Jak fyzika pomáhá ekonomii František Slanina Fyzikální ústav AVČR, e-mail:
[email protected] Kontakt byl navázán, spojení se osvědčilo, a hybrid zvaný „ekonofyzika“ byl na světě. Nyní, více než deset let později, dosáhla ekonofyzika jakési první dospělosti. Je čas udělat si přehled o tom, co dokáže a co se od ní naopak čekat nedá. Zde se podíváme jen na pár vybraných problémů, které se jí snad podařilo alespoň částečně objasnit.
Přírodní vědy běžného člověka často děsí svým cynismem. Jdete k lékaři a tam vás prozařují, jako byste byli kus vadné kolejnice. Není problém pěstovat děti jako dárce orgánů k transplantacím – jinými slovy na maso. Brzy náš klid nebudou hlídat obyčejní policejní pochůzkáři, ale armády klonovaných Schwarzeneggerů. Každý občan bude mít povinně pod kůží lebky čip, který bude neustále hlásit polohu svého hostitele – a lidé si budou pochvalovat, jak je to skvělý vynález, zvlášť pro dohled nad pubertálními potomky. V takové atmosféře není divu, že se lidé od vědy odvracejí a věří spíše líbivým slovům různých obratných propagandistů. A to nejen v politice, která jako by se odehrávala na vzdáleném ostrově, jehož obyvatelé si vyvinuli svébytný jazyk a zvláštní lidové zvyky, ale i tam, kde nakonec každý musí zabřednout, protože na tom závisí jeho obživa: v ekonomii. Přirozeně, je rozdíl mezi ekonomií, jak ji vnímá drobný živnostník a tím, čím se zabývá profesor národního hospodářství na prestižní universitě. Oba přístupy by ale měly mít dvě věci společné: přísnou racionalitu a úctu k empirickým faktům. Kdybychom se toho dokázali držet, neměli by demagogové a šarlatáni šanci. Praktický život je ale složitější a neřídí se naším zbožným přáním. Až příliš často naše rozhodování připomíná spíše balancování nad propastí totální nevědomosti než rozumnou úvahu. Každá pomoc je vítaná, ať už jde o sbírání empirických dat nebo o jejich spolehlivé vyhodnocování. Někdy v polovině devadesátých let se díky shodě řady šťastných náhod ukázalo, že pokud jde o oba tyto požadavky, může ekonomii prokázat neocenitelné služby fyzika.
700 650
PX50
600 550 500 450 400 350 300
1996 1997 1998
1999
2000 2001 2002 2003
Obrázek 1. Pohyby indexu PX50 pražské burzy v průběhu posledních let. 1.
Fluktuace cen
Dlouhou dobu se předpokládalo, že ceny akcií odrážejí víceméně náhodné události ve světě podnikání, takže jejich kolísání je prakticky náhodné. Jako když dezorientovaný mravenec pobíhá po stéblu trávy hned sem, hned tam. Křivolaké čáry zaznamenávající průběh ceny v čase (viz obr. 1) vzbuzují právě takový dojem. První, kdo razil tento pohled na burzovní fluktuace, byl Louis Bachelier, který ve své disertaci z roku 1900 modeloval pohyby cen jako náhodnou procházku bodu x , označujícího aktuální cenu, po reálné ose. Z toho mu vycházelo, že 142
Obrázek 2. Pravděpodobnostní rozdělení změn ceny pro různé časové odstupy τ . V horním panelu hrubá data, v dolním panelu pozorujeme, jak po změně škály času a ceny splynou všechna data na jedné křivce.
pravděpodobnost, že za čas ∆t se cena změní o ∆x , je dána normálním, neboli, jak říkají fyzikové, Gaussovým rozdělením ⎛ (∆x )2 ⎞ 1 ⎟. P∆t (∆x ) = exp⎜⎜ − ⎟ 2 σ 2πσ ⎠ ⎝ Šířka tohoto rozdělení je dána parametrem σ , který ekonomové nazývají volatilita. Podle Bacheliera roste s časem podle vzorce σ = σ 0 ∆t . To je ovšem přesně vzorec popisující difuzi. Říká nám, jak daleko se asi za čas ∆t dostane částice při Brownově pohybu. Tento první letmý kontakt fyziky a ekonomie byl však na dlouho zapomenut. Kromě toho se ukázalo, že Bachelierův vzorec je jen velmi přibližný a že o mnoho řádů podceňuje pravděpodobnost poměrně 143
velkých změn ceny. Co si počít s teorií, která předpovídá, že pokles akcií o 5% za den se odehraje tak jednou za milión let, když vy takovým událostem čelíte každého čtvrt roku? S lepším nápadem přišel až na začátku šedesátých let Benoit Mandelbrot. Z jeho studia kolísání ceny bavlny mu vycházelo, že změna ceny je mnohem lépe vyjádřena takzvaným Lévyho rozdělením. To se vyznačuje především tím, že pro velké změny ceny se blíží k rozdělení mocninnému, ve tvaru −1−α P(∆x ) ≈ (∆x ) . O mocninných rozděleních toho bylo poslední dobou napsáno a řečeno mnoho. Zájemcům o hlubší výklad bych doporučil například knihy [1] a [2]. Připomeňme si jen to, že mocninné rozdělení je téměř vždy projevem fraktální geometrie, jejímž objevitelem je tentýž B. Mandelbrot. A mocninné rozdělení změn ceny poukazuje na fraktální rysy fluktuací cen, ať už je to bavlna, zlato, akcie Telecomu a nebo kurs dolaru. Ještě subtilnějším projevem fraktálnosti v ekonomii je takzvané škálování. Podívejme se, co se stane s rozdělením změn ceny, změníme-li škálu času, neboli začneme-li čas měřit v minutách místo v sekundách. Místo změny ceny za čas ∆t nás zajímá změna ceny za čas s ⋅ ∆t . Vlastnost škálování znamená, že pravděpodobnostní rozdělení se nezmění, pokud zároveň změníme i škálu cen. Rozdělení tedy nezávisí na dvou proměnných, časovém odstupu ∆t a změně ceny ∆x , ale jen na jedné proměnné, totiž na chytře zvolené kombinaci ∆t a ∆x (viz obrázek 2).Vzorcem to můžeme vyjádřit takto P∆t (∆x) = (∆t ) − H f ((∆t ) − H ∆x) kde f je nějaká funkce, která klesá jako mocnina, f ( y ) ≈ y −1−α , a H konstanta, které se říká Hurstův exponent. Pro fyziky není jev škálování ničím novým, protože je například typickým projevem fázových přechodů. Bachelierova pradávná představa fluktuací cen jako náhodné procházky splňuje vlastnost škálování přesně, s hodnotou H = 1 / 2 . Potíž je
tedy ta, která platila při poslední minulé transakci, dělí osu ceny na dvě části, a příkazy k prodeji jsou umístěny vždy napravo a příkazy k prodeji vždy nalevo od aktuální ceny. Kromě toho, že na hromady příkazů se stále přisypávají nové přírůstky, tržní příkazy způsobují naopak „anihilaci“ částic. Jako by se v okolí aktuální ceny nahromaděný materiál zase odleptával.
v tom, že reálná data vykazují znatelně větší hodnotu, kolem H = 2 / 3 . Kromě mocninného tvaru škálovací funkce f je zvýšená hodnota Hurstova exponentu jedním z důvodů, proč je obyčejná náhodná procházka zcela nevhodná jako model burzovních fluktuací a nezbývá než hledat něco podstatně lepšího. ρ(x )
prodej
1
0.01
x
Obrázek 3. Kniha příkazů se modeluje jako proud dopadajících částic. V okolí aktuální ceny se částice naopak odleptávají.
10−4 10−6
Přeskočíme nyní několik desetiletí a několik tisíc stránek vědeckých prací věnovaných právě takovému hledání a podíváme se rovnou na jeden z modelů, se kterými se do hry přihlásila fyzika. Pohyby cen, jak je vidíme v ekonomických přílohách denního tisku, jsou jen nepatrnou špičku ledovce. Celý složitý proces obchodování je skrytý v takzvané knize příkazů, kde jsou zaznamenány všechny nevyřízené požadavky na prodej či nákup akcií. Makléř například zadá požadavek na nákup 125 kusů akcií společnosti UVWXYZ za cenu maximálně 100 korun za kus. Tento takzvaný limitní příkaz (limitní proto, že cena nesmí přesáhnout požadovaný limit) se zaznamená v knize příkazů a tam čeká, dokud se nenajde někdo, kdo bude za danou cenu ochoten akcie prodat. Kromě těchto nehybných příkazů jsou ale ve hře ještě takzvané tržní příkazy, které požadují koupi či prodej daného množství akcií za libovolnou cenu, která je na trhu k dispozici. Právě tyto tržní příkazy udržují burzu v chodu.
10−8
s P∆t (|r|/s)
1
10
|r|
100
103
1 0.01
10−4
10−6 10−8 10−10
20 10 5 2 1
s
kupuj
P∆t (|r|)
cena
1
0.1
100 104 ∆t 1
10
|r|/s
100
103
Obrázek 4. Výsledky počítačové simulace Maslovova modelu. V horním panelu rozdělení změn ceny pro různé časové odstupy. V dolním panelu vidíme škálování: všechna data padnou na tutéž křivku, když správně změníme škálu času a ceny. Právě jsme popsali hlavní myšlenku takzvaného Maslovova modelu burzovní dynamiky. Tento model lze poměrně snadno numericky simulovat a na obrázku 4 můžeme ocenit, jak výsledky souhlasí s empirickými daty pro fluktuace cen. Pozorujeme jasně mocninnou závislost změny ceny a dokonalé škálování. Škoda
Z pohledu fyzika vypadají procesy v knize příkazů jako déšť částic, dopadajících na jednorozměrný podklad: každý požadavek na nákup či prodej jedné akcie představuje jednu částici, podkladem je osa cen (viz obrázek 3.) Aktuální cena,
144
jmenuje Paretův zákon. Ten říká, že podíl jedinců s příjmem větším než v je přibližně P P > (v) = α0 . v Paretův exponent α mívá hodnotu někde mezi 1 a 2 a s časem se prakticky nemění. Zákon platí dosti dobře pro střední a vyšší příjmové skupiny, zatímco pro ty nejchudší už se použít nedá. Na obrázku 5 vidíme, jak je tento zákon splněn v případě Velké Británie. Ve všech ostatních zemích jsou výsledky obdobné, i když přesná hodnota parametru α se může místo od místa poněkud lišit.
jen, že přesná hodnota Hurtova exponentu, která u Maslovova modelu vychází H = 1 / 4 , se od empirické hodnoty výrazě liší. Pro dosažení shody byl Maslovův model různými způsoby vylepšován, ale popisem těchto modifikací bychom zabředli do přílišných podrobností. Pro nás je zde podstatné zjištění, že jednoduchý model dopadajících a anihilujících částic vysvětluje dosti dobře složité fraktální rysy kolísání cen na burze.
Slunce v’i vi Obrázek 5. Rozdělení bohatství v různých letech ve Velké Británii. Údaje se zakládají na datech z výběru daní. Mocninná závislost podle Paretova zákona by v tomto grafu odpovídala přesné přímce se sklonem daným exponentem α . Data tomu odpovídají docela dobře.
vj
vj’
Obrázek 6. Schéma modelu ekonomiky coby „srážek“ jednotlivých agentů. Při každé srážce se trocha bohatství vymění a trocha se také nově vytvoří. Prapůvodní zdroj nového bohatství je ovšem energie dopadající na zem ze slunce.
2. Rozdělení bohatství
Lidé neobchodují na burze pro svou zvrácenou zábavu (ačkoli i takové bychom našli), ale proto, aby vydělali peníze. Někdo přitom získává a jiný tratí, takže jedni jsou nakonec bohatí a jiní chudí. A totéž se dá říci o každém podnikání a vůbec jakékoli ekonomické aktivitě. Někteří lidé si najdou velmi dobře placené místo, ale většina se musí spokojit s málem. Bohatství je ve společnosti rozděleno nerovnoměrně. První, kdo se rozdělením bohatství zabýval vědecky, byl italský inženýr Vilfredo Pareto na konci devatenáctého století. Své empirické poznatky shrnul do matematické formule, která se po něm
Pro vysvětlení Paretova zákona bylo navrženo několik mechanismů, které jsou ovšem svou matematickou podstatou velmi podobné. Velmi názorný model se zakládá na představě výměny bohatství mezi jedinci (nebo firmami) kteří se spolu „srážejí“ jako molekuly plynu. (Tuto analogii poprvé navrhl opět B. Mandelbrot, ale nijak blíže ji nerozpracoval.) Bohatství odpovídá energii částic. V opravdovém plynu se samozřejmě energie při srážkách zachovává, což v rovnováze vede ke známému Boltzmannovu rozdělení, které
145
závisí exponenciálně na energii. To by tedy nebylo v souhlasu s Paretovým zákonem. Zakopaný pes tkví v tom, že při vzájemném působení různých ekonomických aktérů se bohatství jen pasivně nepřelévá, ale při každé „srážce“ se ho také trochu nově vytvoří (viz obr. 6). Tato zdánlivě podružná okolnost má zásadní význam pro výsledné rovnovážné rozdělení bohatství. To je možno vypočíst přesně, s použitím podobné kinetické rovnice (Boltzmannovy), která řídí nerovnovážné procesy v plynech. Výsledkem je rozdělení o tvaru P ⎛ α −1⎞ P(v ) = 1+0α exp⎜ − ⎟ v ⎠ v ⎝ který pro velká bohatství, v → ∞ , přesně odpovídá Paretovu zákonu s exponentem α . Zdá se, že tento model vysvětluje Paretův zákon skvěle. 3.
Nejjednodušší představa je vtělena do takzvaného voličského modelu (voter model). Jedinci si mohou vybírat ze dvou možností, řekněme A a B. Přitom na sebe navzájem působí tak, že když se potkají dva jedinci s rozdílnými preferencemi, hodí si korunou, a kdo z nich vyhraje, ten přesvědčí svého partnera, aby se přidal na jeho stranu. Tedy pokud v losování zvítězí A, pak z původní dvojice názorů AB se stane dvojice AA, kdežto při vítězství B je výsledkem dvojice BB. Obě možnosti jsou stejně pravděpodobné (pokud je mince spravedlivá) a tak průměrný počet A a B zůstává stejný. Můžeme se na to také dívat jako na šíření jakési infekce, kde individua nakažená virem A mohou přenést nákazu na individua nakažená virem B, přičemž virus B hyne a přenechá živnou půdu viru A. V opačném směru to však může fungovat stejně dobře. Je jasné, že celý proces se zastaví, jakmile se všichni jedinci shodnou na jednom názoru. Opačný názor nemá žádného zastánce a infekce se už nemůže šířit. Předtím jsme ale svědky vesmírně komplikovaného přelévání mezi tábory sympatizantů A a B a konečný výsledek je těžké odhadnout. V realitě by taková situace mohla odpovídat společnostem se systémem dvou stran, jako jsou například USA. Samozřejmě nemůžeme čekat, že by jednou zcela převážila jedna ze stran, jak to v principu funguje ve voličském modelu. Fígl je v tom, že každé volby zachycují společnost v jakémsi přechodném stavu. Kdyby se pár set let nic zásadního nedělo a lidé by se jen navzájem přesvědčovali, že A je lepší než B a naopak, pak bychom se mohli nadít situace, kdy by skutečně sympatizanti jedné ze stran zcela vymizeli. Ve skutečnosti je frekvence voleb příliš vysoká na to, aby se společnost jakž-takž ustálila na nějakém názoru.
Výsledky voleb
Ekonomiku velmi silně ovlivňuje politika, stejně tak jako ekonomika vyvíjí tlak na politiku. Bylo by dětinské snažit se tyto dvě sféry nějak od sebe izolovat. Místo toho se pokusíme nalézt nějaké pravidelnosti v chování občanů-voličů, které nám umožní předvídat, co se asi ve volbách stane a jaká politická reprezentace bude nejbližších pár let ovlivňovat naše životy. 104
Pvotes(n)
103 100 10 1 0.1 0.01
10−5
10−4
10−3
0.01
0.1
n Obrázek 7. Rozdělení hlasů mezi kandidáty do federálního parlamentu v Brazílii. Čára představuje funkci 1 / n .
Je tady ještě jiný problém. Většina zemí nemá politický systém založený na soutěži pouhých dvou stran, ale možností
146
volby je více, někdy dokonce až příliš mnoho. Empiricky se taková situace studovala například v Brazílii, kde voliči hlasují pro jednotlivé osoby, a jejich stranická příslušnost je většinou až druhotná. Studoval se počet kandidátů, kteří získali právě n procent hlasů ve svém volebním okrsku (viz obr. 7). Výsledky se většinou interpretují tak, že rozdělení se přibližně chová jako Pvotes (n) ≈ 1 / n ačkoli souhlas s daty není stoprocentně přesvědčivý. Zajímavé ovšem je, že když upravíme voličský model tak, že možné volby nejsou jen dvě, ale je jich velké (v principu neomezené) množství, dá se rozdělení vypočítat přesně, a výsledkem je právě funkce 1 / n , která není příliš daleko od empirických fakt. Je tedy možné, že celé složité divadlo, které se kolem voleb každé čtyři roky odehrává, není nic jiného než souboj infekcí, které lidé kolem sebe šíří jako rýmu a kašel. Shrnutí
Ekonofyzika si nemůže činit nárok na jakousi „teorii všeho“, popisující beze zbytku chování lidí v ekonomice a ve společnosti vůbec. Nicméně dokáže dnes odpovídat na řadu jednotlivých otázek, které dříve zůstávaly v říši dohadů. A tím, že „demytizuje“ některé mechanismy, kterými se společnost řídí, může posunout naše rozhodování o něco blíže k vysněnému ideálu racionality. Literatura: [1] P. Coveney a R. Highfield: Mezi chaosem a řádem, Mladá fronta, Praha. [2] A.-L. Barabási: V pavučině sítí, Paseka, Praha.
147
