MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET „A” Matematika 10. évfolyam TANULÓK KÖNYVE 1. FÉLÉV

A kiadvány KHF/4364-12/2008. engedélyszámon 2008.08.28. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv

A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3.1.1. központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás feladataira) keretében készült, a suliNova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: www.educatio.hu címen.

Matematika szakmai vezető: Oláh Vera Szakmai tanácsadók: Csatár Katalin, Somfai Zsuzsa Alkotószerkesztők: Ratkó Istvánné, Oláh Judit, Vidra Gábor Grafika: Csákvári Ágnes, dr. Fried Katalin, Lénárt István, Vidra Gábor Lektor: Pálmay Lóránt Felelős szerkesztő: Teszár Edit

H-AMAT1001 © Szerzők: Csákvári Ágnes, Darabos Noémi Ágnes, Gidófalvi Zsuzsa, Lénárt István, Vidra Gábor Educatio Kht. 2008. Tömeg: 910 gramm Terjedelem: 29,83 (A/5 ív)

A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Tantárgypedagógiai szakértő: Kónya István Tudományos-szakmai szakértő: dr.Marosváry Erika Technológiai szakértő: Zarubay Attila

tartalom

1. modul: Logika (Vidra Gábor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2. modul: A négyzetgyök fogalma, azonosságai (Gidófalvi Zsuzsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3. modul: Algebrai azonosságok és másodfokú egyenletek (Darabos Noémi Ágnes) . . . . . . . . . . . . .

45

4. modul: Körrel kapcsolatos fogalmak (Lénárt István és Vidra Gábor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

5. modul: Függvények (Csákvári Ágnes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6. modul: Másodfokúra visszavezethető problémák (Darabos Noémi Ágnes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7. modul: Négyzetgyökös egyenletek (Gidófalvi Zsuzsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

A könyvben kidolgozott MINTAPÉLDÁK segítenek a tananyag megértésében. A FELADATOK szintjét a sorszám előtti házikó mutatja: alapszintű feladatok: középszintű feladatok: emelt szintű feladatok: Ahol nincs ilyen jelzés, azt a példát mindenkinek ajánljuk.

Mire jó a matematika? Te mit gondolsz? Minek tanuljon Pitagoraszról meg egyenletekről olyasvalaki, akinek az iskolán kívül nem lesz dolga velük? Az interneten minden adatot megtalálhatunk, amit csak akarunk! Mi, akik ezt a tananyagot írtuk, szeretünk beszélgetni, utazni, jó zenét, szép verseket hallgatni, virágot adni és kapni, szépen öltözni, finom ebédet enni – és szeretjük a matematikát. Ezekben a munkatankönyvekben arra a kérdésre próbálunk felelni: Mi szeretni való van a matematikában? Kétezer-háromszáz évvel ezelőtt Arkhimédész köröket meg négyzeteket rajzolt a homokba, és megpróbálta megszámolni a homokszemeket egy akkora gömbben, mint az egész Világmindenség. Sokan mondhatták akkor: „Hát ennek mi haszna?” Homokszemek számolása és négyzetek rajzolása közben az Ember megtanulta a matematikai gondolkodást, a matematika nyelvét. Ez a gondolkodásmód, ez a nyelv segítette abban, hogy utakat, gépeket, városokat építsen, néhány óra alatt átrepülje az óceánt, fényképezzen, mobilon beszélgessen, vagy a másodperc tört része alatt könyvtárra való tudnivalót gyűjtsön össze a számítógépen. Az igazi matematika – csoda. Olyan, mint a költészet. Csokonai írta a költőről: „…teremt új dolgokat, S a semmiből világokat.” Majdnem szóról szóra ugyanígy fejezte ki magát Bolyai János, a matematikus, amikor felfedezéséről írt édesapjának: „Semmiből egy új, más világot teremtettem.”* Gondold el: soha, senki nem látott még igazi pontot, egyenest, kört vagy párhuzamost. Mindezek csak a mi képzeletünkben léteznek. S ezekből a képzelet szülte fogalmakból teremtett a matematika – meg a fantázia, bátorság, tapasztalat és józan ész – valóságos, kézzelfogható csodákat, amelyek hozzátartoznak mindennapi életünkhöz. Ezt a szépséget, ezt a kalandot szeretnénk megmutatni a matematikában. Vannak olyan részek is, amiket gyakorolni kell, éppen azért, hogy a lényeget érteni, élvezni tudd. Ha focizni, táncolni, gördeszkázni, úszni, sakkozni vagy főzni tanulsz, akkor is időt kell szánnod a gyakorlásra.

Mit szeretnénk még mondani Neked a könyveinkkel? Szeretnénk, ha bíznál magadban! Ha azt mondanád: „Okos, ügyes vagyok. Tudok gondolkozni, dönteni, ha barátot, társat, életpályát kell választanom. Cselekedeteimért, döntéseimért én vagyok felelős, senki más.” Örülnénk, ha hinnél abban, hogy meg tudod változtatni a dolgokat magad körül, meg tudod javítani a világot! Szeretnénk, ha tudnád: minden ember számára a legfontosabb – a többi ember. Magadat gazdagítod, ha gondolataiddal, alkotóképességeddel másokat gazdagítasz. Használd arra a matematikát, meg minden más tudásodat, tehetségedet, hogy szeretetben, szerelemben, örömben élj az emberek között! Ehhez kívánnak Neked sok szerencsét:

a 10. osztályos matematika munkatankönyvek szerzői

* A Csokonai- és Bolyai-idézetek közti kapcsolatra egy egyetemi hallgató, azóta már tanár, Szmerka Gergely hívta fel a figyelmünket.

1. MODUL logika Készítette: Vidra Gábor

6

MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM

TANULÓK KÖNYVE

A természettudományok felépítése (olvasmány) A természettudományok alapját alapállítások, igaznak vett alaptételek alkotják, és ezekre épül fel a tudományterület (az alaptételek a fizikában modellek formájában is előfordulhatnak). Ezek az alaptételek nem alkotnak véglegesített, zárt rendszert, mert a tudományok fejlődésével változhatnak. A fizikában akkor jó egy modell, ha minél pontosabban leírja a valóságot. Például a Merkúr Nap körüli keringésének pályája a Kepler óta fennálló ellipszis pályaelmélettől kissé eltért, és ennek magyarázata a térről alkotott elképzelésünk forradalmian új leírásával, a relativitáselmélettel vált megmagyarázhatóvá. A matematika egzakt (pontos) tudomány: minden állítást be kell bizonyítani. Ameddig nem bizonyítunk egy állítást, addig sejtésnek nevezzük. Egy állítást bizonyított tételnek nevezünk, ha logikai úton vissza tudjuk vezetni más állításokra, amiket már elfogadtunk – akár azért, mert ismerjük a bizonyításukat (korábban bizonyított tételek), akár azért, mert annyira egyszerűnek, nyilvánvalónak tűnnek, hogy nem tartjuk érdemesnek vesződni a bizonyításukkal (ezeket axiómáknak, alaptételeknek nevezzük). Az egyik leghíresebb sejtés a Fermat-sejtés. Pierre de Fermat (1601-1665) toulouse-i gondolkodó (főállásban jogász, egyébként műkedvelő matematikus) volt, és 1637 táján Diofantosz: Aritmetika című könyvének latin nyelvű kiadásának margójára írt egy megjegyzést: az xn+yn=zn egyenletnek n>2 esetén nincsen olyan nullától különböző megoldása, ahol x, y és z egész számok. (Ha n=2, akkor az egyenlet megoldásai az úgynevezett pitagorászi számhármasok, például 32 + 42 = 52 jó megoldás.) Azt állította, hogy "Ennek igazán bámulatos bizonyítását találtam meg, azonban a könyv margója túlságosan keskeny, hogy ide írjam." Nos, a tételt csak 1995-ben (majdnem 370 évvel Fermat bejegyzése után!) tudták bebizonyítani: Andrew Wiles és Richard Taylor brit matematikusok több száz oldalon keresztül. Sokszor mondjuk egy állításról, hogy triviális. A „triviális” szó eredete a római korba nyúlik vissza: a szabad embereknek tanított közismereti tárgyak nyelvtanból, logikából és retorikából, vagyis a triviumból álltak. Más értelmezések szerint a kifejezés görög iskolákból ered, ahol séta közben beszélgettek matematikáról. A triviális állítás azt jelenti, hogy három úton (tri = három, via = út) menve is igazolni lehet, vagyis könnyű a bizonyítása. Hogy kinek mi a könnyű, és mit lehet elfogadni bizonyítás nélkül, az függ az egyéntől.

A természettudományokban axiomatikus felépítést alkalmaznak: alaptételeket (axiómákat, posztulátumokat) fogadnak el igaznak, és ezekből kiindulva bizonyítják a különböző tételeket. Az axiomatikus felépítésnek óriási jelentősége volt a különböző geometriák megszületésekor. Az axiómáktól elvárjuk a következő feltételeket: • nem lehetnek egymásnak ellentmondók; • ne legyen sok axióma (bonyolítaná a rendszer felépítését); • egymástól függetleneknek kell lenniük (vagyis egyik sem bizonyítható a többi axióma segítségével);

7

1. modul: LOGIKA

• •

rendszerük teljes legyen, azaz minden olyan axióma kéznél legyen, ami a felsorolt tételek bebizonyításához szükséges; illeszkedjenek a valósághoz, vagyis az axiómákból levezethető tételeknek jól kell leírnia a bennünket körülvevő világot.

Az első ránk maradt axiómarendszer Eukleidész: Elemek c. könyvében található (i. e. 330 körül). Eukleidész szétválasztotta az axiómákat és a posztulátumokat. Az axiómák nála általános jellegű kijelentések, a posztulátumok kifejezetten a geometria témakörére vonatkozó alapállítások. Ma ezeket összefoglaló néven axiómáknak nevezzük. Az axiómarendszerek a tudományterületek fejlődésével együtt fejlődnek. Egy-egy új felfedezés vagy korszakalkotó gondolat kapcsán előfordul, hogy a valóság leírását módosítani kell (gondolj a Naprendszer modelljének, vagy az atommodelleknek a fejlődésére). A fizika változásával kiderült, hogy nagyon nagy (kozmikus) méretekben az euklideszi geometria fogalmait nem tudjuk megfelelően használni. Eddigi tanulmányaink során is találkoztunk már olyan felülettel, amelyen nincs párhuzamosság: a gömbfelülettel. Ez azt jelenti, hogy a gömbi geometria eltér az euklideszi geometriától. Egy másik példa: megszoktuk, hogy a párhuzamosok nem találkoznak, azonban ennek a perspektíva törvényei látszólag ellentmondanak. Ha a sínek közé állunk, a párhuzamos sínek öszszetartónak látszanak. Létezik az euklideszi geometriának olyan kibővítése (projektív geometria), amely alkalmas az ehhez hasonló jelenségek leírására. Mindezekből leszűrhetjük, hogy az axiómarendszereknek illeszkednie kell a valóság leírásához. Ha valaki másképp látja a valóságot, akkor változtathat az axiómákon, viszont ekkor a korábbihoz hasonlóan fel kell építenie az új rendszer szerint az adott tudományterületet. Ezt tette Bolyai János (1802–1860) is. Az axiómák mellett a matematika felépítésében alapfogalmak (azaz nem definiált fogalmak) is vannak. (Ilyen például a pont, az egyenes, a sík, a tér.)

Matematikai szakterületek felépítése

Alapfogalmak

Definíciók

Axiómák

Bizonyított tételek

8


TANULÓK KÖNYVE

I. Ismétlés Kijelentés (vagy állítás, ítélet): olyan kijelentő mondat, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz, vagy hamis. Egy kijelentésnek kétféle logikai értéke (vagy igazságértéke)

Logikai értékek

lehet: igaz, vagy hamis. igaz

hamis

Logikai műveletek: Logikai műveletek

Tagadás (NEM)

Konjunkció (ÉS)

Diszjunkció (VAGY)

Tagadás (negáció): az a logikai művelet, amely egy kijelentés igazságértékét ellentettjére változtatja: az igazból hamisat, a hamisból igazat csinál. Konjunkció: két kijelentés ÉS-sel összekapcsolva. Az új kijelentés akkor igaz, ha mindkét kijelentés logikai értéke igaz, minden más esetben hamis. A konjunkció tagadása: NEM (A ÉS B) = NEM A VAGY NEM B Diszjunkció (megengedő vagy): két kijelentés VAGY-gyal összekapcsolva. Az új kijelentés akkor igaz, ha bármelyik vagy mindkét kijelentés logikai értéke igaz. Akkor hamis, ha mindkét kijelentés hamis. A diszjunkció tagadása: NEM (A VAGY B) = NEM A ÉS NEM B

Feladatok 1. Döntsd el, hogy kijelentések-e az alábbi mondatok! Amelyik kijelentés, annak add meg a tagadását is! a) Szépen süt a nap.

b) A matematika mindenki kedvenc tantárgya.

c) Az angolt könnyű megtanulni.

d) Havazik.

e) 2 < 3.

f) 5 ≥ 5.

1. modul: LOGIKA

9

2. Mi a logikai értéke a következő kijelentéseknek? a) Az x < 10 (x∈Z) egyenlőtlenségnek megoldása az 5. b) Az 2x+3 < 15 (x∈N) egyenlőtlenségnek megoldása az 5. c) Az y = 2x–4 egyenes zérushelye 2. d) A (–3; 10) pont rajta van az y = –3x–1 egyenletű egyenesen. e) A 2; 5; 8; 12; 14 adatsor mediánja 8 és átlaga is 8. f) A 2; 3; 5; 5; 8; 13; 16; 22; 26 adatsor mediánja 2 vagy módusza 5. g) Van olyan háromszög, amelynél a köré írt kör középpontja a háromszög egyik oldalán van. h) Nincs olyan rombusz, amelynek az átlói egyenlő hosszúak. i) 4-nek a négyzete 16, és csak 4-nek a négyzete 16. j) Egy 29 fős osztályban 8 tanuló furulyázik, 7 zongorázik, 3 tanuló mindkét hangszeren játszik. Ekkor igaz az, hogy 16 tanuló se nem furulyázik, se nem zongorázik.

3. Tagadd a következő kijelentéseket: a) Holnap esni fog. b) –2 > 4. c) 1972 áprilisában nagy esőzések voltak. d) Elmegyek, és veszek mozijegyet. e) A széf kombinációja 11-gyel és 5-tel is osztható szám. f) A szemtanú vagy nem látta az esetet, vagy elfutott. g) Az étkezési hozzájárulást kifizetik, vagy egy részét természetben térítik.

4. Adj meg olyan feltétel(eke)t, hogy az alábbi állítások igaz kijelentéssé váljanak! a) x és 15 legnagyobb közös osztója 5. b) n piros és 10 fehér golyó van egy kalapban. Véletlenszerűen kihúzva egy golyót, a piros valószínűsége 0,6. c) Az e: y = 2x – 4 egyenes egyik pontja: (3, y0). d) Egy s síkidom átlói felezik a szögeket, vagy merőlegesen metszik egymást.

10


TANULÓK KÖNYVE

II. Az implikáció A hétköznapi életben beszélgetéseink során sokszor meg kell védenünk saját álláspontunkat másokéval szemben. Ennek eszközei a következtetés, logikus érvelés, bizonyítás. Az érvelés tudománya kultúránként eltérhet. A retorika, melynek nagy mesterei voltak Empedoklész, Platón, Arisztotelész, Cicero, Tacitus, a középkorban a hét szabad mesterség egyikeként a triviumon belül helyezkedett el. Érdekes a tibeti lámák tanulási stílusa: teológiai vitákon keresztül tanulnak, melynek során az érvelésüket széles tapsmozdulattal kísérik, miközben nagyot dobbantanak a lábukkal.

Mintapélda1 Ha este hideg lesz, akkor kabátot fogok felvenni. Miről nyilatkozik a fenti állítás? Mikor mondhatjuk, hogy a fenti állítás nem igaz? Megoldás: A feltételhez kötött állításokat HA – AKKOR kapcsolattal fejezzük ki. A fenti állítás akkor nem teljesül, ha hideg lesz, de mégsem veszek kabátot. Ha nem lesz hideg, arról a mondat nem nyilatkozik, ezért nem mondhatjuk, hogy nem igaz (logikai értéke igaz lesz). hideg lesz

kabátot veszek

Ha este hideg lesz, akkor kabátot fogok felvenni.

igaz

igaz

igaz

igaz

hamis

hamis

hamis

igaz

igaz

hamis

hamis

igaz

Mintapélda2 Milyen a és b számokra teljesül, hogy ha a < b, akkor a2 < b2 ? Milyen számok esetén mondhatjuk, hogy nagyobb számnak a négyzete is nagyobb? Megoldás: Ez szintén HA – AKKOR kapcsolat, azonban most nem tudjuk előre megmondani, hogy igaz, vagy hamis az állítás. A feltételnek megfelelő számokat nekünk kell megkeresnünk. Ebben az esetben körültekintően kell eljárnunk, ui. mondhatnánk, hogy a feladat megoldása: a>0 és b>0. Azonban találunk más példákat is: például a= –3; b=4. Pontosítva a megoldás: ha |a| < |b|, akkor a2 < b2. (Így minden ilyen a-ra és b-re teljesül az állítás.)

11

1. modul: LOGIKA

Amikor HA – AKKOR kapcsolattal két kijelentést összekapcsolunk, akkor új kijelentés keletkezik. Ezt a kapcsolatot implikációnak nevezzük. Általános alakja: HA feltétel, AKKOR következmény. Az implikáció logikai értéke hamis, ha a feltétel igaz, és a következmény hamis. Minden más esetben az implikáció logikai értéke igaz.

Az implikáció más nyelvi elemekkel is kifejezhető. Például: „hideg esetén kabátot veszek”, „kabátot veszek, ha hideg lesz” stb. A feltételt szokták nevezni az implikáció előtagjának, a következményt az utótagjának. Nem biztos, hogy az előtag és az utótag szerep megegyezik a két állítás mondatbeli sorrendjével. Az implikáció megfordítása az előtag és az utótag cseréjét jelenti.

Mintapélda3 A következő következtetés kicsit furcsára sikeredett: Ha zöld a lámpa, este sötét van. Az ilyen típusú következtetéseknek a hétköznapi életben semmi értelme, de a matematikai logikában van igazságértéke: igaz, hiszen az utótag igazságértéke igaz. Azt mondjuk, hogy nincs kapcsolat az előtag és az utótag között.

Feladatok 5. Helyes következtetéseket fogalmaznak-e meg a következő implikációk? a) Ha elmegyünk a butikba, vehetünk zöldséget. b) Ha egy trapéz tengelyesen szimmetrikus, akkor kör írható köré. c) Ha sokat dolgozunk, sok pénzt fogunk keresni. d) Ha egy háromszög tengelyesen szimmetrikus, az biztosan szabályos. 6. Határozd meg, hogy az alábbi implikációk esetén mi a feltétel, és mi a következmény. Fordítsd meg a feltételt és a következményt, és írd le a megfordított implikációt! Fogalmazd át az implikációkat! a) Ha fúj a szél, akkor hajladoznak a virágok. b) Ha éjszaka van, akkor sötét van. c) Derékszögű háromszögben a befogók négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével.

12


TANULÓK KÖNYVE

d) A deltoid átlói merőlegesek egymásra. e) Egy szám 15-tel is osztható, amennyiben 3-mal és 5-tel is. 7. Keress feltételt, illetve következményt az alábbi implikációkhoz! a) Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a körvonal bármely más pontjával, … b) Ha bizonyos pontok távolsága a sík egy adott O pontjától ugyanannyi, … c) Ha egy négyszögnek egyenlők az átlói, akkor… d) Ha egy négyszög deltoid, … e) Ha …, akkor a < a 2 . f) Ha egy egyenes egyenlete y = 3x – 2, akkor … 8. Keress összetartozó feltétel – következmény párosokat, és írd le az implikációkat. Több feltételt és következményt is összekapcsolhatsz ÉS és VAGY kapcsolattal is. Feltételek

Következmények

egy szám osztható 3-mal és 2-vel

a szám osztható 2-vel és 5-tel

egy szám 0-ra végződik

a szám osztható 3-mal

egy páros szám számjegyeinek

a szám osztható 6-tal

összege 3n (n ∈N+) alakban írható fel egy szám osztható 30-cal

a szám osztható 4-gyel

egy szám páros négyzetszám

a szám osztható 100-zal

9. Elemezd a következő mondatok feltételét és következményét, majd mondatonként válaszd ki a megfelelő kategóriát! Előtag

Utótag

Kapcsolat az előtag és az utótag között

a)

igaz – hamis

igaz – hamis

van – nincs

b)

igaz – hamis

igaz – hamis

van – nincs

a) A háromlábú szék sohasem billeg, mert a térben három pont egyértelműen meghatároz egy síkot. b) A tengelyes tükrözés szimmetriát eredményez, ezért a szabályos ötszög tengelyesen szimmetrikus.

13

1. modul: LOGIKA

III. Az ekvivalencia Vizsgáljuk meg az alábbi kijelentést: Egy természetes szám akkor és csak akkor osztható 3-mal és 2-vel, ha osztható 6-tal. A matematikában az „akkor és csak akkor” azt jelenti, hogy egy állítás megfordítható: Ha egy természetes szám osztható 3-mal és 2-vel, akkor osztható 6-tal. Ha egy természetes szám osztható 6-tal, akkor osztható 3-mal és 2-vel. Ez két implikáció, amelyek egymás megfordításai. Mindkettő igaz állítás, ezért azt mondjuk, hogy a kijelentések megfordíthatók. Az „AKKOR ÉS CSAK AKKOR” kapcsolat a megfordíthatóságot fejezi ki.

Mintapélda4 Megfordítható-e az alábbi kijelentés: Ha egy szám osztható 9-cel, akkor nem prím. Megoldás: Ez önmagában igaz állítás, és a megfordítása így hangzik: Ha egy szám nem prím, akkor osztható 9-cel. Ez nyilván hamis állítás, tehát a kijelentés nem megfordítható. A fenti mondat nem ekvivalencia.

Ekvivalenciának nevezzük az AKKOR ÉS CSAK AKKOR kapcsolattal kifejezett logikai műveletet. Az ekvivalencia logikai értéke akkor igaz, ha a két állítás logikai értéke megegyezik.

Az ekvivalens állítások tehát egymásból következnek. Az „akkor és csak akkor” tételeknek a matematikában nagy jelentősége van: ha egyik kijelentés teljesül, akkor az automatikusan magával vonja a másik kijelentés tényét. Például ha egy háromszög derékszögű, akkor tudjuk, hogy két befogót ismerve hogyan számítjuk ki az átfogót, mert a háromszög „derékszögűsége” maga után vonja az oldalakra vonatkozó, jól ismert összefüggést.

14


TANULÓK KÖNYVE

Szükséges és elégséges feltétel Vizsgáljuk meg, hogy mit mond ki a Pitagorasz-tétel. A tétel szövege: „egy derékszögű háromszög befogóinak négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével”. Feltétel: a háromszög derékszögű; következmény: érvényes az a2 + b2 = c2 összefüggés. a2 + b2 = c2

Derékszögű háromszög Ha a tételt megfordítjuk, másik állítást kapunk: a2 + b2 = c2

Derékszögű háromszög

Megfogalmazva: Ha egy háromszög oldalaira érvényes az a2 + b2 = c2 összefüggés, akkor a háromszög derékszögű. Ez a tétel szintén igazolható. Pitagorasz-tétel

a2 + b2 = c2

Derékszögű háromszög Pitagorasz-tétel megfordítása

A két tétel össze is kapcsolható: egy háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha oldalaira teljesül az a2 + b2 = c2 összefüggés. Más megfogalmazásban: Annak, hogy egy háromszög derékszögű legyen, szükséges és elégséges feltétele az, hogy az oldalaira teljesüljön az a2 + b2 = c2 összefüggés. A szükséges és elégséges feltételek használatát jól mutatja a következő mintapélda. Tudjuk, hogy a 3-mal és a 9-cel való oszthatóság között kapcsolat van: 9-cel oszthatóság

3-mal oszthatóság

3-mal oszthatóság

9-cel oszthatóság

A 3-mal való oszthatóság szükséges, de nem elégséges feltétele a 9-cel való oszthatóságnak. A 9-cel való oszthatóság elégséges, de nem szükséges feltétele a 3-mal való oszthatóságnak.

15

1. modul: LOGIKA

Mintapélda5 Fogalmazzuk meg a „szükséges” és az „elégséges” felhasználásával a következő kijelentések közötti kapcsolatot: nyerek a lottón, és töltöttem ki szelvényt. Megoldás: Segítségül a kapcsolatot rajzzal szemléltethetjük:

kitöltöttem szelvényt

nyerek a lottón

Kitöltöttem szelvényt: ez szükséges, de nem elégséges feltétele annak, hogy nyerjek. Az „akkor” az elégséges, a „csak akkor” a szükséges feltételt fogalmazza meg az ekvivalenciában.

Feladatok 10. Gyűjtsetek példákat a hétköznapi élet és a matematika területeiről, amelyekben használhatók a „szükséges”, illetve az „elégséges” szavak! Legyenek benne „szükséges és elégséges” jellegű mondatok is! 11. Gyűjtsetek példákat a hétköznapi élet és a matematika területeiről ekvivalenciákra! 12. Mondjatok olyan kijelentéseket, amelyek szükségesek, illetve elégségesek a következő kijelentésekkel kapcsolatban. Fogalmazzatok meg olyan mondatokat is a segítségükkel, amelyekben szerepelnek a nem elégséges, valamint a nem szükséges szókapcsolatok is. Például a kijelentés: leáll az autó. Ehhez megfogalmazhatók a következő implikációk: Ha kifogy a benzin, akkor biztosan leáll az autó. Annak, hogy leálljon az autó, elégséges feltétele, hogy kifogyjon a benzin. Annak, hogy leálljon az autó, nem szükséges feltétele, hogy kifogyjon a benzin. a) Elkaptam az influenzát. b) Egy négyszögnek van párhuzamos oldalpárja. c) Egy szám osztható 4-gyel.

16


TANULÓK KÖNYVE

13. Helyes-e a következő ítéletekben az ekvivalencia használata? Fogalmazd át úgy a mondatokat, hogy tartalmazzák a szükséges, illetve az elégséges kifejezéseket! a) 15 osztója a-nak akkor és csak akkor, ha 5 osztója a-nak. b) Egy négyszög átlói merőlegesek egymásra akkor és csak akkor, ha a négyszög rombusz. c) A háromszög köré írt körének középpontja akkor és csak akkor esik a leghosszabb oldal felezőpontjába, ha a háromszög derékszögű.

17

1. modul: LOGIKA

IV. Skatulyaelv Mintapélda6 Gondold át az A és a B esetet: A: Van 15 gyufaszálam és 10 dobozom, amelyekbe a gyufaszálakat rakhatom. B: Van 10 gyufaszálam és 15 dobozom, amelyekbe a gyufaszálakat rakhatom. Válaszd ki, hogy melyik állítás biztosan igaz (I), melyik hamis (H), és melyik lehet igaz is és hamis is (L)! A 1.

Minden dobozba kerül gyufaszál.

2.

Minden gyufa egy dobozba kerül.

3.

Pontosan egy üres gyufásdoboz van.

4.

Biztosan van olyan doboz, amiben pont egy gyufa van.

5.

Biztosan van olyan doboz, amibe legalább egy gyufa kerül.

6.

Biztosan van olyan doboz, amibe legfeljebb egy gyufa kerül.

7.

Biztosan van olyan doboz, amibe kettő gyufa kerül.

8.

Biztosan van olyan doboz, amibe egynél több gyufa kerül.

9.

Biztosan van legalább egy üres doboz.

B

10. Két üres gyufásdoboz van. 11. Legalább két üres doboz van. 12. Legfeljebb két üres doboz van. 13. Biztosan van 3 üres gyufásdoboz. 14. Biztosan van legalább két olyan gyufásdoboz, amibe több gyufa kerül. A megfogalmazások jól mutatják, hogy amikor valamit kimondunk, törekedjünk a pontosságra és az egyértelmű megfogalmazásra. Egy-egy apró megjegyzés vagy változtatás nagy hatással lehet a mondanivalónk megértésére és jelentésére.

18


TANULÓK KÖNYVE

A B esetben kevesebb a gyufa, mint a doboz, maradnia kell üres doboznak. Előfordulhat olyan eset is, hogy 1–1 gyufa van 10 dobozban (ekkor öt üres doboz is van), vagy minden szálat egy dobozba raktunk (ekkor 14 üres doboz van). Tehát legalább öt üres doboz marad (öt vagy több). Az is elmondható, hogy legfeljebb 14 üres doboz van, vagyis az üres dobozok száma 5 és 14 között lehet. Mi a helyzet 13 gyufaszál és 12 doboz esetén? Milyen állításokat tudunk megfogalmazni? Most több gyufa van, mint doboz. Ebből az következik, hogy biztosan van olyan doboz, amiben egynél több szál gyufa található. Ha úgy rakom szét a gyufákat, hogy minden dobozba rakok egy szálat, akkor marad még 1 gyufaszál, amit el kell raknom valahová: teljesül az állítás. Elmondható-e ez 12 gyufa és 12 doboz esetén? Természetesen nem, mert az is előfordulhat, hogy minden dobozba jut 1-1 gyufaszál. Tehát nem mondható el, hogy „biztosan” marad üres doboz, vagy lenne legalább két gyufát tartalmazó. Előfordulhat, hogy van üres doboz, de az is, hogy nincs, és hogy a dobozokban egy vagy több szál van. Az viszont elmondható, hogy akkor és csak akkor van üres doboz, ha van olyan doboz, amibe több szál gyufát is raktunk. Skatulyaelv: ha k tárgyat kell n dobozban elhelyezni, akkor a következőket mondhatjuk: •

k < n esetén biztosan marad legalább n – k üres doboz

•

k > n esetén van legalább egy olyan doboz, amiben legalább két tárgy van.

Mintapélda7 Egy kalapban van 5 piros, 5 fehér, 5 sárga és 5 kék golyó. Legalább mennyit kell kihúzni becsukott szemmel, hogy biztosan legyen közöttük mind a négy színű golyóból? Megoldás: Legrosszabb esetben kihúzok egymás után 5-5-5 azonos színűt, tehát legalább 16 golyót kell kihúznom. (Legszerencsésebb esetben az első 4 húzásra 4 különböző színűt húzok, de azt nem mondhatom, hogy biztosan elég 4 húzás; mindig a legrosszabb esetre kell gondolni.)

1. modul: LOGIKA

19

Mintapélda8 Adott 1 és 10 között 6 egész szám. Igazoljuk, hogy van köztük legalább két olyan, amelyek összege páratlan. Megoldás: 1-től 10-ig 5 páros, és 5 páratlan szám van. A 6 egész szám között biztosan van 2 olyan, aminek a paritása eltérő, így azok összege páratlan.

Mintapélda9 Egy 10 cm oldalú, négyzet alakú céltáblára véletlenszerűen lövünk 26 lövedéket. Igaz-e, hogy van közöttük legalább 2, amelyek távolsága legfeljebb 3 cm? Megoldás: A 10x10-es tábla felbontható 25 darab, 2x2 cm-es kis négyzetre. A 26 lövedék között biztosan van 2 olyan, amelyik azonos négyzetbe csapódik be, és ezek maximális távolsága a négyzet átlója: 2 2 ≈ 2,83 . Ennél a 3 nagyobb, ezért van két

olyan lövedék, amelynek a távolsága legfeljebb 3.

Mintapélda10 Igazoljuk, hogy egy 22 fős osztályban van legalább 4 tanuló, akik a hétnek ugyanazon a napján születtek! Megoldás: A skatulyaelv szerint a hét minden napjára elhelyezve 22 tanulót lesz legalább egy

nap, amelyre 4 kerül. A „legrosszabb eset” elve szerint: ha minden napra 3 tanuló jutna, akkor 21 tanuló járna az osztályba, tehát a 22-ediknek valamelyik naphoz kell kapcsolódnia, negyedikként.

20


TANULÓK KÖNYVE

Indirekt bizonyítási módszer (kiegészítő anyag) Mintapélda11 Megmutatjuk, hogy egy társaságban mindig akad legalább két olyan ember, akinek azonos számú ismerőse van a társaságban, ha az ismeretség kölcsönös. Megoldás: – Vizsgáljuk meg 2 fős társaságban: vagy nem ismerik egymást, és ekkor mindkettőjüknek 0 ismerőse van, vagy ismerik egymást, és ekkor mindkettőjüknek 1 ismerőse van a társaságban. – 3 fős társaságban az ismeretségeket gráfokkal is szemléltethetjük, azaz az embereket pontokkal jelöljük, és két pontot akkor kötünk össze egy szakasszal, ha az emberek ismerik egymást.

– Általánosítsunk: tegyük fel, hogy n fős társaságban mindenkinek különböző számú ismerőse van: 0, 1, 2, …, n – 1. Az n – 1 ismerőssel rendelkező ember mindenkit ismer, tehát nem lehet olyan, aki senkit nem ismer. Ha viszont van olyan a társaságban, aki senkit sem ismer, akkor egyiküknek sem lehet n – 1 ismerőse. Ez azt jelenti, hogy a 0 és az n – 1 ismeretség közül legfeljebb csak az egyik teljesülhet. Ez ellentmondás, vagyis nem lehet mindenkinek különböző számú ismerőse. Beláttuk, hogy van legalább két olyan ember, akinek azonos számú ismerőse van a társaságban. A fenti gondolatmenet az indirekt bizonyítás példája, amit a matematikában sokszor alkalmazunk. Lényege, hogy az eredeti állítás ellenkezőjét (tagadását) tesszük fel, és ezt kezdjük el bizonyítani. A végén ellentmondáshoz jutunk. Tehát célunk az, hogy a bizonyítás során találjunk egymásnak ellentmondó tényeket. Ezzel látjuk be, hogy a feltételezett állítás tagadása lehetetlen (hamis), és ekkor épp az ellenkezője (az eredeti állítás) teljesül. Indirekt bizonyítási módszerrel még találkozni fogunk ebben a tanévben, például annak bizonyítására, hogy 2 nem racionális szám. Indirekt (fordított irányú) bizonyítást akkor alkalmazunk, ha az állítás bebizonyításánál sokkal könnyebb igazolni azt, hogy az állítás tagadása (ellenkezője) nem teljesül.

1. modul: LOGIKA

21

Feladatok 14. Egy osztályban az osztálylétszám 25 fő, és egy dolgozatnál van A, B és C csoport.

Igazold, hogy van legalább 9 olyan tanuló, aki azonos csoportba kerül! 15. 4-féle pizzából rendeltek. Legalább hány fős társaság esetén mondhatjuk el, hogy biz-

tosan van olyan pizza, amelyet legalább 3 fő rendelt? 16. Mennyi az a legkisebb vevőszám egy DVD-boltban, amikortól elmondható, hogy egy

kategóriából legalább 3 ember vásárolt? A kategóriák: romantikus, horror, akciófilm, vígjáték, mese. 17. Legalább hány fős az osztály, ha teljesül, hogy legalább 3 tanuló biztosan ugyanabban

a hónapban született? 18. Igazold a következő állítást: ha egy sorban, 12 széken ül 9 ember, akkor van 3 olyan

szomszédos szék, amelyen ülnek emberek. 19. Adott n házaspár. A 2n ember közül mennyit kell kiválasztanunk, hogy biztosan akad-

jon közöttük házaspár? 20. Egy főiskolán 3 szakra lehet felvételizni, de egy személy csak egyre jelentkezhet. Leg-

alább hányan felvételiztek, ha biztosan van olyan szak, ahová legalább 24 ember jelentkezett? 21. Egy szakképző központban 10-féle szakmát lehet tanulni. Hány tanuló esetén mondha-

tó el, hogy biztosan van olyan szakma, amit legalább 8 ember tanul? 22. Egy utazási iroda 6 horvátországi utat ajánl nyárra. Legalább hány jelentkező esetén

mondhatjuk el, hogy biztosan van olyan út, amire legalább 8 ember jelentkezett? 23. Adott 7 pont egy 1 cm sugarú körben. Igazold, hogy van legalább két olyan pont, ame-

lyek 1 cm-nél közelebb vannak egymáshoz!

22


TANULÓK KÖNYVE

Kislexikon Ha HA – AKKOR kapcsolattal két kijelentést összekapcsolunk, akkor új kijelentés keletkezik. Ezt a kapcsolatot implikációnak nevezzük. Általános alakja: HA feltétel, AKKOR következmény.

Az implikáció logikai értéke hamis, ha a feltétel igaz, és a következmény hamis. Minden más esetben az implikáció logikai értéke igaz.

Ekvivalenciának nevezzük az „AKKOR ÉS CSAK AKKOR” kapcsolattal kifejezett logi-

kai műveletet. Az ekvivalencia logikai értéke akkor igaz, ha a két állítás logikai értéke megegyezik. Az „akkor és csak akkor” kapcsolatot a matematikában olyan tételeknél használjuk, amelyek oda-vissza érvényesek („megfordíthatók”).

Skatulyaelv: ha k tárgyat kell n dobozban elhelyezni, akkor a következőket mondhatjuk: k < n esetén

biztosan marad legalább n–k üres doboz

k > n esetén

van legalább egy olyan doboz, amiben legalább két tárgy van.

2. MODUL A négyzetgyök fogalma, azonosságai Készítette: Gidófalvi Zsuzsa

24


TANULÓK KÖNYVE

I. A négyzetgyök fogalma Mintapélda1 Helyezzük el az alábbi műveletek eredményeit a számhalmazok közötti kapcsolatot kifejező halmazábrán!

Z

a = 23 + 72 ⋅ 5 ;

b = (23 + 72 ) ⋅ 5 ;

c = 8−5;

e=

Q

14 ; 35

N

d = 5−8;

f =−

180 . 90

Megoldás:

Azt mondjuk, hogy a természetes számok halmaza az összeadás és a szorzás műveletére nézve zárt. A kivonás kivezethet a természetes számok halmazából: pl. a d már negatív egész szám. Az egész számok halmaza az összeadás, kivonás és szorzás műveletére nézve zárt. Az osztás kivezethet az egész számok halmazából, pl. e és f már nem egész számok. Azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként, racionális számoknak nevezzük.

25

2. modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI

Feladatok 1. Írd fel az alábbi racionális számok tizedes tört alakját:

a)

5 ; 4

b)

10 ; 3

c)

7 ; 8

d)

6 ; 7

e)

7 ; 6

f)

180 . 12

A feladat megoldása során azt tapasztaltuk, hogy az eredményként kapott számok tizedes tört alakja vagy véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört. Ez általánosan is elmondható:

A racionális számok tizedes tört alakja vagy véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört.

Ennek indokolása a modul végén, a kislexikonban található. Léteznek olyan tizedes törtek is, amelyek végtelenek, de nem szakaszosak. Ez azt jelenti, hogy vannak olyan számok, amelyek nem racionális számok. Azokat a számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, irracionális számoknak nevezzük.

Az irracionális számok tizedes tört alakja végtelen, nem szakaszos tizedes tört. Irracionális számot magunk is készíthetünk például a következőképpen: •

egymás után írjuk a tizedes vessző után a pozitív egész számokat: 0, 1234567891011121314…

•

a hármasok számát mindig eggyel növeljük: 5, 23233233323333233333…

Irracionális számot másképp is előállíthatunk. Nézzük a következő feladatot!

26


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda2 Adott egy téglalap, amelynek oldalai 6 és 8 egység hosszúak. A téglalapot egy vágással oszszuk két egyenlő területű részre! Határozzuk meg a vágás hosszát! Megoldás: a) Ha valamelyik oldalfelező mentén vágjuk ketté a téglalapot, akkor a vágás hossza valamelyik oldal hosszával egyezik meg. b) Ha az átló mentén vágjuk ketté a téglalapot, akkor a vágás a téglalap átlója, hossza a Pitagorasz-tétellel kiszámolható.

x 2 = 6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100 . Az átló hossza egy olyan nemnegatív szám, amelynek a négyzete 100.

Ezt a számot a 100 négyzetgyökének nevezzük és a következőképpen jelöljük: x = 100 = 10. c) Ha a vágás metszi a hosszabbik oldalt, trapézt kapunk. A vágás hosszát ekkor is a Pitagorasz-tétel segítségével tudjuk meghatározni. A PQR derékszögű háromszögben RQ = 8 − 2 x ,

y 2 = 6 2 + (8 − 2 x ) = 36 + 64 − 32 x + 4 x 2 , 2

y 2 = 4 x 2 − 32 x + 100 , y = 4 x 2 − 32 x + 100 . x helyére olyan számok írhatók, nullánál nem kisebbek és négynél nem nagyobbak: 0 ≤ x ≤ 4 . Határozzuk meg az y értékét x néhány lehetséges értéke mellett!


x = 0 esetén:

a vágás pontosan a téglalap átlója lesz, x = 10 .

x = 1 esetén:

y 2 = 4 ⋅12 − 32 ⋅1 + 100 = 72

27

y = 72 . y 2 = 4 ⋅ 2 2 − 32 ⋅ 2 + 100 = 52

x = 2 esetén:

y = 52 . y 2 = 4 ⋅ 2,4 2 − 32 ⋅ 2,4 + 100 = 46,24

x = 2,4 esetén:

y = 46,24 .

y 2 = 4 ⋅ 32 − 32 ⋅ 3 + 100 = 40

x = 3 esetén

y = 40 . y 2 = 4 ⋅ 4 2 − 32 ⋅ 4 + 100 = 36

x = 4 esetén

y = 36 = 6 . Ebben az esetben a téglalap egyik középvonalát kapjuk. d) Ha a vágás metszi a rövidebb oldalt, szintén két egyenlő területű trapézt kapunk. A vágás hosszát ekkor is a Pitagorasz-tétel segítségével tudjuk meghatározni. y 2 = 8 2 + (6 − 2 x ) = 64 + 36 − 24 x + 4 x 2 2

y 2 = 4 x 2 − 24 x + 100 y = 4 x 2 − 24 x + 100 . x helyére olyan számok írhatók, amelyek nullánál nem kisebbek, és háromnál nem nagyobbak: 0 ≤ x ≤ 3 . Határozzuk meg az y értékét x néhány lehetséges értéke mellett! x = 0 esetén:

a vágás pontosan a téglalap átlója lesz, x = 10 .

x = 1 esetén:

y 2 = 4 ⋅12 − 24 ⋅1 + 100 = 80 , y = 80 .

x = 1,32 esetén:

y 2 = 4 ⋅1,32 2 − 24 ⋅1,32 + 100 = 75,29 , y = 75,29 .

x = 2 esetén:

y 2 = 4 ⋅ 2 2 − 24 ⋅ 2 + 100 = 68 , y = 68 .

28


TANULÓK KÖNYVE

y 2 = 4 ⋅ 32 − 24 ⋅ 3 + 100 = 64 ,

x = 3 esetén

y = 64 = 8 . A vágással most a téglalap másik középvonalát kapjuk. Ebben a feladatban a vágás hosszának meghatározása során egy szám négyzetgyökét kaptuk. Azt a nemnegatív számot, amelynek a négyzete 2, négyzetgyök kettőnek, a négyzete három, négyzetgyök háromnak, a négyzete 64, négyzetgyök 64-nek, … stb. nevezzük. Ezeket a következőképpen jelöljük:

2;

3;

64 ; … stb.

A négyzetgyökök között racionális és irracionális számok is lehetnek. Igazolható például, hogy 2 irracionális szám (a bizonyítás a modul végén, a kislexikon után található). További irracionális számok a

3 , 5 , π stb.

Milyen számhalmazon értelmezhető a négyzetgyök? Mintapélda3 Határozzuk meg a következő számok négyzetgyökét (ha van): 4 25; − 16; 0; ; 1,44; 5 . 9 Megoldás: • 25 esetén két olyan valós szám van, amelynek a négyzete 25. Ezek a –5 és a +5, hiszen

(− 5)2 = 25 és 52 = 25 . Megállapodás szerint közülük a nem negatívot nevezzük négyzetgyök 25-nek: 25 = 5 . • –16 esetén nincs olyan valós szám, amelynek a négyzete –16, mivel minden valós szám négyzete nemnegatív szám lesz. Így a

− 16 nem értelmezhető a valós számok

halmazán. • 0 esetén egy olyan valós szám van, amelynek a négyzete 0.

0 = 0 , mert 0 2 = 0 .

29


4 4 esetén két olyan valós szám van, amelynek a négyzete . Közülük a nemnegatív a 9 9

•

4 2 négyzetgyök: = , mert 9 3

2

4 ⎛2⎞ ⎜ ⎟ = . 9 ⎝3⎠

• 1,44 esetén két olyan valós szám van, amelynek a négyzete 1,44. Közülük a nemnegatív a négyzetgyök: 1,44 = 1,2 , mert (1,2) = 1,44 . 2

• 5 esetén két olyan valós szám van, amelynek a négyzete 5. Közülük a nemnegatív a négyzetgyök:

5 , mert

Legyen a ≥ 0 .

( 5)

2

=5.

a jelenti azt a nemnegatív valós számot, amelynek a négyzete a .

( a)

2

=a.

Feladat 2. Határozd meg a következő számok négyzetgyökét: 100; 25; 49; 0,01; 0,25; Vizsgáljuk meg, mivel egyenlő a

A definícióban az áll, hogy Például

1 1 ; . 9 4

a 2 kifejezés!

a négyzete a , azaz

4 értéke 2, vagyis a = 2 esetén

Mi a helyzet a = −2 esetén? Ekkor

( a)

2

= a . Vajon igaz-e, hogy

a 2 = 22 = 4 = 2 , a

a2 =

(− 2)2

a2 = a ?

a 2 = a egyenlőség teljesül.

= 4 = 2 , vagyis nem teljesül a

a2 = a

egyenlőség. A négyzetgyök definíciója alapján a négyzetgyökjel alatt csak nemnegatív szám szerepelhet. Most az a 2 ≥ 0 feltételnek kell teljesülni, ami minden valós számra igaz is.

Azonban a gyökvonás eredménye a definíció értelmében nem lehet negatív szám. Ez azt jelenti, hogy a

a 2 = a egyenlőség nem teljesülhet, ha a negatív szám. Vizsgáljuk meg a követ-

kező eseteket, hogy a megoldást megtaláljuk!

(− 2)2

= 2;

22 = 2 ;

(− 5)2

=5;

52 = 5 ;

(− 8)2

=8;

82 = 8 .

30


A példákból látható, hogy

TANULÓK KÖNYVE

a 2 = a teljesül, ha a ≥ 0 és

Minden a ∈ R esetén teljesül a

a 2 = −a , ha a ≤ 0 . Vagyis:

a 2 = a összefüggés.

Feladat 3. Határozd meg a következő négyzetgyökös kifejezések értékét: x2 ;

y4 ;

x6 ;

y8 .

Az ókorban alakult ki a racionális és irracionális szám fogalma. A középkori Európában a számok gyökének jelölésére a latin radix (gyökér) szó első betűjét használták. A mai gyökjel alkalmazása körülbelül 400 éve vált általánossá.

Szakaszok összemérhetősége (olvasmány) Két szakaszt összemérhetőnek nevezünk, ha megadható olyan egység, amelynek mind a két szakasz többszöröse. Például az

5 7 1 és a hosszúságú szakaszok összemérhetők, hisz mind a kettő az hosszúsá4 3 12

gú szakasznak a többszöröse: az első 15-szöröse, a második pedig 28-szorosa. Két olyan szakasz, amelyeknek a hossza racionális számmal adható meg, mindig összemérhető. Az egység az a tört lesz, amelynek számlálója 1 és a nevezője a két tört nevezőjének legkisebb közös többszöröse. A négyzet oldala és átlója már nem összemérhető, hisz ha a négyzet oldalának hossza racionális, az átlóé irracionális. Ezt a megállapítást már a görög matematikusok bebizonyították. Mi a könyvünkben nem térünk ki a bizonyítására.

Irracionális számok helyének meghatározása a számegyenesen (olvasmány) A számegyenesen minden eddig megismert szám ábrázolható. Vajon hol helyezkednek el az irracionális számok a számegyenesen? A feladatokban kiszámoltuk, hogy léteznek irracionális hosszúságú szakaszok is. Vajon hogyan lehet megszerkeszteni a Ezekre a kérdésekre keressük a választ.

2 hosszúságú szakaszt?

31


A geometriában találkoztunk már átlójának hossza éppen zőnyílásba véve a

2 -vel: az egységnyi oldalú négyzet

2 egység. Ha ezt megrajzoljuk, akkor az átlót kör-

2 hosszúságú szakasz rámérhető a számegyenesre,

amelyen az e szerkesztésben alkalmazott egység szerepel.

Feladat 4. Hogyan lehet megszerkeszteni a

3 és a

5 hosszúságú szakaszt?

n hosszúságú szakasz ( n ∈ N ) mindig megszerkeszthető, például az ábrán látható csigavonallal:

Ezek a szakaszok körzőnyílásba véve rámérhetőek a számegyenesre.

Nem minden irracionális számot lehet megszerkeszteni. Pl. a π nem szerkeszthető meg.

32


TANULÓK KÖNYVE

Számok négyzetgyökének meghatározása zsebszámológéppel. a) Egyszerű számológéppel: Beírjuk azt a számot, amelynek a négyzetgyökét szeretnénk meghatározni, majd lenyomjuk a

jelű billentyűt.

Például: 17,25 ≈ 4,15, vagy 456,078 ≈ 21,36 A zsebszámológép típusától függ, hogy a végeredményt hány tizedesjegy pontossággal írja ki. Mi most két tizedesjegyre kerekítettük. b) Van olyan számológép, amelynél először a négyzetgyökjelet nyomjuk le, és utána kell megadni azt a számot, amelynek a négyzetgyökét akarjuk meghatározni. c) Van olyan számológép is, amelynél a sorrend: szám, 2nd, x2 lépésekkel történik egy szám négyzetgyökének meghatározása. Megjegyzés: A számológépek sokfélék. Mindenki ismerje meg a saját gépét, hogy azon mi-

ként határozható meg egy szám négyzetgyöke.

Feladat 5. Zsebszámológép segítségével határozd meg két tizedesjegyre kerekítve a következő

számokat: 43,7 ;

503,12 ;

0,0073 ;

623 ; 412

623 ; 412

73·28 ;

73 · 28 ;

142 + 47 ;

142 + 47 ;

65 ; 8

65 8

.

33


II. Négyzetgyökökre vonatkozó azonosságok Mintapélda4 a) Határozzuk meg 900 négyzetgyökét!

Megoldás: 900 = 30 , mert 30 2 = 900 . Észrevehetjük, hogy

900 = 9·100 , és 30 = 3 ⋅10 . A szorzat négyzetgyöke egyenlő a té-

nyezők négyzetgyökének szorzatával. b) Számítsuk ki a 15 ⋅ 60 szorzat pontos értékét!

Megoldás: Előző észrevételünket visszafelé alkalmazva a tényezők szorzatából vonjunk négyzetgyököt. 15 ⋅ 60 = 15 ⋅ 60 = 900 = 30 . Négyzetgyökök szorzata egyenlő a négyzetgyökjel alatti mennyiségek szorzatának négyzetgyökével. Ennek alapján általánosan felírhatjuk a következő azonosságot:

a ⋅ b = a ⋅ b , ahol a ≥ 0 és b ≥ 0 .

(I.)

Ezt az azonosságot úgy is fogalmazhatjuk, hogy szorzatból tényezőnként lehet négyzetgyököt vonni, ha mindegyik tényezőnek létezik a négyzetgyöke.

Mintapélda5 Határozzuk meg

72 2

tört pontos értékét!

Megoldás: Az I. azonosság alapján

72 2

=

2·36 2

=

2· 2

36 =

36 = 6.

34


72

Ha átírjuk az eredeti törtet

2

TANULÓK KÖNYVE

=

72 alakba, akkor a 2

72 2

=

72 = 2

36 = 6 hányadost

kapjuk. Ennek alapján általánosan felírhatjuk a következő azonosságot:

a a = , ahol a ≥ 0 és b > 0 . b b

(II.)

Hányados négyzetgyöke egyenlő a számláló és a nevező négyzetgyökének hányadosával. Két négyzetgyök hányadosa egyenlő a gyökjel alatti mennyiségek hányadosának négyzetgyökével.

Mintapélda6 a) Határozzuk meg 4 négyzetgyökének harmadik hatványát!

Megoldás:

( 4) = 2 3

3

=8.

b) Határozzuk meg a 4 3 -nak a négyzetgyökét!

Megoldás: 4 3 = 64 = 8 .

A két egyenlet jobb oldala egyenlő, így az egyenlőség tranzitív tulajdonsága miatt felírhatjuk az alábbi egyenletet:

( 4) = 3

43 .

Négyzetgyök hatványa egyenlő a gyökjel alatti mennyiség hatványának négyzetgyökével. Hatvány négyzetgyöke egyenlő a hatványalap négyzetgyökének hatványával.

( a)

n

= a n ahol a ≥ 0 .

(III.)

A megfogalmazott azonosságoknál mindig figyelni kell arra, hogy az összes szereplő kifejezés értelmezhető legyen. Alkalmazásuknál a felírt egyenlőségeket mindkét irányba olvasva felhasználhatjuk. Az azonosságok bizonyítása a modul végén, a kislexikon után található.

35


Feladat 6. A négyzetgyökök szorzatára és osztására vonatkozó azonosságok alapján határozzuk

meg a következő négyzetgyököket!

a)

81·4 ;

9·25 ;

b)

72·32 ;

250·10 ;

810·40 ;

48·75 ;

c) 10 ⋅ 40 ;

10 ⋅ 90 ;

10 ⋅ 160 ;

10 ⋅ 250 ;

d) 162 ⋅ 2 ;

28 ⋅ 7 ;

13 ⋅ 52 ;

27 ⋅ 12 ;

9 ; 64

4 ; 25

49 ; 4

9 ; 4

2

2

27

48

e)

f)

18

;

50

16·100 ;

;

3

;

25·36·49 ;

3

121 ; 169

3

;

75

.

Mintapélda7 Melyik szám nagyobb:

25 vagy

52 ?

Megoldás: 2 5 = 32 ≈ 5,66

és

5 2 = 25 = 5 .

Tehát

25 >

52 .

Általánosságban elmondható, hogy nagyobb számnak nagyobb a négyzetgyöke. Erre egy

másik modulban, a függvények tanulásakor még visszatérünk.

36


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda8 Végezzük el a következő műveleteket!

( 15 − 7 )⋅ ( 15 + 7 ); b) ( 2 − 3 ) ; c) (2 ⋅ 3 + 5 )⋅ ( 3 − 5 ) .

a)

2

Megoldások: a) Használjuk fel az (a + b ) ⋅ (a − b ) = a 2 − b 2 azonosságot!

( 15 − 7 )⋅ ( 15 + 7 ) = ( 15 ) − ( 7 ) 2

2

= 17 − 7 = 8 .

b) Használjuk fel az (a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 azonosságot! 2

(

) ( 2) − 2⋅ 2

2− 3 =

2

2⋅ 3+

( 3)

2

= 2 − 2⋅ 6 + 3 = 5− 2⋅ 6 .

c) Használjuk fel a négyzetgyökvonás azonosságait!

(2 ⋅

)(

3+ 5 ⋅

)

3 − 5 = 2⋅

( 3) − 2⋅ 2

3⋅ 5 −

( 5)

2

= 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 15 + 15 − 5 = 1 − 15

Mintapélda9 Számítsuk ki a következő kifejezések értékét: a)

4+ 7 ⋅ 4− 7 ; 2

b) ⎛⎜ 3 + 2 + 3 − 2 ⎞⎟ . ⎝ ⎠ Megoldások: a) Alkalmazzuk a I. azonosságot: 4+ 7 ⋅ 4− 7 =

(4 + 7 )⋅ (4 − 7 ) =

16 − 7 = 9 = 3 .

b) Alkalmazzuk a négyzetre emelés és a négyzetgyök I. azonosságát! 2

⎛⎜ 3 + 2 + 3 − 2 ⎞⎟ = 3 + 2 + 2 ⋅ ⎠ ⎝

(3 + 2 )⋅ (3 − 2 ) + 3 −

2 = 6+2 9−2 = 6+2 7 .

37


III. Műveletek négyzetgyökökkel Mintapélda10 Számítsuk ki a következő kifejezés értékét:

45 − 20 !

Megoldás: A tanult azonosságokat alkalmazva kapjuk, hogy 9 ⋅ 5 = 9 ⋅ 5 = 3 5 , valamint

45 − 20 = 9 ⋅ 5 − 4 ⋅ 5 .

4 ⋅ 5 = 4 ⋅ 5 = 2 5 . Így a kifejezés értéke

3 5 −2 5 = 5. . A négyzetgyökjel alatti számot úgy alakítottuk szorzattá, hogy a szorzat egyik tényezője négyzetszám legyen, és ezt kiemeltük a négyzetgyökjel alól.

Feladatok 7. Határozd meg a következő kifejezések pontos értékét:

a)

32 + 72 − 200 ;

b)

12 + 48 + 27 ;

c)

98 − 45 + 2 ⋅ 20 ;

d)

2 ⋅ 128 − 50 + 3 ⋅ 45 .

8. Határozd meg a következő kifejezések pontos értékét!

a)

80 + 50 − 20 − 8 ;

b)

125 − 45 − 18 ;

c)

(

)(

)

80 + 50 − 2 − 8 ⋅ 125 − 45 − 18 .

38


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda11 Számítsuk ki a 2 ⋅

5 kifejezés pontos értékét! 4

Megoldás: 2⋅

5 5 4⋅5 = 4⋅ = = 5. 4 4 4

A négyzetgyökjel előtt álló számot a négyzetgyök definíciója alapján felírhatjuk gyökös alakban, és alkalmazva a négyzetgyökvonás azonosságait, közös gyökjel alá írhatjuk.

Feladat 9. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét:

a) 3 ⋅

5 ; 9

b)

4 9 ⋅ ; 3 32

c) 10 ⋅

5 ; 4

d) 15 ⋅

3 . 25

Mintapélda12 Számítsuk ki zsebszámológéppel, mennyivel egyenlő a következő két kifejezés értéke: 1 és 3− 2

3+ 2.

Megoldás: 1 ≈ 3,14627 ; 3− 2

3 + 2 ≈ 3,14627 .

Úgy találjuk, hogy a két tört értéke jó közelítéssel megegyezik. Az igazság az, hogy a két tört értéke pontosan megegyezik. Mivel végtelen, nem szakaszos tizedes törtek (irracionális számok) szerepelnek a feladatban, a pontos egyezést kerekítéssel nem lehet igazolni. Helyette olyan műveletet keresünk, amelynek segítségével a két kifejezés azonos alakúra hozható. A mintapéldához hasonlóan sok probléma esetén megoldást nyújthat, ha a négyzetgyökös törtes kifejezéseket úgy alakítjuk át, hogy a nevező ne tartalmazzon négyzetgyököt. Ezt

hívjuk a nevező gyöktelenítésének. Jellemző módszere a tört bővítése: olyan kifejezést keresünk, amellyel a nevezőt meg kell szoroznunk, hogy eltűnjön a négyzetgyök. Természetesen nemcsak a nevezőt szorozzuk, hanem bővítünk, hogy ne változzon a tört értéke.

39


Mintapélda13 Gyöktelenítsük a következő kifejezések nevezőjét: a)

1 ; 2

b)

6 ; 2

c)

1 . 3− 2

Megoldás: 1 1 2 = ⋅ . 2 2 2

a)

Azért választottuk a •

2 kifejezést, mert 2

egyrészt ennek az értéke 1-gyel egyenlő, vagyis a tört értéke nem változik, ha megszorozzuk vele;

•

másrészt a két tört nevezőjét összeszorozva gyökjel mentes kifejezést, 2-t kapunk. 1 1 2 2 = ⋅ = . 2 2 2 2

A kapott

2 kifejezés nevezőjében négyzetgyök nem szerepel, ez a feladat megoldása. 2

6 6 2 6⋅ 2 = ⋅ = = 3⋅ 2 . 2 2 2 2

b)

A most kapott kifejezésből még a nevező is eltűnt, a feladat megoldása 3 2 . 1 1 3+ 2 = ⋅ . 3− 2 3− 2 3+ 2

c)

Azt a kifejezést kellett megkeresni, amellyel a

3 − 2 kifejezést megszorozva a kapott

eredmény gyökjelmentes kifejezés. Szorzáskor nevezetes azonosságot használunk: (a + b ) ⋅ (a − b ) = a 2 − b 2 . 1 1 3+ 2 = ⋅ = 3− 2 3− 2 3+ 2

=

(

3+ 2 = 3− 2 3+ 2

)(

3+ 2

) ( 3) − ( 2 ) 2

2

=

3+ 2 = 3− 2

3+ 2 = 3+ 2. 1

A gyöktelenítés eredménye

3+ 2.

Most már érthető, hogy miért kaptunk a 12. mintapéldában számológéppel egyenlő eredményeket

1 és 3− 2

3 + 2 esetén.

40


TANULÓK KÖNYVE

Feladat 10. Gyöktelenítsd a következő törtek nevezőjét:

1 ; 6

a)

b)

5 ; 15

c)

2 3+ 2

;

b)

10 5− 3

.

Mintapélda14 Melyik szám nagyobb?

a) 2 7 vagy 3 2 ;

b)

6 vagy 3

10 . 4

Megoldás: a) Alkalmazzuk a gyökjel alá bevitelt:

2 7 = 4 ⋅ 7 = 28 . 3 2 = 9 ⋅ 2 = 18

Mivel a nagyobb számok négyzetgyöke is nagyobb, 2 7 > 3 2 . b) Most is alkalmazzuk a gyökjel alá történő bevitelt: ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ 10 10 10 5⎪ = = = 4 16 8 ⎪⎭ 16

6 6 6 2 = = = 3 9 3 9

2 16 = illetve 3 24

5 15 = 8 24

A gyökjel alatti törteket közös nevezőre kellett hoznunk, hogy össze tudjuk azokat hasonlítani. Mivel

16 15 3 10 > , a megoldás: > . 24 24 6 4

Feladatok 11. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét!

a)

28 − 7 ;

b)

28 + 7 − 63 ;

c)

98 + 8 − 18 ;

d) 12 + 75 − 147 .

12. Végezd el a következő műveleteket!

( c) (2 e) (3

)(

)

a) 2 5 + 3 ⋅ 2 − 4 5 ;

f)

)( 3) ; 5) ;

)

3+4 5 ⋅ 2 3−4 5 ; 7 +5

(

3+

( d) (2

)(

)

2

7 −3 2 ;

2

3

)

b) 4 − 3 3 + 2 ⋅ 3 2 − 3 ;

(

)

3

g) 3 5 − 2 2 .

41


13. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét!

a)

5 + 13 ⋅ 5 − 13 ;

b)

c)

5 3 + 59 ⋅

d)

75 − 59 ; 2

41 − 32 ;

2 2 − 2 ⋅ 2 + 12 ; 2

e) ⎛⎜ 7 + 11 − 7 − 11 ⎞⎟ ; ⎝ ⎠ g) ⎛⎜ ⎝

41 + 32 ⋅

f) ⎛⎜ 9 − 32 − 9 + 4 2 ⎞⎟ ; ⎝ ⎠ 2

30 + 14 ⎞⎟ . ⎠

30 − 14 +

14. Melyik szám nagyobb?

a) 6 2 vagy 3 8 ; 5 vagy 8 2 ;

c) 5 e)

b) 4 3 vagy 5 2 ; d)

21 vagy 7

15 ; 5

3 5 7 2 vagy . 4 6

50 – 12 és B =

15. Adott A=

20 − 96 8

. Melyik állítás igaz? A > B vagy A < B ?

16. Végezd el a következő műveleteket!

a)

192 + 27 – 108 ;

b)

72 –

c)

252 –

32 – 8 ; 28 + 63 – 7 ;

d) ( 108 – 12 +

32 –

8 ) · ( 147 –

27 – 50 + 18 ).

17. Gyöktelenítsd a következő törtek nevezőjét!

a)

2 3

;

b)

8 2 5

;

c)

3 5− 3

;

d)

4 2 3−2

;

18. Számítsd ki a következő kifejezések helyettesítési értékét, ha x =

a)

2

x +2

+

2 2− x

;

b)

x +1 2 x −1

+

e)

1 : 3

x 2 x +1

.

2+ 3 2− 3

.

42


TANULÓK KÖNYVE

Kislexikon Azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként, racionális számoknak nevezzük.

Azokat a számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, irracionális számoknak nevezzük. Tizedes tört alakjuk végtelen, nem szakaszos tizedes tört. A négyzetgyök fogalma

Legyen a ≥ 0 .

a jelenti azt a nemnegatív valós számot, amelynek a négyzete a .

( a)

2

=a.

A négyzetgyök azonosságai

I. azonosság:

a ⋅ b = a ⋅ b , ahol a ≥ 0 és b ≥ 0 .

II. azonosság:

a = b

III. azonosság:

(

a b

a)n =

, ahol a ≥ 0 és b > 0. a n , ahol a ≥ 0.

43


Tételek és bizonyítások Tétel: A racionális számok tizedes tört alakja véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört.

Bizonyítás: Legyenek p és q (q ≠ 0) egész számok, és osszuk el p-t q-val. Amennyiben az osztás során p maradékul nullát kapunk, akkor a racionális szám tizedes tört alakja véges. Ha az osztás q során nem nulla a maradék, akkor a lehetséges maradékok 1, 2, 3 … , q − 1 . Így az osztás közben legfeljebb q lépés után újra olyan maradékot kapunk, ami már szerepelt. Egy idő után a maradékok ismétlődnek, tehát a tizedes tört végtelen szakaszos lesz. Tétel: A

2 irracionális szám.

Bizonyítás: A bizonyítás indirekt módszerrel történik. Tegyük fel, hogy a

2 felírható két egész szám (p

és q) hányadosaként: olyan tört alakba, amelyet tovább már nem tudunk egyszerűsíteni. p Vagyis létezik olyan p és q ∈ Z+, hogy 2 = , és p és q relatív prímek: ( p, q ) = 1 . q

p2 Négyzetre emelve 2 = 2 , amiből 2q 2 = p 2 . Azt kaptuk, hogy p2 páros. Ez csak úgy lehetq séges, ha p is páros, azaz 2|p. Ekkor 4|p2, és 2q 2 = p 2 miatt q2 is, végső soron q is páros. Ha q is páros és p is páros, akkor legnagyobb közös osztójuk legalább 2. Ez ellentmond annak a feltételnek, hogy p és q relatív prímek. Mivel feltételezésünk ellentmondásra vezetett, az eredeti állítás igaz. Megjegyzés: a fenti módszer segítségével belátható, hogy minden olyan a > 0 valós szám esetén, amely nem négyzetszám, a irracionális. I. azonosság:

a ⋅ b = a ⋅ b , ahol a ≥ 0 és b ≥ 0 .

Bizonyítás: Mindkét oldal nemnegatív, ezért a négyzetgyöküket hasonlíthatjuk össze. A négyzetgyök definíciója alapján: ( a·b )2 = a·b; ( a )2 = a; ( b )2 = b; a·b = ( a )2 ·( b )2. A hatványozás azonossága alapján: ( a )2 ·( b )2 = ( a·b )2 =

(

(

)

2

a· b ;

)

2

a· b .

44


TANULÓK KÖNYVE

Mivel az x ≥ 0 esetén az x2 függvény szigorúan monoton növekvő, így ( a·b )= ( a )·( b ).

a

a = b

II. azonosság:

b

, ahol a ≥ 0 és b > 0.

Bizonyítás: ⎛ A négyzetgyök definíciója alapján: ⎜⎜ ⎝ ( (

2

a a⎞ ⎟ = . ⎟ b⎠ b a )2 = a; b )2 = b;

a = b

( a) ( b)

2

2

2

⎛ a⎞ ⎜ ⎟ ⎜ b⎟ = ⎝ ⎠

Így:

2

.

( a) ( b)

2

2

. 2

⎛ a⎞ ⎛ a⎞ ⎟ ⎟ =⎜ A hatványozás azonossága alapján: ⎜⎜ ⎟ ⎜ b⎟ . b ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ a = b

Mivel az x ≥ 0 esetén az x2 függvény szigorúan monoton növekvő, így

(

III. azonosság:

a)n =

a b

.

a n , ahol a ≥ 0.

Bizonyítás: A bal oldalt négyzetre emelve a hatványozás azonosságai és a négyzetgyök definíciója alap-

( )

2

n ján: ⎡ a ⎤ = ⎥⎦ ⎢⎣

( a)

2n

( )

n

2 = ⎡ a ⎤ = an . ⎥⎦ ⎢⎣

A jobb oldalt négyzetre emelve a négyzetgyök definíciója miatt:

( a ) =a . n

2

n

A két oldal négyzete tehát egyenlő. Nemnegatív számok esetén az x2 függvény szigorúan monoton növekvő, így (

a)n =

an .

3. MODUL Algebrai azonosságok és másodfokú egyenletek Készítette: Darabos Noémi Ágnes

46


TANULÓK KÖNYVE

I. Nevezetes azonosságok (Ismétlés) (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2

(a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2

(a + b )(a − b ) = a 2 − b 2

Mintapélda1 Bontsuk prímtényezőire a következő számokat: 3599, 8099. Megoldás:

3599 = 3600 − 1 = 60 2 − 12 = (60 + 1)(60 − 1) = 61 ⋅ 59 . 8099 = 8100 − 1 = 90 2 − 12 = (90 + 1)(90 − 1) = 91 ⋅ 89 = 7 ⋅ 13 ⋅ 89 .

Mintapélda2 Egyszerűsítsük a következő törteket: 1242 − 122 ; a) 2242 − 1122

20062 − 36 b) ; 2000

c)

7998 . 2000 ⋅ 1998 − 1999 ⋅ 2001

47

3. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK

Megoldás:

(124 + 12)(124 − 12) = 136 ⋅ 112 = 136 = 17 ; 124 2 − 12 2 a) = 2 2 (224 + 112)(224 − 112) 336 ⋅ 112 336 42 224 − 112 b)

2006 2 − 36 (2006 + 6)(2006 − 6) = = 2012 ; 2000 2000

c) Vegyük észre, hogy a feladatban szereplő számok a 2000-rel szoros kapcsolatban vannak, ezért legyen a = 2000, ekkor 7998 4a − 2 2(2a − 1) = = = −2 . 2000 ⋅ 1998 − 1999 ⋅ 2001 a(a − 2) − (a − 1)(a + 1) 1 − 2a

Mintapélda3 Két szám szorzata 91, összege 20. Mennyi a két szám négyzetösszege? Megoldás:

Legyen a két szám a és b, ekkor a ⋅ b = 91 a + b = 20 . Tudjuk, hogy (a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 ebből: 2

a 2 + b 2 = (a + b ) − 2ab = 20 2 − 2 ⋅ 91 = 400 − 182 = 218 . 2

Teljes négyzetté kiegészítés Mintapélda4 Egészítsük ki teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a) x 2 − 8 x + 20 ;

b) 2 x 2 + 12 x + 14 ;

c) 2 x 2 − 10 x + 25 .

Megoldás: a) x 2 − 8 x + 20 = ( x − 4) − 16 + 20 = ( x − 4) + 4 ; 2

2

] ) [ − 5 x + 12,5) = 2[( x − 2,5) − 6,25 + 12,5] = 2( x − 2,5) + 12,5 ; − 10 x + 25 = 2(x − 5 x ) + 25 = 2[(x − 2,5) − 6,25] + 25 = 2( x − 2,5) + 12,5 .

( − 10 x + 25 = 2(x

b) 2 x 2 + 12 x + 14 = 2 x 2 + 6 x + 7 = 2 ( x + 3) − 9 + 7 = 2( x + 3) − 4 ; c) 2 x 2

vagy 2 x 2

2

2

2

2

2

2

2

2

48


TANULÓK KÖNYVE

Szélsőérték-feladatok Mintapélda5 Állatainak Tamás téglalap alakú területet akar elkeríteni. 200 m kerítésdrótja van, és azt szeretné, hogy szeretett állatainak a lehető legnagyobb területet kerítse el. Mekkorának válassza a téglalap oldalait? Megoldás: Jelöljük a téglalap oldalait a-val és b-vel. K = 2(a + b ) = 200 ⇒ b = 100 − a,

T = ab = a(100 − a ) = − a 2 + 100a. Teljes négyzetté kiegészítés:

) [

(

]

− a 2 + 100a = − a 2 − 2 ⋅ 50a = − (a − 50) − 50 2 = −(a − 50) + 2500 . 2

2

A kifejezésnek maximuma van az a = 50 helyen. (A maximum érték 2500). Ekkor: b = 100 − a = 50 . Tamás akkor keríti el a legnagyobb területet állatainak, ha mindkét oldal 50 m. Megjegyzés:

A téglalap területe adott kerület esetén akkor a legnagyobb, ha oldalai egyenlők, vagyis ha négyzet.

Feladatok 1. Végezd el a következő műveleteket!

a) ( x + 2) ;

b) ( y − 3) ;

c) ( z + 5)( z − 5) ;

d) (3a + b ) ;

e) (4b − c ) ;

f) (6c − a )(6c + a ) ;

g) (3x + 2 y ) ;

h) (7 y − 5 z ) ;

i) (4 z + 6 x )(4 z − 6 x ) ;

j) (8a 2 + b 3 ) ;

k) (10b 4 − 9c 7 ) ;

2

2

2

2

2

2

2

m)

(

2

)

2

3x + 2 y ;

2

3 ⎞ ⎛1 n) ⎜ y 7 − z 3 ⎟ ; 5 ⎠ ⎝3

l) (7c 3 b 5 − 5a 4 )(7c 3 b 5 + 5a 4 ) ; 1 1 ⎞ ⎛ ⎞⎛ o) ⎜ 5 z 5 − x −3 ⎟⎜ 5 z 5 + x −3 ⎟ . 7 7 ⎠ ⎝ ⎠⎝

2. Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket!

a) a 2 + 10a + 25 ;

b) b 2 − 12b + 36 ;

c) c 2 − 49 ;

49


d) 1 − 4d + 4d 2 ;

e) 12e + 36 + e 2 ;

f) 1,44 − f 2 ;

g) x 2 + 14 xy + 49 y 2 ;

h) 49 y 2 − 70 y + 25 ;

i) 144 − 121x 2 ;

j) 24ab + 36a 2 + 4b 2 ;

k) 169c 6 − 26c 3 b 2 + b 4 ;

l) 25a 2 − 16b 2 ;

n) 16a 4 b 2 + 25c 2 d 8 − 40a 2 bcd 4 ;

o) a 6 − 1 ;

q) 0,25a 6 b 6 − 3a 5 b 6 + 9a 4 b 6 ;

r) 16 x 8 − 81b 4 .

m)

6 25 2 9 2 ab + a + b ; 7 49 25

p) 3x 2 + 2 3 x + 1 ;

3. Alakítsd teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé a következőket:

a) x 2 + 6 x + 8 ;

b) x 2 − 8 x + 5 ;

e) 2 x 2 − 8 x + 15 ; f) 3x 2 + 24 x − 18 ;

c) x 2 + 5 x − 3 ; g) − 2 x 2 + 7 x − 11

d) x 2 − 3 x + 7 ; h) − 3x 2 − 5 x + 6 .

4. Úgy vágj két részre egy 72 cm hosszú szakaszt, hogy az egyes részek, mint oldalak fölé

emelt négyzetek területének összege a lehető legkisebb legyen!

5. Azok közül a derékszögű háromszögek közül, amelyeknél a befogók összege 15 cm,

melyiknek az átfogója a legkisebb?

6. Egy kereszteződés felé két egymásra merőleges úton egyenletes sebességgel halad két

autó. Egyszerre indultak, az egyik 60 km/h sebességgel 30 km távolságból, a másik 90 km/h sebességgel 45 km távolságból. Mennyi idő múlva lesznek egymáshoz a legközelebb? Mekkora ekkor a távolságuk?

50


TANULÓK KÖNYVE

II. Harmadfokú nevezetes azonosságok Két szám összegének harmadik hatványa Felhasználjuk a hatványozás azonosságait: x 3 = x ⋅ x 2 és azt x = (a + b ) -re alkalmazzuk.

(a + b )3 = (a + b )(a + b )2 = (a + b )(a 2 + 2ab + b 2 ) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3 = = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Két szám összegének a köbét kiszámíthatjuk, ha az első tag köbéhez hozzáadjuk az első tag négyzetének és a második tag háromszorosának a szorzatát, valamint a második tag négyzetének és az első tag háromszorosának a szorzatát, végül a második tag köbét.

Mintapélda6

Végezzük el a következő műveletet: (x + 5) = 3

Megoldás:

(x + 5)3 = x 3 + 3x 2 5 + 3x5 2 + 5 3 = x 3 + 15 x 2 + 75 x + 125 . Két szám különbségének harmadik hatványa Felhasználjuk a hatványozás azonosságait: x 3 = x ⋅ x 2 és azt x = (a − b ) -re alkalmazzuk.

(a − b )3 = (a − b )(a − b )2 = (a − b )(a 2 − 2ab + b 2 ) = a 3 − 2a 2 b + ab 2 − ba 2 + 2ab 2 − b 3 = = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3


51

Két szám különbségének a köbét kiszámíthatjuk, ha az első tag köbéhez hozzáadjuk a második tag négyzetének és az első tag háromszorosának a szorzatát, majd vonjuk ki az első tag négyzetének és a második tag háromszorosának a szorzatát, valamint a második tag köbét.

Mintapélda7

Végezzük el a következő műveletet: ( y − 6 ) = 3

Megoldás:

( y − 6)3 = y 3 − 3 y 2 6 + 3 y 6 2 − 6 3 = y 3 − 18 y 2 + 108 y + 216 .

(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 . (a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2 . (a + b )(a − b ) = a 2 − b 2 . (a + b )3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

(a − b )3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 . Mintapélda8 Számoljuk ki, a nevezetes azonosságok felhasználásával a következő hatványokat: 412 , 69 2 , 106 ⋅ 94, 213 , 19 3 .

Megoldás: 412 = (40 + 1) = 40 2 + 2 ⋅ 40 ⋅ 1 + 12 = 1600 + 80 + 1 = 1681 ; 2

69 2 = (70 − 1) = 70 2 − 2 ⋅ 70 ⋅ 1 + 12 = 4900 − 140 + 1 = 4761 ; 2

106 ⋅ 94 = (100 + 6)(100 − 6) = 100 2 − 6 2 = 10000 − 36 = 9964 ; 213 = (20 + 1) = 20 3 + 3 ⋅ 20 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 20 ⋅ 1 + 13 = 8000 + 1200 + 60 + 1 = 9261 ; 3

19 3 = (20 − 1) = 20 3 − 3 ⋅ 20 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 20 ⋅ 1 − 13 = 8000 − 1200 + 60 − 1 = 6859 . 3

Mintapélda9 Két szám szorzata 56, összege 15. Mennyi a két szám köbének az összege?

Megoldás: Legyen a két szám a és b, ekkor a ⋅ b = 56, a + b = 15 . Tudjuk, hogy (a + b ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b ) ebből: 3

a 3 + b 3 = (a + b ) − 3ab(a + b ) = 15 3 − 3 ⋅ 56 ⋅ 15 = 3375 − 2520 = 855 . 3

52


TANULÓK KÖNYVE

További két nevezetes azonosság (kiegészítő anyag)

(a − b )(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 + a 2 b + ab 2 − ba 2 − ab 2 − b 3 = a 3 − b 3 (a + b )(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 − a 2 b + ab 2 + ba 2 − ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 a 3 − b3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) Ezek az azonosságok azt is megmutatják, hogy két köbszám különbsége mindig osztható a számok különbségével, illetve két köbszám összege a számok összegével osztható.

a − b a 3 − b3 a + b a 3 + b3

Mintapélda10 Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket: a) 27a 3 + b 3 ;

b) 64 x 3 − y 3 z 6 .

Megoldás:

(

) + b = (3a ) + b = (3a + b )(9a − 3ab + b ) ; − b = (a − b )(a + ab + b ) azonosságot felhasználva: − y z = (4 x ) − ( yz ) = (4 x − yz )(16 x + 4 xyz + y z ) .

a) a 3 + b 3 = (a + b ) a 2 − ab + b 2 azonosságot felhasználva: 27a 3 b) a 3 64 x 3

3

3

3

3

3

2

2

6

2

2

2 3

3

2

2

2

2

4

Feladatok 7. Végezd el a következő műveleteket!

c) (c − 3) ;

a) (a + 1) ;

b) (b − 2) ;

e) (2a + b ) ;

f) (3a − 2b ) ;

3

3

3

⎛a ⎞ i) ⎜ + 5 ⎟ ; ⎝2 ⎠

3

(

3

(

j) 3a − 0,4b 4

d) (d + 4) ;

3

3

(

)

3

);

3 3

)

3

h) 2a 3 + 4 ;

g) a 2 − 3 ; 3

⎞ ⎛ 2c 5 k) ⎜⎜ − 6b 2 ⎟⎟ ; ⎠ ⎝ 7

(

)

3

l) 3d 2 c 3 + 4a 2 b 4 .

53


8. Mivel egyenlő két szomszédos egész szám négyzetének a különbsége?

9. Alakítsuk szorzattá az a + a 2 − a 3 − a 4 kifejezést! 10. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket, a változók lehetséges értékeinél!

a)

a 2 + 2ab + b 2 6(a − b ) ⋅ 2 ; a2 − b2 3a + 3ab

b)

x 2 − 2 xy + y 2 28 x( x + y ) ; ⋅ 2 7x − 7 y x − xy

3a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 a 2 + b 2 + 2ab : ; c) 6a − 6b a2 − b2 d)

f)

(a − b )3 + 3ab(a − b ) − a + b 3 ;

a 3 − (a + b ) + b 3 (2b ) : ; e) 6a 9a 2 + 9ab

a3 − b3 a + ; 2 3 a+b a b−b

g)

3

a2 − a

a3 + b3

3

:

a4 − b4

(a − b )2 + ab (a + b )2 − 2ab

.

11. Hány olyan ( x; y ) egész számpár van és melyek ezek, amelyekre igaz, hogy

x 3 + y 3 + 6 x 2 − 9 y 2 + 12 x + 27 y − 20 = 0 ?

A Pascal-háromszög (kiegészítő anyag) Vizsgáljuk meg általánosan kéttagú összegek nemnegatív kitevőjű hatványait. Írjuk egymás alá az (a + b ) összeg nulladik, első, második, harmadik, negyedik és ötödik hatványát. Az

(a + b ) összeg négyzetének és köbének felírását már megfogalmaztuk, a magasabb hatványok hasonlóan képezhetőek: (a + b ) = (a + b ) (a + b ), 4

3

(a + b )0

(a + b )5 = (a + b )4 (a + b ) stb. =1

(a + b )1 = 1 ⋅ a + 1 ⋅ b (a + b )2

= 1 ⋅ a 2 + 2 ⋅ ab + 1 ⋅ b 2

(a + b )3 = 1 ⋅ a 3 + 3 ⋅ a 2 b + 3 ⋅ ab 2 + 1 ⋅ b 3 (a + b )4

= 1 ⋅ a 4 + 4 ⋅ a 3 b + 6 ⋅ a 2 b 2 + 4 ⋅ ab 3 + 1 ⋅ b 3

(a + b )5 = 1 ⋅ a 5 + 5 ⋅ a 4 b + 10 ⋅ a 3b 2 + 10 ⋅ a 2 b 3 + 5 ⋅ ab 4 + 1 ⋅ b 5

54


TANULÓK KÖNYVE

Pascal francia matematikus vette észre, hogy az együtthatókat egymás alá írva, olyan háromszöget kapunk, melyben a háromszög külső szárai mentén csupa egyes áll, belül pedig bármely szám megkapható a közvetlen felette álló két szám összegeként: Pascal-háromszög

1 1 1 1

2 3

1 1

1

4 5

1 3

6 10

1 4

10

1 5

1

12. A Pascal-háromszög felhasználásával írd fel az (a + b ) összeg alakját, és a kapott 6

összefüggést alkalmazd az (a + 2) esetén. 6

13. Számítsd ki a Pascal-háromszögben az egyes sorokban lévő számok az összegét. Mit

tapasztalsz?

14. Mutasd meg, hogy a következő számok összetett számok!

a) 7999;

b) 27001;

c) 999973;

d) 1000343.

55


III. A másodfokú egyenletet bevezető feladatok Mintapélda11 Oldjuk meg az x 2 = 64 egyenletet az egész számok halmazán! Megoldás: Alaphalmaz: Z x 2 − 64 = 0 Alakítsuk szorzattá a bal oldalt, felhasználva, hogy a 2 − b 2 = (a + b )(a − b ) :

(x + 8)(x − 8) = 0 Innen két megoldás adódik: x1 = 8,

x 2 = −8 ⇒

M = {8; − 8} .

Mintapélda12 Oldjuk meg az 3x 2 + 48 = 0 egyenletet a racionális számok halmazán! Megoldás: Alaphalmaz: Q x 2 + 16 = 0 x 2 = −16 Az egyenletnek nincs megoldása, mert x 2 ≥ 0 . M = { }.

Mintapélda13

Oldjuk meg az 3( x + 3) − 243 = 0 egyenletet! 2

Megoldás: Alaphalmaz: R. (Amennyiben nem teszünk megszorítást az alaphalmazra vonatkozóan, a megoldásokat mindig R-ben keressük.) Próbáljuk az egyenletet az előzőhöz hasonló alakra hozni:

(x + 3)2 − 81 = 0 . Alakítsuk szorzattá a bal oldalt, felhasználva, hogy a 2 − b 2 = (a + b )(a − b ) .

(x − 3 − 9)(x − 3 + 9) = 0 . Ebből a következő két megoldás adódik: x1 = 12,

x 2 = −6 ⇒

M = {12; − 6}.

56


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda14 Oldd meg a 2 x 2 − 12 x = 32 egyenletet! Megoldás: Alakítsuk teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé az egyenletet, ezért rendezzük át: 2 x 2 − 12 x − 32 = 0 ; 2(x 2 − 6 x − 16) = 0 ;

[

]

2 ( x − 3) − 9 − 16 = 0 . 2

Visszavezettük az egyenletet az előző típusra, innen hasonló a feladat megoldása:

(x − 3)2 − 25 = 0 . Alakítsuk szorzattá a bal oldalt, felhasználva, hogy a 2 − b 2 = (a + b )(a − b ) :

(x − 3 − 5)(x − 3 + 5) = 0 . Ebből a következő két megoldás adódik: x1 = 8,

x 2 = −2 ⇒

M = {8; − 2} .

Mindegyik megoldott egyenletnél helyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy jól számoltunk.

Feladatok 15. Oldd meg az alábbi egyenleteket, majd add össze az egyenletek gyökeit. Az így kapott

összegeket párosítsd össze a táblázatbeli betűkkel! Ha a betűket egymás mellé írod a feladatok sorrendjében, akkor kiolvashatod a megoldást. a) 2 x 2 − 6 x = 0 ;

b) (x − 5) = 64 ;

c) x 2 − 25 = 0 ;

d) 2( x − 3) − 32 = 0 ;

e) 2 x 2 − 8 x = 10 ;

f) 5 x 2 = 20 ;

g) (x − 5) − 9 = 0 ;

h) 3,84 x 2 = 9,6 x ;

i) 0,25 x 2 = 2,25 ;

j) 3x 2 + 5 x = 0 ;

k) x 2 + 10 x + 25 = 0 ;

l) 3,2 = 20 x 2 ;

2

2

2

m) x 2 + 9 = 6 x . M –10

L −

5 3

A

H

I

S

Z

G

0

2,5

3

4

6

10

57


16. Oldd meg az alábbi egyenleteket!

a) 12 x 2 − 4 x = 0 ;

b) (x − 3) − 49 = 0 ;

c) x 2 − 169 = 0 ;

d) x 2 + 8 x + 16 = 0 ;

e) x 2 + 4 = 4 x ;

f) 5 x 2 = 26 x .

2

17. Hány olyan valós szám van, és melyek azok, amelyeknek a harmadát és az ötödét

összeszorozva a szám tizenötszörösét kapjuk?

18. Két szomszédos pozitív egész számot összeszorozva, a szorzat 169-cel lesz nagyobb,

mint a kisebbik szám. Melyik ez a két szám?

58


TANULÓK KÖNYVE

IV. A másodfokú egyenlet megoldóképlete A Kr. e. 2000-ből való Mezopotámiában talált leletek azt mutatják, hogy már ismerték az első és másodfokú egyenletek megoldását, sőt oldottak meg harmadfokú egyenletet is. Általános alakban megadott másodfokú egyenletet is át tudunk alakítani az előző módszerrel, így megkereshetjük a megoldások általános alakját. Induljunk ki a 2 x 2 + 13x + 15 = 0

Induljunk ki az ax 2 + bx + c = 0

(a ≠ 0) egyenletből.

egyenletből. Emeljünk ki 2-t: 13 15 ⎞ ⎛ 2⎜ x 2 + x + ⎟ = 0 . 2 2⎠ ⎝

b c⎞ ⎛ Emeljünk ki a-t: a⎜ x 2 + + ⎟ = 0 . a a⎠ ⎝

Alakítsuk a zárójelen belüli

Alakítsuk a zárójelen belüli kifejezést teljes négyzetté:

kifejezést teljes négyzetté:

2 ⎡⎛ b ⎞ b2 c⎤ a ⎢⎜ x + ⎟ − 2 + ⎥ = 0. a ⎥⎦ 2a ⎠ 4a ⎢⎣⎝

2 ⎡⎛ 13 ⎞ 169 15 ⎤ 2⎢⎜ x + ⎟ − + ⎥ = 0. 4⎠ 16 2 ⎥⎦ ⎢⎣⎝

Hozzunk közös nevezőre:

Hozzunk közös nevezőre:

2 ⎡⎛ 13 ⎞ 169 − 120 ⎤ 2⎢⎜ x + ⎟ − ⎥ = 0. 4⎠ 16 ⎣⎢⎝ ⎦⎥

2 ⎡⎛ b ⎞ b 2 − 4ac ⎤ a ⎢⎜ x + ⎟ − ⎥=0. 2a ⎠ 4a 2 ⎦⎥ ⎣⎢⎝

Alakítsuk szorzattá a szögletes

Alakítsuk szorzattá a szögletes zárójelen belüli

zárójelen belüli kifejezést!

kifejezést! Ha b 2 − 4ac < 0 , akkor nem tudjuk szorzattá alakítani, 2

b ⎞ ⎛ mert az ⎜ x + ⎟ -hez egy pozitív számot adunk 2a ⎠ ⎝ hozzá, tehát az összeg nem 0. Ha b 2 − 4ac ≥ 0 , akkor a

b 2 − 4ac törtet felírjuk 4a 2

négyzet alakban: 2

2

⎛ b 2 − 4ac ⎞ b 2 − 4ac ⎛⎜ b 2 − 4ac ⎞⎟ ⎜ ⎟ . = = 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 a a 4a 2 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (Precízen a

4a 2 = 2 a . Végig ezzel számolva, végül

ugyanezeket a gyököket kapnánk végeredményül.)


59

2 2 ⎡⎛ 13 ⎞ ⎛ 49 ⎞ ⎤ ⎟ ⎥ = 0. 2⎢⎜ x + ⎟ − ⎜⎜ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎟⎠ ⎥ ⎢⎝ ⎦ ⎣

2 2 ⎡ ⎤ 2 ⎛ ⎞ b b ac − 4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎥ = 0. a ⎢⎜ x + ⎟ − ⎟ ⎥ ⎢⎝ 2a ⎠ ⎜⎝ 2a ⎠ ⎦ ⎣

Most már szorzattá alakíthatjuk a

Most már szorzattá alakíthatjuk a szögletes zárójelen

szögletes zárójelen belüli kifejezést,

belüli kifejezést, felhasználva az

felhasználva az a 2 − b 2 = (a + b )(a − b ) nevezetes

a 2 − b 2 = (a + b )(a − b ) nevezetes azonosságot:

azonosságot:

⎛ b b 2 − 4ac ⎞⎟⎛⎜ b b 2 − 4ac ⎞⎟ = 0. − a⎜ x + + x+ ⎟ ⎟⎜ ⎜ 2 2 2 2 a a a a ⎠ ⎠⎝ ⎝

13 7 ⎞⎛ 13 7 ⎞ ⎛ 2⎜ x + + ⎟⎜ x + − ⎟ = 0. 4 4 ⎠⎝ 4 4⎠ ⎝ Egy szorzat akkor és csak akkor

Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik

nulla, ha valamelyik tényezője

tényezője nulla. Mivel kikötöttük, hogy a ≠ 0 , ezért

nulla, ezért két eset lehetséges:

két eset lehetséges:

x+

13 7 + = 0 vagy 4 4

x+

b b 2 − 4ac + = 0 vagy 2a 2a

x+

13 7 − = 0. 4 4

x+

b b 2 − 4ac − = 0. 2a 2a

Ebből

Ebből:

x1 = −5, x 2 = −

3 . 2

x1 =

− b − b 2 − 4ac − b + b 2 − 4ac , x2 = . 2a 2a

A gyököket rövidebb alakban, összevonva szoktuk felírni: Az ax2 + bx + c = 0

(a ≠ 0) a másodfokú egyenlet megoldóképlete: x1, 2 =

− b ± b 2 − 4ac 2a

60


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda15 Oldjuk meg a x 2 + 9 x + 20 = 0 másodfokú egyenletet!

Megoldás: A megoldóképletbe az a = 1, b = 9, c = 20 értékeket behelyettesítve: x1, 2 =

− 9 ± 9 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 20 − 9 ± 1 = ⇒ 2 ⋅1 2

x1 = −4,

x 2 = −5 ⇒

M = {− 4; − 5}.

Mintapélda16 Oldjuk meg a 2 x 2 = 10 − x másodfokú egyenletet!

Megoldás: Az egyenletet rendezzük úgy, hogy az egyik oldalon 0 álljon: 2 x 2 − 10 + x = 0 és az ismeretlen kitevője szerint írjuk csökkenő sorrendbe a tagokat: 2 x 2 + x − 10 = 0 Az ilyen alakba írt másodfokú egyenletet 0-ra redukált rendezett polinom alaknak nevezzük. A megoldóképletbe az a = 2, b = 1, c = −10 értékeket behelyettesítve: x1, 2 =

− 1 ± 12 − 4 ⋅ 2 ⋅ (− 10 ) 2⋅2

=

−1± 9 4

⇒

x1 = 2,

x2 = −

5 2

⇒

5⎫ ⎧ M = ⎨2; − ⎬ . 2⎭ ⎩

A másodfokú egyenlet megoldása szempontjából nagyon fontos a négyzetgyök alatti b 2 − 4ac kifejezés előjele, ezért ennek a kifejezésnek önálló nevet is adunk: a másodfokú

egyenlet diszkriminánsának nevezzük, és D-vel jelöljük. A diszkrimináns szó jelentése: meghatározó, döntő. Az ax2 + bx + c = 0

(a ≠ 0) másodfokú egyenlet diszkriminánsa: D = b2 – 4ac

Mintapélda17 Az egyenletek megoldása nélkül állapítsuk meg, hogy hány valós megoldása van a következő egyenleteknek! a) 3x 2 − 5 x + 8 = 0 ;

b) 2 x 2 − 12 x + 18 = 0 ;

c) 5 x 2 + 7 x − 11 = 0 .

Megoldás: a) D = 25 − 4 ⋅ 3 ⋅ 8 = −71 < 0 , az egyenletnek nincs valós gyöke. b) D = 144 − 4 ⋅ 2 ⋅ 18 = 0 , az egyenletnek egy valós gyöke van. c) D = 49 − 4 ⋅ 5 ⋅ (− 11) = 269 > 0 , az egyenletnek két különböző valós gyöke van.

61


Az ax 2 + bx + c = 0

(a ≠ 0) másodfokú egyenletnek

két különböző valós gyöke van, ha D = b 2 − 4ac > 0 , és ekkor x1, 2 =

− b ± b 2 − 4ac , 2a

két egybeeső valós gyöke van, ha D = b 2 − 4ac = 0 , ekkor x1 = x 2 = −

b , 2a

nincs valós gyöke, ha D = b 2 − 4ac < 0 .

Mintapélda18 Az ax 2 + 4 x + 2 = 0 egyenletben határozzuk meg az a együttható értékét úgy, hogy az egyenletnek a) ne legyen megoldása a valós számok körében; b) egy valós gyöke legyen; c) két különböző valós gyöke legyen!

Megoldás: 1 Ha a = 0 , akkor az egyenlet elsőfokú: 4 x + 2 = 0 . Ennek egy gyöke van: x = − . 2 Ha a ≠ 0, akkor a) D = b 2 − 4ac = 16 − 8 ⋅ a < 0 ⇒ 2 < a ; b) D = 16 − 8 ⋅ a = 0 ⇒ 2 = a vagy a = 0 ; c) D = 16 − 8 ⋅ a > 0 ⇒

a < 2 és a ≠ 0 .

Feladatok 19. Oldd meg az alábbi egyenleteket, majd feladatonként a gyököket növekvő sorrendbe

írd be a lenti táblázatba! Ha növekvő sorrendbe teszed az összes gyököt, kiolvashatod a megoldást!

G

a) x 2 + 7 x + 10 = 0 ;

b) x 2 + 4 x − 21 = 0 ;

c) x 2 − 10 x + 24 = 0 ;

d) 2 x 2 − 13x − 7 = 0 ;

e) 2 x 2 − 7 x = 15 ;

f) 3x 2 − 20 = −7 x ;

g) 3x − 5 = −2 x 2 ;

h) 2 x 2 − 3 = 2 x − x 2 + 5 .

S

Ü

O

L

Á

S

L

E

T

Y

Á

E

Z

N

M

62


TANULÓK KÖNYVE

20. Rendezd nagyság szerinti növekvő sorrendbe az egyenletek valós gyökeit!

4 x 2 + 7 x − 11 = 0 ;

2x 2 + x − 6 = 0 .

21. Az egyenletek megoldása nélkül állapítsd meg, hogy hány valós megoldása van a

következő egyenleteknek! a) x 2 + 3x = 7 − 5 x ;

b) 5 x − 36 = x 2 − 7 x ;

c) x 2 − 5 x − 2 = 10 − x ;

d) 3x 2 − 24 x + 48 = 0 ;

e) 5 x 2 − 11x + 6 = 0 ;

f) 3x 2 + 9 x + 14 = 0 ;

g) 2 x 2 + 26 x = 13 + 5 x ;

h) 2 x 2 − 7 x = 5 x − 12 − x 2 ;

i) 3x 2 − 7 = 9 x − 2 x 2 .

22. Az 2 x 2 + bx + 18 = 0 egyenletben, állapítsd meg a b együttható értékét úgy, hogy az

egyenletnek a) ne legyen megoldása a valós számok körében; b) egy valós gyöke legyen; c) két különböző valós gyöke legyen!

63


V. Gyöktényezős alak Mintapélda19

Oldjuk meg az (x + 3)( x − 4 ) = 0 egyenletet!

Megoldás: Ha elvégeznénk a műveleteket, akkor az x 2 − x − 12 = 0 másodfokú egyenlet adódna, amelyre alkalmazva a megoldóképletet, a két gyök: x1 = −3,

x 2 = 4.

Ez a megoldás azonban rögtön kiolvasható az eredeti egyenletből is, hiszen egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, azaz ha x +3=0 ⇒

x1 = −3 vagy ha x − 4 = 0 ⇒

x2 = 4 .

Az ilyen alakot az egyenlet gyöktényezős alakjának nevezzük, mert közvetlenül leolvashatóak belőle a gyökök. Nézzük meg általánosan is: A ax 2 + bx + c = 0

(a ≠ 0) egyenlet bal oldalát már egyszer szorzattá alakítottuk:

⎛ b b 2 − 4ac ⎞⎟⎛⎜ b b 2 − 4ac ⎞⎟ a⎜ x + x+ =0 − + ⎟ ⎟⎜ ⎜ a a a a 2 2 2 2 ⎠ ⎠⎝ ⎝ Felhasználva az x1 =

− b − b 2 − 4ac − b + b 2 − 4ac , x2 = jelöléseket, az egyenlet a 2a 2a

következő alakba írható: a ( x − x1 )( x − x 2 ) = 0 . Ezt az egyenlet gyöktényezős alakjának nevezzük. Az ax2 + bx + c = 0

(a ≠ 0) másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja: a ( x − x1 )( x − x 2 ) = 0

Mintapélda20 Alakítsuk szorzattá a 2 x 2 + x − 3 kifejezést!

Megoldás: Határozzuk meg a 2 x 2 + x − 3 = 0 másodfokú egyenlet gyökeit: x1 = 1, ⎛ Írjuk fel a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakját: 2( x − 1)⎜ x + ⎝

Célszerű lehet a 2-vel való szorzást elvégezni: (x − 1)(2 x + 3) = 0 . Tehát: 2 x 2 + x − 3 = ( x − 1)(2 x + 3) .

3⎞ ⎟=0. 2⎠

3 x2 = − . 2

64


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda21 Írjunk fel olyan másodfokú egyenletet, melynek gyökei –2 és

4 ! 3

Megoldás: A gyöktényezős alakba helyettesítsük be az x1 = −2,

x2 =

4 gyököket: 3

4⎞ ⎛ a( x − x1 )( x − x 2 ) = a( x + 2)⎜ x − ⎟ = 0 . 3⎠ ⎝

a tetszőleges nullától különböző valós szám, de célszerű úgy megválasztani, hogy a kifejezés ne tartalmazzon törtet, például legyen a = 3 . 4⎞ ⎛ 3( x + 2 )⎜ x − ⎟ = ( x + 2 )(3 x − 4 ) = 3 x 2 + 2 x − 8 = 0. 3⎠ ⎝

Tehát például a 3 x 2 + 2 x − 8 = 0 egyenletnek a gyökei, –2 és

4 . 3

Mintapélda22 Egyszerűsítsük a

3x 2 − 7 x − 6 törtet! 6x 2 + x − 2

Megoldás: Alakítsuk szorzattá a tört számlálóját és nevezőjét! A 3 x 2 − 7 x − 6 = 0 egyenlet gyökei: x1 = 3, ⎛ 3( x − 3)⎜ x + ⎝

2 , így a számláló szorzat alakja: 3

2⎞ ⎟ = ( x − 3)(3 x + 2 ) . 3⎠

A 6 x 2 + x − 2 = 0 egyenlet gyökei: x1 = ⎛ 6⎜ x − ⎝

x2 = −

1 ⎞⎛ ⎟⎜ x + 2 ⎠⎝

1 , 2

2 x 2 = − , így a nevező szorzat alakja: 3

2⎞ ⎟ = (2 x − 1)(3 x + 2 ) . 3⎠

2⎫ ⎧1 Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány: R \ ⎨ ; − ⎬ . 3⎭ ⎩2

Visszaírva az eredeti kifejezésbe:

x−3 3 x 2 − 7 x − 6 ( x − 3)(3 x + 2 ) . = = 2 6 x + x − 2 (2 x − 1)(3 x + 2 ) 2 x − 1

65


Mintapélda23 Az ax 2 + 7 x + 12 = 0 egyenlet egyik gyöke x1 = −3 . Határozzuk meg a másik gyököt és a diszkriminánst! Írjuk fel az egyenlet gyöktényezős alakját!

Megoldás: Mivel x1 = −3 gyöke az egyenletnek, ezért igazzá teszi az egyenletet: 9a − 21 + 12 = 0 . Ebből a = 1 , így a másodfokú egyenlet: x 2 + 7 x + 12 = 0 , ennek gyökei x1 = −3,

x 2 = −4 , és D = 1 .

Az egyenlet gyöktényezős alakja: (x + 3)( x + 4 ) = 0 .

Feladatok 23. Oldd meg az egyenleteket!

a) 2( x − 2 )(3 x + 5) = 0

b) 3(− x − 2)(3 − x ) = 0

c) − 7( x − 1)(3 x − 8) = 0

24. Írj fel olyan másodfokú egyenletet, melynek gyökei

a) 3 és 5

c) 1,5 és −

b) –2 és 4

2 3

d)

2 és

3

25. Alakítsd szorzattá a következő polinomokat!

a) x 2 − 3 x − 10

b) 2 x 2 − x − 3

c) 15 x 2 − 32 x − 7

d) − 2 x 2 + 9 x − 10

26. Egyszerűsítsd a következő törteket!

a)

x 2 − 2x − 3 x 2 + 6x + 5

c)

5 x 3 − 40 2 x 2 − 3x − 2

x ≠ −1 ; – 5 x ≠ 2; −

b)

2 x 2 + 11x − 21 3 x≠ ;4 2 2 2 x − 11x + 12

1 2

27. Az 2 x 2 − bx + 10 = 0 egyenlet egyik gyöke x1 = 5 . Határozd meg a másik gyököt!

Határozd meg a diszkriminánst! Írd fel az egyenlet gyöktényezős alakját!

66


TANULÓK KÖNYVE

VI. Gyakorlás Mintapélda24

Oldjuk meg a (3x − 2) = (2 x + 5)( x − 4 ) + 22 egyenletet az egész számok halmazán! 2

Megoldás: Előállítjuk az egyenlet 0-ra redukált alakját, és alkalmazzuk a megoldóképletet. Beszorzás után: 9 x 2 − 12 x + 4 = 2 x 2 − 3x + 2 ⇒ 7 x 2 − 9 x + 2 = 0 ⇒

x1 = 1,

x2 =

2 . 7

A feladat alaphalmazába csak az x = 1 tartozik.

Feladatok

(

) (

)

28. Oldd meg a 6 x( x + 3) − 1 − x 2 = 3 x 2 + 3x − 1 egyenletet!

(

) (

)

29. Oldd meg a 3x(2 x + 6) − 1 − x 2 = 2 x 2 + 4 x − 1 + x 2 + x − 1 egyenletet az egész

számok halmazán! 30. Oldd meg a (x + 3)( x − 4 ) = −6 egyenletet a negatív számok halmazán! 31. Oldd meg a (1 + 2 x )(3 − x ) + x 2 = 9 egyenletet a pozitív számok halmazán! 32. Oldd meg a (5 x + 2 )(7 x − 3) = (3 x − 6 )(4 x + 1) egyenletet a racionális számok

halmazán! 33. Oldd meg a (3 x + 2 )2 = 12 x + 148 egyenletet a racionális számok halmazán! 34. Oldd meg a (3x + 4) = (2 x − 1) egyenletet az egész számok halmazán! 2

2

35. Oldd meg a (7 x − 3) − 12 x 2 = (5 x + 6 ) + 3 x egyenletet a természetes számok 2

2

halmazán! 36. Oldd meg a (2 x + 3) + x 2 = (3x − 2) + 9 x + 1 egyenletet a valós számok halmazán! 2

2


67

Szöveges feladatok Mintapélda25 Egy üzleti tárgyalás résztvevői kézfogással köszöntötték egymást. Összesen 136 kézfogás történt. Mindenki mindenkivel pontosan egyszer fogott kezet. Hányan voltak a találkozón?

Megoldás: Jelöljük n-nel a jelenlévők számát. Mindenki n – 1 emberrel fogott kezet. Ezek száma n(n − 1) , de ekkor minden kézfogást pontosan kétszer számoltunk. Ezért

n(n − 1) = 136 , innen: n 2 − n − 272 = 0 . 2 Az egyenlet gyökei: n1 = 17, n 2 = −16 . Ez utóbbi nem megoldása a feladatnak, hiszen negatív számú résztvevő nem létezik. A találkozón 17-en vettek részt. Ellenőrzés: 17 ember vett részt a tárgyaláson, mindenki 16 emberrel fogott kezet. Ez 17 ⋅ 16 = 272 kézfogást jelentene, de minden kézfogást kétszer számoltunk, így

összesen 136 kézfogás történt.

Mintapélda26 Két kocka egy-egy élének összege 41 cm. A felszíneik összege 5118 cm 2 . Mekkora a nagyobbik kocka térfogata? (Emlékeztető: a kocka felszíne: A = 6a 2 , térfogata: V = a 3 )

Megoldás: Jelöljük az egyik kocka élhosszúságát x-szel, ekkor a másik él: 41 − x . 6(41 − x ) + 6 x 2 = 5118 2

Egyszerűbb alakban:

(41 − x )2 + x 2

= 853

1681 − 82 x + x 2 + x 2 = 853

x 2 − 41x + 414 = 0 Az egyenlet gyökei: x1 = 18,

x 2 = 23 .

A nagyobbik kocka éle 23 cm. Térfogata V = 233 = 12167 cm 3 . Ellenőrzés: A két kocka éleinek összege: 18 + 23 = 41 cm. A kisebbik kocka felszíne:

6 ⋅ 18 2 = 1944 cm2, a nagyobbik kocka felszíne: 6 ⋅ 23 2 = 3174 cm2. A felszínek összege: 1944 + 3174 = 5118 cm2.

68


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda27 Viktor 160 km-es autóút előtt áll. Ha szokásos tempójával vezetne, akkor lekésné a világbajnoki döntő közvetítését. Ha 20

km -val gyorsabban menne, akkor 24 perccel h

hamarabb érne haza, és látná a meccs kezdetét is. Mennyivel megy Viktor, ha elejétől nézni tudja a döntőt?

Megoldás: Viktor eredeti sebességét jelöljük v-vel. Mivel s = v ⋅ t ⇒ 160 = v ⋅ t . A 24 perc az 0,4 óra ezért a második esetben 160 = (v + 20 )(t − 0,4 ) . Az első egyenletből v =

160 ezt behelyettesítve a másodikba: t

⎛ 160 ⎞ + 20 ⎟(t − 0,4) ⇒ 160 = ⎜ ⎝ t ⎠

20t 2 − 8t − 64 = 0 ⇒ t1 = 2, t 2 = −1,6 . Ez utóbbi

nem lehet megoldás. Ezért t = 2, v = 80. Viktor, hogy lássa a meccset, átlagosan 100

km -val megy. h

⎛ km ⎞ Ellenőrzés: Viktor szokásos tempójával ⎜ 80 ⎟ , 2 óra alatt teszi meg az utat, ha h ⎠ ⎝ 100

km sebességgel megy, akkor ugyanezt az utat 1,6 óra, azaz 1 óra és 36 perc alatt h

teszi meg, így 24 perccel hamarabb ér haza: látja a meccs kezdetét.

Feladatok 37. Egy négyzet egyik oldalát 2 cm-rel megnöveljük, a másik oldalát ugyanennyivel

csökkentjük. Az így kapott téglalap területe 45 cm2. Mekkora volt a négyzet oldala? 38. Egy derékszögű háromszögben az átfogó 2 cm-rel hosszabb az egyik befogónál.

Kerülete 40 cm. Mekkorák az oldalai? 39. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 9. Ha felcseréljük a számjegyeket, és az így

kapott számot az eredetivel megszorozzuk, akkor 1944-et kapunk eredményül. Melyik ez a kétjegyű szám?


69

40. Egy bajnokságon összesen 612 pontot osztottak ki a résztvevő csapatok között.

A győzelemért 2 pontot, a döntetlenért 1 pontot, a vereségért 0 pontot adtak a szervezők. Hányan vettek részt a bajnokságon, ha mindenki mindenkivel kétszer játszott? 41. Egy n-oldalú sokszögnek háromszor annyi átlója van, mint oldala. Hány oldalú a

sokszög? 42. Zoli születésnapjára egy 1500 darabos puzzle-t kap ajándékba. Először szétválogatja a

széleket, és azokat rakja ki, majd megszámolja, hogy ez összesen 166 darabból áll, beleszámítva a négy sarkot is. Hány sorból és hány oszlopból áll Zoli puzzle-ja? 43. Két egymás után következő pozitív páratlan szám szorzata 6083. Melyik ez a két

szám? 44. Egy téglalap egyik oldala 23 cm-rel hosszabb a másiknál. Átlója 37 cm. Mekkora a

területe? 45. Egy szám és egy másik háromszorosának összege 16. Négyzeteik különbsége 40.

Melyik ez a két szám? 46. Egy medence 20 méterrel hosszabb, mint amilyen széles. A mélysége 2,5 m.

Mekkorák a méretei, ha 3750 m3 vízre van szükség a feltöltéséhez? Mennyi pénzbe kerül a medence egyszeri feltöltése, ha 1 m3 víz ára 131,6 Ft. 47. Egy téglalap kerülete 60 dm, területe 221 dm 2 . Mekkorák az oldalai? 48. Milyen alapú számrendszerben írhatjuk a 258-at 516-nak? 49. Karácsonykor az osztály tagjai úgy döntenek, hogy mindenki megajándékoz mindenkit

egy jelképes ajándékkal. Hányan járnak az osztályba, ha összesen 756 kis ajándék került átadásra? 50. Attila nőnapra egy csokor virággal lepi meg kedvesét. Egy szál rózsa 185 Ft-tal többe

kerül, mint ahányat vásárolt. A díszítés 300 Ft volt. A csokor ára 3300 Ft. Hány szál rózsából áll a meglepetés csokor?

70


TANULÓK KÖNYVE

51. Három egymást követő természetes szám négyzetének összege 1730. Melyek ezek a

számok? 52. Gerti nagymamájának a 70. születésnapjára egy 9x13-as családi fotót ajándékoz.

Kartonpapírból saját kezűleg készít hozzá keretet, melyet rajzaival díszít. A keret területe 48 cm2. Mekkorák a keret külső méretei? 53. Ha Dávid egységnyi élű kis kockáiból a lehető legnagyobb kockát rakja össze, akkor

100 kis kocka kimarad, ha eggyel több kis kockát akar rakni minden él mentén, akkor 117 kis kocka hiányzik. Hány kis kockája van Dávidnak? 54. Ádámnak 100 darabos CD gyűjteménye van. A CD-k p %-a külföldi, a hazai CD-k

p %-a könnyűzene. Mindössze egy klasszikus zenei CD-je van, magyar művészek előadásában. 55. Egy 14 cm oldalhosszúságú négyzetet 4 részre vágunk két, egymást a négyzet

középpontjában merőlegesen metsző egyenes mentén. Az így kapott darabokat össze lehet rakni úgy, hogy egy nagyobb négyzet alakuljon ki, közepén egy kis négyzet alakú lyukkal. Számítsd ki a nagy négyzet oldalának pontos hosszát, ha belső kis négyzet területének 50szerese a nagy négyzet területe. Készítsd el ezt a kivágást papírból!

71


Összefoglalás Legyél TE is milliomos! 1. Az a 3 + b 3 kifejezés felírható ilyen alakban is:

(

)

A) (a − b ) a 2 + ab + b 2 ;

(

)

B) (a + b ) a 2 − ab + b 2 ;

(

)

C) (a + b ) a 2 + b 2 ; D) (a + b ) . 3

2. Az (a − b ) kifejezés felírható ilyen alakban is: 3

A) a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 ; B) a 3 − 3a 2 b − 3ab 2 − b 3 ; 3. Az ax 2 + bx + c = 0

A)

b 2 − 4ac ;

C) a 3 − 3ab + b 3 ;

D) a 3 − b 3 .

(a ≠ 0) másodfokú egyenlet diszkriminánsa: B)

− b ± b 2 − 4ac ; 2a

C) ± b 2 − 4ac ;

D) b 2 − 4ac .

4. A 6x 2 + 7 x − 5 = 0 másodfokú egyenlet megoldáshalmaza:

⎧ 1 5⎫ A) ⎨− ; ⎬ ; ⎩ 2 3⎭

10 ⎫ ⎧ B) ⎨1; − ⎬ ; 3⎭ ⎩

5⎫ ⎧1 C) ⎨ ; − ⎬ ; 3⎭ ⎩2

10 ⎫ ⎧ D) ⎨− 1; ⎬ . 3⎭ ⎩

5. Az egyenlet megoldása nélkül állapítsd meg, hogy hány megoldása van a 3x 2 − 12 x + 8 = 0

egyenletnek. A) 0;

B) 1;

C) 2;

D) 3.

6. A − 2 x 2 − 5 x + 12 kifejezés szorzat alakban:

A) (3 − 2 x )( x + 4 ) ; 7. A –3 és

B) (2 x − 3)( x − 4 ) ;

D) (3 − 2 x )( x − 4 ) .

5 gyökei a következő egyenletnek: 2

A) 2 x 2 + x − 15 = 0 ;

B) 2 x 2 − x − 15 = 0 ;

8. Mennyivel egyenlő az x 2 +

A) 117;

C) (2 x − 3)(− x + 4 ) ;

C) 4 x 2 + 2 x + 30 = 0 ; D) x 2 +

1 1 kifejezés értéke, ha x + = 11 ? 2 x x

B) 119;

C) 121;

D) 123.

x + 7,5 = 0 . 2

72


9. A

2 x 2 + 9 x − 35 3x 2 + 20 x − 7

A) −

3 ; 2

x ≠ −7, B)

x≠

TANULÓK KÖNYVE

1 tört egyszerűsítve: 3

2x − 5 ; 3x − 1

C)

2x + 5 ; 3x + 1

D)

2x + 5 . 3x − 1

10. Egy másodfokú egyenlet egyik gyöke 5-tel nagyobb, mint a másik. Szorzatuk –6-szorosa

a kisebbik gyöknek. Ez az egyenlet: A) x 2 + 17 x − 66 = 0 ;

B) x 2 − 17 x + 66 = 0 ;

C) x 2 + 17 x + 66 = 0 ;

D) x 2 − 17 x − 66 = 0 .

11. A 21x 2 − 13x + 2 = 0 egyenlet valós gyökei reciprokának összege:

A) 6,5;

B)

13 ; 21

C) 0,5;

D)

1 . 21

12. Ha a 2 x 2 − 2 x − 24 = 0 egyenlet gyökei x1 , x 2 akkor 3 x1 x 2 ( x1 + x 2 ) értéke:

A) –36;

B) 36;

C) 18;

D) –18.

73


Paraméteres egyenletek (kiegészítő anyag) Célszerű általános megoldási módszert keresni, ha sok egyenlet csak a benne szereplő adatokat tekintve különböző, tehát formailag azonos. Célunk olyan képleteket készíteni, amelyekbe behelyettesítve az adatokat, meg lehet határozni bizonyos ismeretleneket. Ilyen képleteket ismerhetünk más tudományokból, például a fizikából vagy a kémiából.

Mintapélda28 Határozzuk meg a p valós paraméter értékét úgy, hogy a

( p + 4)x 2 + ( p − 1)x + p 2 + p − 27 = 0 egyenletnek a (− 3) gyöke legyen. Megoldás: Mivel a (− 3) gyöke az egyenletnek, ezért kielégíti a másodfokú egyenletet:

( p + 4)(− 3)2 + ( p − 1)(− 3) + p 2 + p − 27 = 0 , 9 p + 36 − 3 p + 3 + p 2 + p − 27 = 0 , A műveleteket elvégezve: p 2 + 7 p + 12 = 0 , Ennek gyökei: p1 = −3,

p 2 = −4 ,

Két valós paraméter tesz eleget a feladatnak: p1 = −3,

p 2 = −4 . Az ezekkel felírható

egyenletek: x 2 − 4 x − 21 = 0 , − 5 x − 15 = 0 . Ellenőrzéssel meggyőződhetünk, hogy valóban mindkettőnek gyöke a (− 3) .

Mintapélda29 Határozzuk meg p valós paraméter értékét úgy, hogy a x 2 − 3 px + 4 p + 1 = 0 paraméteres egyenletnek két különböző valós gyöke legyen!

Megoldás: Két különböző valós gyöke van az egyenletnek, ha a diszkrimináns pozitív: D > 0 .

D = 9 p 2 − 4(4 p + 1) = 9 p 2 − 16 p − 4 > 0 , 9 p 2 − 16 p − 4 = 0 ⇒

p1 = 2,

2 p2 = − , 9

Az egyenletnek akkor létezik két különböző valós gyöke, ha p < −

2 9

vagy 2 < p .

74


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda30 Oldjuk meg a 3x 2 − 4 x + 2 px 2 − 2 px + 1 = 0 paraméteres egyenletet!

Megoldás: Rendezzük az egyenletet x együtthatói szerint:

(3 + 2 p )x 2 − (2 p + 4)x + 1 = 0 . Az egyenlet elsőfokú, ha a főegyüttható 0, azaz 3 + 2 p = 0 ⇒ ⎛ ⎛ 3⎞ ⎞ Ekkor az egyenlet: − ⎜⎜ 2 ⋅ ⎜ − ⎟ + 4 ⎟⎟ x + 1 = 0 ⇒ ⎝ ⎝ 2⎠ ⎠

3 p=− . 2

x = 1.

3 Az egyenlet másodfokú, ha 3 + 2 p ≠ 0 , azaz ha p ≠ − . 2 Az egyenletnek akkor van valós gyöke, ha a diszkrimináns nem negatív, azaz ha D≥0.

D = (2 p + 4) − 4 ⋅ (3 + 2 p ) ⋅ 1 = 4 p 2 + 16 p + 16 − 12 − 8 p = 4 p 2 + 8 p + 4 = (2 p + 2) . 2

2

A diszkrimináns egy kifejezés négyzete, ezért biztosan nemnegatív.

x1, 2 =

2 2 p + 4 ± 2 p + 2 p + 2 ± p +1 2 p + 4 ± (2 p + 2) . = = 2(3 p + 2) 6p + 4 3p + 2

Az abszolútérték-jel elhagyható az előtte álló ± előjel miatt.

x1 =

2p +3 , 3p + 2

x2 =

Tehát, ha p = −

3 2

1 . 3p + 2 ⇒

x = 1 , ha p ≠ −

3 2

⇒

x1 =

2p +3 , 3p + 2

x2 =

1 . 3p + 2

Feladatok 56. Oldd meg a 2n 2 + 3n − 35 = p 2 egyenletet, ha n pozitív egész, p pozitív prím! Mennyi

az n ⋅ p szorzat maximuma?

57. A p valós paraméter mely értékeire lesz az x 2 + 4 x − 5 = 0 és x 2 − p 2 x − x + 3 p = 0

egyenleteknek közös gyöke?

75


58. Határozd meg a p valós paraméter értékét úgy, hogy a px 2 + (8 p + 4)x + 12 p + 8 = 0

egyenletnek a) két különböző valós gyöke legyen, b) egy valós gyöke legyen!

Gyökök és együtthatók közti összefüggések (kiegészítő anyag) Vizsgáljuk meg a másodfokú egyenlet gyökeit! Ha a másodfokú egyenletnek léteznek valós megoldásai, akkor ezeket a következő alakba írhatjuk: − b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac és x2 = . x1 = 2a 2a

A két gyök összegére és szorzatára a következő összefüggések adódnak: x1 + x2 =

− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac − 2b b + = =− , 2a 2a 2a a

(

)

− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac (− b ) − b 2 − 4ac 4ac c ⋅ = = 2 = . x1 ⋅ x2 = 2 2a 2a 4a 4a a 2

A Viète-formulák: b x1 + x2 = − a c x1 ⋅ x2 = a

François Viète (1540–1603) francia matematikus. Foglalkozását tekintve jogász volt. Az egyenletmegoldás általános módszereit kereste. Ezért a Dipohantosz által megkezdett úton az algebrai jelölésrendszert fejlesztette tovább. Igyekezett szimbólumokkal dolgozni, az együtthatók helyett is betűket használt. Ezek segítségével formulát tudott felírnia másodfokú egyenletek megoldására. A harmadfokú egyenletek megoldásával is foglalkozott. Igen jelentős eredménye a végtelen sorozatok felfedezése. Egy ilyen sorozat segítségével határozata meg a π értékét 10 tizedes pontosságig. A másodfokú egyenletek gyökeinek és együtthatóinak kapcsolatát megadó képletek, a Viète-formulák is őrzik a nevét. (Az összefüggések általános formában azonban nem tőle származnak, ezeket először a szintén francia Girard publikálta 1629-ben.)

76


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda31 Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg a x 2 + 10 x + 21 = 0 egyenlet gyökeinek az összegét és szorzatát! Megoldás:

A Viète-formulákat felhasználva: b 10 = − = −10 a 1 c 21 x1 ⋅ x2 = = = 21 a 1 x1 + x2 = −

Az egyenlet gyökeinek az összege –10, szorzata 21. A másodfokú egyenlet gyökeinek előjelét meg lehet határozni a Viète-formulák segítségével. c < 0 , akkor a két gyök különböző előjelű. a c • Ha x1 ⋅ x2 = > 0 , akkor a két gyök azonos előjelű. a b • Ha x1 + x2 = − > 0 , akkor mindkét gyök pozitív a b • Ha x1 + x2 = − < 0 , akkor mindkét gyök negatív. a

• Ha x1 ⋅ x2 =

Mintapélda32 Milyen valós számot írhatunk a c paraméter helyére ahhoz, hogy a 3x 2 − 15 x + c = 0 másodfokú egyenletnek két különböző pozitív gyöke legyen? Megoldás:

Két különböző valós gyöke van az egyenletnek, ha D > 0 . D = (− 15) − 4 ⋅ 3 ⋅ c = 225 − 12c > 0 ⇒ 18,75 > c . 2

x1 ⋅ x2 =

c c = >0 ⇒c >0. a 3

x1 + x2 = −

b − 15 =− = 5 > 0 mindig teljesül. 3 a

Az egyenletnek akkor lesz mindkét gyöke pozitív, ha 0 < c < 18,75.

77


A Viète-formulák segítségével könnyen meghatározható a másodfokú egyenlet gyökeinek négyzetösszege: 2

c b 2 2c b 2 − 2ac ⎛ b⎞ 2 2 2 x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = ⎜ − ⎟ − 2 = 2 − = ; a a a a2 ⎝ a⎠

a gyökök köbeinek az összege: 3

c⎛ b⎞ ⎛ b⎞ 3 3 3 2 2 3 x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 − 3x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) = ⎜ − ⎟ − 3 ⎜ − ⎟ = a⎝ a⎠ ⎝ a⎠ 3 3 b 3bc 3abc − b =− 3 + 2 = a a a3 a gyökök reciprokainak az összege: b 1 1 x1 + x2 b + = = a =− , c c x1 x2 x1 x2 a −

az

x1 x2 + összeg: x2 x1 2

x1 x2 x1 + x2 + = x2 x1 x1 x2

2

b 2 − 2ac b 2 − 2ac a2 = = . c ac a

Összefoglalva:

2

2

x1 + x2 =

b 2 − 2ac a2

1 1 b + =− x1 x2 c

3

3

x1 + x2 =

3abc − b 2 a3

x1 x2 b 2 − 2ac + = x2 x1 ac

Mintapélda33 Határozd meg a 2 x 2 + 5 x + 3 = 0 egyenlet gyökeinek a négyzetösszegét! Megoldás: Felhasználva az előbbi összefüggéseket: 2

2

x1 + x2 =

b 2 − 2ac 52 − 2 ⋅ 2 ⋅ 3 13 = = . a2 22 4

A gyökök négyzetösszege:

13 . 4

78


TANULÓK KÖNYVE

Feladatok 59. A p valós paraméter milyen értékeinél lesz az x 2 + ( p + 3)x + 4 = 0 másodfokú

egyenletnek két különböző pozitív gyöke?

60. Milyen valós p paraméter esetén lesz a 2 x 2 + px − 5 = 0 másodfokú egyenlet valós

gyökeinek négyzetösszege 25,25?

61. Milyen valós p paraméter esetén lesz az x 2 + px + 75 = 0 másodfokú egyenlet valós

gyökeinek négyzetösszege 139?

62. Határozd meg a p ≠ 0 valós paraméter értékét úgy, hogy a px 2 − 5 x + 2 = 0

másodfokú egyenletben a valós gyökök összege 2 legyen!

63. Határozd meg a p valós paraméter értékét úgy, hogy a 3x 2 + 4 x + p = 0 másodfokú

egyenlet valós gyökeinek a szorzata

2 legyen! 5


Kislexikon Algebrai azonosságok:

(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 (a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2

(a + b )(a − b ) = a 2 − b 2 (a + b )3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a − b )3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 a 3 − b 3 = (a − b )(a 2 + ab + b 2 )

(

a 3 + b 3 = (a + b ) a 2 − ab + b 2

)

Diszkrimináns:

Az ax 2 + bx + c = 0

(a ≠ 0) másodfokú egyenlet diszkriminánsa:

D = b 2 − 4ac . Gyöktényezős alak:

Az ax 2 + bx + c = 0

(a ≠ 0) egyenlet a következő alakban írható::

a ( x − x1 )( x − x 2 ) = 0 . Ezt az egyenlet gyöktényezős alakjának nevezzük.

A másodfokú egyenlet megoldóképlete:

Az ax 2 + bx + c = 0 x1, 2 =

(a ≠ 0) egyenlet megoldóképlete:

− b ± b 2 − 4ac . 2a

Pascal-háromszög:

A kéttagú kifejezések nemnegatív egész kitevőjű hatványozásakor fellépő együtthatók háromszög alakú elrendezése. Viète-formulák:

Az ax 2 + bx + c = 0 b x1 + x 2 = − ; a x1 ⋅ x2 =

c . a

(a ≠ 0) egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggések:

79

4. MODUL körrel kapcsolatos fogalmak Készítette: Lénárt István és Vidra Gábor

82


TANULÓK KÖNYVE

A szögek mértékegységei (olvasmány) A történelem folyamán a különböző kultúrákban sokféle mértékegységrendszer alakult ki. A hosszúság mértékegységei voltak például a könyök, a rőf, az arasz, Angliában ma is használják a mérföldet. Ma az SI (System International; méter, kilogramm, szekundum) nemzetközi mértékegység-rendszert használjuk (törvény írja elő ennek az alkalmazását), de régebben CGS (centiméter, gramm, szekundum alapegységekkel), illetve MKSA (méter, kilogramm, szekundum, Amper) voltak a hivatalos mértékegységrendszerek. A hosszúsághoz hasonlóan a szögek mérésére is többféle mértékegységet találunk:

•

fok (°), szögperc (’), szögmásodperc (”): a teljes kört 360 egyenlő részre osztjuk, vagyis 1° a teljes szög

1 -ad része; 1°=60’; 1’=60” 360 π ⎛ 180 ⎞ 1° = rad; 1rad = ⎜ ⎟ 180 ⎝ π ⎠

•

radián (rad): a teljes szög 2π radián;

•

újfok (grádus; g): a teljes szög 400g

•

vonás ( ¯ ): a teljes szög 6000¯, vagyis 1¯ =

0

360° = 0,06° ; a vonást a tüzérség használja, 6000

és egyes országokban ettől eltérő az értelmezése •

R: a derékszöget nevezték régebben így, a teljes szög 4R.

A tudományos életben gyakran használják a radiánt, mint szögmértékegységet.

83

4. modul: KÖRREL KAPCSOLATOS FOGALMAK

I. Ívmérték, forgásszögek Tavaly megismerkedtünk a radiánnal mint szögmértékegységgel. Ha egy r sugarú körben az ív hossza r hosszúságú, akkor az ívhez tartozó középponti szöget 1 radiánnak nevezzük. A radiánban kifejezett szöget ívmértékben mérjük, mert az egységkörben az ívhossz ) nagysága épp a szög radiánban kifejezett mérőszámával egyezik meg. r sugarú körben az α ) ívmértékű középponti szöghöz tartozó ívhossz i = r ⋅ α .

i ) ) Tehát az α középponti szöghöz tartozó bármilyen sugarú körben = α állandó, i és r egyer nesen arányosak. A sugárnyi ívhosszhoz tartozó középponti szög 1 radián.

A radián elnevezés nem jelent dimenziót, hiszen a szög radiánban mért nagysága egy valós szám, mert két hosszúság arányát fejezi ki. Azonban az egyértelműség kedvéért általában kiírjuk a rad mértékegységet, különösen azokban az esetekben, amikor a π nem szerepel a kifejezésben. Ugyanabban a számításban vagy csak fokban, vagy csak radiánban szerepelhetnek az előforduló szögek. Ha az ívhosszat radián helyett fokban mért szöggel szeretnénk kiszámítani, így gondolkodunk: 1°-hoz tartozik a kör kerületének 360-ad része,

ennek α-szorosához i =

2 rπ K rπ = = hosszúságú ívhossz, 360 360 180

rπ ) ⋅ α ° . Ez a képlet bonyolultabb az i = r ⋅ α összefüggésnél. 180°

84


TANULÓK KÖNYVE

A szög kétféle mértékegységének kapcsolata Ha a kör sugara 1 egység, akkor kerülete: K = 2rπ = 2π egység. A teljes körhöz tartozó középponti szög 360°, a megfelelő ívhossz a kör 2π kerülete. Ebből következik, hogy 180°-nak

π radián felel meg. A 30°-os szög ívmértékre történő átváltásakor azt vizsgáljuk, hogy a 30° a 180°-nak hányad része, ui. radiánban is ennyied része lesz π-nek. 30° =

π 6

radián. Ez a módszer a 180° fok

osztóinál jól használható. Például 120° =

2π 2 rad, mert 120° a 180°-nak -ad része. 3 3

Amennyiben nem tudjuk visszavezetni 180° osztójára a szöget, akkor az átváltás számológéppel az alábbiak szerint történik:

1°-nak megfelel

Például

π 180°

37° =

radián, illetve 1 radiánnak

π 180°

⋅ 37° ≈ 0,7 rad,

2 rad =

180°

180°

π

π

≈ 57,3° felel meg.

⋅ 2 ≈ 114,7° .

Egységkörnek nevezzük a koordináta-rendszerben az origó körüli, 1 egység sugarú kört.

Ha

2 π nagyságú szöget ábrázolunk egységkörben, akkor egy, a 9

kiindulási helyzethez képest tort ábrázoltunk.

2 π szöggel elforgatott egységvek9

85


Ne felejtsük el az azonban, hogy ez az egységvektor nem csak a

2 π szöghöz tartozik. Ha akárhányszor teljes kört megyünk 9

körbe bármelyik irányba, ugyanezt az egységvektort kapjuk. Ezt úgy jelöljük, hogy k ⋅ 2π -t adunk a szöghöz, ahol k egész szám, vagyis k ∈ Z. Tehát ugyanaz az egységvektorhoz tarto-

2 2 2 2 π , ⎛⎜ + 2 ⎞⎟π , ⎛⎜ + 4 ⎞⎟π , …, π + k ⋅ 2π középponti 9 9 ⎝9 ⎠ ⎝9 ⎠

zik a

szögekhez.

Mintapélda1 Határozzuk meg az ábrákon látható szögek nagyságát fokban és radiánban!

Megoldás: 30°,

π 6

;

270°,

3π ; 2

135°,

3π ; 4

120°,

2π ; 3

330°,

11π . 6

Mintapélda2 Váltsuk át a következő szöget ívmértékbe: 102°14' .

Megoldás: ο

⎛ 14 ⎞ Először a szögpercet váltjuk tizedfokká: 102°14' = 102° + ⎜ ⎟ = 102,23° , majd a szo⎝ 60 ⎠ kásos eljárással radiánt számolunk: 102,23° =

π 180°

⋅ 102,23° = 1,78 rad.

Megjegyzés: Vannak olyan zsebszámológépek, amelyek az átváltást el tudják végezni. Amennyiben ilyennel rendelkezünk, tanuljuk meg a kezelését, mert nagymértékben megkönnyíti a dolgunkat, és csökkenti a hibázási lehetőségeket.

86


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda3 Ábrázoljuk egységkörben a következő szögeket: a) k·180°;

b) 120°+k·180°;

c) 60°+k·90°;

k ∈ Z.

d) 60°+k·120°,

Megoldás:

Mintapélda4 Milyen szöget mutatnak az ábrán látható egységkörös ábrák?

Megoldás: 60° + k ⋅ 360° ;

π 3

+ k ⋅ 2π ;

105° + k ⋅ 120° ;

k ⋅120° ;

7π 2π +k⋅ ; 12 3

k⋅

k ⋅ 90° ;

2π ; 3

k⋅

π 2

30° + k ⋅ 60° ;

π

;

6

+k⋅

π 3

;

k ∈ Z.

Feladatok 1. Írd fel radiánban a következő szögeket!

a) 30°;

b) 120°;

c) 240°;

d) 45°;

e) 135°;

f) 270°;

g) 300°;

h) 72°;

i) 40°;

j) 70°;

k) 35°;

l) 220° ;

m) 1000°;

n) 1200°;

o) 121°45’;

p) 235°12’.

2. Gyakorold az átváltást! Váltsd át fokba a radiánban megadott szögeket, és jelöld be az áb-

rákba, hogy mekkora körív tartozik az egyes szögekhez!

a) π

b)

π 12

c)

5π 12

d)

7π 9

87


e)

4π 15

i) 2 rad

f)

5π 6

g)

j) 3,56 rad

8π 3

h)

11π 10

k) 10 rad

3. Ábrázold egységkörben a következő szögeket! a) k·180°;

b) k·60°;

c) k·360°;

e) 60°+ k·90°;

f) 30°+ k·120°;

g)

5π + 2kπ ; 6

k)

2kπ , k ∈ Z. 3

i)

2π π +k ; 3 4

j)

π 4

+

kπ ; 3

d) 180°+ k·360°; h)

π 6

+ kπ ;

4. Határozd meg, hogy milyen szögeket ábrázolnak az egységkörös ábrák! Az eredményt fokban és radiánban is add meg!

88


TANULÓK KÖNYVE

Radián: a szögmérés furcsaságai a gömbi geometriában Gondoljuk át újra, mit jelent az ívmérték! Rajzoljunk a síkban két, közös pontból kiinduló félegyenest, amely a síkot két szögtartományra osztja! Válaszszuk ki az egyik szögtartományt, és mérjük meg a szögét! Rajzoljunk most egy (mondjuk) 50 mm sugarú kört a szög csúcsa, mint középpont körül! Mérjük meg a kör kerületének azt a darabját, ívét, ami a szögtartományba esik, szabó- vagy papírcentiméter segítségével! Osszuk el az így kapott mértéket a kör sugarával! Így egy arányszámot kapunk: „ív osztva sugárral”. Játsszuk el most ugyanezt ugyanezzel a szögtartománnyal, és egy 100 mm sugarú körrel, azután egy 150 mm sugarú körrel is! Mit tapasztalunk? Tapasztalatunk szerint az arányszám független a kör sugarától: csakis a kör középpontjából induló szögtartománytól függ. Így ezt az arányszámot fel-

használhatjuk a szögtartomány jellemzésére, mérésére, ugyanúgy, mint a fokot. Az arányszám neve: radián. Nézzük meg ezt az arányt r sugarú körben, néhány speciális szög esetében. •

Ha a középponti szög 360°, vagyis teljesszög, akkor az arány a teljes körkerület osztva a sugárral, vagyis

•

2 rπ = 2π radián ≈ 6,28… radián. r

Ha a középponti szög 180°, vagyis egyenesszög, akkor az arány a körkerület fele oszt2rπ va a sugárral, vagyis 2 = π radián ≈ 3,14… radián. r

•

Ha a középponti szög 90°, vagyis derékszög, akkor az arány a körkerület negyede 2rπ π osztva a sugárral, vagyis 4 = radián ≈ 1,57… radián. r 2


•

89

Ha a középponti szög 60°, mint a szabályos síkháromszög egyik szöge, akkor az arány 2 rπ π a körkerület hatoda osztva a sugárral, vagyis 6 = radián ≈ 1, 047… 3 r

•

Ha a középponti szög 45°, vagyis a derékszög fele, akkor az arány a körkerület nyol2 rπ π cada osztva a sugárral, vagyis 8 = radián ≈ 0, 78… radián. 4 r

Milyen középponti szögnél lesz ez az arány éppen 1, vagyis hány fokos az a szög, ahol a

most bevezetett mérték éppen 1 radián? Akkor, ha a középponti szöghöz tartozó ív hossza éppen akkora, mint a sugár hossza. A fentiekből látható, hogy ez 45°-nál valamivel többet, de 60°-nál valamivel kevesebbet kell, hogy jelentsen. Számítsuk ki! Legyen az ismeretlen szög x°; akkor: x° úgy aránylik a 360° teljesszöghöz, mint 1 radián a 2π radiánhoz: x 1 360 = , ahonnan x = ≈ 360/6,28… ≈ 57,3°. 360 2π 2π Mit gondolsz, alkalmazható-e ugyanez a módszer gömbi szögek mérésére is, ha gömbi köröket használunk a méréshez? A gömbi körök ugyanolyan szép kerekek, mint a síkbeliek

– miért viselkednének másképpen, mint a síkbeli körök? Induljunk ki a földrajzi koordináta-rendszerből! Legyen a szögtartomány valamelyik, az Északi- és Déli-sarkból kiinduló, derékszögű szögtartomány! Igaz-e itt is, hogy akármelyik szélességi kört használjuk is, a gömbi körív hossza osztva a gömbi sugárral mindig ugyanaz marad? Ha nagyon pici gömbi körből indulunk ki (nagyon közel az Északi-sarkhoz), akkor a kör és a sugár nagyon közel áll a síkbeli körhöz és sugárhoz. Csak nagyító alatt tudnánk felismerni, hogy gömbről, nem síkról van szó. Itt tehát az arány nagyon közel áll a síkbeli arányhoz, vagyis a 90 fokos síkbeli szögnél kapott 1,57…-hez.

90


TANULÓK KÖNYVE

Mi történik, ha hizlaljuk a kört – egyre nagyobb szélességi kört veszünk? Amikor elérünk az Egyenlítőhöz, akkor a kör sugara a főkör sugara, vagyis 90 gömbi lépés. A körkerületnek a szögtartományba eső darabja pedig negyedfőkörív, vagyis szintén 90 gömbi lépés! A körív osztva sugár arány itt tehát 90/90 = 1 lesz, nem pedig 1,57… Az „ív osztva sugárral” arány a gömbön a síkbeli 1,57…-től 1-ig folyamatosan változik.

Gömbre tehát a szögtartomány mérésének ezt a módszerét nem lehet átvinni. Hiába ugyanolyan szép kerekek a gömbi körök, mint a síkbeli körök, láthatjuk, hogy a gömbi körök mégsem hasonlóak egymáshoz.

Feladatok: 5. Megvizsgáltuk, hogy a gömbön hogyan változik a 90°-os szögtartományban az „ív oszt-

va sugárral” arány, ahogyan a kisebb köröktől a nagyobbak felé haladunk. Vizsgáljuk meg ezt az arányt a síknál felsorolt többi szögtartománynál is!

6. Láttuk, hogy a síkon az „ív osztva sugárral” arány megadott szögtartománynál állandó,

a gömbön viszont egyre kisebb, ahogyan a kisebb köröktől a nagyobbak felé haladunk. Ha létezne olyan harmadik geometria, amelyik mindig ellenkező módon térne el a síktól, mint a gömb, akkor ebben a harmadik geometriában mi lenne az „ív osztva sugárral” arány?


91

II. A kör részei Összefoglaljuk azokat az ismereteket, amelyeket tavaly tanultunk a kör és részeivel kapcsolatban: •

középponti szögnek nevezzük a kör két sugara által bezárt szöget;

•

a kör kerülete K = 2rπ , területe T = r 2 π ;

•

körben a körív hossza és a körcikk területe egyenesen arányos a hozzá tartozó középponti szöggel;

•

)

α (radiánban mért szög) középponti szöghöz r sugarú körben a körív hosszát és a körcikk területét a következő képletek fejezik ki: i⋅r ) a körív hossza i = r ⋅ α , a körcikk területe T = ; 2

•

az érintő merőleges az érintési pontba húzott sugárra;

•

külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egyenlő;

•

Thalész-tétel: ha egy kör átmérőjének két végpontját össze-

kötjük a körvonal bármely más pontjával, akkor abban a pontban derékszög keletkezik;

•

Thalész-tétel megfordítása: a derékszögű háromszög köré írt

körének középpontja az átfogó felezőpontja.

92


TANULÓK KÖNYVE

A körrel kapcsolatos elnevezések, számítások:

Mintapélda5 Határozzuk meg az ábrán látható körcikk körívének hosszát és területét! A kör sugara 5 cm. Megoldás: Sokszor egyszerűbb a konkrét szögek helyett aránnyal számolni. Itt a körcikkhez tartozó középponti szög a teljes szög

1 -ad része. Mivel az ívhossz és a körcikk területe a kö8

zéppontnál levő szöggel egyenesen arányos, a körív hossza a kör kerületének sze, a körcikk területe pedig a kör területének

1 -ad ré8

1 -ad része. Így a körív hossza: 8

r 2π 25 ⋅ π 2 rπ 2 ⋅ 5 ⋅ π = ≈ 3,93 ; i ≈ 3,93 cm. A körcikk területe: = ≈ 9,82 ; T ≈ 9,82 cm2. 8 8 8 8

93


Mintapélda6 Határozd meg a térkép alapján Magyarország legnagyobb észak-déli kiterjedését! A Föld átmérője 12 756 kilométer.

Megoldás: Méréssel és számítással megállapítjuk, hogy hazánk az északi szélesség 45°48' és 48°35' között helyezkedik el.

Az ábrán látható, hogy a feladat egy

12756 = 6378 km sugarú körben 2

a körív hosszának kiszámítása, amely 48°35'– 45°48' = 2°47' = 2,783° fokhoz tartozik. Ez

6378 ⋅ π ⋅ 2,783° ≈ 309,8 ; i ≈ 309,8 km. 180°

94


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda7 Az ábrán egy sajtszelet képe látható, felülről és oldalról körberajzolva eredeti nagyságában. a) Mekkorák az egész sajt henger alakú dobozának méretei (átmérő, magasság, térfogat)? A csomagolópapír vastagsága elhanyagolható, a méreteket méréssel határozzuk meg. b) Mekkora a szelet oldalát határoló csomagolópapír területe?

c) 2x3x5 doboz sajtot egy kartonba csomagolunk (5 réteg egymás tetején). Mekkorák a karton belső méretei, és a karton térfogatának hány százalékát nem tölti ki a sajt? Megoldás: a) Az ábráról méréssel megállapítjuk, hogy a körcikk sugara 5,5 cm, középponti szöge 60°, a sajtszelet magassága 2 cm. A henger alakú doboz méretei tehát: átmérője 11 cm, magassága 2 cm, térfogata r 2 ⋅ π ⋅ m = 5,5 2 ⋅ π ⋅ 2 ≈ 190 ; V ≈ 190 cm3. b) A szelet oldalát határoló csomagolópapír olyan téglalap, melynek egyik oldala 2 cm, másik

oldala

a

körszelet

2 rπ ⎛π ⎞ + 2r = r ⎜ + 2 ⎟ ≈ 6 ⎝3 ⎠

kerületével

egyenlő.

A

körszelet

16,8 (cm), a csomagolópapír területe

kerülete

2 ⋅ 16,8 = 33,6 ;

T = 33,6 cm2.

c) A kartondoboz méretei 22 cm x 33 cm x 10 cm, térfogata 22 ⋅ 33 ⋅ 10 = 7260 cm3. A dobozban tárolt sajt térfogata 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 190 = 5700 cm3. A kérdéses arány százalékban

7260 − 5700 ⋅ 100 ≈ 21,5 %. 7260

95


Mintapélda8 Egy pizzériában 3-féle pizza kapható: családi (41 cm átmérőjű, 1500 peták), nagy (32 cm átmérőjű, 1100 peták) és szelet (a nagy nyolcada, 190 peták). a) Keressünk olyan mennyiséget, amelyből kiderül, hogy melyik pizzát éri meg megvenni a legjobban (mennyiségtől függetlenül)! b) Egy 33 fős rendezvényre nagy tételben rendeltünk. Ekkor a pizzéria 7 %-ot engedett a családi, 11%-ot a nagy és 20%-ot a szelet árából. Hogyan vásároljunk, ha a lehető legkevesebbet akarjuk költeni, és a következőket tudjuk: egy ember a kis szeletből 5 darabot eszik meg, a nagy pizzából 3 ember fogyaszt el kettőt, a családiból pedig 5 embernek 2 pizza is elég. Mennyibe fog kerülni a pizza összesen? Megoldás:

a) A szelet 1,89 Ft/cm2, a nagy 1,37 Ft/cm2, a családi 1,14 Ft/cm2, így látható, hogy a családi éri meg jobban. b) A csökkentés után az árak: 1,51 Ft/cm2, 1,22 Ft/cm2 és 1,06 Ft/cm2. Az egy főre eső pénz a szeletből 190 ⋅ 0,8 ⋅ 5 = 760 (peták), a nagyból családiból

2 ⋅ 1100 ⋅ 0,89 = 653 (peták), a 3

2 ⋅ 1500 ⋅ 0,93 = 558 (peták). Az első 30 embernek 12 családit kell venni, 5

a fennmaradó 3 főnek 2 nagyot. Összesen 12 ⋅ 1500 ⋅ 0,93 + 2 ⋅ 1100 ⋅ 0,89 = 18698 , vagyis az eredmény 18698 peták.

Mintapélda9 Mekkora az ábrán látható kék rész területe, ha a körök sugara egyaránt 5 cm? Megoldás:

A kérdéses terület felosztható 12 egybevágó körszeletre. A körszelet területe egyhatod kör, és a bele írható szabályos háromszög területének különbsége: t=

(

)

r2 3 r2 1 2 r π− = 2π − 3 3 . 6 4 12

12 ilyen körszeletből áll a kérdéses terület, ezért a nagysága

(

)

T = 12t = r 2 2π − 3 3 ≈ 27,2 ; T ≈ 27,2 cm2.

96


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda10 Üres, kerek műanyag poharat (kefires, nagy tejfölös pohár stb.) szájával lefelé helyezzük síklapra, és rajzoljuk körül! Ezt a kört pirossal jelzi az ábra. Ezután ugyanezzel a pohárral, ugyanezzel a módszerrel rajzoljunk a piros kört érintő sárga kört! Majd rajzoljunk újabb sárga kört, amelyik érinti a piros kört is, és a már megrajzolt sárga kört is! Így haladjunk körbe a piros kör körül, míg az utolsó sárga kör érinti vagy metszi az első sárga kört! Hány sárga kört tudunk így rajzolni a piros kör köré? És ha nagyobb vagy kisebb pohárral kísérletezünk? Ismételjük meg ugyanezt a kísérletet a gömbfelületen! Hány sárga kört tudunk így rajzolni a piros kör köré? És ha nagyobb vagy kisebb pohárral kísérletezünk? Megoldás: Síkon a sárga körök száma mindig hat, akár kicsi, akár nagy a választott kör sugara. Gömbön általában az utolsó kör nem érinti, hanem metszi az első kört. Néhány különleges, kitüntetett esetben az utolsó kör érinti az elsőt, mint a síkon, de ilyen esetben a sárga körök száma mindig kisebb hatnál. •

Ha a gömbi kör sugara körülbelül 31,7 gömbi lépés, akkor öt sárga kör veszi körül a piros kört az ábra szerint.

•

Ha a sugár 45 gömbi lépés, akkor négy sárga kört rajzolhatunk.

•

Ha a sugár körülbelül 70,5 gömbi lépés, akkor hármat; ebben az esetben a négy kör közül bármelyik érinti a másik hármat. Helyzetük teljesen szimmetrikus, akármelyiket tekinthetjük „pirosnak”, és a másik hármat „sárgának”.

•

Ha a körök sugara 60 gömbi lépés, akkor három gömbi kört kapunk, amelyek páronként érintik egymást, tehát itt is bármelyiket tekinthetjük „pirosnak” és a másik kettőt „sárgának”.

•

Végül, ha a sugár 90 gömbi lépés, akkor a két érintő kör egybeesik, és egyetlen körré, főkörré válik. Az érintés helyett tehát teljes egybeesést kapunk.

97


Feladatok 7. Szerkeszd meg az ábrákon szereplő mintákat!

8. Mennyit kell repülni, hogy Budapestről az egyenlítőig jussunk, az egyenlítőre merőle-

ges úton? Budapest az északi szélesség 47°28'56''-án található, a Föld sugara 6378 km. 9. Mekkora középponti szög tartozik ahhoz a körcikkhez, amely a kör területének 70%-át

befedi? 10. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit!

r

10 cm

e

120 mm

12,6 cm

15,1 cm 0,3 m

p

118 cm 3,88 m

21,6 cm

11. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit!

r

1 cm

R

12 mm

T

2,6 cm

3,5 m

a 15,1 cm

30 cm2

18,8 m2

21,6 cm

p b

q

12. Az ábrán látható két szakasz ugyanazon kör két húrja. Szerkeszd meg a kört!

98


TANULÓK KÖNYVE

13. Egy kör alakú udvarnak a közepére napórát szeretnének állítani. Hogyan található meg

az a pont, ahol a napóra botját bele kell döfni a földbe? Hogyan kapható meg (készíts vázlatot, szerkeszd meg)? 14. r a kör sugarát, p a kör középpontjának és egy külső pontnak a távolságát jelöli. Szer-

keszd meg a pontból a körhöz húzott érintőket, ha a) r = 3 cm, p = 6 cm;

b) r = 5 cm, p = 8 cm.

15. Egy 1,2 m sugarú kerek asztalra szabályos háromszög alakú terítőt szeretnénk tenni

úgy, hogy éppen elfedje az asztalt (a terítő sarkai oldalt lelógnak). Mekkora területű rész lóg le? Hány százaléka ez a terület az egész terítő területének? 16. Egy 1,2 m oldalú, szabályos háromszög alakú asztalra a lehető legnagyobb kör alakú

terítőt szeretnénk tenni úgy, hogy ne lógjon le (az asztal egy részére nem jut terítő). Mekkora területű rész nincs lefedve? Hány százaléka ez a terület az egész asztal területének? 17. Mekkora sugarú körből vághatunk ki egy olyan húrtrapézt, amelynek alapjai 18 és 12

cm, magassága 10 cm? A kör területének hány százaléka a kör trapézon kívüli területe?

18. Hány százaléka a színezett rész területe a szabályos há-

romszög területének?

19. Mekkora felületű az alagút bejárata (a két félkör közötti

rész), ha a kisebb kör sugara 10 m, a nagyobb kör sugara 12,7 m?


99

20. Mennyivel fordul el a C kör, ha az A kör elfordul…

a) 60°-kal, és r1 = 3 cm, r2 = 6 cm, r3 = 6 cm ; b) 80°-kal, és r1 : r2 : r3 = 3 : 4 : 5 ; c) 100°-kal, és r1 = 1cm, r2 = 4 cm, r3 = 10 cm ; d) 140°-kal, és r1 : r2 : r3 = 8 : 7 : 5 ?

21. Mekkora az ábrákon látható színezett rész területe és kerülete, ha a körök sugara egy-

aránt 15 cm.

Oldjuk meg akkor is a feladatot, ha a sugár: r. (Az utolsón a kereszt

négyzetekből épül fel.)

22. Mekkora az ábrákon látható színezett rész területe és kerülete, ha a négyzet oldala 12

cm. Oldjuk meg akkor is a feladatot, ha az oldal hossza: a.

23. Az ábrán látható háromszög egyenlőszárú, derékszögű. Válaszolj a következő kérdé-

sekre: a) Hány százaléka a háromszög területének a zöld rész területe? b) Hány százaléka a sárga rész az egész kör területének?

100


TANULÓK KÖNYVE

24. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! Középponti szög Sugár

3 cm

12 cm

Körív

7,4 cm

60 cm

Körcikk területe

2,5 cm

6 mm

140°

68°

105 mm

26 mm

29°

123°

10 cm 15 cm2

20 mm2

10 cm2

320 cm2

26 cm2

25. Mekkora területet hagyunk el a 10 cm oldalú szabályos

háromszögből, ha 1 cm sugarú körökkel lekerekítjük az ábrán látható módon? Mekkora az új síkidom kerülete?

26. Adott egy kör PQ átmérője, és legyen R a körvonal bármely más pontja. PR szakaszt

hosszabbítsuk meg önmagával R-en túl, és a kapott végpontot jelölje S. Mekkora az SQ szakasz hossza, ha a kör sugara 5 cm?

27. Két egymást érintő kör köré olyan kört írunk, amely mindkettőt

érinti, és középpontja a két kör középpontját összekötő egyenesen helyezkedik el, és a sugara 8 cm. Mekkora a belső körök sugarainak szorzata, ha a színezett rész területe 30π?

28. Mekkora az ábrán látható α szög nagysága, ha O a kör

középpontja, OQR szabályos háromszög, továbbá Q és R a PS szakasz harmadoló pontjai ?


29. Egy golyó sugara 6 cm. Mekkora a golyókat körbekerítő, színe-

zett vonal hossza?

30. Mekkora a színezett rész területe, ha a kör sugara 18 cm, A és B az

ív harmadoló pontja?

31. Péter számítógéppel ábrát készít: egy körnek és egy szabályos

háromszögnek a közös részét szerkeszti meg. a) Mekkora a területe a közös résznek, ha a kör a háromszöget oldalának harmadoló pontjaiban metszi, és a kör sugara 15 cm? b) Mekkora a színezett rész kerülete?

32. Egy vasúti kocsira hordót rögzítenek az

ábrán látható módon. A vasúti kocsi szélessége 3 méter, és a rögzítő kötél a vasúti kocsi síkjával 60°-os szöget zár be. a) Készíts vázlatot a feladat megoldásához! b) Mekkora a hordó átmérője? c) Mekkora egy rögzítő kötél hossza?

33. A körforgalom útfelületének meghatározásához a következő

ábrán található távolságot mérik le. Hogyan számítható ki a terület? Mekkora ez a terület, ha a lemért távolság 42 méter?

101

102


TANULÓK KÖNYVE

III. Kerületi és középponti szögek Ha adott az AB szakasz és azon kívül egy P pont, akkor P-ből az AB szakaszt APB szögben látjuk. Az APB szöget az AB szakasz P ponthoz tartozó látószögének nevezzük. A P pontból az AB szakasz α szögben látszik.

A Thalész-tétel szerint, ha az átmérő két végpontját összekötjük a körvonal bármely más pontjával, ott derékszög keletkezik. Ez azt jelenti, hogy a körvonal bármely pontjából (kivéve az átmérő végpontjait) az átmérő derékszögben látszik. Vajon másik húrnál is hasonló a helyzet, vagyis ott is egyenlő szögek keletkeznek a körvonalnál?

Kerületi szögnek nevezzük azt a konvex szöget, amelynek csúcspontja a körvonalon helyezkedik el, szárai pedig a kör húrjait tartalmazzák.

A kerületi szög mindig egy adott ívhez tartozik: az ABC kerületi szöghöz az az AB ív,

amelyiken nincs rajta a C pont. Egy ívhez egyetlen középponti szög, és végtelen sok kerületi szög tartozik. Speciális helyzetű az érintőszárú kerületi szög, amelynek csúcsa a körvonalon van, egyik szára tartalmazza a kör húrját, másik szára pedig a szög csúcspontjához tartozó körérintő.


103

A félkörhöz tartozó középponti szög 180°, a Thalész-tétel szerint a kerületi szög 90°, azaz a középponti szögnek éppen fele a kerületi szög. Arra keressük a választ, hogy ez az összefüggés csak a félkörívre igaz, vagy más körívek esetén is?

Mintapélda11 Jelöljük be a következő ábrákon az adott ívekhez tartozó középponti szöget és legalább három kerületi szöget (az érintőszárút is)! Mérjük meg, hogy mekkora nagyságú az egy ívhez tartozó kerületi és középponti szög! Keressünk kapcsolatot a mért adatok között!

Megoldás:

A tapasztalatok szerint: Kerületi és középponti szögek tétele: egy adott íven nyugvó kerületi szög fele az ugyanazon ívhez tartozó középponti szögnek.

104


TANULÓK KÖNYVE

Kerületi szögek tétele: egy adott ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők.

További következmények: •

Egy körben az egyenlő ívekhez egyenlő kerületi szögek tartoznak.

•

Az ívhossz egyenesen arányos a kerületi szöggel.

•

Thalész-tétel: ha a középponti szög 180° , akkor a hozzá tartozó kerületi szög 90° . Ez

a kerületi és középponti szögek tételének speciális esete. Ezért egy szakasz Thalészköre azon pontok halmaza a síkon, amelyekből a szakasz derékszögben látszik.

Mintapélda12 6 cm sugarú körben egy körcikk területe 6π cm2. Mekkora az ívhossz, a középponti és a kerületi szög nagysága? Ábrázoljuk is az ívet és a szögeket! Megoldás: ) ) i ⋅ r r ⋅α ⋅ r r 2 ⋅α = = , így a köA körcikk területe: T = 2 2 2 ) 2T 12π π = . A kerületi szög ennek a zépponti szög α = 2 = 36 3 r

fele:

π 6

, az ívhossz 6 ⋅

π 3

= 2π cm.

Mintapélda13 A háromszög egyik szögfelezője a D pontban metszi a köré írt kört. Mutassuk meg, hogy a D pont éppen felezi a másik két csúcs által meghatározott körívet! Megoldás: A CD és a DB ívekhez tartozó kerületi szögek egyenlők, és egyenlő kerületi szögekhez egyenlő ívek tartoznak. Ezért D a BC ív felezőpontja.

105


Feladatok 34. Egy 6 cm sugarú körben mekkora ívmértékű és fokú középponti és kerületi szög tarto-

zik ahhoz az ívhez, amelynek hossza… a) π;

b)

3 π; 2

c) 6 π;

d)

8 π; 3

e) 9 π;

f)

15 π? 2

35. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! Ábrázold a kerületi és a középponti szögeket is! A

kör sugara 3 cm. 7π cm 2

Ívhossz Középponti

π

szög

3 5π 4

Kerületi szög

Ábra

36. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! Ábrázold a kerületi és a középponti szögeket is!

A kör sugara 12 cm. Körcikk

90π cm2

területe Középponti

π

szög

4

Kerületi szög

Ábra

3π 4

106


TANULÓK KÖNYVE

37. A kör területének hány százaléka az a körszelet, amelyet az α kerületi szöghöz tartozó

ív vág le, ha α nagysága

a) 30°;

b) 45°;

c) 60°?

38. Mekkora a 24 cm átmérőjű kör középpontjának és a húrnak a távolsága, ha a húrhoz

tartozó kisebbik íven nyugvó kerületi szög nagysága a)

π 3

;

b)

π 2

;

c)

π 6

;

d)

π 4

?

39. Egy körben a 40°-os középponti szöghöz 5 cm hosszúságú ív tartozik.

a) Mekkora kerületi szög tartozik a 12 cm-es ívhez? b) Mekkora ívhossz tartozik a 70°-os kerületi szöghöz?

40. Mekkora a γ szög nagysága, ha r a kör sugara, és tudjuk,

hogy a) a=b=r;

b) c=r;

c) c= 2r ;

d) a=r, és b=2r?

41. Mekkora a színezett rész területe, ha a kisebb kör

sugara 18 cm, és α = 60°, β = 45° ?

42. Az ABC háromszög köré írt kör C-t nem tartalmazó AB ívének felezőpontja P, a há-

romszögbe írt kör középpontja O. Milyen specialitása van az AOP háromszögnek?

43. Egy kör P pontjából kiindul PQ átmérő, és a vele 30°-os szöget bezáró PR húr. A kör

R-beli érintője a PQ-nak a Q ponton túli meghosszabbítását S-ben metszi. Készíts vázlatot a feladathoz! Mekkora a QS szakasz hossza?


107

44. Igazold, hogy a háromszög belső szögfelezője és a szemközti oldalhoz tartozó oldalfelező merőleges a köré írt körön metszi egymást! 45. Az ABC háromszög mb és mc magasságát hosszabbítsd meg a háromszög köré írt körig,

a metszéspontokat jelölje P és Q! Bizonyítsd be, hogy a PA ív hossza megegyezik a QA ív hosszával! 46. Az ABC háromszögben az mb és mc magasságvonalak köré írt körrel való metszéspont-

ját jelölje P és Q. Igaz-e, hogy az A csúcsból a PQ húrra állított merőleges átmegy a kör középpontján? 47. Hosszabbítsd meg a háromszög magasságait a köré írt körig, jelölje a metszéspontokat

P, Q és R. A PQR háromszögnek milyen vonalai lesznek az eredeti magasságvonalak? 48. Két kör kívülről érinti egymást az E pontban. Húzz E-n keresztül két szelőt a körök-

höz. Milyen négyszöget határoznak meg a szelők és a körök metszéspontjai?

Azonos íven nyugvó gömbháromszögek tétele (kiegészítő anyag)

Síkon a kerületi szögek tétele szerint a kerületi szög feleakkora, mint az ugyanahhoz a körívhez tartozó középponti szög. Láttuk, hogy ez a tétel így nem igaz a gömbön. Könnyen beláthatjuk (például kísérletezéssel), hogy a látószögek tétele sem igaz: azonos ívhez tartozó kerületi szögek a gömbön nem feltétlenül egyenlők egymással. Lássunk most olyan gömbi tételt, ami háromszögekkel, körökkel és kerületi szögekkel kapcsolatos! Rajzolj egy kört a gömbre, és rajzolj bele olyan háromszöget, amelynek belsejébe esik a kör középpontja! Kösd össze a csúcsokat a körközépponttal, és jelöld a szögeket az ábra szerint! Kérdés: Miért jelölhettük azonos betűkkel a kisebb háromszögek bizonyos szögeit? Szerkeszd meg most a háromszög egyik oldalához illeszkedő kiegészítő háromszögét! Az ábrán zöld szín jelöli ezt a BC oldalt. Kérdés: Mennyi a kiegészítő háromszög belső szögeinek összege?

108


TANULÓK KÖNYVE

Megoldás: A zöld oldal túloldalán levő két szög mértéke 180° − α − β , illetve 180° − α − γ . A harmadik, az ábrán a gömb túloldalára eső szög pedig β + γ , hiszen annak a gömbkétszögnek a másik szöge, amelynek egyik szöge az eredeti háromszög β + γ szöge. Ezek szerint a kiegészítő háromszög belső szögeinek összege:

(180° − α − β ) + (180° − α − γ ) + (β + γ ) = 360° − 2α . Most következik a legnehezebb kérdés: Mit jelent ez az eredmény? Azt jelenti, hogy a kiegészítő háromszög szögösszege csakis a körtől és a háromszög zöld oldalától függ, mert ezek már meghatározzák az α szöget. A kiegészítő háromszög szögösszege attól nem függ, hogy a háromszög harmadik, az ábrán A-val jelölt csúcsát hol vesszük fel a BAC köríven!

Feladatok 49. Mi történik, ha a háromszöget másféleképpen vesszük fel a körben? 50. Síkon érvényes-e a kiegészítő háromszög szögösszegéről szóló tétel?

Kerületi szögek tétele a gömbön (kiegészítő anyag) Síkon a kerületi szögek tétele szerint a kerületi szög feleakkora, mint az ugyanahhoz a körívhez tartozó középponti szög. Megfogalmazható-e egyáltalán a tétel a gömbön? Léteznek-e mindazok a fogalmak a gömbi geometriában, amelyek a síkon a tételhez szükségesek voltak? Ha nem, akkor nem is érdemes tovább próbálkozni. Ha léteznek ezek a fogalmak, mondd ki a kerületi és középponti szögekre vonatkozó állítást a gömbi geometriában! (Nem tételt, hiszen még nem tudjuk, igaz-e vagy sem.) Kísérletezz a gömbön! Igaz-e az állítás vagy sem? Ha igaz, lehet-e ugyanúgy bizonyítani, mint a síkon? Ha nem igaz, akkor a síkbeli bizonyításnak melyek azok a lépései, amelyek nem vihetők át a gömbre? Ha nem igaz, akkor teljesen menthetetlen-e, vagy van olyan része, ami a gömbön is igaz marad? Ki tudunk-e mondani bármilyen igaz tételt a gömbön a kerületi és középponti szög viszonyáról?


109

Minden szükséges fogalom létezik a gömbön, amely a tétel állításához szükséges. A gömbi állítás tehát a következő lenne: Tetszőleges gömbi kör tetszőleges ívénél a kerületi szög feleakkora, mint az ugyanahhoz az ívhez tartozó középponti szög. Igaz-e ez az állítás a gömbön? Kísérletezzünk! Pici gömbi körök nagyon hasonlítanak a síkbeli körökhöz, és nem mutatják jól a síkbeli és gömbi kör közötti különbségeket. Érdemes tehát jó nagy gömbi körökkel próbálkozni. A gömbi Thalész-háromszögnél, ahol a körülírt kör közepe az egyik oldal felezőpontja, ez az állítás annyit jelentene, hogy a gömbi Thalész-háromszög kerületi szöge mindig fele lenne a 180°-os középponti szögnek, vagyis 90°-nak kellene lennie. Ilyen köröknél jól látszik, hogy a kerületi szög nagyobb 90°nál. Az alábbi ábra gömbi Thalész-háromszögében a kerületi szög 120°! A gömbön az állítás tehát hamis. Hol bukik meg a síkbeli bizonyítás? Ott, ahol a háromszög belső szögeinek összegét 180°nak tekintjük. Gömbön ez nem igaz. Csak annyit mondhatunk, hogy nem elfajult háromszögben a középponti szög nagyobb, mint a hozzá tartozó kerületi szög, de kisebb, mint a kerületi szög kétszerese.

Feladat 51. Láttuk, hogy síkon a középponti szög mindig pontosan kétszerese a hozzá tartozó kerü-

leti szögnek, a gömbön viszont a kétszeresénél egyre kisebb és kisebb, ahogyan a kisebb köröktől a nagyobbak felé haladunk. Mire elérjük a legnagyobb kört, a főkört, a középponti szög már éppen akkora lesz, mint a hozzá tartozó kerületi szög. Ha létezne olyan, harmadik geometria, amelyik mindig ellenkező módon térne el a síktól, mint a gömb, akkor ebben a harmadik geometriában hányszorosa lenne a középponti szög a kerületi szögnek?

110


TANULÓK KÖNYVE

IV. Látókör Tudjuk már, hogy egy adott húr a körvonal végtelen sok pontjáról látszik egyenlő szögben. Felmerül a kérdés: ha adott egy szakasz, akkor a sík milyen pontjaiból látszik adott α szögben ez a szakasz?

Mintapélda14 Adott az AB szakasz. Szerkesszük meg azon pontokat a síkon, amelyekből az AB szakasz 30°-os szögben látszik! Megoldás: A megoldás matematikai hátterét az adja, hogy a kerületi szögeknél megtanultuk: adott ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők és feleakkorák, mint a húrhoz tartozó középponti szög. Tehát AB szakaszt egy kör húrjaként felfogva, ahhoz 60°-os középponti szög tartozik. Készítsünk vázlatot! Látható, hogy a kör középpontját úgy szerkeszthetjük meg, hogy az AB szakaszra szabályos háromszöget szerkesztünk. A szakasz másik oldalára is megszerkeszthetjük a kört. Végül kiemeljük azokat a köríveket, amelyek eleget tesznek a feltételnek. Látókörívnek nevezzük azon pontok halmazát a síkon, amelyekből egy adott szakasz ugyanakkora szögben látszik.


111

Mintapélda15 Az AB szakasz a kör egy pontjából 60°-os szögben látszik. Határozzuk meg, hogy mekkora szögben látszik a másik ívéről! Megoldás: Mivel a kör egy adott ívéről egyenlő nagyságú szögekben látszik a szakasz, az egyszerűség kedvéért nézzük a szimmetrikus helyzetet. Legyen P az AB szakasz felezőmerőlegesének a köríven levő pontja. Az APQ szög 30°-os. Thalész tétele miatt a PAQ szög 90°, vagyis APB szög 60°. A szimmetriából adódik, hogy a másik ívről 120°-os szögben látszik az AB szakasz. Ez általánosan is igaz.

Ha egy húr a kör egyik ívének pontjaiból α szögben látszik, a másik ív pontjaiból 180° – α szögben.

Mintapélda16 Egy háromszög két oldala a köré írt kör középpontjából 140°, illetve 160°-os szögben látszik. Mekkora szögben látszanak az oldalak a köré írt kör pontjaiból? Megoldás: A vázlat felrajzolása után látszik, hogy a 140°-os szög középponti szög, és tudjuk, hogy a hozzá tartozó kerületi szög a fele, vagyis β = 70° . A kör másik ívéről 180° − β , azaz 180° − 70° = 110° -os szögben látszik az oldal. Hasonlóan a középpontból 160°-ban látható oldal a kör pontjaiból 80° és 100°-os szögekben látszik. A harmadik középponti szög 360° − (160° + 140°) = 60° , a hozzá tartozó két szög 30°és 150°. Általános esetben a látókör megszerkesztéséhez felhasználjuk az érintőszárú kerületi szöget és azt, hogy a sugár merőleges az érintési pontba húzott érintőre.

112


TANULÓK KÖNYVE

Az AB szakasz α szögű látókörét a következő lépésekben szerkesztjük meg: 1. A szakasz egyik végpontjából felmérjük az α szöget (kapjuk e félegyenest). 2. e-re merőlegest állítunk a szakasz végpontjában (kapjuk g félegyenest). 3. Megszerkesztjük a szakasz felezőmerőleges egyenesét (f egyenes). f és g metszéspontja adja az egyik kör középpontját (O1), amelyet tükrözve a szakasz egyenesére, kapjuk a másik kör középpontját (O2). 4. A köröket megrajzoljuk, és kiemeljük az α szöghöz tarozó látóköríveket.

Mintapélda17 A térképen két hegycsúcsot és egy utat jelöltünk meg. Szeretnénk lefotózni az útról a két csúcsot úgy, hogy azok egy képre kerüljenek, és a két hegyen kívül eső részekből minél kevesebb essen a képre. Tudjuk, hogy az objektív látószöge 62°. Keressünk az úton olyan helyeket, ahonnan valószínűleg elkészíthető a kép.

Megoldás: Megszerkesztjük a 62°-hoz tartozó látókört. A látókör és az út vonalának metszéspontjai (A és B pontok) adják a keresett helyeket.

113


Feladatok 52. Szerkeszd meg azokat a pontokat a síkon, amelyekből az AB szakaszt α szögben

látod! a) AB = 3 cm; α = 45°;

b) AB = 4,5 cm; α = 90°;

c) AB = 6 cm; α = 120° .

53. Egy háromszög két szöge α és β. Mekkora szögben látszódnak az oldalak a köré írt kör

középpontjából, ha a) α = 50°; β = 76° ; c) α =

π 2π , β= ; 9 6

b) α = 15,8°; β = 34,6°; d) α =

3π 5π , β= ? 8 16

54. Egy körben a 12 cm-es ívhez 43°-os kerületi szög tartozik. Mekkora középponti szög

tartozik ahhoz az ívhez, melynek hossza… a) 10 cm;

b) 2 dm;

c) 150 mm;

d) 10,4 cm;

e) 80,7 cm?

55. Egy háromszög csúcsai a köré írt kört 4:5:7 arányban osztják. Mekkora szögben lát-

szanak az oldalak a köré írt kör pontjaiból? 56. Mekkora szögben látszanak a szabályos nyolcszög oldalai és átlói a köré írható kör

pontjaiból? Sorold fel az összes szöget! 57. Adottak az A és B pont egymástól 6 cm-re. Szerkesszük meg egy ábrába azokat a pon-

tokat, amelyekből az AB szakasz 30°-ban, 45°-ban, 60°-ban, illetve 90°-ban látszik! Hol metszik egymást ezek a ponthalmazok? 58. Adott az ABC szabályos háromszög. Szerkeszd meg a BC és AC oldal azon pontjait,

amelyekből az AB oldal derékszögben látszik! Milyen szögben látszódhat AB az AC oldal pontjaiból? 59. Egy 22 méter széles folyó egyenes szakaszának egyik partján áll két fa, egymástól

38 méterre. Keressük a másik partnak azokat a pontjait, ahonnan a két fa 35°-os szögben látszik. Szerkeszd meg a pontokat! 60. Egy pontból a körhöz húzott érintők 75°-os szöget zárnak be egymással. Mekkora

szögben látszódik az egyik érintő a körvonal pontjaiból? 61. Szerkessz háromszöget, ha adott egy oldala, a vele szemközti szöge és az adott oldal-

hoz tartozó magasság!

114


TANULÓK KÖNYVE

V. Húrnégyszög, érintőnégyszög Húrnégyszögnek nevezzük az olyan négyszögeket, amelyeknek oldalai egy kör húrjai.

A húrnégyszögek éppen azok a négyszögek, amelyek köré kör írható. Érintőnégyszögnek nevezzük azokat a négyszögeket, amelyeknek oldalai egy kör érintői.

Az érintőnégyszögekbe tehát kör írható, amely minden oldalukat érinti.

Mintapélda18 Adott a síkon egy húrnégyszög három csúcsa: A, B és C pont. A negyedik csúcs az A és B pontoktól egyenlő távolságra van. Szerkeszd meg a húrnégyszöget! Megoldás:

A negyedik csúcs az ABC háromszög köré írható kör és az AB szakasz felezőmerőlegesének metszéspontja.

Feladatok 62. Töltsd ki az ábrát a speciális négyszögek megfelelő helyre történő berajzolásával!


115

63. Válaszd ki, hogy melyik állítás igaz, melyik hamis!

a) Minden trapéz húrnégyszög. b) Minden trapéz érintőnégyszög. c) Minden rombusz húrnégyszög. d) Minden rombusz érintőnégyszög. e) Az érintőnégyszögek mindig rendelkeznek szimmetriatengellyel. f) Csak az a téglalap húrnégyszög, amelynek rövidebbik oldala kétszerese a hosszabbik oldalnak. g) A paralelogramma csak akkor érintőnégyszög, ha rombusz. h) Van olyan deltoid, amelyik húrnégyszög. i) Minden érintőnégyszög trapéz.

64. Szerkessz szimmetrikus trapézt, melynek hosszabbik alapja 10 cm, rövidebbik 6 cm, és

a szárak a hosszabb alappal 60°-os szöget zárnak be! Szerkeszd meg a köré írt körét!

65. Mikor mondhatjuk egy rombuszról, hogy húrnégyszög? És egy deltoidról?

116


TANULÓK KÖNYVE

A húrnégyszögek tétele és az érintőnégyszögek tétele (kiegészítő anyag)

Az előző részben találkoztunk azzal, hogy ha egy szakasz α szögű látókörét megszerkesztjük, akkor a látókör másik ívéből a szakasz 180° − α szögben látszik. Ez azt jelenti, hogy a húrnégyszögekre megfogalmazhatunk egy tételt.

Húrnégyszögek tétele: a húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180°.

Igazolható az állítás fordítottja is. A húrnégyszögek tételének megfordítása: ha egy konvex négyszögben a szemközti szögek összege 180°, akkor az a négyszög húrnégyszög.

Összefoglalva: egy konvex négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180°. A tétel bizonyítása a kislexikon után található.

Mintapélda19 D, Q, R és S egy kör tetszőleges pontjai. Az ábrán a PQ és SR szelők egyeneseit elmetsszük

egy PS húrral párhuzamos AB egyenessel. Húrnégyszög-e a QABR négyszög? Megoldás: ennek eldöntéséhez megvizsgáljuk a QABR

szögeit. Ha sikerül belátni két szemközti szögéről, hogy összegük 180° , akkor a húrnégyszögek tételének megfordítása miatt QABR húrnégyszög. Jelöljük az ábra szerint α -val az A csúcsnál lévő szöget! AB és PS párhuzamossága miatt P-nél is található α szög

(váltószögek), ennek mellékszöge a négyszög P-nél levő szöge ( α ' = 180° − α ). PQRS húrnégyszög, a húrnégyszög-tétel miatt a négyszögben R csúcsnál α szög van, mellékszöge a QABR négyszög R csúcsnál található szöge: α ' = 180° − α . Tehát teljesül a húrnégyszögek

tételének megfordítása, így QABR húrnégyszög.

117


Az érintőnégyszögek oldalait lemérve megállapíthatjuk, hogy teljesül a következő tétel. Érintőnégyszögek tétele: az érintőnégyszögek szemközti oldalainak összege egyenlő.

A tétel megfordítása is igaz. Érintőnégyszögek tételének megfordítása: ha egy konvex négyszög szemközti oldalainak összege egyenlő, akkor az érintőnégyszög. Összefoglalva: egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha szemközti oldalainak összege egyenlő. A tétel bizonyítása a modul végén, a kislexikon után megtalálható.

ABCD érintőnégyszög

a+c=b+d

Feladatok 66. Mekkora az érintőnégyszög d oldala?

a) a = 6 cm, b = 10 cm, c = 8 cm ;

b) a = 1,6 cm, b = 2,9 cm, c = 3,2 cm ;

c) a = 6 dm, b = 104 cm, c = 6,2 dm ;

d) a = 16 dm, b = 390 cm, c = 3 m .

67. Döntsd el, hogy az alábbi kijelentések közül melyik igaz, melyik hamis! Indokold is a

döntésedet! a) Minden deltoid érintőnégyszög. b) Minden paralelogramma érintőnégyszög. c) Minden rombusz érintőnégyszög. d) Ha egy hegyesszögű háromszög magasságpontját tükrözzük az egyik oldalra, a tükörkép és az eredeti háromszög által meghatározott négyszög húrnégyszög. 68. O az ABCD érintőnégyszögbe írható kör középpontja. Az O ponton keresztülhaladó,

AB oldallal párhuzamos egyenes BC oldal P, AD oldalt R pontban metszi. Határozd

meg az ABCD és a CPRD négyszögek kerületeinek arányát, ha AB = 12 cm, BC = 8 cm, CD = 7 cm.

118


TANULÓK KÖNYVE

69. Az ACB háromszög köré írt körének A-beli érintőjével párhuzamos egyenes az

AC oldalt P, AB oldalt R pontokban metszi. Igazold, hogy BCPR húrnégyszög! 70. Milyen négyszög az ábrán látható ABCD négyszög?

71. Milyen specialitása van az ábrán látható BPR három-

szögnek, ha tudjuk, hogy BR az ABC háromszög köré írható kör B pontbeli érintője?

Húrnégyszög a gömbön (kiegészítő anyag) Síkon húrnégyszögnek nevezzük az olyan négyszöget, amelynek oldalai ugyanannak a körnek a húrjai, vagyis, amelyhez találhatunk olyan kört, amelyik átmegy a négyszögnek mind a négy csúcsán. Síkon igaz a következő tétel: Húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180°. Mivel a négyszögek szögösszege 360°, ezért az is igaz, hogy húrnégyszögekben a szemközti szögek összege egyenlő. Mi a helyzet a gömbön? Van-e értelme a gömbön is húrnégyszögekről beszélni?

Mintapélda20 Kísérletezz! Vannak-e húrnégyszögek a gömbön? Megoldás: Igen, a gömbön is vannak húrnégyszögek és nem-húrnégyszögek. Ha egy gömbi négyszög húrnégyszög, akkor mind a négy csúcsán ugyanaz a gömbi kör megy át.

Érdekes kísérlet mutatja a gömbi húrnégyszögek és nem-húrnégyszögek közötti különbséget. Ha egy gömböt egy síkkal elmetszünk, mindig kört kapunk. Ha narancshéjból kivágunk egy gömbi húrnégyszöget, és rátesszük az asztallapra, akkor a húrnégyszög nem billeg, hanem mind a négy csúcsa az asztallapon áll, mint az alábbi, bal oldali ábrán. Ha a négyszög nem húrnégyszög, akkor csak három csúcs érinti az asztalt – a négyszög billeghet az asztalon!


119

Igaz-e a gömbön is, hogy húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180°? Ha igaz, lehet-e ugyanúgy bizonyítani, mint a síkon? Ha nem igaz, akkor a síkbeli bizonyításnak melyek azok a lépései, amelyek nem vihetők át a gömbre? És ha nem igaz, akkor teljesen menthetetlen-e, vagy van olyan része, ami a gömbön is igaz marad? Ki tudunk-e mondani bármilyen igaz tételt a gömbi húrnégyszögekről? A gömbnégyszög szögösszege több, mint 2·180° = 360°. Ebből következik, hogy a szemközti szögek összege nem lehet 180°, mert akkor a négyszög szögösszege 360° lenne. Az állítás tehát ebben a formában nem igaz. Igaz marad viszont a gömbön is, hogy húrnégyszögben a szemközti szögek összege egyenlő egymással (ha nem is 180°-kal!). Ezt legkönnyebben úgy láthatjuk be, ha a húrnégyszög csúcsait összekötjük a kör középpontjával. Négy egyenlőszárú gömbháromszöget kapunk, amelyekben a szárak hosszúsága mindenütt a kör ’r’ sugarának hosszával egyenlő. Mindegyik egyenlőszárú háromszögben az alapon fekvő szögek egyenlők egymással. Látható, hogy a négyszög szemközti szögeiben mind a négyféle, az alapokon fekvő szög egyszer előfordul, az összegük tehát ( α + β + γ + δ )-val egyenlő, vagyis a szemközti szögek összege itt is egyenlő egymással. Megjegyzés: a kör középpontja lehet, hogy a négyszögön kívül (illetve egyik oldalán) van. A kimondott tétel ezekben az esetekben is igaz.

Feladatok 72. Síkon és gömbön: rajzoljunk húrnégyszöget, kössük össze

a csúcsait a kör középpontjával, és szerkesszünk a négy sugárra négy merőlegest! Így újabb négyszöget kapunk. Mit mondhatunk a szemben fekvő oldalak hosszáról – síkon és gömbön? Két segítő megjegyzés: Síkon is, gömbön is igaz, hogy az érintő mindig merőleges az érintési ponthoz tartozó sugárra. Igaz az is, hogy külső pontból az érintési pontokig húzott két szakasz egyenlő hosszú. 73. Láttuk, hogy a síkon a húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180°, a gömbön vi-

szont csak annyi igaz, hogy a szemközti szögek összege egyenlő egymással. Ha létezne olyan, harmadik geometria, amelyik mindig ellenkező módon térne el a síktól, mint a gömb, akkor ebben a harmadik geometriában mit mondhatnánk a húrnégyszög szemközti szögeinek összegéről?

120


TANULÓK KÖNYVE

Kislexikon Középponti szögnek nevezzük a kör két sugara által bezárt szöget.

Ha adott az AB szakasz és azon kívül egy P pont, akkor P-ből az AB szakasz APB szögben látszik. Az APB szöget az AB szakasz P ponthoz tartozó látószögének nevezzük. Kerületi szögnek nevezzük azt a konvex szöget, amelynek csúcspontja a körvonalon helyez-

kedik el, szárai pedig a kör húrjait tartalmazzák. A kerületi szög mindig egy adott ívhez tartozik.

Kétféle kerületi szög létezik. Az érintőszárú kerületi szög csúcsa a körvonalon van, egyik szára tartalmazza a kör húrját, másik szára pedig a szög csúcspontjához tartozó körérintő. Egy ívhez egyetlen középponti szög és végtelen sok kerületi szög tartozik. Kerületi és középponti szögek tétele: ugyanazon az íven nyugvó kerületi szög fele a közép-

ponti szögnek. Kerületi szögek tétele: egy adott körívhez tartozó kerületi szögek egyenlők. Ez a kerületi

és középponti szögek tételének következménye. Látókörívnek nevezzük azon pontok halmazát, amelyekből egy adott szakasz ugyanazon

szögben látszik. Ha egy húr a kör egyik ívéről α szögben látszik, a másik – a kiegészítő – ívéből 180° − α szögben. Megjegyzés: ha adott az AB szakasz és egy α szög

(0°< α <180°), akkor a sík azon pontjainak halmaza, amelyekből AB szakasz α szögben látszik, az AB-re szimmetrikus két körív. C-ből az AB szakasz α -nál nagyobb, D-ből α -nál kisebb

szögben látszik. Húrnégyszögnek nevezzük az olyan négyszöget, amelynek oldalai egy kör húrjai. A húr-

négyszögek éppen azok a négyszögek, amelyek köré kör írható.


121

Érintőnégyszögnek nevezzük azt a négyszöget, amelynek oldalai ugyanazon kör érintői.

Az érintőnégyszögbe tehát kör írható, amely a négyszög minden oldalát érinti. Érintőnégyszögek tétele és megfordítása: egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha két-két szemközti oldalának összege egyenlő. Húrnégyszög-tétel és megfordítása: egy konvex négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180°.

Tételek és bizonyítások Kerületi és középponti szögek tétele: ugyanazon az íven nyugvó kerületi szög fele a közép-

ponti szögnek. Bizonyítás:

A kerületi szögek többféle módon helyezkedhetnek el, és ezek szerint bizonyítjuk be az állítást. Az egyszerűbb esetekre a bonyolultabbaknál hivatkozni fogunk. 1. Ha a kerületi szög egyik szára áthalad a kör középpontján, akkor az ABO háromszögben β külső szög, így a külsőszög-tétel miatt

β = 2α .

2. Ha a kör középpontja a kerületi szög szögtartományának belső pontja, akkor a kerületi és a középponti szöget felbontjuk a kerületi szög csúcsából induló átmérővel, és visszavezetjük az előző esetre:

β = β 1 + β 2 = 2α 1 + 2α 2 = 2 ⋅ (α 1 + α 2 ) = 2α .

122


TANULÓK KÖNYVE

3. Ha a kör középpontja a kerületi szög szögtartományán kívül esik, szintén átmérőt húzunk a szög csúcsától, és az 1. esetre vezetjük vissza a számítást: β = β 1 − β 2 = 2α 1 − 2α 2 = 2 ⋅ (α 1 − α 2 ) = 2α .

Ez a három eset minden olyan kerületi szöget lefed, amelynek szárai a kör húrjai. Az érintőszárú kerületi szögeknek is van három esete.

4. Ha a kerületi szög hegyesszög, a kör középpontjánál keletkezik egy olyan szög, amely α -val merőleges szárú szögpárt alkot. Így a középponti szög most is 2α .

5. Ha a kerületi szög derékszög, akkor az egyik szár a kör érintője, a másik szár pedig a kör átmérője. Az érintő merőleges az átmérőre, ahol a középponti szög 180°-os.

6. Ha a kerületi szög tompaszög, a középponti szög kiszámítását a 4. esetre vezetjük vissza: az

α mellékszöge hegyesszög, ahhoz tartozó középponti szög 4. szerint β = 2 ⋅ (180° − α ) = 360° − 2α . Az α -hoz tartozó középponti szög: 360° − β = 360° − (360° − 2α ) = 2α .

Ezzel a bizonyítást befejeztük.

123


Tétel: Ha egy négyszög érintőnégyszög, akkor a szemközti oldalainak összege egyenlő.

Bizonyítás:

A négyszögbe kör rajzolható, amely érinti mind a négy oldalt. Felhasználva, hogy külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egyenlő, bejelöltük a csúcsoktól az érintési pontokig a szakaszokat. A szemközti oldalak hosszát összeadva: a + c = x + y + p + q⎫ ⎬ a + c =b + d . b + d = x + p + q + y⎭ Tétel: Ha egy konvex négyszög két-két szemközti oldalának összege egyenlő, akkor az érin-

tőnégyszög. Bizonyítás:

Adott egy négyszög, melynek oldalai rendre a, b, c és d, és igaz rá, hogy a + c = b + d . Szerkesszük meg azt a kört, amelyik érinti az a, b és d oldalakat (ez minden konvex négyszögben megtehető). Tételezzük fel, hogy az ABCD négyszög nem trapéz, azaz van két szemközti oldala, amelyek nem párhuzamosak. Legyen ez a d és b oldal. Az A és B csúcsok szögfelezőinek metszéspontja az O pont, amely körül biztosan szerkeszthető olyan kör, amelyik érinti az a, b és d oldalakat.

Indirekt módon tegyük fel, hogy a kör nem érinti a negyedik, c oldalt. Ekkor két lehetőség van: a c oldal vagy metszi a kört, vagy a körön kívül halad. Mindkét esetben lehet húzni a c oldallal egy c’ párhuzamost, amely érinti a kört. Az 1. esetben c > c' , mert b és d nem párhuzamosak, hanem

„összetartók”.

Ekkor

AD < AD' ,

d < AD' , és BC < BC ' , vagyis b < BC' .

vagyis

124


TANULÓK KÖNYVE

Az a + c = b + d helyett ekkor azt kapjuk, hogy a bal oldal csökken, a jobb oldal növekszik, vagyis AB + C'D' < BC' + AD' . Ekkor nem teljesülhet az eredeti feltétel, ellentmondásra jutottunk. A 2. esetben c < c' , mert b és d nem párhuzamosak, hanem

összetartók.

Ekkor

AD > AD' ,

vagyis

d > AD' , és BC > BC ' , vagyis b > BC ' .

Az a + c = b + d helyett ekkor azt kapjuk, hogy a bal oldal növekszik, a jobb oldal csökken, vagyis AB + C'D' > BC' + AD' . Ekkor nem teljesülhet az

eredeti feltétel, ellentmondásra jutottunk. Mindkét

esetben

ellentmondásra

jutottunk,

hiszen

az

ABC'D'

érintőnégyszögre

AB + C'D' = BC' + AD' egyenlőségnek kellene teljesülnie. Ebből az következik, hogy az

a kiindulási feltevésünk volt helytelen vagyis az, hogy ABCD négyszög szemközti oldalainak összege egyenlő, de az mégsem érintőnégyszög. A bizonyításban kihasználtuk, hogy a négyszög nem paralelogramma. Az állítás akkor is igaz, ha a négyszög paralelogramma, mert ha teljesül rá, hogy szemközti oldalainak összege egyenlő, akkor az csak rombusz lehet, ami pedig érintőnégyszög. Tétel: Bármely húrnégyszög két szemközti szögének összege 180°.

Bizonyítás: A tétel igazolásához az ábra húrnégyszögének két átellenes csúcsához meghúzzuk a sugarakat. Az α kerületi szöghöz a kerületi és középponti szögek tétele szerint 2α , γ kerületi szöghöz 2γ középponti szög tartozik. A középponti szögek együtt egy teljes szöget alkotnak: 2α + 2γ = 360° , így α + γ = 180° . Megjegyzés: A bizonyítás akkor is könnyen elvégezhető, ha O nem

az ABCD négyszög belső pontja.


125

Tétel: Ha egy konvex négyszög két szemközti szögének összege 180°, akkor az húrnégyszög.

Bizonyítás: Az ABCD négyszögről tudjuk, hogy szemközti szögeinek összege:

α + γ = 180° . A négyszög A, B és D csúcsai köré írunk egy kört, amiről belátjuk, hogy áthalad C csúcson is. A körvonal bármely P pontjából a BD átló 180° − α szögben látszik, mert a BADP húrnégyszög. Mivel a látókör az összes olyan pontok halmaza, amelyekből egy szakasz egy adott szög alatt látszik, a C pont a DPB körív egyik pontja kell legyen. (A másik köríven nem lehet a C pont, mert akkor az ABCD négyszög hurkolt lenne.)

5. MODUL Függvények Készítette: Csákvári Ágnes

128


TANULÓK KÖNYVE

I. Lineáris törtfüggvények 1. Lineáris függvények (ismétlés) Mintapélda1

Ábrázoljuk és jellemezzük az f ( x) = 2 x − 5 hozzárendeléssel megadott függvényt! Megoldás: Ábrázolása: 1. Az y tengelyt a −5 pontban metszi. 2. Ebből a pontból kiindulva a +2 meredekség miatt egy egységnyi jobbra haladás esetén 2 egységet lépünk felfelé az y tengely mentén. 3. A kapott két pontot összekötve, és meghosszabbítva a szakaszt, megkapjuk a lineáris függvény grafikonját. Jellemzése: 1. É.T.: R; 2. É.K.: R; 3. zérushely: x = 2,5; 4. monotonitás: szigorúan monoton növekvő (mivel a meredeksége pozitív előjelű).

Mintapélda2 3 Ábrázoljuk és jellemezzük a g ( x) = − x + 3 hozzárendeléssel megadott függvényt! 4 Megoldás: Ábrázolása: 1. Az y tengelyt a +3 pontban metszi. 2. Ebből a pontból kiindulva a −

3 meredekség miatt 4

4 egységnyi jobbra haladás esetén 3 egységet lépünk lefelé az y tengely mentén. 3. A kapott két pontot összekötve, és meghosszabbítva a szakaszt, megkapjuk a lineáris függvény grafikonját. Jellemzése: 1. É.T.: R; 2. É.K.: R; 3. zérushely: x = 4; 4. monotonitás: szigorúan monoton csökkenő (mivel a meredeksége negatív előjelű).

129

5. modul: FÜGGVÉNYEK

f(x) = mx + b

Azokat a függvényeket, amelyeknek grafikonja egyenes, lineáris függvényeknek nevezzük, és az f(x) = m⋅x + b képlettel adjuk meg, ahol m a függvény grafikonjának meredeksége, b pedig az y tengellyel való metszéspontja. Ha m = 0, akkor az f(x) = b hozzárendelést kapjuk, melyet konstans függvénynek nevezünk.

f(x) = b

Ekkor a függvény képe az x tengellyel párhuzamos egyenes. Ha m ≠ 0, akkor ez a lineáris függvény elsőfokú.

Ha m > 0, akkor a függvény szigorúan

Ha m < 0, akkor a függvény szigorúan

növő, vagyis növekvő x értékekhez

csökkenő, vagyis növekvő x értékekhez

növekvő függvényértékek tartoznak.

csökkenő függvényértékek tartoznak.

Minden f(x) = m⋅x függvényről elmondhatjuk, hogy ez egyenes arányosság, ahol az arányosság tényezője m. Ábrázoláskor pedig m azt mutatja meg, hogy egy egységnyi jobbra haladás esetén hány egységet megyünk az y tengely mentén pozitív m esetén felfelé, negatív m esetén lefelé.

130


TANULÓK KÖNYVE

Feladatok 1. Párosítsd össze a hozzárendelési utasításokat a grafikonokkal: 5 1 f (x ) = x + 1 ; g (x ) = − x − 2 ; h( x ) = 2 x − 1 ; 2 2

a)

2 i(x ) = − x + 3 . 3 b)

c)

d)

2. Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényeket! (Alapértelmezésben a valós számok hal-

maza az értelmezési tartomány. Az ettől való eltéréseket jelöljük.) f1 ( x) = −2 x + 5 x∈Q;

2 f 2 ( x) = − x − 1 − 6 ≤ x < 9 x∈Q*; 3

x 2 − 16 f 3 ( x) = ; x+4 3x 2 − 27 f 4 ( x) = . x−3

3. A piacon 7 Ft akciós egységáron árulják a tojás darabját. Mennyit kell fizetni 1, 2, 3 stb.

tojásért? Ábrázold grafikonon az eredményeket!

131


4. Egy diákmunka-szövetkezetben adatbeviteli munkáért 5 karakterért 1 Ft-ot fizetnek.

Hány forintot kereshet egy diák? Ábrázold grafikonon az eredményeket! 5. Egy egyenlőszárú háromszög alapja 3 cm, szárai a hosszúságúak. Határozd meg a kerü-

letét, és ábrázold koordináta-rendszerben!

6. Béla tartozik egy ismerősének 50 000 Ft-tal. Elhatározta, hogy minden hónap elején

visszafizet neki 10 000 Ft-ot. Ábrázold grafikonon Béla tartozásának mértékét!

7. Egy autó 30 m-re az útkereszteződéstől 60

km sebességéről egyenletesen lassít, majd a h

kereszteződéshez érve megáll. Ábrázold grafikonon a sebességének változását a megtett út függvényében!

8. Egy téglalap kerülete 20 egység. Az egyik oldalát folyamatosan növelve, hogyan válto-

zik a másik oldala a kerület változtatása nélkül? Ábrázold grafikonon a változást!

9. Egy tartályban 18 l víz van. Amikor kinyitják a lefolyót, akkor percenként 3 l víz folyik

ki belőle. Egy másik tartályban 3 l víz van, és ebbe percenként 2 l vizet engednek. Mikor lesz a két tartályban ugyanannyi víz? Ábrázold közös koordináta-rendszerben a víz mennyiségének alakulását!

Mintapélda3 Keressük meg az y + 4 < 3 x feltételt kielégítő síkbeli pontokat! Megoldás: Az egyenlőtlenséget y-ra rendezve, az y < 3x – 4 egyenlőtlenséget kapjuk. Ha a < jel helyett = jelet írunk, akkor egy egyenest kapunk. Azon síkbeli pontokat keressük, amelyeknek y koordinátája kisebb, mint a bal oldali kifejezés, vagyis az egyenes alatt találhatóak. A megoldási halmaz tehát az egyenes alatti félsík.

132


TANULÓK KÖNYVE

Feladat 10. Hol találhatók a síkban azok a pontok, amelyek az alábbi feltételnek megfelelnek?

a) y < x;

b) y ≤ 3x+4;

c) y+0,5 > –x+1,5;

d) –y ≥ x+1;

e) 2y > 3x–4;

f) 0,5x–1 > –y+2.

2. Fordított arányosság A lineáris függvényekkel megoldható problémák között olyan feladatokkal is találkoztunk, amelyek egyenes arányosságról szólnak. Ilyen feladat volt például: Ha 1 füzet 40 Ft, akkor mennyibe kerül 2 3 4 stb. füzet? Hány füzetet lehet venni, ha legfeljebb 480 Ft értékben akarok vásárolni? Ezt a feladatot átalakíthatjuk a következőképpen:

Mintapélda4 Van 480 Ft-om, amiből füzetet szeretnék vásárolni. A papírboltban 24, 30, 40, 60 és 120 Ft-os füzetek kaphatók. Hány darabot tudok venni az egyes fajtákból a pénzem maradéktalan elköltése mellett, ha csak egyféle füzetet akarok vásárolni? Megoldás: Készítsünk értéktáblázatot!

darabszám =

db ⋅ ár = 480

480 ár

ár

24

30

40

60

120

darab

20

16

12

8

4

Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek szorzata állandó, akkor azok között fordított arányosság van.

Az x tengelyen az árat, az y tengelyen a darabszámot ábrázolva, a mellékelt grafikont kapjuk.

133


Látható, hogy minél magasabb az ár, annál kevesebb füzetet tudunk rajta venni; és minél alacsonyabb, annál többet. Mivel a boltban fél füzetet nem lehet vásárolni, ezért a grafikon pontjai nem köthetők össze. Az x tengelyen a minimális ár 1 Ft, a maximális ár 480 Ft lehet. Az y tengelyen ugyanígy meghatározható a legnagyobb és legkisebb érték. Közöttük minden olyan árkategória szóba jöhet, ahol az ár osztója 480-nak. A darabszám és az ár között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés létesíthető: n-nel jelölve az árat, f(n)-nel pedig a darabszámot kapjuk: f (n) =

480 , ahol n∈Z+ és n

n|480. Így f(n)∈Z+. Vagyis egy olyan függvényt kapunk, melynek értelmezési tartománya

a pozitív egész számok halmazának egy részhalmaza 1 és 480 között, és értékkészlete is a pozitív egész számok halmazának egy részhalmaza szintén 1 és 480 között.

Mintapélda5 Egy gyalogos egy 6 km hosszú utat 1 h alatt tesz meg. Mekkora sebességgel halad, ha 0,2; 0,5; 1,5; 2; 2,4; 3 óra alatt teszi meg ugyanezt a távot? Megoldás:

Készítsünk értéktáblázatot! v=

s 6 = t t t

0,2

0,5

1,5

2

2,4

3

v

30

12

4

3

2,5

2

Az x tengelyen az időt, az y tengelyen a sebességet ábrázolva a következő grafikont kapjuk: A sebesség és az idő fordítottan arányosak, hiszen ahányszor rövidebb idő alatt teszem meg ugyanazt a távot, annyiszor gyorsabban kell haladnom, és fordítva, minél hosszabb az utazási idő, annál kisebb a sebesség. Minden időtartamhoz kölcsönösen egyértelműen hozzárendelhető egy sebesség. Az időt t-vel, a sebességet v(t)-vel jelölve a v(t ) =

6 függvényt kapt

juk, melynek értelmezési tartománya és értékkészlete egyaránt a pozitív valós számok halmaza. Ez a grafikon folytonos görbe lesz. A fentiek alapján ez a függvény szigorúan csökkenő.

134


TANULÓK KÖNYVE

3. Lineáris törtfüggvény Mintapélda6 Ábrázoljuk és jellemezzük az f ( x ) =

1 , x∈R\{0} függvényt! x

Megoldás:

Készítsünk értéktáblázatot, és a kapott értékek segítségével ábrázoljuk a függvényt! x

–10

–3

1 x

–0,1

−

1 3

–2

–1

–0,5

–0,5

–1

–2

−

1 3

–3

0,25

1 2

2 3

1

2

3

4

4

2

3 2

1

0,5

0,3•

0,25

A függvény neve: lineáris törtfüggvény. Látható, hogy az x tengely mentén haladva az egyre nagyobb, illetve az egyre kisebb számok felé a grafikon „hozzásimul” az x tengelyhez, de nincs közös pontjuk. Hiszen minél nagyobb abszolútértékű számmal osztjuk az 1-et, annál kisebb lesz a hányados. És fordítva: minél kisebb abszolútértékű számmal osztunk egy konkrét számot, a hányados abszolútértékben annál nagyobb lesz. Ezt mutatja, hogy a grafikon az origó közelében „hozzásimul” az y tengelyhez, azaz tetszőlegesen megközelíti, de nem éri el. A függvény a ]−∞; 0[ és a ]0; +∞[ intervallumokon szigorúan monoton csökkenő. A 0 kivételével tetszőleges értéket felvehet, így nincs szélsőértéke. További érdekesség, hogy a grafikon az origóra (középpontosan) szimmetrikus. Ez algebrailag azt jelenti, hogy teljesül az f(−x) = − f(x) összefüggés. Vagyis a függvény páratlan. Összefoglalva, az

1 függvényt a következőképpen jellemezhetjük: x

1. É.T.: R\{0}; 2. É.K.: R\{0}; 3. zérushely: nincs; 4. monotonitás: szigorúan csökkenő, ha x < 0 és ha x > 0; 5. szélsőérték: nincs; 6. paritás: páratlan.

135


Mintapélda7 Ábrázoljuk és jellemezzük az alábbi függvényeket! a) f ( x) =

a , ahol a∈R+, x∈R\{0} x

Jellemzés: 1. É.T.: R\{0}, 2. É.K.: R\{0}, 3. zérushely: nincs, 4. szigorúan monoton csökkenő, ha x < 0 és ha x > 0; 5. szélsőérték: nincs, 6. paritás: páratlan. a b) f ( x) = − , ahol a∈R+, x∈R\{0} x

Jellemzés: 1. É.T.: R\{0}, 2. É.K.: R\{0}, 3. zérushely: nincs, 4. szigorúan monoton növekvő, ha x < 0 és ha x > 0; 5. szélsőérték: nincs, 6. paritás: páratlan.

Feladatok 11. Egy építkezésen 1 brigád 3 év alatt képes építeni egy házat. Mennyi idő alatt végez 2,

3, 5, 10 brigád? Ábrázold grafikonon a munka időtartamát a brigádok száma szerint! 12. Egy 210 literes kismedencét 1 csap15 perc alatt tölt tele. Mennyi idő alatt tölti fel ezt a

medencét 2, 3, 4, 5 csap? Ábrázold grafikonon!

13. Egy 1 m hosszú, 5 mm2 keresztmetszetű üvegcsövet teletöltünk higannyal. Mekkora

lesz a higanyoszlop magassága, ha 1; 2,5; 7,5; 10; 15 mm2 keresztmetszetű edénybe öntjük át? Ábrázold grafikonon a magasságot a keresztmetszet függvényében!

136


TANULÓK KÖNYVE

14. Hány fordulóval tud 1, 2, 3, 4, 6, 10, 12 tehergépkocsi elszállítani 2,4 t árut, ha egy

gépkocsi legfeljebb 200 kg-t szállíthat? Ábrázold grafikonon! 15. Egy 4,5 V-os zsebtelepre tolóellenállást kapcsoltak. Mekkora áram folyik az áramkör-

ben, ha az ellenállást úgy állítják be, hogy annak értéke 10 Ω, 20 Ω, 30 Ω, illetve 50 Ω (ohm) legyen? Ábrázold grafikonon az ellenállás-áramerőség függvényt! (feszültség = áramerősség · ellenállás, azaz U = I · R)

16. Egy ember egy 200 m2-es kertet 4 nap alatt ás fel. Mennyi idő alatt ássa fel 2, 3, 4, 5,

6, 10 ember? Ábrázold grafikonon! 17. Egy téglalap területe 2,2 cm2. Milyen kapcsolat van a téglalap két oldala között? Ábrá-

zold grafikonon az oldalak egymáshoz való viszonyát! 18. Egy 100 m hosszú 1 mm2 keresztmetszetű wolfram szálból készült ellenállástekercs

ellenállása 5,51 Ω. Hogyan változik az ellenállása, ha a keresztmetszetét kétszeresére, háromszorosára, négyszeresére növeljük, illetve felére, harmadára, negyedére csökkentjük? Ábrázold grafikonon a keresztmetszet–ellenállás függvényt! (A keresztmetszet és az ellenállás fordítottan arányos.)

Mintapélda8 Ábrázoljuk az f ( x ) =

2 függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt! x+3

Megoldás: 1. lépés: Készítsünk értéktáblázatot!

x

–4

1 x

−

1 4

–3 −

1 3

–2

–1

0

1

2

3

1 2

–1

―

1

1 2

1 3

−

1 x+3

–1

―

1

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

2 x+3

–2

―

2

1

2 3

1 2

2 5

1 3


137

A táblázat 3. sorából látható, hogy ha a nevezőhöz hozzáadunk 3-at, akkor a függvény az értékeit 3-mal korábban veszi fel. A számláló kettővel való szorzása pedig a függvényértékek megkétszerezését jelenti. 2. lépés: Ábrázoljuk transzformáció segítségével a függvény grafikonját!

Ehhez felhasználjuk az értéktáblázattal szerzett tapasztalatokat. Az ábrázolás menete: 1) d (x ) =

1 ← (értéktáblázat 2. sora). x

2) e(x ) =

1 ← d grafikonjának eltolása x+3

az x tengely mentén negatív irányba 3 egységgel (értéktáblázat 3. sora). Segíti az ábrázolást, ha az x tengely −3 pontjába húzunk egy, az y tengellyel párhuzamos segédtengelyt. 3) f ( x ) =

2 ← e grafikonjának y tenx+3

gely menti kétszeres nyújtása (értéktáblázat 4. sora). 3. lépés: Jellemzés

1. É.T.: R\{−3}, 2. É.K.: R\{0}, 3. zérushely: nincs, 4. monotonitás: szigorúan monoton csökkenő, ha x < −3, illetve ha x > −3, 5. szélsőérték: nincs, 6. paritás: nem páratlan és nem páros.

138


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda9 Ábrázoljuk az f ( x ) =

1 + 3 függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt! 2x

Megoldás: 1. lépés: Készítsünk értéktáblázatot!

1 4

0

1 4

1 2

1

2

3

–2

–4

―

4

2

1

1 2

1 3

1 2

–1

–2

―

2

1

1 2

1 4

1 6

1 2

2

1

―

5

4

–2

–1

−

−

1 2

–1

1 6

−

1 4

−

5 6

2

3 4

2

x

–3

1 x

−

1 3

1 2x

−

1 +3 2x

2

1 2

−

3

1 2

3

1 4

3

1 6

A táblázat 3. sorából látható, hogy a nevezőben lévő kétszeres szorzó minden függvényértéket felére csökkent.

1 1 1 = ⋅ , 2x 2 x

a törthöz 3-at adva pedig a függvényértékek 3-mal nőnek. 2. lépés: Ábrázoljuk transzformáció segítségével a függvény grafikonját!

Ehhez felhasználjuk az értéktáblázattal szerzett tapasztalatokat. Az ábrázolás menete: 1) d (x ) =

1 ← (értéktáblázat 2. sora). x

2) e( x ) =

1 1 ← d értékeinek felezése ⋅ 2 x

(értéktáblázat 3. sora). Ez a függvény grafikonjának y tengely menti gorítását jelenti.

1 -szeres zsu2

139


3) f ( x ) =

1 + 3 ← e grafikonjának eltolása az y tengely mentén pozitív irányba 3 egy2x

séggel (értéktáblázat 4. sora). Az ábrázolást segíti, ha meghúzzuk az y = 3 , x tengellyel párhuzamos segédtengelyt. 3. lépés: Jellemzés

1. É.T.: R\{0}, 2. É.K.: R\{3}, 3. zérushely:

1 1 + 3 = 0 egyenletből x = − , 6 2x

4. monotonitás: szigorúan monoton csökkenő, ha x < 0, illetve ha x > 0, 5. szélsőérték: nincs, 6. paritás: nem páros, nem páratlan.

Feladatok 19. Ábrázold a következő függvények grafikonját, és jellemezd a függvényt!

a ( x) = −

3 ; 4x

b( x ) =

2 ; x −1

2 c( x) = − + 2 ; x

e( x ) =

2 ; − x+3

f ( x) =

h( x ) =

1 ; x

i ( x) = 3 −

1 1 . d ( x) = ⋅ 3 x +1

1 ; 2x + 6

g ( x) =

1 +4; −2+ x

2 ; x

j ( x) =

1 . x −2

140


TANULÓK KÖNYVE

II. Másodfokú függvények 1. A másodfokú alapfüggvény tulajdonságai 3 2

x

–16

–10,5

–5

–4

–

f(x) = x2

256

110,25

25

16

9 4

g(x) = – x2

–256 –110,25 –25 –16 –

9 4

–1

–0,63

0

1

2 3

2

3

11,3

1

0,3969

0

1

4 9

4

9

127,69

–1

–0,3969 0

f(x) = x2

–1 –

4 9

–4 –9 –127,69

g(x) = –x2

Minden másodfokú függvény képe parabola. 1. É.T.: R; 2. É.K.: f függvény esetén: R + ∪ {0};

g függvény esetén: R − ∪ {0} ;

3. monotonitás: f függvény esetén:

g függvény esetén:

– ha x ≤ 0, szigorúan monoton csökkenő;

– ha x ≤ 0, szigorúan monoton növekvő;

– ha x ≥ 0, szigorúan monoton növekvő;

– ha x ≥ 0, szigorúan monoton csökkenő;

4. szélsőérték: f függvény esetén:

g függvény esetén:

– minimumhely: x = 0;

– maximumhely: x = 0;

– minimumérték: f(0) = 0;

– maximumérték: f(0) = 0;

5. zérushely: Az f és a g függvényeknek egyaránt a 0 helyen van csak közös pontja az x tengellyel, így mindkét függvény zérushelye: x = 0. 6. paritás: Mindkét függvény páros, mivel teljesül rájuk az x2 = (− x)2 tulajdonság.

141


Általánosságban véve egy függvényt akkor nevezünk párosnak, ha teljesül rá, hogy f(x) = f(−x). Ez geometriailag azt is jelenti, hogy a függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre. 7. Az f ( x ) = x 2 függvény görbéjét (alulról nézve) konvexnek nevezzük, mivel bármely két pontját összekötve az így kapott húr minden pontja a parabola pontja fölött helyezkedik el. A g ( x ) = − x 2 függvény grafikonját (alulról nézve) konkávnak (vizuális típusúak számára: KONK∩V nevezzük), mivel bármely két pontját összekötve az így kapott húr minden pontja a parabola pontja alatt helyezkedik el.

2. A másodfokú alapfüggvény transzformálása 2.1 y tengely menti eltolás Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben, illetve értéktáblázattal az f(x) = x2, a g(x) = x2− 3, illetve h(x) = x2+ 2 függvények grafikonjait! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot.

x

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

g(x)

13

6

1

–2

–3

–2

1

6

13

h(x)

18

11

6

3

2

3

6

11

18

Ha az f függvény értékeiből 3-at vonunk ki, akkor a g függvény értékeit kapjuk meg, ha pedig 2-t adunk hozzá, akkor a h függvény lesz az eredmény. Ez egyben a grafikon y tengely menti eltolását is jelenti –3, illetve +2 egységgel.

142


TANULÓK KÖNYVE

Általánosan: a g(x) = x2 + v (v 0-tól különböző, tet-

szőleges valós szám) függvény grafikonját az f(x) = x2 függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az y tengely mentén |v| egységgel v < 0 esetén lefelé, v > 0 esetén felfelé.

2.2 x tengely menti eltolás Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben, illetve értéktáblázattal az f(x) = x2, a g(x) = (x+1)2, illetve h(x) = (x−2)2 függvények grafikonjait! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot.

x

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

f(x)

16

9

4

1

0

1

4

9

16

4

1

0

1

4

9

16

25

g(x) 9

x

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

f(x)

16

9

4

1

0

1

4

9

16

25

16

9

4

1

0

1

4

h(x) 36

Az értéktáblázatból látható, hogy a g függvény az értékeit 1 egységgel korábban veszi fel, mint az f függvény.

143


Ez azt jelenti, hogy a g függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy azt eltoljuk az x tengely mentén –1 egységgel, másképp fogalmazva negatív irányba 1 egységgel. A h függvény az értékeit 2 egységgel később veszi fel, mint az f függvény. A h függvény grafikonját pedig az f függvény grafikonjának x tengely menti 2 egységgel, pozitív irányba történő eltolásával kapjuk meg. Általánosan: a g(x)=(x+u)2 (u 0-tól különböző tetszőleges valós szám) függvény grafikonját

az f(x)=x2 függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az x tengely mentén |u| egységgel u előjelével ellentétes irányba: u < 0 esetén pozitív, u > 0 esetén negatív irányba.

2.3 y tengely menti zsugorítás/nyújtás Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonjait! f(x) = x2; g(x) = 3x2; h(x) = −

1 2 x 2

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

g(x) 48

27

12

3

0

3

12

27

48

h(x) –8

–4,5

–2

–0,5

0

–0,5

–2

–4,5

–8

x

144


TANULÓK KÖNYVE

Általánosan: a függvény az f(x)=ax2 hozzárendelé-

si utasítással adható meg, ahol a 0-tól különböző tetszőleges valós szám. Szemléletesen: ha az a szorzótényező •

0 és 1 között van, akkor a másodfokú függvény grafikonja szétnyílik,

•

1-nél nagyobb, akkor a grafikon szűkül,

•

negatív, akkor pedig a grafikon az x tengelyre tükröződik is.

Feladatok 20. Válaszolj a következő kérdésekre! Válaszodat indokold!

a) Add meg az f ( x ) = x 2 + 1 függvény értékkészletét! b) Mely intervallumon szigorúan csökkenő az f ( x ) = x 2 , illetve a g ( x ) = − x 2 függvény? c) Minimuma vagy maximuma van a h(x) = −2x2−1 függvénynek? d) Hol van szélsőértéke a ]–1; 5] intervallumon értelmezett k(x) = (x−2)2 függvénynek, és mekkora ez az érték? e) Párosak-e az m(x) = x2+3, illetve az n(x) = (x+3)2 függvények? f) Hol van zérushelye a p(x) = −x2+4, a q(x) = x2+2, illetve az r(x) = 2(x−5)2 függvényeknek? g) Milyen transzformációval kapjuk az f(x) = (x+2)2 függvény grafikonját a g(x) = x2 függvény képéből (parabolából)? h) Milyen transzformációval kapjuk az f(x) = (x−1)2+1 függvény grafikonját a g(x) = x2 függvény képéből (parabolából)? i) Milyen transzformációval kapjuk az a(x) = −3x2, illetve a b(x) = 0,5x2 függvények grafikonját az f(x) = x2 függvény képéből (parabolából)?

145


21. Ábrázold a következő (alapértelmezésben a valós számok halmazán értelmezett) függvé-

nyek grafikonját, és jellemezd a függvényeket! 1 2 x + 1; 2

g ( x) = −( x + 3) ; x ∈ [− 5;0] ; 2

a ( x) = x 2 + 1 ;

d ( x) =

b( x ) = 2 x 2 ;

1 e( x ) = − x 2 − 2 ; 4

c( x) = 4 x 2 − 8 ;

f ( x) = −2 x 2 + 6 ; x ∈ [2;2] .

22. Rajzold be a koordinátatengelyeket úgy, hogy a megadott hozzárendelési utasítás igaz

legyen! a)

b)

f1 ( x ) = x 2 − 3 c)

f 2 ( x) = −( x − 5) 2 d)

f 3 ( x) = − x 2 − 3

f 4 ( x) =

1 2 x +4 4

146


e)

TANULÓK KÖNYVE

f)

f 5 ( x) = ( x − 1) 2 − 2

f 6 ( x) = −( x + 2) 2 + 4

23. Írd fel a képeken látható parabolák hozzárendelési utasítását!

a)

b)

c)

d)

147


e)

f)

24. Egy céllövőnek a versenyen a tőle 8 m távolságra, 16 m magasan levő korongot kell

eltalálnia a győzelemhez. Lövés után a golyó az f ( x) =

1 2 x képlettel megadott függvény 4

grafikonjának vonalán mozog, ahol x a golyó versenyzőtől való távolságát jelenti. Készítsd el a függvény grafikonját, és döntsd el, hogy megnyeri-e ez a céllövő a versenyt? (A légellenállástól eltekintünk.) 25. Írd fel annak a másodfokú függvénynek a hozzárendelési utasítását, amelyről tudjuk, hogy

az f(x) = x2 vagy a g(x) = −x2 függvényből a következő transzformációval származik: a) az y tengely −2 pontjában szélsőértéke van. b) az x tengelyt a 4 helyen érinti. c) maximuma van az (5;2) pontban. d) minimuma van a (−3;1) pontban. e) átmegy a P(−3;10) ponton, szimmetrikus az y tengelyre. f) átmegy a P(−1;5), Q(1;1) és R(3;5) pontokon.

148


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda10 Készítsük el az f(x) = −x2+5x-6 függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt! Megoldás: Teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítás: f ( x) = −(x 2 − 5 x ) − 6 = = −(x 2 − 2 ⋅ 2,5 ⋅ x + 6,25 − 6,25) − 6 =

(

)

= − ( x − 2,5) − 6,25 − 6 = 2

= −( x − 2,5) + 6,25 − 6 = −( x − 2,5) + 0,25 2

2

Jellemzés: 1. É.T.: R; 2. É.K.: ] −∞; 0,25]; 3. zérushely: − x 2 + 5x − 6 = 0 x1;2

− 5 ± 5 2 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ (− 6 ) − 5 ± 25 − 24 = = = 2 ⋅ (− 1) −2

=2 =3

x1 = 2 x2 = 3

4. monotonitás: x ≤ 2,5: szigorúan növő, x ≥ 2,5: szigorúan csökkenő; 5. szélsőérték: maximumhely: x = 2,5; maximumérték: f(2,5) = 0,25; 6. paritás: nem páros, nem páratlan; 7. konkáv (alulról nézve).

Mintapélda11 Készítsük el a f ( x) = x 2 − 2 x − 3 függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt! Megoldás: Teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítás: f ( x) = x 2 − 2 ⋅ 1 ⋅ x + 1 − 1 − 3 = ( x − 1) − 1 − 3 = ( x − 1) − 4 . 2

2

149


Jellemzés: 1. É.T.: R; 2. É.K.: R+∪{0}; 3. zérushely: x 2 − 2x − 3 = 0 x1;2 =

2±

(− 2 )2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3 2 ⋅1

2 ± 4 + 12 = = 2

x1 = 3

3 −1

x2 = −1 4. monotonitás: x ≤ −1: szigorúan monoton csökkenő, −1 ≤ x ≤ 1: szigorúan monoton növő, 1 ≤ x ≤ 3: szigorúan monoton csökkenő, 3 ≤ x: szigorúan monoton növő; 5. szélsőérték: lokális maximumhely: x = 1, maximumérték: f(1) = 4, abszolút minimumhely: x1 = −1; x2 = 3, minimumérték: f(1) = f(3) = 0; 6. paritás: nincs; 7. ha −1 < x < 3, akkor konkáv (alulról nézve), ha x < −1 vagy x > 3, akkor konvex (alulról nézve).

150


TANULÓK KÖNYVE

Feladatok 26. Ábrázold a következő (alapértelmezésben a valós számok halmazán értelmezett) függ-

vények grafikonját, és jellemezd a függvényeket! n(x) = x2+6x+9;

q(x) = x2−2x−3

o(x) = x2−4x+4;

r(x) = x2−x−2;

x∈[−2; 3];

s(x) = x2+4x+3 t(x) = x2−x+6

x∈Z; x∈Z+.

27. Ábrázold a következő (alapértelmezésben a valós számok halmazán értelmezett) függ-

vények grafikonját, és jellemezd a függvényeket! 1 2 x + 6x ; 3

f1 ( x) = 2 x 2 − 8 x + 2 ;

f 4 ( x) =

f 2 ( x) = 3 x 2 − 6 x − 2 ;

f 5 ( x) = x 2 − 4 x + 3 ;

f 3 ( x) = 2 x 2 − 8 x ;

f 6 ( x) = − 2 x 2 + 12 x − 14 .

28. A függvény grafikonjának elkészítése nélkül határozd meg a zérushelyek számát! Ál-

lapítsd meg, hogy maximuma vagy minimuma van-e a függvénynek! Csoportosítsd az alábbi függvényeket a felsorolt szempontok alapján! Csoportosítandó függvények:

(

)

f1 ( x) = − x 2 + 10 x + 27 ;

f 7 (x) = 2(x + 5)(x − 5) − 4x2 − 20;

1 f13 ( x) = − x 2 + x + 7 ; 4

f 2 ( x) = −( x 2 + 10) + 6 x ;

1 f 8 ( x) = − x( x − 6) − 3 ; 3

f14 ( x) = ( x − 10)( x − 2) + 4 ;

f 3 ( x) = 2(4 − x) + x 2 ;

f 9 ( x) = (3x − 1)( x − 3) + 4 x ;

f15 ( x) = 7 + 3x( x + 4) ;

f 4 ( x) = −2(−4 x − x 2 ) + 9 ;

f10 ( x) = x 2 + 2 x − 15 ;

f16 ( x) = −4( x + 3) −

f 5 ( x) =

1 2 x − 5 x + 16,5 ; 2

f 6 ( x) = ( x + 4)( x + 8) + 8 ;

f11(x) = −(x − 3)(x −1) − x2 + 7;

f12 ( x) = −7 − x 2 − 6 x .

Szempontok: – nincs zérushelye,

– minimuma van,

– egy zérushelye van,

– maximuma van.

– két zérushelye van,

1 2 x 2

151


29. Legyen a kiindulási függvény az f ( x ) = x 2 . Mi lesz a függvény hozzárendelési utasítása,

ha grafikonját a) eltoljuk az x tengely mentén pozitív irányba 3 egységgel? b) eltoljuk a v(0;2) vektorral? c) tükrözzük az y tengelyre? d) eltoljuk a v(−3; −1) vektorral? e) kétszeresére nyújtjuk? f) tükrözzük az x tengelyre, majd felére zsugorítjuk? g) először tükrözzük az x tengelyre, majd eltoljuk az y tengely mentén +5 egységgel? h) eltoljuk a v(0;2) vektorral, majd tükrözzük az x tengelyre? i) először eltoljuk a v(1;2) vektorral, majd tükrözzük az y tengelyre?

30. A kertünkben zöldségtermesztés céljából szeretnénk elkeríteni egy

részt. 20 m hosszú drótot vettünk a kerítéshez. Mekkorák legyenek a veteményes oldalai, hogy a lehető legtöbb zöldséget tudjuk benne termeszteni?

31. Bontsunk fel egy 10 cm hosszú szakaszt két részre úgy, hogy

a) a darabok fölé rajzolt szabályos háromszögek területének

a)

összege a legkisebb legyen! b) a két darab hosszának a szorzata a legnagyobb legyen!

32. Egy konvex sokszögben összesen 44 átló húzható. Határozd meg a sokszög oldalszá-

mát! Ábrázold koordináta-rendszerben a konvex sokszög oldalai és a benne húzható átlók száma közötti összefüggést.

33. Csoportosítsd a következő pontokat aszerint, hogy azok hogyan helyezkednek el az

1 f ( x) = − x 2 + 7 és g ( x) = ( x + 1) 2 − 4 függvények grafikonjához képest! 2

152


TANULÓK KÖNYVE

Pontok: P1 (2;5) ;

P5 (−1; 5 ) ;

P9 (2;2) ;

P13 (−4;4) ;

P2 (0;7) ;

P6 (0;0) ;

P10 (−3;6) ;

P14 (3;5) ;

P7 ( 3;5) ;

P11 (2; 90 ) ;

P15 (−5;− 6 ) ;

⎛ 3 9⎞ P8 ⎜ − ;− ⎟ ; ⎝ 2 2⎠

P12 (−7;3) ;

P16 (6;− 11) .

P3 (0;−3) ; P4 (−3;0) ;

Szempontok: – vagy az f vagy a g függvények grafikonján található, – az f függvény és a g függvény grafikonja felett található, – az f függvény grafikonja alatt, de a g függvény grafikonja felett található, – az f függvény és a g függvény grafikonja alatt található, – az f függvény grafikonja felett, de a g függvény grafikonja alatt található.

3. Másodfokú egyenlőtlenségek Mintapélda12 Ábrázoljuk számegyenesen a (x−3)(x+2) ≥ 0 egyenlőtlenség megoldáshalmazát! Megoldás: Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az f(x) = (x − 3)(x + 2) függvény grafikonját! Az előjelek megállapításához elegendő, ha tudjuk az x tengellyel való metszéspontokat, illetve azt, hogy a parabola felfelé vagy lefelé nyílik.

Az ábráról leolvasható a megoldáshalmaz: x ≤ −2 vagy x ≥ 3. Természetesen a feladat algebrai úton is megoldható: egy kéttényezős szorzat akkor pozitív, ha a szorzótényezők előjelei megegyeznek. Ekkor x − 3 ≥ 0 és x + 2 ≥ 0 egyenlőtlenségek közös megoldáshalmaza az x ≥ 3, illetve az x − 3 ≤ 0 és x + 2 ≤ 0 egyenlőtlenségek közös megoldásaként adódik az x ≤ −2.

153


Mintapélda13 Ábrázoljuk számegyenesen a x 2 − 6 x + 5 ≥ 0 egyenlőtlenség megoldáshalmazát!

x1;2 =

6 ± 6 2 − 4 ⋅1 ⋅ 5 = 2

6+4 =5 2 6−4 =1 2

Megoldás: Mivel a főegyüttható pozitív (+1), ezért a parabola felfelé nyílik. Az x tengelyt az 5 és az 1 helyen metszi. A keresett halmaz: x ≤ 1 vagy x ≥ 5.

Mintapélda143 Mely egész számokra teljesül a − x 2 − 6 x − 7 ≥ 0 egyenlőtlenség? Megoldás: A megfelelő egyenlet gyökei: x1;2 =

6±2 2 , −2

x1 = −3 − 2 ≈ −4,41 x 2 = −3 + 2 ≈ −1,59 Mivel a főegyüttható negatív (−1), ezért a parabola lefelé nyílik. Az egyenlőtlenségnek megfelelő értékek a két gyök között találhatók: − 3 − 2 ≤ x ≤ −3 + 2 . A keresett egész számok: {−4; −3; −2}.

Feladatok 34. Ábrázold számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát:

a) ( x − 3)( x + 2) ≥ 0 ;

b) x( x + 1) ≤ 0 ;

d) (x − 3) > 0 ;

e) − (x − 3) ≤ 0 .

2

2

c) ( x + 5) ≥ 0 ; 2

154


TANULÓK KÖNYVE

35. Ábrázold számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát:

a) x + 3 ≤ 0 ;

b) (− 5 − x )(3 + x ) > 0 ; c) − x 2 + 3 < 0 ;

d) 2 x 2 − 8 > 0 ;

e)

2

1 (2 + x )(− 3 + x ) ≤ 0 . 4


a) x 2 − 9 x + 14 ≥ 0 ;

d) 12 + x ≤ x 2 ;

b) − x 2 + x ≥ −6 és x∈Z;

e) 4 x 2 − 3 x − 11 ≥ 5 x − 2 ;

c) − 3 x + x 2 − 10 > 0 .


a)

8x − x 2 +2 < x+4; 3

b) − x 2 − 6 x + 18 < −2 x 2 + 2 x és x∈Z; c)

(x + 4)(x + 2) + 1 > 0 ;

d)

1 (x + 5)(x − 1) > 1 x 2 + x − 2 . 2 4

Mintapélda15 Hol találhatók a síkon azok a pontok, melyek koordinátáira y < − x2− 6 x + 7 ? Megoldás: Teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítás felhasználásával ábrázoljuk a az

(

)

f(x) = −x2− 6x+ 7 függvény grafikonját: f ( x) = − x 2 + 6 x + 7 = −( x + 3) + 16

A megoldáshalmazt a grafikon alatti pontok alkotják.

2

155


Mintapélda16 Hol találhatók a számegyenesen azok a pontok, melyekre x 2 + 3x − 10 > x + 2 − 6 ? Megoldás: Legyen f ( x) = x 2 + 3x − 10 és g ( x) = x + 2 − 6 . Ábrázoljuk az f és g függvények grafikonjait közös koordináta-rendszerben! Az f(x) függvény grafikonjának pontos ábrázolásához teljes négyzetet tartalmazó kifeje-

(

)

(

)

zéssé alakítunk: f ( x) = x 2 + 3x − 10 = x 2 + 3x + 2,25 − 2,25 − 10 = ( x + 1,5) − 12,25 2

Az ábra alapján már meg lehet becsülni, hol lesz a megoldáshalmaz, de a megoldáshoz szükséges még a metszéspontok pontos meghatározása. 1. lépés: Alkalmazzuk az abszolútérték definícióját!

x ≥ −2 ⎧ x + 2 − 6 = x − 4, x+2 −6 = ⎨ ⎩− ( x + 2 ) − 6 = − x − 8, x < −2 2. lépés: A definíciót felhasználva oldjuk meg az egyenletet!

I. Ha x ≥ −2 , akkor x 2 + 3x − 10 = x − 4 x 2 + 2x − 6 = 0 x1;2 =

− 2 ± 4 − 4 ⋅ (− 6 ) − 2 ± 4 + 24 − 2 ± 2 7 = = = −1 ± 7 2 2 2

x1 = −1 + 2 7 ≈ 1,65 Mivel 2 nem megoldás. x = −1x −≥ 2−27, ezért ≈ −3,x65 2

156


TANULÓK KÖNYVE

II. Ha x < −2 , akkor x 2 + 3x − 10 = − x − 8 x 2 + 4x − 2 = 0 x1;2 =

− 4 ± 16 − 4 ⋅ (− 2 ) − 4 ± 24 − 4 ± 2 6 = = = −2 ± 6 2 2 2

x1 = −2 + 6 ≈ 0 ,45 x 2 = −2 − 6 ≈ −4 ,45 Mivel x < −2 , ezért x1 nem megoldás. Összefoglalva: a megoldáshalmaz: x < −2 − 6 vagy x > −1 + 7 .

Feladatok 38. Hol találhatók a síkon azok a pontok, melyek koordinátáira

a) y < x 2 − 6 x − 4 ;

b) y − 1 ≥ − x 2 + 5 x ?

39. Hol találhatók a számegyenesen azok a pontok, melyek koordinátáira

a) x 2 − 2 ≤

1 x + 1; 2

b) x 2 − 4 x + 2 > x − 2 − 4 ?

40. Egy üzemben a darabszám függvényében a költséget a k ( x) = 4 + 3x függvény írja le

millió forintban. A bevételt pedig a b( x) = −2 x 2 + 600 x − 18000 kifejezés adja meg szintén millió forintban. a) Milyen darabszámok esetén lesz a bevétel nagyobb, mint a kiadás? b) Milyen darabszám mellett lesz a legnagyobb a nyereség (bevétel–kiadás)?

157


Mintapélda17 x 2 + 3x − 2 Oldjuk meg az 2 ≥ 0 egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! x + 4x + 6

Megoldás: Legyen f ( x) = x 2 + 3x − 2 és g ( x) = x 2 + 4 x + 6 . A nevező nem lehet 0: 2 x 2 + 4 x + 6 ≠ 0. Ennek diszkriminánsa D = 16 – 24 < 0. Mivel a diszkrimináns negatív, ezért a nevező sehol sem vesz fel 0 értéket. Mivel a diszkrimináns negatív és a főegyüttható pozitív, így a g függvény grafikonja olyan parabola, amelynek minden pontja az x tengely fölött van. A függvény mindenütt pozitív értéket vesz fel. Most számoljuk ki az f függvény zérushelyeit:

− 3 ± 9 + 8 − 3 ± 17 = ; 2 2 − 3 + 17 x1 = ≈ 0,56, 2 − 3 − 17 x2 = ≈ −3,56. 2

x1; 2 =

Egy tört értéke akkor nemnegatív, ha a számláló és a nevező előjele megegyezik. Mivel a nevező mindenütt pozitív, így a számlálónak is nemnegatívnak kell lennie. Az f függvény főegyütthatója pozitív, így a függvény akkor vesz fel nemnegatív értékeket, ha x≤

− 3 − 17 2

nemnegatív.

vagy x ≥

− 3 + 17 . A tört értéke is ezekben az esetekben lesz 2

158


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda18 Milyen valós számokra igaz az alábbi egyenlőtlenség? x+3 x +2< x−3 x+4 Megoldás: Kikötés: x − 3 ≠ 0 , ahonnan x ≠ 3 és x + 4 ≠ 0 , amiből x ≠ −4 . Törtes egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásakor az első lépés mindig a kikötés, mert a nullával való osztás nincs értelmezve. Egyenlőtlenség megoldásakor, ha negatív számmal szorzunk, az egyenlőtlenség jele megfordul. A törtes egyenlőtlenségeket célszerű nullára rendezni: x+3 x +2− <0 x−3 x+4

(x + 3)(x + 4) + 2(x − 3)(x + 4) − x(x − 3) < 0 , (x − 3)(x + 4) (x − 3)(x + 4) (x − 3)(x + 4) (x + 3)(x + 4) + 2(x − 3)(x + 4) − x(x − 3) < 0 (x − 3)(x + 4) A nevezőben a zárójelek felbontása felesleges, hiszen az egyenlőtlenség megoldásához a zérushelyekre lesz szükség, amelyek a szorzat alakból könnyen leolvashatók. x 2 + 7 x + 12 + 2 x 2 + 2 x − 24 − x 2 + 3x <0 (x - 3)(x + 4) 2 x 2 + 12 x − 12 < 0. (x − 3)(x + 4) Az egyenlőtlenség megoldásához szükség van a számláló zérushelyeire is: 2 x 2 + 12 x − 12 = 0 / : 2 x 2 + 6x − 6 = 0

x1;2

− 6 ± 36 + 24 − 6 ± 60 = = = −3 ± 15 = 2 2

− 3 + 15 = 0,87 − 3 − 15 = −6,87

159


Ábrázoljuk külön a számlálónak, illetve külön a nevezőnek, mint függvénynek a grafikonját.

Egy

tört

értéke akkor és csak akkor negatív, ha a számláló és a nevező ellentétes előjelű. I. 2 x 2 + 12 x − 12 > 0 és (x − 3)( x + 4 ) < 0 (számláló pozitív és a nevező negatív): A számláló pozitív, ha x < −3 − 15 vagy x > −3 + 15 . A nevező negatív, ha − 4 < x < 3 . A két halmaz közös része a megoldás: − 3 + 15 < x < 3 . II. 2 x 2 + 12 x − 12 < 0 és (x − 3)(x + 4 ) > 0 (számláló negatív és a nevező pozitív): A számláló negatív, ha − 3 − 15 < x < −3 + 15 . A nevező pozitív, ha x < −4 vagy x > 3 . A két halmaz közös része a megoldás: − 3 − 15 < x < −4 . A részmegoldások összesítése a kikötéssel: − 3 − 15 < x < −4 vagy − 3 + 15 < x < 3 .

Megjegyzés: Az irracionális értékek ábrázolása a számegyenesen csak hozzávetőleges.

160


TANULÓK KÖNYVE

Feladatok 41. Oldd meg a valós számok halmazán az x + 2 ≥

42. Oldd meg az

2 + 1 egyenlőtlenséget! x +1

x −1 x + 3 < egyenlőtlenséget, ha x ∈ R és x ∈ ]− 4;3[ ! x+2 x−2

43. Oldd meg a valós számok halmazán a

12 − 3x x−4 +2≤ + 3 egyenlőtlenséget! 1− x 2x − 5


3x − 5 4 x + 10 4 x + 4 1 + > − egyenlőtlenséget! x+7 4 3 6


x2 − x +1 < 0 egyenlőtlenséget! x2 − x + 2

Mintapélda18 Hol találhatók a síkon azok a pontok, melyekre y ≤ x 2 − 6 x + 2 és y > − x − 3 − 1 egyszerre teljesül? Megoldás:


161

Közös tartomány:

Ha a függvény grafikonja eleme a tartománynak (≤ vagy ≥ esetén), akkor a tartomány színével színezzük ki. Ha a nem eleme (< vagy > esetén), akkor a grafikon fekete színű.

162


TANULÓK KÖNYVE

III. Négyzetgyökfüggvény 1. Az alapfüggvény grafikonja és jellemzése Mintapélda20 Hány egység a négyzet oldala, ha ismert a területe? Töltsd ki a táblázatot! Megoldás: Tudjuk, hogy a négyzet területe: T = a 2 . Ebből a = T . T

1

4

9

2

3

5

0,25

0,01

a

1

2

3

2

3

5

0,5

0,1

Egy nemnegatív szám négyzetgyökén azt a nemnegatív számot értjük, amelyet négyzetre emelve megkapjuk az eredeti számot. Jelöléssel: Ha a ≥ 0 , akkor

a jelöli azt a nem negatív valós számot, amelyre

( a)

2

= a.

Megjegyzés: Mivel két olyan szám is létezik, amelynek négyzete a, ezért − a -val jelöljük

azt a nem pozitív számot, amelynek négyzete szintén a.

(

0 =0

)

Ezen definíció alapján megadható a négyzetgyökfüggvény fogalma:

Négyzetgyökfüggvényen értjük a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett, f ( x ) = x hozzárendeléssel megadott függvényt.


163

Mintapélda21 Ábrázoljuk és jellemezzük a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett f ( x ) = x hozzárendeléssel megadott függvényt! Megoldás: A fenti táblázatot értéktáblázatként felhasználva, a következő grafikont kapjuk:

Jellemzés É.T.: R+∪{0}; É.K.: R+∪{0}; zérushely: x = 0; monotonitás: szigorúan monoton növő; szélsőérték: minimumhely: x = 0; minimumérték: f(0) = 0; 6) paritás: nem páros, nem páratlan, 7) konkáv (alulról nézve). 1) 2) 3) 4) 5)

Mintapélda22 a) Határozzuk meg, mely két egész szám között található 68 négyzetgyöke! b) Határozzuk meg öttized pontossággal, mely két racionális szám között található 55 négyzetgyöke! Megoldás: a) 8 < 68 < 9 . b) 7 < 55 < 7,5 , mert 49 < 55 < 56,25.

Feladatok 46. a) Határozd meg, mely két egész szám között található az alábbi számok négyzetgyöke! 0,5; 2; 10; 17; 28; 3; 44; 70. b) Határozd meg öttized pontossággal, mely két racionális szám között található a felsorolt számok négyzetgyöke!

164


TANULÓK KÖNYVE

47. Az ábra segítségével határozd meg egy tizedesjegy pontossággal a nem negatív valós számok halmazán értelmezett f ( x ) = x függvény értékeit az alábbi helyek esetén!

2

x

3

6

7

8

f(x) f(0);

f(–1);

f(2,5);

f(5,7);

f(8,1).

48. Az előző grafikon alapján olvasd le egy tizedesjegy pontossággal, hogy hol veszi fel az f ( x) = x , R+∪{0} függvény a táblázatban szereplő függvényértékeket!

x f(x)

1

2

3

0,1

0,5

0,7

1,3

1,6

2,2

2,5

2,9

49. Hol veszi fel az f ( x) = x + 2 , x∈[−2; ∞[ függvény a következő függvényértékeket? f ( x ) = 0; f ( x ) = 0,2; f ( x ) = 1,2; f ( x ) = 3,3; f ( x ) = − 4; f ( x ) = − 0,5 . 50. Melyik függvény grafikonján találhatóak a következő pontok? Csoportosítsd a következő pontokat aszerint, hogy mely függvények grafikonján vannak rajta!

Pontok: P1 (− 1;−1) ; P2 (2;0 ) ; P3 (3;2) ; P4 (− 2;0 ) ; P5 (− 2;−2) ; P6 (2;−2) ; P7 (0;1) ; P8 (− 1;0) ;

(

)

(

)

(

)

(

)

P9 (6;4) ; P10 1; 2 ; P11 1; 3 − 2 ; P12 (0;0 ) ; P13 (0;−1) ; P14 5;− 7 ; P15 5; 12 ; P16 (1;−1) .

Függvények: f ( x) = x + 1 ; i( x) = x + 2 − 2 .

g ( x) = 2 x − 2 ;

h( x ) = − x + 2 ;

165


2. Négyzetgyökfüggvény értelmezési tartományának vizsgálata Mintapélda23 Határozzuk meg az f1 ( x ) = x + 3 ; f 2 ( x ) = 2 − x és f 3 ( x ) = − x 2 − 12 x − 26 hozzárendeléssel megadott függvények értelmezési tartományát! Megoldás: Azt kell megvizsgálni, hogy a gyökjel alatti kifejezés hol nemnegatív, vagyis mely xekre teljesül, hogy f1 esetén x + 3 ≥ 0; f2 esetén 2 − x ≥ 0; illetve f3 esetén − x 2 − 12 x − 26 ≥ 0 . f1 értelmezési tartománya: x ≥ −3. f2 értelmezési tartománya: 2 ≥ x. Most vizsgáljuk meg az f3(x) függvényt! 1. lépés: Kiszámoljuk a függvény zérushelyeit:

x1;2

12 ± 144 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ (− 26) 12 ± 40 = = = −2 −2

− 6 − 10 ≈ −9 ,16 − 6 + 10 ≈ −2 ,84

2. lépés: A függvény grafikonja egy lefelé nyíló parabola, mely az x tengelyt a −9,16 illetve az −2,84 helyeken metszi:

3. lépés: Az ábráról már könnyen leolvasható a megoldáshalmaz, ami egyben a függvény értelmezési tartománya is: − 6 − 10 ≤ x ≤ −6 + 10 .

166


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda24 Hol értelmezhető az f ( x ) =

(2 x + 11)⎛⎜ 5 − 4 x ⎞⎟ hozzárendeléssel megadott függvény? ⎝

5 ⎠

Megoldás: A gyökjel alatti szorzat nem vehet fel negatív értékeket. Egy kéttényezős szorzat értéke pedig csak akkor lesz nemnegatív, ha a tényezők értékeinek előjele megegyezik, illetve ha a szorzat 0. 4 I. 2 x + 11 ≥ 0 és 5 − x ≥ 0 Ö x ≥ −5,5 és x ≤ 6,25 Ö − 5,5 ≤ x ≤ 6,25 . 5

4 x ≤ 0 Ö x ≤ −5,5 és x ≥ 6,25 Ö ez a két feltétel egyszerre nem 5 teljesül Ö nincs megoldás. II. 2 x + 11 ≤ 0 és 5 −

Tehát a függvény értelmezési tartománya: − 5,5 ≤ x ≤ 6,25 .

Mintapélda25 Adjuk meg az f ( x) =

x 2 − 2x − 3 hozzárendeléssel megadott függvény értelmezési tarto− x 2 + 6x − 6

mányát! Megoldás: Egy tört értéke akkor nemnegatív, ha a számláló és a nevező előjele megegyezik, illetve a számláló 0 is lehet. Ezért 1. lépésben meghatározzuk mind a számlálóban, mind a nevezőben lévő kifejezéseknek mint függvényeknek a zérushelyeit: Számláló: x1; 2

2 ± 4 + 12 2 ± 4 = = = 2 2

3 −1

Nevező: x1; 2

− 6 ± 36 − 24 − 6 ± 2 3 = = = −2 −2

3 − 3 ≈ 1,27 3 + 3 ≈ 4 ,73

167


2. lépés: Készítsünk vázlatot a számlálóban és nevezőben lévő parabolák elhelyezkedéséről a zérushelyek és a főegyüttható alapján.

3. lépés: egy tört értéke akkor nemnegatív, ha I. x 2 − 2 x − 3 ≥ 0 és − x 2 + 6 x − 6 > 0 . A fenti ábrákról leolvasható, hogy x 2 − 2 x − 3 ≥ 0 akkor teljesül, ha x ≤ −1 vagy x ≥ 3 . A nevező pedig akkor pozitív, ha 3 − 3 < x < 3 + 3 . A közös tartomány: 3 ≤ x < 3 + 3 . II. x 2 − 2 x − 3 ≤ 0 és − x 2 + 6 x − 6 < 0 . A számláló akkor nempozitív, ha − 1 ≤ x ≤ 3 . A nevező pedig akkor negatív, ha x < 3 − 3 vagy x > 3 + 3 . Számegyenesen ábrázolva a kapott értékeket látható, hogy a közös tartomány: − 1 ≤ x < 3 − 3 .

A I. és II. eset összegzéseként megkapjuk a függvény értelmezési tartományát: 3 ≤ x < 3 + 3 vagy − 1 ≤ x < 3 − 3 .

Feladatok 51. Határozd meg a következő függvények értelmezési tartományát! b) f ( x) = − x ; c) f ( x) = 2 − x ; a) f ( x) = − x ;

d) f ( x) = 3 x + 5 ;

e) f ( x) = − 5 x + 1 ;

f) f ( x) =

1 x−4 . 2

52. Határozd meg a következő függvények értelmezési tartományát! 4 −2 a) f ( x) = ; b) f ( x) = ; c) f ( x) = x 2 + 5 x − 6 ; 5x − 6 7 − 4x x −1 ; e) f ( x) = − 3x 2 − 13x + 10 ; x+6 g) f ( x) = 3 − x + x − 3 ; h) f ( x) = x − 1 − x − 2 .

d) f ( x) =

f) f ( x) = 2 x 2 − 8 x + 13 ;

168


TANULÓK KÖNYVE

53. Határozd meg a következő függvények értelmezési tartományát! 2 a) f ( x) = b) f ( x) = − x + 5 ; c) f ( x) = x+3 −3; 3

d) f ( x) = − 5 x 2 + 30 x − 49 ; f) f ( x) =

e) f ( x) =

1 − x+5

;

x 2 − 5 x − 14 ; x 2 − 4x + 3

x − 2 3x + 1 − . 5x + 4 4 − 5x

3. A négyzetgyökfüggvény ábrázolása és a függvény jellemzése Mintapélda26 a) Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az

R + ∪ {0}-n értelmezett

a( x) = x 2 ,

b( x) = x és a valós számok halmazán értelmezett c( x ) = x függvények grafikonját! b) Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az R − ∪ {0}-n értelmezett a( x) = x 2 , b( x) = − x és a valós számok halmazán értelmezett c( x) = x függvények grafikonját! Mit tapasztalunk? Megoldás: a)

b)

Tapasztalat: Mindkét értelmezési tartományon a b függvény grafikonja az a függvény grafikonjának y = x egyenesre ─ a c függvény grafikonjára ─ vonatkozó tükörképe. Az a és b függvény a megfelelő értelmezési tartományon inverzei egymásnak. Hiszen egy P ( x; y ) pont akkor van rajta a b függvény grafikonján, ha y = x . Ekkor a négyzetgyök definíciója szerint y jelenti azt a nem negatív számot, amelyet négyzetre emelve x-et kapunk, vagyis y 2 = x . Tehát a P' ( y ; y 2 ) koordinátákkal megadott pont az a függvény grafikonjának

(

)

(

)

(

)

lesz az eleme. De P´ így is írható: P' x ; x . Összefoglalva: P x ; x és P' x ; x pontok koordinátái felcserélődtek, ami azt jelenti, hogy tükörképei egymásnak az y = x egyenesre vonatkozóan.

169


Feladatok 54. Ábrázold a következő függvények grafikonját, és jellemezd a függvényt! 1 f(x)= x; g( x ) = x + 1 ; h( x ) = −2 x ; k( x ) = x − 3 . 4

Mintapélda27 Ábrázoljuk az f ( x ) = −

1 x − 5 + 2 függvény grafikonját és jellemezzük a függvényt! 2

Megoldás: 1. lépés: Ábrázolás transzformációkkal

Transzformációs lépések: a ( x) = x ← alapfüggvény;

b( x ) = x − 5 ← a grafikonjának eltolása az x tengely mentén +5 egységgel; 1 c( x ) = x − 5 ← b grafikonjának y tengely menti felére zsugorítása; 2 1 d( x ) = − x − 5 ← c grafikonjának tükrözése az x tengelyre; 2 1 f(x)= − x − 5 + 2 ← d grafikonjának eltolása az y tengely mentén 2 egységgel. 2 2. lépés: Jellemzés

1) É.T.: x ≥ 5 és x valós; 2) É.K.: f ( x ) ≤ 2 és f ( x) ∈ R; 3) zérushely: 1 − x −5 + 2 = 0; 2 x − 5 = 4; x − 5 = 16 , innen x = 21 ; 4) monotonitás: szigorúan monoton csökkenő; 5) szélsőérték: maximumhely: x = 5; maximumérték: f(5) = 2; 6) paritás: nem páros, nem páratlan. 7) konvex (alulról nézve)

170


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda28 Ábrázoljuk az f ( x ) = 3 − 4 x függvény grafikonját és jellemezzük a függvényt!

Megoldás: 1. lépés: A hozzárendelési utasítás átalakítása. 3 − 4 x = − 4 x + 3 = − 4 ⋅ ( x − 0 ,75) = 4 ⋅ − ( x − 0 ,75) = 2 ⋅ − ( x − 0 ,75) . 2. lépés: Ábrázolás transzformációkkal. Transzformációs lépések: a ( x) = x ← alapfüggvény;

b( x ) = x − 0,75 ← a grafikonjának x tengely menti eltolása +0,75 egységgel; c( x ) = − ( x − 0,75) ← b grafikonjának tükrözése az x = 0,75 egyenletű egyenesre; f ( x ) = 2 ⋅ − ( x − 0 ,75) ← c y tengely menti kétszeres nyújtása.

3. lépés: Jellemzés

É.T.: ]− ∞; 0,75]; É.K.: nemnegatív valós számok halmaza; zérushely: x = 0; monotonitás: szigorúan monoton csökkenő; szélsőérték: minimumhely: x = 0,75; minimumérték: f(0,75) = 0; 6.) paritás: nem páros, nem páratlan. 7.) konkáv (alulról nézve) 1.) 2.) 3.) 4.) 5.)

Feladatok 55. Ábrázold a következő függvények grafikonját, és jellemezd a függvényt! 1 f1 ( x) = x + 1 ; f2( x ) = x +1 − 2 ; f3( x ) = x + 2; 4 1 f4( x ) = x−3. 3 56. Ábrázold a következő függvények grafikonját, és jellemezd a függvényt! f1 ( x) = 3 − x ; f 2 ( x) = 4 x − 6 ; f 3 ( x) = − x − 5 + 1 ;

f 4 ( x) = 4 x − 1 − 4 ;

f 5 ( x ) = −2 x + 4 + 8 .

171


Mintapélda29 ⎧ x , ha x ∈ R + ∪ { 0} függvény grafikonját! Hogyan lehetne Ábrázoljuk az f ( x ) = ⎨ − ⎩ − x , ha x ∈ R egyetlen hozzárendelési utasítással megadni ezt a függvényt? Megoldás:

Jellemzés: Ez a függvény a valós számok halmazán értelmezett. Nemnegatív értékeket vesz fel. A negatív számok halmazán szigorúan monoton csökkenő, míg a pozitív számok esetén szigorúan monoton növekvő. Az origóban minimuma van. Grafikonja szimmetrikus az y tengelyre, vagyis a függvény páros. A függvény megadható az f ( x ) = x hozzárendelési utasítással.

Feladatok 57. Ábrázold a következő függvények grafikonját, és jellemezd a függvényt!

f1 ( x ) = x 2 ;

f 2 (x ) =

f 4 (x ) =

f 5 (x ) =

x −3;

x −2 ; x −2;

f 3 (x ) =

x−2 ;

f 6 (x ) = x 2 − 6 x + 9 .

58. Add meg a következő függvények hozzárendelési utasítását!

172


TANULÓK KÖNYVE

59. Milyen függvénytranszformációkat mutat az alábbi ábra? Add meg a transzformációk helyes sorrendjét, hogy az f-fel jelölt grafikon legyen az eredmény az a ( x) = x -ből kiindulva!

173


Ismétlő és gyakorló feladatok a modul anyagához 60. Osztályozd a következő függvényeket az alábbi szempontok alapján!

Függvények: 1 a( x) = − x ; 2 1 g ( x) = x + 2 ; 2

b( x) = 3 ;

c( x) = −10 ;

e ( x ) = −2 x + 5 ;

d ( x) = 3x ;

4 f ( x) = − x − 7 ; 3

h( x ) = 5 x − 5 .

Szempontok: –

átmegy az origón,

–

elsőfokú függvények,

–

konstans függvények,

–

szigorúan monoton csökkenő,

–

szigorúan monoton növekvő.

61. Válaszd ki azokat az egyeneseket, amelyek áthaladnak a megadott pontokon!

Pontok: P(3;2); Q(−4;6); R(−2;–1); S(5; −4). Egyenesek: 1 a( x) = − x + 4 ; 2 f ( x) = 2 x + 3 ;

7 b( x ) = − x − 8 ; 2

c( x) = −3x + 11 ;

g ( x) = 2 ;

h( x ) =

Illeszkedés: –

illeszkedik a P(3;2) pontra,

–

illeszkedik a Q(−4;6) pontra,

–

illeszkedik a R(−2; −1) pontra,

–

illeszkedik a S(5; −4) pontra,

–

nem illeszkedik egyik pontra sem.

3 x−7; 5

2 d ( x) = − x − 2 ; 5 e( x ) = x + 2 .

174


TANULÓK KÖNYVE

62. Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényeket! (Alapértelmezésben a valós számok

halmaza az értelmezési tartomány. Az ettől való eltéréseket jelöljük.) 12 x − 9 ; 3 1 ⎛ 4 ⎞ f 2 ( x) = ⋅ ⎜ 8 − x ⎟ ; 2 ⎝ 3 ⎠ ⎛ 2 ⎞ f 3 ( x) = 3 ⋅ ⎜ − + x ⎟ , x ∈ Z+; ⎝ 3 ⎠ ⎛3 ⎞ f 4 ( x) = 5 x + 2 ⋅ ⎜ − x ⎟ , − 2 ≤ x ; ⎝2 ⎠ f1 ( x) =

2 x , x ∈ Z, − 8 < x ≤ 6 ; 3 6 + 3 ⋅ (2 x − 1) x < 4; f 6 ( x) = 3

f 5 ( x) = 1 −

f 7 ( x) = −3x + 1 , x ∈ [− 2;5[ ; f 8 ( x ) = −4 +

3 ⎛2 4 ⎞ ⋅ ⎜ + x ⎟ , x ∈ ]3;12] . 2 ⎝6 3 ⎠

63. Lineáris függvények ábrázolása

a) Az alábbi hozzárendelési utasításoknak megfelelően rajzold be a koordináta-tengelyeket!

f1 ( x ) = x + 5

f4( x ) =

1 x +1 2

f 2 ( x ) = 2x − 3

f3( x ) = −x − 2

f 5 ( x ) = −3x − 1

2 f6( x ) = − x + 3 3

b) Írd fel a következő grafikonok hozzárendelési utasításait. Add meg az értelmezési tartományt is! i) ii)

175


iii)

iv)

v)

vi)

c) Az alábbi hozzárendelési utasítások és értelmezési tartományok alapján rajzold be a koordinátatengelyeket! (A szakaszok kiinduló pontja mindig az értelmezési tartomány bal végpontja, félegyenesek esetén pedig a megfelelő végpont.) i)

f1 ( x ) = 2 x

É.T.: R+

ii)

1 x+3 2 É.T.: R−

f2( x ) =

iii)

f3( x ) = x + 3 É.T.: R; −2 ≤ x ≤ 6

176


iv)

TANULÓK KÖNYVE

v)

f4( x ) = −x + 1

f 5 ( x ) = −3x − 1

É.T.: R−

É.T.: R; −3 ≤ x ≤ 2

vi)

3 f6( x ) = − x + 2 2 É.T.: R; x ≥− 4

64. Add meg a lineáris függvény hozzárendelési utasítását, ha

a) átmegy a P(0;3) és a Q(

10 ; 3) pontokon; 3

b) átmegy az A(4;3) ponton, és meredeksége

3 ; 2

c) átmegy a P(− 4;1) ponton, és az y tengelyt a b = 5 pontban metszi; d) az y tengelyt a b = 5 pontban metszi, és párhuzamos az f(x) = 4x − 6 hozzárendelési utasítással megadott függvénnyel (mf = mg); 1 e) átmegy a C(3; −6) ponton, és párhuzamos az f ( x) = − x + 4 hozzárendelési utasítással 2 megadott egyenessel (mf = mg); 3 f) az y tengelyt a b = −3 pontban metszi, és merőleges az f ( x) = − x + 2 hozzárendelési 2 utasítással megadott egyenesre (mf · mg = −1); g) átmegy a P(–3;2) és a Q(0;–1) pontokon.


177

65. Szöveges feladatok

a) Két biciklis egyszerre indul el a 30 km-re lévő szomszédos faluba. Az egyik 25

km ,a h

km sebességgel halad. Hány percet kell várakoznia a másik érkezésére, aki h korábban érkezik? Ábrázold a folyamat út–idő grafikonját!

másik 30

b) Egy úszóbajnokságon a versenytáv 100 m. A leggyorsabb úszó 3 m-t tesz meg másodpercenként, a leglassabb 2,2 m-t. Mennyi idő alatt teszi meg a távot ez a két versenyző? Hány másodperccel később ér célba a lassabb úszó? Ábrázold az időt az út függvényében! c) Két diák borítékolást vállal. Fejenként 1000 db lapot kell borítékba helyezniük 4 óra alatt egyenletes teljesítménnyel. Két órán keresztül ennek megfelelően haladnak, de aztán az egyikük elfárad, és így nem tud, csak 200 borítékot elkészíteni óránként. Amikor társa végez a saját adagjával, segít neki, de mivel ő is elfáradt, így ő is csak 200 db borítékkal végez óránként. Hány perccel végeznek később, ha a megmaradt munkát egyenlően osztották szét egymás között? Ábrázold koordináta-rendszerben a már elkészült borítékok darabszámát az eltelt idő függvényében! d) Egy anyuka reggel hétkor elindítja kisfiát az iskolába. A gyerek rollerrel 8 perc alatt teszi meg az 1,2 km-es távot. Indulás után 3 perccel az anyuka észreveszi, hogy kisfia otthon hagyta a tízóraiját, és kerékpáron utána viszi. 1 perc alatt 300 m-t tesz meg. Mennyi idő múlva éri utol gyermekét? Ábrázold a folyamat út–idő grafikonját! e) Egy túraútvonalon elindul az egyik gyalogos 2 km/h sebességgel. Két órával később ugyanezen az útvonalon elindul egy másik gyalogos is 3 km/h sebességgel. Legalább milyen messze lehet a cél, ha ez utóbbi túrázó még előtte beéri az elsőt? Ábrázold koordináta-rendszerben az út–idő grafikont! f) Egy gyárban minden munkásnak 8 óra alatt 240 db terméket kell előállítani. Az egyik munkás csak 2 órával később tudott kezdeni, viszont 40 darabnál nem képes többet elkészíteni 1 óra alatt. Végez-e a munkaidő végéig, vagy bent kell maradnia? Ha bent kell maradnia, akkor mennyi idővel mehet később haza? Ábrázold közös koordinátarendszerben a többi munkás és a később jövő által előállított termékek számát az eltelt idő függvényében! g) Egy cukrászüzemben a sütő részleg óránként 40 db süteményt süt ki. A csomagoló részleg viszont óránként 50 darabot képes becsomagolni, így ott egy órával később kezdenek. Hány óra múlva fogynak el a becsomagolandó sütemények? Ábrázold közös

178


TANULÓK KÖNYVE

koordináta-rendszerben a sütő és a csomagoló részleg által elkészített sütemények számát az eltelt idő függvényében! h) Két villamos egyszerre indul el az egymástól 15 km-re lévő végállomásokról. Az egyik 30 km/h, a másik 25 km/h átlagsebességgel halad. Mikor és hol találkoznak? Ábrázold a folyamat út–idő grafikonját! i) Egy tartályban 18 l víz van. Amikor kinyitják a lefolyót, akkor percenként 3 l víz folyik ki belőle. Egy másik tartályban 3 l víz van, és ebbe percenként 2 l vizet engednek. Mikor lesz a két tartályban ugyanannyi víz? Ábrázold közös koordináta-rendszerben a víz mennyiségének alakulását! 66. Hol találhatók a számegyenesen az alábbi feltételeknek megfelelő pontok?

a) x > 2; b) x ≥ −3; c) x < −1; d) − 4 < x ≤ 5; e) − 7,5 ≤ x ≤ −1; f) 0 ≤ x < 3,5; g) x ≤ − 2 vagy x > 0; h) x < 1 vagy x > 3.

67. Hol találhatók a síkban az alábbi feltételeknek megfelelő pontok?

a) x ≥ −1; b) x < 3; c) y > 2; d) y ≤ − 5; e) x ≥ −1 és y ≤ −5; f) x > −2 és y ≤ 0; g) x = − 4 és y > 5; h) y = 2 és x > −5.

179


68. Tudjuk, hogy 1 N erő 1 kg tömegű testen 1 s alatt 1m/s sebességváltozást hoz létre.

Ugyanaz az 1 N nagyságú erő 1 s alatt mekkora sebességváltozást eredményez 2; 4; 10; 0,5;

1 1 ; kg tömegű testen? (A tömeg és a másodpercenkénti sebességváltozás, azaz a 4 10

gyorsulás fordítottan arányos.) 69. Legyen a kiindulási függvény az f(x) = x2. Mi lesz a függvény hozzárendelési utasítása, ha grafikonját

a) eltoljuk az x tengely mentén pozitív irányba 3 egységgel? b) eltoljuk a v(0;2) vektorral? c) tükrözzük az y tengelyre? d) eltoljuk a v(−3; −1) vektorral? e) kétszeresére nyújtjuk? f) tükrözzük az x tengelyre, majd felére zsugorítjuk? g) először tükrözzük az x tengelyre, majd eltoljuk az y tengely mentén +5 egységgel? h) eltoljuk a v(0;2) vektorral, majd tükrözzük az x tengelyre? i) először eltoljuk a v(1;2) vektorral, majd tükrözzük az y tengelyre?

70. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a valós számok halmazán értelmezett f ( x) = x ,

x ≥ 0; g ( x) = x + 3 , x ≥ −3; és h( x) = x − 2 , x ≥ 2 függvények grafikonját! Az ábrázoláshoz felhasználhatod a következő értéktáblázatokat! x

–3

–2

–1

0

1

2

3

f(x)

─

─

─

0

1

2

3

g(x)

0

1

2

3

2

5

6

x

0

1

2

3

4

5

6

f(x)

0

1

2

3

2

5

6

h(x)

─

─

0

1

2

3

2

180


TANULÓK KÖNYVE

71. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a nemnegatív valós számok halmazán értel1 mezett f ( x) = x , g ( x) = 2 x és h( x) = x függvények grafikonját ( x ≥ 0 )! 2 Az ábrázoláshoz felhasználhatod a következő értéktáblázatokat!

x

0

0,1

0,5

1

2

3

4

5

8

9

f(x)

0

0,32

0,71

1

1,41

1,73

2

2,24

2,83

3

g(x)

0

0,64

1,42

2

2,82

3,46

4

4,48

5,66

6

h(x)

0

0,16

0,355

0,5

0,705

0,865

1

1,12

1,415

1,5

181


Kislexikon Egyenes arányosság: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek hányadosa állandó,

akkor azok egyenesen arányosak. Az egyenes arányosságot az f(x) = m x, m ≠ 0 lineáris függvény írja le, ahol m az arányossági tényező. Fordított arányosság: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek szorzata állandó,

akkor azok fordítottan arányosak. A fordított arányosságot leíró függvény az f ( x) =

a , x ≠ 0 és a ≠ 0. x

Lineáris függvény: a konstans (nulladfokú) és az elsőfokú függvények összessége. Hozzá-

rendelési utasítása: f ( x ) = mx + b . Grafikonja egyenes.

Lineáris törtfüggvény: az f ( x) =

a alakú hozzárendelési utasítással megadott függvény, x

ahol a ∈ R; a ≠ 0; x ∈ R; x ≠ 0. Megjegyzés: f ( x) =

ax + b a lineáris törtfüggvény általánosabb alakja, ahol c x + d ≠ 0. cx + d

Másodfokú függvény: f(x) = ax2 + bx + c hozzárendeléssel megadott függvény, ahol a ≠ 0.

A másodfokú függvény grafikonját parabolának nevezzük.

Másodfokú függvény zérushelye: az x1; 2 =

− b ± b 2 − 4ac képlettel kapjuk meg. A négy2a

zetgyök alatti kifejezést diszkriminánsnak nevezzük, és D-vel jelöljük. A diszkrimináns előjele határozza meg a függvény zérushelyeinek számát. Ha D > 0, akkor kettő, ha D = 0, akkor egy zérushelye van a függvénynek. Ha D < 0, akkor nincs zérushelye. Főegyüttható: a változó legmagasabb hatványának szorzótényezője. 2

b ⎞ b2 ⎛ +c. Teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítás: ax + bx + c = a⎜ x + ⎟ − 2a ⎠ 4a ⎝ 2

182


TANULÓK KÖNYVE

Másodfokú függvény szélsőértéke: ha a főegyüttható pozitív, akkor a parabola felfelé nyílik,

így a függvénynek minimuma van. Ha a főegyüttható negatív, akkor a parabola lefelé nyílik, így a függvénynek maximuma van. Legyen az f(x) = ax2 + bx + c másodfokú függvény f(x) = a (x−p)2 + q alakú. Ekkor a függvény szélsőértékének helye p, értéke q. Az f grafikonján a szélsőérték helye az M (p; q) pont. Egy szám négyzetgyökén azt a nemnegatív számot értjük, amelyet négyzetre emelve megkapjuk az eredeti számot. Jelöléssel: Ha a ≥ 0 , akkor amelyre

( a)

2

a jelöli azt a nemnegatív valós számot,

= a.

Négyzetgyökfüggvényen értjük a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett,

f ( x) = x hozzárendeléssel megadott függvényt.

Inverzfüggvény: Inverz függvénye csak a kölcsönösen egyértelmű függvényeknek van, va-

gyis amelyek minden értéket egyetlen helyen vesznek fel. Az f és a g függvények egymás inverzei, ha •

f értékkészlete megegyezik g értelmezési tartományával,

•

f értelmezési tartománya megegyezik g értékkészletével,

•

az f értelmezési tartományának minden x elemére teljesül, hogy g[f(x)] = x, azaz a hozzárendelés iránya. Az inverz függvények grafikonjai egymás tükörképei az y = x egyenletű egyenesre (ha a függvények koordináta-rendszerben ábrázolhatók).

A függvények néhány tulajdonsága: 1. Monotonitás:

–

A függvény az értelmezési tartománya egy intervallumában szigorúan (monoton) növekvő, ha növekvő x értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak. A függvény

az értelmezési tartománya egy intervallumában monoton növekvő, ha a növekvő x értékekhez nem csökkenő függvényértékek tartoznak. –

A függvény az értelmezési tartománya egy intervallumában szigorúan (monoton) csökkenő, ha növekvő x értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak. A függvény


183

az értelmezési tartománya egy intervallumában monoton csökkenő, ha a növekvő x értékekhez nem növekvő függvényértékek tartoznak. 2. Zérushely: azon x érték, ahol a függvény helyettesítési értéke 0. Ha a függvény ábrázol-

ható, ez szemléletesen azt jelenti, hogy a függvény grafikonjának itt van közös pontja az x tengellyel. 3. Szélsőérték:

–

A függvénynek az x helyen abszolút maximuma van, ha a függvény az x helyen veszi fel legnagyobb értékét. (A függvénynek az x helyen helyi maximuma van, ha ezen hely valamely környezetében a függvény itt veszi fel a legnagyobb értékét, de ezen környezeten kívül ennél nagyobb értéket is felvehet.) x-et maximumhelynek, f(x)-et maximumértéknek nevezzük.

–

A függvénynek az x helyen abszolút minimuma van, ha a függvény az x helyen veszi fel legkisebb értékét. (A függvénynek az x helyen helyi minimuma van, ha ezen hely valamely környezetében a függvény itt veszi fel a legkisebb értékét, de ezen környezeten kívül ennél kisebb értéket is felvehet.) x-et minimumhelynek, f(x)-et minimumértéknek nevezzük.

4. Függvény paritása:

– A függvény páratlan, ha minden x értékre teljesül az f(−x) = −f(x) azonosság. Geometriai megközelítésben: a függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra. –

A függvény páros, ha minden x értékre teljesül az f(x) = f(−x) azonosság. Geometriai megközelítésben: a függvény grafikonja az y tengelyre szimmetrikus.

5. Konvexitás, konkávitás:

Egy görbe egy intervallumban alulról nézve konvex, ha itt bármely két pontját összekötve, a kapott húr pontjai a görbe pontjai felett vannak. Egy görbe egy intervallumban alulról nézve konkáv, ha itt bármely két pontját összekötve a kapott húr pontjai a görbe pontjai alatt vannak.

6. MODUL másodfokúra visszavezethető problémák Készítette: Darabos Noémi Ágnes

186


TANULÓK KÖNYVE

I. Másodfokúra visszavezethető magasabb fokszámú egyenletek A matematikusok különösen nagy erőfeszítést tettek, hogy a másodfokú egyenlet megoldóképletéhez hasonlóan megtalálják a magasabb fokszámú egyenletek megoldóképletét is. Girolamo Cardano (1501–1576) olasz matematikus, 1545-ben megjelent könyvében közölte a harmadfokú egyenletek megoldóképletét. Utólag kiderült, hogy a megoldóképletet a bolognai egyetem professzora, Ferro találta meg elsőként, aki azonban ezt titokban tartotta, és csak halála előtt adta tovább egyik tanítványának, Fiore-nak. Ebben az időben azonban egy másik tehetséges olasz matematikus Nicolo Tartaglia is önállóan megtalálta a megoldóképletet, és elmondta Cardanonak. Cardano ekkor már dolgozott a könyvén, és így került bele Tartaglia bizonyítása Cardano könyvébe. Cardano becsületére legyen mondva, a felfedezést soha nem tartotta magáénak. Az ő érdeme azonban, hogy Tartaglia képletét általánosította, illetve megmutatta, hogy minden általános harmadfokú egyenlet megoldása visszavezethető az alakúéra. Mindenesetre a harmadfokú egyenletek megoldóx 3 + bx = c képletét Cardanoról nevezték el. Evariste Galois (1811–1832) francia matematikus, őt tartják a modern algebra megalapozójának. Rövid munkássága során megmutatta, hogy melyek azok az egyenlettípusok, melyek csupán a négy alapművelettel és gyökvonással megoldhatók. Niels Henrik Abel (1802–1829) norvég matematikus bebizonyította, hogy az ötöd-, vagy annál magasabb fokszámú egyenletekre általában nem létezik megoldóképlet. Mi most az olyan speciális magasabbfokú egyenletekkel foglalkozunk, melyek bizonyos átalakítások és helyettesítések során, az egyenletek fokszámát csökkentve másodfokú egyenletekre vezethetők vissza.

Mintapélda1 Oldjuk meg a x 4 = 625 egyenletet a negatív egész számok halmazán! Megoldás:

Alaphalmaz: Z

–

Vegyük mindkét oldal negyedik gyökét: x = 5 . Ebből két megoldás adódik: x1 = 5,

x 2 = −5 ⇒

a megoldáshalmaz M = {5; − 5} .

A feladat alaphalmazába csak az x = −5 tartozik. A megoldás helyességéről ellenőrzéssel győződhetünk meg.

Mintapélda2 Oldjuk meg az a következő egyenleteket! a) x 4 − 13x 2 + 36 = 0 ;

b) 2 x 4 + 2 x 2 − 12 = 0 .

187

6. modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ…

Megoldás:

a) Amennyiben nem teszünk megszorítást az alaphalmazra vonatkozóan, a megoldásokat mindig a valós számok körében, R-ben keressük. Mivel (x 2 ) = x 4 ezért célszerű egy új ismeretlent bevezetni: y = x 2 , ahol y ≥ 0 . 2

Ekkor az egyenlet a következő alakba írható: y 2 − 13 y + 36 = 0. Ezt megoldjuk, felhasználva a megoldó képlet, két megoldást kapunk: y1 = 4 , y 2 = 9. Ebből felhasználva, hogy y = x 2 , ha y = 4 ⇒

x2 = 4 ⇒

x1 = 2 , x 2 = −2 ,

ha y = 9 ⇒

x2 = 9 ⇒

x 3 = 3, x 4 = −3 .

Tehát az egyenletnek négy megoldása van: M = {2; − 2; 3; − 3} . A feladat alaphalmazába mind a négy megoldás beletartozik. A megoldások helyességéről ellenőrzéssel győződhetünk meg. b) Vezessük be az y = x 2 új ismeretlent, ahol y ≥ 0 . Ekkor az egyenlet a következő alakba írható: y 2 + y − 6 = 0. Ezt megoldjuk, felhasználva a megoldóképletet, két megoldást kapunk: y1 = 2 , y 2 = −3. Tekintve, hogy y = x 2 , ha y = 2 ⇒

x2 = 2 ⇒

x1 = 2 , x 2 = − 2 ,

ha y = −3, akkor az egyenletnek nincs valós megoldása, hiszen y ≥ 0 . Tehát az egyenletnek két megoldása van: M =

{ 2 ; − 2}.

A feladat alaphalmazába mind a két megoldás beletartozik. A megoldások helyességéről ellenőrzéssel győződhetünk meg.

Mintapélda3 Oldjuk meg az 8( x + 2) + 7( x + 2 ) − 1 = 0 egyenletet a valós számok halmazán! 6

3

Megoldás: Célszerű új ismeretlent bevezetni: y = (x + 2) . 3

Ekkor az új egyenletünk: 8 y 2 + 7 y + −1 = 0 . y1,2 =

− 7 ± 49 + 32 16

⇒

1 y1 = −1, y 2 = . 8

Ebből felhasználva, hogy y = ( x + 2) , 3

ha y = −1 ⇒

(x + 2)3 = −1

⇒

x + 2 = −1 x1 = −3 ;

188


ha y =

1 ⇒ 8

(x + 2)3 = 1 8

TANULÓK KÖNYVE

⇒

x+2=

1 2

3 x2 = − . 2

⎧ Tehát az egyenletnek két megoldása van: M = ⎨− 3; − ⎩

3⎫ ⎬. 2⎭

A feladat alaphalmazába mindkét megoldás beletartozik. A megoldások helyességéről ellenőrzéssel győződhetünk meg.

Mintapélda4 Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! a) x 3 + 4 x 2 + 3 x

b) x 4 − 10 x 2 + 9

c) Egyszerűsítsük a

x 3 + 4 x 2 + 3x törtet! x 4 − 10 x 2 + 9

Megoldás:

(

)

a) x 3 + 4 x 2 + 3 x = x x 2 + 4 x + 3 = x( x + 1)( x + 3), mert a x 2 + 4 x + 3 = 0 másodfokú egyenlet gyökei x1 = −1, x 2 = −3 , így gyöktényezős alakja: (x + 1)( x + 3) . b) Legyen x 2 = y , ekkor az x 4 − 10 x 2 + 9 = y 2 − 10 y + 9 = ( y − 1)( y − 9), mert az y 2 − 10 y + 9 = 0 másodfokú egyenlet gyökei y1 = 1,

( y − 1)( y − 9) ,

(

)(

y 2 = 9 , így gyöktényezős alakja:

)

x 4 − 10 x 2 + 9 = x 2 − 1 x 2 − 9 = ( x + 1)( x − 1)( x + 3)( x − 3) . c) Minthogy a nevező nem lehet nulla, x 4 − 10 x 2 + 9 ≠ 0 ⇒

x1,2 ≠ ±1, x 3 ,4 ≠ ±3

ezért az értelmezési tartomány: R \ {− 1; 1; − 3; 3}. x 3 + 4 x 2 + 3x x ( x + 1)( x + 3) x = = 4 x − 10 x + 9 ( x + 1)( x + 3)( x − 1)( x − 3) ( x − 1)( x − 3)

Mintapélda5

(

)(

)

Oldjuk meg az x 2 + 7 x + 9 x 2 + 7 x + 7 = 3 egyenletet a negatív számok halmazán! Megoldás: –

Alaphalmaz: R . Célszerű új ismeretlent bevezetni: y = x 2 + 7 x + 9 . Ekkor az új egyenletünk: y( y − 2 ) = 3 ⇒

y2 − 2y − 3 = 0 ⇒

y1 = −1, y 2 = 3 .

Figyelembe véve, hogy y = x 2 + 7 x + 9 , ha y = −1 ⇒

x 2 + 7 x + 9 = −1 ⇒

x 2 + 7 x + 10 = 0 ⇒

x1 = −2, x 2 = −5 ,

189


ha y = 3 ⇒

x 2 + 7x + 9 = 3 ⇒

x 2 + 7x + 6 = 0 ⇒

x1 = −1, x 2 = −6 .

Tehát az egyenletnek négy megoldása van: M = {− 1; − 2; − 5; − 6}. A feladat alaphalmazába mind a négy megoldás beletartozik. A megoldások helyességéről ellenőrzéssel győződhetünk meg.

Mintapélda6 Oldjuk meg a 2 x 4 − 5 x 3 − 8 x 2 − 5 x + 2 = 0 egyenletet a pozitív számok halmazán! Megoldás: Alaphalmaz: R+. Célszerű az egyenlet mindkét oldalát elosztani x 2 -tel, hiszen x ≠ 0 : 2 x 2 − 5x − 8 −

5 2 + = 0. x x2

Csoportosítsuk az egyenlő együtthatójú tagokat: 2 x 2 +

2 5 − 5x − − 8 = 0 . 2 x x

1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ Emeljük ki az egyenlő együtthatókat: 2⎜ x 2 + 2 ⎟ − 5⎜ x + ⎟ − 8 = 0 . x⎠ x ⎠ ⎝ ⎝ 2

1⎞ 1 1 ⎛ Vezessük be az y = x + új ismeretlent, ekkor y 2 = ⎜ x + ⎟ = x 2 + 2 + 2 . x⎠ x x ⎝ Így az új egyenletünk: 2( y 2 − 2) − 5 y − 8 = 0 ⇒ 2 y 2 − 5 y − 12 = 0 , y1,2 =

5 ± 25 + 4 ⋅ 2 ⋅ 12 2⋅2

⇒

3 y1 = 4, y 2 = − . 2

Ebből felhasználva, hogy y = x +

1 , x

1 ⇒ x 2 − 4x + 1 = 0 ⇒ x x1 = 2 + 3 ≈ 3,73, x 2 = 2 − 3 ≈ 0,27 ; y=4 ⇒ 4=x+

y=−

3 2

⇒ −

3 1 =x+ x 2

x1,2 =

4 ± 12 =2± 3 ⇒ 2

⇒ 2 x 2 + 3x + 2 = 0 ⇒

x1,2 =

A diszkrimináns negatív, így innen nem kapunk megoldást.

{

−3± −7 . 4

}

Tehát az egyenletnek két valós megoldása van: M = 2 + 3 ; 2 − 3 . A feladat alaphalmazába mindkét megoldás beletartozik. A megoldások helyességéről ellenőrzéssel győződhetünk meg.

190


TANULÓK KÖNYVE

Feladatok 1. Oldd meg a következő egyenleteket:

a) x 4 = 81 ;

b) x 3 = − 64 ;

c) x 4 = − 625 ;

d) x 6 − 729 = 0 .

2. Oldd meg a 16 x 4 − 257 x 2 + 16 = 0 egyenletet! 3. Oldd meg az x 6 − 63x 3 − 64 = 0 egyenletet! 4. Oldd meg a 9 x 4 = 25 + 224 x 2 egyenletet! 5. Oldd meg a 27 x 6 + 1 + 28 x 3 = 0 egyenletet! 6. Oldd meg az x 8 = 15 x 4 + 16 egyenletet! 7. Oldd meg a 8 x 6 + 1 = 9 x 3 egyenletet! 8. Oldd meg a 8( x − 1) − 215( x − 1) − 27 = 0 egyenletet! 6

(

9. Oldd meg az x 2 + 4 x

3

)

2

+ 105 = 26(x 2 + 4 x ) egyenletet!

(

) (

)

2

10. Oldd meg a − 4 x 2 + 5 x + 3 = x 2 + 5 x + 3 + 3 egyenletet! 11. Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket!

a) x 3 + 5 x 2 + 6 x ;

b) x 4 − 5 x 2 + 4 ;

c) x 3 + 2 x 2 + 2 x + 1 ;

d) x 3 + 4 x 2 + 5 x + 6 ;

⎛ 12. Legyen ⎜ x + ⎝ meg az x 2 +

e) x 4 + x 2 + 1 ;

f) x 4 + 3x 2 + 4 .

2

1⎞ ⎟ = 16 és x pozitív szám. Az x értékének kiszámítása nélkül adjuk x⎠

1 1 , ill. x 3 + 3 kifejezések az értékét! 2 x x

13. Oldd meg a 3x 4 + 14 x 3 + x 2 + 14 x + 3 = 0 egyenletet! 14. Oldd meg az x 4 + 4 x 3 − 19 x 2 + 4 x + 1 = 0 egyenletet!

(

) ( 3

) ( 3

15. Oldd meg az x 2 + 2 x + 1 + 2 x 2 − 3x − 5 = 3x 2 − x − 4

halmazán!

)

3

egyenletet a valós számok


191

II. Törtet tartalmazó egyenletek Mintapélda7 Oldjuk meg az

x 2 − 3x − 10 = x − 5 egyenletet! x+2

Megoldás: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a (− 2 ) -től különböző valós számok halmaza. Röviden: R \ {− 2}. x 2 − 3 x − 10 = ( x − 5)( x + 2 ) x 2 − 3 x − 10 = x 2 − 3 x − 10

Azonosság, tehát az értelmezési tartomány minden eleme megoldás.

Mintapélda8 Oldjuk meg az

x 2 − 3x − 10 = x − 3 egyenletet! x+2

Megoldás: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a (− 2 ) -től különböző valós számok halmaza. Röviden: R \ {− 2}. x 2 − 3x − 10 = ( x − 3)( x + 2) , x 2 − 3x − 10 = x 2 − x − 6 , x = −2 .

A (− 2 ) nem eleme az egyenlet értelmezési tartományának, így az egyenletnek nincs megoldása. Megoldáshalmaz: M = { }.


3 − x x + 2 12 x − 6 + egyenletet! = x + 4 x − 4 x 2 − 16

Megoldás: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a (− 4 ) -től és 4 -től különböző valós számok halmaza. Röviden: R \ {− 4; 4} . Szorozzuk mindkét oldalt a közös nevezővel, (x − 4)( x + 4) = x 2 − 16 − tal!

192


TANULÓK KÖNYVE

(3 − x )(x − 4) + (x + 2)(x + 4) = 12 x − 6 − x 2 + 7 x − 12 + x 2 + 6 x + 8 = 12 x − 6 13 x − 4 = 12 x − 6 x = −2 A (− 2 ) eleme az egyenlet alaphalmazának. Ellenőrzés: Bal oldal értéke:

3 − (− 2) (− 2 ) + 2 5 + = . (− 2) + 4 (− 2) − 4 2

Jobb oldal értéke:

12(− 2 ) − 6

(− 2)

2

− 16

=

− 30 5 = . − 12 2

Az x = −2 valóban megoldás. Megoldáshalmaz: M = {− 2} .


x + 11 2 3 egyenletet! − = 2 x − 1 x + 3 x + 2x − 3

Megoldás: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a (− 3) -tól és 1 -től különböző valós számok halmaza. Röviden: R \ {− 3; 1} . Szorozzuk mindkét oldalt a közös nevezővel, ( x − 1)( x + 3) = x 2 + 2 x − 3 -mal!

(x + 11)(x + 3) − 2(x − 1) = 3 x 2 + 12 x + 32 = 0 ⇒

x1 = −8, x 2 = −4

Megoldáshalmaz: M = {− 8; − 4}. A megoldások helyességéről ellenőrzéssel győződünk meg.

Mintapélda11 Oldd meg a

13 x 2 + 8 x − 3 = 3 egyenletet! x 2 − 7x + 6

Megoldás: Minthogy a nevező nem lehet nulla, x 2 − 7 x + 6 ≠ 0 ⇒ x1 ≠ 1, x 2 ≠ 6 ezért az értelmezési tartomány: R \ {1; 6} .

(

13x 2 + 8 x − 3 = 3 x 2 − 7 x + 6

)

⇒ 10 x 2 + 29 x − 21 = 0 ⇒

7 3 x1 = − , x 2 = . 2 5


⎧ 7 3⎫ Megoldáshalmaz: M = ⎨− ; ⎬ . ⎩ 2 5⎭

A megoldások helyességéről ellenőrzéssel győződünk meg.

Feladatok x 2 + 4 x − 11 x + 3 = egyenletet! 16. Oldd meg az 21 7 2x + 1 4x + 2 = egyenletet! 3 x

17. Oldd meg a

x 2 + 7x − 6 = 6 − x egyenletet! 18. Oldd meg az x

(

)

19. Oldd meg az

6 2 6 1+ x2 4 + 2 = − egyenletet! 2 x x x x

20. Oldd meg az

x−4 x−4 egyenletet! = 2x + 1 7x − 3

21. Oldd meg a

8 x 2 + 15 x − 9 = 2 egyenletet! x2 + x − 2

22. Oldd meg az

x 2 + 5x + 6 = 0 egyenletet! x 2 + 2x − 3

23. Oldd meg az

x+2 x−2 20 egyenletet! + = 2 x+3 x−3 x −9

24. Oldd meg az

x+2 6x + 4 + = 2 egyenletet! 2 3x − x 6 x − 2

25. Oldd meg az

x+8 3 6 − 2x egyenletet! − = 2 x−2 x+3 x + x−6

26. Oldd meg az

x−3 − 4 x − 13 5 egyenletet! − = 2 x + 2 x − 5 x − 3 x − 10

27. Oldd meg a

x3 + x = 12 egyenletet! x2 + 1

193

194


28. Oldd meg a

TANULÓK KÖNYVE

x 3 − 5 x 2 − 14 x 3x 2 − 18 x − 21 = egyenletet! x 2 − 2x − 8 x 2 − 3x − 4

Törtet tartalmazó egyenletek megoldásakor gyakran végzünk olyan átalakításokat, amikor hamis gyököt kapunk, vagy gyököt vesztünk (például egyszerűsítés, vagy ismeretlennel való szorzás, osztás). Ezekre fokozottan figyeljünk!

195


III. Szöveges feladatok Az aranymetszés (olvasmány) Aranymetszésnek nevezik egy szakasz két olyan részre való felosztását, melyek közül a kisebb (rövidebb) szakasz hossza úgy aránylik a nagyobbikhoz, mint az az egészhez. Jelölje az aranymetszési arány szerint felosztandó AB szakasz hosszát a , és legyen C az aranymetszésnek megfelelő olyan osztópont, melyre az AC = x a hosszabb, CB pedig a rövidebb szakasz.

Ekkor a következő aránypárt írhatjuk fel: a−x x = , ahonnan x 2 = a(a − x ) = a 2 − ax . x a Az egyenlet x változó szerint rendezett redukált alakja x 2 + ax − a 2 = 0 .

a ( −1 ± 5 ) − a ± 5a 2 . Mivel a > x > 0, így a nagyobbik szakasz hossza = 2 2 a ( −1 + 5 ) . x= 2 Innen x1, 2 =

Az aranymetszésnek megfelelő arány a középkorban legfőképpen a templomok méretarányaiban jelentkezett. Ez a nevezetes arány azonban sok esetben nem csupán az alapméretekre, hanem ez épület más részeinek viszonyára is vonatkozott. Az aranymetszésnek megfelelő arány alkalmazását a reneszánsz építészei is átvették. A római Szent Péter Bazilika, mely több évszázadon keresztül épült, alaprajzától a kupola tervezéséig számos méretviszonyában hordoz aranymetszésnek megfelelő arányokat. A reneszánsz mesterek legtöbb alkotásán az aranymetszési arány kiemelkedő szerepet játszik. E képszerkesztésnek egyik példája Leonardo: Angyali üdvözlet cím alkotása.

. A képen a könyvtámasz alatti asztalka középvonalán áthaladó függőleges vonal a vízszintes helyzetű kép terét pontosan aranymetszés szerint osztja. Mária, illetve az angyal alakjának a középvonala az osztással kapott részeken belül szintén az aranymetszésnek megfelelően helyezkedik el úgy, hogy mindkettő az adott térrész ugyanazon oldalára esik. Ezzel olyan

196


TANULÓK KÖNYVE

aszimmetria jön létre, mely a kép egyensúlyát biztosítja. A kép függőleges terét két vízszintes egyenes vonal az aranymetszésnek megfelelő arányban osztja, melyek közül a felső a kertben húzódó alacsony építmény fedőlapjának felső élén halad át, az alsó pedig a kerti utat a pázsittól választja el. Ha a két nőalak mozdulatait követő vonalakat gondolatban meghosszabbítjuk, azok metszéspontja szintén az aranymetszés szerint osztó, az asztal középvonalán áthaladó egyenesre esik. Ez az egybeesés is arra utal, hogy ez a kép valódi főtengelye. Auguste Renoir: Nő a Békástanyán című képe is jól átgondolt kompozíciós törvényeknek engedelmeskedik.

Az ábrázolt nő arcának középvonalán áthaladó egyenes pontosan a kép szélességi méretének az aranymetszetébe kerül. Az erkély korlátjának felső széle, melyen a hölgy karja, illetve keze is nyugszik, a kép széléhez annak aranymetszetében illeszkedik. Az e ponton áthaladó, a kép hosszával párhuzamos egyenes egyúttal a másik karnak az asztalra támaszkodó pontján is áthalad. Forrás: Hámori Miklós: Arányok és talányok

Mintapélda12 Egy áruszállító csónak a víz folyásával egyirányban halad 20 km-t, ott kiteszi a rakományt, majd megfordul és visszaindul a kiindulási ponthoz. Az indulástól a megérkezésig 5 órát töltött vízen a csónak. Mekkora a csónak sebessége állóvízben, ha a folyóvíz sebessége 3 km/h? Megoldás: Legyen a csónak sebessége x km/h, akkor a vízben lefelé x + 3 km/h, felfelé x − 3 km/h sebességgel halad.

Így lefelé a 20 km-es utat

20 20 , felfelé óra alatt tette meg. x+3 x−3

197


20 20 + = 5 ⇒ 20( x − 3) + 20( x + 3) = 5( x − 3)( x + 3) ⇒ x+3 x−3

x 2 − 8x − 9 = 0 ,

x1 = 9 , x 2 = −1 .

A negatív gyöknek itt nincs értelme, a csónak sebessége állóvízben 9 km/h. Ha a csónak a víz folyásával egyirányban halad, akkor a sebessége 12 km/h így a 20 km-t

3 óra = 100 perc alatt teszi meg, visszafelé a sebessége 6 km/h így a 5

20 km-t 200 perc alatt teszi meg. Ez összesen 300 perc, azaz 5 óra.

Feladatok 30. Egy pozitív számnak és a reciprokának a különbsége 3,75. Melyik ez a pozitív szám? 31. A Nagyi karácsonyra 2520 Ft-ért vett narancsot. Ha ugyanennyi pénzért kilónként

28 Ft-tal drágább mandarint vásárolt volna, akkor egy kilóval kevesebbet kapott volna. Hány kg narancsot vásárolt a Nagyi az ünnepekre? 32. Ádám és Dávid testvérek. Ádám a lakást 3 órával tovább takarítja, mint Dávid. Együtt

2 óra alatt végeznek. Mennyi időre van szükségük a lakás kitakarításához különkülön? 33. Egy teremben téglalap alakba rendeztek 180 széket. Másnap minden sorba 5 székkel

többet tettek, de a sorok számát csökkentették 7-tel, ekkor összesen 100 szék van a teremben. Eredetileg hány szék volt egy sorban? 34. Anti és fia együtt a füvet 2 óra 24 perc alatt nyírja le. A fiúnak két órával több időre

van szüksége, mint apjának, ha egyedül dolgozik. Mennyi idő alatt nyírja le a füvet Anti? 35. Egy derékszögű háromszög területe 54 cm2, átfogója 13 cm. Mekkorák a befogói? 36. Egy amatőr futó minden nap ugyanannyit fut le a kitűzött 42 km-ből. Ha minden nap

fél kilométerrel többet futna, akkor két nappal hamarabb teljesítené a távot. Hány nap alatt futotta le eredetileg a maratoni hosszúságot?

198


TANULÓK KÖNYVE

37. Egy tört számlálójának és nevezőjének szorzata 132. Ha a számlálóját eggyel növeljük,

nevezőjét eggyel csökkentjük, akkor az eredeti tört reciprokát kapjuk. Melyik ez a tört? 38. Levente kitalálta, hogy ha a 600 oldalas kötelező olvasmányból minden nap

ugyanannyit olvas el, akkor pont befejezi a könyvet a megadott határidőre. Azonban a könyvtárból a könyvet csak hat nappal később tudta kikölcsönözni, így minden nap 5 oldallal többet kell olvasnia a könyvből, hogy azt időben befejezze. Hány oldalt kell így elolvasnia egy nap? 39. Marci téglalap alakú kertet vásárolt. A szomszédos

oldalak felezőpontjai által határolt területet virágokkal ültette. A virágos rész területe 120 m 2 , kerülete 52 m. Mekkora Marci egész kertjének a kerülete?

199


Összefoglalás Matematikai TOTÓ Megoldáshalmaz

Az egyenlet 1

2

{− 4; 4}

{16; − 2}

{1}

{1; 2}

{1; − 1; 2; − 2}

{1; − 1; 3; − 3; 0}

{0; 1; 3}

{1; − 1; 3; − 3}

{3; − 5}

{ 3; − 3}

{3; 1}

{− 1; 2}

{1; 2}

⎧3⎫ ⎨ ⎬ ⎩2⎭

{− 2; 5}

⎧2⎫ ⎨ ⎬ ⎩3⎭

4⎫ ⎧ ⎨− 6; ⎬ 3⎭ ⎩

{6}

4⎫ ⎧ ⎨6; − ⎬ 3⎭ ⎩

{4; − 4;

X

2; − 2

1.

x 4 − 15 x 2 − 16 = 0

2.

x 6 − 9x 3 + 8 = 0

3.

x 6 − 10 x 4 + 9 x 2 = 0

4.

x 4 + 2 x 2 − 15 = 0

5.

2 x = x − 3 1− x

6.

3=

7.

6 x 2 + 5x − 4 =1 3x 2 + 19x + 20

8.

6x + 8 x + 2 x − 2 = + x2 − 4 x − 2 x + 2

{3}

{− 2; 2}

{0, 3}

9.

2x 2 − 2x − 4 =2 x 2 − 9 x + 14

{2}

{}

{7; 2}

{7; 8}

{9; 6}

{11; 4}

{35; 55}

{25; 65}

{45; 45}

{10; 24}

{20; 48}

{30; 8}

{25}

{29}

{27}

x − 5 2 x − 17 + x+2 x−5

Két szám összege 15, 10. négyzeteik összege 113. Melyik ez a két szám? Egy 1625 m2 területű téglalap alakú telket 180 m 11. hosszú kerítéssel vettek körül. Mekkorák a telek méretei? Derékszögű háromszög 2 12. területe 480 cm , átfogója 52 cm, mekkorák a befogói? Egy osztály mozijegyei összesen 17 550 Ft-ba kerül. Két gyerek 13. megbetegedett, így ők nem fizettek, de a többieknek még 52 Ft-ot kell fizetni. Hányan járnak az osztályba?

{ 3; −

3; 5 ; − 5

}

}

7. MODUL négyzetgyökös egyenletek Készítette: Gidófalvi Zsuzsa

202


TANULÓK KÖNYVE

I. Egyszerű négyzetgyökös egyenletek Azokat az egyenleteket, amelyekben az ismeretlen négyzetgyök alatt is előfordul, négyzetgyökös egyenleteknek nevezzük.

Mintapélda1 Határozzuk meg azt az x-et, amelyre a

x = 2 egyenlet teljesül!

Megoldás: Olyan x ≥ 0 valós számot keresünk, amelynek a négyzetgyöke 2. Ez a 4. Tehát x = 4.

Mintapélda2 Matematikai TOTÓ Válaszd ki a következő egyenletek megoldásait! Egyenletek

1 nem értelmezhető

2

x

x=9

x=–9

1.

x = 3, ahol x ≥ 0

2.

x – 1 = 3 , ahol x ≥ 0

x=4

x = 16

x = – 16

3.

x − 3 = 3 , ahol x ≥ 3

x = 12

x = –12

x=9

4.

2 x − 3 = 3 , ahol x ≥

3 2

x=5

x=6

x=7

5.

x − 1 + 3 = 3 , ahol x ≥ 1

x=0

x=3

x=1

6.

x = 6, ahol x ≥ 0

x = 36

x = 18

x=0

7.

2 x − 1 = 6, ahol x ≥

8.

(− x )

37 2 nempozitív valós szám

9.

(− x ) = 5, ahol x ∈ R

minden valós szám

38 2 negatív valós szám

x = 25

x = – 25

nincs megoldás

10.

x 2 − 4 = 3, ahol x ≥ 2

x = 13

x = – 13

11.

x – 3 = – 5, ahol x ≥ 0

x=4

nincs megoldás

x = 16

12.

2·x + 1 = 0, ahol x ≥ –

nincs megoldás

x=

13.

(− x )

13+1.

2

1 2

x = 37

= – x, ahol x ∈ R

2

2

= 3, ahol x ≤ 0

x 2 = x, ahol x ∈ R

1 2

x=–

1 2

x=

x=

x= ±

13

1 2

x=3

x=–3

nincs megoldás

minden valós szám

negatív valós szám

nemnegatív valós szám

203

7. modul: NÉGYEZTGYÖKÖS EGYENLETEK

Mintapélda3 Írjunk fel olyan négyzetgyökös egyenleteket, amelyeknek a gyöke x = 4.

Megoldás: Lehetséges megoldások például:

x = 2 vagy

3x – 3 = 3.

Mintapélda4 Oldjuk meg a következő egyenletet:

x – 2 = 2. Megoldás: Először a bal oldali kifejezés értelmezési tartományát határozzuk meg. Mivel a négyzetgyökjel alatt csak nemnegatív szám lehet:

x – 2 ≥ 0 feltételnek kell teljesülnie. ⇒ x ≥ 2. Mivel az egyenlet mindkét oldalán nemnegatív szám szerepel, a négyzetreemelés elvégzésével az előbbivel egyenértékű (ekvivalens ) egyenletet kapunk.

x – 2 = 4, x = 6. Ellenőrzés: bal oldal:

6–2 =

4 = 2; jobb oldal: 2.

Mintapélda5 Oldjuk meg a következő egyenletet! 2 x + 1 – 1 – x = –1.

Megoldás: Határozzuk meg, hogy az egyenlet mely valós számokra értelmezhető! 2x+1≥0 ⇒ x≥–

1 . 2

Négyzetre emelés előtt célszerű átrendezni az egyenletet úgy, hogy csak a négyzetgyökös kifejezés álljon az egyenlet egyik oldalán. 2 x + 1 = x – 1. Mivel az egyenlet bal oldalán nemnegatív szám szerepel, az egyenlőség csak akkor teljesülhet, ha a jobb oldal is nemnegatív. Tehát x – 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1.

204


TANULÓK KÖNYVE

Így az egyenlet csak olyan valós számokra teljesülhet, amelyekre x ≥ –

1 és x ≥ 1 teljesül, 2

vagyis x ≥ 1. Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát: 2 x + 1 = (x – 1)2, 2 x + 1 = x2– 2 x + 1, 0 = x2– 4 x. Alakítsuk szorzattá az egyenlet jobb oldalát: 0 = x (x – 4). Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, azaz

x1 = 0

x2 – 4 = 0 ⇒ x2 = 4.

vagy

Ellenőrzés: x1 = 0 nem tartozik az értelmezési tartományhoz, ezért ez hamis gyök. Az egyenlet megoldása így x2 = 4. Helyettesítsük be: bal oldal:

2⋅ 4 +1 – 4 =

9 – 4 = 3 – 4 = –1; jobb oldal: –1.

A két oldal megegyezik ⇒ x = 4 gyöke az egyenletnek.

Oldjuk meg az egyenletet grafikusan is! 2 x + 1 – x = –1. Rendezzük át az egyenletet úgy, hogy a bal oldalon csak a négyzetgyökös kifejezés maradjon. 2 x + 1 = x – 1. Az egyenlet mindkét oldalát függvényként ábrázoljuk, és ahol a két grafikon metszi egymást, ott olvasható le az egyenlet megoldása. A két függvény most:

f(x) =

2 x + 1 és g(x) = x – 1.


Megjegyzés: A grafikus megoldásról az is leolvasható, hogy

2 x + 1 ≥ x – 1, ha x ≥ 4; 2 x + 1 < x – 1, ha –

1 ≤ x < 4. 2

Mintapélda6 Oldjuk meg a

x 2 − 4 x + 4 = 3 egyenletet!

Megoldás: Ha megvizsgáljuk a négyzetgyök alatti kifejezést, láthatjuk, hogy az teljes négyzet.

x2 – 4x + 4 = (x – 2)2, ezért az egyenlet minden valós számra értelmezhető. Használjuk fel a

a 2 = a összefüggést! Az eredeti egyenlet akkor így írható:

x − 2 = 3.

Bontsuk fel az abszolútértéket! x − 2 = x – 2,

ha x – 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2;

x − 2 = – x + 2, ha x – 2 ≤ 0 ⇒ x < 2.

Így az eredeti egyenlet két egyenlettel helyettesíthető. Ha x ≥ 2, akkor

x – 2 = 3 ⇒ x = 5.

Ha x < 2, akkor

–x + 2 = 3 ⇒ x = –1.

Ellenőrzés:

205

206


x1 = 5; bal oldal:

52 − 4 ⋅ 5 + 4 =

x2 = –1; bal oldal:

TANULÓK KÖNYVE

25 − 20 + 4 =


(−1) 2 − 4 ⋅ (−1) + 4 = 1 + 4 + 4 =


Tehát mind a két szám gyöke az egyenletnek. Az egyenletet négyzetre emeléssel is meg lehet oldani.

x2 – 4x + 4 = 9 x2 – 4x – 5 = 0 A megoldóképlet szerint: 4 ± (−4) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−5) 4 ± 36 4±6 = = , innen 2 2 2

x1, 2 = x1 = 5,

x2 = –1.

Behelyettesítéssel megmutatható, hogy mindkét kapott gyök megoldás.

Mintapélda7 Oldjuk meg az x2 + 2x + 1 +

x 2 + 2 x + 4 = 3 egyenletet!

Használjuk fel, hogy x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 > 0, ezért a feladat minden valós számra értelmezett.

1. megoldás: Legyen x2 + 2x + 1 = y. Az új ismeretlen felhasználásával az egyenletünk a következőképpen írható:

y+

y + 3 = 3.

Rendezzük át az egyenletet: y + 3 = 3 – y, ahol 3 – y ≥ 0, mert a négyzetgyökös kifejezés értéke csak nemnegatív

szám lehet ⇒ y ≤ 3 és y + 3 ≤ 0, y ≥ –3, mert a gyökjel alatt sem lehet negatív mennyiség! Így – 3 ≤ y ≤ 3. Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát:

y + 3 = 9 – 6 y + y2, 0 = y2 – 7 y + 6,

y=

7 ± 49 − 24 7±5 . = 2 2

y1 = 6,

y2 = 1.

Az y1 = 6 esetén nem teljesül az egyenlőség.

y2 = 1 esetén meghatározzuk az x értékeket:

207


x2 + 2x + 1 = 1, x2 + 2x = 0, x(x + 2) = 0, x1 = 0,

x2 = –2.

Ellenőrizzük a kapott gyököket:

x1 = 0

x2 = –2

bal oldal: 1 +

4 =1+2=3

bal oldal: (–2)2 + 2 · (–2) + 1 + =4–4+1+

jobb oldal: 3

4−4+4 = 1 +

jobb oldal:3.

Tehát az egyenlet megoldáshalmaza: M = {0;−2}.

2. megoldás: y = x 2 + 2 x + 4 , a négyzetgyök definíciója miatt y ≥ 0, y2 – 3 + y = 3, y2 + y – 6 = 0, y1,2 =

− 1 ± 1 + 24 −1± 5 = , 2 2

y1 = 2,

y2 = –3, de ez nem adhat megoldást.

x 2 + 2 x + 4 = 2,

x2 + 2x + 4 = 4, x2 + 2x = 0, x(x + 2) = 0, x1 = 0, x2 = –2. Ellenőrzéssel meggyőződhetünk mindkét gyök helyességéről.

Feladatok 1. Oldd meg az alábbi egyenleteket:

a)

x = 9;

b)

− x = 3;

c)

x = –1;

d)

x 2 = 5.

(−2) 2 + 2 ⋅ (−2) + 4 4 =1+2=3

208


TANULÓK KÖNYVE

2. Határozd meg az alábbi egyenletek gyökeit:

a)

x − 5 = 0;

b)

4 x − 4 = 4;

c)

2 x + 3 = 0;

d)

3 x − 4 = 5.

3. Oldd meg az alábbi egyenleteket:

a)

x + 3 = x;

b)

2 x + 1 = x + 1;

c)

x − 1 = x – 1;

d)

x − 3 = x – 3;

e)

x − 2 = 7 – 2x;

f)

3 x + 1 = 3x – 11;

g)

x + 6 = x;

h)

9 − x + 5 = 1.

4. Oldd meg a következő egyenleteket:

a)

x + 2 + 2 = x;

b) 196 − x 2 + 14 = x;

c)

5 − x + 3 = x;

d)

5− x –

x = – 3. 2

5. Teljes négyzetté alakítás felhasználásával oldd meg a következő egyenleteket:

a)

x 2 − 10 x + 25 = 0;

b)

4 x 2 − 4 x + 1 = 5;

c)

x 2 + 6 x + 9 = 1 + x;

d)

x 2 + 2 x + 1 –x = 1.

6. Új ismeretlen bevezetésével oldd meg a következő egyenleteket:

a) x2 +

x 2 − 9 = 21;

b) x2 + 4x + 4 + x 2 + 4 x + 9 = 7.

209


II. Két négyzetgyökös kifejezést tartalmazó egyenletek Mintapélda8 (Látszólag két négyzetgyökös kifejezést tartalmazó egyenlet.) Oldd meg az alábbi egyenletet: 9 x − 27 +

x − 3 = 12!

Megoldás:

Az egyenletnek x ≥ 3 esetén van értelme. Vegyük észre, hogy az első gyökös kifejezésben a gyökjel alatt szereplő mennyiség szorzattá alakítható, és a 3 kiemelhető a négyzetgyökjel elé. Ezeket felhasználva kapjuk a következő egyenletet: 3 x−3 +

x − 3 = 12.

Összevonva a négyzetgyökös kifejezéseket: 4 x − 3 = 12, x − 3 = 3.

Négyzetre emelve az egyenletet: x – 3 = 9, x = 12.

Ellenőrzés: bal oldal:

9 ⋅ 12 − 27 + 12 − 3 =

81 +

9 = 9 + 3 = 12; jobb oldal: 12.

12 valóban gyöke az egyenletnek.

Mintapélda9 (Az értelmezési tartomány vizsgálatával megoldható egyenletek.) Oldjuk meg az alábbi egyenleteket: a)

x−3 +

x − 3 = 0,

b)

x−3 +

2 − x = 1,

c)

x 2 − x + −6 +

x 2 − 7 x + 12 = 0.

Megoldás:

a) Vizsgáljuk meg az értelmezési tartományt: 3 – x ≥ 0 ⇒ x ≤ 3, x – 3 x ≥ 0 ⇒ x ≥ 3.

Az egyenlet megoldása során olyan x értéket keresünk, amely mind a két feltételt egyszerre igazzá teszi. A két feltétel csak akkor teljesül egyszerre, ha x = 3.

210


TANULÓK KÖNYVE

Ellenőrzés: x = 3 esetén az egyenlet bal oldala is és a jobb oldala is nulla, tehát teljesül az

egyenlőség. b) Vizsgáljuk meg az értelmezési tartományt: x – 3 x ≥ 0 ⇒ x ≥ 3,

2 – x ≥ ⇒ x ≤ 2. Az egyenlet megoldása során olyan x értéket keresünk, amely mind a két feltételt egyszerre kielégíti. Nincs olyan valós szám, amely nagyobb lenne mint 3 és ugyanakkor kisebb lenne mint 2. Ebből adódik, hogy az egyenlet értelmezési tartománya az üres halmaz. Tehát az egyenletnek nincs megoldása. c) Vegyük észre, hogy itt két négyzetgyök összege egyenlő nullával, amely csak akkor teljesül, ha mind a két gyök alatti kifejezés nulla, hiszen két nemnegatív szám öszege csak így lehet 0. Vizsgáljuk meg a gyök alatti kifejezéseket: x2 – x – 6 = 0.

Alakítsuk szorzattá a kifejezést! (x – 3)(x + 2) = 0. Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Tehát: x1 = 3, x2 = –2. x2 – 7x +12 = 0.

Alakítsuk szorzattá a kifejezést! (x – 3)(x – 4)=0. Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Tehát: x1 = 3, x2 = 4. x = 3 esetén mindkét kifejezés nulla lesz, ez lehet megoldása az egyenletnek, és más

nem. Ellenőrzés: 3 2 − 3 − 6 = 0. 3 2 − 7 ⋅ 3 + 12 = 0.

Tehát az x = 3 megoldása az egyenletnek.


211

Mintapélda10 Oldjuk meg az alábbi négyzetgyökös egyenletet: x −1 –

2 x + 5 = 0.

Megoldás:

Megvizsgáljuk az értelmezési tartományt: 5 x – 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1 és 2x+5 ≥ 0 ⇒ x ≥ – . Az egyenlet értelmezési tartománya a két halmaz 2 közös része: x ≥ 1. Átrendezzük az egyenletet: x −1 =

2x + 5 .

Négyzetre emelve: x – 1 = 2x + 5,

– 6 = x. Ez nem tartozik az értelmezési tartományhoz, tehát az egyenletnek nincs megoldása.

Mintapélda11 Oldjuk meg az alábbi egyenletet: 2x + 8 –

x + 5 = 7.

Megoldás:

Megvizsgáljuk az értelmezési tartományt: 2x + 8 ≥ 0 ⇒ x ≥ – 4 és x +5 ≥ 0 ⇒ x ≥ –5. Az egyenlet értelmezési tartománya a két halmaz közös része: x ≥ –4. Átrendezzük az egyenletet úgy, hogy a bal oldalon csak egyetlen négyzetgyökös kifejezés szerepeljen: 2x + 8 = 7 +

x+5.

Emeljük négyzetre mindkét oldalt! 2x + 8 = 49 + 14 · x + 5 + x + 5. Így egyetlen négyzetgyököt tartalmazó egyenletet kapunk, melyet úgy rendezünk át, hogy a jobb oldalon csak a négyzetgyökös kifejezés szerepeljen: x – 46 = 14 · x + 5 , ahol x – 46 ≥ 0, azaz x ≥ 46.

212


TANULÓK KÖNYVE

Ismételten négyzetre emeljük mindkét oldalt: x2 – 92x + 2116 = 196 · (x + 5), x2 – 92x + 2116 = 196x + 980.

Nullára rendezzük az egyenletet: x2 – 288x + 1136 = 0, x1 =

288 + 78400 288 + 280 = = 284, 2 2

x2 =

288 − 78400 288 − 280 = = 4, nem eleme az É.T.-nek. 2 2

Ellenőrzés: 2 ⋅ 284 + 8 –

x = 284; bal oldal:

284 + 5 = 24 – 17 = 7; jobb oldal: 7.

Mintapélda12 Oldjuk meg a következő egyenletet: x2 − 4x + 4 +

x 2 + 2 x + 1 = 4.

Megoldás:

Vegyük észre, hogy mind a két négyzetgyök alatt teljes négyzet szerepel, vagyis az értelmezési tartomány R. A következőképpen lehet átírni az egyenletet:

( x − 2) 2 +

( x + 1) 2 = 4.

Használjuk fel a

a 2 = a összefüggést!

x − 2 + x + 1 = 4.

Tehát a fenti egyenletet visszavezettük egy abszolútértékes egyenletre. Bontsuk fel az abszolútértékeket! x − 2 = x –2,

ha x – 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2,

x − 2 = – x + 2, ha x – 2 ≤ 0 ⇒ x < 2,

x + 1 = x + 1, ha x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ – 1, x + 1 = –x – 1, ha x + 1 < 0 ⇒ x < – 1.

213


Az abszolútértékes egyenletet három lineáris egyenlettel helyettesíthetjük a megfelelő intervallumokon. Ha x < – 1:

Ha – 1 ≤ x < 2:

Ha x ≥ 2:

–x + 2 – x – 1 = 4,

– x + 2 + x + 1 = 4,

x – 2 + x + 1 = 4,

–2x + 1 = 4,

3 = 4,

2x – 1 = 4,

–2x = 3,

ellentmondás.

2x = 5,

3 x=– . 2 Az x =

x=

5 . 2

5 3 és az x = – a kívánt intervallumban vannak, ezért gyökei lehetnek az eredeti 2 2

egyenletnek. Ellenőrzéssel meggyőződünk róla, hogy mind a két szám valóban megoldása az egyenletnek.

Feladatok 7. Oldd meg a következő egyenletet:

3x − 1 –

x = 1.

8. Oldd meg a következő egyenletet:

5− x +

x − 3 = 2.

9. Írj fel olyan négyzetgyökös egyenleteket, amelyek gyökére a következő feltételek

valamelyike teljesül: x = 3, x ∈ R, x = 0. 10. Oldd meg az alábbi egyenleteket:

a)

7 1 +x= , 2 2

b)

2 x 2 − 2 = 4,

c) x + 2 =

7x + 2 ,

d) 2 3 + x +

− 2 x = 4.

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

Recommend Documents