Analýza dat v ekonomii

Vysoká škola ekonomie a managementu Ekonomický institut VŠEM

Analýza dat v ekonomii (dříve Statistické metody a demografie)

© Mgr. Milena Opletalová, VŠEM [email protected]

Na základě materiálů Matěje Bulanta, Ph.D.

Probíraná témata 9.01. Popisná statistika (1. část)

16.01. Popisná statistika (2. část) 23.01. Teorie odhadu, Časové řady 29.01. Indexní analýza, Úvod do demografie

Popisná statistika    

 

Obecný úvod Základní statistické pojmy Grafické znázornění dat Statistické šetření Tabulky četností Souhrnné charakteristiky

Data, informace, znalosti

Jak porozumět datům Data analyzujeme abychom z nich získali informace. Pomůže: znát odkud se data vzala (zdroj/původ) znát co to je za data (jejich význam) přesně vědět čeho musím dosáhnout znalosti + zkušenosti

• • • •

Historický vývoj • •

•

2000 let před n.l. Čína – popis státu 17. st. sir William Petty a John Graunt - Politická aritmetika

18. st. Gottfried Achenwall, Edmond Halley - Světská úřední statistika

•

19. st. Adolphe Quételet, Karl Pearson, Karl F. Gauss - Matematická statistika, normální rozdělení, průměr, pravděpodobnost

• 20. st.

akademik Čěbyšev, Alexandr Ljapunov, Andrej Kolmogorov - Moderní statistka, induktivní statistika a statistická analýza, teorie věrohodnosti

Normální rozdělení Čím více náhodných vzájemně nezávislých jevů sčítáme, tím více se bude výsledné rozdělení blížit normálnímu. 20 = 1 kombinace 21 = 2 kombinace 22 = 4 kombinace 23 = 8 kombinací 24 = 16 kombinací

Obr.1 Zdroj: http://en.wikipedia.org/wiki/Bean_machine

Vývoj moderní statistiky První vnímání nejistoty „Statistiky“ hazardních her Kombinatorika – Pascal, Newton, J. Bernoulli, Euler

Proces návratu k průměru Sir Francis Galton (1822 – 1911) Směrodatná odchylka, otisky prstů, eugenismus

Riziko a nejistota Frank H. Knight (1885 – 1972) Riziko – Náhoda se známými pravděpodobnostmi Nejistota – Náhoda s neznámými pravděpodobnostmi • nejistota statistická - způsobena náhodou, je tedy nepředvídatelná • nejistota systematická - způsobena naší neznalostí nebo nedostatkem/ nepřesností informací.

Základní definice 1 

Hromadné jevy a procesy - jevy a procesy vyskytují se u velkého množství prvků.



Statistická jednotka – popisovaný prvek souboru, u něhož jsou sledované různé vlastnosti



Statistický znak /proměnná/ – zachycuje určitou vlastnost statistické jednotky. 

Hodnota statistického znaku ( ≡ pozorování) - míra dané vlastnosti (statistického znaku) u každé jednotky statistického souboru. ! Počet hodnot (pozorování) = rozsah souboru.



Obměna (≡ varianta) statistického znaku - hodnota ve smyslu vyjádření různého stupně dané vlastnosti. ! Počet variant ≤ rozsah souboru.

Základní definice 2





Statistický soubor – soubor, vytvořený ze statistických jednotek, u nichž se sleduji stejné statistické znaky. 

základní soubor (populace) – soubor všech statistských prvků daných výčtem, nebo vymezením některých společných vlastností.



výběrový soubor – část jednotek základního souboru

Rozsah souboru – počet statistických jednotek ve statistickém souboru. Bývá označován písmenem n.

Základní definice 3 

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter



Číselné údaje o hromadných jevech



Praktická činnost spočívající ve sběru, zpracování a vyhodnocování statistických údajů.



Teoretická disciplína, která se zabývá metodami sloužícími k popisu a odhalování zákonitostí při působení podstatných, relativně stálých činitelů na hromadné jevy.

Klasifikace statistických znaků Statistické znaky

Kvantitativní - číselná

Diskrétní - celočíselná

Kvalitativní – kategoriální

Spojité - libovolné hodnoty z intervalu

Nominální - slovní

Obr. 2 Zdroj: Hindls, R., Hronová, S.,Seger, J., Statistika pro ekonomy, Professional Publishing, Praha, 2007

Ordinální - pořadové

Klasifikace statistických znaků 

Kvantitativní - nabývají číselných hodnot (hmotnost, délka, pevnost, cena, doba, životnost) 

Diskrétní - nabývají pouze oddělených číselných hodnot (počet vad, kusová produkce apod.)



Spojité - nabývají všech hodnot z nějakého intervalu reálných čísel (rozměr výrobku, doba do poruchy, cenový index apod.)



Kvalitativní /kategoriální/ - většinou slovní, používá se kódování 

Nominální /slovní/ - nelze uspořádat dle stupně vlastnosti, hodnoty jsou buď jen stejné nebo rozdílné



Ordinální /pořadová/ - lze seřadit, nelze říci o kolík se liší



Dichotomická /alternativní/ - ano/ne

Statistické zjišťování /šetření/ - získávání hodnot proměnných u statistických jednotek, které tvoří statistický soubor

Etapy statistického zjišťování: 

Příprava statistického šetření  

co, kdo, kdy a jakým způsobem bude měřit rozhodný okamžik



přímé zjišťování, výkaz, rozhovor, dotazník



Provedení statistického šetření



Statistické zpracování zjištěných údajů /dat/ - souhrny, tabulky četnosti, grafy



Statistické vyhodnocování /analýza/



Publikace výsledků, prezentace

Příklad výkazu

Zdroj: archiv MŠMT, www.uiv.cz

Vzor publikace statistické ročenky

Obr.3 Zdroj: archiv MŠMT, www.uiv.cz

Statistické grafy, vizualizace dat

Obr.4 Zdroj: http://www.obt-volgograd.ru/product/bars_upr_region1/

Statistické grafy

Nezamšstnanost v %

Porovnání nezaměstnanosti ve Středočeském a Ústeckém kraji 19,00 18,00 17,00 16,00 15,00 14,00 13,00 12,00 11,00 10,00 9,00 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00

199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 201 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Česká republika 0,66 4,13 2,57 3,52 3,19 2,93 3,52 5,23 7,48 9,37 8,78 8,90 9,81 10,3 9,47 8,88 7,67 5,98 5,96 9,24 9,57 Středočeský 0,65 4,86 3,37 3,98 2,86 2,57 2,98 4,62 6,06 7,46 6,80 6,76 7,21 7,43 6,85 6,25 5,32 4,25 4,47 7,01 7,73 Ústecký 0,67 4,47 3,58 5,23 5,24 5,79 7,05 10,0 13,1 15,9 16,1 15,8 17,1 17,9 15,8 15,4 13,7 10,9 10,2 13,6 13,9

Statistické grafy, vizualizace dat Spojnicové a sloupkové grafy  Polygon četností (spojnicový graf) – vhodné zobrazení při srovnávání struktury různých souborů.  Sloupcový graf

Obr.5 Zdroj: Finanční analýza podnikové sféry za rok 2010, http://www.mpo.cz/dokument89407.html

Statistické grafy, sloupcový graf Vývoj podílu obézních mužů a žen na celkové populaci ČR 40

35

% celkové populace

30

17,5

25 13,6

16,1

Obézní ženy

20

Obézní muži 12,3

12,1

15

10 15 5

10,4

10,4

1993

1996

17,4 13,4

0 1999

2002

2008

Statistické grafy, vizualizace dat Histogram rozdělení četností – vhodný pro znázornění spojitých proměnných (intervalové rozdělení četností)

Obr.6 Zdroj:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f7/Population_pyramid_CZE_2007rel.png

Statistické grafy, vizualizace dat 

Bodové grafy - slouží ke znázornění závislostí mezi dvěma kvantitativními znaky (nebo průběhové časové řady) Vzor bodového grafu ze stránky Microsoft

Obr.7 Zdroj: http://technet.microsoft.com/cs-cz/library/dd207047.aspx

Statistické grafy, vizualizace dat 

Výsečové grafy

Vzor výsečového grafu ze stránky Microsoft

Obr.8 Zdroj: http://technet.microsoft.com/cs-cz/library/dd220426

Statistické grafy, výsečový graf Podíl využití jednotlivých verzí Android

Ice Cream Sandwich 26%

Honeycomb 2%

Jelly Bean 3% Другой 2% Eclair 3%

Gingerbread 54% Froyo 12%

Cupcake 0% Donut 0%

Statistické grafy, vizualizace dat Krabicový graf – slouží k zakreslení základních výběrových charakteristik kvantitativní proměnné, v jednom obrázku poskytuje informaci o maximální a minimální hodnotě v souboru naměřených hodnot, o mediánu a horním a dolním kvartilu tohoto souboru atd. Příklad: Porovnáme statistické údaje hmotnosti 10. kaprů v jedné kádi

xi = {1.4; 0.8; 1.2; 1.6; 2.3; 1.3; 1.3; 0.9; 1.5; 2.1}

Obr.9 Zdroj: http://vydavatelstvi.vscht.cz/knihy/uid_isbn-80-7080-569-2/pdf/012.pdf

Statistické grafy, vizualizace dat Tornádo a Pavoučí grafy (Spider analýza)

Obr.10 Zdroj: Ing. Ondřej Nowak, prezentace k přednášce Analýza rizika a finanční modelování , KPE FPH VŠE, 2011

Statistické grafy, spider-graf

Solvency ratio (%)

Liquidity ratio

Return on shareholders funds (%) ROE 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0,00 -10,00 -20,00 -30,00 -40,00

Return on capital employed (%) ROIC

Return on total assets (%) ROA

VOLKSWAGEN General Motors DAIMLER AG

BAYERISCHE MOTOREN WERKE Peugeot S.A. Profit margin (%) EAT/Sales ROS EAT

Current ratio (x)

EBIT Margin (%) EBIT/Sales

Interest cover (x) Net assets turnover

RENAULT ŠKODA Auto a.s. /součástí VW/

Statistické grafy, histogram Průměrná teplota a srážky v ČR 120

20 18

100

16

80

12 10

60 8 86

40

77

88

6 69

4

59 49 20

41

35

43

37

2 0

29 29 0

-2

Srážky

Průměrná teplota

Průměrná teplota v °C

Úhrn srážek v mm

14

Statistické grafy, vizualizace dat

Výroba motorů a plán výroby 14 12 10 8 6 4 2 0 37

38

39 Above Plan

40 Below Plan

41

42 Engine Input Plan

43

44

Statistické grafy, dashboard I&I

Turn-Around Time

0.6 0.8 0.9 0.5

Delinquent Engines

100%

8 6 4 2 0

1.1

0.3

1.2

0.2 0

Customer OTD

150 100

50%

1.4

0.4

1.5

50 0%

0

23 25 27 29 31 33 35 37 39

2324252627282930313233343536373839 CFM TAT

Delinquent Engines

GE90 TAT

Inventory (tis $)

Engine Inputs

$280 000

12 10 8 6 4 2 0

$80 000 -$120 000 23 25 27 29 31 33 35 37 39

23

Inventory

100%

25

27

29

31

Revenue QTD ($MM)

FTY

33

50% 0

H80 FTY

M601 FTY

49.5

640

80

720

236

37

39

66 82.5 99 560

160

35

OCPH YTD ($ per hr)

320 400 480 240

0%

OTD

800

115.5

33

132

16.5 0

148.5

96.

165

Základní pojmy, příklady Př.1

n

x

i

i 1

Základní pojmy, příklady Př.1

n

x  x  x i

i 1

1

2

 x3  ...  xn

Základní pojmy, příklady Př.1

n

x  x  x i

1

2

 x3  ...  xn

i 1

5

x  x  x i

i 1

1

2

 x3  x 4  x5

Základní pojmy, příklady Př.1

n

x

i

 x1  x 2  x3  ...  xn

i 1

5

x  x  x i

1

2

 x3  x 4  x5

i 1 8

x  x i

i 3

3

 x 4  x 5  x 6  x 7  x8

Základní pojmy, příklady Př.1 n

x  x  x i

1

2

 x3  ...  xn

i 1 5

x  x  x i

1

2

 x3  x 4  x5

i 1 8

x  x i

3

 x 4  x 5  x 6  x 7  x8

i 3

i

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 25 24 18 17 22 25 18 19 25

Základní pojmy, příklady Př.1 n

x  x  x i

1

2

 x3  ...  xn

i 1

5

5

x  x  x i

1

2

 x3  x 4  x5

x  i

i 1

i 1 8

x  x i

i 3

i

x

3

 x 4  x 5  x 6  x 7  x8

8

x  i

i 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 25 24 18 17 22 25 18 19 25

Základní pojmy, příklady Př.1 n

x  x  x i

1

2

 x3  ...  xn

i 1

5

5

x  x  x i

1

2

 x3  x 4  x5

x  i

106

i 1

i 1 8

x  x i

i 3

i

x

3

 x 4  x 5  x 6  x 7  x8

8

x  i

i 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 25 24 18 17 22 25 18 19 25

Základní pojmy, příklady Př.1 n

x  x  x i

1

2

 x3  ...  xn

i 1

5

5

x  x  x i

1

2

 x3  x 4  x5

x  i

106

i 1

i 1 8

x  x i

i 3

i

x

3

 x 4  x 5  x 6  x 7  x8

8

x  i

119

i 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 25 24 18 17 22 25 18 19 25

Př.2

Rozdělení četností Tab 1.1 Rozdělení četností, pravidlo Četnost

Varianta znaku Xi

Kumulativní četnost

Absolutní ni

Relativní pi

Absolutní

Relativní

n1 n2 … nk

p1 p2 … pk

n1 n1+n2 …

p1 p1 +p2 …

k

 ni  n

 p 1

x

x

x1 x2 … xk

i 1

k

 ni  n

Celkem

i 1

k

 p 1 i

k

i

i 1

i 1

• Podává informaci o počtu (četnosti) výskytu jednotlivých variant znaku v souboru • Absolutní/relativní četnosti k ni

pi 

k

 ni i 1

ni 1 k 1 pi     ni  n  1  i 1 n n i 1 n i 1 k

Rozdělení četností, četností příklad Př. 1.1 Z personálního oddělení průmyslového podniku jsme získali údaje o zařazení do tarifních tříd v souboru 75 pracovníků. Údaje jsou v tabulce 1.2

Zdroj: Hindls, R., Hronová, S.,Seger, J., Statistika pro ekonomy, Professional Publishing, Praha, 2007

Rozdělení četností, příklad

Rozdělení četností, příklad

Příklady

Zdroj: Jarošová, E.,Marek, L., Statistika pro ekonomy, II vydání, 2007

a) Typ domácnosti

Četnost

Varianta znaku Z Absolutní ni

Celkem

Relativní pi

a) Typ domácnosti

Četnost

Varianta znaku Z

Zaměstnanecká jiná

Celkem

Absolutní ni

Relativní pi

13

0,42

18

0,58

31

1,00

b) Počet členů domácnosti Četnost

Varianta znaku Absolutní ni

1 2 3 4 5 6

Celkem

Kumulativní četnost Relativní pi

Absolutní

Relativní

b) Počet členů domácnosti Četnost

Varianta znaku

Kumulativní četnost

Absolutní ni

Relativní pi

Absolutní

Relativní

1 2 3 4 5 6

3 6 4 10 5 3

0,0968 0,1935 0,1290 0,3226 0,1613 0,0968

3 9 13 23 28 31

0,0968 0,2903 0,4194 0,7419 0,9032 1,000

Celkem

31

1,0000

x

x

c) Měsíční výdaje domácnosti za potraviny Interval pro měsíční výdaje za potraviny

3000 a méně 3001 – 4000 4001 – 5000 5001 – 6000 6001 – 7000 7001 – 8000 8001 a více

Celkem

Četnost Absolutní ni

Kumulativní četnost Relativní pi

Absolutní

Relativní

c) Měsíční výdaje domácnosti za potraviny Četnost

Kumulativní četnost

Interval pro měsíční výdaje za potraviny

Absolutní ni

Relativní pi

Absolutní

Relativní

3000 a méně 3001 – 4000 4001 – 5000 5001 – 6000 6001 – 7000 7001 – 8000 8001 a více

3 5 6 5 8 2 2

0,0968 0,1613 0,1935 0,1613 0,2581 0,0645 0,0645

3 8 14 19 27 29 31

0,0968 0,2581 0,4516 0,6129 0,8710 0,9355 1,0000

Celkem

31

1,0000

x

x

Souhrnné charakteristiky Problém s průměry

Obr.11 Zdroj: SAVAGE, S. L.; DANZIGER, J.: The Flaw of Averages: Why We Underestimate Risk in the Face of Uncertainty. New York : John Wiley & Sons, 2009

Souhrnné charakteristiky Potíže, které má mnoho inteligentních lidí se sčítáním, jsou nekonečné. M. Greenwood

• Míry polohy – určují typické rozložení hodnot souboru • Střední hodnoty • Kvantily • Míry variability – určují variabilitu (rozptyl) hodnot kolem své typické hodnoty • Absolutní • Relativní • Šikmost • Špičatost

Histogram

 

Graf četností Četnost jednotlivých hodnot Četnost intervalu hodnot Histogram 6

5

5 Četnost



4

4 3 2 1

2 1

0 1

2

3

Hodnota

4

Souhrnné charakteristiky Příklad Rozdělení chlapců ve věku 9,5-10 let podle tělesné výšky (délka třídního intervalu 5 cm)

Střed třídy xi

Absolutní četnost ni

Relativní četnost ni /n

Kumulativní absolutní četnost

Kumulativní relativní četnost

120

13

0,0040

13

0,0040

125

95

0,0294

108

0,0334

130

414

0,1281

522

0,1615

135

880

0,2724

1402

0,4339

140

1013

0,3135

2415

0,7474

145

582

0,1801

2997

0,9275

150

199

0,0616

3196

0,9891

155

29

0,0090

3225

0,9981

160

6

0,0019

3231

1,0000

3231

1,0000

-

Celkem

-

Souhrnné charakteristiky

Histogram výběrového rozdělení tělesné výšky 3231 chlapců ve věku 9,5-10 let (délka třídního intervalu 5 cm) a teoretická hustota normálního rozdělení

Souhrnné charakteristiky Míry polohy 

Aritmetický průměr - součet hodnot dělený jejich počtem. Průměr (aritmetický průměr) používáme, když čísla můžeme opravdu

sčítat, tj. znaky jsou kvantitativní, měřené na číselné stupnici. k

x

k

i

X

i 1

n

prostý tvar

 x *n i

X

i 1

k

 ni i 1

i

k

X   xi * pi i 1

vážený tvar

Příklad: Vypočtěte průměr následujících výsledků vyšetření: 39, 42, 73, 67, 24, 55.

Souhrnné charakteristiky Míry polohy 

Aritmetický průměr - součet hodnot dělený jejich počtem. Průměr (aritmetický průměr) používáme, když čísla můžeme opravdu

sčítat, tj. znaky jsou kvantitativní, měřené na číselné stupnici. k

x

k

i

X

i 1

n

prostý tvar

 x *n i

X

i 1

k

 ni i 1

i

k

X   xi * pi i 1

vážený tvar

Příklad 1: Vypočtěte průměr následujících výsledků vyšetření: 39, 42, 73, 67, 24, 55. Řešení: Součet pozorování je 300. Počet pozorování je 6. Průměrem je podíl 300/6 = 50.

Souhrnné charakteristiky Míry polohy Příklad 2: Rozdělení chlapců ve věku 9,5-10 let. Aritmetický průměr vážený pro n = 3231, k = 9 a

k

 x * n  447570 i

i 1

k

 x *n i

X

i

i 1

k

n

i

i 1



i

Souhrnné charakteristiky Míry polohy Příklad 2: Rozdělení chlapců ve věku 9,5-10 let. Aritmetický průměr vážený pro n = 3231, k = 9 a

k

 x * n  447570 i

i 1

k

 x *n i

X

i

i 1

k

n

i

i 1

447570   138,52 3231

i

Souhrnné charakteristiky Míry polohy Geometrický průměr - n-tá odmocnina ze součinu kladných hodnot. Využívá se k výpočtu průměrného růstu XG 

k

n

x

ni

i

 x n

n1 1

*x

n2

i 1

prostý tvar

2

* ... * x

nk

k

XG  n

n

x

i

 n x1 * x 2 * ... * xn

i 1

vážený tvar

Příklad 3: Spočtěte geometrický průměr z následujících pěti hodnot: 4, 8, 16, 16 a 64 a)

5

4 * 8 *16 *16 * 64  5

aritm.průměr 21,6

Souhrnné charakteristiky Míry polohy Geometrický průměr - n-tá odmocnina ze součinu kladných hodnot. Využívá se k výpočtu průměrného růstu XG 

k

n

x

ni

i

 x n

n1 1

*x

n2

2

* ... * x

nk

k

XG  n

i 1

prostý tvar

n

x

i

 n x1 * x 2 * ... * xn

i 1

vážený tvar

Příklad 3: Spočtěte geometrický průměr z následujících pěti hodnot: 4, 8, 16, 16 a 64 aritm.průměr 21,6 4 * 8 *16 *16 * 64  5 524288  13,929 1 n log XG  *  log xi b) Zjednodušení postupu: , logaritmus geometrického n i 1 a)

5

průměru je roven průměru zlogaritmovaných pozorování. Zlogaritmováním zjištěných hodnot dostaneme čísla 0,60, 0,90, 1,20, 1,20 a 1,81. Jejich aritmetický průměr je 1,142. 101,142  13,9

Odlogaritmováním této hodnoty průměru jako 13,9.

dostaneme hodnotu geometrického

Souhrnné charakteristiky Míry polohy Harmonický průměr - počet hodnot proměnné dělený součtem jednotlivých obrácených hodnot. Hodnota, obracená aritmetickému průměru obracených hodnot původních dat. Využití v případech, kdy pracujeme s proměnnou vyjadřující relativní změny (např. průměrná rychlost, průměrná délka potřebná ke splnění určitého úkonu).

XH



n k

1  i 1 xi

prostý tvar

XH



k

n

1 k

 i 1

pi xi

vážený tvar

XH



i

i 1 k

ni  i 1 xi

Příklad 3: Spočtěte harmonický průměr z následujících pěti hodnot: 4, 8, 16, 16 a 64

XH 

5  9,69 1 1 1 1 1     4 8 16 16 64

Souhrnné charakteristiky Míry polohy

 X

Modus - nejčastěji se vyskytující kategorie sledované proměnné ve vztahu k nejbližšímu okolí Příklad 4: Co je modus v následujících výsledcích zjišťování krevních skupin: A, 0, 0, B, B, AB, A, A, 0, 0, 0, AB, B, 0, B, A, 0, AB, 0, 0, B, 0, A?

krevní skupina

A B AB 0

četnost výskytu

Souhrnné charakteristiky Míry polohy

 Modus X - nejčastěji se vyskytující kategorie sledované proměnné ve vztahu k nejbližšímu okolí Příklad 4: Co je modus v následujících výsledcích zjišťování krevních skupin: A, 0, 0, B, B, AB, A, A, 0, 0, 0, AB, B, 0, B, A, 0, AB, 0, 0, B, 0, A?

krevní skupina

četnost výskytu

A

5

B

5

AB

3

0

10

Souhrnné charakteristiky Míry polohy Medián

~ X

Máme-li pozorování uspořádána vzestupně nebo sestupně, potom medián je ta hodnota, která rozdělí pozorování na dvě stejně velké skupiny. Přesněji řečeno, máme-li lichý počet uspořádaných pozorování, pak mediánem je prostřední z nich. U sudého počtu se mediánem rozumí obvykle průměr ze dvou prostředních pozorování. Medián využívá pouze informaci o pořadí hodnot, a proto ho má smysl používat pouze pro kvantitativní a ordinální veličiny. Příklad 5: Co je mediánem následujících výsledků vyšetření: 61, 49, 35, 74, 53, 82? Řešení: Uspořádejme pozorování vzestupně: 35, 49, 53, 61, 74, 82. Mediánem je průměr z hodnot 53 a 61, tj. (53 + 61)/2 = 57

Souhrnné charakteristiky Míry polohy p-procentní kvantil Určení pořadí jednotky 1) Datový soubor uspořádáme vzestupně podle velikosti 2) Seřazeným pozorováním přiřadíme pořadí od 1 do n 3) p%-ní kvantil je potom roven pozorování s pořadím zp

p p n*  Zp  n * 1 ~ 100 100 X pojmenované kvantily

• kvartily (25%, 50% a 75% kvantily) • decily (10%, 20%, ..., 90% kvantily) • percentily (1%, 2%, ..., 99% kvantily)

Souhrnné charakteristiky Příklad 6: Porovnáme statistické údaje hmotnosti 10. kaprů v jedné kádi

xi = {1.4; 0.8; 1.2; 1.6; 2.3; 1.3; 1.3; 0.9; 1.5; 2.1} Medián hmotnosti kapru je Konce dolního a horního fousu jsou (nejmenší hodnota vůbec) Největší hodnota Aritmetický průměr Kvartily jsou Mezikvartilové rozpětí Zdroj: http://vydavatelstvi.vscht.cz/knihy/uid_isbn-80-7080-569-2/pdf/012.pdf

Souhrnné charakteristiky Příklad: Porovnáme statistické údaje hmotnosti 10. kaprů v jedné kádi

xi = {1.4; 0.8; 1.2; 1.6; 2.3; 1.3; 1.3; 0.9; 1.5; 2.1} Medián hmotnosti kapru je 1,35 Konce dolního a horního fousu jsou (nejmenší a největší hodnota) 0,8 a 2,1 Největší hodnota 2,3 odlehlá Aritmetický průměr 1,4 Kvartily jsou 1,2 a 1,6 Mezikvartilové rozpětí 0,4 Zdroj: http://vydavatelstvi.vscht.cz/knihy/uid_isbn-80-7080-569-2/pdf/012.pdf

Souhrnné charakteristiky Míry variability Absolutní míry variability Variační rozpětí R - rozdíl největší a nejmenší hodnoty znaku

R  X max  X min Rozptyl - průměr čtverců odchylek jednotlivých hodnot znaku od jeho aritmetického průměru n

S

2 X



2 ( x i  x )  i 1

prostý tvar

n

Souhrnné charakteristiky Míry variability Absolutní míry variability - rozptyl n

S x2 

2 ( x  x ) * ni  i i 1

k

n i 1

i

k   2 x * n x * n    i i i i   i 1  S x2  x 2  x 2  i 1 k  k  ni   ni   i 1  i 1  n

vážený tvar

Souhrnné charakteristiky Míry variability Absolutní míry variability Směrodatná odchylka - druhá odmocnina z rozptylu. Uvedena ve stejných jednotkách jako zkoumaný statistický znak.

Sx  S

2 x

Souhrnné charakteristiky Míry variability Relativní míry variability Variační koeficient - podíl směrodatné odchylky a aritmetického průměru sledované proměnné.

Sx Vx  x Bezrozměrný, vyjadřuje relativní míru variability. Pro porovnání variability proměnných vyjádřených v různých jednotkách

Souhrnné charakteristiky Příklad

Zdroj: Simulační nástroj Profeta Risk Analyzer

Souhrnné charakteristiky Příklad Navštívili jsme dvě restaurace a sledovali počet objednaných jídel v průběhu stejného časového úseku. V první restauraci bylo objednáno

během pěti hodin: 1,1,2,1,10 a ve druhé: 2,4,3,4,2. Pro každou restauraci spočítejte následující míry: 1. Průměr 2. Medián 3. Rozptyl 4. Variační rozpětí 5. Variační koeficient Výsledky porovnejte a interpretujte

Souhrnné charakteristiky Výsledky 1

Souhrnné charakteristiky Výsledky 2

Souhrnné charakteristiky Rozklad rozptylu Máme-li datový soubor, který je rozdělen na skupiny a jsou-li zadané skupinové četnosti, skupinové průměry a skupinové rozptyly, počítáme celkový rozptyl pomocí rozkladu rozptylu na meziskupinovou a vnitroskupinovou variabilitu.

Souhrnné charakteristiky Rozklad rozptylu - vzorec Pokud máme statistický soubor o n jednotek rozdělen do k dílčích podsouborů, kde známe dílčí rozptyly, dílčí průměry a dílčí četnosti, potom rozptyl celého souboru je dán součtem rozptylu skupinových průměrů a průměrů ze skupinových rozptylů.

Souhrnné charakteristiky Rozklad rozptylu - příklad Dvě restaurace nabízejí v rámci polední nabídky hotová jídla. Restaurace číslo 1 prodala za měsíc 2000 hotových jídel, za průměrnou cenu 75 Kč, cena má směrodatnou odchylku 5. Restaurace číslo 2 prodala za měsíc 1500 hotových jídel za průměrnou cenu 85 Kč, cena má směrodatnou odchylku 10 Kč. Jaký je variační koeficient ceny hotových jídel za obě cukrárny? Zajímá nás, jak variabilita ceny hotových jídel kolísá během měsíce.

Souhrnné charakteristiky Rozklad rozptylu – příklad Výsledky

Souhrnné charakteristiky Rozklad rozptylu - příklad

Souhrnné charakteristiky Šikmost a špičatost Charakteristika šikmosti – popisuje soubor hodnot sledované proměnné z hlediska koncentrace malých a velkých hodnot sledované proměnné v porovnání se symetrickým rozdělením četností.

a) Pokud je koeficient šikmosti kladný = větší koncentrace malých hodnot v souboru. b) Pokud je koeficient šikmosti záporný = větší koncentrace velkých hodnot v souboru. c) Pokud je koeficient šikmosti roven nule = rozdělení hodnot je symetrické.

Zdroj: Mandelbrot, B. a Richard, L. H.: The Misbehavior of Markets: A Fractal View of Financial Turbulence. Basic Books, 2006.

Popisná statistika v Excelu Každá funkce v Excelu má své klíčové slovo. Průvodce funkcí (tlačítko fx na začátku stavového řádku). Je třeba zadat do závorky z čeho má být příslušná funkce počítána. Funkce pro popisnou statistiku

POPISNÁ CHARAKTERISTIKA NÁZEV FUNKCE V EXCELU

Rozsah souboru

=POČET

Aritmetický průměr

=PRŮMĚR

Harmonický průměr

=HARMEAN

Geometrický průměr

=GEOMEAN

Modus

=MODE

Medián

=MEDIAN

25 % kvartil

=PERCENTIL

Součet hodnot

=SUMA

Rozptyl

=VAR

Výběrový rozptyl

=VAR.VÝBĚR

Směrodatná odchylka

=SMODCH

Výběrová směrodatná odchylka

=SMODCH.VÝBĚR

Maximum

=MAX

Minimum

=MIN

Šikmost

=SKEW

Špičatost

=KURT

Souhrnné charakteristiky Šikmost a špičatost Charakteristika špičatosti – popisuje soubor hodnot sledované proměnné z hlediska koncentrace hodnot v souboru kolem střední hodnoty (v porovnání s tzv. Gaussovou křivkou). Čím je hodnota koeficientu špičatosti vyšší, tím je rozdělení četností strmější a v souboru je vyšší koncentrace hodnot blízkých střední hodnotě.

Zdroj: Mandelbrot, B. a Richard, L. H.: The Misbehavior of Markets: A Fractal View of Financial Turbulence. Basic Books, 2006.

Vlastností aritmetického průměru

1. 2. 3.

4. 5. 6. 7.

𝑛 𝑖=1

𝑥𝑖 − 𝑥 = 0 𝑘=𝑘 𝑥∗𝑘 =𝑥∗𝑘 𝑥 + 𝑘 = 𝑥 +k 𝑛 2 𝑥 − 𝑥 < 𝑖=1 𝑖 𝑥±𝑦 =𝑥±𝑦 𝑥𝐻 ≤ 𝑥𝐺 ≤ 𝑥

𝑛 𝑖=1

𝑥𝑖 − 𝑎

2

Výpočet váženého aritmetického průměru 

Příklad 1.1 Tarifní třída dělníků 𝒙 𝒊 ∗ 𝒏í 6 44 95 162

112 419



𝑥=

419 75

= 5,6

Grafy 

Polygon rozdělení četností

Kvantily 





Kvantil – hodnota, která rozděluje soubor hodnot statistických znaků na 2 části, p % hodnot menších nebo rovných hodnotě p% kvantilu a (100-p) % větších p% kvantilu. Hodnoty menší, než ta, co leží na kvantilu, tvoří stanovenou část rozsahu souboru. 𝑍𝑝 – pořadové číslo jednotky

p p n*  Zp  n * 1 100 100

Příklady Kvantily Příklad 1.1 Počet odpracovaných hodin, n=75 pracovníků. 25% kvantil

𝑥0,25 : 75 ∗

25 100

< 𝑍𝑝 < 75 ∗

25 100

+1

18,75 < Zp < 19,75 Zp = 19 =≫ 𝑥0,25 leží v intervalu 160-180, střed 170

Výpočet kvantilu na intervalovém rozdělení četnosti 𝑧𝑝−𝑛1 𝑥𝑝 = ∗ ℎ𝑝 + 𝑎𝑝 , 𝑛2 𝑍𝑝 = n ∗ p + 0,5 Zp – pořadové číslo jednotky, jejíž hodnota bude hledaný kvantil. n – rozsah souboru p – relativní četnost hodnot 𝑛1 − kumulativní četnost jednotek ležících před kvantilovým intervalem 𝑛2 −četnost intervalu, v němž leží hledaný kvantil hp – délka kvantilového intervalu ap – dolní hranici kvantilového intervalu

Výpočet mediánu na intervalovém rozdělení četnosti c) Měsíční výdaje domácností za potraviny Četnost

Kumulativní četnost

Interval pro měsíční výdaje za potraviny

Absolutní ni

Relativní pi

Absolutní

Relativní

3000 a méně 3001 – 4000 4001 – 5000 5001 – 6000 6001 – 7000 7001 – 8000 8001 a více

3 5 6 5 8 2 2

0,0968 0,1613 0,1935 0,1613 0,2581 0,0645 0,0645

3 8 14 19 27 29 31

0,0968 0,2581 0,4516 0,6129 0,8710 0,9355 1,0000

Celkem

31

1,0000

x

x



𝑍0,25 = 31 ∗ 0,25 + 0,5 = 8,25



𝑥0,25 =



𝑍0,5 = 31 ∗ 0,5 + 0,5 = 16



𝑥=

8,25−3 ∗ 5

16−14 ∗ 5

1000 + 3001 = 4051

1000 + 5001 =5401

Míry absolutní variability Rozptyl Míra variability, která současně měří variabilitu kolem aritmetického průměru a variabilitu přes vzájemné odchylky jednotlivých hodnot znaků je rozptyl.

Rozptyl – průměr čtverců odchylek jednotlivých hodnot od jejích aritmetického průměru.

Výpočet rozptylu 𝒏 𝒊=𝟏

𝒙𝒊 −𝒙 𝟐 = - základní tvar, definice 𝒏 𝑛 2 − 2𝑥 𝑛 𝑥 + 𝑛𝑥 2 𝑛 2 𝑥 − 𝑥 = 𝑥 𝑖 𝑖=1 𝑖=1 𝑖 𝑖=1 𝑖

𝑺𝟐𝒙

Výpočtové tvary rozptylu 1.

𝑺𝟐𝒙 =

2.

𝑺𝟐𝒙

3.

𝑺𝟐𝒙

𝒙𝒊 𝟐 𝒏

−

= 𝒙𝟐 − 𝒙𝟐

𝒙𝒊 𝟐 −𝒏∗𝒙𝟐

= =

𝒙𝒊 𝟐 𝒏

𝒏 𝟏 𝒏

𝟐

𝟏 𝒏

𝒙𝒊 − ∗

𝒙𝒊

𝟐

Výpočet rozptylu příklad

V tabulce jsou údaje o tydenních mzdách ve dvou dílnách. Prorvnáme variabilitu v obou dílnách výpočtem rozptylu ve tvaru (1)

2

𝑆𝑥 =

100220862 12

−

2

112820518 12

−

𝑆𝑥 =

34246 2 12 36500 2 12

= 207375,708 – I dílna = 149971,694 – II dílna

𝑆𝑥 2 𝐼 > 𝑆𝑥 2 𝐼𝐼

Směrodatná odchylka 𝑆𝑥 = S1= 207375 = 455,4

𝑆𝑥 2 =

𝒏 𝒊=𝟏

𝒙𝒊 −𝒙 𝒏

𝟐

S2= 149971 = 387,3

Výpočet rozptylu ve váženém tvaru

2

𝑆𝑥 =

5407 33

−

359 33

= 45,5

Vlastnosti rozptylu 1. 2. 3. 4.

𝑆𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 2 =0 𝑆𝑥+𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 2 =𝑆𝑥 2 𝑆𝑥∗𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 2 =𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 2 ∗ 𝑆𝑥 2 𝑆𝑥±𝑦 2 = 𝑆𝑥 2 +𝑆𝑦 2 ± 2 ∗ 𝑆𝑥𝑦 , kde 𝑆𝑥𝑦 - kovariance dvou proměnných charakterizuje jejích vzájemnou závislost 𝑛

5.

1 𝑆𝑥𝑦 = 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑛 𝑖=1 Rozklad rozptylu

𝑦𝑖 − 𝑦 =

𝑥𝑖 ∗ 𝑦𝑖 −𝑥∗𝑦 =𝑥∗𝑦−𝑥∗𝑦 𝑛 2

𝑆𝑥 2 = 𝑆𝑥 + 𝑆𝑥

Variabilita uvnitř skupiny, dílčí rozptyly

2

Variabilita mezi skupinami, dílčí průměry

Příklad Rozklad rozptylu

Příklad Variační rozpětí

2. Teorie pravděpodobnosti 

Náhodná veličina – X, Y, Z 



 



spojitá nespojitá

Náhodný jev – x, y, z Zákon rozdělení náhodné veličiny – pravidlo, které každé hodnotě přiřadí pravděpodobnost její výskytu Pravděpodobnostní funkce - nejjednodušší forma vyjádření zákonu rozdělení, pravděpodobnost, že diskrétní veličina X nabude hodnoty právě x.

𝑃 𝑥 =𝑃 𝑋=𝑥 2.

0≤𝑃 𝑥 ≤1 𝑥𝑃 𝑥 = 1

3.

𝑃 𝑥1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥2 =

1.

𝑥2 𝑥=𝑥1 𝑃

𝑥

Distribuční funkce je forma popisu spojité a nespojité náhodné veličiny, pravděpodobnost, že veličina X nabude hodnoty nejvýše x.

Hustota pravděpodobnosti

𝑓 𝑥 = 𝐹′(𝑥)

Charakteristiky náhodné veličiny

  



Střední, očekávaná hodnota Rozptyl Směrodatná odchylka Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny, obdobně jako rozdělení četností, mají svoje charakteristické vlastnosti: polohu, variabilitu, šikmost a špičatost

Rozdělení diskrétních veličin Sledováním nebo měřením náhodné veličiny lze určit rozdělení četností (např. relativních četností) naměřených hodnot. Můžeme ale také uvažovat rozdělení pravděpodobností hodnot náhodné veličiny Alternativní, Geometrické rozdělení – hod kostky 𝑷 𝟎 = 𝟏 − 𝝅; 𝑷 𝟏 = 𝝅; 𝐄 𝐱 = 𝛑; 𝑫 𝒙 = 𝝅(𝟏 − 𝝅)

Poissonovo rozdělení s parametrem 𝝀 >0 – pepř v polívce 𝑬 𝒙 = 𝝀; 𝑫 𝒙 = 𝝀

Binomické rozdělení – hod minci 𝐸 𝑥 = 𝑛𝜋, 𝐷 𝑥 = 𝑛𝜋(1 − 𝜋) Hypergeometrické rozdělení – kontrola kvality součástek, nevíme předem kolik z toho jsou zmetky

Rozdělení spojitých veličin 

Rovnoměrné



Normální Laplaceovo – Gaussovo 𝐸 𝑥 =𝜇

𝐷 𝑥 = 𝜎2



Trojúhelníkové



Lognormální

Normální rozdělení 





Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Charakterizováno střední hodnotou a směrodatnou odchylkou Normované normální rozdělení  

Střední hodnota = 0 Směrodatná odchylka = 1

3. Teorie odhadu Odhadování vlastností (parametrů) celého základního souboru (populace) na základě výběrového souboru a jeho výběrových charakteristik je zevšeobecňující

úsudek Předpokladem zobecňujících úsudků je náhodný výběr při získávání jednotek do výběrového souboru (losování, výběr pomocí tabulek náhodných čísel, systematický výběr).

K odhadu charakteristiky nelze využít jakoukoliv charakteristiku, ale takovou, která splňuje určitá kritéria.

Kritéria použití charakteristiky k odhadu

1) Nestrannost = zvolená statistika by neměla vést k systematickému nadhodnocování nebo podhodnocování odhadované charakteristiky (zkreslení)

2) Konzistence = s rostoucím rozsahem výběru by se měl odhad charakteristiky blížit hodnotě charakteristiky základního souboru

3) Vydatnost = velikost rozptylu (čím nižší hodnoty rozptylu výběrové charakteristiky, tím menší zkreslení odhadu základní charakteristiky)

4) Dostatečnost = mimo výběrové statistiky neexistuje žádná jiná statistika, která by poskytovala další doplňující informace o odhadované charakteristice základního souboru

Bodový odhad Odhadované charakteristiky

Základní soubor sigma 𝜎, mi 𝜇,

pi π

Bodový odhad

Intervalový odhad intervalový odhad je interval, který bude s vysokou pravděpodobností obsahovat skutečnou hodnotu odhadované charakteristiky základního  

souboru charakteristiky odhadované intervalový odhad = interval, který bude s vysokou pravděpodobností obsahovat skutečnou hodnotu odhadované charakteristiky základního souboru  

základní střední hodnota při známém základním rozptylu

Příklad

Výsledek

Příklad 2

Výsledek

Časové řady časová řada: posloupnost hodnot sledovaného ukazatele, která je uspořádána v čase.

Příklad

Výsledek

Dekompozice časové řady

Typy trendů

Lineární trend s prognózou Pohyb cen akcí VW s porgnózováním lineární trend 170 y = 0,0399x - 1513,6 R² = 0,3956

160 150 140 130 120 110 100

90 80

Pohyb cen akcí VW

Линейная (Pohyb cen akcí VW)

Další trendové křivky Pohyb cen akcí VW s porgnózováním 170

y = 2E-07x3 - 0,0212x2 + 859,84x - 1E+07 R² = 0,5399

160 150

y = 0,0399x - 1513,6 R² = 0,3956

140 130 120

110 100 90 80

Pohyb cen akcí VW

Линейная (Pohyb cen akcí VW)

Полиномиальная (Pohyb cen akcí VW)

Příklad

Výsledek

Klouzavé průměry

Praktické využití klouzavých průměrů Price VW zkrácená řada každá třetí 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80

Price VW zkrácená řada každá třetí

Klouzavý průměr 5

Trendová analýza na finančním trhu Býčí a medvědí trend na finančním trhu: Klouzavé průměr y 5 – 10 období nebo 12 - 24

Price VW Volume 3.11.2012

3.10.2012

3.9.2012

3.8.2012

3.7.2012

3.6.2012

3.5.2012

3.4.2012

3.3.2012

3.2.2012

3.1.2012

3.12.2011

3.11.2011

3.10.2011

3.9.2011

3.8.2011

3.7.2011

3.6.2011

3.5.2011

3.4.2011

3.3.2011

3.2.2011

3.1.2011

Skutečné prodeje Prodej akcí VW

180 25000

160

140 20000

120

100 15000

80

10000

60

40 5000

20

0 0

4. Indexní analýza

Indexní analýza

Index

– bezrozměrné číslo vyjadřující změnu sledovaného ukazatele mezi dvěma obdobími nebo místech srovnání v relativním vyjádření

𝐼

Diference – absolutní rozdíl, číslo vyjadřující změnu sledovaného ukazatele mezi dvěma obdobími nebo místech srovnání (ve stejných

měrných jednotkách jako sledovaný ukazatel) Δ     

bazický index versus řetězový index individuální indexy souhrnné (cenové a množstevní) jednoduché (p,q,Q) a složené (Σq,ΣQ,ppr) Paascheho, Laspeyresův, Fisherův index

Bazické a řetězové indexy

Příklad

Řešení

Souhrnné indexy

Objemové indexy

Příklad

Řešení

5. Demografie

Demografická struktura

Pohyb obyvatel

Zahraniční a vnitřní migrace

6. Pojištění



Děkuji za pozornost