszinusztételt: c2 = a2 + b2 – 2ab cosγ .

98


Behelyettesítünk:

TANULÓK KÖNYVE

c2 = 14,22 + 9,22 – 2⋅14,2⋅9,2⋅cos 72° ≈ 205,54 ; c ≈ 14,3 .

A szinusztétel alkalmazásával meghatározzuk α értékét. sin α a sin α 14,2 , sinα ≈ 0,9444 . = , ahonnan = sin γ c sin 72° 14,3

α ≈ 70,8° β = 180° – (α + γ) ≈ 37,2° A háromszög harmadik oldala 14,3 cm, hiányzó szögei 70,8° és 37,2°. b) Készítsünk ábrát!

Mivel a koszinuszfüggvény 0° és 180° között kölcsönösen egyértelmű, ezért koszinusztétellel meghatározzuk a leghosszabb oldallal szemben lévő szöget. Mivel nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, ez a szög a háromszög legnagyobb szöge. 72 = 62 + 52 – 2⋅6⋅5⋅cosγ 49 = 61 – 60⋅cosγ cos γ =

− 12 = 0,2 ⇒ γ ≈ 78,46° − 60

Kétféleképpen haladhatunk tovább. I. lehetőség: A koszinusztétel ismételt alkalmazásával kiszámítjuk valamelyik másik szöget, például β-t: 62 = 72 + 52 – 2⋅7⋅5⋅cosβ, 36 = 74 – 70⋅cosβ, cos β =

− 38 ≈ 0,5429 ⇒ β ≈ 57,12° . − 70

II. lehetőség: A szinusztétel alkalmazásával számítjuk ki valamelyik másik szöget, például β-t: sin β 6 = ⇒ sin β ≈ 0,8398 ⇒ β ≈ 57,12° . sin 78,46° 7 A másik megoldás nem lehetséges, mert a háromszög hegyesszögű.

99


A harmadik szög kiszámítása: α = 180° – 78,46° – 57,12° = 44,42°. A háromszög szögei: 78,46°; 57,12° és 44,42°. c) Készítsünk ábrát! Mivel a rövidebb oldallal szemközti szögét ismerjük, így két háromszög is adódhat megoldásként. Ezt a feladatot kétféleképpen oldjuk meg! I. Szinusztételt alkalmazva: sin γ 7,8 = ⇒ sin γ ≈ 0,8693 ⇒ γ 1 ≈ 60,4°; γ 2 ≈ 119,6° . sin 37° 5,4 1. eset: γ1 = 60,4°.

β1 = 180° – 60,4° – 37° = 82,6° A b oldalt szinusztétellel számítjuk ki:

b sin 82,6° = ⇒ b ≈ 8,9 cm . 5,4 sin 37°

2. eset: γ2 = 119,6°.

β2 = 180° – 119,6° – 37° = 23,4° A b oldalt szinusztétellel számítjuk ki:

b sin 23,4° = ⇒ b ≈ 3,6 cm . 5,4 sin 37°

Az első esetben a háromszög harmadik oldala 8,9 cm, hiányzó szögei 60,4° és 82,6°. A második esetben a háromszög harmadik oldala 3,6 cm, hiányzó szögei 119,6° és 23,4°. II. Koszinusztételt alkalmazva: a2 = c2 + b2 – 2bc cos α. Behelyettesítünk: 5,42 = 7,82 + b2 – 2b⋅7,8⋅cos 37° (b-ben másodfokú egyenletet kaptunk.) 0 = b2 – 12,46b + 31,68 b1; 2

12,46 ± 12,46 2 − 4 ⋅ 31,68 12,46 ± 5,34 ≈ = 2 2

b1 ≈ 8,9 (cm); b2 ≈ 3,6 (cm). Megjegyzés: Innen a hiányzó szögek mindkét háromszög esetében koszinusztétellel

vagy szinusztétellel is kiszámíthatók. (Ez utóbbi esetben nem a legnagyobb szöget számoljuk, hogy biztosan hegyesszöget kapjunk.) A számolás eredményeként az I. megoldásban kapott szögek adódnak.

100


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda8 Egy háromszög egyik oldala 8,4 cm, a hozzá tartozó súlyvonal 7,6 cm hosszú, az adott oldalon fekvő egyik szög 48°. Mekkorák a háromszög hiányzó oldalai és szögei? Megoldás: Tudjuk: c = 8,4 cm; sc = 7,6 cm; α = 48°. AB felezőpontja Sc, az AScC szöget jelöljük δ-val. Kiszámítandó: γ; β; a; b. Terv:

1. γ szög két részének nagysága szinusztétellel 2. δ kiszámítása 3. b oldal kiszámítása szinusztétellel 4. a oldal kiszámítása koszinusztétellel 5. Másik szög meghatározása valamelyik tétellel 6. A harmadik szög kiszámítása Számítás:

1. A súlyvonal a γ szöget két részre osztja: γ = γ1 + γ2 . c sin γ 1 = 2 sin α s c

⇒ sin γ 1 =

4,2 ⋅ sin 48° ≈ 0,4107 ⇒ 24,2° ≈ γ 1 7 ,6

(A másik megoldás nem lehetséges, mert 155,8° + 48° > 180°.) 2. δ = 180° – 48° – 24,2° = 107,8° 3.

sin δ b = sin α sc

⇒ b=

7,6 ⋅ sin 107,8° ≈ 9,7 . sin 48°

4. Az ScBC háromszögben koszinusztétellel számítjuk ki az a oldalt. 2

c ⎛c⎞ a = ⎜ ⎟ + s c2 − 2 ⋅ ⋅ s c ⋅ cos(180° − δ ) = 4,2 2 + 7,6 2 − 2 ⋅ 4,2 ⋅ 7,6 ⋅ cos 72,2° ≈ 55,88 2 ⎝2⎠ a ≈ 7,5 . 2

5. Az ABC háromszögben most már ismerjük mind a három oldalt és az A csúcsnál lévő szöget, amely a legkisebb oldalhoz tartozó szög. Ezért koszinusztétellel kiszámítjuk a legnagyobb oldalhoz (b oldal) tartozó szöget. b2 = a2 + c2 – 2ac⋅cosβ, 9,72 = 7,52 + 8,42 – 2⋅7,5⋅8,4⋅cosβ. A kijelölt műveletek elvégzése és egyenletrendezés után kapjuk: cosβ = 0,2597,

β = 74,9°.

101


6. γ = 180° – 74,9° – 48,4° = 56,7°. A háromszög hiányzó oldalai 7,5 cm és 9,7 cm hosszúak, keresett szögei pedig 74,9°, illetve 56,7°-osak.

Feladatok 11. A szokásos jelöléseket használva számítsd ki a háromszög hiányzó oldalait és szögeit!

A távolságok egységben adottak.

a)

a

b

c

8,2

13,5

9,1

3

5

b) c)

102

87

d)

7

11

15

e)

36,2

22,4

42,57

f)

7,9 13

β

γ

120° 84°

13,4

g)

α

36,13°

14

55°

Mintapélda9 Egy paralelogramma átlói 6,2 cm és 8,7 cm hosszúak. A közbezárt szögük 52°. Milyen hoszszúak az oldalai? Megoldás: Az ABCD paralelogrammában AC = e = 8,7, BD = f = 6,2. A paralelogramma átlói felezik egymást. A felezőpontjukat jelöljük K-val. Az AKD háromszögben AK =

e f = 4,35 és KD = = 3,1 . 2 2

Az AKD szöget jelöljük ϕ -vel: ϕ = 52°. Keressük az AD oldalt, ami a paralelogramma b oldala. Az AKD háromszögre felírjuk a koszinusztételt: 2

2

e f ⎛e⎞ ⎛ f ⎞ b = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − 2 ⋅ ⋅ ⋅ cos ϕ . 2 2 ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠ 2

102


TANULÓK KÖNYVE

Behelyettesítve az értékeket kapjuk: b2 = 4,352 + 3,12 – 2⋅4,35⋅3,1⋅cos 52° ≈ 11,9 , b ≈ 3,5 . A paralelogramma a oldalát is hasonlóan számíthatjuk ki az AKB háromszögből. Az AKB háromszögben AK =

e f = 4,35 és KB = = 3,1 . 2 2

Az AKB szöget jelöljük ϕ’-vel: ϕ’ = 180° – ϕ. Felhasználjuk, hogy cos (180° – ϕ) = –cosϕ Alkalmazzuk az AKB háromszögre is a koszinusztételt: a2 = 4,352 + 3,12 – 2⋅4,35⋅3,1⋅(–cos 52°) ≈ 45,1 , a ≈ 6,7 . A paralelogramma oldalai 3,5 cm és 6,7 cm hosszúak.

Mintapélda10 Egy háromszögnek ismerjük két oldalát, melyek 3,2 cm és 7,8 cm hosszúak. A területe 11,8 cm2. Milyen hosszú a harmadik oldala? Megoldás: Terv:

1. Területképletből a háromszög egyik szögének kiszámítása 2. A harmadik oldal kiszámítása koszinusztétellel Számítás:

1. A háromszög harmadik oldalának kiszámításához szükségünk van az egyik szögre. Tudjuk: a = 3,2 cm; b = 7,8 cm és T = 11,8 cm2. AT=

a ⋅ b ⋅ sin γ területképletből kiszámítható a két megadott oldal által közbezárt 2

szög: 11,8 =

3,2 ⋅ 7,8 ⋅ sin γ 2

⇒

sin γ =

2 ⋅ 11,8 ≈ 0,9455 . 3,2 ⋅ 7,8

γ1 ≈ 71°; γ2 ≈ 109°. 2. Két megfelelő háromszöget kaptunk. Az egyik hegyesszögű, a másik tompaszögű. Mindkét háromszögnek meghatározzuk a harmadik oldalát a koszinusztétel segítségével.


103

I. Hegyesszögű eset: c2 = a2 + b2 – 2ab⋅cosγ1 c2 = 3,22 + 7,82 – 2⋅3,2⋅7,8⋅cos 71° ≈ 54,83 c1 ≈ 7,4 . II. Tompaszögű eset: c2 = a2 + b2 – 2ab⋅cosγ2 c2 = 3,22 + 7,82 – 2⋅3,2⋅7,8⋅cos 109° ≈ 87,33 c2 ≈ 9,3. A hegyesszögű háromszög harmadik oldala 7,4 cm, a tompaszögű háromszögnek 9,3 cm hosszú.

Feladatok 12. Az Alföldön két gémeskút 700 m távolságra van egymástól. Egy juhász meg szeretné

itatni a birkáit. A két gémeskút 60°-os szögben látszik a helyről, ahol áll. Az egyik kútig 600 m-t kell mennie. Vajon közelebb van-e a másik? 13. Egy kikötőből egy csónak és egy vitorlás indul ki egyszerre. A vitorlás nyugat felé

15 km/h sebességgel, a csónak délnyugat felé 22 km/h sebességgel halad. Milyen távol lesznek egymástól háromnegyed óra múlva? 14. A játszótéren egy oszlophoz két kötelet rögzítettek. Két gyerek játék közben két irány-

ba húzza a köteleket, az egyik 400 N, a másik 700 N erővel. A két irány 150°-os szöget zár be. Mekkora erő hat az oszlopra? 15. Egy háromszög két oldala 13 cm és 15 cm, közbezárt szögük 63°. Milyen hosszú a

15 cm-es oldalhoz tartozó súlyvonal? 16. Egy háromszög két oldala 8,2 dm és 5,6 dm hosszúságú. A harmadik oldalhoz tartozó

súlyvonal 6,7 dm. Mekkora a harmadik oldal hossza? 17. Egy paralelogramma oldalai 3 cm és 5 cm, közbezárt szögük 52°. Milyen hosszúak az

átlói?

104


TANULÓK KÖNYVE

18. Egy trapéz alapjai 5 és 8 cm hosszúak. Az egyik szára 3,2 cm. Ez a szár a rövidebbik

alappal 110°-os szöget zár be. Mekkora a trapéz másik szára és az ismeretlen szöge? 19. Egy szabályos négyoldalú gúla alakú sátor magassága

1,7 m, oldallapjai az alaplappal 60°-os szöget zárnak be. Rögzítéséhez 3 m hosszú zsinórokat használunk. A sátort az alaplap oldalfelezői mentén rögzítjük (az ábrán csak az egyik rögzítési pont, P látható). Milyen messze van a sátor aljától a rögzítési pont?


105

III. Vegyes feladatok Feladatok 20. Egy háromszög kerülete 114 egység. Két szöge 54° és 59°. Milyen hosszúak az olda-

lai? 21. Egy konkáv négyszög belső átlója 20 cm. Az átló az egyik szöget 13° és 22°-os részek-

re osztja, a 220°-os homorú szöget pedig felezi. a) Mekkora a négyszög területe? b) Milyen hosszú a másik átló? 22. Egy paralelogramma átlói 6 cm és 8 cm hosszúak. Közbezárt szögük 52°. Milyen

hosszúak a paralelogramma oldalai, és az átlók mekkora részekre osztják a szögeket? 23. Egy háromszög egyik oldala 10 cm, a másik két oldal különbsége 3 cm hosszú. A

10 cm-es oldallal szemben lévő szög 108°. Milyen hosszúak a háromszög oldalai és szögei? 24. Egy háromszög egyik szöge 135°. Az ebből a csúcsból kiinduló 4 és 6 cm hosszú sza-

kaszok ezt a szöget három egyenlő részre osztják. A szakaszok a szöggel szemközti oldal D, illetve E pontjaiban végződnek. Mekkora a háromszög kerülete? 25. Egy háromszögben az egyik oldalhoz tartozó súlyvonal 6,8 cm, az oldal 7,2 cm hosszú.

A súlyvonal az oldallal 60°-os szöget zár be. Mekkorák a háromszög oldalai és szögei? 26. Egy négyszögben AB = a = 25 egység; AD = d = 32 egység és AC = e = 28 egység. Két

szöge β = 100° és α = 112°. Milyen hosszúak a négyszög oldalai és a másik átlója?

106


TANULÓK KÖNYVE

27. Egy bontásra váró gyárkémény „magasságát” szeretnénk lemérni, de sajnos építési

területen van, így nem férünk a közelébe. A gyárkémény 2°-kal megdőlt. Két, egymástól 100 méterre lévő A és B pontból végzünk méréseket. Jelöljük T-vel a kémény alját jelző pontot, és P-vel a kémény tetejét. Az A pontból a kémény látószöge (TAP szög) 51°. Megmérjük még az A pontból a BT szakasz látószögét (TAB szög) 79°, valamint a B pontból az AT szakasz látószögét (ABT szög) 41°. Milyen magas a kémény? 28. Egy gát keresztmetszete olyan trapéz, amelynek a folyó felé eső része a meredekebb.

AD = 3,7 m. A gát teteje 2 méter széles. A kevésbé meredek oldal BC = 5,2 m, és a folyó szintjével 35°-os szöget zár be. Milyen széles a gát alapja és mekkora magassága? 29. Egy faluszéli tanyáról a tulajdonosok faluközpontba mennek a ügye-

iket intézni. Először kimennek a 800 m hosszú egyenes földúton (AB) a főútra. A földút 40°-os szöget zár be a főúttal. Ott 1,5 km-t mennek egyenesen, ahol egy elágazáshoz érnek (C). Itt letérnek egy másik főútra, amely 80°-os szöget zár be az előző főúttal, és a faluközpontig az ábrán látható útvonalon haladnak még 1200 métert (D). Légvonalban milyen távol van a tanya a faluközponttól? 30. Egy mobiltelefon-szolgáltató központ három adótornyot helyezett el, egy 8 km, egy

9 km és egy 10 km hatótávolságút. Az adótornyok nem egy vonalban helyezkednek el, és hatóköreik érintik egymást. Mekkora az a belső terület, amelyet egyik adótorony sem fed le? 31. Két öntözőberendezés egymástól mért távolsága 10 m. Hatósugaruk 6 és 5 m. Mekkora

annak a területnek a nagysága, amelyet mindkét berendezés meg tud locsolni? 32. Micimackó elhatározta, hogy meglátogatja barátait, Tigrist és Malackát. Először Tig-

rishez ment, aki 170 m-re lakott tőle. Utána Malackához indult. 70 m megtétele után éppen félúton járt, amikor eszébe jutott, hogy Malacka ajándékát otthon hagyta, így útvonaláról 60°-kal eltérve hazarohant érte. Felvette az ajándékot, és egyenesen Malackához ment. Összesen mekkora utat tett meg Micimackó?


107

33. Egy mocsaras területen két kis sziget egy-egy kiemelt pontja, A és B található. AB tá-

volság közvetlenül nem mérhető, viszont tudjuk, hogy a mocsár szélén lévő 12 méter magas CD kilátó tetejéből (D pontból) a sziget A pontja 22°-os depressziószögben látszik. Továbbá mérhetők a CAB és a CBA szögek: 34°és 43°. Milyen távol van egymástól a két sziget kiemelt pontja? 34. Egy nyugat felé induló motorcsónakról két, egymástól 5 km távolságra lévő viharjelző

északra irányuló egyenesben látszik. Fél óra múlva az egyik északkeleti, a másik kelet-északkeleti irányban látszik. Mekkora sebességgel halad a csónak? 35. Egy ferde torony csúcsa a torony hajlásának irányában az

aljától 50 méterre 72°-os emelkedési szögben látszik, az ellenkező irányba 30 métert haladva pedig 78°-os szögben látszik. a) Milyen magasan volt eredetileg a torony csúcsa a földtől? b) Milyen magasan van a torony csúcsa a földtől, miután az megdőlt? Hány fokos a dőlési szöge? 36. Két tereptárgy (A és B) légvonalbeli távolságát szeretnénk

megmérni, de egyiket sem lehet látni a másik helyéről nézve. Ezért két olyan helyszínt választanak (C és D), amelyek 2,4 km távolságra vannak egymástól, és mindkét helyről jól látszanak az A és B tereptárgyak. Az A tereptárgytól a DC szakasz 32°-os szögben látszik, míg a B tereptárgytól 25°-os szögben. Továbbá le tudják mérni a CDB és a DCA szögeket is: CDB szög 44°; DCA pedig 38°. Mekkora az AB távolság? 37. Egy parkban két pihenőhely közötti távolságot szeretnénk meghatározni. Amikor a

közelebbi pihenőhely még 120 méterre van, akkor a két helyet 105°-os szögben látjuk. Ha 40 métert haladunk előre a közelebbi pihenőhely felé, akkor a két hely már 120°-os szögben látszik. Milyen távol van a két pihenőhely egymástól?

108


TANULÓK KÖNYVE

38. Egy szabályos háromszög alapú gúla alapéle 6 cm. Oldallapjai egyenlőszárú három-

szögek, melyek az alaplappal 72°-os szöget zárnak be. Milyen hosszúak a gúla oldalélei? 39. Egy háromszög egyik szöge 56,4°. Ennek a szögnek a szögfelezője a szemközti oldalt

26 cm-es és 34 cm-es részekre osztja. Mekkora a háromszög kerülete és szögei?

109


Kislexikon Szinusztétel: Bármely háromszögben az oldalak aránya megegyezik a velük szemközti szö-

gek szinuszának arányával: a : b : c = sin α : sin β : sin γ Koszinusztétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két

oldalának négyzetösszegéből kivonjuk a közbezárt szög koszinuszának és ezen oldalaknak a kétszeres szorzatát: c2 = a2 + b2 – 2ab⋅cos γ a2 = b2 + c2 – 2bc⋅cos α b2 = c2 + a2 – 2ca⋅cos β

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

Recommend Documents