Vysoké učení technické v Brně
Stavební fakulta
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE
Matematika AA01 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY
Jan Šafařík
Brno
c 2005
1
1 2 1 4 1 1 (1) Jsou dány matice A = 2 1 2 , B = −4 2 0 . Vypočtěte matici 1 2 3 1 2 1 AB − BA. −10 −4 −7 14 4 ] [ AB − BA = 6 −7 5 −4 3 2 1 −1 2 1 0 0 (2) Určete hodnost matice A = 0 1 −3 2 −2 0 3 0 [ h(A) = 4 ] (3) Gaussovou eliminační metodou řešte soustavu lineárních rovnic: x1 2x1 x1 x1
+ 2x2 + x2 − x2 + 2x2
− x3 + x3 − x3 + 2x3
− 2x4 + x4 + x4 − x4
= −2 = 8 = 1 = 4
[ (1; 2; 1; 3) ] 1 2 0 1 0 1 (4) Jsou dány matice A = 0 1 3 a B = 2 3 1 . Spočtěte A−1 , B −1 , 0 0 1 3 3 1
NP: B −1 · A−1 , (A · B)−1 , A−1 · B −1 , (B · A)−1 .
0 −1 1 1 −2 6 [ A−1 = 0 1 −3 , B −1 = − 13 23 − 31 , 0 0 1 1 1 −1 0 −1 4 1 4 −1 −1 B A = − 3 3 − 13 = (AB)−1 , 3 1 −1 2 20 11 13 − 3 3 3 7 8 A−1 B −1 = − 10 − = (BA)−1 ] 3 3 3 1 1 −1
2
NP Zjistěte zda jsou dané vektory lineárně závislé: ~a = (1; 1; −5), ~b = (−3; −3; 1), ~c = (0; 1; 2), d~ = (5; 6; 7). [ jsou lineárně závislé] NP Vektor ~c = (3; 2; 1) vyjádřete jako lineární kombinaci vektorů ~u1 = (1; 1; 3), ~u2 = (2; 1; −2), ~u3 = (4; 2; 1). [ ~v = ~u1 + ~u2 ] (5) Určete objem rovnoběžnostěnu s vrcholy dolní podstavy A = [3; 4; 0], B = [9; 5; −1], C = [1; 7; 1], jestliže krajní bod hrany AE je E = [3; 2; 5]. [ V = |[~a · ~b · ~c]| = 108 ] (6) Jsou dány body A = [1; 1; 4], B = [4; 2; 2], C = [1; 2; 6]. Určete jednotkový vektor −→ −→ ~v 0 kolmý k vektorům AB, AC. 1 0 [ ~v1,2 = ± √ (4~i + 6~j + 3~k) ] 61 (7) Vypočtěte objem čtyřstěnu s vrcholy A = [1; −5; 4], B = [0; 3; 1], C = [−2; −4; 3], D = [−4; 4; −2; ] a vzdálenost v vrcholu A od stěny BCD. [V =
41 41 ] ,v = √ 6 1457
(8) Zadání viz [3] – str. 39, Příklad 2.5.2 (9) Zadání viz [3] – str. 40, Příklad 2.5.3 (10) Určete derivaci f 0 (x) a definiční obory D(f ), D(f 0 ) funkcí: a) f (x) = (x3 + 8)(x − 2) ex − 1 b) f (x) = x e +1
[ D(f ) = R, f 0 (x) = 4x3 − 6x2 + 8, D(f 0 ) = D(f ) ] 2ex [ D(f ) = R, f 0 (x) = x , D(f 0 ) = D(f ) ] (e + 1)2
(11) Určete druhou derivaci f 00 (x) a příslušný definiční obor funkce f (x) = x(ln x − 1). [ f 00 (x) =
1 , D(f ) = D(f 0 ) = D(f 00 ) = (0, ∞) ] x
3
(12) Napište následující funkce užitím Taylorova polynomu n-tého stupně v okolí bodu x0 : 1 x − 2 (x − 2)2 (x − 2)3 − + − ] 2 4 8 16 2(x − 1) (x − 1)2 4(x − 1)3 [ T3 (x) = 1 + − + ] 3 9 81
1 , x0 = 2, n = 3 x √ 3 b) f (x) = x2 , x0 = 1, n = 3 a) f (x) =
[ T3 (x) =
(13) Najděte všechny asymptoty ke grafu funkce. y=
(x − 1)3 (x + 1)2
[ x = −1, y = x − 5 ]
(14) Vyšetřete průběh funkce f (x) =
1 − x3 . x2
(15) Určete derivaci f 0 (x) a definiční obory D(f ), D(f 0 ) funkcí: √
1 1 2 [ D(f ) = h− , ∞), f 0 (x) = √4x+1 , D(f 0 ) = (− , ∞) ] 4 4 2 √ 6 5x b) f (x) = √ + 30 15 x + √ 5 3 x x2 √ 2 2 5 √ −√ , D(f 0 ) = D(f ) ] [ D(f ) = R\{0}, f 0 (x) = 8 x3 + 15 3 14 4 x x √ 3 √ c) f (x) = x(x + x + 1) √ 7x2 x 1 0 [ D(f ) = h0, ∞), f (x) = − 1 + √ , D(f ) = (0, ∞) ] 2 2 x a) f (x) =
d) f (x) =
4x + 1
1 − x4 √ 3 π
e) f (x) = (x3 + 8)(x − 2), cos x f) f (x) = x e arccos x g) f (x) = 1 − x2
−4x3 [ D(f ) = R, f 0 (x) = √ , D(f 0 ) = D(f ) ] 3 π [ D(f ) = R, f 0 (x) = 4x3 − 6x2 + 8, D(f 0 ) = D(f ) ] sin x + cos x [ D(f ) = R, f 0 (x) = − , D(f 0 ) = D(f ) ] ex
√ − 1 − x2 + 2x arccos x [ D(f ) = (−1, 1), f (x) = , D(f 0 ) = D(f ) ] (1 − x2 )2 x ln x 1 − x + ln x h) f (x) = [ D(f ) = (0, ∞)\{1}, f 0 (x) = , D(f 0 ) = D(f ) ] 2 1−x (1 − x) [ √ π π sin x i) f (x) = 2 cos x − 1, [ D(f ) = h− + 2kπ, + 2kπi, f 0 (x) = − √ , 3 3 2 cos x − 1 k∈Z 0
4
D(f 0 ) =
[
(−
k∈Z
j) f (x) = 5x
2 −2x+1
√
k) f (x) = e l) f (x) =
π π + 2kπ, + 2kπ) ] 3 3 [ D(f ) = R, f 0 (x) = 2(x − 1)(ln 5)5x
,
√
x2 +x+1
log(3x2
2 −2x+1
, D(f 0 ) = D(f ) ]
2
(2x + 1)e x +x+1 √ , D(f 0 ) = D(f ) ] [ D(f ) = R, f (x) = 2 2 x +x+1 0
,
1 , + x + 1)
[ D(f ) = R\{0, − 31 }, f 0 (x) = √ m) f (x) = e−x x − e, n) f (x) = ln(sin x),
(3x2
6x + 1 , D(f 0 ) = D(f )] + x + 1) ln 10 log2 (3x2 + x + 1)
[ D(f ) = he, ∞), f 0 (x) = [ D(f ) =
[
1 − 2(x − e) √ , D(f 0 ) = (e, ∞) ] 2ex x − e
(2kπ, π + 2kπ), f 0 (x) = cotg x, D(f 0 ) = D(f ) ]
k∈Z
(16) Vyšetřete průběh funkce. a) f (x) = x + b) f (x) =
1 x
ex x+1
(17) Integrace užitím základních vzorců. Z 1 √ 1 a) x+ + x+ √ dx x x Z √ 14 3 11 4 b) x −√ − dx 3 3 x5 3x2 Z c) 10x − 2x + 52x dx Z 3 x − 2x + 1 d) dx x3 Z 2 1−x e) dx x Z x2 f) dx 2 Z x + 21 5 sin x + 3 cos2 x g) dx 2 sin2 x cos2 x
[
√ 2 √ 1 2 x + ln |x| + x x + 2 x + C 2 3 √ 33 28 5 4 x + √ +C [ + 3 2 15 3x 2 x 10x 2x 52x − + +C [ ln 10 ln 2 2 ln 5 2 1 [ x+ − 2 +C x 2x 1 [− + x − 2 ln |x| + C x
] ] ] ] ]
[ x − arctg x + C ] [
5 3 tg x − cotg x + C ] 2 2
5
(NP) Integrace užitím základních vzorců. Z a) (3x2 + 2x − 1) dx Z b) x2 (x2 + 1) dx Z 3 x + 3x − 1 dx c) x Z (x − 1)3 √ d) dx Z √ x 3 ( x + 2) dx e) x (18) Integrace substituční metodou. Z a) (4x − 3)4 dx Z 1 b) dx 5 Z (2x − 7) cos x c) dx +1 Z sin x ex dx d) x Z e +1 e) sin x cos3 x dx Z f) esin x cos x dx (NP) Integrace substituční metodou. Z x√ e arctg ex a) dx 1 + e2x Z dx √ b) 2 Z x x −1 sin6 x cos x dx
c) Z
[ x3 + x2 − x + C ] [
x5 x3 + +C ] 5 3
x3 + 3x − ln |x| + C ] 3 √ √ 2 √ 6 √ [ x3 x − x2 x + 2x x − 2 x + C ] 7 5 √ 2 √ [ x x + 6x + 24 x + 8 ln |x| + C ] 3 [
1 (4x − 3)5 + C ] 20 1 1 [− +C ] 8 (2x − 7)4 [
[ ln | sin x + 1| + C ] [ ln |ex + 1| + C ] 1 [ − cos4 x + C ] 4 [ esin x + C ]
[
2p arctg3 ex + C ] 3 1 [ arccos + C ] x 1 7 [ sin x + C ] 7
1
ex d) dx 2 Z x cos(ln x) e) dx x
1
[ −e x + C ] [ sin(ln x) + C ]
6
(19) Integrace metodou per partes. Z a) xex dx Z b) x sin 2x dx Z 2 c) x3 ex dx Z d) ln x dx Z e) ln3 x · x dx Z f) x ln(x + 1) dx (NP) Integrace metodou per partes. Z x cos x a) dx 3 Z sin x b) x sinh x dx Z c) 5xe−4x dx Z d) ex cos 2x dx Z e) (x2 − 2x + 5)e−4 dx
[ xex − ex + C ] 1 1 [ − x cos 2x + sin 2x + C ] 2 4 1 x2 2 [ e (x − 1) + C ] 2 [ x ln x − x + C ] [
x2 3 3 3 3 (ln x − ln2 x + ln x − ) + C ] 2 2 2 4 1 1 1 [ ln(x + 1)(x2 − 1) − x2 + x + C ] 2 4 2
[−
x 1 − cotg x + C ] 2 2 sin x 2 [ x cosh x − sinh x + C ]
5 5 [ − xe−4x − e−4x + C ] 4 16 ex [ (cos 2x + 2 sin 2x) + C ] 5 [ −e−x (x2 + 5) + C ]
(20) Integrace racionální lomené funkce. Z
x b) dx x2 − 3x + 3 Z x e +1 d) dx ex − 1
2 1 3 2x − 3 3 √ [ ln x − +C ] + + 3 arctg √ 2 2 4 3 [ − ln |ex | + 2 ln |ex − 1| + C ]
(NP) Integrace racionální lomené funkce. Z 3x + 1 3 x+1 a) dx [ ln(x2 + 2x + 5) − arctg +C ] 2 +5 2 2 Z x + 2x (x − 1)4 (x − 4)5 2x2 + 41x − 91 +C ] dx [ ln b) (x − 1)(x2 − x − 12) (x + 3)7 Z 3x3 − 5x2 + 8x 3 1 2 c) dx [ − − + ln |(x − 1)(x + 1)2 | + C ] 2 2 2 (x − 2x + 1)(x − 1) 2 (x − 1) x−1
7
2x2 + 41x − 91 d) dx (x − 1)(x + 3)(x − 4) Z dx dx e) 3 Z x +1 2 (x − 1) f) dx 2 x + 3x + 4 Z
(x − 1)4 (x − 4)5 +C ] [ ln (x + 3)7 1 (x + 1)2 1 2x − 1 [ ln 2 + √ arctg √ +C ] 6 x −x+1 3 3 5 9 2x + 3 [ x − ln(x2 + 3x + 4) + √ arctg √ +C ] 2 7 7
(21) Integrace goniometrických funkcí. Z a) sin x cos x dx Z b) tg x dx Z 1 − 2 sin x c) dx cos2 x Z d) cos3 x dx Z 1 dx e) 3 Z cos x 1 f) dx cos x (NP) Integrace goniometrických funkcí. Z a) sin3 x cos x dx Z b) cos5 2x sin 2x dx Z sin x − cos x dx c) sin x + cos x
[
1 2 sin x + C ] 2
[ − ln | cos x| + C ] sin x − 2 +C cos x 1 2 [ sin x cos2 x + sin x + C 3 3 1 [− +C 3 sin3 x x [ − ln tg + C 2 [
] ] ] ]
1 4 sin x + C ] 4 cos6 x [− +C ] 12 [
[ − ln | sin x + cos x|C ]
(22) Výpočet určitého integrálu – úpravou. Z 5 1 a) dx 3 x
[ ln
(23) Výpočet určitého integrálu – metoda per partes. Z π a) x sin x dx
5 ] 3
[π]
0
Z b) 0
1
e3x x dx
[
2 3 1 e + ] 9 9
8
(24) Výpočet určitého integrálu – substituční metoda. Z π 3 1 − sin2 x a) dx π sin3 x cos x 4 Z 5 ln x b) dx x 1 Z π 2 c) sin2 x cos x dx 0
[ [
1 ] 3
1 2 ln 5 ] 2 [
1 ] 3
(25) Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy P kolem osy x. P : y = −x2 +1, y = −2x2 + 2. [
16 π] 5
(26) Stanovte definiční obor dané funkce a načrtněte jej. a) z =
p
1 − (x2 + y)2
p p b) z = 2 y − x2 + 5 x − y 2
[ a) Dz = {(x; y) ∈ E2 : −x2 − 1 ≤ y ≤ −x2 + 1}; b) Dz = {(x; y) ∈ E2 : y ≥ x2 ∧ x ≥ y2} ]
Taylorova věta pro funkci f (x), X = [x1 , x2 , . . . , xn ]: 1 1 1 df (Xo ) + d2 f (Xo ) + · · · + dn f (Xo ) + Rn+1 (X), 1! 2! n! 1 dn+1 f (x1 + δh1 , . . . , xn + δhn ), δ ∈ (0, 1). kde zbytek Rn+1 (X) = (n + 1)! f (X) = f (Xo ) +
(27) Napište Taylorův polynom stupně n pro funkci y = f (x, y) v bodě A. a) z = ex sin y, A = [0, 0], n = 3 π b) z = sin(xy), A = [0, ], n = 2 2 1 1 π π [ a) y + xy + x2 y − y 3 ; b) x + x(y − ) ] 2 6 2 2 (28) Nalezněte lokální extrémy daných funkcí. √ a) z = x y − x2 − y + 6x + 3 b) z = 2x3 + xy 2 + 5x2 + y 2
9
[ a) [4; 4] - lok.max.; b) [−1; 2] - není, [0; 0] - lok.min., [−1; −2] a − 52 ; 0 - lok.max. ]
10
Reference [1] Novotný J.: Matematika I - Základy lineární algebry, CERM, FAST VUT Brno 2004. [2] Dlouhý, O. - Tryhuk, V.: Matematika I - Diferenciální počet funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 2004. [3] Tryhuk, V. - Dlouhý, O.: Matematika I, Vybrané části a aplikace vektorového počtu, Modul GA01 M01, studijní opory pro studijní program Geodézie a kartografie s kombinovanou formou studia, Fakulta stavebni, Vysoké učení technické, Brno, 2004. [4] Tryhuk, V.: Matematika I2 - Reálná funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 1994. [5] Veverka, J. - Slatinský E.: Matematika I3 - Diferenciální pocet funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 1995. [6] Novotný J.: Matematika I4 - Lineární algebra, CERM, FAST VUT Brno 1995. [7] Horňáková, D.: Matematika I5 - Vektorová algebra, CERM, FAST VUT Brno 1995. [8] Horňáková, D.: Matematika I6 - Analytická geometrie, CERM, FAST VUT Brno 1995. [9] Voráček, J.: Matematika I7 - Neurčitý integrál, CERM, FAST VUT Brno 1995. [10] Voráček, J.: Matematika II1 - Určitý integrál a jeho užití, CERM, FAST VUT Brno 1995. [11] Daněček, J. - Dlouhý, O.: Integrální počet I, CERM, FAST VUT Brno 2003. [12] Daněček, J. - Dlouhý, O. - Koutková, H. - Prudilová, K. - Sekaninová, J. - Slatinský, E.: Sbírka příkladů z matematiky I., CERM, FAST VUT Brno 1994. [13] Čermáková, H. - Hřebíčková, J. - Slaběňáková, J. - Šafářová, H.: Sbírka příkladů z matematiky II., CERM, FAST VUT Brno 1994. [14] Prudilová, K. - Sekaninová, J. - Slatinský, E.: Sbírka příkladů z matematiky III., CERM, FAST VUT Brno 1995. [15] Hřebíčková, J. - Ráček, J. - Slaběňáková, J.: Diferenciální počet v Maple 7, FAST VUT Brno, 2001, http://math.fce.vutbr.cz/vyuka/matematika/diferencialni pocet/. [16] Hřebíčková, J. - Ráček, J. - Slaběňáková, J.: Integrální počet v Maple 7, FAST VUT Brno, 2001, http://math.fce.vutbr.cz/vyuka/matematika/integralni pocet/. [17] Veverka, J.: Diferenciální počet II, Fakulta stavební, Brno 1982. [18] Eliaš, J. - Horvát, J. - Kajan, J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky, 1. časť, SVTL, Bratislava 1965. [19] Černá, B.: Cvičení z lineární algebry, MZLU v Brně, Brno 1998. [20] Jelínek, Z. - Samotná O.: Matematika - Integrální počet, Skriptum VŠ zemědělské v Brně, SPN, Praha 1985. [21] Jirásek, F. - Kriegelstein, E. - Tichý, Z.: Sbírka řešených příkladů z matematiky I, SNTL/ALFA, Praha 1987. [22] Karásek, J. - Maroš, B.: Integrální počet, Matematika - Metodické pokyny pro cvičení, CERM, FAST VUT Brno 1994. [23] Kříž, J. - Křížová, H.: Diferenciální počet, metodické pokyny, Fakulta strojní VUT, Brno 1978. [24] Vosmanská, G.: Matematika, MZLU v Brně, Brno 1997. [25] Online verze textů: Riešené úlohy z matematiky 1, Katedra Matematiky a Deskriptivnej geometrie, Stavebna fakulta, STU, Bratislava, http://www-kmadg.svf.stuba.sk/skripta/skripta.pdf. [26] Online verze textů: Riešené úlohy z matematiky 2, Katedra Matematiky a Deskriptivnej geometrie, Stavebna fakulta, STU, Bratislava, http://www-kmadg.svf.stuba.sk/skripta2/skripta2.pdf.