MATEMATIKA V EKONOMII

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ – TECHNICKÁ UNIVERZITA EKONOMICKÁ FAKULTA

MATEMATIKA V EKONOMII Cvičebnice

Petr Seďa Orlando Arencibia

OSTRAVA 2011

Matematika v ekonomii – cvičebnice

Akademický rok 2011/2012

Obsah: 1. ÚVOD DO MATEMATIKY V EKONOMII ......................................................................................... 5 1.1

Ekonomický vztah jako matematická funkce .................................................................... 5

1.2

Vlastnosti ekonomických funkcí ..................................................................................... 17

1.3

Vybrané pojmy a problémy v matematické ekonomii .................................................... 18

2. DIFERENCIÁLNÍ POČET V EKONOMICKÝCH APLIKACÍCH ............................................................. 20 2.1

Sklon ekonomické funkce .............................................................................................. 20

2.2

Vzájemná poloha veličin průměrných a mezních v ekonomii .......................................... 24

2.3

Elasticita ekonomické závislosti ..................................................................................... 31

3. MATEMATICKÁ ANALÝZA VYBRANÝCH EKONOMICKÝCH ZÁVISLOSTÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ......... 35 3.1

Určení extrémů funkcí více proměnných ........................................................................ 35

3.2

Redukční metoda .......................................................................................................... 36

3.3

Metoda Lagrangeových multiplikátorů .......................................................................... 39

3.4

Modely nedokonalých trhů ............................................................................................ 40

4. MODELY HODNOCENÍ EFEKTIVNOSTI PRODUKCE ...................................................................... 43 4.1

Hodnocení efektivnosti produkčních jednotek ............................................................... 43

5. INTEGRÁLNÍ POČET V EKONOMICKÝCH APLIKACÍCH .................................................................. 45 5.1

Neurčitý integrál ........................................................................................................... 45

5.2

Určitý integrál ............................................................................................................... 47

5.3

Věta o střední hoodnotě integrálního počtu .................................................................. 49

6. DISKRÉTNÍ DYNAMICKÉ MODELY V EKONOMII .......................................................................... 50 6.1

Diferenční rovnice v makroekonomických aplikacích...................................................... 50

6.2

Diferenční rovnice v mikroekonomických aplikacích ...................................................... 52

7. SPOJITÉ DYNAMICKÉ MODELY V EKONOMII .............................................................................. 56 7.1

Diferenciální rovnice v makroekonomických aplikacích .................................................. 56

7.2

Diferenciální rovnice v mikroekonomických aplikacích ................................................... 58

DODATEK 1 – PŘEHLED VZORCŮ PRO POČÍTÁNÍ DERIVACÍ ............................................................ 62

2



DODATEK 2 – PŘEHLED VZORCŮ PRO POČÍTÁNÍ INTEGRÁLŮ ......................................................... 63 SEZNAM POUŽITÝCH ZNAČEK, SYMBOLŮ A ZKRATEK .................................................................... 64 LITERATURA ................................................................................................................................. 65

3



Předmluva Toto skriptum je určeno především studentům 1. ročníku navazujícího magisterského studia na EkF VŠB-TU v Ostravě. Jeho obsah i rozsah odpovídá učivu probíranému na přednáškách a cvičeních z předmětu Matematika v ekonomii v prvním ročníku navazujícího magisterského studia. Skripta jsou obsahově koncipována dle matematických témat, která jsou aplikována ve vybraných oblastech z mikro a makroekonomické analýzy. Tento text představuje studijní oporu především pro přípravu ke cvičením a je určen pro studenty, kteří již absolvovali základní kurzy matematiky, mikroekonomie a makroekonomie v bakalářském studiu na EkF VŠB-TU v Ostravě. Úvodní kapitola je věnována zopakování a shrnutí elementárních funkcí a jejích vlastností ze základních kurzů matematiky. První část látky je věnována především s využitím diferenciálního či integrálního počtu v ekonomických aplikacích. Ve druhé části jsou probírána témata dynamické rovnováhy za použití diferenčních a diferenciálních rovnic.

AUTOŘI

4



1 ÚVOD DO MATEMATIKY V EKONOMII V této kapitole bude pozornost věnována funkční závislosti, zopakovány budou typy ekonomických funkcí a jejich matematické vlastnosti. Diskutovány budou vybrané matematické problémy, se kterými se studenti setkávají při studiu ekonomie. 1.1 EKONOMICKÝ VZTAH JAKO MATEMATICKÁ FUNKCE V ekonomii se snažíme určit nejen hodnoty ekonomických veličin, ale zejména vztahy mezi ekonomickými veličinami. Matematickým nástrojem pro vyjádření vztahů mezi veličinami je funkce. Jestliže veličina y závisí na veličině x, hovoříme, že veličina y je funkcí veličiny x. Tento vztah lze symbolicky zapsat jako y  f  x  . Funkční závislost může být vyjádřena různými způsoby, což odpovídá různým stupňům poznání. Prvnímu setkání s uvažovanou závislostí odpovídá pouze povrchní pohled bez postřehnutí všech zákonitostí, kterými se vztah řídí. Po identifikaci proměnných, na kterých systém závisí, může navazovat postupné získání k sobě příslušných hodnot nezávisle a závisle proměnných a jejich sestavení do tabulky. Charakteristickým rysem tohoto stupně poznání je diskrétnost získaných hodnot, tzn. absence spojité funkce. V této fázi je velice důležité správně identifikovat, o jaký typ závislosti se jedná. Zpravidla až na základě velkého množství takovýchto diskrétních hodnot lze přistoupit k tvorbě analytického vyjádření funkční závislosti, jehož získání je pracné, ale velice účelné, neboť většinou umožní využití diferenciálního, případně integrálního počtu. Pro přehlednost uvádíme grafické i analytické vyjádření elementárních funkcí, kterými lze vhodně aproximovat ekonomickou závislost. Všechny funkce by jste měli znát z kurzů Matematiky v bakalářském studiu.

5



a) Funkce lineární y  a  bx 10

y

y

3x

6 y

5

y 10

2x

x

4 5

5

5

10

6

10

x



b) Funkce kvadratická y  ax 2  bx  c 10

y

y

2 x2

5

y

4

2

x2

2

y

5

7

4

2 x2

3

x



c) Funkce kvadratická – vrchol paraboly V   m,n y

4

y

x2

4x

1

2

4

2

2

x

4

2

y

x2

2x

3 4

Poznámka: Vrchol paraboly můžeme určit několika způsoby: 2 a) Upravíme rovnici funkce y  x 2  4 x  1 na vrcholový tvar y   x  2   3 . Parabola má vrchol v bodě V = [2, −3]. Obecně y  n  k  x  m  . 2

 b b2  b) Použijeme vzorec V   ,c   . 4a   2a c) Souřadnice vrcholu vypočteme jako souřadnice extrému funkce, tzn. první derivaci funkce položíme rovnu nule, y´  2 x  4 , 2 x  4  0 , x  2 . Druhou

souřadnici vypočteme tak, že dosadíme x  2 do rovnice y  x 2  4 x  1. Podobně najdeme souřadnice vrcholu paraboly y  x 2  2 x  3 . Upravujeme y    x  1  4 , 2

resp.

y  4   x  1 . 2

Průsečíky

grafu

kvadratické

funkce

y  x  4 x  1 s osou x určíme z rovnice x  4 x  1  0 . Diskriminant této funkce je kladný. Podobně u funkce y   x 2  2 x  3 . Proto obě funkce protínají osu x ve dvou bodech. Všimněte si, že obě kvadratické funkce jsme upravili na rozdíl druhých mocnin, 2 2 y   x  2   3 , y  4   x  1 . 2

2

8



ŘEŠENÝ PŘÍKLAD: Určete souřadnice vrcholu paraboly u funkce y  2 x 2  6 x  6 . 6

y

5

4

3

2

1

0 0.0

2 x2

y

0.5

1.0

1.5

6x

2.0

6

2.5

3.0

x

Funkce y  2 x 2 - 6 x  6 nemá průsečíky s osou x , protože příslušná kvadratická rovnice 2 x2  6 x  6  0 má záporný diskriminant, upravíme ji na součet druhých mocnin. Vrchol paraboly najdete po úpravě y  2  x 2  3x   6 , 2

2

3 9 3 3 3 3   y  2  x    2  6 , y  2  x    . Vrchol má souřadnice V   ,  . Máme 2 4 2 2   2 2 ještě jednu kontrolu. Souřadnice vrcholu jsou kladné a parabola je konvexní, proto nemůže protínat osu x .

9



d) Funkce mocninná y  ax n  b y

40

x3

y 20

4

2

2

20

x

4

y

x3

5

40

Poznámka: Grafem funkce y  ax3 je kubická parabola. Grafem funkce úplné kubické funkce může být i jiná křivka. Např. grafem funkce y  ax3  bx 2  cx  d 3 2 y  4 x  3x  36 x  5 je křivka, která osu x protíná ve třech bodech. Tzn., že kubická rovnice y  4 x3  3x2  36 x  5 má tři reálné kořeny.

10


4 x3

y


3 x2

40

36 x

y

5

20

4

2

2

x

4

20

40

60

e) Funkce lineární lomená 10

y

5

4

2

2

y 5

10

11

4

2x 1 x 1

x



Poznámka: 2 x  1 . Funkci x 1 2  x  1 2  x  1  3 3 2 x  1 můžeme postupně upravit na y  , y , y  x 1 x 1 x 1 x 1 k 3 . Obecně píšeme y  n  , kde m, n jsou souřadnice počátku y  2  xm x 1 O   m,n pomocného souřadnicového systému. Přímky o rovnicích x  1 ,  x  m  a y  2 ,  x  n  jsou asymptoty.

Graf funkce

y  2 

3 x 1

y

je stejný jako graf funkce

y

4

y

4

2 x

y

2

2

2

2

4

12

2 x

4

x



f) Funkce logaritmická y  ln x

2

y

y

log2 x y

ln x

1

y 2

4

6

log x 8

10

x

1

2

Poznámka: Logaritmická funkce y  loga x je inverzní funkcí k funkci exponenciální x  a y , resp. po záměně proměnných y  a x , kde a  0, a  1. Definiční obor D   0,  , obor hodnot H    ,  . Logaritmická funkce

y  ln x je inverzní funkcí k funkci

exponenciální x  e y , kde e  2,71... je Eulerovo číslo, a funkce y  log2 x je inverzní funkcí k funkci x  2 y , resp. y  2 x .

13

Matematika v ekonomii – cvičebnice 2


y

y

1

2

4

ln x

6

2

8

10

x

1

2

3

y

y

2

ln x

y

1

2

4

6

y

1

2

3

14

ln x

2

8

ln x

10

2

x



g) Funkce exponenciální y  e x 10

y

1 2

x

y

8

ex

y

6

4

2x

y 2

3

2

1

1

2

3

x

y

4

y

2

3

2

1

1

2

4

15

2x

2

y

3

2x

x



Poznámka: Další graf znázorňuje exponenciální funkci obecně o rovnici y  n  a xm . To znamená, že exponenciální funkci y  a x znázorňujeme v pomocném souřadnicovém systému, jehož počátek má souřadnice O   m,n .

4

y

y

2x

1

3

2

4

2

2

4

x

2

4

ZADÁNÍ PŘÍKLADŮ: 1. Určete souřadnice vrcholu paraboly u funkcí y  x 2  2 x  1 a y  2 x 2  4 x . [Řešení: (1, 0), (1, -2)]

16



1.2 VLASTNOSTI EKONOMICKÝCH FUNKCÍ V předchozí podkapitole jsme si zopakovali grafické i analytické vyjádření elementárních funkcí, jimiž lze aproximovat závislost mezi ekonomickými veličinami. Naším úkolem nebude hledání nových funkčních závislostí, ale pouze snaha různým používaným ekonomickým funkcím porozumět. Abychom mohli analyzovat vybrané ekonomické závislosti, je nutné, aby funkce, jež tyto závislosti aproximují, splňovaly jisté vlastnosti. Těmi nejdůležitějšími jsou spojitost, diferencovatelnost a hladkost. a) Spojitost a diferencovatelnost funkce jedné proměnné Chceme-li vyšetřovat spojitost funkce v bodě a, bude mít hodnota f  a  důležitý význam. Funkce f  a  je spojitá v bodě a, jestliže v tomto bodě má limitu a ta se rovná f  x   f  a  . Pokud je tedy funkce v daném bodě a funkční hodnotě f  a  , tedy xlim a spojitá, je také diferencovatelná. Můžeme tedy analyzovat její vlastnosti, hledat extrémy atd. b) Hladkost funkce jedné proměnné Funkce je hladká tehdy, má-li spojitou první derivaci. K této definici je proto nutno dodat, že k tomu, aby křivka byla hladká, musí být nejen spojitá, ale spojitá musí být i její derivace. ZADÁNÍ PŘÍKLADŮ: 1. Jaké jsou žádoucí matematické vlastnosti funkcí vyjadřující ekonomickou

závislost? 2. Analyzujte z hlediska hladkosti následující funkce:

a) y    x  4   2 2

b) y   x  2  3 Průběhy funkcí vyjádřete graficky. [Řešení: a) je hladká, b) není hladká]

17



1.3 VYBRANÉ POJMY A PROBLÉMY V MATEMATICKÉ EKONOMII Při studiu ekonomie se můžete setkat s následujícími problémy, kterým jste dříve nevěnovali patřičnou pozornost. Přitom jejich nesprávné pochopení může vést k mylné interpretaci problému. a) Časová řada a bodové diagramy

Čas je v ekonomii velice důležitá veličina a časové řady jsou běžně užívány každým ekonomem, neboť nejjednodušší způsob, jak čas zohlednit, je uspořádat hodnoty v čase naměřené do časové řady. Na základě pozorování je vytvořena posloupnost, tzn. množina izolovaných bodů. Tímto je vytvořena diskrétní funkce, zadanou tabulkou nebo graficky, kde nezávisle proměnnou je čas a závisle proměnnou je sledovaná ekonomická veličina. Tzn. pozorování jsou uspořádaná v čase od nejstarších k nejnovějším, tj. od minulých k dnešním. Z matematiky je známo, že pro každou řadu má smysl uvažovat o tom, zda konverguje a jak konverguje, což jistě bude užitečné zjišťovat pro potřeby ekonomické analýzy, konkrétněji pro získání představy o trendu sledované závislosti. b) Záměna os s nezávislou a závislou proměnnou

Záměna os může být čistě formálního charakteru, tzn. bez vlastní záměny nezávisle a závisle proměnné. V takovém případě jsou zachovány všechny vlastnosti funkcí v nezměněné podobě. Od této záměny je však nutno přísně odlišovat vlastní záměnu nezávisle a závisle proměnné ve smyslu vytváření inverzní funkce jakožto zcela nové, odlišné funkční závislosti. K omylům v této souvislosti dochází zejména při grafickém určování vlastností funkcí, kdy není respektován fakt, že v ekonomii je možno znázornit nezávisle proměnnou i na svislou osu. V tomto případě je nutno všechny poznatky z matematické analýzy používat v modifikované podobě, a to náhradou „pohledu zdola“ „pohledem zleva“. Důvody pro grafickou záměnu os lze spatřovat v zajištění možnosti pro řetězení obrázků ve složitějších modelech, zejména s více proměnnými, které jsou do modelu postupně vtahovány. c) Osa kvadrantu a geometrická osa úhlu kvadrantu

Z obecné ekonomie je známo, jak důležitou roli, např. pro stanovení bodu zvratu spotřební funkce, hraje osa kvadrantu. Nezapomeňte však, že citovaná "osa" je grafickou osou kvadrantu jedině tehdy, jestliže měřítka na obou osách jsou shodná. V opačném případě se grafická osa neshoduje s přímkou, na níž leží body o stejných souřadnicích, tedy s přímkou y  x , což má závažné důsledky. Na podobný problém je rovněž možno narazit při odlišení sklonu přímky a vnějšího zdání strmosti při studiu ekonomických závislostí. d) Pohyb po křivce a posun křivky 18



Jak známo, ekonomické funkce jsou znázorňovány graficky, tzn. jsou vytvářeny příslušné ekonomické křivky. Pro ekonoma je velmi důležité dokázat odpovídat na otázky typu „co se stane, když se změní ...“. Při analýze těchto problémů je bezpodmínečně nutné rozlišovat matematický podtext ekonomického posunu křivky a posunu po křivce. Při modelování rozličných ekonomických jevů je často nutno křivkami pohybovat, tzn. dochází k posunu křivky jako celku. Pohyb křivky je jejím posunem v rovině. Ten, i když je zdánlivě posunem šikmým, se dá charakterizovat dvěma současnými pohyby: svisle a vodorovně, vždy o určitou úsečku. Díky tomuto posunu je přecházeno k nové funkční závislosti, a tím pro každou hodnotu x obecně k nové hodnotě y. Pro další práci s analytickým vyjádřením posunuté křivky je nutno ji popsat novou funkční závislostí. Jindy naopak nějaký jev vně dané funkční závislosti způsobí pohyb bodu po křivce. Vlastně dochází k tomu, že vnější vlivy donutí akceptovat jinou volbu nezávisle proměnné a tím si vynutí novou hodnotu závisle proměnné. Jde tedy stále o uspořádanou dvojici vytvořenou na základě stejné funkční závislosti. Tzn. pohyb po křivce má své opodstatnění v různých volbách nezávisle proměnné x a tomu odpovídajících změnách závisle proměnné y. Tím vznikají různé uspořádané dvojice, z nichž každá představuje bod křivky (při stále stejné funkční závislosti, která tuto křivku popisuje). Častá je kombinace obou pohybů, a to zejména v těch ekonomických grafech, kde důležitou roli hraje průsečík dvou křivek. Dochází k tomu, že pohyb jedné křivky jako celku způsobuje pohyb bodu (právě zmiňovaného průsečíku) po druhé křivce. ZADÁNÍ PŘÍKLADŮ: 1. Zakreslete přímku y   x  4 . Zvolte na vodorovné ose x poptávané množství Q

a na svislé ose y cenu P. Z obrázku správně identifikujete nezávisle a závisle proměnnou. Co se stane, když zaměníte závisle a nezávisle proměnnou. 2. Diskutujte následující vybrané matematické problémy, se kterými se setkáváte

při studiu ekonomie: a) Závislost diskrétních ekonomických veličin na čase. b) Posun křivky v grafu a posun po křivce.

19


2


DIFERENCIÁLNÍ POČET V EKONOMICKÝCH APLIKACÍCH

Diferenciální počet, jehož klíčovým pojmem je derivace funkce, umožňuje řešit řadu matematických úloh, kterými lze modelovat reálné ekonomické problémy. Metody diferenciálního počtu, zejména vyšetřování vlastností reálných funkcí a hledání extrémů reálných funkcí, patří k nejčastěji použitému aparátu v ekonomické analýze. 2.1 SKLON EKONOMICKÉ FUNKCE Při rozhodování a řízení v ekonomice je často určujícím prvkem trend ekonomické křivky. Trend křivky je určován změnami sklonů této křivky. Hovoříme pak nejen o tom, že křivka např. roste, ale navíc že roste s klesajícím tempem (spotřební funkce) nebo naopak s rostoucím tempem (úsporová funkce). Znamená to, že sledováním hodnot sklonů se informace o křivce stávají hodnotnější, neboť dokážeme popis tohoto základního chování křivky ještě dále upřesnit. Sklon křivky je veličina, kterou lze exaktně určit, což má obrovský význam, a proto si ukážeme, jak je toto možno učinit. Navíc poukážeme na skutečnost, že získané dovednosti je možno využít při analýze ekonomických křivek, se kterými se ve svém studiu setkáváte. Shrňme v úvodu to, co jste již slyšeli a v této kapitole budeme dále rozvíjet. Ekonomové hovoří o sklonu: a) průměrném (na intervalu), b) mezním (v bodě). Průměrný sklon: a) vyjadřuje hodnotu sklonu na intervalu, graficky je popisován pomocí sečny křivky vedené v krajních bodech daného intervalu, b) je pouze hrubý, orientační, zatížený chybou často tak velkou, že může vést až k chybným rozhodnutím, c) jeho použití je opodstatněno všude tam, kde nelze vytvořit spojitou diferencovatelnou křivku celkových veličin, jejíž sklon určujeme, ale pouze diskrétní hodnoty funkce celkových veličin. Mezní sklon: a) vyjadřuje okamžitou hodnotu sklonu v každém bodě, graficky je popisován pomocí tečny křivky vedené v daném bodě, b) je přesný, odvozený na základě diferenciálního počtu, 20



c) lze explicitně popsat novou funkcí - derivací funkce, jejíž mezní sklon určujeme, což má obrovské výhody při analytickém vyšetřování sklonu funkce jako celku, tedy zejména při stanovování trendů. d) jeho existence je podmíněna možností vytvořit spojitou diferencovatelnou funkci celkových veličin. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD: Mějme spotřební funkci, která je aproximována např. funkcí f: y  ln  x  3 . Analyzujme její sklon. Analýzu provedeme: a) analyticky (pomocí derivace funkce):  definiční obor: x   3,   . 1 , což je funkce kladná (funkční hodnoty x3 jsou kladné pro všechna x z definičního oboru)  spotřební funkce f je rostoucí.  každá rostoucí funkce však může mít sklon:  rostoucí,  konstantní,  klesající.  abychom rozhodli, o který z uvedených případů se jedná, musíme zkoumat, zda funkce g, tedy derivace spotřební funkce, je rostoucí nebo klesající. Platí totiž podle výše uvedeného výkladu, že tam, kde je funkce g rostoucí, tam je rostoucí sklon funkce f atd., neboť vše, co platí o derivaci funkce platí o sklonu funkce před derivací: 1  funkce g: y  je klesající, což je možno odhadnout tím, že pro x3 větší x jsou funkční hodnoty menší, nebo určit na základě derivace funkce g, tedy na základě druhé derivace funkce f. 1  f ´´ g´  , což je vždy záporné, tudíž nederivovaná funkce, 2  x  3 tedy g, je klesající.  Znovu zopakujme: vše, co platí o funkci g, platí o sklonu funkce f: Funkce g je klesající  sklon funkce f je klesající.

 derivací funkce f je funkce g: y 

Závěr: Spotřební funkce je funkcí rostoucí s klesajícím sklonem. 21



b) graficky (pomocí tečen funkce): Zakreslujeme tečny funkce pro různá rostoucí x a sledujeme změnu velikostí úhlů a, které tečna svírá s kladným směrem osy x a dospějeme ke stejnému závěru jako při analytickém určení. y 3

y

ln x

3

2

1

2

0

1

1

x1

15

10

5

0

x

x2

5

10

15

ZADÁNÍ PŘÍKLADŮ: 1. Zakreslete libovolnou křivku (funkci), jejíž sklon je v libovolném bodě A této křivky roven 1 a v jiném libovolném bodě B roven -1. Označte oba body v grafu této křivky a graficky své tvrzení dokažte. [Řešení: v bodě A je tg úhlu, který svírá tečna s vodorovnou osou rovna 45 stupňům ; v bodě B je tg úhlu, který svírá tečna s vodorovnou osou rovna 135 stupňům] 2. Zakreslete libovolnou klesající křivku (funkci) s rostoucím sklonem. Dokažte graficky, že sklon křivky opravdu roste. 1 [Řešení: jedná se například o funkci y  ] x 3. Vytvořte analytický zápis funkce, který by mohl představovat typickou spotřební funkci. Zohledněte přitom všechny znalosti o ekonomických vlastnostech spotřební funkce a dokažte tyto vlastnosti matematicky na analytickém zápisu nalezené funkce. Funkci zakreslete. 22



[Řešení: jedná se například o funkci C  ln Y  2  , která má všechny vlastnosti typické spotřební funkce: existuje kladná autonomní spotřeba nezávislá na velikosti důchodu, funkce je rostoucí, funkce je konkávní ] 4. Určete, ve kterém bodě má funkce y  ln x sklon roven 1 a 0,5 a funkce y 

1 x

sklon roven 1 a -1. Označte příslušné body do grafů obou funkcí. [Řešení: a) sklon je roven 1 v bodě 1, sklon je roven 0,5 v bodě 2; b) sklon není roven 1 v žádném bodě, sklon je roven -1 v bodech 1 ] 5. Víte, že hledaná funkce celkových veličin dosahuje svého maxima v bodě Q=6. Nalezněte příslušnou funkci mezních veličin a obě funkce znázorněte graficky. 2 [Řešení: např. funkce TC   Q  6   4 , MC  2Q  12 ] 6. Která z křivek se mění stejnosměrně a která protisměrně: a) Nabídková funkce b) Poptávková funkce [Řešení: a) mění se stejnosměrně, b) mění se protisměrně] 7. Určete, zda sklon typické úsporové funkce je klesající nebo rostoucí. Jaký je trend této křivky? [Řešení: sklon úsporové funkce je rostoucí, protože rostou úhly tečen, např. funkce S  Y  ln Y  2  ] 8. Zakreslete funkci y   x 2 a určete, kdy má tato funkce rostoucí a kdy klesající sklon. Analyzujte analyticky i graficky. [Řešení: funkce má na celém definičním oboru klesající sklon, protože klesají úhly tečen] 9. Zakreslete funkci y  x3 a popište její sklon pro různá x.  Určete derivaci g funkce f, zakreslete tuto funkci g.  Určete znaménka funkčních hodnot funkce g pro různá x a srovnejte se sklony funkce f.  Totéž proveďte analogicky pro 2. derivaci funkce f, tedy pro funkci h, vzhledem ke g i k funkci f. [Řešení: a) g  y´ 3x 2 , b) h  y´´ 6 x ]

23


2.2 VZÁJEMNÁ POLOHA V EKONOMII


VELIČIN CELKOVÝCH, PRŮMĚRNÝCH

A

MEZNÍCH

Po ujasnění si skutečnosti, že každá ekonomická závislost může být chápána jako funkce celkových veličin, se seznámíme s formálním vytvářením k ní příslušných funkcí veličin průměrných a mezních. Bude uveden jak analytický tak grafický postup tohoto vytváření, přičemž bude neustále zdůrazňována obecnost uvedených postupů, tedy jejich použitelnost v různých oblastech ekonomie. Důležité jsou vztahy mezi trojicí takto vytvořených funkcí, zejm. mezi funkcemi veličin průměrných a mezních. Matematicky bude odvozen známý ekonomický vztah mezi vzájemnou polohou křivek veličin průměrných a mezních a monotónnosti funkce průměrných veličin. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD: Mějme jako příklad funkce celkových veličin uveďme životní cyklus výrobku. Už jste o něm asi slyšeli nejednou. Pro připomenutí. Jde o křivku s následujícím průběhem: Napřed výrobek neexistoval, takže je jasné, že je nutno začít nárůstem a to jedině konvexním, protože kdybychom začali částí konkávní, musel by výrobek mít "start" kolmo vzhůru, což snad není možné. U konvexního nárůstu však výrobek nemůže zůstat, protože i v případě, že jde o výrobek z kategorie "hvězdy" v marketingové terminologii, nebylo by možné, aby jeho "sláva rostla nade všechny meze", to zase v matematické terminologii. Takže jeho nárůst se musí zmírnit v tom smyslu, že úhel tečen v bodech křivky, které postupně uvažujeme, s osou x musí přestat růst a musí začít klesat, tzn. musí začít (v jednom určitém bodě) klesat funkce marginálních veličin příslušná k funkci celkových veličin. Pozor, samotná funkce celkových veličin ještě stále roste, tato fáze je nazývána fází růstu. Všimněte si, že ač v začátku (fáze zavádění) rostl podíl výrobku na trhu rychleji než ve fázi růstu, je až tato fáze nazývána - snad nelogicky - růstem. Funkce celkových veličin stále roste a poroste až do svého maxima. A zde pozor, právě v této fázi musíme průběh bedlivě sledovat. Někde, a daleko před maximem, je nejdůležitější bod pro úspěšného manažera, který se chce v budoucnu vyhnout komplikacím. Jde o bod, ve kterém životní cyklus přechází do fáze zralosti. Pak přijde jen fáze stáří. V podniku je třeba začít zavádět nový výrobek. Ale kdy? Jistě jste se setkali s tím, že i tento bod byl na křivku zakreslen, ale věděli jste opravdu kam? Každý ze zmíněných bodů má své přesné místo, jež lze nalézt na základě analýzy funkcí tří veličin, kterými se budeme v této kapitole zabývat. K funkci životního cyklu se ještě vrátíme.

24



Kč 3

Etapy životního cyklu výrobku 2

C B 1

A

Q t

0

zralost

zavádění

pokles

růst 1

10

0

10

25

20

30



Jak bylo řečeno, M funkce je derivací T funkce, tzn. M funkce popisuje sklon T funkce, k níž přísluší, v každém jejím bodě. Je vhodné na tomto místě upozornit, že díky skutečnosti, že M funkce je získávána z T funkce jako její derivace, platí mezi těmito dvěma funkcemi všechny vztahy, které jsou známy z matematické analýzy o funkci a její derivaci, zejm. vlastnosti určující průběh funkce včetně extrémů funkce. Samozřejmě platí rovněž vše, co bylo řečeno v kapitole o sklonu funkce. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD: Je dána funkce celkového příjmu TR: y  2  x  4  . Derivováním T funkce určeme a zakresleme M funkci. MR: y  4  x  4  , což je funkce lineární (příslušná ke kvadratické T funkci). Je možno si povšimnout, že absolutní člen 32 funkce TR nemá na její sklon, tedy na M funkci, vliv, neboť derivací konstanty 32 je 0. Což souhlasí s grafickou analýzou, neboť číslo 32 charakterizuje pouze posun křivky, nikoliv její zakřivení, a též s ekonomickým pravidlem (na hodnotu mezního příjmu nemá vliv hodnota fixního příjmu). Upravme MR: y  4 x  16 , což je záporně skloněná přímka procházející body [0,16] a [4,0]. Zvláště je nutno zdůraznit průsečík MR křivky s osou x (nulová hodnota M funkce) v čísle 4, neboť tato x-ová souřadnice odpovídá lokálnímu maximu dané funkce TR - podle matematického pravidla, které říká, že v lokálním extrému funkce má derivace této funkce nulovou hodnotu, což ilustruje rovněž následující obrázek. 2

40

R

TR

2 Q

4

2

32

30

20

10

0

MR 2

4Q 4

10

20

26

16 6

Q 8 tQ



ŘEŠENÝ PŘÍKLAD: Nechť je dána funkce průměrných veličin: AR  20  Q . Nalezněme funkci MR. Určíme nejprve TR funkci tedy TR  20Q  Q2 a funkci MR, kdy platí MR  20  2Q Porovnejme nyní funkce AR a MR (viz obrázek). Obě jsou lineárními funkcemi. Posun ve svislém směru je rovněž u obou funkcí týž, neboť absolutní člen v rovnicích přímek je roven 20. Obě jsou záporně skloněné, neboť obě směrnice mají záporné znaménko. Liší se hodnotou sklonu, neboť směrnice je rovna (-1), resp. (-2), což znamená, že funkce mezních veličin klesá dvakrát rychleji než funkce průměrných veličin. AR MR 25

20

15

AR  20  Q 10

5

0

MR  20  2Q 0

5

10

15

20

25

Q

ŘEŠENÝ PŘÍKLAD: Je dána funkce celkových veličin: TC  Q3  12Q2  60Q a) Určete funkci průměrných veličin. b) Určete funkci mezních veličin. c) Určete průsečík obou funkcí. d) Porovnejte graficky hodnoty obou funkcí v několika bodech, zejména v bodech průsečíků obou funkcí. Funkce průměrných veličin: AC 

TC  Q 2  12Q  60 Q 27



AC   Q  6   24 , což je parabola o vrcholu V = [6; 24] 2

Funkce mezních veličin: MC  TC ´ MC  3Q2  24Q  60

MC  3 Q  4   12 , což je parabola o vrcholu V = [4; 12] 2

Průsečík funkce mezních veličin s funkcí průměrných veličin: MC = AC: Q2  12Q  60  3Q2  24Q  60 Q1  0 , Q2  6 , což je hodnota nezávisle proměnné průsečíku obou funkcí.

e) Grafické řešení: Sledujte zejména vzájemnou polohu křivek MC a AC („větší, menší“ funkční hodnoty, tzn. leží „nad, pod“). Která z funkčních hodnot je větší, resp. menší, lze vždy ověřit porovnáním úhlů kladného směru osy x a tečny křivky TC v odpovídajícím bodě se spojnicí bodu křivky TC s počátkem.

28


P


TC

p t

A B

112

C

Tečna TC v bodě Q = 6 (bod A) prochází počátkem, neboť pro Q = 6 platí, že MC = AC Tečna TC v bodě C (stejně tak v bodě B) nesplývá se spojnicí tohoto bodu s počátkem, neboť zde MC  AC. Úhel přímky p s osou x je větší než úhel tečny t s osou x, což odpovídá skutečnosti, že hodnota A funkce v tomto bodě je větší než hodnota M funkce  bod E leží výše než bod F.

A = M 2

4

6

Q

P/Q

MC

60

AC

E F

MC protíná AC v lokálním minimu AC.

24 12

Q 2

4

AC klesá tam, kde MC < AC. AC roste tam, kde MC > AC.

6

29



ŘEŠENÝ PŘÍKLAD: Nyní již můžeme přesně určit všechny důležité body funkce životního cyklu. Situaci znázorněme graficky. C

Kč

Tf

B A Q/t

ekonomický výklad:

zavádění

matematický výklad:

f   f ´

matem.-ekon. výklad:

 Tf  Af  Mf

růst

zralost

f  f ´ =  f   f ´  Tf =  Af   Mf =

 Tf  Af  Mf

pokles ff´  Tf Af  Mf

max Mf

Kč / Q

Mf = Af, max Af Af

Q/t

 Změna sklonu T funkce z rostoucího v klesající,  konvexnost T funkce se mění v konkávnost,  extrém M funkce (sklon M funkce je nulový).

Mf

 M funkce = 0,  stacionární bod T funkc

 M funkce = A funkce,  extrém A funkce (sklon A funkce = 0).

Mf > Af Af

30

Mf


2.3 ELASTICITA EKONOMICKÉ ZÁVISLOSTI Pojem elasticita (pružnost) je v ekonomii velice častý a je používán v různých souvislostech. Hovoříme pak o cenové elasticitě poptávky, cenové elasticitě nabídky, důchodové elasticitě poptávky, elasticitě investic, elasticitě substituce mezi vstupy aj. Z ekonomického hlediska vyjadřuje každý z pojmů jinou veličinu, ale z hlediska formálního jde pokaždé o tentýž vztah dvou kauzálně souvisejících jevů. Znovu zde platí fakt, že matematická abstrakce se takto stává prostředkem ke generalizaci a umožňuje vyslovení obecně platných zákonitostí pro všechny druhy elasticit, důsledkem čehož je možné opakovat pro určení elasticity libovolného druhu ekonomické závislosti formálně týž triviální postup: 1. Identifikovat správně nezávisle a závisle proměnnou, např. Q  f  P  . 2. Dosadit do vzorce pro výpočet elasticity. 3. Vypočítanou hodnotu elasticity vyjádřit také graficky. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD: Určete elasticitu poptávkové funkce, která má tvar: Q  60  3P . Zadanou poptávkovou funkci Q  60  3P budeme považovat za funkci celkových veličin. Z mnoha uvedených vzorců pro určení elasticity vyberme ten, který určuje elasticitu jako poměr mezních a průměrných veličin, a za tím účelem vytvořme k funkci celkových veličin příslušné funkce: dQ  funkce mezních veličin (označme ji M funkce od slova marginal):  3 , dP Q 60  3P  funkce průměrných veličin (označme ji A funkce od slova average):  . P P Po dosazení do vzorce ro výpočet elasticity obdržíme: M funkce 3 P   60  3P A funkce P  20 , jako výsledek jsme obdrželi novou funkci, která P charakterizuje elasticitu poptávky pro jakoukoli cenu. Ed 

ŘEŠENÝ PŘÍKLAD: Mějme nadále poptávkovou funkci z předchozího příkladu a určeme elasticitu poptávky pro cenu (tzn. elasticitu funkce v bodě) P1  5 , P1  10 , P1  15 . Dosaďme do výsledku předchozího příkladu nezávisle proměnné: 31

Ed 

P P  20

postupně hodnoty



5 1  1 15 3  poptávka je v okolí bodu P1  5 neelastická. 10 1 b) P1  10 : Ed 10    1 10 1  poptávka má v okolí bodu P1  10 jednotkovou elasticitu. Ed  5 

a) P1  5 :

15 3  3 5 1  poptávka je v okolí bodu P1  15 elastická. Ed 15 

c) P1  15 :

Poptávková funkce Q  60  3P je vyjádřena jako záporně skloněná přímka, tzn. přímka s konstantním sklonem. Všimněme si již nyní, že při analytickém řešení vyšly různé kvality elasticity v různých bodech takto zadané přímky, tzn. přímka s nekonstantní elasticitou. Načrtněme nyní danou poptávkovou funkci a na ní body, ve kterých máme elasticitu určovat (pro P1  5 označme  P1 , Q1  atd.), a učiňme tak na základě porovnání úhlů  M a  A nebo porovnáním úseček X M a X A . Výsledky grafického určování elasticity potvrdily předchozí analytické výpočty:

Q

1A > 1M  x1A < x1M ]  E 1  < 1

60

2A = 2M  x2A = x2M ]  E 2  = 1

Q = 60 - 3P [P1; Q1] 30

3A < 3M  x3A > x3M ]  E 3  > 1 [P2; Q2] [P3; Q3]

1A

2A

3A

x1A

1M=2M=3M 10

x2A x3A

x1M xA2M x3M

32

20

P



ŘEŠENÝ PŘÍKLAD: Mějme nadále poptávkovou funkci z předchozího příkladu a určeme intervaly elastičnosti, tzn. určeme rozmezí pro cenu, kdy poptávka reaguje na změnu ceny elasticky a kdy nikoliv. Poptávková funkce má ekonomický smysl jen tehdy, jestliže funkční hodnoty leží v 1. kvadrantu, odtud plyne, že zadaná poptávková funkce Q  60  3P má smysl pro P splňující: 0 < P < 20. Řešení budeme hledat jen v tomto rozmezí. Daný úkol vlastně znamená řešit nerovnice, ve kterých postupně budeme pokládat P novou funkci Ed  , popisující elasticitu původní poptávkové funkce, menší než P  20 1, rovno 1, větší než 1: a)

P  1  P   0,10   neelastická poptávka P  20

Racionální je cenu zvýšit, protože následné podproporcionální snížení prodaného množství bude neúměrně menší, a tudíž součin PQ bude větší. b)

c)

P  1  P  10  poptávka s jednotkovou elasticitou. Není důvodů ke P  20 změně ceny. P  1  P  10,20   elastická poptávka. P  20

Racionální je cenu snížit, protože následné nadproporcionální zvýšení prodaného množství bude neúměrně větší, a tudíž součin PQ bude větší. Q 60

Q = 60 - 3P

30

10 Neelastická poptávka

20 Elastická poptávka

33

P



Nejpřijatelnější je začít odhalením bodu, ve kterém se úhly  M a  A rovnají. Tím je nalezeno rozhraní elastičnosti, tedy bod s jednotkovou elasticitou. Porovnáním úhlů nebo úseček stejně jako v předchozím příkladu určíme, ve které části křivky se jedná o elastickou poptávku a naopak. V obrázku znázorněme jen výsledek. ZADÁNÍ PŘÍKLADŮ: 1. Předpokládejme funkci celkových nákladů ve tvaru TC  Q3  12Q2  60Q . Určete příslušnou funkci průměrných veličin a mezních veličin jak analyticky tak graficky. [Řešení: a) AC  Q2  12Q  60 , b) MC  3Q2  24Q  60 ] 2. Určete graficky i početně, kdy je poptávková funkce ve tvaru Q  20  10P elastická a kdy nikoli. Najděte také bod, ve kterém má funkce jednotkovou elasticitu. [Řešení: a) neelastická je na intervalu  0,1 , b) elastická je na intervalu 1,2  ,c) v bodě 1 má jednotkovou elasticitu] 3. Nalezněte, nejlépe grafickou úvahou, poptávkou a nabídkovou funkci, která má ve všech bodech jednotkovou elasticitu. Funkce zakreslete a zapište také jejich analytický tvar. Svá tvrzení dokažte. 1 [Řešení: a) např. funkce Q  , b) např. funkce Q  P ] P 10 . Určete analyticky (3  P) elasticitu poptávkové funkce pro cenu P=4. Jaké rozhodnutí ohledně změny ceny je ekonomicky racionální. P 4 [Řešení: a) E  , b)  , c) zvýšit cenu] P3 7

4. Předpokládejme poptávkovou funkci ve tvaru Q 

5. Určete graficky i početně, zda je spotřební funkce ve tvaru C  C0  kY elastická či nikoliv. Předpokládejme, že C0 > 0 a 0 < k < 1. [Řešení: a) neelastická pro Y , b) E 

34

kY ] C0  kY



3 MATEMATICKÁ ANALÝZA VYBRANÝCH ZÁVISLOSTÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EKONOMICKÝCH

V ekonomické praxi se často setkáváme s problémem, kdy je třeba ze souboru variant vybrat tu optimální. Matematicky se často jedná o hledání extrémů reálných funkcí, a to jedné či více proměnných. Hledání extrémů reálných funkcí tedy patří k nejčastěji použitému aparátu v ekonomické analýze. Na konkrétních příkladech z oblasti rozhodování spotřebitele a firmy budou demonstrovány matematické souvislosti při hledání extrémů funkcí více proměnných pomocí různých metod a přístupů. 3.1 URČENÍ EXTRÉMŮ FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH U funkcí více proměnných rozlišujeme v zásadě 2 typy extrémů (viz obrázek), a to: a) Extrémy volné (lokální), b) Extrémy vázané.

y

Volné maximum z Vázané maximum

Izokřivka nejvyšší hladina

x

Vazba - linie rozpočtu

35



Při hledání volných (lokálních) extrémů funkcí více proměnných platí standardní podmínky prvního a druhého řádu, které znáte z kurzů matematiky, tedy podmínka nutná a podmínka postačující pro existenci extrému. Ekonomické úlohy tak, jsou často formulovány, však matematicky nespočívají v hledání extrémů volných ale vázaných. Vázaným extrémem funkce f  x, y  rozumíme extrémní hodnoty funkce f v takových bodech, jejichž souřadnice x, y jsou vázány podmínkou   x, y  . Pro hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných lze v zásadě použít: a) redukční metodu, b) Lagrangeovu metodu. 3.2 REDUKČNÍ METODA Princip redukční neboli dosazovací metody při hledání extrémů funkcí více proměnných spočívá ve vyjádření jedné proměnné z tzv. omezující podmínky a dosazení do funkce, jejíž extrém hledáme. Počet omezujících podmínek je vždy o jednu menší, než je počet proměnných funkce, jejíž extrém hledáme. Není-li tato podmínka splněna, nelze dosazovací metodu použít. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD: Najděte optimální úroveň poptávky spotřebitele po dvou druzích výrobků, za předpokladu maximalizace užitku, jestliže domácnost má užitkovou funkci U  q1q2 . Disponibilní příjem pro nákup obou výrobků je 6 jednotek. Tržní cena prvního výrobku je 1,5 jednotky a druhého výrobku 1 jednotka. Hledáme tedy maximum užitkové funkce:

U  q1q2 . Přitom linie rozpočtu má tvar: 6  1,5q1  q2 .

Řešení redukční metodou: Z rovnice linie rozpočtu vyjádříme např. q2 :

q2  6  1,5q1 . Po dosazení za q2 do rovnice užitkové funkce získáme následující rovnici: U  6q1  1,5q22 .

Po derivaci užitkové funkce podle q2 položíme tuto derivaci rovnu nule: 36



U´ 6  1,5q2  0.

Stacionární bod pak má souřadnice: q1opt .  2 , q2opt .  3.

a užitková funkce má hodnotu 6. Protože U ´´  3  0 je funkce utility v tomto stacionárním bodě konkávní a má v něm maximální hodnotu. ZADÁNÍ PŘÍKLADŮ: 1. Částka, kterou chcete dohromady vydat na týdenní nákup drůbežího masa a ovoce, je 200 korun. Užitková funkce má tvar: U  q1q2 . Je-li cena 1 kg masa 50 Kč a cena ovoce 40 Kč za 1 Kg, pak : a) zakreslete linii spotřebních možností a určete její sklon, b) zakreslete množinu spotřebních možností, c) zakreslete množinu spotřebních možností v případě, když cena masa vzroste na dvojnásobek, d) zakreslete optimální skladbu nákupu v případě ad) c, e) určete MRS v bodě optima v případě ad) a. p 5 [Řešení: a) přímka, sklon je roven poměru cen 1  , b) množina spotřebních p2 4 možností je plocha pod linií rozpočtu - včetně této linie a obou os, c) dojde k p 5 pootočení linie rozpočtu kolem průsečíku s osou y ,nový sklon je roven 1  , p2 2 krajní bod na ose x má hodnotu 2, d) zakreslíme indiferenční křivky a najdeme bod dotyku nejvyšší indiferenční křivky s novou linií rozpočtu - zjistíme optimální spotřebovávaná množství obou statků, e) sklon indiferenční křivky v bodě 5 optima je stejný jako sklon linie rozpočtu, MRS  ] 4 2. Předpokládejme, že domácnost může utratit 600 Kč ročně na dvě rekreační aktivity : plavání (20 Kč denně) a minigolf (12 Kč denně). Užitková funkce má tvar: U  q1q2 . a) Nakreslete rozpočtové omezení výdajů na rekreační aktivity (tj. příslušnou linii rozpočtu). b) Je kombinace 20 jednotek plavání a 20 kol golfu dosažitelná ? c) Předpokládejme, že zvýšení důchodu umožnilo zvýšit „rozpočet na rekreaci“ o 50 %. Nakreslete nové rozpočtové omezení za předpokladu, že ceny plavání a golfu se nezměnily.

37



d) Nyní předpokládejme, že cena za jeden den plavání se zvýšila na 30 Kč, důchod a cena golfu zůstává stejná jako v příkladu ad) c. Zakreslete nové rozpočtové omezení, odrážející vyšší cenu plavání. e) Částka placená za jeden okruh golfu se zvýšila na 18 Kč. Zakreslete příslušné rozpočtové omezení. f) Srovnejte novou linii rozpočtu s původní linií z příkladu ad) a. p 5 [Řešení: a) přímka, sklon je roven poměru cen 1  , b) tato kombinace je p2 3 nedosažitelná, protože leží mimo rozpočtové omezení ( vyžaduje 640 Kč), c) nový rozpočet je 900, mezní body nového rozpočtového omezení jsou 45 dnů plavání a 75 okruhů golfu, d) krajní bod na ose golfu se nemění, krajní bod na ose plavání klesl na 30 dnů, e) krajní bod na ose golfu se sníží na 50 okruhů, f) obě linie jsou totožné, protože absolutní ceny a důchod se změnily ve stejné proporci] 3. Rozhodněte, zda uvedená tvrzení jsou pravdivá, či nikoliv: a) snížení všech absolutních cen na polovinu bude mít za následek (za jinak stejných podmínek) zdvojnásobení reálného příjmu, b) indiferenční analýza je cestou odvození poptávkové křivky v ordinalistické verzi teorie užitečnosti, c) indiferenční křivky jednoho racionálně se chovajícího spotřebitele se mohou protínat, d) křivku poptávky lze chápat jako množinu bodů rovnováhy spotřebitele při změnách ceny statku q1 , neměnném důchodu a cenách ostatních statků, e) racionálně se chovajícího spotřebitel maximalizuje celkový užitek v rámci svého rozpočtového omezení, f) mezní užitek nikdy nemůže být negativní. [Řešení: a) pravda, b) pravda, c) nepravda, d) pravda, e) pravda, f) nepravda] 4. Víte, že velikost mezního užitku druhého spotřebovávaného statku je 30 jednotek. Cena prvního statku je 45 Kč a cena druhého statku je 30 Kč. Jaká je hodnota mezního užitku prvního statku za předpokladu maximalizace užitku při nákupu obou statků? Řešte tuto úlohu také obecně. [Řešení: MU1  45 ] 5. Předpokládejme funkci celkového užitku ve tvaru U  q1q2 a rozpočtové omezení ve tvaru 12  3q1  1,5q2 . Nalezněte optimální kombinaci spotřeby za předpokladu maximalizace funkce užitku. Optimum hledejte dosazovací metodou a také pomocí rovnosti mezních měr substitucí. 1 [Řešení: q1opt  , q2opt  4 ] 2 38



6. Při ceně prvního statku 40 Kč, ceně druhého statku 60 Kč a celkovém disponibilním příjmu 6 000 Kč určete, zda je kombinace spotřeby prvního statku ve výši 60 jednotek a druhého statku ve výši 40 jednotek optimální. Své tvrzení dokažte matematicky. [Řešení: není optimální, protože neutratíme celý důchod] 7. Spotřebitel spotřebovává při optimální kombinaci

25 3

jednotek prvního statku

25 jednotek druh statku při jeho ceně 8 Kč. Užitková funkce má 4 tvar U  q1q2 a spotřebitel má k dispozici 100 Kč. Jaká bude optimální kombinace spotřeby obou statků, když cena prvního statku klesne na 4 Kč a spotřebitel nebude chtít zvyšovat svůj užitek, ale zůstane na původní výši užitku (před zlevněním prvního statku). Jakou částku bude muset vynaložit? 25 opt 26 6 , q2  [Řešení: a) q1opt  , b) 81 Kč ] 12 6

při ceně 6 Kč a

3.3 METODA LAGRANGEOVA Princip Lagrangeovy metody při hledání extrémů funkcí více proměnných spočívá v sestavení z tzv. Lagrangeovy funkce, která je dána jako součet funkce více proměnných, jejíž extrém hledáme, a rovnice omezující podmínky v tzv. homogenním tvaru. Řešení spočívá ve výpočtu parciálních derivací Lagrangeovy funkce, které položíme rovny nule a řešením soustavy n rovnic o n proměnných. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD: Najděte optimální úroveň poptávky spotřebitele po dvou druzích výrobků, za předpokladu maximalizace užitku, jestliže domácnost má užitkovou funkci U  q1q2 . Disponibilní příjem pro nákup obou výrobků je 6 jednotek. Tržní cena prvního výrobku je 1,5 jednotek a druhého výrobku 1 jednotka. Hledáme tedy maximum užitkové funkce:

U  q1q2 . Přitom linie rozpočtu má tvar: 6  1,5q1  q2 .

Lagrangeova funkce má v tomto případě tvar: L  q1 ,q2 ,   q1 .q2   . 6  1,5q1  q2  .

Podmínka nutná pro existenci extrému (parciální derivace podle příslušných proměnných) má tvar: 39



q2  1,5  0, q1    0, 6  1,5q1  q2  0.

A stacionární bod této Lagrangeovy funkce má souřadnice: q1opt  2, q2opt  3,   2 .

Pro určení totálního diferenciálu má Lagrangeova funkce tvar: L  q1 ,q2 ,   q1.q2  12  3q1  2q2 . její totální diferenciál druhého řádu v tomto stacionárním bodě: d 2 L  q1opt ,q2opt   0  MAX ,

takže nalezený stacionární bod je bodem maximálním. ZADÁNÍ PŘÍKLADŮ: 1. Předpokládejme funkci celkového užitku ve tvaru U  q1q2 a rozpočtové omezení ve tvaru 12  3q1  1,5q2 . Nalezněte optimální kombinaci spotřeby za předpokladu maximalizace funkce užitku. Optimum hledejte metodou Lagrangeových multiplikátorů. 1 [Řešení: q1  , q2  4 ] 2 3.4 MODELY NEDOKONALÝCH TRHŮ Běžnými typy nedokonalých trhů je monopolistická konkurence a oligopol. Extrémním případem nedokonalého trhu je pak monopol. Modely oligopolu lze dělit do dvou skupin, na nekooperativní a kooperativní modely. Cournotův a Stackelbergův model oligopolu patří mezi modely nekooperativního chování. Modely se sice liší předpoklady, ale vesměs používají koncepce Nashova rovnovážného řešení z teorie nekooperativních her. Kooperativní chování naopak vede k modelu kartelu. Pro jednoduchost budeme díle uvažovat pouze o modelu duopolu, ale výsledky lze zobecnit pro oligopolní trh s n výrobci. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD: V odvětví existují pouze dvě firmy. Předpokládejme, se cena výrobku řídí celkovým objemem produkce v odvětví: p  g  q1  q2   100   q1  q2  . 40



Nákladové funkce obou firem mají tvar: C1  q1   100  12q1 , C2  q2   q22 .

Určete objemy produkce u obou duopolistů a rovnovážnou cenu. Dosazením do ziskových funkcí dostáváme: z1  q1 ,q2   88q1  q12  q1q2  150, z2  q1 ,q2   100q2  2q22  q1q2 .

Z podmínek prvního řádu: z1  88  2q1  q2 , q1 z2  100  q1  4q2 , q2

dostáváme z jednotlivých rovnic funkce reakce duopolistů: q1  1  q2   44  0,5q2 , q2  2  q1   25  0,25q1 .

Řešením soustavy obou rovnic dostaneme objemy produkce u obou duopolistů: q1  36, q2  16,

a dosazením do ziskových funkcí dostaneme hodnoty zisků: z1  1146, z2  512,

a dosazením celkového objemu produkce do cenové funkce získám i rovnovážnou cenu: q  q1  q2  52, p=48. ZADÁNÍ PŘÍKLADŮ: 1. Vycházíme ze stejného zadání jako v řešeném příkladu č.1. Předpokládejme, že první firma je vůdcem. Určete objemy produkce u obou duopolistů a rovnovážnou cenu. [Řešení: q1  42, q2  14,5, p  43,5 ]

41



2. Vycházíme ze stejného zadání jako v řešeném příkladu č.1. Předpokládejme, že druhá firma je vůdcem. Určete objemy produkce u obou duopolistů a rovnovážnou cenu. [Řešení: q1  34,67, q2  18,67, p  46,67 ] 3. Vycházíme ze stejného zadání jako v řešeném příkladu č.1. Předpokládejme, že jde tentokrát o kooperativní hru, tj. kartel. Určete objemy produkce u obou duopolistů a rovnovážnou cenu. [Řešení: q1  38, q2  6, p  56 ] 4. Jak se změní řešení příkladů 1-3, pokud první výrobce bude mít pouze fixní náklady? Nákladová funkce prvního výrobce bude mít tedy tvar C1  q1   12q1 .

42


4


MODELY HODNOCENÍ EFEKTIVNOSTI PRODUKCE

4.1 HODNOCENÍ EFEKTIVNOSTI PRODUKČNÍCH JEDNOTEK Cílem této kapitoly bude hodnocení efektivnosti produkčních jednotek. Cílem hodnocení efektivnosti je určit, které produkční jednotky jsou efektivní, které jsou neefektivní a do jaké míry a jakým způsobem by se neefektivní jednotka mohla stát efektivní změnou hodnot vstupů a výstupů. Efektivnost produkce bude určována početně i graficky. Efektivnost produkční jednotky e je měřena podílem výstupu x a vstupu y: e 

y . x

Efektivní jsou ty jednotky, které dosahují maximální hodnoty daného podílu. Grafickým spojením bodů, znázorňujících tyto efektivní jednotky dostáváme tzv. efektivní hranici. Efektivní hranice vymezuje tzv. množinu produkčních možností, ve které leží všechny body znázorňující produkční jednotky. Efektivní jednotky leží na efektivní hranici, zatímco neefektivní leží uvnitř množiny produkčních možností. ZADÁNÍ PŘÍKLADŮ: 1. Předpokládejme, že porovnáváme efektivnost poboček realitní kanceláře podle vstupu, kterým je počet zaměstnanců, a podle výstupu, kterým je počet prodaných bytů za týden (prodej). V tabulce jsou uvedeny hodnoty vstupu a výstupu pro jednotlivé pobočky. Vypočtěte efektivnost jednotlivých poboček a řešení znázorněte graficky. Pobočka

A

B

C

D

E

F

G

H

Zaměstnanci (x)

2

3

3

4

5

5

6

8

Prodej (y)

1

3

2

3

4

2

3

5

[Řešení: 0,5; 1; 0,67; 0,75; 0,8; 0,4; 0,5; 0,63]

43



2. Předpokládejme situaci se dvěma vstupy a jedním výstupem, s tím, že hodnoty vstupů jsou normalizovány na jednu jednotku výstupu. Hodnotit budeme 9 prodejen s elektrospotřebiči. U prodejen počítáme se dva vstupy (počet zaměstnanců a plocha prodejny), přepočtenými na jednotku prodeje, jakožto výstupu. Hodnoty jsou uvedeny v následující tabulce. Efektivní hranici a množinu produkčních možností znázorněte graficky. Prodejna

A

B

C

D

E

F

G

H

I

Zaměstnanci (x1)

4

7

8

4

2

3

6

5,5

6

Plocha (x2)

3

3

1

2

4

5

4

2,5

2,5

Prodej (y)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

3. Prodejní firma má v regionu 7 poboček. Efektivnost svých prodejen hodnotí dle dvou výstupů, kterými je počet zákazníků a velikost prodeje., přepočtené na jednotkové množství zaměstnanců, jakožto vstupu. Hodnoty vstupů a výstupů jsou uvedeny v následující tabulce. Efektivní hranici a množinu produkčních možností znázorněte graficky. Určete, které pobočky jsou technicky či smíšeně neefektivní. Prodejna

A

B

C

D

E

F

G

Zaměstnanci (x)

1

1

1

1

1

1

1

Zákazníci (y1)

1

2

3

4

4

5

6

Prodej (y2)

5

7

4

3

6

5

2

[Řešení: a) technicky neefektivní jsou pobočky C a D b) smíšeně neefektivní je pobočka A]

44


5


INTEGRÁLNÍ POČET V EKONOMICKÝCH APLIKACÍCH

Cílem této kapitoly je ukázat využití určitého a neurčitého integrálu v ekonomických aplikacích. Nejprve budou uvedeny příklady využití neurčitého integrálu, a to na příkladech, které se týkají určení analytického tvaru funkce celkových veličin za předpokladu znalosti funkce mezních veličin a ukázaní souvislostí mezi tokovými veličinami v ekonomii. V případě určitého integrálu se budeme věnovat akumulaci kapitálu, přebytku spotřebitele a výrobce a v neposlední řadě také určení změny funkce celkových veličin v ekonomii za předpokladu znalosti funkce mezních veličin. Na závěr ukážeme aplikaci věty o střední hodnotě integrálního počtu na příkladu tokových veličin v ekonomii. 5.1 NEURČITÝ INTEGRÁL V EKONOMII V této podkapitole se budeme věnovat využití neurčitého integrálu v ekonomických aplikacích. Konkrétně se bude jednat o určení analytického tvaru funkce celkových veličin za předpokladu znalosti funkce mezních veličin a ukázaní souvislostí mezi tokovými veličinami v ekonomii, a to na příkladu funkce investičního a kapitálového toku. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD: Nechť je zadána funkce celkových příjmů firmy ve tvaru: MR  15  6Q . Určete tvar funkce celkového příjmu a poptávkové funkce. Jestliže

dTR  MR  15  6Q , dQ

Pak TR   15  6Q dQ  15 dQ  6 QdQ  15Q  3Q2  k , kde k je konstanta. Jestliže obvykle platí: TR  0 pro Q  0 , pak k  0 . Pro funkci TR tedy platí:

TR  15Q  3Q2 . Protože TR  PQ , kde P je cena za jednotku, pak platí: TR 15Q  3Q 2 P   15  3Q  Q Q P 3Q  15  P  Q  5  . 3 P Poptávková funkce má tedy tvar: Q  5  . 3

45



ŘEŠENÝ PŘÍKLAD: 1 3

Nechť je zadána funkce investičního toku ve tvaru: I  t   12t . Určete příslušnou funkci kapitálového toku. Jelikož platí, že funkce investičního toku je derivací funkce kapitálového toku, můžeme dK tedy psát: I  t   K´  t    dK  I  t  dt  K  t    I t dt . dt 1 3

V případě zadané funkce investičního toku platí: K  t    I  t dt  12t dt  9 3 t 4  k . Jelikož je takovýchto funkcí nekonečně mnoho, museli bychom do funkce kapitálového toku dosadit počáteční hodnotu důchodu, abychom získali funkční předpis funkce kapitálového toku. Tento výpočet bude obsahem následující podkapitoly. ZADÁNÍ PŘÍKLADŮ: 1. Předpokládejme, že funkce investičního toku má tvar: I  t  

1 . Určete 1 t2

obecně časovou změnu základního kapitálu. [Řešení: K  t   arctg t  c ] 2. Předpokládejme, že investiční funkce má následující tvar: I  120  600i , výchozí úroková míra činí 7,5%. Vytvořte funkci investičního toku jakožto funkci času, když víte, že úroková míra za 4 roky vzroste o 0,5%. Určete obecně časovou změnu základního kapitálu. 7,5 2 t ] [Řešení: a) I  t   75  7,5t , b) K  t   75t  2 3. Je dána funkce, která vyjadřuje změnu (pokles) populace N (v mil.) v jisté zemi dN  15e0,5t . Vyjádřete během let 2000-2010, kde t je počet let od roku 2000: dt N jako funkci t, když víte, že v roce 2000 byla velikost populace 100 mil. Jaké je hodnota populace v dané zemi v roce 2010? [Řešení: a) N  30e0,5t  70 , b) 70,2 mil.]

46



5.2 URČITÝ INTEGRÁL V EKONOMII ŘEŠENÝ PŘÍKLAD:

Předpokládejme, že čistý investiční tok je popsán rovnicí I  t   3 t a nechť základní kapitál v čase t = 0 se rovná K(0). Jaká je změna kapitálu v závislosti na čase? Vypočtěte rovněž výši naakumulovaného kapitálu během prvních 4 let. Rovnici kapitálového toku získáme integrací funkce investičního toku. 3 2

K  t    I  t dt   3 tdt  2t  c Pro t=0 pak obdržíme K(0)=c. Pro časový tok kapitálu pak platí: 3 2

K  t   2t  K  0  . Tzn., že časový tok kapitálu je závislý na počáteční hodnotě kapitálu v čase 0 a funkci 3 2

času 2t . Jestliže chceme zaznamenat změnu tvorby kapitálu během nějakého časového intervalu (a, b) pak se dostáváme k pojmu určitého integrálu : b

 I  t dt   K t  a  K b   K  a  b

a

což nám určuje celkovou akumulaci kapitálu během časového intervalu (a, b). Nyní již tedy dostáváme konkrétní číselnou hodnotu tvorby kapitálu na rozdíl od případu, kdy neznáme přesně délku časového intervalu. Navíc máme podle definice určitého integrálu určenou velikost plochy změny tvorby kapitálu během nějakého časového intervalu (a, b) geometricky jako velikost plochy ohraničené křivkou I(t), osou t a přímkami rovnoběžnými s osou I procházející body pro t = a, t = b. V našem příkladu jsme měli určit výši naakumulovaného kapitálu během prvních 4 let. Je tedy nutné vypočítat určitý integrál funkce investičního toku na intervalu (0, 4): 4

 32  0 3 tdt  2t   16 0 4

Graficky lze velikost naakumulovaného kapitálu vyjádřit jako obsah plochy pod funkcí I  t   3 t na intervalu (0, 4).

47



I t  6

5

I t   3 t 4

3

2

1

0

0

1

2

3

4

t

ZADÁNÍ PŘÍKLADŮ: 1. Předpokládejme, že investiční funkce má následující tvar: I  230  300i , výchozí úroková míra činí 2,5%. Vytvořte funkci investičního toku jakožto funkci času, když víte, že úroková míra za 4 roky vzroste o 2%. Jaká je hodnota naakumulovaného kapitálu během prvních 3 let? [Řešení: a) I  t   222,5  1,5t , b) 660,75] 2. Při úrokové míře 11% firma uskutečnila investice ve výši 75 mil., při nárůstu úrokové míry na 13% klesla velikost investic na 65 mil. Jaké byla velikost autonomních investic a jaká je velikost citlivosti investic na změnu úrokové míry? Spočtěte také velikost naakumulovaného kapitálu během prvních 4 let. [Řešení: a) I a  130, b  500 , b) 220] 3. Vypočítejte přebytek spotřebitele, jestliže poptávková funkce má tvar: P  když poptávané množství P  4 . [Řešení:16]

48

8 , Q



5.3 VĚTA O STŘEDNÍ HODNOTĚ INTEGRÁLNÍHO POČTU Pro praxi potřebujeme určit průměrnou nebo střední hodnotu dané veličiny (např. ceny, nákladů atd.) U spojité veličiny nelze obecně určit aritmetický průměr, proto je aritmetický průměr má funkce f  x  mezi mezemi a a b určen takto: b

1 m  f ( x ) dx a b  a b

ŘEŠENÝ PŘÍKLAD: Vypočítejte průměrné náklady pro výrobu 1 tuny chemické látky, když víte, že výrobní náklady této látky v tisících Kč jsou dány vztahem: TC  900 - 40Q  0,2 Q3

kde Q je množství vyrobené látky v tunách a víte, že podnik má vyrobit této látky mezi 10 a 30 tunami. Průměrné náklady představují střední hodnotu nákladové funkce N  x  pro x v intervalu 10,30 , kterou vypočítáme jako aritmetický průměr funkce N  x  : 30

30 1 1  x3  2 2 N  x  900  8 x  0 , 2 x dx  900 x  4 x  0 , 2  30  10 10 20  3 10





1  200  1 2700  3600  1800  9000  400   16600  66 , 7   20  3  20  826 , 67 

Průměrné náklady na výrobu 1 tuny chemické látky za daných podmínek budou činit 826 667 Kč. ZADÁNÍ PŘÍKLADŮ: 1. Firma zakoupila nový stroj. Měsíční úspora vlivem této investice je vyjádřena funkcí času u  t   450  0 ,5t 2 , kde t je počet měsíců provozu stroje. Určete, kolik peněžních jednotek firma novým strojem ušetřila. Nejdříve vypočtěte, za kolik měsíců je měsíční úspora nulová. Potom vypočtěte celkovou úsporu. [Řešení: 9000] 2. Vypočítejte průměrné náklady pro výrobu 1 tuny betonové směsi, když víte, že výrobní náklady této směsi v tisících Kč jsou dány vztahem: TC  650  10Q  0,3Q2 kde Q je množství vyrobené směsi v tunách a víte, že podnik má vyrobit této látky mezi 20 a 40 tunami. [Řešení: 630] 49


6.


DISKRÉTNÍ DYNAMICKÉ MODELY V EKONOMII

Každý ekonomický jev je charakterizován změnou. Možnosti vyjádření této změny jsou v zásadě dvě. První spočívá ve vyjádření změny ve statických modelech (jedná se o tzv. komparativní statiku), druhý pak v modelech dynamických. Dynamické modely sledují hodnoty proměnných během času a čas je vyjádřen explicitně jako součást modelu. Existují dva typy dynamických modelů: diskrétní a spojité. V této kapitole se budeme věnovat modelům diskrétním. Ty pracují s hodnotami proměnných v určitých časových intervalech. Proměnné se mění v časových intervalech a v těchto modelech vyjadřujeme změnu pomocí diferencí a řeší se diferenční rovnice. Časové řady jsou empirická data, která jsou měřena za časové přírůstky. Některé proměnné se v čase mění v závislosti na hodnotách z předchozích časových období. 6.1 DIFERENČNÍ ROVNICE V MAKROEKONOMICKÝCH APLIKACÍCH V této podkapitole budou ukázány příklady využití diferenciálních rovnic v makroekonomických modelech. Konkrétně se jedná o model dynamického multiplikátoru, který je rozšířením statického modelu multiplikátoru. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD: Určete hodnotu důchodu v dlouhém a krátkém časovém období, jestliže je zadána lineární spotřební funkce ve tvaru: Ct  0 ,8Yt 1  100 a zpoždění o jedno období mezi důchodem a poptávkou je vyjádřeno diskrétně (nespojitě). Investice jsou konstantní na úrovni 100 jednotek. Počáteční hodnota důchodu je 750 jednotek. Hodnota autonomních výdajů je na úrovni 200 jednotek, neboť platí: A  I 0  C0  100  100  200

Agregátní poptávka má tvar: ADt  C  I  100  0 ,8Yt 1  100

Po úpravě získáme diferenční rovnici prvního řádu: Yt  0 ,8Yt 1  200

Její řešení určíme jako součet obecného řešení zkrácené rovnice a partikulárního řešení. Zkrácená rovnice má následující tvar: 50



Yt  0 ,8Yt 1  0

a její řešení je ve tvaru: Y  c 0 ,8t , kde c je libovolná konstanta. Příslušné partikulární řešení určíme dosazením: Y  B0 do uvedené diferenční rovnice prvního řádu: B0  0 ,8B0  200  B0  1000 . Tedy obecné řešení příslušné diferenční rovnice získáme v následujícím tvaru: Yt  Yt  Y  c 0 ,8t  1000 . Jelikož není známa konstanta c, je řešení diferenční rovnice nekonečně mnoho. Proto je nutné do tohoto obecného řešení dosadit počáteční hodnotu důchodu Y0  750 . Tedy: 750  c 0 ,80  1000  c  250 Řešení vyhovující počáteční podmínce má tedy tvar: Yt   250  0 ,8t  1000 . V dlouhém období, tzn. t   tedy výraz 0 ,8t  0 a proto hodnota důchodu v dlouhém časovém období konverguje ke své rovnovážné úrovni, která je 1 představována statickým multiplikátorem, tedy Y *  A  1000. 1 c Graficky lze řešení vyjádřit následovně: 1200

Yt

1100

Y

1000

Yt

900

1000

250 0, 8

t

800 700 600

0

5

10

15

20

t

Obr.: Průběh důchodu v dlouhém a krátkém časovém období ZADÁNÍ PŘÍKLADŮ: 1. Určete hodnotu důchodu v dlouhém a krátkém časovém období v nespojitém čase s lineární spotřební funkcí Ct  0 ,6Yt 1  160 a zpožděním o jedno období mezi důchodem a poptávkou, při konstantních investicích I 0 na úrovni 40 j. Počáteční hodnota důchodu je 550 jednotek. [Řešení: Yt   50  0,6t  500 ] 51



2. Předpokládejme zpoždění o jedno období mezi agregátní poptávkou a produkcí, které je vyjádřeno nespojitě. Hodnota autonomních výdajů A=240, mezní sklon k úsporám s=0,2 a počáteční hodnota důchodu je 1000 jednotek. Určete hodnotu důchodu v dlouhém a krátkém časovém období. [Řešení: Yt   200  0,8t  1200 ] 6.2 DIFERENČNÍ ROVNICE V MIKROEKONOMICKÝCH APLIKACÍCH V této podkapitole budou ukázány příklady využití diferenčních rovnic v mikroekonomických modelech. Konkrétně se jedná o známý pavučinový model nabídky a poptávky, který je rozšířením modelu statického. I tentokrát bude nutné pro nalezení dynamické rovnováhy ve formě posloupnosti využít diferenční rovnice. Zpoždění se bude vyskytovat jak na straně nabídky, tak na straně poptávky. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD: Firma vyrábí a prodává vánoční ozdoby. Pro letošní vánoce si připravila novou kolekci, jejíž výchozí cena byla stanovena na P0 = 12 Kč, a to na základě ceny, která platila minulý rok. Po ukončení letošního prodeje na základě jeho úspěšnosti provedete korekci ceny pro příští rok a totéž se bude opakovat i v následujících letech. Předpokládejme nyní pro jednoduchost, že křivky nabídky a poptávky již známe a že jsou popsány následujícími rovnicemi:

Qd  130  6 P Qs  20  4 P Naším úkolem je popsat vývoj přizpůsobování cen a objemu produkce. Sklon nabídkové i poptávkové funkce je v obou případech typický. Nabídková funkce je funkcí rostoucí, zatímco poptávková klesající. Vzhledem k charakteru zadání se jedná o zpoždění na straně nabídky. Cena za ozdoby je totiž stanovena na základě rovnovážné ceny, která platila na trhu v minulém roce. Z toho vyplývá, že z matematického pohledu je zpoždění vyjádřeno diskrétně, proto pro řešení využijeme diferenční rovnice. V prvním kroku je nutné vypočítat hodnotu statické rovnováhy na trhu vánočních ozdob, a to porovnáním nabídkové a poptávkové funkce: SD 20  4 P  130  6 P  P*  15, Q*  40.

52



Na základě dosažených výsledků je patrné, že počáteční cena, za kterou prodejce nabízí své zboží je nižší, než je cena rovnovážná. Proto bude možné popsat matematicky proces přizpůsobování ceny pomocí diferenčních rovnic. Rovnice dynamické rovnováhy má následující tvar: St 1  Dt 1 20  4 Pt  130  6 Pt 1  6 Pt 1  4 Pt  150.

Získali jsme lineární diferenční rovnici prvního řádu s pravou stranou a konstantními koeficienty. Řešení této rovnice spočívá v nalezení obecného řešení zkrácené rovnice a řešení partikulárního. Zkrácenou rovnici řešíme pomocí charakteristické rovnice, což je algebraická rovnice, která má stejný stupeň, jako je řád diferenční rovnice. Můžeme tedy psát: 2 61  4 0  0     . 3

Obecné řešení zkrácené rovnice má tento tvar:

 3 . t

Pt  c 2

Odhad partikulárního řešení závisí na pravé straně diferenční rovnice. Na pravé straně rovnice je konstanta 150, což je polynomická funkce nultého stupně. Pro partikulární řešení můžeme tedy psát: Pt  B0 6 B0  4 B0  150  B0  15.

Partikulární řešení má tento tvar:

Pt  15. Obecné řešení diferenční rovnice zapíšeme jako součet obecného řešení zkrácené rovnice a partikulárního řešení: t

 2  Pt  c    15.  3 

Řešením je tedy předpis posloupnosti. Protože je však takovýchto posloupností nekonečně mnoho, je nutné najít takovou posloupnost, která bude procházet bodem o souřadnicích P0 = 12, což je hodnota počáteční ceny.

53



Po dosazení počáteční ceny do obecného řešení platí: 0

 2  12  c    15  c  3.  3 

Řešení diferenční rovnice, které vyhovuje počáteční podmínce má tvar: t

 2  Pt   3    15,  3 

což je konvergentní posloupnost. Hodnoty prvních členů této posloupnosti jsou vyjádřeny v následující tabulce: t

0

1

2

3

Pt

12

17

13,67

15,89

pt

-3

2

-1,33

0,89

Výslednou posloupnost lze graficky vyjádřit ve formě bodového grafu: Pt 18 17

Pt

16

15

3

2 3

t

15

P

14 13

0

2

4

6

8

10

12

t

Oscilaci ceny kolem rovnovážné hodnoty znázorňuje posloupnost, která je řešením vytvořené diferenční rovnice 1. řádu. Zvolený model byl konvergentní, a opravdu řešením je konvergentní posloupnost, mající limitu. Limitou této posloupnosti je hodnota rovnovážné ceny. Samotnou „pavučinu“ lze v modelu nabídky a poptávky znázornit následujícím způsobem:

54

Matematika v ekonomii – cvičebnice 100


Q

80

Q

130

6P Q

60

20

4P

40

20

0

0

5

10

15

20

25

P

ZADÁNÍ PŘÍKLADŮ: 1. Předpokládejme, že poptávka a nabídka po toaletním mýdlu se vyvíjí podle následujícího schématu:

Qd  70  5P Qs  20  4 P

přičemž nabídka reaguje se zpožděním o jedno období za poptávkou, zpoždění je vyjádřeno diskrétně. Výchozí úroveň ceny toaletního mýdla P0 byla při vstupu produktu na trh stanovena na 9 měnových jednotek za 1 kus, a to na základě ceny, která na trhu platila minulý týden pro podobný druh výrobku. t

4 [Řešení: Pt      10 ] 5

2. Předpokládejme, že poptávka a nabídka po kávě se vyvíjí podle následujícího schématu:

Qd  90  4 P Qs  30  2 P

přičemž poptávka reaguje se zpožděním o jedno období za nabídkou, zpoždění je vyjádřeno diskrétně a že výchozí úroveň ceny kávy P0 byla při vstupu produktu na trh stanovena na 18 měnových jednotek za 1 kus, a to na základě ceny, která na trhu platila minulý měsíc pro podobný druh výrobku. t 4 [Řešení: Pt   2     20 ] 2 55



7. SPOJITÉ DYNAMICKÉ MODELY V EKONOMII Spojité modely považují proměnné za spojité, veličiny se v čase neustále mění. Zkracováním časových období přecházíme v limitě od diskrétních modelů k modelům spojitým. Od diferencí pak přecházíme k diferencím. Spojité dynamické modely jsou vyjádřeny ve formě diferenciálních rovnic. 7.1 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE V MAKROEKONOMICKÝCH APLIKACÍCH V této podkapitole budou ukázány příklady využití diferenciálních rovnic v makroekonomických modelech. Konkrétně se jedná o model dynamického multiplikátoru, který je rozšířením statického modelu multiplikátoru. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD: Určete hodnotu důchodu v dlouhém a krátkém časovém období, jestliže je zadána lineární spotřební funkce ve tvaru: C  0 ,9Y  240 a zpoždění mezi důchodem a agregátní poptávkou, které je vyjádřeno spojitě. Investice jsou konstantní na úrovni 60 jednotek. Počáteční hodnota důchodu je 2750 jednotek. Hodnota autonomních výdajů je na úrovni 300 jednotek, neboť platí: A  I 0  C0  60  240  300 .

Agregátní poptávka má tvar: AD  C  I  300  0 ,9Y . Vzhledem k tomu, že zpoždění vzniká mezi agregátní poptávkou a důchodem, jedná se o tzv. Robertsonovské zpoždění. Tedy rozdíl mezi AD a Y lze zapsat v následujícím dY tvaru: AD  Y  . dt Po dosazení do předchozí rovnice a úpravě získáme separovatelnou diferenciální dY . rovnici prvního řádu: 300  0 ,9Y  Y  dt Obecné řešení této diferenciální rovnice lze získat následujícím způsobem: dY  300  0,9Y  Y , dt dY  300  0,1Y . dt

Tuto separovatelnou diferenciální rovnici lze řešit separací diferenciálů: 56



dY  dt.  300  0,1Y 

Po separaci diferenciálů integrujeme obě strany diferenciální rovnice podle příslušné proměnné: dY   300  0,1Y    dt , dY  Y  3000   0,1dt. Po integraci získáme obecné řešení:

ln Y  3000  0,1t  c, Y  e0,1t c  3000, Y  ce0,1t  3000, kde c je libovolná konstanta. Jelikož není známa konstanta c, je řešení diferenciální rovnice nekonečně mnoho. Proto je nutné do tohoto obecného řešení dosadit počáteční hodnotu důchodu Y0  2750 . Tedy: 2750  ce0  3000  c  250 Řešení vyhovující počáteční podmínce má tedy tvar: Y   250  e0 ,1t  3000 . V dlouhém období, tzn. t   tedy výraz e0 ,1t  0 a proto hodnota důchodu v dlouhém časovém období konverguje ke své rovnovážné úrovni, která je 1 představována statickým multiplikátorem, tedy Y *  A  3000. 1 c Graficky lze řešení vyjádřit následovně: 3100

Yt

Y

3000

Yt

2900

3000 250

0.1 t

2800

2700

0

10

20

30

40

50

t

Obr.: Průběh důchodu v dlouhém a krátkém časovém období

57



ZADÁNÍ PŘÍKLADŮ: 1. Předpokládejme dvou sektorovou ekonomiku s lineární spotřební funkcí a zpožděním mezi agregátní poptávkou a důchodem. Zpoždění je přitom nekonečně malé, je tedy vyjádřeno spojitě. Autonomní spotřeba je 255 jednotek, mezní sklon úsporám 0,25, autonomní investice 45 jednotek. Počáteční hodnota důchodu je 1250 jednotek. Jaká je hodnota rovnovážného důchodu v krátkém a dlouhém období. Řešení znázorněte také graficky. Jaká je hodnota rovnovážného důchodu v krátkém a dlouhém období? [Řešení: Y   50  e0,25t  1200 ] 2. Předpokládejme více sektorovou ekonomiku s lineární spotřební funkcí, kde existuje zpoždění mezi agregátní poptávkou a produkcí, zpoždění je přitom vyjádřeno spojitě. Autonomní výdaje činí je 600 jednotek, mezní sklon úsporám 0,2, mezní daňová sazba je 0,15. Počáteční hodnota důchodu je 1850 jednotek. Jaká je hodnota rovnovážného důchodu v krátkém a dlouhém období. Řešení znázorněte také graficky. Jaká je hodnota rovnovážného důchodu v krátkém a dlouhém období? [Řešení: Y  183 e0,36t  1666,67 ] 3. Předpokládejme více sektorovou ekonomiku, kde jsou všechny vztahy lineární a kde existuje zpoždění Lundbergovského typu (zpoždění je vyjádřeno spojitě). Agregátní poptávka má tvar AD = 12500 + 0,35Y. Počáteční hodnota důchodu je 19 000 jednotek. Jaká je hodnota rovnovážného důchodu v krátkém a dlouhém období? Řešení znázorněte také graficky. [Řešení: Y   230  e0,65t  19230 ] 7.2 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE V MIKROEKONOMICKÝCH APLIKACÍCH V této podkapitole budou ukázány příklady využití diferenciálních rovnic v mikroekonomických modelech. V pavučinovém modelu nabídky a poptávky, který byl probírán v předchozí kapitole, bude tentokrát zpoždění vyjádřeno spojitě, přičemž nás budou zajímat případy se zpožděním na straně nabídky i poptávky. Pro nalezení řešení ve formě spojité funkce bude nutné využít diferenciální rovnice stejného typu, jaké jsme využívali v této kapitole, tedy rovnice separovatelné. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD: Předpokládejme model se zpožděním na straně nabídky, kterému odpovídají cenové změny na straně poptávky, a to se záporným zrychlením, které bude zpoždění tlumit. Počáteční nesprávně stanovená cena P0 = 2. Rovnice poptávky a nabídky mají následující tvar: 58


Qd  6  P  3


dP dt

Qs  3  2 P

Nejprve vypočítáme rovnovážnou cenu ve statickém modelu:

6  P*  3  2 P* P*  3 Tomu odpovídá rovnovážné množství:

Q*  3 Počáteční cena P0 na straně nabídky je tedy nesprávně stanovena, a to na hodnotě menší než je rovnovážná cena. Množství nabízeného zboží, odpovídající počáteční ceně, je Q0 = 1. Dynamická rovnováha je vyjádřena následovně: 6 P3

dP  3  2 P dt

Pokud od rovnice dynamické rovnováhy odečteme rovnici statické rovnováhy, získáme následující rovnici:

  P  P*   3

dP  2  P  P*  dt

* Jestliže zvolíme P  P  p a

p 3

dP dp  dt dt , pak lze předchozí rovnici přepsat do tvaru:

dp dp  2p   p dt dt

Získali jsme tedy separovatelnou diferenciální rovnici, kterou řešíme separací diferenciálů, tedy převedeme všechny členy s jednou proměnnou na jednu stranu rovnice a členy s druhou proměnnou na druhou stranu diferenciální rovnice a obě strany diferenciální rovnice pak integrujeme dle příslušné proměnné:

dp  p   dt ln p  t  ln c, c  R, p  ce  t

59



Při počáteční podmínce P0 = 2 je počáteční odchylka p0 = P0 - P* = - 1. Po dosazení do obecného řešení diferenciální rovnice obdržíme hodnotu konstanty c odpovídající počáteční odchylce p0:

1  ce0  c  1  p  et Což je konvergentní funkce s limitou rovnou nule. Nalezené řešení znamená, že velikost odchylek p od rovnovážného stavu se v čase zmenšuje až k nule, tzn. dochází k návratu ceny do rovnovážného stavu:

lim p  lim et  0 t 

t 

Pro počáteční cenu menší než je rovnovážná cena, tzn. pro záporné hodnoty odchylek, lze nalezené řešení znázornit graficky: P 1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

t

0.5

1.0

p  et

1.5

2.0

Návratem k původní proměnné P, za kterou jsme učinili substituci P - P* = p, je možno vytvořit funkci popisující návrat k rovnovážné ceně: P  P*  p,

P  3  e t , což je opět konvergentní funkce, tentokrát však s limitou P* = 3. Funkce P(t) popisuje pohyb ceny P v čase t zpět k rovnovážné hodnotě P*:

lim P  P* t 

Návrat k rovnovážné ceně lze rovněž znázornit graficky: 60



P 4

P* 3

2

P  3  et 1

0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

t

1

ZADÁNÍ PŘÍKLADŮ: 1. Předpokládejme, že poptávka a nabídka po novém druhu zubní pasty se vyvíjí podle následujícího schématu: Qd  500  20 P  2

dP dt

Qs  100  10 P

a že výchozí úroveň ceny zubní pasty P0 byla při vstupu produktu na trh stanovena na 18 měnových jednotek za 1 kus, a to na základě ceny, která na trhu platila minulý měsíc pro podobný druh výrobku. [Řešení: P   2  e15t  20 ] 2. Předpokládejme, že poptávka a nabídka po meruňkových jogurtech se vyvíjí podle následujícího schématu:

Qd  32  2 P  3 Qs  4  P

dP dt

a že výchozí úroveň ceny meruňkových jogurtů P0 byla při vstupu produktu na trh stanovena na 10 měnových jednotek za 1 kus, a to na základě ceny, která na trhu platila minulý měsíc pro podobný druh výrobku. [Řešení: P   2  et  12 ]

61



DODATEK 1 - PŘEHLED VZORCŮ PRO POČÍTÁNÍ DERIVACÍ Pro každé x z definičního oboru základní elementární funkce platí tyto vzorce pro derivaci: 1.  c ´ 0 2. 3. 4.

 x   nx , kde n  R e   e  a   a ln a n ´

n1

x ´

x

x ´

x

5.  ln x   ´

1 x

6.  log a x   ´

1 x ln a

7.  sin x   cos x ´

8.  cos x    sin x ´

9.

 tg x 

´



1 cos 2 x

10.  cotg x    ´

11.  arcsin x   ´

1 sin 2 x 1

1  x2 1 ´ 12.  arccos x    1  x2 1 ´ 13.  arctg x   1  x2 1 ´ 14.  arctg x    1  x2 Nechť funkce f  x   u a g  x   v mají derivaci v intervalu  a, b  , c je reálné číslo. Pak ´

 u  u´v  uv´ , kde pro x   a, b  platí  cu ´ cu´,  u  v ´ u´v´,  uv ´ u´v  uv´,    2 v v   v  0.

62



DODATEK 2 - PŘEHLED VZORCŮ PRO INTEGRACI FUNKCÍ Ze vzorců pro derivaci funkce vyplývají základní vzorce pro integraci funkcí: x m1 1.  x dx   c, m  R, m  -1 m 1 m

´

1 2.  dx  ln x  c x

3.

e

x

 ex  c

ax 4.  a dx  c ln a x

5. 6.

 sin x dx   cos x  c  cos x dx  sin x  c dx

7.

 cos

8.

 sin

9.

2

x

1



2

x

1

 tg x  c dx  cotg x  c

dx  arcsin x  c   arccos x  c

1 x 1 10.  dx  arctg x  c  arccotg x  c 1  x2 2

  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx

 c. f  x  dx  c f  x  dx, kde c  0 je konstanta.

63



SEZNAM POUŽITÝCH ZNAČEK, SYMBOLŮ A ZKRATEK A – průměrná veličina AC – průměrné náklady AR – průměrné příjmy L – Lagrangeova funkce M – mezní veličina MC – mezní náklady MR – mezní příjmy P - cena Q - množství T – celková veličina TU – celkový užitek Y - důchod

64



LITERATURA [1] ALLEN, R. G. D.: Matematická ekonomie. Academia, Praha 1971. ISBN 508-21-875. [2] BAUEROVÁ, D. a kol: Matematická ekonomie. VŠB – Technická univerzita Ostrava 1996. ISBN 80-7078-293-5. [3] CHIANG, A. C.: Fundamental Methods of Mathematical Economics. McGrawHill/Irwin; 2004. ISBN 0-07-066219-3. [4] FENDEK, M.: Kvantitatívna mikroekonómia. Ekonóm, Bratislava 1998. ISBN 80-

88715-54-7. [5] FIALA, P.: Základy kvantitativní ekonomie a ekonomické analýzy, Vysoká škola ekonomická v Praze, Praha 2006. ISBN 80-245-1087-1. [6] KLEIN, M.: Mathematical Methods for Economics, Addison Wesley 2001. ISBN-10: 0201726262. [7] KOVÁČOVÁ, M., ZÁHONOVÁ V., DOBRAKOVOVÁ, J.: MATHEMATICA pre stredoškolských učiteľov. Bratislava: STU, 2007, ISBN 80-967305-1-7. [8] MAVRON, V. C., PHILLIPS, T. N.: Elements of Mathematics for Finance. Springer, London 2007. ISBN 978-3-540-05117-6. [9] SIMON, C. P.: Mathematics for Economists. W. W. Norton & Company; 1st edition 1994. ISBN-10: 0393957330. [10] SYDSAETER, K., HAMMOND, P.: Mathematics for Economic Analysis. Publisher: Prentice Hall; 1 edition. ISBN-10: 013583600X [11] TAKAYAMA, A.: Mathematical Economics. Cambridge University Press, 1985. ISBN 13: 978-0521314985.

65

MATEMATIKA V EKONOMII

Recommend Documents