MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET „A” Matematika 10. szakiskolai évfolyam tanulók könyve 1. FÉLÉV

A kiadvány KHF/4384-13/2008. engedélyszámon 2008.12.17. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv

A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3.1.1. központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás feladataira) keretében készült, a suliNova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: www.educatio.hu címen.

Szakmai vezető: Oláh Vera Alkotószerkesztők: Ratkó Istvánné, Ruzsinszkyné Lukácsy Margit Lektor: Koller Lászlóné dr. Felelős szerkesztő: Teszár Edit

H-AMAT1003 © Szerzők: Csákvári Ágnes, Koller Lászlóné dr., Vidra Gábor Educatio Kht. 2008. Tömeg: 530 gramm Terjedelem: 13,94 (A/5 ív)

A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Tantárgy-pedagógiai szakértő: Kónya István Tudományos szakmai szakértő: dr.Marosváry Erika Technológiai szakértő: Ábrahám Júlianna

tartalom

1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása (Csákvári Ágnes) . . . . . . .

5

Ajánlott szakmai jellegű feladatok (Koller Lászlóné dr.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2. modul: Pitagorasz-tétele, négyzetgyök, valós számok (Vidra Gábor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Ajánlott szakmai jellegű feladatok (Koller Lászlóné dr.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3. modul: Másodfokú függvények és egyenletek (Csákvári Ágnes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Ajánlott szakmai jellegű feladatok (Koller Lászlóné dr.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

A könyvben kidolgozott MINTAPÉLDÁK segítenek a tananyag megértésében. A FELADATOK szintjét a sorszám előtti házikó mutatja: alapszintű feladatok: középszintű feladatok: emelt szintű feladatok: Ahol nincs ilyen jelzés, azt a példát mindenkinek ajánljuk.

Mire jó a matematika? Te mit gondolsz? Minek tanuljon Pitagoraszról meg egyenletekről olyasvalaki, akinek az iskolán kívül nem lesz dolga velük? Az interneten minden adatot megtalálhatunk, amit csak akarunk! Mi, akik ezt a tananyagot írtuk, szeretünk beszélgetni, utazni, jó zenét, szép verseket hallgatni, virágot adni és kapni, szépen öltözni, finom ebédet enni – és szeretjük a matematikát. Ezekben a munkatankönyvekben arra a kérdésre próbálunk felelni: Mi szeretni való van a matematikában? Kétezer-háromszáz évvel ezelőtt Arkhimédész köröket meg négyzeteket rajzolt a homokba, és megpróbálta megszámolni a homokszemeket egy akkora gömbben, mint az egész Világmindenség. Sokan mondhatták akkor: „Hát ennek mi haszna?” Homokszemek számolása és négyzetek rajzolása közben az Ember megtanulta a matematikai gondolkodást, a matematika nyelvét. Ez a gondolkodásmód, ez a nyelv segítette abban, hogy utakat, gépeket, városokat építsen, néhány óra alatt átrepülje az óceánt, fényképezzen, mobilon beszélgessen, vagy a másodperc tört része alatt könyvtárra való tudnivalót gyűjtsön össze a számítógépen. Az igazi matematika – csoda. Olyan, mint a költészet. Csokonai írta a költőről: „…teremt új dolgokat, S a semmiből világokat.” Majdnem szóról szóra ugyanígy fejezte ki magát Bolyai János, a matematikus, amikor felfedezéséről írt édesapjának: „Semmiből egy új, más világot teremtettem.”* Gondold el: soha, senki nem látott még igazi pontot, egyenest, kört vagy párhuzamost. Mindezek csak a mi képzeletünkben léteznek. S ezekből a képzelet szülte fogalmakból teremtett a matematika – meg a fantázia, bátorság, tapasztalat és józan ész – valóságos, kézzelfogható csodákat, amelyek hozzátartoznak mindennapi életünkhöz. Ezt a szépséget, ezt a kalandot szeretnénk megmutatni a matematikában. Vannak olyan részek is, amiket gyakorolni kell, éppen azért, hogy a lényeget érteni, élvezni tudd. Ha focizni, táncolni, gördeszkázni, úszni, sakkozni vagy főzni tanulsz, akkor is időt kell szánnod a gyakorlásra.

Mit szeretnénk még mondani Neked a könyveinkkel? Szeretnénk, ha bíznál magadban! Ha azt mondanád: „Okos, ügyes vagyok. Tudok gondolkozni, dönteni, ha barátot, társat, életpályát kell választanom. Cselekedeteimért, döntéseimért én vagyok felelős, senki más.” Örülnénk, ha hinnél abban, hogy meg tudod változtatni a dolgokat magad körül, meg tudod javítani a világot! Szeretnénk, ha tudnád: minden ember számára a legfontosabb – a többi ember. Magadat gazdagítod, ha gondolataiddal, alkotóképességeddel másokat gazdagítasz. Használd arra a matematikát, meg minden más tudásodat, tehetségedet, hogy szeretetben, szerelemben, örömben élj az emberek között! Ehhez kívánnak Neked sok szerencsét:

a 10. osztályos matematika munkatankönyvek szerzői

* A Csokonai- és Bolyai-idézetek közti kapcsolatra egy egyetemi hallgató, azóta már tanár, Szmerka Gergely hívta fel a figyelmünket.

1. MODUL

elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása Készítette: Csákvári Ágnes

6

MATEMATIKA „A” • 10. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM

TANULÓK KÖNYVE

I. Lineáris függvények A lineáris függvény fogalma, tulajdonságai (ismétlés)

x a ax + b

Azokat a függvényeket, amelyeknek grafikonja egyenes, lineáris függvényeknek nevezzük, és az x a ax + b képlettel adjuk meg, ahol a a függvény grafikonjának meredeksége, b pedig az y tengellyel való metszéspont 2. koordinátája.

xab

Ha a = 0, akkor az x a b hozzárendelést kapjuk, melyet konstans függvénynek nevezünk. Ekkor a függvény képe az x tengellyel párhuzamos egyenes. Ha a ≠ 0, akkor ez a lineáris függvény elsőfokú.

x a ax, ha a > 0

x a ax, ha a < 0

Ha a > 0, akkor a függvény növekvő, vagyis növekvő x értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak.

1. modul: ELSŐFOKÚ KÉTISMERETLENES EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA

7

Ha a < 0, akkor a függvény csökkenő, vagyis növekvő x értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak. Általában: Minden x a ax függvény egyenes arányosságot fejez ki, amelyben az arányosság tényezője a. A függvényábrázoláskor a azt mutatja meg, hogy egy egységnyi jobbra haladás esetén hány egységet megyünk az y tengely mentén pozitív a esetén felfelé, negatív a esetén lefelé.

Feladatok 1. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! 1 a) x a 2 x ; –2 ≤ x < 3; b) x a x ; x egész szám; 3 c) x a −3 x ; x természetes szám; d) x a 3 ; –4 < x < 5. 2. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott

függvényeket! a) x a x + 2 ; x egész szám;

b) x a −x + 4 ; x természetes szám;

c) x a x − 3 ; –4 < x < 1;

d) x a −x − 1 ; 0 ≤ x ≤ 5 .

3. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! 1 2 a) x a − x + 5 ; b) x a 3 x − 5 ; c) x a −5 x + 1 ; d) x a − x − 1,5 . 3 3 4. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! 4x − 1 3x − 2 ⎛ 2 ⎞ a) x a d) x a −⎜ − x − 1⎟ . ; b) x a − ; c) x a −(3 x + 4 ) ; 2 2 ⎝ 3 ⎠

8


TANULÓK KÖNYVE

II. Elsőfokú, egyismeretlenes egyenletek (ismétlés) Mintapélda1 m , és sebessége egyenletesen csökken másodpercenként s m m 0,4 -mal. Hány másodperc múlva lesz 3,1 a sebessége? s s

Egy kerékpáros kezdősebessége 4,7

Grafikus megoldás: A kerékpáros sebességét t idő elteltével a következő képlettel határozhatjuk meg:

v(t ) = −0,4t + 4,7 . Ábrázoljuk koordináta-rendszerben a t a −0,4t + 4,7 függvényt.

A v tengely 3,1 értékénél húzzunk párhuzamost a t tengellyel. Ez a párhuzamos valahol metszi a függvény grafikonját. Ezt a metszéspontot a t tengelyre vetítve látható, hogy 4 másodperc múlva éri el a kerékpáros a 3,1

m sebességet. s

Algebrai megoldás: A kerékpáros pillanatnyi sebességét a 4,7 – 0,4t képlettel határozhatjuk meg. Azt a t értéket keressük, amikor a fenti kifejezés 3,1 -del egyenlő. Az egyenlet megoldásának lépései: 1. lépés: A célunk az, hogy az egyenlet egyik oldalára a számok kerüljenek, a másik oldalára pedig az ismeretlent tartalmazó kifejezések. Megjegyzés: A lépések közben összevonásokat is végezhetünk.

4,7 – 0,4t = 3,1 – 0,4t = –1,6

/ – 4,7


9

2. lépés: Meghatározzuk t értékét úgy, hogy t együtthatójával elosztjuk az egyenlet mindkét oldalát. – 0,4t = –1,6

/ : –0,4

t=4 A megoldás során a mérlegelvet alkalmaztuk, melynek lényege, hogy amilyen műveletet végzünk az egyenlet egyik oldalán, azt a műveletet az egyenlet másik oldalán is végrehajtjuk. Mérlegelv: Szabad az egyenlet mindkét oldalából ugyanazt a kifejezést kivonni vagy mindkét oldalhoz hozzáadni. Szabad az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a 0-tól különböző értékű kifejezéssel szorozni vagy osztani.

Az egyenlet megoldásakor figyeljünk arra is, hogy az ismeretlen milyen értékekre értelmezett. Esetünkben a szövegkörnyezetből derül ki, hogy a t változó értéke a pozitív valós számok halmazán (R+) értelmes. A kapott érték (t = 4) megfelel ennek a feltételnek. Ellenőrizzük, hogy tényleg jó-e az eredmény! Helyettesítsük be az eredeti egyenletbe! Ellenőrzés: Bal oldal: 4,7 – 0,4⋅4 = 4,7 – 1,6 = 3,1.

Jobb oldal: 3,1.

A jobb és a bal oldal megegyezik, azaz a megoldás helyes.

Mintapélda2 Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! 8 x + 24 2 x + 15 = 3− 3 6 Megoldás: 8 x + 24 2 x + 15 = 3− 3 6 2 ⋅ (8 x + 24) 2 x + 15 = 3− 6 6

Közös nevezőre hozunk (a közös nevező 6). /⋅ 6

Ügyeljünk arra, hogy az egész tagokat is megszorozzuk! A törtvonal zárójelet helyettesít!

10


TANULÓK KÖNYVE

2 ⋅ (8 x + 24 ) = 3 ⋅ 6 − (2 x + 15)

Bontsuk fel a zárójelet mindkét oldalon, és végezzük el a kijelölt műveleteket!

16 x + 48 = 18 − 2 x − 15 16x + 48 = 3 – 2x 16x + 2x + 48 = 3 18x + 48 = 3 18x = – 45 x = – 2,5

Vonjuk össze a jobb oldalon a számokat. / + 2x

Ellenőrzés:

/ – 48 / :18

8 ⋅ (− 2,5) + 24 − 20 + 24 4 = = . 3 3 3 − 5 + 15 2 ⋅ (− 2,5) + 15 10 5 9 5 4 = 3− Jobb oldal: 3 − = 3− = 3− = − = . 6 6 6 3 3 3 3 A két oldal értéke megegyezik, tehát a megoldás jó. Bal oldal:

Feladatok 5. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!

a) 4 x + 3 = −5 ;

b) 3k + 1 = 7 − k ;

c) 3(z + 1) = 9 − z ;

d) − x + 3 + 2 x = 1 ;

e) 7k + 3 = 7 − 3k ;

f) 1,3 y + 2 y = 0,3 y + 9 ;

g) 7k + 4 = −6k + 10 − (6 − 23) ;

h) 7c − 3c − 5 =

i) 7b − 23 − 7 = −2b + 15 ;

j) 4,7 – 0,4v = 0,3v +1,9v.

− 18c + 10 ; 2

6. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!

a) 5 x +

1 3⎞ ⎛ = 4⎜ x − ⎟ ; 2 8⎠ ⎝

b) 9 − 3m + 5 − 4m = −m − 3 + 4m ;

c) 0,9 + (0,5 − 1,4 z ) + 0,8 z + 0,5 z = 0,9 z + 1 ; d) ⎛ e) 3,75 − 3⎜ 0,7t + ⎝

5 1⎞ ⎟ = −0,6t − t ; 2 4⎠

7 a − 5 3a − 1 3 =− ; − 10 5 5

f) 3( x + 1) + 2( x − 2) = 10 − 4(2 x − 3) ;

g) 7,2k − 1,2k + 5,2 = 7,3 − 2,4 + 0,1(25k + 1) + 2,5k ; h) 5(c + 2) = 4(18 − 2c ) + 3 ; j) 2 x + 7 +

3 x − 5 19 x + 2 13 x . = + 6 4 12

i) 3x + 2 − ( x + 1 − 3) = x + 2 ;

11


III. Kétismeretlenes egyenlet Kétismeretlenes egyenlet megoldása Mintapélda3 Egy téglalap alakú víztároló köré 30 m hosszú korlátot tettek, hogy elkerüljék a balesetet. Mekkorák lehetnek a víztároló oldalai? Megoldás: Jelöljük a víztároló oldalait a-val és b-vel! A feladat szövege alapján a következő egyenletet írhatjuk fel: 2a + 2b = 30 Ez egy kétismeretlenes egyenlet, melynek megoldása közben olyan a és b számpárokat keresünk, amelyek a feladat szövege alapján értelmesek, és visszahelyettesítve az egyenlőségbe a megfelelő helyekre, teljesül az egyenlőség. Például: ha a = 1, akkor b = 28. A keresgélést segíti, ha az egyenletből kifejezzük az egyik változót a másik felhasználásával: 2a + 2b = 30 / – 2a 2b = 30 –2a / : 2 b=

30 − 2a 2

b = 15 – a A feladat szövege szerint oldalhosszt keresünk, ezért a is és b is csak pozitív valós szám lehet. Készítsünk táblázatot! a

0,2

1

b

14,8 14

2

3

4

6,8

7

13

12

11

8,2

8

Végtelen sok ilyen megoldáspárt tudunk felírni.

19 2 11 2

12

14

14,99

3

1

0,01

12


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda4 A piacon tyúktojást és fürjtojást árulnak. A tyúktojás darabja 20 Ft, a fürjtojásé 40 Ft. Menynyit vehetünk az egyik és mennyit a másik fajtából, ha összesen 300 Ft-unk van tojásra? Megoldás: A tyúktojások darabszámát jelölje x, a fürjtojásokét y. A feladat szövegének értelmében mindkét érték csak nem negatív egész szám lehet. (Előfordulhat, hogy egyikből nem veszünk egy darabot sem.) Az x darab tyúktojásért 20x forintot fizetünk, az y darab fürjtojásért 40y forintot, de öszszesen 300 Ft-ot költünk. A következő egyenletet írhatjuk fel: 20x + 40y = 300 Fejezzük ki y-t az x változó segítségével: 20x + 40y = 300

/ – 20x

40y = 300 – 20x

/ : 40

y=

300 20 − x 40 40

y=

15 1 − x 2 2

Készítsünk értéktáblázatot! x 1 3 5 7 9 11 13 15 y 7 6 5 4 3 2 1 0

Mintapélda5 Oldjuk meg az előző feladatot úgy, hogy a tyúktojás 23 Ft-ba kerül! Megoldás: Az egyenletet az előző feladathoz hasonlóan írjuk fel. 23x + 40y = 300 300 23 y= − x 40 40 Készítsünk értéktáblázatot! x y x y

0 30 4

1 277 40

8 116 40

9 93 40

2 254 40 10 70 40

3 231 40 11 47 40

4 208 40 12 24 40

13 1 40

5 185 40

6 162 40

14 22 − 40

7 139 40


13

Ha x 15-nél nagyobb, akkor y már negatív szám lesz, ezért ennek a feladatnak nincs megoldása.

Az y = ax + b kétismeretlenes egyenlet (a, b valós számok) megoldásán azt értjük, hogy keressük azt az (x; y) számpárt, amelynek tagjait a megfelelő ismeretlenek helyébe írva teljesül az egyenlőség. Az egyenlet értelmezési tartománya olyan számpárokból áll, amelyek szóba jöhetnek az egyenlet megoldásaként. A megoldások száma lehet véges sok vagy végtelen sok, illetve az is lehet, hogy nincs megoldás.

Kétismeretlenes egyenlet grafikus megoldása Mintapélda6 Ábrázoljuk grafikonon a 3. és a 4. mintapéldában kapott táblázatok alapján a megoldásokat! Megoldás: 3. mintapélda esetén:

4. mintapélda esetén:

A megoldást jelentő pontpárok egy egyenesen helyezkednek el. Az egyenes minden pontjának koordinátái kielégítik az egyenletet. Ha egy pont nincs az egyenesen, akkor koordinátái nem megoldásai az egyenletnek sem.

14


TANULÓK KÖNYVE

Ugyanazt a grafikont kapjuk, mintha a megfelelő értelmezési tartományon ábrázoltuk volna az x a 15 − x , illetve az x a Az y = 15 – x illetve az y =

15 1 − x függvényeket. 2 2

15 1 − x egyenleteket az egyenes egyenletének nevezzük. 2 2

Az y = ax + b egyenlet az egyenes egyenlete. Az egyenletben a az egyenes meredeksége, b az y tengellyel való metszéspont. Ha y = b, akkor az egyenes párhuzamos az x tengellyel, ha y = ax, akkor az origón halad át.

Feladatok 7. Vásároltam 645 forintért 3 kg paprikát és 5 kg paradicsomot. Mennyibe kerülhetett 1 kg

paradicsom és 1 kg paprika?

8. Egy egyenlő szárú háromszög kerülete 32 egység. Mekkorák lehetnek az oldalai?

9. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 13. Melyik lehet ez a szám?


15

IV. Kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása Eddig olyan feladatokkal találkoztunk, amelyekben egyetlen ismeretlen mennyiség értékét kellett meghatározni egy darab egyenlet segítségével. Most olyan példákat látunk, ahol két ismeretlen mennyiség értékét keressük, két egyenlet segítségével.

Mintapélda7 Egy varrónő ruhára és szoknyára kapott megrendelést, összesen 20 darabra (legalább egyetegyet mindkettőből el kell készítenie). A szoknyát 2000 Ft-ért, a ruhát 3000 Ft-ért készíti el. Hány ruhát és hány szoknyát varrt meg, ha a megrendelő 52 000 Ft-ot fizetett? Megoldás: Jelöljük x-szel a ruhák, y-nal a szoknyák számát. x és y csak pozitív egész szám lehet, hiszen a megrendelő a félig megvarrt ruhát/szoknyát nem fogadja el, és mindkettőből legalább egyet kér. Összesen 20 darabot varrt. Nézzük meg, hogyan lehet felbontani a 20-at két egész szám összegére: x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 x 11 y 9

12 8

13 14 15 16 7 6 5 4

17 18 19 3 2 1

A fenti összefüggést az x + y = 20 egyenlettel írhatjuk föl. A táblázatban fölsorolt számpárok pedig az egyenletet kielégítő számpárok. A kifizetett összeggel kapcsolatban is felírhatunk hasonló egyenletet: 2000y + 3000x = 52000. Ezt az egyenletet a ugyanazok a számpárok elégítik ki, mint a 2y + 3x = 52 egyenletet. Megjegyzés: Haladjunk végig a pozitív egész számokon. Ezek legyenek x lehetséges ér-

tékei. x = 1, 2, 3, ... számokat behelyettesítve a fenti egyenletbe, megkapjuk y értékeit. Csak azokat az (x;y) párokat írtuk be az alábbi táblázatba, amelyekben y is pozitív egész. x 2

4

6

8

10 12 14 16

y 23 20 17 14 11 8

5

2

A két táblázatban van egy azonos számpár, mégpedig az x = 12 és y = 8. Ez azt jelenti, hogy ez a számpár a két egyenlet közös megoldása.

16


TANULÓK KÖNYVE

Megjegyzés: választhattuk volna azt az utat is, hogy behelyettesítjük az első egyenlet lehetsé-

ges megoldásait a másodikba. Összefoglalva: A megoldást két egyenlet segítségével kaptuk meg: ⎧ x + y = 20 ⎨ ⎩2000 y + 3000 x = 52000 A kapcsos zárójellel összekapcsolt egyenletek összetartoznak, egyenletrendszert alkotnak, amelyben két ismeretlen szerepel. Az elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldásakor olyan számpárt keresünk, amely mindkét egyenletnek megoldása.

A továbbiakban megismerkedünk néhány módszerrel, amelyek általánosabb feladatok megoldásában segíthetnek. Először a grafikus, majd a behelyettesítő módszert tanuljuk meg alkalmazni. Korábban láttuk, hogy a kétismeretlenes egyenlet megoldásait jelentő értékpárokat koordináta-rendszerben ábrázolva, azok egy egyenesen helyezkednek el. Ez a grafikus megoldási módszer alapja. Grafikus módszer: Ábrázoljuk azt a két egyenest, amelynek egyenleteiből áll a megoldandó egyenletrendszer. A két egyenes metszéspontjának koordinátái adják az egyenletrendszer megoldáspárját.

Mintapélda8 Oldjuk meg grafikusan a következő egyenletrendszereket, ahol x és y tetszőleges valós számok! ⎧2 x = y + 1 a) ⎨ ⎩ y − 5x = 2

⎧ y = 2x + 1 ⎪ b) ⎨ y ⎪⎩− x + 2 = 3

⎧ x + y = 2( x + 1) c) ⎨ ⎩y −1 = x +1

Megoldás: a) Alakítsuk át az egyenleteket úgy, hogy egyik oldalon csak az y álljon! y = 2x – 1 y = 5x + 2


17

A két egyenlet egy-egy egyenes egyenlete. Ábrázoljuk ezt a két egyenest koordináta-rendszerben. Közös pontjuk koordinátái mindkét egyenes egyenletét kielégítik. Az egyenletrendszer megoldását tehát a közös pont koordinátái adják. A két egyenlet közös megoldása, vagyis az egyenletrendszer megoldása az x = –1 és y = – 3 számpár. Ellenőrizzük a megoldást, helyettesítsünk vissza az eredeti egyenletekbe! Első egyenlet: 2(–1) = –3 +1 –2=–2

Második egyenlet: –3 – 5 (–1) = 2 2=2

b) Alakítsuk át az egyenleteket úgy, hogy egyik oldalon csak az y álljon! y = 2x + 1 y = 2x + 6 E két egyenlettel meghatározott egyenesek meredeksége azonos, csak az y tengellyel vett metszéspontjuk különbözik. Az egyenesek párhuzamosak, nincs közös pontjuk. Tehát az eredeti egyenletrendszernek sincs megoldása.

c) Az előzőekhez hasonlóan most alakítsuk át mindkét egyenletet úgy, hogy csak az y maradjon az egyik oldalon! y=x+2 y=x+2 Mindkét esetben ugyanazt az egyenletet kaptuk. Ez azt jelenti, hogy a két egyenesnek végtelen sok közös pontja van, így az eredeti egyenletrendszernek is végtelen sok megoldása van. A lineáris egyenletrendszernek vagy egy, vagy végtelen sok megoldása lehet. Az is előfordulhat, hogy nincs megoldás.

18


TANULÓK KÖNYVE

Feladatok 10. Oldd meg grafikusan a következő egyenletrendszereket! Helyettesítsd be az egyenlet-

rendszerbe a kapott értékpárokat! ⎧x + y = 3 a) ⎨ ⎩ y = 2x

x ⎧ ⎪y −1 = b) ⎨ 2 ⎪⎩ y − x = 2

⎧2 y − x = 3 x + 4 ⎪ c) ⎨ y ⎪⎩ 2 + 1 = x

⎧y − x = x − y ⎪ d) ⎨ 3 x x ⎪⎩ 2 − y = 2

11. A piacon előszezonban a paprikát is és a paradicsomot is darabra árulják. Összesen 7

darab zöldséget vásároltunk, 460 Ft értékben. Hány paprikát és paradicsomot vettünk, ha a paprikának 60 Ft, a paradicsomnak 80 Ft darabja? 12. Két munkás egy óra alatt 18 munkadarabot állít elő. Mennyit készítenek el külön-

külön óránként, ha az egyikük kétszer annyit állít elő, mint a másikuk?


19

V. Kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása behelyettesítő módszerrel Először próbálgatással oldottunk meg egyenletrendszert. Ez akkor működik jól, ha a keresett értékpárra konkrét megszorításokat teszünk, például egy ilyen lehetséges megszorítás az, hogy csak pozitív egész számok esetén van értelme a feladatnak, és az ismeretlenek nem lehetnek nagyobbak egy konkrét számnál. A grafikus megoldás is csak akkor használható jól, ha a megoldás olyan szám, amely pontosan leolvasható a koordinátatengelyekről. Ezek a módszerek nem alkalmazhatóak minden esetben. Viszont a grafikus megoldás alapelve, hogy fejezzük ki az y-t az egyenletekből, egy olyan módszer alapötletét adja, amelynek segítségével általánosan is meg tudunk oldani problémákat. Ez lesz a behelyettesítő módszer.

Mintapélda9 „A ló és az öszvér egymás mellett bandukoltak nehéz teherrel a hátukon. A ló panaszkodni kezdett elviselhetetlenül nehéz terhére. – Miért panaszkodsz? – mondta neki az öszvér. – Hiszen ha egy zsákot átveszek a hátadról, akkor az én málhám kétszer olyan nehéz lesz, mint a tied. Ha azonban te vennél át egy zsákot az én hátamról, akkor a te málhád még mindig csak olyan nehéz lenne, mint az enyém.” Vajon hány zsákot vihetett a ló és hányat az öszvér? Megoldás: Fordítsuk le a szöveget a matematika nyelvére! A ló hátán lévő zsákok száma:

x

Az öszvér hátán lévő zsákok száma:

y

ha egy zsákot átveszek a hátadról (ekkor a ló x – 1 hátán eggyel kevesebb málha lesz), akkor az én málhám

y+1

kétszer olyan nehéz lesz, mint a tied.

y + 1 = 2 (x – 1)

Ha azonban te vennél át egy zsákot az én y – 1 hátamról, akkor a te málhád

x+1

még mindig csak olyan nehéz lenne, mint az x + 1 = y – 1 enyém (ugyanolyan nehéz lenne, mint az enyém).

20


TANULÓK KÖNYVE

Két egyenletet kaptunk, két ismeretlennel: ⎧ y + 1 = 2(x − 1) ⎨ ⎩x + 1 = y − 1 (Figyeljünk arra, hogy ha két ismeretlenünk van, akkor a megoldáshoz két egyenletre van szükség.) Az egy ismeretlent tartalmazó egyenletet már meg tudjuk oldani. Szükségünk lenne olyan módszerre, amelynek segítségével a két egyenletből egyet, és a két ismeretlenből is egy olyat kapunk, amelyben már csak egy ismeretlen van. Ismerkedjünk meg a behelyettesítő módszerrel! 1. lépés: Valamelyik egyenletből kifejezzük x + 2 = y az egyik ismeretlent. Ez azt jelenti, hogy úgy rendezzük át az egyenletet, hogy az egyik oldalon csak az ismeretlen betűjele maradjon. Minden szám és a másik ismeretlen kerüljön át a másik oldalra. Megjegyzés: Átrendezéskor számíthatunk zárójelfelbontásra, együtthatóval történő osztásra, törtes egyenlet esetén közös nevezőre hozásra, majd a közös nevezővel történő beszorzásra. Célszerű úgy választani a kifejezendő ismeretlent és az egyenletet, hogy a kifejezés minél egyszerűbb legyen. 2. lépés: Behelyettesítünk a másik egyenlet-

be.

x + 2 + 1 = 2( x − 1) { y

Jelen esetben y helyébe beírjuk az előző lépésben kapott kifejezést.

3. lépés: Egyismeretlenes egyenletet kaptunk. x + 3 = 2x – 2 Ezt most már meg tudjuk oldani.

3=x–2 5=x

4. lépés: Visszahelyettesítjük x értékét az 1. 5 + 2 = y lépésben kapott egyenletbe. Ezáltal megtudjuk y értékét.

7=y


21

5. lépés: Válasz.

A ló 5, az öszvér 7 zsákot cipelt.

6. lépés: Ellenőrzés,

Ha az öszvér egy zsákot átvesz a ló

szövegbe történő helyettesítéssel.

hátáról, akkor a ló hátán 4, az öszvér hátán pedig 8 zsák lesz. Ekkor az öszvér málhája valóban kétszer olyan nehéz lesz, mint a lóé. Ha a ló venne át egy zsákot az öszvér hátáról, akkor a ló hátán 6, és az öszvér hátán is 6 zsák lenne. Vagyis a málhájuk ugyanolyan nehéz.

Most következzen egy összetettebb kétismeretlenes egyenletrendszer!

Mintapélda10 ⎧2 x − 3 y = 6 Oldjuk meg a ⎨ kétismeretlenes egyenletrendszert! ⎩15 x − 7 y − 1 = 0 Megoldás: 1. lépés: Valamelyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent.

2x = 6 + 3y / : 2 x = 3 + 1,5 y

Igazából mindegy, hogy melyik egyenletet és melyik ismeretlent választjuk. Viszont a számolásra fokozottan figyeljünk. Tipp: jelen esetben az együtthatókat figyelembe véve célszerű az első egyenletet választani. Azon belül pedig fejezzük ki x-et (2vel könnyű osztani).. 2. lépés: Behelyettesítünk a másik egyenletbe. Az alsó egyenletben x helyére írjuk az első lépésben kapott kifejezést. FONTOS! Ügyeljünk arra, hogy x helyébe egy összeg fog kerülni, amit megszorzunk 15-tel. Ezért az első lépésben kapott kifejezést behelyettesítéskor tegyük zárójelbe!

15⋅(3 + 1,5y) – 7y – 1 = 0

22


TANULÓK KÖNYVE

3. lépés: Megoldjuk az egyismeretlenes 15 ⋅ (3 + 1,5 y ) − 7 y − 1 = 0 /zárójelegyenletet.

felbontás 45 + 22,5 y − 7 y − 1 = 0 /összevonás

44 + 15,5 y = 0

/ − 44

15,5 y = −44

/ : 15,5

y = −2,84 4. lépés: Visszahelyettesítjük y értékét az

x = 3 + 1,5 ⋅ (− 2,84 ) = −1,26

1. lépésben kapott egyenletbe. Ezáltal megtudjuk x értékét. 5. lépés: Ellenőrzés.

1. egyenlet:

A kapott x és y értékeket visszahelyettesítjük bal oldal: 2x–3y = 2⋅(–1,26) – az egyenletekbe.

– 3⋅(–2,84) = 6,

FONTOS! Mivel századokra kerekített érté- ez megegyezik a jobb oldalon szerepkekkel számoltunk, ezért századnyi eltérés lő értékkel. még elfogadható. Ha pontos eredményeket 2. egyenlet: kívánunk meg, akkor törtekkel, és ne bal oldal: 15⋅(–1,26) – 7⋅(–2,84) – 1 = tizedestörtekkel számoljunk.

= –18,9 + 19,88 – 1 = –0,02, a jobb oldal értéke 0.

Feladatok 13. Oldd meg a következő egyenletrendszereket, majd ellenőrizz!

⎧ x + y = 12 a) ⎨ ⎩x = 3 y

⎧x + y = 7 b) ⎨ ⎩y = 3

⎧3 x − y = 5 c) ⎨ ⎩ y = 2x

⎧2 x − 1 = y d) ⎨ ⎩ y = x +1

14. Oldd meg a következő egyenletrendszereket, majd ellenőrizz!

⎧a = 4 + 2b a) ⎨ ⎩5a − 4b = 32

⎧4m + 3n = 6 b) ⎨ ⎩2 m = 4 − n

⎧3e = 5 + f ⎧2 k + l = 8 c) ⎨ d) ⎨ ⎩5e + 2 f = 23 ⎩k − 3l = 11



⎧5 x + 6 y = 13 a) ⎨ ⎩7 x + 18 y = −1

⎧4 x + 3 y = −4 b) ⎨ ⎩6 x + 5 y = 7

⎧2 x + 9 y − 15 = 0 c) ⎨ ⎩4 x − 6 y − 46 = 0

⎧5 y + 2 = 2 x d) ⎨ ⎩26 − 3 y = 6 x − 64


x ⎧ ⎪3x − 1 = + y a) ⎨ 2 ⎪⎩5 y = 1 − x + 3 y

⎧ x + y − 1,5 = 2( x − y ) b) ⎨ ⎩8 x − 2 y = 4,5 − x + y

⎧ x + 4 − 1,5( y + 5) = ( x − 5 y ) : 2 c) ⎨ ⎩− 2(2 x − 3 y ) + 10 = y − x

23

24


TANULÓK KÖNYVE

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerrel megoldható szöveges feladatok Mintapélda11 Jancsi bankszámlát szeretne nyitni. Az első bank éves számlafenntartási díja 3000 Ft, de havonta 2 tranzakció (pénz felvétele, egyenleg lekérdezése, utalás stb.) ingyenes, minden további tranzakció 70 Ft. A második banknál az éves számlafenntartási díj 1300 Ft, de minden tranzakció 170 Ft. Melyik bankot érdemes választania, ha az első hónapban 5 tranzakció történik? Az első hónapban hány tranzakció esetén érdemes az első bankot választani és mikor a másodikat? Az első hónapban hány tranzakció esetén fizetne ugyanannyit mindkét banknak? Válaszaidat indokold! Megoldás: Értéktáblázat készítése: Első bank Tranzakciók száma.

1

2

3

5

10

15

16

17

Díj (Ft)

3000

3000

3070

3210

3560

3910

3980

4050

Tranzakciók száma.

1

2

3

5

10

15

16

17

Díj (Ft)

1470

1640

1810

2150

3000

3850

4020

4190

Második bank

Egyenletek: Első bank: y = 3000 + (x – 2) ⋅ 70, ha x ≥ 3 Második bank: y = 1300 + 170 x

Grafikon készítése:

25


Szöveges válasz: Az első hónapban 5 tranzakció esetén a második bankot célszerű választani, mert itt csak 2150 Ft-ot kell fizetnie, míg az első banknál 3210 Ft-ot. Az első hónapban kb. 15,6 tranzakció esetén kellene ugyanakkora díjat fizetnünk mindkét banknál. A tranzakciók száma csak természetes szám lehet, ezért 15, ill. annál kevesebb tranzakció esetén a második bankot érdemes választani, 16 vagy annál több tranzakció esetén pedig az elsőt. Útmutató a 17–19. feladatok megoldásához: Oldd meg a szöveges feladatokat! Töltsd ki az értéktáblázatokat, írd fel az egyenletrendszert, készíts grafikont a feladatokhoz!

Feladatok 17. Reggel a munkahelyemre villamossal és busszal egyaránt mehetek. A villamos azon-

nal indul, a buszra még várni kell 8 percet. Ha villamossal megyek, akkor a 4 km-es út 25 percbe telik, a busszal csak 17 perc. Melyikkel menjek, hogy minél hamarabb beérjek? Mennyi idő alatt tesz meg a busz, ill. a villamos 1 km utat? Válaszaidat indokold! Kitöltendő értéktáblázatok: Villamos x (km)

0

0,5

1

2

3

4

5

3

4

5

t (perc) Busz x (km)

0

0,5

1

2

t (perc)

18. A soltvadkerti nyári táborba a csoport néhány tagja biciklivel megy, a többiek autó-

busszal. A táv 100 km, a biciklisták 25 km/h sebességgel képesek haladni, és reggel 7 órakor indulnak az iskola elől. A busz 9-kor indul ugyanerről a helyről, de 80 km-t tesz meg óránként. Melyik csapat ér le hamarabb? Hány órával később ér le a másik? Hány km megtétele után és hány órakor éri utol az egyik a másikat? Válaszaidat indokold!

26


TANULÓK KÖNYVE

Kitöltendő értéktáblázatok: Bicikli s (km)

0

20

40

60

70

80

100

70

80

100

t (ó, perc) Autóbusz s (km)

0

20

40

60

t (ó, perc)

19. Kati könyvtárba szeretne beiratkozni. A helyi könyvtárban 500 Ft az éves tagsági díj,

és minden kölcsönzés 150 Ft. A központi könyvtárban 1200 Ft a tagsági díj, de a kölcsönzési díj 50 Ft. Ha egy éven keresztül havonta 8 könyvet szeretne kikölcsönözni, akkor melyik könyvtárba érdemes beiratkoznia? Egy évben hány könyvet kölcsönözzön ki, hogy ugyanannyit fizessen? Hány könyv kölcsönzése esetén érdemes a helyi, illetve a központi könyvtárat választania? Válaszaidat indokold! Kitöltendő értéktáblázatok: Helyi könyvtár Könyv (db) Összeg (Ft)

0

1

2

5

7

8

9

7

8

9

Központi könyvtár Könyv (db) Összeg (Ft)

0

1

2

5

20. Mekkorák a 15 m kerületű téglalap oldalai, ha a két oldal különbsége 3 m?

21. Mekkorák annak a háromszögnek a szögei, amelyikről tudjuk, hogy az egyik szöge

82°-os, a másik két szöge közül pedig az egyik 42°-kal kisebb a másiknál?


27

22. Két munkás 500 alkatrészt állít elő naponta. Mennyit készítenek külön-külön, ha az

egyik 20%-kal többet készít, mint a másik?

23. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor eggyel kisebb számot kapunk,

mint az eredeti szám fele. Ha az eredeti számot és a számjegyek felcserélésével kapottat összeadjuk, akkor 77-et kapunk. Számítsuk ki az eredeti számot!

28


TANULÓK KÖNYVE

Ajánlott szakmai jellegű feladatok 1. Egy kávézóban kétféle kávéból 10 kg kávékeveréket készítenek. Az egyik kávéból 1 kg

360 Ft-ba, a másikból 480 Ft-ba kerül. Hány kg kávét tesznek az egyes kávéfajtákból a keverékbe, ha 1 kg keverék ára 414 Ft? 2. Egy lángossütő raktárában 10800 Ft összértékben 40 kg liszt és 2 kg reszelni való sajt van.

Két nap alatt elfogyott a liszt fele és a sajt negyedrésze. A megmaradt liszt és sajt együttes értéke 6200 Ft. Mennyibe kerül 1 kg sajt és 1 kg liszt? 3. Egy szállodában étterem és bár is van. Az étterem és a bár forgalmának aránya 5 : 2. Ha a

bár átlagos napi forgalma 100 ezer Ft-tal nőne, és az étteremé pedig 50 ezer Ft-tal csökkenne, akkor a két vendéglátó egység átlagos forgalma megegyezne. Mekkora volt az étterem és a bár átlagos forgalma? 4. 3 kg paradicsomért és 2 kg zöldpaprikáért 1940 Ft-ot fizettünk. A paprika kilójának ára 220

Ft-tal kevesebb a paradicsom árának kétszeresénél. Mennyibe kerül 1kg paprika és 1 kg paradicsom? 5. Egy vállalkozótól bizonyos mennyiségű csőidomot rendeltek. Ha napi 225 darabot gyárt,

akkor a megbeszélt határidőig 100-zal kevesebb készül el a megrendelt mennyiségnél. Ha 240 darabot készít naponta, akkor a kitűzött határidőre 200-zal többet gyárt, mint amennyit megrendeltek. Hány nap alatt kellett elkészítenie a megrendelt mennyiséget, és hány darab csőidomot rendeltek? 6. Betakarításakor a cukorrépát 4 tonnás és 3 tonnás teherautókkal szállítják a feldolgozó

üzembe. Ha 3 tonnás teherautóval szállítják el az egész termést, akkor 4 fordulóval többet kell tenni a teherautónak, mint ha 4 tonnással szállítanák el. Hányszor fordul a 4 tonnás és hányszor a 3 tonnás teherautó? Hány tonna cukorrépa volt a termés? 7. Egy burkoló szakmunkás a mozaikpadló lerakásán 15 napig dolgozott, majd megbetege-

dett, és egy másik mester további 9 nap alatt fejezte be a munkát. A munka akkor is elkészült volna, ha az első mester 10 napig, a második 16 napig dolgozott volna rajta. Hány nap alatt készültek volna el, ha együtt, egyszerre, egymást nem zavarva dolgoztak volna?


29

8*. Egy helységet hidroglóbusz segítségével látnak el vízzel. A víztárolót két szivattyú tölti

fel. Ha mind a két szivattyú egyszerre működik, a hidroglóbusz 40 perc alatt megtelik. Ha az egyik szivattyú 20 percig, a másik 10 percig működik, a víztároló teljes térfogatának 1 3

részében lesz csak víz. Mennyi idő alatt töltenék fel vízzel a teljes hidroglóbuszt külön-

külön az egyes szivattyúk? 9. Egy új kórházi osztályon a súlyos betegek számára kevesebb ágyszámú szobákat terveztek.

Ha minden szobába 2 beteget tesznek, akkor 6-tal kevesebb beteget tudnak elhelyezni a tervezettnél. Ha minden szobába 3 beteget tesznek, akkor 2 ágy üresen marad. Hány férőhelyet terveztek az új osztályra? Hány szoba van az új osztályon? 10. Egy hagyományos fahordókat készítő kádárműhelyben 6 és 8 abroncsos hordókat készíte-

nek. 6 abroncsos hordóból 2-vel kevesebbet készítenek, mint 8 abroncsos hordóból. Hány 6 abroncsos és hány 8 abroncsos hordót készítenek, ha összesen 128 abroncsot használnak fel? 11. Egy fatelepen 6 nap alatt forgalmaznak annyi tölgyfa-pallót, mint a másikon 5 nap alatt.

Ha a kisebb forgalmú fatelepen naponta 30 ezer Ft-tal többet forgalmaznának, akkor a két telep tölgyfa-palló forgalma megegyezne. Hány Ft értékben forgalmaznak tölgyfa-pallót az egyes telepeken? 12. Egy műbútorasztalos 10 nap alatt 2 intarziás asztalt készített. Az egyik asztalra fordított

munkaidő aránya a másik asztaléhoz képest 3 : 2. Hány asztalt készít el a nagyobb munkaigényű asztalból 42 nap alatt, ha közben más termékkel nem foglalkozik? 13*. Két aszfaltozó gép egy útszakaszt 50 perc alatt borít be aszfalttal. Ha az egyik gép 6 per-

cig, a másik 15 percig működik, akkor az útszakasz 20%-ával készülnek el. Hány perc alatt készülnének el egyedül az egyes aszfaltozó gépek? 14. Régi motorkerékpárok kerekeit cserélik ki. Vannak köztük 3 kerekű oldalkocsis motorke-

rékpárok is. A kerekek mérete mindkét típus esetében azonos. Hány kétkerekű és hány háromkerekű motorkerékpár kerekeit tudják kicserélni, ha 165 kerekük van és negyedannyi oldalkocsis motorkerékpárt hoztak javítani, mint másikat? A kerekeket maradék nélkül mind felhasználják.

30


TANULÓK KÖNYVE

15. Egy sportruházati üzletben ruhaneműt és cipőket is árultak. A ruha- és cipőrészleg átlagos

napi forgalma összesen 150 ezer Ft volt. Az egyik napon a ruharészleg 20%-kal nagyobb, a cipőrészleg 10%-kal kevesebb forgalmat bonyolított le az átlagosnál. Így az üzlet forgalma 172,5 ezer Ft volt. Mennyi volt az egyes részlegek aznapi tényleges forgalma? Mennyivel tért ez el az átlagos napi forgalomtól? 16. Két kistermelő zöldségtermeléshez közös locsolórendszert használ. Egy havi összes vízfo-

gyasztásuk díja 158 ezer Ft volt. A következő hónapban az egyik gazdaság vízhasználatát 8%-kal, a másik 5%-kal csökkentette. Így a közös vízdíj 147 ezer Ft lett. Mennyi költség hárult így az egyik, és mennyi a másik gazdára? 17. Egy építőanyag-telepen kétféle burkoló lapot tároltak, kültéri alkalmazásra és beltéri al-

kalmazásra valókat, összesen 560 lapot. Egy iskola felújításához elszállították a kültéri lapok 50%-át és a beltéri lapok

2 3

részét. Ekkor kétszer annyi kültéri lap maradt a telepen,

mint beltéri. Mennyi kültéri és mennyi beltéri lapot használtak fel az iskola felújításához? 18. A bronzötvözetek rézből és cinkből készülnek. Van egy 8,4

g cm 3

sűrűségű bronz

ötvö-

zetünk. Ehhez 40 g cinket olvasztottunk. A kapott ötvözet sűrűsége ezáltal 8,2 csökkent. Hány g cink volt az eredeti ötvözetben? (A réz sűrűsége: 8,8 7,2

g cm 3

g cm 3

g cm 3

-re

, a cinké:

.)

19. 5 kg műtrágyát készítünk szuperfoszfátból és csontlisztből. Mennyi csontlisztet és mennyi

szupefoszfátot keverjünk össze, hogy a műtrágya foszforsav-tartalma 20%-os legyen? A szuperfoszfát foszforsav tartalma 16%, a csontliszté 28%. 20. Egy műhelyben az egyik ládában 15 dkg-os csavarok, a másik ládában 18 dkg-os szege-

csek vannak. A két láda együttes tömege 31,9 kg, amiből a két azonos méretű láda együttes tömege 4 kg. Ha az első ládában lévő csavarokhoz még 6 darab csavart tennénk, akkor a két láda tömege megegyezne. Hány csavar illetve hány szegecs van az egyes ládákban?


21*. Egy kúpos gépelem kúpossága

31

1 D 4 . A két átmérő aránya: = , a kúpos rész hossza d 3 8

L = 160 mm. Mekkora a kúpos rész legnagyobb és legkisebb átmérője? (A kúposság a legkisebb és legnagyobb átmérő különbségének és a kúpos rész hosszának aránya:

D−d .) L

22*. Két kapcsolódó fogaskerék fogszámának különbsége: 40, a közös modulszám: 1,8 mm és

a tengelytávolság: 200 mm. Mennyi a hajtókerék fogszáma és a hajtott kerék fogszáma? (Ha a hajtókerék fogszáma z1 és a hajtott keréké z2, akkor a tengelytávolságot a-val, a modult m-mel jelölve: a =

m ( z1+ z2). ) 2

2. MODUL

pitagorasz-tétel, négyzetgyök, valós számok Készítette: Vidra Gábor

34


TANULÓK KÖNYVE

I. A Pitagorasz-tétel A Pitagorasz-tételt már ismerjük: derékszögű háromszögben a befogók négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével.

a 2 + b2 = c2

a és b a derékszögű háromszög befogói, c az átfogója.

Ebben a modulban megvizsgáljuk, hogyan lehet használni ezt a rendkívül fontos, egyszerű ugyanakkor gyakran használható matematikai eszközt.

Feladatok 1. Válaszolj a következő kérdésekre! a) Az ábrán látható háromszögek közül melyikre érvényes a Pitagorasz-tétel?

Használj szögmérőt!

2. Fogalmazd meg a geometria nyelvén, négyzetek segítségével is a Pitagorasz-tételt!

A Pitagorasz-tétel bizonyítása (olvasmány) A Pitagorasz-tételt leggyakrabban a Babilonból származó, Kr. e. 1900 és Kr. e. 1600 között keletkezett és agyagtáblára rögzített bizonyítással igazoljuk, amelyet egy a + b oldalú négyzet (a és b a derékszögű háromszög befogói) átdarabolásával végzünk. Mindkét négyzet területe ugyanannyi,

(a + b )2 . Az 1. négyzet területe T1 = a 2 + b 2 + 4 ⋅

a ⋅b = a2 + b2 + 2 ⋅ a ⋅ b . 2

35

2. modul: PITAGORASZ-TÉTEL, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK

A 2. négyzet belsejében egy négyszöget fog közre a négy egybevágó derékszögű háromszög. Minden oldala egyenlő, és minden szöge 90° (mert α + β = 90° , és γ = 180° − (α + β ) = 90° ), ezért a középen levő négyszög négyzet, területe c2.

Így a 2. négyzet területe

T2 = c 2 + 4 ⋅

a ⋅b = c2 + 2 ⋅ a ⋅b . 2

A két négyzet területének egyenlőségéből adódik az a 2 + b 2 = c 2 összefüggés.

3. A mellékelt öt síkidomot illeszd össze kétfélekép-

pen úgy, hogy bizonyítsd a Pitagorasz-tételt! Egy c oldalú négyzetet kell kiraknod, majd ugyaneze-

ket a darabokat úgy kell összeállítanod, hogy az megfeleljen az a2 + b2 kifejezésnek!

Mintapélda1 – A számológép használata A derékszögű háromszög átfogójának hossza 12 cm, befogója 8 cm. Mekkora a másik befogó? Megoldás:

A Pitagorasz-tételt felírjuk, majd kifejezzük a hiányzó oldalt: a 2 + 8 2 = 12 2 ⇒ a 2 = 12 2 − 8 2 , ahonnan a = 12 2 − 8 2 . a kiszámítása számológéppel történik. Először kiszámítjuk a

alatti kifejezés értékét,

majd ebből négyzetgyököt vonunk: Megjegyzés: Az ANS funkció szolgál az előző művelet eredményének előhívására. Egyes gépeken erre külön billentyűt találunk, más gépek esetén pl. az = billentyű második funkciója (a billentyű fölött szerepel az ANS jelzés, SHIFT vagy 2ndF billentyű megnyomása után kell az = jelet megnyomni).

A régebbi gépek esetén elegendő csak a négyzetgyök billentyűt megnyomni:

36


TANULÓK KÖNYVE

Feladatok 4. Számítsd ki zsebszámológéppel a derékszögű háromszög meg nem adott oldalának

hosszát! a) Az átfogó 14 cm, az egyik befogó 8 cm; b) x = 18 cm, y = 24 cm. Mekkora az átfogó (z)? c) s = 25 cm, k = 4,2 dm. Mekkora a hiányzó befogó? d) A derékszögű háromszög leghosszabb oldala 54 cm, egy másik 0,32 m. e) A két befogó hossza 18 mm és 3,2 cm. f) p < q < r a derékszögű háromszög oldalai, r = 28 cm, p = 15 cm.

5. A következő számhármasok közül melyik lehet egy derékszögű háromszög oldalainak

hossza?

1. x (cm) 8 y (cm) 6 z (cm) 10

2. 10 12 20

3. 14 5 8

4. 13 5 12

5. 15 15 15

6. 20 30 20

7. 24 25 7

8. 45 55 15

9. 33 55 44

10. 0,9 1,2 1,5

11. 3,4 2,1 2,9

37


II. A valós számok halmaza A négyzetgyök fogalma Feladatok 6. Határozd meg a következő kifejezések értékét! Ahol közönséges törtet találsz, ott pró-

bálj közönséges törttel dolgozni! a)

25 ; − 169 ; 2000 ;

b)

361; − 16 ; 30500 ;

16 ; 12222,6 ; 3,24 ; 25

225 ; 1206,8 ; 31,36 ; 81 64 ; 2050,87 ; 17,64 ; 9

c) 121; − 81; 120000 ; d) 144 ; − 25 ; 2020200 ;

121 ; 0,23; 6,76 . 100

7. Az alábbi egyenlőségek közül melyik igaz, és melyik hamis?

16 = 4 ; 4 2 = 16 ;

(− 4)2

16 = −4 ;

− 16 = 4 ;

(− 4)2 = −16 ;

− 4 2 = −16 ;

− 16 = −4 ;

(− 4)2

= −4 ;

− 16 = 4 ,

42 = 4 ;

− 16 = −4 ;

− 4 2 = −4 ;

= 4.

A négyzetre emelésnek a négyzetgyökvonás az ellentett művelete. Legyen a nemnegatív szám. a -nak (a ≥ 0) nevezzük azt a nemnegatív számot, aminek a négyzete: a.

Jelölésekkel: a ≥ 0,

a ≥ 0,

( a)

2

= a . Az is teljesül, hogy

a 2 = a , és ekkor a tetszőleges

szám. Megjegyzés: a meghatározásában két kikötés is szerepel. Az a ≥ 0 , ez azt jelenti, hogy negatív számból nem lehet négyzetgyököt vonni. Ennek egyszerű oka van: a négyzetgyökvonás fordított művelete a négyzetre emelés, és nincs olyan szám, aminek a négyzete negatív lenne (hisz a negatív számokat négyzetre emelve is pozitívot kapunk). Másrészt a gyökvonás eredménye sem lehet negatív: a ≥ 0 (például 4 = 2 , és nem –2).

38


TANULÓK KÖNYVE

Az irracionális számok halmaza Emlékeztető: Az egész számok halmaza (Z) a természetes számok halmazából (N halmaz elmei: 0; 1; 2; …) és

ellentettjeikből áll (–1; –2; –3; …), de két egész szám hányadosa nem mindig egész szám. A két egész szám hányadosaként felírható számokat racionális számoknak nevezzük. A racionális számok halmaza (Q) tartalmazza az összes olyan számot, amelyik felírható közönséges tört alakban (beleértve természetesen az egészeket is). A racionális számok tizedestört-alakja véges vagy végtelen szakaszos tizedestört (egy vagy több számjegy a végtelenségig ismétlődik): 3; 4,01; –0,123; –3,3333…; 5,125125125… A legtöbb pozitív szám négyzetgyöke olyan szám, amelyet nem tudunk felírni közönséges törtszámként. Az ilyen számokat irracionális számoknak nevezzük. Irracionális például 3 , 1,1 stb.

2,

4 nem irracionális szám, mert az értéke pontosan 2, ami természetes szám.

Irracionális számoknak nevezzük azokat a számokat, amelyeket nem tudunk felírni két egész szám hányadosaként. Az irracionális számok halmazának jele:Q*.

A racionális számok halmazát (Q) és az irracionális számok halmazát (Q*) együtt a valós számok halmazának nevezzük. Jele: R. Az irracionális számok tizedestört-alakja végtelen, nem szakaszos tizedestört. Érdekes, hogy bár a racionális számok halmaza végtelen halmaz, „minden” racionális számot ábrázolva mégsem töltik ki hézagmentesen a számegyenest. Bizonyítható azonban, hogy az irracionális számok halmazával együtt a valós számok halmaza már a számegyenest teljesen kitölti.

Az irracionális számokról (Olvasmány; az itt szereplő témáknak utánanézhetsz az interneten!) A négyzetgyökvonás eredményeként kapott irracionális számok legpontosabb értéke a jellel felírt szám, például 2 . 2 kerekített értéke lehet 1,4 is, de lehet 1,414213562 is. Hogy mikor milyen pontosságú kerekítést használunk, azt az adott feladat határozza meg. Egy kőműves fölöslegesen használná az 1,414213562 kerekített alakot, míg egy nagyon pici számokkal dolgozó atomfizikus számára biztos nem az 1,4 a megfelelő pontosság.

39


Az irracionális számok halmazában nemcsak a négyzetgyökvonás műveleteként kapott számok találhatók. Irracionális szám például a π, amelynek kerekített értékét 3,14-nek ismerjük. Pontosabb értékére sok esetben szükség lehet, és a számjegyeket nehéz megjegyezni. Ezért találták ki a pi-verseket, amelyekben a szavak betűinek száma adja a π következő számjegyét (a 0 számjegyet vagy egy gondolatjel, vagy egy 10 betűs szó szimbolizálja). Szász Pál matematikus alkotta 1952-ben a következő pi-verset: Nem a régi s durva közelítés, 3,14159… Mi szótól szóig így kijön Betűiket számlálva. Ludolph eredménye már, Ha itt végezzük húsz jegyen. De rendre kijő még tíz pontosan, Azt is bízvást ígérhetem. Ellenőrizd a számológépeddel, ameddig az kiírja az eredményt. A matematikusokat régóta foglalkoztatja az, hogy a π értékét minél pontosabban meghatározzák. Egy japán professzor, Yasumasa Kanada több mint egymilliárd számjegyet határozott már meg számítógépekkel. Természetesen a π nem 3,14, hanem a kör kerületének és átmérőjének hányadosa. Különböző korokban különböző számokkal közelítették π értékét, például 377 törttel számolt. Ptolemaiosz Kr. e. 150-ben a 120

Feladatok 8. a) Írd a halmazábra megfelelő helyeire a számhalmazok betűjelét: N, Z, Q, R !

b) Írd a halmazábra megfelelő helyeire a számhalmazok betűjelét (N, Z, Q, Q*, R) és a következő számokat: –3; 10; 4,5; 3,511…; 2 4 ; − 3 ; –2,125; − 45 . 3 7

4 ; –0,121212…; 100;

20 ; –100; 0;

40


TANULÓK KÖNYVE

9. Folytasd a pozitív egészek négyzetének sorát egészen 20 négyzetéig a következő felírás-

sal: 0 = 0 , mert 0 2 = 0 ;

1 = 1 , mert 12 = 1 ;

4 = 2 , mert 2 2 = 4 stb.

10. Döntsd el, majd számológéppel is vizsgáld meg pár példán, hogy igazak-e a következő

állítások! a) Nagyobb számnak a négyzetgyöke is nagyobb. b) Az 1-nél nagyobb számokra igaz az, hogy a négyzetgyöke kisebb a számnál. c) A 0 és 1 közé eső számokra igaz az, hogy a négyzetgyöke kisebb a számnál. d) Egy törtszám négyzetgyöke mindig kisebb a számnál.

11. Számítsd ki a következő műveletek eredményét, és válaszd ki a kakukktojást!

100 + 81 ;

121 − 144 ;

2 ⋅ 16 − 25 ;

169 + 49

A négyzetgyök közelítéséről (olvasmány) A számok négyzetgyökének értékét többféleképpen is közelíthetjük (azért csak közelíthetjük, mert az irracionális számok pontos értékét nem tudjuk meghatározni). Közelítsük 10 négyzetgyökét! (A számológép szerint 10 ≈ 3,16227766 ). Kétoldali közelítés módszere: alapját az adja, hogy a nagyobb számoknak a négyzetgyöke is nagyobb. Először zárjuk be 10 -et egész számok közé: 32 = 9, és 4 2 = 16 , ezért 3 < 10 < 4 . Ezután növeljük a pontosságot: 3,12 = 9,61 és 3,2 2 = 10,24 , ezért 3,1 < 10 < 3,2 . Segít a közelítésben az, ha megbecsüljük, hogy a négyzetgyök értéke melyik számhoz esik közelebb (most inkább 3,2-höz, mint 3,1-hez). A következő közelítés: 3,16 2 = 9,9856 < 10 < 3,17 2 = 10,0489 , majd 3,162 < 10 < 3,163 stb. A közelítést tetszőleges pontosságig végezhetjük, nyilván egy számítógép nagy segítséget jelenthet. A tizedesjegyek számát növelve kapjuk az egyre pontosabb értéket. 12. Két egybevágó kör területe együtt T. Mekkora a körök sugara külön-külön?

a) T = 100 cm2;

b) T = 4 m2;

c) T = 14,1 cm2.


41

13. A fizikában szabadesés közben megtett út (s) képlete a testek anyagától függetle-

nül s =

m g 2 t , ahol g = 9,81 2 állandó, t pedig az esés ideje (légellenállással most nem 2 s

számolunk; a képletben s értékét méterben, az időt másodpercben használjuk). a) Mennyi idő alatt zuhan le egy test 30 méter magasból (kb. ennyi egy 10 emeletes ház magassága)? b) Fejezd ki az időt a megtett út függvényében!

14. Mekkora a térfogata annak a kockának, aminek a felszíne 140 m2?

15. Fejezd ki a henger sugarát, ha m a magassága, r a sugara, és a térfogata V = r 2 ⋅ π ⋅ m !

16. Egy henger térfogata 3619,1 dm3, magassága 80 cm. Mekkora az alapkör sugara? Vhenger = r 2 ⋅ π ⋅ m

17. Egy henger térfogata 150 cm3, magassága 3 cm. Mekkora a felszíne? Vhenger = r 2 ⋅ π ⋅ m , Ahenger = 2 ⋅ r ⋅ π ⋅ (r + m ) .

A négyzetgyök-függvény

A fent ábrázolt függvényt négyzetgyök-függvénynek nevezzük. Minden nemnegatív számhoz hozzárendeli a négyzetgyökét: x a x , vagy f ( x ) = x . Jegyezd meg a függvénynek azokat a pontjait, amelyeket könnyen tudsz ábrázolni! Az x = 0 helyen a függvény értéke y = 0 , mert a függvény képletébe x helyére behelyettesítve kapjuk: y = 0 = 0 , vagyis egyik pontja a (0; 0) pont. Hasonlóan kaphatók még pontok, ame-

(

)

lyek megfelelnek az x; x alaknak: (1; 1), (4; 2), (9; 3) stb.

42


TANULÓK KÖNYVE

Érdekesség a függvénnyel kapcsolatban: Ha milliméterpapíron ábrázolod a függvényt 0 és 2 között, jól látszik a következő: 0 és 1 közötti számok négyzetgyöke a számnál nagyobb, míg 1-nél nagyobb számok esetében kisebb.

Feladatok 18. Válaszolj a következő kérdésekre:

a) Mi az x a x függvény értelmezési tartománya (milyen számokat írhatunk x helyére, ill. a függvény az x tengelyre levetítve a tengely mely részét foglalja el)? b) Mi az x a x függvény értékkészlete (milyen számokat kapunk eredménynek, ill. a függvény az y tengelyre levetítve a tengely mely részét foglalja el)? c) Mi a függvény minimumhelye (az alsó csúcspont x koordinátája)? d) Mi a függvény legkisebb értéke (az alsó csúcspont y koordinátája)? e) Mit mondhatunk a függvény monotonitásáról (emelkedés–csökkenés)?

Állítások megfordítása Érvényes a Pitagorasz-tétel megfordítása is. A tétel szövegéből meghatározható, hogy mi a következmény és mi a feltétel!

Ha megfordítjuk a következményt és a feltételt, új állítást kapunk, amit a Pitagorasz-tétel megfordításának nevezünk:


43

Megfogalmazásai: •

Ha egy háromszög a, b és c oldalaira igaz, hogy a 2 + b 2 = c 2 , akkor a háromszög derékszögű.

•

Egy háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével.

•

Annak, hogy egy háromszög derékszögű legyen szükséges és elégséges feltétele, hogy két oldalának négyzetösszege egyenlő legyen a harmadik oldal négyzetével.

Az ilyen állításokat megfordítható tételeknek nevezzük. Tanulmányaink során már találkoztunk ilyen jellegű tételekkel, ilyen például a Thalész-tétel. Megjegyzés: Az állítások halmazokra is átfogalmazhatók. Például a derékszögű háromszögek halmaza és az a 2 + b 2 = c 2 tulajdonsággal rendelkező háromszögek halmaza azonos. Egy állítás akkor megfordítható, ha a két halmaz elemei ugyanazok (vagyis a két halmaz egyenlő, mint a Pitagorasz-tétel esetében). A megfordítható állításokban „akkor és csak akkor” kapcsolatot is használunk: egy háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha a két rövidebb oldal hosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével. A két tagmondat állításai ekvivalensek (egyenértékűek).

Feladatok 19. Fogalmazd meg a következő (nem biztos, hogy igaz) állítások megfordítását, és

döntsd el, hogy az állítás megfordítása igaz-e vagy sem? a) Ha esik az eső, akkor nedves az úttest. b) Ha egy szám osztható 6-tal, akkor 2-vel is osztható. c) Ha egy négyszög deltoid, akkor az átlói merőlegesek egymásra. d) Ha egy háromszögben két szög összege egyenlő a harmadik szöggel, akkor az a háromszög derékszögű. e) Ha süt a nap, akkor világos van. f) Ha egy négyszög trapéz, akkor paralelogramma is. g) Ha egy szám nullára végződik, akkor osztható 5-tel. h) Ha egy háromszögben a köré írható kör középpontja az egyik oldal felezőpontja, akkor az a háromszög derékszögű.

20. Keress megfordítható állításokat a hétköznapi életből!

44


TANULÓK KÖNYVE

III. Pitagorasz-tétellel kapcsolatos feladatok Mintapélda2 a) Szerkesszetek a füzetbe egy 7 cm oldalhosszú négyzetet! Becsüljétek meg, hogy mekkora a négyzet átlója! Mérjétek meg vonalzóval, majd számítsátok ki az átló hosszát! b) Szerkesszetek a füzetbe egy 7 cm oldalhosszú szabályos háromszöget! Becsüljétek meg, hogy mekkora a magassága és a területe! Mérjétek meg vonalzóval a magasságot, majd számítsátok is ki a hosszát! A kiszámított értékkel határozzátok meg a háromszög területét!

Megoldás: a) Az ábrán található egyenlőszárú derékszögű háromszög átfogója a négyzet átlója. A Pitagorasz-tételt felírva 7 2 + 7 2 = d 2 , vagyis 98 = d 2 . Innen az átló:

d = 98 ≈ 9,9 (cm).

b) A szabályos háromszög magasságát berajzolva keletkezik a jelölt derékszögű háromszög, erre felírva a Pitagorasz-tételt:

m 2 + 3,5 2 = 7 2 ⇒ m 2 = 36,75 ⇒ m ≈ 6,1 cm A szabályos háromszög területe: T =

a ⋅ ma 7 ⋅ 6,1 ≈ ≈ 21,4 (cm2). 2 2

A feladatok általánosan, a oldalú síkidomok esetén is megoldhatók. Ekkor olyan képleteket kapunk, amelybe a helyére behelyettesítve az oldalhosszakat, megkapjuk az átlót, a szabályos háromszög magasságát, illetve területét.

Az a oldalú négyzet esetén az egyenlőszárú derékszögű háromszög átfogója a négyzet átlója. A Pitagorasz-tételt felírva a 2 + a 2 = d 2 , vagyis 2a 2 = d 2 . Innen az átló: d = a⋅ 2 . Az a oldalú szabályos háromszög magasságát berajzolva keletkezik a jelölt derékszögű háromszög, erre felírva a Pitagorasz-tételt:

45


2

3a 2 a2 ⎛a⎞ m + ⎜ ⎟ = a 2 ⇒ m2 + = a 2 ⇒ m2 = , ahonnan a szabályos háromszög ma4 4 ⎝2⎠ 3 . gassága: m = a ⋅ 2 3 a⋅a⋅ a ⋅ ma 2 = a2 ⋅ 3 . A szabályos háromszög területe: T = = 2 2 4 2

•

az a oldalú négyzet átlója a ⋅ 2 ,

•

az a oldalú szabályos háromszög magassága a

•

az a oldalú szabályos háromszög területe a 2

3 , 2

3 . 4

Mintapélda3 Ennek a fura alakú színpadnak csak 3 oldalát lehetett lemérni. Azt is megmértük, hogy a színpad oldalai között két helyen derékszög található. Mekkora a harmadik oldal? Megoldás: Jelölje x az ismeretlen oldalt (méterben). Az átló behúzásával két derékszögű háromszögre bontjuk a négyszöget. A két háromszögnek egy oldala, az átfogója közös. Az átfogó kiszámításához alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt: d 2 = 32 + 4 2 = 25 , ahonnan d = 5 (m). A másik derékszögű háromszögben is felírjuk a Pitagorasz-tételt, hogy az x-szel jelölt oldalt kiszámítsuk: 5 2 = 2 2 + x 2 , azaz 21 = x 2 . Az ismeretlen oldal tehát x = 21 ≈ 4,58 m.

Mintapélda4 Mekkora annak a háromszögnek a kerülete és területe, amelynek csúcsai A(–6; 0), B(4; 2) és C(0; –5)? Megoldás: Kihasználjuk a derékszögű négyzetrács adta lehetőségeket. Rajzoljuk meg az ábrán látható derékszögű háromszögeket, amelyek átfogói adják az ABC háromszög oldalait. Az ABD derékszögű háromszögben

46


TANULÓK KÖNYVE

AB = 2 2 + 10 2 = 104 ≈ 10,2 egység. Hasonlóan a másik két oldal hossza 8,1 és 7,8 egység, a kerület az oldalak összege: 26,1 egység. A területet úgy számítjuk ki, hogy a bennfoglaló 10x7-es téglalap területéből kivonjuk a derékszögű háromszögek Tderékszögű háromszög =

a ⋅b képlettel számítható területét: 2

⎛ 2 ⋅10 5 ⋅ 6 4 ⋅ 7 ⎞ + + Tháromszög = 10 ⋅ 7 − ⎜ ⎟ = 31 területegység. 2 2 ⎠ ⎝ 2

Feladatok 21. Számítsd ki a négyzet átlóját, ha oldala

a) 4 cm;

b) 2,8 cm;

c) 22,3 m;

d) 10,1 dm.

22. Számítsd ki a négyzet oldalát, ha átlója

a) 14 cm;

b) 1,1 cm;

c) 11,2 m;

d) 8,5 dm.

23. Határozd meg a szabályos háromszög magasságának hosszát, ha oldala

a) 10 cm;

b) 15 cm;

c) 5,6 cm.

Készíts rajzot minden esetben!

24. Számítsd ki a szabályos háromszög magasságát és területét, ha oldala

a) 35 cm;

b) 11,8 cm;

c) 2,3 m;

d) 14,8 dm.

25. Számítsd ki a szabályos háromszög oldalát, ha

a) magassága 23 cm; c) területe 15,8 cm2;

b) magassága 25,5 dm; d) területe 23 mm2 ?

26. Mekkora a szabályos hatszög területe, ha 8,5 cm sugarú kör írható a hatszög köré?

27. Mekkora a szabályos hatszög oldala, ha területe 125,9 cm2?

47


28. Egy szabályos hatszög szemközti oldalfelező pontjait összekötő szakasz hossza 12 cm.

Mekkora a hatszög oldala, területe, és mekkora átmérőjű kör írható a hatszög köré?

29. A főútvonaljelző tábla négyzet alakú, átlójának fele 28,3 cm.

a) Mekkora a tábla oldala? b) Mennyi anyag kell 24 darab tábla elkészítéséhez, ha 10% anyagveszteséggel számolunk?

30. Milyen messze vannak a következő pontok a koordináta-rendszerben az origótól?

A(3; 4);

B(5; 12);

C( –10; –10);

D(–5; 8);

E(–3; –6).

31. Határozd meg az ábrán levő sokszögek területét és kerületét!

32. Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogója 10,5 cm. Mekkora a befogója?

33. Mekkora a szabályos háromszög magassága és területe, ha oldala 4 dm?

34. Mekkora a sárga négyzet kerülete és területe, ha a nagy négyzet

oldalhossza 10 egység, és a sárga négyzet csúcsai az oldalainak a felezőpontjai?

35. A következő tetőszerkezet a-val jelölt gerendáinak

hossza 3,4 m. Mekkorák a b-vel jelölt gerendák?

48


TANULÓK KÖNYVE

36. Egy téglalap alakú gipszkartont az átlójánál kell szétvágni. Mekkora a vágás hossza, ha

a gipszkarton méretei 1250x2000 mm?

37. a) Számítsd ki az ábrán látható kocka lapátlóit (az oldallapok

négyzeteinek átlóit)! b) Keress olyan derékszögű háromszöget, amelynek segítségével meghatározható a testátló (az a szakasz, amely összeköt két, nem ugyanazon a lapon levő csúcsot), és határozd meg a hoszszát! c) Fejezd ki a testátló hosszát a négyzet oldalával!

38. Egy téglatest élei 5 cm, 12 cm és 35 cm.

a) Készíts ábrát, és számítsd ki a lapátlók hosszát! b) Mekkora annak a szakasznak a hossza, amely a téglatest két legtávolabbi csúcsát köti össze (több ilyen szakasz is van, de a hosszuk egyenlő)?

39. Fejezd ki a téglatest testátlóját az a, b és c oldalakkal! 40. Egy szigetről egy hajó kelet felé indul, és megtesz 5,8 km-t. Ezután dél felé fordul, és

további 8,6 km-t halad. a) Milyen távolságra van ekkor a hajó a szigettől? A megoldáshoz készíts ábrát! b) Mekkora ez a távolság légvonalban a térképen lemérve, ha a térkép méretaránya 1 : 150 000 ?

41. Egy túra során egy pihenőhelytől észak felé haladunk 4,5 km-t, nyugat felé további

3,2 km-t. a) Milyen távolságra vagyunk ekkor a pihenőhelytől? b) Mekkora ez a távolság légvonalban a térképen lemérve, ha a térkép méretaránya 1 : 60 000 ?

42. Egy kétágú létra ágainak hossza 2,5 méter. Milyen magasan lesz a teteje a talajtól, ha a

két ágát egymástól 1,4 méterre tudjuk kinyitni?


49

43. Egy 8 m magas oszlopot 8,7 m hosszú tartókötelekkel akar-

nak rögzíteni. Az oszlop tövétől milyen távolságra rögzítsék a földhöz a köteleket (lásd az ábrát)?

44. Egy ház homlokzatának szélessége 14 méter, a tetőgerendák hossza 7,4 m. Mekkora

területű a homlokzat, ha alakja egyenlőszárú háromszög? 45. Egy téglalap átlójának a fele 72 mm, egyik oldala 1,2 dm. Mekkora a másik oldal? 46. Mekkora a monitor képernyőjének két oldala, ha az átlója 17 coll, és a képernyő olda-

lainak aránya 3:4? (1 coll = 1 inch = 1 hüvelyk = 2,54 cm). 47. A képernyő egyik oldala 38 cm, képátlója 77 cm. Határozd meg a másik oldalt, és vá-

laszd ki a megfelelő képarányt! a) 4 : 3;

b) 16 : 9;

c) 14 : 7.

48. Egy négyzet alakú terítőre átlós irányban díszcsíkot varrunk. Milyen hosszú szalagra

van szükség, ha a varrás miatt 5 cm-t hozzá kell adni, és a terítő oldala a) 52 cm;

b) 30 cm;

c) 120 cm.

Mintapélda5 Mekkora annak a paralelogrammának az átlója, amelynek oldalai 9 cm és 6 cm, magassága pedig 4,4 cm? Megoldás: Az ábra megrajzolása után látható, hogy az átló (d) egy olyan derékszögű háromszögben található, amelyiknek oldalai 4,4 és 9 + x . x meghatározásához a 6 cm átfogójú derékszögű háromszögre felírjuk Pitagorasz tételét: 4,4 2 + x 2 = 6 2 , ahonnan x 2 = 6 2 − 4,4 2 , vagyis x 2 = 16,64 , x = 16,64 ≈ 4,1 . Újra alkalmazva a Pitagorasz-tételt: d 2 = 13,12 + 4,4 2 , azaz d 2 = 190,97 . Gyökvonás után: d ≈ 13,8 cm.

50


TANULÓK KÖNYVE

Feladatok 49. Mekkora a háromszög harmadik (c) oldala, ha a = 8 cm, b = 9 cm, ma= 6 cm? Szer-

keszd meg a háromszöget! 50. Egy szimmetrikus trapéz alapjai 4 cm és 7 cm, szárai 4,6 cm hosszúak. Mekkora a

trapéz területe és átlója? 51. A város szélén egy oszlopon víztároló gömböt állítanak fel

(hidroglóbusz), amit a gömb „egyenlítőjéhez” rögzített drótkötelekkel is megerősítenek. Mekkora egy drótkötél hossza, ha a gömb középpontja 47 méterre van a földtől, a gömb átmérője 24 méter, és a földön a tartóoszlop középpontjától 30 méterre rögzítik? 52. Egy 4 cm sugarú körhöz a középpontjától 10 cm távolságról érintőt húzunk. Mekkora

az érintő egyenesén a ponttól a körig tartó érintőszakasz hossza? 53. Számítsd ki ennek a szabálytalan alakú teleknek a területét!

54. Mekkora keresztgerendákat kell gyártani a hidakhoz? (A keresztgerendákat az ábrán

narancs, zöld, lila és kék színnel jelöltük.)


51

55. Egy rombusz alakú papírsárkányt szeretnénk készíteni. Az átlós irányú merevítők

hossza 1,7 m és 2,8 m. a) Mekkora a rombusz oldala? b) Mekkora felületű anyag szükséges a papírsárkány elkészítéséhez? 56. Egy téglalap egyik oldala háromszor akkora, mint a másik. Mekkorák az oldalai, ha a

területe 147 cm2? 57. Számold ki a téglalapok oldalait és kerületét, ha tudod, hogy

a) egyik oldala kétszer akkora, mint a másik, és területe 32 cm2; b) egyik oldala

2 része a másik oldalhossznak, és területe 2400 mm2; 3

c) egyik oldala 38%-kal hosszabb, mint a másik oldala, és területe 34,5 m2! 58. Egy trapéz hosszabbik alapja 20 cm, szárai 8 cm és 6 cm, magassága 5 cm.

a) Mekkora a trapéz rövidebbik alapja és területe? b) Mekkora a két átló hossza? 59. Töltsd ki a táblázatot (minden távolság cm-ben értendő)!

a)

b)

c)

a

20

27

35

b

8

18 10

c d

6

13

m

5

11

e f T

16 9

52


TANULÓK KÖNYVE

60. Töltsd ki a táblázatot! (e és f a deltoid két átlója)

a) e f

10 cm

a

12 cm

b

23 cm

T

b)

c)

8 egység

52 m

5 egység

25 m

20 egység2

624 m2

61. Egy 6 cm sugarú körnek meghúztuk a

10 cm-es húrját. Mekkora a húr és a kör középpontjának a távolsága?

62. Egy 12,4 cm hosszúságú húr a kör középpontjától 4,5 cm távolságra található. Mekko-

ra a kör átmérője? 63. Egy 6 cm sugarú kör egyik húrja 8 cm-es. Mekkora a középpontból a húrra bocsátott

merőleges szakasz hossza (vagyis a húr és a középpont távolsága)? 64. Egy 7 cm átmérőjű narancsból levágtunk egy darabot,

aminek a helyén egy 5,5 cm átmérőjű kör keletkezett. Milyen magasan lesz a talajtól a narancs „teteje”, ha erre a körre állítjuk?

65. Karcsi egy kör alakú tér AB átmérőjét akarja meghatározni,

de a tér közepén egy szökőkút áll. Készített egy tervet, amely a segítségére lesz, és méréseket végzett: az AP távolságot 34 lépésnek, a PB távolságot 44 lépésnek mérte. Mekkora a tér átmérője, ha Karcsi átlagos lépését 0,8 méteresnek vesszük?


53

66. Szíjáttétel modelljéből két kör közös érintőit akarjuk kiszámítani. A körök sugara 3 cm

és 7 cm, a középpontjaik távolsága 20 cm. Mekkora a közös külső és belső érintők hossza? Az ábra segít a megoldásban.

67. A planetárium körfolyosóját le kell burkolni. A burkoló az ábrán

látható távolságot mérte le. Miért elegendő ez az adat a burkolat anyagmennyiségének meghatározásához? Mennyibe kerül a burkolás, ha anyaggal együtt 2600 Ft-ot kérnek 1 m2 burkolásáért?

54


TANULÓK KÖNYVE

IV. Vektorok Ismétlés Az irányított szakaszt vektornak nevezzük. A fizikában több vektormennyiséget megismertünk: elmozdulás, sebesség, gyorsulás, erő stb. A vektorok kezdőpontjukkal és végpontjukkal kijelölnek egy irányt és egy távolságot. A távolságot a vektor hosszának vagy abszolútértékének nevezzük, és mindig valamilyen hoszszúságegységhez viszonyítjuk. A vektorok egyenlősége és azonossága különböző fogalmak. Két vektor azonos, ha kezdőpontjaik és végpontjaik páronként megegyeznek, jelölés: a ≡ b. Egy adott vektorral azonos vektor a síkon vagy a térben ugyanott helyezkedik el. Ezzel szemben egy adott vektorral egyenlő vektort a sík vagy tér bármely pontjából felmérhetünk, így egy adott vektorral egyenlő vektorból végtelen sok van. Két vektor egyenlő, ha hosszuk és irányuk megegyezik (vagyis egyeneseik párhuzamosak és irányításuk azonos).

Egységvektor (e): egységnyi hosszúságú vektor: | e | = 1. Nullvektor (0): 0 hosszúságú vektor. Definíciója: olyan vektor, amelynek megegyezik a kez-

dőpontja és a végpontja. Irányát tetszőlegesnek tekintjük. Az a vektor ellentettjének nevezzük azt a vektort, amelyik vele egyenlő abszolútértékű, egyező állású, de vele ellentétes irányú. Jelölése: – a .


55

Feladatok 68. Keress egyenlő, egyenlő abszolútértékű, illetve ellentett vektorokat az ábrán!

69. Keress egyenlő, ellentett és azonos vektorokat a kockán és a szabályos hatszögön!

Vektorműveletek Két vektor összegét kétféle módszer szerint szerkeszthetjük meg:

a) háromszög-módszer: az a végpontjából mérjük fel a b vektort; ekkor az a + b vektor az a kezdőpontjából a b végpontjába mutat.

b) paralelogramma-módszer: ha a és b nem párhuzamosak, akkor az a és b vektorokat közös kezdőpontból mérjük fel, kiegészítjük paralelogrammává; ekkor az a + b vektor a paralelogramma közös kezdőpontból kiinduló átló vektora.

56


TANULÓK KÖNYVE

Több vektor összeadásánál használható a láncszabály:

Egy a vektor és a nullvektor összege az a vektorral egyenlő: a + 0 = a. A vektorok összeadása a számokkal végzett összeadáshoz hasonlóan kommutatív (felcserélhető) és asszociatív (csoportosítható) művelet: a+b=b+a

és

a + b + c = ( a + b ) + c = a + ( b + c ).

A vektorok összeadásának ellentett művelete a vektorok kivonása. Az a és b vektorok különbségét úgy képezzük, hogy közös kezdőpontból mérjük fel őket. A végpontjaikat összekötő, a végpontja felé mutató vektor az a – b vektor. Az a – b vektort úgy is megszerkeszthetjük, hogy az a vektorhoz hozzáadjuk b ellentett vektorát (– b vektort).

A vektorok kivonására a számok kivonásához hasonlóan nem teljesül sem a kommutativitás, sem az asszociativitás. A vektorok nyújtására és összenyomására a számmal (skalárral) történő szorzást használjuk.


57

Az ábrán az a, b és c vektorok között összefüggések állapíthatók meg: b=–a

(ellentett vektorok), írhatjuk úgy is, hogy b = –1·a;

c = 2b,

valamint

c = 2·(– a) = –2·a.

További példák vektorok számmal való szorzására:

Az a vektor k-szorosa (k∈R, vagyis k egy valós szám) az a vektor, amelynek hossza |k|·|a|, iránya pedig k > 0 esetén a irányával megegyező, k < 0 esetén a irányával ellentétes. k = 0 esetén nullvektort kapunk.

1-nél nagyobb abszolútértékű számmal megszorozva a vektort, a hossza növekszik (nyújtás). Ha a szám abszolútértéke 0 és 1 közé esik, akkor a vektort vele megszorozva a vektor hossza csökken (összenyomás). A csupán szorzótényezőjükben különböző vektorokat egyneműeknek tekintjük, így azok összevonhatók: a + 2a = 3a. A vektorok összeadását és számmal való szorzását használjuk vektorok összetevőkre bontásakor is. A koordináta-rendszerben kihasználjuk a négyzetrács adta lehetőségeket, ami sokat segít a szerkesztések alkalmával.

Feladatok 70. Másold át a füzetedbe az ábráról a vektorokat, majd szer-

keszd meg az adott vektorműveletek eredményét! a) a + b;

b) a – b;

c) b + c;

d) a – d;

e) c – a;

f) a + 2d;

g) b – 2c;

h) 3d – c.

71. Határozd meg az előző feladatban szereplő a, b, c és d vektorok hosszát!

58


TANULÓK KÖNYVE

Vektor felbontása adott irányú összetevőkre Mintapélda6 Az ábrán egy lejtőn nyugvó testre ható nehézségi erő vektorát rajzoltuk meg. Bontsuk fel a nehézségi erőt egy lejtőre merőleges és egy lejtővel párhuzamos irányú összetevőre! Megoldás: A keresett erők összege az adott F nehézségi erő, kezdőpontjuk megegyezik F kezdőpontjával. Ha a paralelogramma-módszer szerint összegezzük a lejtőre párhuzamos és a lejtőre merőleges erőket, akkor az összegvektor a paralelogramma átlója. Olyan paralelogrammát szerkesztünk tehát, amelynek oldalai a kívánt irányokkal párhuzamosak, átlója pedig a megadott vektor (szerkesztéskor F kezdő- és végpontján keresztül a lejtővel párhuzamost, illetve a lejtőre merőleges egyeneseket húzunk, és a keletkező metszéspontok adják az összetevők végpontjait). A paralelogramma oldalainak vektorai a és b. a az F erő lejtőre merőleges összetevője, b pedig a lejtővel párhuzamos összetevő. A vektorok ilyen jellegű, adott irányokkal párhuzamos összetevőkre bontása fontos szerepet játszik például az épületek, tartószerkezetek statikai megtervezésekor. A vektorok összeadásával írható le az a jelenség is, hogy fékezéskor a buszban az utasok előre dőlnek. Mivel a gyakorlati életben nagy jelentőségű a vektorok összeadása és felbontása, mi is megismerkedünk az alkalmazásukkal.

Feladatok 72. Egy csónak a partra merőlegesen indult útjára, de a

folyó elsodorta. Az ábrán megrajzoltuk a csónak sebességének vektorát. Szerkeszd meg a folyó és a csónak partra merőleges sebességének vektorait!


59

73. Egy csónak egy erős sodrású folyón elindul a másik part felé a folyó partjára merőle-

ges irányban, 7 m/s sebességgel. A folyóban a víz áramlásának a sebessége 2,5 m/s. a) Készíts ábrát a feladathoz, amelyben a sebességeket a nagyságukkal arányos hoszszúságú vektorokkal ábrázolod! b) Szerkeszd meg a csónak és a folyó sebességének megfelelő vektorok összegét! c) Számítsd ki a csónak parthoz viszonyított sebességét a vektorok felhasználásával!

74. Az ábrán egy téglára ható F húzóerőt ábrázoltuk.

Bontsd fel az F vektort két összetevőre: egyik legyen a talajra merőleges (emelő erő), a másik pedig a talajjal párhuzamos (gyorsító erő)! (Mindkét erő F-hez hasonlóan a test tömegközéppontjából induljon ki.)

60


TANULÓK KÖNYVE

Ajánlott szakmai jellegű feladatok 1. Egy 31 mm átmérőjű, kör keresztmetszetű acélrúdból M12-es hatlapfejű (azaz szabályos

hatszög fejű) csavarokat esztergálnak. Mekkora lesz a csavarfej laptávolsága (a hatszög két szemközti oldalának távolsága? 2. Kör keresztmetszetű acélrúdból olyan csavarokat esztergálnak, amelyek 16 mm-es kulcs-

nyílású csavarkulccsal nyithatók. Legalább mekkora átmérőjű acélrúd kell a (szabályos hatszög fejű) csavarok elkészítéséhez? 3. Egy kör keresztmetszetű tengely egyik végére a lehető legnagyobb négyzet keresztmetszetű

csapot marunk. Mekkora átmérőjű a tengely, ha a csap keresztmetszete 289 cm2 területű? 4. Egy múzeum bejáratának kapuja kétszárnyú. A kapu magassága 2,8 m, az egyes ajtószár-

nyak 2 m szélesek. Az ajtószárnyakat 2-2 kovácsoltvas merevítő díszíti, amelyek átlósan helyezkednek el az ajtószárnyakon. Összesen hány m hosszú kovácsoltvas szükséges a merevítők elkészítéséhez? 5. Az asztalosműhelyben sarokba helyezhető tékát (egyenlőszárú derékszög alapú hasáb ala-

kú kis faliszekrényt) készítenek. A téka két oldallapja 60 cm széles és 80 cm magas téglalap. Milyen széles a téka ajtaja (előlapja)? Hány cm2 bútorlapot használnak fel a téka elkészítéséhez? 6. Egy régi típusú falusi ház padlására létrán lehet felmenni. A létra alját a faltól 1,2 m-re a

talajhoz, a tetejét 2,8 m magasan a falhoz rögzítették. Milyen hosszú a létra? 7. Egy téglalap alakú bútorlap oldalai 1,2 m és 1,8 m hosszúak. Ebből egy egyenlő oldalú

háromszög alakú asztallapot vágnak ki, amelynek magassága pontosan 1,2 m. A fennmaradó anyag két darabjából még összeállítanak egy ugyanekkora asztallapot, hogy ne legyen olyan nagy az anyagveszteség. Hány százalék ezután az anyagveszteség? 8. Egy farönkből, amelynek keresztmetszete 25 cm átmérőjű kör, a lehető legnagyobb, négy-

zetkeresztmetszetű gerendát vágnak ki. Hány cm2 a gerenda keresztmetszete?


61

9. Egy teherautóra hordókat gurítanak fel. A teherautó rakodófelülete 1,5 m magasan van. Egy

3 m-es palló áll a rendelkezésükre. Közelítőleg milyen messze lesz a palló földre támaszkodó része a teherautótól? 10. A konyhai dolgozó nőknek fejkendőt kell hordaniuk. A fejkendők egyenlőszárú derékszö-

gű háromszög alakúak. A leghosszabb oldaluk 84 cm hosszú (beleszámítva a szegést is), hogy hátul a nyakon meg lehessen kötni. Hány méternyi 120 cm széles fehér vásznat kell venni 8 fejkendő elkészítéséhez? 11. Egy sikeres futballistát pályafutása végén aranyozott futball-labdával ajándékoznak meg.

Az ajándékhoz kocka alakú díszdobozt készítenek, amit kívülről bőrrel vonnak be. Ehhez 1014 cm2 bőrt használnak el. Belefér-e a dobozba a 9,5 cm átmérőjű labda? 12. Egy kabátra egyenlőszárú trapéz alakú zsebdíszeket varrnak. A trapéz párhuzamos oldalai

12 és 10 cm hosszúak, a két szára 4 cm hosszú. Hány cm2 anyag szükséges két zsebdíszhez, ha a szegéshez minden oldalon 1 cm-t kell még hozzászámítani? 13. Egy szabályos hatszög alakú asztal kerülete 330 cm. Az asztalhoz hatszög alakú asztalterí-

tőt varrnak, amely körben az asztalról 15 cm-rel lejjebb ér. Kiszabható-e az abrosz egy 1,5 m oldalú négyzet alakú anyagból? 14. Egy többszemélyes sátor első lapja egyenlőszárú trapéz alakú. A két párhuzamos oldal

2 m és 4 m hosszú, a trapéz kerülete: 11 m. A sátor bejárata 2 m széles téglalap alakú, magassága megegyezik a sátor magasságával. A bejáratot tépőzáras szúnyogháló fedi. Hány m2 szúnyogháló anyagot kell felhasználni a bejárathoz? 15. A televíziós képcsöveket a képernyő átmérőjével adják meg. A képernyők szélességének

és magasságának aránya általában kétféle lehet: 4 : 3 és 16 : 9. Hány cm széles és magas az a képernyő, a) amelynél ez az arány 4 : 3, és átmérője 70 cm? b) amelynél ez az arány 16 : 9, és átmérője 90 cm? 16. Ha a 2,5 m magas kétágú festőlétrát szétnyitjuk, lábai a padlón 85 cm távol lesznek egy-

mástól. Milyen magas a létra kinyitva?

62


TANULÓK KÖNYVE

17. Hány m hosszú korlátot szerelnek fel ahhoz a lépcsőhöz, ami 2,7 m vízszintesen mért tá-

volságra és 2 m magasra visz fel? 18. Hány négyzetméter lambéria szükséges egy egyenlőszárú háromszög alakú oromfal bebo-

rításához, amelynek alapja 6,5 m és szárai 4,3 m hosszúak? 19. Egy vízelvezető csatorna keresztmetszete egyenlőszárú trapéz. A csatorna alul 1,3 m szé-

les, fent 1,6 m és az oldalfalak magassága 1,2 m. Mekkora a csatorna keresztmetszete? 20. Egy egyenletesen emelkedő lejtő aljától, a hegy tetejéig tartó út 6100 m. Ugyanez az út a

turista térképen 6000 m vízszintes irányú elmozdulás. Hány méter a szintkülönbség az indulási pontunktól a hegy tetejéig? 21. Mekkora egy 14 menetes csavarmenet hossza, ha a menetemelkedés 1,5 mm, és a csavar

átmérője 4 mm? 22. Egy csavar átmérője 5 mm. A csavarmenet hossza 16,8 mm. Mekkora a menetemelkedés? 23. Egy kúpos csap legnagyobb átmérője 45 mm, a legkisebb átmérője 32 mm. Mekkora a

kúpos felület alkotója? 24. Egy nyeregtetős épület tetőszerkezete 4,5 m magas, 10 m széles és 16 m hosszú. Hány

négyzetméter pala szükséges a födém beborításához? 25. Egy 8 cm hosszú fonalingán lévő tárgyat kilendítünk, úgy, hogy a tárgy körpályán mozog-

jon, és az inga szára 45o-os szöget zárjon be a függőlegessel. Mekkora átmérőjű kört fog leírni a tárgy és ez a kör milyen messze lesz az inga felfüggesztési pontjától? 26. Egy téglalap alakú kert kerítésének sarokoszlopaira 356 N és 438 N húzóerők hatnak.

Mekkora a sarokoszlopokra ható húzóerő eredője? 27. Egy tartóhorog egy, a terem két szemközti falára, ugyanolyan magasan rögzített sodrony-

kötélre van felakasztva. A horog 200 N erővel húzza a kötelet. Mekkora erő ébred az egyes kötélszárakban, ha a kötélszárak derékszöget alkotnak?

3. MODUL

másodfokú függvények és egyenletek Készítette: Csákvári Ágnes

64


TANULÓK KÖNYVE

I. Kéttényezős szorzatok Egyenletek megoldása közben gyakran előfordul a zárójelfelbontás. Legtöbbször egy számmal szoroztuk meg a zárójeles kifejezést.

Mintapélda1 Bontsuk fel a zárójelet!

a) 3⋅(x + 2);

b) 2a⋅(a + 5);

c) –k⋅(3k – p);

d) 7m⋅(2n – 5m).

Megoldás: a) 3⋅(x + 2) = 3x + 6;

b) 2a⋅(a + 5) = 2a2 + 10a;

c) –k⋅(3k – p) = –3k2 + kp;

d) 7m⋅(2n – 5m) = 14mn – 35m2. A továbbiakban megnézzük, hogyan bontjuk fel a zárójelet akkor, amikor a szorzótényezők szintén zárójeles kifejezések. Emlékeztető: Összeget összeggel úgy szorzunk, hogy az egyik összeg minden tagját megszorozzuk a másik összeg minden tagjával. Ha lehet, összevonunk.

Mintapélda2 Végezzük el a kijelölt műveleteket! a) (x + y)⋅(w + z);

b) (2a + 1)⋅(5 – a);

c) (2k + p)⋅(–4p – 3);

d) (5x – 2y)⋅(3y – 2x).

Megoldás: a) (x + y)⋅(w + z) = xw + xz + yw + yz; b) (2a + 1)⋅(5 – a) = 2a⋅5 + 2a⋅(–a) +1⋅5 + 1⋅(–a) = 10a – 2a2 + 5 – a = –2a2 + 9a + 5; c) (2k + p)⋅(–4p – 3) = 2k⋅(–4p) + 2k⋅(–3) + p⋅(–4p) + p⋅(–3) = –8kp – 6k – 4p2 – 3p; d) (5x – 2y)⋅(3y – 4x) = 5x⋅3y + 5x⋅(–4x) – 2y⋅3y –2y⋅(–4x) = 15xy – 20x2 – 6y2 + 8xy = = 23xy – 20x2 – 6y2 .

65

3. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK ÉS EGYENLETEK

Feladatok 1. Párosítsd össze a szorzatokat a kifejezésekkel! a) (2x + 7)⋅(5y – 1);

i) 4y2 + 3xy – 3x – 4y;

b) (3x – 5)⋅(2x – y);

ii) 10xy – 2x + 35y – 7;

c) (y – 1)⋅(3x + 4y);

iii) 10x2 + 3y2 + 11xy;

d) (2x + y)⋅(3y + 5x);

iv) 6x2 – 3xy – 10x + 5y.

2. Végezd el a kijelölt műveleteket! Vonj össze, ahol lehet! a) (2a + 1)⋅(3a – 2);

b) (5 + 3c)⋅(4b + 2);

c) (2e – 3f)⋅(–e + 5);

d) (5g – 8h)⋅(3h + 1);

e) (2i + 5j)⋅(3i + 4j);

f) (–8k – 5l)⋅(3l + 2k);

g) (1,5m – n)⋅(m – 2,8n);

h) –(1,2o + 0,5p)⋅(0,3o – p);

⎛2 i) (3,6q + 0,8r)⋅(2,1r – 1,9q); j) ⎜ s + ⎝3

2 ⎞ ⎛1 k) ⎜ t − u ⎟(2t + 3u ) ; ⎝3 5 ⎠

3⎞ ⎛4 3 ⎞ ⎟ ⋅⎜ − s⎟ ; 4⎠ ⎝5 2 ⎠

l) (2,6v + 5,2y)⋅(0,4x + 1,3z).

66


TANULÓK KÖNYVE

II. Nevezetes szorzatok Vannak olyan kéttényezős szorzatok, ahol a tényezők megegyeznek, vagy csak egyetlen előjelben különböznek. Ezen szorzatokra tanultunk azonosságokat, amelyek alkalmazása meggyorsítja a feladatok megoldását. Nevezetes szorzatok: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)⋅(a – b) = a2 – b2

Mintapélda3 Végezzük el a kijelölt műveleteket! a) (2x + 5y)2 ;

b) (3a – 7b)2 ;

c) (2k + 3m)⋅(2k – 3m) .

Megoldás: a) (2x + 5y)2 = (2x)2 + 2⋅2x⋅5y + (5y)2 = 4x2 + 20xy + 25y2 ; b) (3a – 7b)2 = (3a)2 – 2⋅3a⋅7b + (7b)2 = 9a2 – 42ab + 49b2 ; c) (2k + 3m)⋅(2k – 3m) = (2k)2 – (3m)2 = 4k2 – 9m2 .

Feladatok 3. Végezd el a kijelölt műveleteket!

a) (s + 7)2;

b) (5k – 6)2;

c) (4f + 3)(4f – 3);

d) (b + 2c)2;

e) (3m – n)2;

f) (q – 2r)(q + 2r).

4. Végezd el a kijelölt műveleteket!

a) (2x + 5a)(2x – 5a);

b) (3x + 2y)2;

c) (4d – 5c)2;

d) (1,2z + 0,7w)2;

e) (3,7e – 8)2;

1 ⎞⎛ 2 1 ⎞ ⎛2 f) ⎜ y − v ⎟⎜ y + v ⎟ . 2 ⎠⎝ 5 2 ⎠ ⎝5

67


III. A másodfokú függvény definíciója A másodfokú alapfüggvény definíciója és grafikonja Mintapélda4 Egy négyzet alakú kertet szeretnénk füvesíteni. Tudjuk, hogy 10 dkg fűmag 16 m2 területre elég. – Hány dkg fűmag kell 1 m; 135 cm; 2 m; 3 m; 3 m 20 cm; 4 m; 4 m 5 dm; 5m 58 dm, illetve 6 m oldalú, négyzet alakú kert füvesítéséhez? – Készíts grafikont a négyzet alakú kert oldala és a kert területe közötti kapcsolatról! Megoldás: Először számoljuk ki a megadott oldalak alapján a kert területét, majd határozzuk meg, hogy hány dkg fűmag szükséges. A számoláshoz végezzük el a szükséges átváltásokat! 135 cm = 1,35 m;

3 m 20 cm = 3,2 m;

4 m 5 dm = 4,5 m;

58 dm = 5,8 m.

Jelöljük a kert oldalát a-val, a területét T-vel. Ekkor T = a2. Készítsünk értéktáblázatot! a(m)

1

1,35

2

3

3,2

4

4,5

5

5,8

6

T(m2)

1

1,8225

4

9

10,24

16

20,25

25

33,64

36

Ábrázoljuk grafikonon a táblázat oszlopaiban található értékpárokat! Tudjuk, hogy 16 m2 kert füvesítéséhez 10 dkg fűmag kell, ezért 1 m2 kert füvesítéséhez

10 = 0,625 dkg fűmagra van 16

szükség.

T területű kert esetén 0,625 ⋅ T dkg fűmag kell. Készítsünk értéktáblázatot a fűmag mennyiségének meghatározására is!

T(m2) Fűmag (dkg)

1

1,8225

4

9

10,24

16

20,25

25

0,63

1,14

2,6

5,63

6,4

10

12,81 15,63

33,64

36

21,03

22,5

68


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda5 Egy autó álló helyzetből 100 km/h sebességre gyorsul 12,5 másodperc alatt egyenletesen. Hány méterre lesz a kiindulási ponttól 1; 2; 3; 3,5; 4; 5,2; 8; 10,4; és 12,5 másodperc elteltével? Ábrázold grafikonon az eltelt idő és a megtett út kapcsolatát!

Megoldás: A megtett út kiszámításához meghatározzuk a gyorsulást az a =

Δv képlet alapján, ahol Δt

Δv a sebességváltozást, Δt az időváltozást jelenti. Mivel az idő másodpercben, a sebesség km/h-ban adott, és a feladat méterben kéri a távolságokat, ezért átváltjuk a sebességet m/s-ba.

km 1000 m 100 m m =100 ⋅ = = 27,78 . h 3600 s 3,6 s s m 27,78 s m Az autó gyorsulása: a = = 2,2 2 . 12,5 s s 1 Az utat az s = a ⋅ t 2 képlettel számíthatjuk ki. 2 100

Készítsünk értéktáblázatot! A megtett utat elegendő egy tizedesjegy pontosan megadni. t (s)

1

2

3

3,5

4

5,2

8

10,4

12,5

s (m)

1,1

4,4

9,9

13,5

17,6

29,75

70,4

119

171,9

Ábrázoljuk grafikonon a kapott értékpárokat.

Mintapélda6 Egy 15 m magas épület tetejéről lehull egy cserép. Hány méterre van a földtől 0,1; 0,2; 0,25; 0,5; 0,8; 1,1; 1,42, illetve 1,73 másodperc elteltével? Ábrázold grafikonon az eltelt idő és a földtől való távolság kapcsolatát! A megtett utat az s =

g 2 m ⋅ t képlettel számítjuk ki, ahol g ≈ 10 2 a gravitációs gyorsulás. s 2

Megjegyzés: g értéke független a test tömegétől és anyagi minőségétől.

69


Megoldás:

A megadott képlet segítségével a tetőtől való távolságot tudjuk meghatározni. A földtől való távolság 15 – s. Készítsünk értéktáblázatot! t (s)

15 – s (m)

t (s)

15 – s (m)

0,1

0,2

0,25

0,5

15 – 0,05 =

15 – 0,2 =

15 – 0,31 =

15 – 1,25 =

= 14,95

= 14,8

= 14,69

= 13,75

0,8

1,1

1,42

1,732

15 – 3,2 =

15 – 6,05 =

15 – 10,08 =

15 – 15 =

= 11,8

= 8,95

= 4,92

=0

Ábrázoljuk grafikonon a kapott értékpárokat.

Az előző mintapéldákban olyan feladatokkal találkoztunk, ahol a felsorolt értékek és a keresett mennyiségek (oldal és terület, eltelt idő és megtett út) között négyzetes összefüggés van. A grafikonok pontjait össze is köthetjük folytonos görbével, mert minden valós számnak van négyzete. Minél jobban közelítünk egy x értékhez, a számokhoz tartozó négyzetértékek is annál jobban közelítenek x2 értékéhez.

70


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda7 Minden valós számhoz rendeljük hozzá a négyzetét! Készítsük el a kapott függvény grafikonját! Megoldás:

Ekkor a hozzárendelési utasítás f ( x ) = x 2 alakban írható fel. x – 16 – 10,5 – 5 – 4 – f(x) 256 110,25 25

16

3 2

9 4

– 1 – 0,63 1

0,3969

0

1

2 3

2

3

0

1

4 9

4

9 127,69

11,3

Mivel minden szám négyzete nemnegatív, ezért az f ( x ) = x 2 függvény értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza. Ha koordináta-rendszerben ábrázoljuk az összes olyan értékpárt, amelynek első tagja egy tetszőleges valós szám, második tagja pedig annak négyzete, a következő görbét kapjuk:

Ennek a görbének a neve parabola. Az ábrán látható, hogy a másodfokú alapfüggvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre. A parabola szimmetriatengelyén lévő pontját tengelypontnak nevezzük.

71


Minden valós számhoz hozzárendelhetjük annak négyzetét. Az f(x) = x2 hozzárendelési utasítással megadott függvényt másodfokú alapfüggvénynek nevezzük. Képe parabola.

Megjegyzés: Eddig az x a x 2 jelölést használtuk, de napjainkban inkább az f (x) = x 2 jelölés az elterjedtebb. A továbbiakban ez utóbbi jelölést alkalmazzuk.

A másodfokú alapfüggvény tulajdonságai 1. Monotonitás:

– Ha x ≤ 0, akkor növekvő x értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak. Ezért a függvény ezen a tartományon szigorúan monoton csökkenő. – Ha x ≥ 0, akkor növekvő x értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak. Így a függvényt ezen a tartományon szigorúan monoton növekvőnek nevezzük. 2. Zérushely: az értelmezési tartománynak azon eleme, ahol a függvényérték 0.

Az f(x) = x2 függvénynek az x = 0 pontban van zérushelye. Ez szemléletesen azt is jelenti, hogy a függvény grafikonjának ezen a helyen közös pontja van az x tengellyel. 3. Szélsőérték:

Az f(x) = x2 függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen pozitív. Ezért az f függvénynek az x = 0 helyen szélsőértéke, nevezetesen minimuma van. (Látható, hogy az f függvény 0-nál kisebb értékek esetén szigorúan monoton csökkenő, 0-nál nagyobb értékek esetén pedig szigorúan monoton növekvő.) Másképp: az f függvény az értelmezési tartományának x = 0 helyén veszi fel a legkisebb függvényértékét. Tekintsük a g(x) = – x2 függvényt! –

3 2

–1

g(x) – 256 – 110,25 – 25 – 16 –

9 4

– 1 – 0,36 0 – 1 –

x

– 16

– 10,5

–5

–4

– 0,6

0

1

2 3 4 9

2

3

11,3

– 4 – 9 – 127,69

72


TANULÓK KÖNYVE

A g függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen negatív. Ezért a g függvénynek az x = 0 helyen szélsőértéke, nevezetesen maximuma van. (Látható, hogy a g függvény nem pozitív x-ek esetén szigorúan monoton növekvő, nem negatív x-ekre pedig szigorúan monoton csökkenő.) Másképp: a g függvény az értelmezési tartományának x = 0 pontjában veszi fel a legnagyobb értékét.

Mintapélda8 Az f ( x ) = 2 ⋅ ( x − 3) + 2 hozzárendelési utasítás alapján számítsuk ki a függvényértékeket a 2

megadott helyeken: f (– 0,7) = ?;

f (3) = ?

–3

x

0

4,3

f (x)

Megoldás:

f (– 0,7) = 2⋅(– 0,7 – 3)2 + 2 = 2⋅(– 3,7)2 + 2 = 2⋅13,69 + 2 = 27,38 + 2 = 29,38. A többi függvényérték kiszámítása kevésbé részletezve: f (3) = 2⋅(3 – 3)2 + 2 = 2. Az értéktáblázat az előbbiekhez hasonlóan kitölthető: x = 4,3 esetén f (4,3) = 2⋅(4,3 – 3)2 + 2 = 5,38. Az eredmény:

x

–3

0

4,3

f (x )

74

20

5,38

73


Feladatok 5. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve a tanult jelölé-

seket használva számítsd ki a függvényértékeket a megadott helyeken! a) a( x ) = − x 2 + 3 ;

a(–1) = ? –6

x

–5

–2

a(2) = ? 0

a(4) = ? 1

a(x) b) b(x ) = ( x + 4) − 3 ; 2

0

x

b(– 1,2) = ? 2

4

b(0,3) = ? 4,5

b(1) = ?

6

b(x)

c) c( x ) =

1 2 x −2; 4

c(– 16) = ? –1

x

0

1 2

⎛ 16 ⎞ c⎜ − ⎟ = ? ⎝ 3⎠ 2

c(– 4) = ?

4

c(x) 2⎞ ⎛ d⎜− 2 ⎟ = ? 3⎠ ⎝

d) d ( x ) = 3( x − 2) ; 2

x d(x)

−

32 3

–2

1

d(0) = ? 2

5,5

d(0,1) = ?

74


TANULÓK KÖNYVE

IV. A másodfokú alapfüggvény transzformációi A való életben a másodfokú alapfüggvénnyel találkozunk a legritkábban, viszont annak transzformáltjával annál gyakrabban, mint azt az előző három mintapéldában is láttuk. Most megnézzük, hogy a különböző transzformációk hogyan befolyásolják az alapfüggvény grafikonját.

Mintapélda9 Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben, illetve értéktáblázattal az f(x) = x2, a g(x) = x2 – 3, illetve h(x) = x2 + 2 függvények grafikonjait! Megoldás: Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot.

Összehasonlítjuk a megfelelő függvényértékeket: x

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

g(x)

13

6

1

–2

–3

–2

1

6

13

h(x)

18

11

6

3

2

3

6

11

18

Ha az f függvény értékeiből 3-at vonunk ki, akkor a g függvény értékeit kapjuk meg, ha pedig 2-t adunk hozzá, akkor a h függvény lesz az eredmény. Ez egyben a grafikon y tengely menti eltolását is jelenti – 3, illetve +2 egységgel.


75

Általánosságban: a g(x) = x2 + v („v” 0-tól különböző, tetszőleges valós szám) függvény grafikonját az f(x) = x2 függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az y tengely mentén | v | egységgel v < 0 esetén lefelé, v > 0 esetén felfelé.

Mintapélda10 Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben, illetve értéktáblázattal az f ( x ) = x 2 , a

g ( x ) = ( x + 1) , illetve a h( x ) = ( x − 2) függvények grafikonjait! 2

2

Megoldás: Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot.

76


TANULÓK KÖNYVE

Összehasonlítjuk a megfelelő függvényértékeket:

Az értéktáblázatból látható, hogy a g függvény az értékeit 1 egységgel korábban veszi fel, mint az f függvény. Ez azt jelenti, hogy a g függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy azt eltoljuk az x tengely mentén – 1 egységgel, másképp fogalmazva negatív irányba 1 egységgel. A h függvény az értékeit 2 egységgel később veszi fel, mint az f függvény. A h függvény grafikonját pedig az f függvény grafikonjának x tengely menti 2 egységgel, pozitív irányba történő eltolásával kapjuk meg. Általánosságban: a g(x) = (x + u)2 („u” 0-tól különböző tetszőleges valós szám) függvény grafikonját az f (x) = x2 függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az x tengely mentén | u | egységgel „u” előjelével ellentétes irányba: u < 0 esetén pozitív, u > 0 esetén negatív irányba.

77


Mintapélda11 Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonjait! f(x) = x2;

g(x) = 3 x2;

h(x) = −

1 2 x . 2

Megoldás:

Az f függvény értékeit 3-mal szorozva a g függvény megfelelő értékeit, míg –

1 -del szorozva 2

a h függvény megfelelő értékeit kapjuk meg. Általánosan a függvény az f(x) = a x2 hozzárendelési utasítással adható meg, ahol a ≠ 0 valós számot jelöl. Szemléletesen: ha az „a” szorzótényező •

0 és 1 között van, akkor a másodfokú függvény grafikonja „szétnyílik”.

•

1-nél nagyobb, akkor a grafikon „szűkül”.

•

negatív, akkor a grafikont az x tengelyre is tükrözzük.

78


TANULÓK KÖNYVE

Feladatok 6. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi függvényeket!

a) f(x) = x2 + 1;

b) f(x) = x2 – 3;

c) f(x) = (x + 5)2;

d) f(x) = (x – 3)2;

e) f(x) = 2x2;

f) f(x) = −

1 2 x . 2

7. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi függvényeket!

a) f(x) = (x + 3)2 + 2;

b) f(x) = 2(x – 5)2;

d) f(x) = 2x2 – 6;

e) f(x) = −

c) f(x) = (x + 3)2 – 5;

1 ( x + 6 )2 ; 2

f) f(x) = –

3 2 x + 1. 2

8. Ábrázold koordináta-rendszerben a következő függvényeket!

1 (x – 5)2 + 1; 4

a) f(x) = 3(x + 3)2 + 2;

b) f(x) =

c) f(x) = –2(x + 2)2 – 3;

1 d) f(x) = − ( x − 3) 2 − 1 . 2

9. Egy 4 m széles, 3 m magas kamion szeretne áthajtani az alagúton, mégpedig az autóút

1 közepén haladva. Az alagút formája követi az f(x) = – x2 + 4 másodfokú függvény 2 grafikonját, ha az egység mindkét koordináta-tengelyen 1–1 méter. Át tud-e menni a kamion az alagúton?

10. Egy tengerjáró hajó át szeretne kelni egy szoroson. A hajó 7 méterre süllyed a tenger

szintje alá, a szélessége pedig 10 m a tengerszinten. Át tud-e kelni a hajó a szoroson, ha a tengerszoros medrének íve követi az f(x) =

1 2 x – 8 függvény grafikonját, és az 2

egység mindkét koordináta-tengelyen 1–1 méter?

11. Egy műugró bajnok 10 m magasból ugrik a vízbe. Hány másodperce van a gyakorlata

végrehajtására, mielőtt beleesne a vízbe? ( s =

g 2 ⋅ t , ahol g = 9,81 m/s2 .) 2

79


V. Másodfokú egyenletek és grafikus megoldásuk Mintapélda12 Péter a lakásában a nagyobbik szobájának padlóját padlószőnyeggel szeretné lefedni. Viszont elfelejtette a szoba méreteit. Csak arra emlékszik, hogy a szoba hossza 2 méterrel nagyobb, mint a szélessége, és a szoba területe 15 m2. Mekkorák az oldalai? Megoldás: A szoba x méter széles, és x + 2 méter hosszú. A területe x(x + 2), ami 15 m2. x(x + 2) = 15. A zárójelfelbontás után kapjuk: x2 + 2x = 15. Egy másodfokú egyenletet kaptunk, mert az ismeretlen második hatványon is szerepel benne. Feltehetjük úgy is a feladatban szereplő kérdést, hogy melyik az a két szám, amelynek különbsége 2, és szorzata 15. Bontsuk kéttényezős szorzatokra a 15-öt! 15 = 1⋅15 = 3⋅5 Hamar megkapjuk a megoldást, ami 3 és 5. A szoba 5 méter hosszú és 3 méter széles. Találgatás közben feltételeztük, hogy a szoba hossza egész szám, és a megoldásnak csak pozitív szám esetén van értelme. Most fogalmazzuk meg másképp a problémát!

Mintapélda13 Keressük azokat a számokat, amelyek különbsége 2, és szorzatuk 15. Megoldás: Az előző feladat alapján a megoldandó egyenlet: x(x + 2) = 15 ⇒

x2 + 2x = 15

Ezúttal x tetszőleges valós szám lehet. A találgatás hosszadalmas lenne, és nem biztos, hogy minden megoldást megtalálnánk. Más módszerre lenne szükség. Próbáljuk meg grafikusan megoldani!

80


TANULÓK KÖNYVE

Grafikus megoldáskor függvényeket képezünk, és azok grafikonját készítjük el. Külön az x2 függvényt már tudjuk ábrázolni, és a lineáris függvény ábrázolása sem okozhat problémát. Ezért rendezzük át az egyenletet x2 = – 2x + 15 alakra. Ekkor az egyik ábrázolandó függvény az f(x) = x2, a másik pedig a g(x) = – 2x + 15.

Olvassuk le az x tengelyről a metszéspontok helyét! A két megoldás: x1 = 3; x2 = – 5

Feladatok 12. Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket!

a) x2 – 2x = 0;

b) x2 – 9 = 0;

c) (x – 3)2 = 0;

d) – 2(x + 1)2 = 0;

e) x2 = – 1;

f) 3 = – (x + 2)2.

13. Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket!

a) x2 + 2x + 1 = 0;

b) (x + 2)2 = 4x;

c) x2 – 2x + 1 = 1;

d) x2 = 4x – 3;

e) x2 + 1 = – 4x – 3;

f) x2 – x = 6.

14. Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket!

a) x2 – x + 1 = 0;

b) (x – 3)2 + 2 = x + 1;

c) x2 + 1 = –x2 + 1;

d) (x + 1)2 = –(x + 1)2 ;

e) (x + 1)2 = –x2 + 1;

f) –(x + 1)2 = x2 + 1 .

15. Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket! A d), e) és f) feladatokban állapítsd

meg, melyik két egész szám közé esik a megoldás! a) (x – 1)(x + 2) = 0 ;

b) x (x + 2) = 0 ;

c) 2 (x + 3) (x – 3) = 0 ;

1 1 d) x 2 − x − = 0 ; 2 2

e) x 2 − 5 = 0 ;

f) 10x2 – 3x – 1 = 0 .


81

VI. Hiányos másodfokú egyenletek megoldása nevezetes azonosságok alkalmazásával A grafikus megoldás kapcsán többfajta másodfokú egyenlettel is találkoztunk. Általánosságban véve: Az ax2 + bx + c = 0 alakú egyenleteket másodfokú egyenleteknek nevezzük, ahol a, b és c tetszőleges valós számok, és a ≠ 0.

Amikor kis számokkal dolgozunk, vagy a megoldások könnyen és pontosan leolvashatók a grafikonról, akkor a megfelelő grafikonok elkészítésével könnyen megkapjuk a megoldásokat. A grafikus megoldás szemléletesen megmutatja a megoldások számát. A 11. feladatban viszont elsősorban olyan példákat láthatunk, amelyeket algebrai úton könynyebb megoldani. Az algebrai megoldás a négy alapművelet (összeadás, kivonás, szorzás, osztás) és a gyökvonás megfelelő sorrendben történő alkalmazását jelenti. Általa tetszőleges egyenlet pontos megoldását kapjuk meg. Ahogy a cím is jelzi, egyelőre csak egyszerűbb egyenletekkel foglalkozunk. Olyanokkal, amelyekből vagy az elsőfokú x-es tag, vagy a konstans tényező hiányzik, illetve valamilyen nevezetes azonosság alkalmazásával szinte azonnal megkapjuk a megoldást. Az előbbieket hiányos másodfokú egyenleteknek nevezzük. Az ax2 + c = 0, illetve az ax2 + bx = 0 alakú egyenleteket hiányos másodfokú egyenleteknek nevezzük, ahol a, b és c tetszőleges valós számok, és a ≠ 0.

Először egy olyan hiányos másodfokú egyenletet oldunk meg, amelyből az elsőfokú tag hiányzik.

82


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda14 Oldjuk meg a 2x2 – 6 = 0 egyenletet a valós számok halmazán!

Megoldás: A megoldandó egyenlet: Az egyenletet átrendezve kapjuk: Mindkét oldalt elosztjuk x2 együtthatójával:

Vonjunk gyököt mindkét oldalból!

2x2 – 6 = 0

ax2 + c = 0

2x2 = 6

ax2 = – c

x2 = 3

x2 = −

c a

x1 = −

c a

x1 = 3 ≈ 1,73 x2 = − 3 ≈ −1,73

x2 = − −

c a

A jobb oldali levezetésből a megoldások száma is leolvasható: c ≥ 0 , akkor az egyenletnek két megoldása van. a

•

ha −

•

ha c = 0, akkor az egyenletnek 1 megoldása van, mégpedig az x = 0.

•

ha −

c < 0 , akkor az egyenletnek nincs megoldása, mivel nincs olyan szám, a

amelynek a négyzete negatív. A következő mintapéldában egy olyan hiányos másodfokú egyenlettel találkozunk, amelyből a konstans tag hiányzik.

83


Mintapélda15 Oldjuk meg az

1 2 x + 3x = 0 egyenletet a valós számok halmazán! 2

Megoldás:

A megoldandó egyenlet:

1 2 x + 3x = 0 2

ax2 + bx = 0

Emeljük ki x-et!

⎞ ⎛1 x⎜ x + 3 ⎟ = 0 ⎠ ⎝2

x (ax + b) = 0

Egy szorzat értéke akkor és csak akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Első tényező értéke 0: Második tényező értéke 0:

x1 = 0

x1 = 0

1 x+3= 0 2

ax + b = 0 x2 = −

x2 = – 6

b a

A jobb oldali levezetésből a megoldások száma is leolvasható: •

ha b = 0, akkor egyetlen megoldás van, mégpedig az x = 0,

•

b különben mindig két megoldás van: x1 = 0; x 2 = − . a

A 16. mintapélda olyan másodfokú egyenletet tartalmaz, amelynek megoldását az teszi egyszerűvé, hogy a kifejezés felírható két tényező különbségének (összegének) négyzeteként.

Mintapélda16 Oldjuk meg x2 – 6x + 9 = 0 egyenletet a valós számok halmazán! Megoldás:

A megoldandó egyenlet:

x2 – 6x + 9 = 0

x2 + 2kx + k2 = 0, k ∈ R

(x – 3)2 = 0

(x + k)2 = 0

x=3

x=–k

Írjuk fel a kifejezést két tényező összegének / különbségének négyzeteként! A megoldás:

Látható, hogy az ilyen típusú egyenleteknek mindig pontosan egy megoldásuk van.

84


TANULÓK KÖNYVE

A 17. mintapéldában olyan speciális hiányos másodfokú egyenlettel találkozunk, amelyet kétféleképpen is megoldhatunk. Egyik megoldással már találkoztunk az első mintapéldában, a másik megoldást az (a + b)(a – b) = a2 – b2 azonosság alkalmazása adja.

Mintapélda17 Oldjuk meg a 3x2 – 27 = 0 egyenletet a valós számok halmazán! Megoldás:

A megoldandó egyenlet: Az egyenlet mindkét oldalát el2

osztjuk x együtthatójával. Alkalmazzuk az (a + b)(a – b) = 2

2

a – b azonosságot!

3x2 – 27 = 0

ax2 – c = 0 x2 −

x2 – 9 = 0

(x + 3)(x – 3) = 0

c =0 a

⎛ c ⎞⎛ c⎞ ⎜x + ⎟⎜ x − ⎟=0 ⎜ ⎟ ⎜ a ⎠⎝ a ⎟⎠ ⎝

Egy szorzat értéke akkor és csak akkor 0, ha valamelyik tényezője 0.

Első tényező értéke 0:

Második tényező értéke 0:

x+3=0 x=–3

x–3=0 x=3

x+

c =0 a c a

x=− x−

c =0 a

x=

c a

A jobb oldali levezetésből a megoldások száma is leolvasható: c ≥ 0 , akkor az egyenletnek két megoldása van. a

•

ha

•

ha c = 0, akkor az egyenletnek 1 megoldása van, mégpedig az x = 0.

•

ha

c < 0 , akkor az egyenletnek nincs megoldása, mivel nincs olyan szám, amelya

nek a négyzete negatív.

85


Feladatok 16. Töltsd ki a következő TOTÓ-szelvényt! Egyenletek

A

B

C

1

1 – x2 = 0

x=1

nincs megoldása

x1 = 1; x2 = – 1

2

2x2 + 6 = 0

x=–3

nincs megoldása

x1 = 3; x2 = – 3

3

14x2 – 21x = 0

x1 = 0; x2 = 7

4

x2 + 10x + 25 = 0

nincs megoldása

x = –5

x=5

5

2x2 + 5x = 0

x1 = 0; x2 = – 2,5

x1 = 2; x2 = 5

x=0

6

(x + 3)(x – 8) = 0

x1 = 3; x2 = – 8

x1 = – 3; x2 = 8

x1 = – 3; x2 = – 8

7

(x – 2 )(x + 2 ) = 0

x=2

x=–2

8

x2 + x + 0,25 = 0

nincs megoldása

x=1

x = – 0,5

9

4x2 –12x + 9 = 0

x1 = 2; x2 = – 3

nincs megoldása

x = 1,5

10

11

12

25x2 – 9 = 0

– 2x (5x + 3) = 0

1 x2 – = 0 2

x1 =

2;

x2 = – 2

5 ; 3

x1 = 0,6;

x1 =

3 x2 = − 5

x2 = −

x1 = 2; x2 = – 3

3 2

x1 = 0; x2 =

x1 = 3; x2 = – 3

5 3

x1 = 0; x2 = – 0,6 x1 =

x = 0,5 x2 = −

1

x1 = 2; x2 = 3

x1 = 0; x2 = −

5 3

;

2 1

nincs megoldása

2

2

13

⎛5 ⎞ ⎜ x − 1⎟ = 0 ⎝8 ⎠

+1

4 2 4 x − x +1 = 0 9 3

x=1

x=

3 2

x1 = 1; x2 = – 1,6

x = 1,6

2 2 nincs megoldása x1 = ; x2 = − ; 3 3

86


TANULÓK KÖNYVE

VII. Másodfokú egyenletek megoldása Különböző hétköznapi problémák kapcsán találkoztunk másodfokú egyenletekkel. Megpróbáltuk megoldani őket korábbi ismereteink alapján. Kezdtük találgatással, de rájöttünk, hogy ez csak speciális esetekben működik, és nem biztos, hogy mindegyik megoldást megkapjuk vele. Folytattuk grafikusan, de ott, ha nem egész szám az eredmény, vagy túl nagy számokkal dolgozunk, szintén nem kapunk pontos megoldást. Így az algebrai utat választottuk. Láttuk, hogyha az egyenlet speciális alakú, akkor hatékony eszközeink vannak a megoldására. De még mindig kérdés, hogyan oldhatunk meg egy teljesen általános másodfokú egyenletet.

Másodfokú egyenlet megoldása teljes négyzetté alakítással Korábban láttuk, hogyha az egyenlet 0-ra rendezett alakban felírható két kifejezés négyzetének különbségeként, akkor alkalmazva az a2 – b2 = (a + b)(a – b) azonosságot, máris adódik a megoldás. A négyzetes tagok felírásához pedig használhatjuk az (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 azonosságot. Alkalmazzuk meglévő ismereteinket!

Mintapélda18 Oldjuk meg az x2 + 8x – 33 = 0 egyenletet a valós számok halmazán! Megoldás:

Célunk felírni az egyenlet bal oldalát két kifejezés négyzetének különbségeként. Az x2 + 8x lehetne egy kéttagú kifejezés négyzetének első két tagja is: Az (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 azonosságból az a2 + 2ab ismert. Most a2 = x2 -nek és 2ab = 8x -nek felel meg. Az elsőből adódik, hogy az a = x; a másodikból pedig (mivel a értékét már ismerjük) kapjuk, hogy b = 4. Így megkaptuk az a-t és a b-t. Nézzük meg, mivel egyenlő összegük négyzete! (x + 4)2 = x2 + 8x + 16 A fenti egyenletben írjunk x2 + 8x helyébe (x + 4)2 -t! Ekkor az egyenlet bal oldalát megnöveltük 16-tal, hiszen x2 + 8x helyébe x2 + 8x + 16 -ot írtunk. Hogy ne boruljon fel az egyenlőség, vonjunk ki a bal oldalból 16-ot. (A kifejezés legvégén álló – 33-hoz nem nyúlunk hozzá.) Tehát (x + 4)2 – 16 – 33 = 0, ebből (x + 4)2 – 49 = 0. Ez nem más, mint (x + 4)2 – 7 2 = 0.


87

Sikerült a célnak megfelelően átalakítani az egyenletet. Most már alkalmazható az azonosság: (x + 4 + 7)(x + 4 – 7) = 0, ebből (x + 11)(x – 3) = 0. Egy szorzat értéke akkor és csak akkor 0, ha valamelyik tényezőjének értéke 0. Ezért ha x + 11 = 0, akkor x1 = – 11; ha x – 3 = 0, akkor x2 = 3. Vagyis a másodfokú egyenletünknek két megoldása van: x1 = –11 és x2 = 3. Ellenőrizzük, hogy a kapott értékek valóban az egyenlet megoldásai-e! x1 = – 11 esetben: (– 11)2 + 8⋅(– 11) – 33 = 121 – 88 – 33 = 0; x2 = 3 esetben 32 + 8⋅3 – 33 = 9 + 24 – 33 = 0.

A másodfokú egyenlet megoldóképlete A fenti eljárás kicsit hosszadalmas, de majd találkozunk olyan problémákkal, amikhez ezzel kapjuk meg leggyorsabban a megoldást. Ezt az eljárást általánosították az ax2 + bx + c = 0 alakú egyenletre, melyben a, b, c tetszőleges valós paraméterek, és a ≠ 0. Bebizonyítható, hogy az egyenlet megoldásait az x1 =

− b + b 2 − 4ac és 2a

− b − b 2 − 4ac x2 = 2a

képletek adják. A két képletet össze is vonhatjuk: A másodfokú egyenlet megoldóképlete: − b ± b 2 − 4ac x1;2 = 2a

A megoldóképlet segítségével csupán az együtthatók behelyettesítésével megkapjuk az egyenlet gyökeit, ha azok léteznek. A megoldások száma, illetve létezése nyilvánvalóan attól függ, hogy milyen előjelű szám áll a számlálóban a gyökjel alatt.

88


TANULÓK KÖNYVE

A gyökjel alatti kifejezést nevezzük az egyenlet diszkriminánsának. Jele: D, D = b2 – 4ac. Ha D > 0, akkor két megoldás van. Ha D = 0, akkor egy megoldás van. Ha D < 0, akkor pedig nincs megoldás.

Mintapélda19 Oldjuk meg megoldóképlet használatával a 3x2 + 7x – 5 = 0 egyenletet! Megoldás:

Ha az egyenlet nem ax2 + bx + c = 0 alakú, akkor első lépésként ilyen alakra hozzuk. Állapítsuk meg a, b, és c értékeit! a = 3, mert x2 szorzótényezője 3; b = 7, mert x szorzótényezője +7; c = – 5, mert a konstans tag – 5 (a paraméterek megállapításakor figyelembe vesszük a szám előtti műveleti jelet is).

Helyettesítsünk be a képletbe! x1;2 =

ebből

− 7 ± 7 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ (− 5) − 7 ± 49 + 60 − 7 ± 109 − 7 ± 10,44 = = ≈ , 2⋅3 6 6 6

x1 =

− 7 + 10,44 = 0,5733 ; 6

x2 =

− 7 − 10,44 = −2,9067 . 6

Visszahelyettesítéssel ellenőrizzük a megoldásokat! Ha x1 = 0,5733, akkor 3⋅0,57332 + 7⋅0,5733 – 5 = –0,00088; ha x2 = –2,9067, akkor 3⋅(–2,9067)2 + 7⋅(–2,9067) – 5 = –0,000185. Mivel a gyökvonás eredménye egy végtelen, általában nem szakaszos tizedes tört volt, ezért az egyenlet két megoldása csak közelítő érték. Ezeket a közelítő értékeket visszahelyettesítve az eredeti egyenletbe, az is csak közelítően teljesül. Mivel tízezred nagyságrendű az eltérés, ezért a megoldásokat elfogadjuk. Ha a gyökvonás előtti értékeket, jelen esetben a

− 7 ± 109 -ot helyettesítenénk vissza 6

az egyenletbe, akkor, ha jól számolunk, pontos értékeket kapunk.

89


Feladatok 17. Oldd meg megoldóképlet segítségével a következő egyenleteket!

a) x2 + 12x + 35 = 0;

b) x2 + 3x – 4 = 0;

c) – x2 + 6x – 5 = 0;

d) x2 – 8x + 25 = 0;

e) x2 – 8x + 16 = 0;

f) x2 – 3x – 10 = 0.

18. Oldd meg megoldóképlet segítségével a következő egyenleteket!

a) x2 + 1 = – 2,5x;

b) 2x2 – 7x = – 6;

c) 4x2 – 13x + 5 = – 5;

d) 5x2 – x + 3 = 0;

e) – 5x2 = 2x – 11;

f) 3x2 + 5x – 4 = 0.

19. Oldd meg megoldóképlet segítségével a következő egyenleteket!

a) (x + 5)(x + 14) = 400;

b) (x + 3)(2x + 7) + 10 = 0;

c) (3x + 8)(2x – 1) = 6.

20. Állapítsd meg az egyenletek megoldása nélkül a megoldások számát (0, 1, 2 megoldás

lehetséges)! a) x2 + 3x + 2 = 0;

b) x2 – 12x + 36 = 0;

c) 2x2 + 3x + 5 = 0;

d) x2 – 4x + 5 = 0;

e) x2 + 17x + 15 = 0;

f) – 2x2 + 6x + 9 = 0;

g) x2 + 2x + 3 = 0;

h) x2 – 6x + 10 = 0;

i) 12x = x2 + 4;

j) – x + 3 –7x2= 0;

3 9 k) x 2 + x + = 0; 2 16

l) 4x2 + 9 – 12x = 0.

90


TANULÓK KÖNYVE

VIII. Másodfokú egyenlettel megoldható szöveges feladatok A másodfokú egyenletek megoldásához most már minden eszköz rendelkezésre áll. Ebben a fejezetben olyan szöveges feladatokkal találkozunk, amelyekben hasznosítani is tudjuk ezeket.

Mintapélda20 Egy szoba egyik oldala 1,5 m-rel hosszabb a másiknál. A szoba területe 17,5 m2. Hány méter szegő szükséges a parkettához, ha a 90 cm széles ajtóhoz nem teszünk szegőt? Megoldás:

A szoba egyik oldala: A másik oldala 1,5 m-rel hosszabb: A szoba területe 17,5 m2 Annyi szegő kell, amekkora a szoba kerülete, mínusz 0,9 m.

x x + 1,5

17,5 = x (x + 1,5) K – 0,9

Oldjuk meg a 17,5 = x (x + 1,5) egyenletet! Felbontjuk a zárójelet: 17,5 = x2 + 1,5x. Nullára rendezünk: 0 = x2 + 1,5x – 17,5. Alkalmazzuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét: x1; 2 =

x1; 2

− b ± b 2 − 4ac , a = 1; b = 1,5; c = –17,5; 2a

− 1,5 ± 1,5 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−17,5) − 1,5 ± 2,25 + 70 − 1,5 ± 8,5 ; = = = 2 ⋅1 2 2

x1 =

− 1,5 + 8,5 7 = = 3,5 ; 2 2

x2 =

− 1,5 − 8,5 < 0 ⇒ nem megoldás. 2

A szoba egyik oldala 3,5 m, a másik 3,5 m + 1,5 m = 5 m hosszú. A kerülete K = 2⋅(3,5 + 5) m = 17 m. K – 0,9 m = 16,1 m. A szobához 16,1 m szegő szükséges.


91

Feladatok 21. Két szám szorzata 60. Egyik szám 7-tel kisebb a másiknál. Melyik ez a két szám?

22. Két szám összege 13, szorzatuk 42. Melyik ez a két szám?

23. Egy háromszög magassága 1,4-szerese a hozzá tartozó oldalának. A háromszög terüle-

te 70 területegység. Mekkora a háromszögnek ez az oldala?

24. Egy kert egyik oldala 70 méterrel kisebb a másik oldalánál. A területe 26000 m2. Hány

méter drótra van szükség a körülkerítéséhez?

25. Egy négyzet alapú strandmedence 1,5 m mély. Úgy tervezték, hogy 384 ezer liter víz

férjen bele, ha teljesen feltöltik. Hány négyzetméter csempe szükséges az alapjának és az oldalainak beborításához?

26. Egy biciklis csoport 200 km-es túrára indult. Minden nap ugyanannyit haladtak. Ha

10 km-rel többet tettek volna meg naponta, akkor útjuk 1 nappal hamarabb véget ért volna. Hány kilométert tett meg a csoport naponta?

27. Két szám közül az egyik 8-cal nagyobb a másiknál. Négyzetük összege 194. Melyik ez

a két szám?

28. Egy fából készült képkeret felülete 6,375 dm2. A keret külső

részének hosszabbik oldala 40 cm-rel nagyobb a rövidebbik oldalánál. A keret vastagsága pedig 32-ed része a rövidebbik oldalnak. Mekkorák a képkeret belső élei?

92


TANULÓK KÖNYVE

29. Egy összejövetelre édes és sós aprósüteményből egyaránt vásároltunk. Az édesből

1650 Ft értékben, a sósból 1700 Ft értékben. Az édes aprósütemény 250 Ft-tal drágább a sósnál. Ez utóbbiból fél kg-mal többet vettünk. Hány kg édes, és hány kg sós aprósüteményt vásároltunk? 30. Egy úszómedencét két csövön keresztül 2 és fél óra alatt töltenek fel. Az első cső

másfél órával hamarabb tudja megtölteni a medencét, mint a második. Mennyi idő alatt tudja megtölteni a medencét a két cső külön-külön? 31. Egy kikötőből egyszerre indul el két

hajó: az egyik délre, a másik nyugatra. 2 óra múlva 100 km-nyire lesznek egymástól. Állapítsuk meg mindkét hajó sebességét, ha az egyik 4 km/hval lassabban halad, mint a másik.


93

Ajánlott szakmai jellegű feladatok 1. Egy 288 cm2 téglalap alakú bádoglemezből négyzet alakú lemezt készítenek úgy, hogy

egyik oldalával párhuzamosan levágnak egy 4 cm széles sávot. Hány cm2 lesz az így kapott négyzet területe? 2. Egy egyenlőszárú háromszög alakú sablonlemez magassága 3 cm-rel hosszabb, mint az

alapja. A területe 44 cm2. A sablon alapján 9 darab háromszöget kívánnak kivágni egy 12 cm széles és 40 cm hosszú acélszalagból. Lehetséges ez? 3. Egy M36-os csavarhoz tartozó alátét belső átmérője 58 mm. Az alátét felfekvési felülete

4825,6 mm2. Mekkora az alátét külső átmérője? 4. Egy téglalap alaprajzú szoba egyik oldala 90 cm-rel hosszabb, mint a másik. A szoba alap-

területe 20 m2, magassága 2,8 m. Az ajtók– ablakok 5 m2 területet foglalnak el a falakon. A szobát kifestik, beleértve a mennyezetet is. Mekkora a festendő felület? 5. Padlóburkoláskor az egyik falnál a négyzet alakú padlóburkoló lapokból 6 cm-es sávot

vágtak le. Így egy megkisebbített lap területe 720 cm2 lett. Mekkora az eredeti padlólapok mérete? 6. Egy téglalap alakú alátétlemez oldalai 6 cm és 5 cm hosszúak. A lemez közepén a nyílás

6 cm2 területű. A nyílást úgy vágták ki a lemezből, hogy a kivágás széle mindenütt azonos távolságra legyen az alátétlemez széleitől. Hány cm-re van a kivágás az alátétlemez szélétől? 7*. Egy traktorral a felszántandó terület felét felszántották, majd a másik felének szántását

egy másik traktorral fejezték be. Így a szántás 25 napig tartott. Ugyanezt a földterületet 12 nap alatt szánthatták volna fel, ha a két traktor egyszerre dolgozott volna. Hány nap alatt végezné el az egész szántást az egyik, és hány nap alatt a másik traktor? 8*. Egy ház alapozási munkáján két kőműves dolgozik. A munka 8 nap alatt készül el, de az

egyik kőműves az első és a harmadik napon hiányzik. Ha egyedül dolgoznának, akkor az a munkás, aki nem dolgozta végig a 8 napot, 4 nappal hamarább fejezné be a munkát, mint a másik, aki végigdolgozta a 8 napot. Hány nap alatt végeznék el egyedül a munkát az egyes kőművesek?

94


TANULÓK KÖNYVE

9. Egy 30 cm széles bádoglemezből vízlevezető csatornát hajlítunk. Ezt a legegyszerűbben

úgy tehetjük, hogy a lemez két oldalát egyenlő mértékben felhajtjuk úgy, hogy a keletkezett csatorna téglalap alakú legyen. Mennyit hajtsunk fel, hogy a csatorna keresztmetszete 112 cm2 területű legyen? 10. Egy fatelepről egy asztalosüzem rendszeresen olyan téglalap alakú farostlemezeket vásá-

rolt, amelynek oldalai 90 cm és 120 cm hosszúak voltak. Az új rendelésben a megrendelő azt kérte, hogy olyan farostlemezeket szállítson, amelynek a régi rendelésekben szereplő adatokhoz képest a hosszabbik oldala ugyanannyival rövidebb legyen, mint amennyivel hosszabb legyen a rövidebbik oldala. Az új téglalap területe így 1,1 m2 lesz. Mennyivel változtak az új téglalap oldalai a régihez képest? A változás után egy téglalap ára olcsóbb lett, vagy drágább? (A farostlemez egységára 1000 Ft/m2.) 11. Egy üzemanyag-tartályt két csapon 5 órán keresztül töltenek fel, ha mind a két csap egy-

szerre működik. Mennyi idő alatt töltik fel egyedül az egyes csapok, ha az egyik csapnak 2 órával kevesebb idő szükséges a tartály feltöltéséhez, mint a másiknak? 12. Egy téglalap alakú 16 m hosszú és 12 m széles területen úgy füvesítenek, hogy a területen

belül, az oldalak mentén azonos szélességű, keskeny járdát is építenek. A füvesített rész területe megegyezik a járdák területével. Milyen széles a járda? 13*. Egy harisnyanadrág ára két egymást követő, azonos százalékú árleszállítás után 300 Ft-

ról 192 Ft-ra csökkent. Hány százalékkal lett olcsóbb a harisnya az egyes árleszállításokkor? Hány százalékkal lett olcsóbb az ár az eredeti árhoz képest? 14*. Egy cipő árát árrendezés során bizonyos százalékkal felemelték, majd mivel a felemelt ár

miatt a cipő kevésbé fogyott, az árát kétszer annyi százalékkal csökkentették, mint ahány százalékkal először felemelték. A cipő ára így az eredeti árnál 5,5%-kal olcsóbb lett. Hány százalékkal emelték eredetileg az árat? Mennyibe került az árrendezés előtt a cipő, ha a végleges ára 11340 Ft? 15. 20 literes tartályban sűrű festék van. Ebből kivesznek egy bizonyos mennyiséget, és annyi

hígítót öntenek bele, mint amennyit kivettek. Összekeverés után ezt még egyszer megismétlik, így a tartályban 5 liter festék marad az eredeti festékből. Hány liter folyadékot öntöttek ki az edényből minden alkalommal?

95


16. Egy 12 m hosszú és 10 m széles téglalap alapterületű étteremben a szilveszteri mulatság-

hoz átrendezik a termet. Az asztalokat a falak mellé teszik, hogy a terem közepén egy 48 m2 területű szabad hely maradjon a táncolók számára. A falaktól számítva hány méter széles sávban helyezik el az asztalokat? 17. A faiparban a faanyag megmunkálásához több esetben szükséges a farönkök gőzölése.

A gőzölési idő függ a vastagságuktól, a nagyobb keresztmetszetű gőzölése tovább tart. Két hengeresnek tekinthető, azonos fafajtájú rönk gőzölési ideje 3,5 óra és 4,8 óra. A vékonyabb rönk átmérője 24 cm. Mekkora a vastagabb rönk átmérője? (Ha z1 és z2 a gőzölé2

⎛D ⎞ z si idő és D1, D2 a rönkök átmérője, akkor: 2 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ . z1 ⎝ D1 ⎠ 18. A bútorok lakkozása előtt a fafelületet csiszolják. A felület simasága különböző lehet.

A közepes simaságot az érdességi mélységek méréséből állapítják meg. A közepes simaságot (Hk) a következő képlet alapján állapítják meg: Hk =

(

)

1 2 2 2 2 k1 + k 2 + k 3 ...k n , ahol n a mérések számát és k az egyes mérési mélységeket n

jelenti. a) Fejezzük ki a mérések számát a képletből! b) Hány mérést végeztek, ha a mérési adatok négyzetének összege 0,025 mm és a közepes simaság 0,05? 19. A borászatban használják a domború hasú hordó köbtartalmának közelítő kiszámítását.

A hordó térfogata: V ≈

m⋅π 2 D 2 + d 2 , ahol m a hordó magassága, D a hasátmérő és d 12

(

)

a fenékátmérő. a) Fejezzük ki a hordó hasátmérőjét a képletből! b) Mekkora a fenékátmérő, ha a két átmérő aránya 3 : 4, magassága 95 cm és a hordó űrtartalma közelítőleg 429 liter?

96


TANULÓK KÖNYVE

20. Autóbaleseteknél fontos a fékút vizsgálata.

A gépkocsi fékútját (s) a következő összefüggések alapján számíthatjuk ki:

s=

v2 a m ; s = t 2 , ahol v a gépkocsi sebessége ( , itt s másodpercet jelent), t a fékezés s 2 2a ⎛m⎞ ideje; a pedig a gépkocsi gyorsulása ⎜ ⎟ . ⎝ s2 ⎠

a) Számítsuk ki a féktávolságot, ha a gépkocsi sebessége: 90 b) Számítsuk ki a féktávolságot, ha a gépkocsi lassulása 3

m s2

km h

, és

lassulása 2,1

m s2

!

; és a fékezés ideje 5 másod-

perc! d) Hány másodperc alatt állt meg a gépkocsi, ha a fékút, s = 40 m és a gépkocsi lassulása, a=2

m s2

.

e) Mekkora sebességgel haladt az a gépkocsi, amelynek fékútja 46 m és 6 másodperc alatt tudott megállni? 21. Egy felső vezérlésű, felülszelepelt motor esetében hány mm-t süllyed a szelep, addig amíg

teljesen kinyílik, ha a szívócső átmérője 32 mm és a szelepnyílás 46 mm? A szelep-elmozdulást a következő képletettel számítjuk ki: D ⋅ π ⋅ h = lepnyílás átmérője, d a szívócső átmérője és h a szelep elmozdulása.

d 2π , ahol D a sze4

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

Recommend Documents