Matematika I
´ vod U Mgr. Iveta Cholevova´, Ph. D
[email protected] A 829, 597 324 146 Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D.
[email protected], A 837, 597 324 101 Mgr. Arnosˇt Zˇ´ıdek
[email protected], A 832, 597 324 177
Katedra matematiky a deskriptivnı´ geometrie mdg.vsb.cz
Matematika I
´ vod U Mgr. Iveta Cholevova´, Ph. D
[email protected] A 829, 597 324 146 Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D.
[email protected], A 837, 597 324 101 Mgr. Arnosˇt Zˇ´ıdek
[email protected], A 832, 597 324 177
Katedra matematiky a deskriptivnı´ geometrie mdg.vsb.cz/wiki
Znalosti ze strˇednı´ sˇkoly
Znalosti ze strˇednı´ sˇkoly 1. Funkce: vlastnosti, definicˇnı´ obor, funkce linea´rnı´, kvadraticka´, kubicka´, iraciona´lnı´, lomena´.
Znalosti ze strˇednı´ sˇkoly 1. Funkce: vlastnosti, definicˇnı´ obor, funkce linea´rnı´, kvadraticka´, kubicka´, iraciona´lnı´, lomena´. 2. Exponencia´lnı´ a logaritmicke´ funkce. Pravidla pro logaritmova´nı´, logaritmova´nı´ a odlogaritmova´nı´ vy´razu˚. Exponencia´lnı´ rovnice a nerovnice.
Znalosti ze strˇednı´ sˇkoly 1. Funkce: vlastnosti, definicˇnı´ obor, funkce linea´rnı´, kvadraticka´, kubicka´, iraciona´lnı´, lomena´. 2. Exponencia´lnı´ a logaritmicke´ funkce. Pravidla pro logaritmova´nı´, logaritmova´nı´ a odlogaritmova´nı´ vy´razu˚. Exponencia´lnı´ rovnice a nerovnice. 3. Goniometricke´ funkce, jejich grafy a hodnoty. Goniometricke´ rovnice a nerovnice.
Znalosti ze strˇednı´ sˇkoly 1. Funkce: vlastnosti, definicˇnı´ obor, funkce linea´rnı´, kvadraticka´, kubicka´, iraciona´lnı´, lomena´. 2. Exponencia´lnı´ a logaritmicke´ funkce. Pravidla pro logaritmova´nı´, logaritmova´nı´ a odlogaritmova´nı´ vy´razu˚. Exponencia´lnı´ rovnice a nerovnice. 3. Goniometricke´ funkce, jejich grafy a hodnoty. Goniometricke´ rovnice a nerovnice. ´ pravy algebraicky´ch vy´razu˚: mnohocˇleny, zlomky, mocniny, odmocniny. 4. U
Znalosti ze strˇednı´ sˇkoly 1. Funkce: vlastnosti, definicˇnı´ obor, funkce linea´rnı´, kvadraticka´, kubicka´, iraciona´lnı´, lomena´. 2. Exponencia´lnı´ a logaritmicke´ funkce. Pravidla pro logaritmova´nı´, logaritmova´nı´ a odlogaritmova´nı´ vy´razu˚. Exponencia´lnı´ rovnice a nerovnice. 3. Goniometricke´ funkce, jejich grafy a hodnoty. Goniometricke´ rovnice a nerovnice. ´ pravy algebraicky´ch vy´razu˚: mnohocˇleny, zlomky, mocniny, odmocniny. 4. U 5. Rovnice: linea´rnı´, linea´rnı´ s parametrem, kvadraticke´ (i v oboru komplexnı´ch cˇı´sel), iraciona´lnı´, soustavy dvou linea´rnı´ch rovnic o dvou nezna´my´ch
Znalosti ze strˇednı´ sˇkoly 1. Funkce: vlastnosti, definicˇnı´ obor, funkce linea´rnı´, kvadraticka´, kubicka´, iraciona´lnı´, lomena´. 2. Exponencia´lnı´ a logaritmicke´ funkce. Pravidla pro logaritmova´nı´, logaritmova´nı´ a odlogaritmova´nı´ vy´razu˚. Exponencia´lnı´ rovnice a nerovnice. 3. Goniometricke´ funkce, jejich grafy a hodnoty. Goniometricke´ rovnice a nerovnice. ´ pravy algebraicky´ch vy´razu˚: mnohocˇleny, zlomky, mocniny, odmocniny. 4. U 5. Rovnice: linea´rnı´, linea´rnı´ s parametrem, kvadraticke´ (i v oboru komplexnı´ch cˇı´sel), iraciona´lnı´, soustavy dvou linea´rnı´ch rovnic o dvou nezna´my´ch 6. Nerovnice: linea´rnı´, v soucˇinove´m a podı´love´m tvaru (rˇesˇenı´ pomocı´ nulovy´ch bodu˚), kvadraticke´, soustavy.
Znalosti ze strˇednı´ sˇkoly 1. Funkce: vlastnosti, definicˇnı´ obor, funkce linea´rnı´, kvadraticka´, kubicka´, iraciona´lnı´, lomena´. 2. Exponencia´lnı´ a logaritmicke´ funkce. Pravidla pro logaritmova´nı´, logaritmova´nı´ a odlogaritmova´nı´ vy´razu˚. Exponencia´lnı´ rovnice a nerovnice. 3. Goniometricke´ funkce, jejich grafy a hodnoty. Goniometricke´ rovnice a nerovnice. ´ pravy algebraicky´ch vy´razu˚: mnohocˇleny, zlomky, mocniny, odmocniny. 4. U 5. Rovnice: linea´rnı´, linea´rnı´ s parametrem, kvadraticke´ (i v oboru komplexnı´ch cˇı´sel), iraciona´lnı´, soustavy dvou linea´rnı´ch rovnic o dvou nezna´my´ch 6. Nerovnice: linea´rnı´, v soucˇinove´m a podı´love´m tvaru (rˇesˇenı´ pomocı´ nulovy´ch bodu˚), kvadraticke´, soustavy. 7. Absolutnı´ hodnota. Geometricky´ vy´znam absolutnı´ hodnoty. Rovnice a nerovnice s absolutnı´ hodnotou ( rˇesˇenı´ pomocı´ nulovy´ch bodu˚).
Znalosti ze strˇednı´ sˇkoly 1. Funkce: vlastnosti, definicˇnı´ obor, funkce linea´rnı´, kvadraticka´, kubicka´, iraciona´lnı´, lomena´. 2. Exponencia´lnı´ a logaritmicke´ funkce. Pravidla pro logaritmova´nı´, logaritmova´nı´ a odlogaritmova´nı´ vy´razu˚. Exponencia´lnı´ rovnice a nerovnice. 3. Goniometricke´ funkce, jejich grafy a hodnoty. Goniometricke´ rovnice a nerovnice. ´ pravy algebraicky´ch vy´razu˚: mnohocˇleny, zlomky, mocniny, odmocniny. 4. U 5. Rovnice: linea´rnı´, linea´rnı´ s parametrem, kvadraticke´ (i v oboru komplexnı´ch cˇı´sel), iraciona´lnı´, soustavy dvou linea´rnı´ch rovnic o dvou nezna´my´ch 6. Nerovnice: linea´rnı´, v soucˇinove´m a podı´love´m tvaru (rˇesˇenı´ pomocı´ nulovy´ch bodu˚), kvadraticke´, soustavy. 7. Absolutnı´ hodnota. Geometricky´ vy´znam absolutnı´ hodnoty. Rovnice a nerovnice s absolutnı´ hodnotou ( rˇesˇenı´ pomocı´ nulovy´ch bodu˚). 8. Analyticka´ geometrie v rovineˇ: vektory, prˇ´ımka - typy rovnic, graf, kruzˇnice - typy rovnic, urcˇenı´ strˇedu a polomeˇru doplneˇnı´m na cˇtverec.
Podmı´nky absolvova´nı´ prˇedmeˇtu
Podmı´nky absolvova´nı´ prˇedmeˇtu Za´pocˇet 1. u´cˇast ve cvicˇenı´, 20% neu´cˇasti lze omluvit, 2. odevzda´nı´ programu˚ zadany´ch vedoucı´m cvicˇenı´ v prˇedepsane´ u´praveˇ, 3. absolvova´nı´ dvou pı´semny´ch testu˚. Za splneˇnı´ podmı´nek zı´ska´ student 5 bodu˚. Za dva testy mu˚zˇe zı´skat student 0-15 bodu˚.
Celkem maxima´lneˇ 20 bodu˚.
Podmı´nky absolvova´nı´ prˇedmeˇtu Za´pocˇet 1. u´cˇast ve cvicˇenı´, 20% neu´cˇasti lze omluvit, 2. odevzda´nı´ programu˚ zadany´ch vedoucı´m cvicˇenı´ v prˇedepsane´ u´praveˇ, 3. absolvova´nı´ dvou pı´semny´ch testu˚. Za splneˇnı´ podmı´nek zı´ska´ student 5 bodu˚. Za dva testy mu˚zˇe zı´skat student 0-15 bodu˚.
Celkem maxima´lneˇ 20 bodu˚. Zkousˇka 1. zisk asponˇ 25 bodu˚ z 60 mozˇny´ch za pı´semnou cˇa´st, 2. zisk asponˇ 5 bodu˚ z 20 mozˇny´ch za u´stnı´ cˇa´st.
Celkem maxima´lneˇ 80 bodu˚.
Podmı´nky absolvova´nı´ prˇedmeˇtu Za´pocˇet 1. u´cˇast ve cvicˇenı´, 20% neu´cˇasti lze omluvit, 2. odevzda´nı´ programu˚ zadany´ch vedoucı´m cvicˇenı´ v prˇedepsane´ u´praveˇ, 3. absolvova´nı´ dvou pı´semny´ch testu˚. Za splneˇnı´ podmı´nek zı´ska´ student 5 bodu˚. Za dva testy mu˚zˇe zı´skat student 0-15 bodu˚.
Celkem maxima´lneˇ 20 bodu˚. Zkousˇka 1. zisk asponˇ 25 bodu˚ z 60 mozˇny´ch za pı´semnou cˇa´st, 2. zisk asponˇ 5 bodu˚ z 20 mozˇny´ch za u´stnı´ cˇa´st.
Celkem maxima´lneˇ 80 bodu˚. Soucˇet bodu˚ za za´pocˇet a zkousˇku musı´ by´t asponˇ 51 bodu˚ ze 100 mozˇny´ch. Zna´mka: Body:
nevyhoveˇl
dobrˇe
velmi dobrˇe
vy´borneˇ
0 - 50
51 - 65
66 - 85
86 - 100
Za´kladnı´ Literatura
Vrbenska´, H., Neˇmcˇı´kova´, J.: Za´klady matematiky pro bakala´rˇe I. ˇ B-TUO, Ostrava 1999 Skriptum VS
Za´kladnı´ Literatura
Vrbenska´, H., Neˇmcˇı´kova´, J.: Za´klady matematiky pro bakala´rˇe I. ˇ B-TUO, Ostrava 1999 Skriptum VS Vrbenska´, H., Beˇlohla´vkova´, J.: Za´klady matematiky pro bakala´rˇe II. ˇ B-TUO, Ostrava 1998. Skriptum VS
Za´kladnı´ Literatura
Vrbenska´, H., Neˇmcˇı´kova´, J.: Za´klady matematiky pro bakala´rˇe I. ˇ B-TUO, Ostrava 1999 Skriptum VS Vrbenska´, H., Beˇlohla´vkova´, J.: Za´klady matematiky pro bakala´rˇe II. ˇ B-TUO, Ostrava 1998. Skriptum VS Burda, P., Kreml, P.: Diferencia´lnı´ pocˇet funkcı´ jedne´ promeˇnne´. ˇ B-TUO, Ostrava 2004. Skriptum VS
Za´kladnı´ Literatura
Vrbenska´, H., Neˇmcˇı´kova´, J.: Za´klady matematiky pro bakala´rˇe I. ˇ B-TUO, Ostrava 1999 Skriptum VS Vrbenska´, H., Beˇlohla´vkova´, J.: Za´klady matematiky pro bakala´rˇe II. ˇ B-TUO, Ostrava 1998. Skriptum VS Burda, P., Kreml, P.: Diferencia´lnı´ pocˇet funkcı´ jedne´ promeˇnne´. ˇ B-TUO, Ostrava 2004. Skriptum VS studopory.vsb.cz/materialy.html ˇ B-TUO. Webove´ stra´nky VS
Za´kladnı´ Literatura
Vrbenska´, H., Neˇmcˇı´kova´, J.: Za´klady matematiky pro bakala´rˇe I. ˇ B-TUO, Ostrava 1999 Skriptum VS Vrbenska´, H., Beˇlohla´vkova´, J.: Za´klady matematiky pro bakala´rˇe II. ˇ B-TUO, Ostrava 1998. Skriptum VS Burda, P., Kreml, P.: Diferencia´lnı´ pocˇet funkcı´ jedne´ promeˇnne´. ˇ B-TUO, Ostrava 2004. Skriptum VS studopory.vsb.cz/materialy.html ˇ B-TUO. Webove´ stra´nky VS mdg.vsb.cz/wiki Webove´ stra´nky KMDG.
Pouzˇ´ıvana´ symbolika – matematicka´ logika
Logicke´ operace negace
¬p
p, q . . . vy´roky „ nikoliv p “ („ neplatı´ p “)
konjunkce
p∧q
„ p a za´rovenˇ q “
disjunkce
p∨q
„ p nebo q “
implikace
p⇒q
„ jestlizˇe p, potom q “ („ z p vyply´va´ q “)
ekvivalence
p⇔q
„ p pra´veˇ tehdy, kdyzˇ q “
Pouzˇ´ıvana´ symbolika – matematicka´ logika
Logicke´ operace ¬p
negace
p, q . . . vy´roky „ nikoliv p “ („ neplatı´ p “)
konjunkce
p∧q
„ p a za´rovenˇ q “
disjunkce
p∨q
„ p nebo q “
implikace
p⇒q
„ jestlizˇe p, potom q “ („ z p vyply´va´ q “)
ekvivalence
p⇔q
„ p pra´veˇ tehdy, kdyzˇ q “
Kvantifika´tory existencˇnı´
obecny´
∃
„ existuje “
∃!
„ existuje pra´veˇ jeden “
∀
„ pro vsˇechna “ („ kazˇdy´ “)
Pouzˇ´ıvana´ symbolika – mnozˇiny Vztah prvku a mnozˇiny
a . . . prvek, A, B . . . mnozˇiny
a∈A
„ a je prvkem A “
a 6∈ A
„ a nenı´ prvkem A “
Pouzˇ´ıvana´ symbolika – mnozˇiny Vztah prvku a mnozˇiny
a . . . prvek, A, B . . . mnozˇiny
a∈A
„ a je prvkem A “
a 6∈ A
„ a nenı´ prvkem A “
Vztahy mezi mnozˇinami rovnost
A=B
„ A rovna´ se B “
inkluze
A⊆B
„ A je podmnozˇinou B “
ostra´ inkluze
A⊂B
„ A je (vlastnı´) podmnozˇinou B “
Pouzˇ´ıvana´ symbolika – mnozˇiny Vztah prvku a mnozˇiny
a . . . prvek, A, B . . . mnozˇiny
a∈A
„ a je prvkem A “
a 6∈ A
„ a nenı´ prvkem A “
Vztahy mezi mnozˇinami rovnost
A=B
„ A rovna´ se B “
inkluze
A⊆B
„ A je podmnozˇinou B “
ostra´ inkluze
A⊂B
„ A je (vlastnı´) podmnozˇinou B “
Mnozˇinove´ operace sjednocenı´
A∪B
„ A sjednoceno s B “
pru˚nik
A∩B
„ A pru˚nik B “
rozdı´l
A\B
„ A mı´nus B “
karte´zsky´ soucˇin
A×B
„ A kra´t B “
doplneˇk
A
c
„ A komplement “
Pouzˇ´ıvana´ symbolika – mnozˇiny ∅ . . . pra´zdna´ mnozˇina
Mnozˇinove´ za´pisy {1, 2, a, b}
vy´cˇtem
{5, 6, 7, . . . }
„ mnozˇina o prvcı´ch 5, 6, 7 atd. “
{a ∈ A : a 6∈ B}
„ mnozˇina vsˇech prvku˚ a ∈ A takovy´ch, zˇe a 6∈ B “
{2k + 1 : k je liche´}
„ mnozˇina vsˇech prvku˚ ve tvaru 2k + 1, kde k je liche´ cˇı´slo “
neu´plny´m vy´cˇtem vlastnostı´
graficky´
„ mnozˇina o prvcı´ch 1, 2, a, b “
0
s
2
c
5
„ cˇı´sla mezi 2 (vcˇetneˇ) a 5 “
Pouzˇ´ıvana´ symbolika – mnozˇiny ∅ . . . pra´zdna´ mnozˇina
Mnozˇinove´ za´pisy {1, 2, a, b}
vy´cˇtem
{5, 6, 7, . . . }
„ mnozˇina o prvcı´ch 5, 6, 7 atd. “
{a ∈ A : a 6∈ B}
„ mnozˇina vsˇech prvku˚ a ∈ A takovy´ch, zˇe a 6∈ B “
{2k + 1 : k je liche´}
„ mnozˇina vsˇech prvku˚ ve tvaru 2k + 1, kde k je liche´ cˇı´slo “
neu´plny´m vy´cˇtem vlastnostı´
graficky´
„ mnozˇina o prvcı´ch 1, 2, a, b “
0
s
2
c
5
„ cˇı´sla mezi 2 (vcˇetneˇ) a 5 “
ˇ ´ıselne´ obory C N
{1, 2, 3, . . . }
N0
{0, 1, 2, 3, . . . }
cela´
Z
{. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }
raciona´lnı´
Q
rea´lna´
R
{. . . , − 13 , 0, 25 , 11 , 2, . . . } 12 √ √ −1 {. . . , − 2, −1 2 , 0, 32 , π, . . . }
komplexnı´
C
{. . . , −1, i, −1 + 2i, 0,
prˇirozena´ neza´porna´ cela´
√ 2 , πi, . . . } 3
Pouzˇ´ıvana´ symbolika – mnozˇiny ∅ . . . pra´zdna´ mnozˇina
Mnozˇinove´ za´pisy {1, 2, a, b}
vy´cˇtem
{5, 6, 7, . . . }
„ mnozˇina o prvcı´ch 5, 6, 7 atd. “
{a ∈ A : a 6∈ B}
„ mnozˇina vsˇech prvku˚ a ∈ A takovy´ch, zˇe a 6∈ B “
{2k + 1 : k je liche´}
„ mnozˇina vsˇech prvku˚ ve tvaru 2k + 1, kde k je liche´ cˇı´slo “
neu´plny´m vy´cˇtem vlastnostı´
graficky´ ˇ ´ıselne´ obory C
„ mnozˇina o prvcı´ch 1, 2, a, b “
0
s
2
c
5
„ cˇı´sla mezi 2 (vcˇetneˇ) a 5 “
N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C N
{1, 2, 3, . . . }
N0
{0, 1, 2, 3, . . . }
cela´
Z
{. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }
raciona´lnı´
Q
rea´lna´
R
{. . . , − 13 , 0, 25 , 11 , 2, . . . } 12 √ √ −1 {. . . , − 2, −1 2 , 0, 32 , π, . . . }
komplexnı´
C
{. . . , −1, i, −1 + 2i, 0,
prˇirozena´ neza´porna´ cela´
√ 2 , πi, . . . } 3
