Vysoké učení technické v Brně
Stavební fakulta
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE
Matematika BA01 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY
Jan Šafařík
Brno
c 2005
1
(1) Určete rovnici kručnice o poloměru r, procházející počátkem, jestliže S[3; 2]. [ (x − 3)2 + (y − 2)2 = 13 ] (2) Znázorněte parabolu x2 − 10x − 9y + 61 = 0. [ (x − 5)2 = 9(y − 4) ] (3) Znázorněte množinu x2 − 4x + 4y ≤ 0, x2 − 4x + y 2 ≤ 0. [ (x − 2)2 ≤ −4(y − 1), (x − 2)2 + y 2 ≤ 22 ] (4) Zjednodušte výraz
sin x+sin 2x . 1+cos x+cos 2x
[ tg x, cos x 6= − 12 , x 6=
π 2
+ kπ ] 1 2 1 (5) Jsou dány matice A = 2 1 2 , B 1 2 3 AB − BA. −10 −4 −7 14 4 ] [ AB − BA = 6 −7 5 −4 3 2 1 2 1 0 (6) Určete hodnost matice A = 0 1 −3 −2 0 3
4 1 1 = −4 2 0 . Vypočtěte matici 1 2 1
−1 0 2 0
[ h(A) = 4 ] (7) Gaussovou eliminační metodou řešte soustavu lineárních rovnic: x1 2x1 x1 x1 [ (1; 2; 1; 3) ]
+ 2x2 + x2 − x2 + 2x2
− x3 + x3 − x3 + 2x3
− 2x4 + x4 + x4 − x4
= −2 = 8 = 1 = 4
2
(8) Gaussovou eliminační metodou řešte soustavu lineárních rovnic: x1 x1 3x1 2x1 x1
+ − − + +
7x2 2x2 2x2 9x2 5x2
[ (t + 5; 2/3; −t − 1; 2t − 1/3), t ∈ R sin x (9) Vypočtěte determinant A = sin y sin z
+ 5x3 − x3 + x3 + 8x3 + 3x3
+ 2x4 − x4 − x4 + 3x4 + x4
= 4 = 5 = 13 = 7 = 5
] 1 cos x 1 cos y . 1 cos z
[ sin(x − z) + sin(z − y) + sin(y − x) ] NP Vypočtěte Vandermondův determinant A =
1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 4 9 16 25 36 8 27 64 125 216 16 81 256 625 1296
.
[ 288 ] NP Pomocí Cramerova pravidla řešte soustavu lineárních rovnic: x1 + 2x2 + 4x3 + = 31 5x1 + x2 + 2x3 + = 29 3x1 − x2 + x3 + = 10 [ (3; 4; 5) ] 1 2 0 1 0 1 (10) Jsou dány matice A = 0 1 3 a B = 2 3 1 . Spočtěte A−1 , 3 3 1 0 0 1
NP: B −1 , B −1 · A−1 , (A · B)−1 , A−1 · B −1 , (B · A)−1 .
0 −1 1 1 −2 6 [ A−1 = 0 1 −3 , B −1 = − 13 23 − 31 , 0 0 1 1 1 −1 0 −1 4 1 4 −1 −1 B A = − 3 3 − 13 = (AB)−1 , 3 1 −1 2
3
A−1 B −1 =
20 3 − 10 3
11 3 − 37
− 13 3
1
1
−1
8 3
= (BA)−1 ]
2 (11) Řeštematicovou X, jestliže rovnici A ·X + B = Cpro neznámou 2 1 7 −5 3 −2 A= ,B= ,C= . 5 −2 4 2 5 −7
A2 · X + B = C A2 · X = C − B X = (A2 )−1 · (C − B) 1 [X= 9
−4 3 1 −9
NP Řeštematicovou 2 −1 −2 0 A= 3 −3
/ − B zprava / · A−1 zleva
]
rovnici · A = B pro neznámou X, jestliže A · X 4 −3 2 1 −1 , B = −5 5 −1 . −3 3 3 0
A·X ·A = B X · A = A−1 · B X = A−1 · B · A−1
/ · A−1 zleva / · A−1 zprava
1 1 0 [ X = −1 0 1 ] 0 −1 1
(12) Zjistěte zda jsou dané vektory lineárně závislé: ~a = (1; 1; −5), ~b = (−3; −3; 1), ~c = (0; 1; 2), d~ = (5; 6; 7). [ jsou lineárně závislé] (13) Vektor ~c = (3; 2; 1) vyjádřete jako lineární kombinaci vektorů ~u1 = (1; 1; 3), ~u2 = (2; 1; −2), ~u3 = (4; 2; 1). [ ~v = ~u1 + ~u2 ] NP Určete vlastní čísla (spektrum) a vlastní vektory matice 3 −1 0 0 1 1 0 0 A= 3 0 5 −3 . 4 −1 3 −1
4
[ λ1,2,3,4 = 2, (u − v; u − v; v; u)T ] (14) Určete vlastní čísla (spektrum) a vlastní vektory matice 0 −2 3 2 1 1 −1 −1 . A= 0 0 2 0 1 −1 0 1 [ λ1,2 = 0, (0; s; 0; s)T ; λ3,4 = 2, (t; 0; 0; t)T ] NP Určete zda následující matice z závislé nebo lineárně nezávislé: 1 0 3 5 1 2 1 , A2 = 2 A1 = 2 0 1 3
vektorového prostoru V = M at3,3 (R) jsou lineárně −1 3 2 −1 0 1 0 0 3 3 , A3 = 1 −1 2 , A4 = 0 1 0 . 1 4 1 1 1 0 0 1
[ jsou lineárně závislé ] (15) Určete objem rovnoběžnostěnu s vrcholy dolní podstavy A = [3; 4; 0], B = [9; 5; −1], C = [1; 7; 1], jestliže krajní bod hrany AE je E = [3; 2; 5]. [ V = |[~a · ~b · ~c]| = 108 ] NP Jsou dány body A = [1; 1; 4], B = [4; 2; 2], C = [1; 2; 6]. Určete jednotkový vektor −→ −→ ~v 0 kolmý k vektorům AB, AC. 1 0 [ ~v1,2 = ± √ (4~i + 6~j + 3~k) ] 61 (16) Vypočtěte objem čtyřstěnu s vrcholy A = [1; −5; 4], B = [0; 3; 1], C = [−2; −4; 3], D = [−4; 4; −2; ] a vzdálenost v vrcholu A od stěny BCD. [V =
41 41 ,v = √ ] 6 1457
(17) Napište obecnou rovnici roviny procházející bodem A = [23; 3; −4] a přímkou p. x = 8 − 2t y = 5t p= z = −3 − 4t [ 7x − 62y − 81z − 299 = 0 ]
5
(18) Je dána rovina σ : 22x − 43y − 17z = 0, rovina ω : −2x + 3y + z + 5 = 0 a rovina α určená body A = [1; 3; 0], B = [2; 2; 1], C = [4; 12; −1]. Vypočítejte úhel společných přímek rovin σ, ω a rovin σ, α. [ 90◦ ] (19) Určete sudost, lichost funkce f . a) y = x2 b) y = x1 c) y = 2x − 1
[ funkce je sudá ] [ funkce je lichá ] [ funkce není sudá, ani lichá ]
(20) Nakreslete graf funkce y = f (x), jestliže x ∈ (−∞; −1) 1 2 x x ∈ h−1; 1i a) f (x) = 3 − 2x x ∈ (1.5; 2i b) y = 3 sin x c) y = sin 2x d) y = −3 sin(x + 3π) e) y = −2 sin( 13 x + 56 π) f) y = − sin(x + 3π) (21) Pomocí Hornerova schematu určete funkční hodnotu polynomu f v bodě x0 . a) f : y = x3 − 3x2 − 3x − 5, x0 = 2 b) f : y = x5 − 3x4 + 7x2 + 2, x0 = 2
[ −15 ] [ 14 ]
(22) Ukažte, že číslo x0 = −2 je dvojnásobným kořenem polynomu f : y = x3 + 3x2 − 4. (23) Najděte všechny reálné kořeny polynomu f . a) f : y = x5 − 3x4 − x3 + 11x2 − 12x + 4 b) f : y = x5 + 6x4 + 9x3 − 3x2 − 10x − 3 c) f : y = 3x4 + 2x3 − 28x2 − 18x + 9
[ 1, 1, 1, 2, −2 ] √ −3± 5 [ 1, −1, −3, 2 ] [ 31 , −1, 3, −3 ]
(24) Vyjádřete racionální funkci jako součet polynomu a ryzí racionální funkce. a) f : y =
2x6 − 9x4 + 4x3 + 8x2 − 7x + 4 x4 − 3x2 + 2x − 1
4 − x3 NP) f : y = 3 4x + 7x2 − 2x
[ = 2x2 − 3 +
x2 − x + 1 ] x4 − 3x2 + 2x − 1
85 2 1 2 12 [=− − + + 3 ] 4 x 4x − 1 x + 2
6
c)
1 1 1 ] [=− − 2 + x x x−2
x+2 , − 2x2
x3
(25) Napište tvar rozkladu funkce f v součet parciálních zlomků. x2 + 4x − 18 (x − 1)3 x8 (x2 + 1)2 A2 A1 A3 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 + + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + [f :y= + + 2 3 x − 1 (x − 1) (x − 1) x x x x x x x 2 B8 C1 x + D1 C2 x + D2 C3 x + D3 x + 4x − 18 + 2 + + 2 = ] 8 2 2 3 x x +1 (x + 1) (x + 1) (x − 1)3 x8 (x2 + 1)2 3x4 + 2x b) f : y = 2 (x + 1)2 (3x + 1)2 x3 C1 C2 D1 D2 D3 A1 x + B1 A2 x + B3 + 2 + + + + 2 + 3 ] [f :y= 2 2 2 x +1 (x + 1) 3x + 1 (3x + 1) x x x
NP) f : y =
(26) Rozložte racionální funkci v součet polynomu a parciálních zlomků. 4x2 + 9x − 1 x3 + 2x2 − x − 2 2x3 − 2x2 + 5 b) f : y = x2 − 2x
a) f : y =
[=
A x−1
+
B x+1
+
C x+2
=
2 x−1
+
[ = 2x + 2 −
3 x+1
51 2x
+
1 x+2
]
13 1 2 x−2
]
−
(27) Vypočtěte limity funkcí: x3 − 4x2 + 5x − 2 x→1 x5 − 3x + 2 sin 3x b) lim x→0 sin 2x |4 − x| c) lim x→4 x − 4
a) lim
[0] [ [ neexistuje, lim+ x→4
3 ] 2
|4 − x| |4 − x| = 1, lim− = −1 ] x→4 x−4 x−4
(28) Vypočtěte limity složených funkcí: a) lim ln sin3 2x
[ − ln 8 ]
x→π/12
1 b) lim− arctg x→0 x x+1 x−1 c) lim x→1 x2 − 1
[ − π2 ] [
1 4
]
7
(29) Vypočtěte limity typu k0 : 2x − 1 x→3 9 − x2 x+1 b) lim− x→0 sin x cos x c) lim x→0 sin x
[ −∞ ]
a) lim+
[ −∞ ] [ neexistuje, lim− x→0
cos x cos x = −∞, lim+ =∞] x→0 sin x sin x
(30) Vypočtěte limity v nevlastním bodě: 3x2 − 2x + 4 x→∞ 2x4 − 3x3 − 1 5x6 + 2x4 − x b) lim x→−∞ 4x3 − x x2 b) lim x arctg 2 x→∞ x +4 a) lim
[0] [ −∞ ] [∞]
NP S použitím definice derivace určete derivaci f 0 (x) funkcí: a) f (x) = b) f (x) =
√ 3
x
x−1 3x2
1 [ D(f ) = R, f 0 (x) = √ , D(f 0 ) = R − {0} ] 33x 2−4 [ D(f ) = R − {0}, f 0 (x) = , D(f 0 ) = D(f ) ] 3x3
(31) Určete derivaci f 0 (x) a definiční obory D(f ), D(f 0 ) funkcí: 4x7 + 3x5 − 2x4 + 7x − 2 3x4 12x7 + 3x5 − 21x + 8 , D(f 0 ) = D(f ) ] [ D(f ) = R − {0}, f 0 (x) = 3x5 b) f (x) = (x3 + 8)(x − 2) [ D(f ) = R, f 0 (x) = 4x3 − 6x2 + 8, D(f 0 ) = D(f ) ] ex − 1 2ex c) f (x) = x , D(f 0 ) = D(f ) ] [ D(f ) = R, f 0 (x) = x e +1 (e + 1)2 1 d) f (x) = 2 log(3x + x + 1) 6x + 1 [ D(f ) = R−{0, − 13 }, f 0 (x) = , D(f 0 ) = D(f ) ] 2 (3x + x + 1) ln 10 log2 (3x2 + x + 1) a) f (x) =
8
(32) Určete první a druhou derivaci f 0 (x), f 00 (x) a příslušné definiční obory funkcí: √ a) f (x) = x x2 + 3 2x2 + 3 00 x(2x2 + 9) [ f 0 (x) = √ , f (x) = p , D(f ) = D(f 0 ) = D(f 00 ) = R ] 2 2 3 x +3 (x + 3) r 1 − sin x b) f (x) = ln 1 + sin x sin x 1 , f 00 (x) = − 2 , D(f ) = D(f 0 ) = D(f 00 ) = R − { π2 + kπ, k ∈ Z} ] [ f 0 (x) = − cos x cos x (33) Určete druhou derivaci f 00 (x) a příslušné definiční obory funkcí: 1 , D(f ) = D(f 0 ) = D(f 00 ) = (0, ∞) ] x √ x , D(f ) = D(f 0 ) = D(f 00 ) = R ] b) f (x) = arctg(x − x2 + 1) [ f 00 (x) = − 2 (x + 1)2 a) f (x) = x(ln x − 1)
[ f 00 (x) =
(34) Najděte rovnici tečny t a normály n ke grafu funkce y = f (x): a) f (x) = e−x cos 2x v bodě A = [0, ?]
[ t : x + y − 1 = 0, n : x − y + 1 = 0 ]
x 2
b) f (x) = e + 1, je-li t rovnoběžná s přímkou x − 2y + 1 = 0 [ t : x − 2y + 3 = 0, n : 4x + 2y − 3 = 0 ] (35) Najděte přírůstek funkce ∆f a diferenciál df v čísle x0 pro přírůstek ∆x: f (x) = arccotg x, x0 = 1, ∆x = 0.2
[ ∆f = −0.09; df (x0 ) = −0.1 ]
(36) Vypočítejte diferenciál funkce df v bodě x pro přírůstek h: √ 3 24x x2 + 1 2 √ 4x + x [ df (x, h) = h] 3 3 x2 (37) Napište následující funkce užitím MacLaurinova polynomu n-tého stupně: √ 3
a) f (x) = ln(cos x), n = 6 b) f (x) =
√
x + 1, n = 4
x2 x4 x6 − − ] 2 12 45 1 1 5 4 1 x ] [ T4 (x) = 1 + x − x2 + x3 − 2 8 16 128 [ T6 (x) = −
9
(38) Napište následující funkce užitím Taylorova polynomu n-tého stupně v okolí bodu x0 : 1 x − 2 (x − 2)2 (x − 2)3 − + − ] 2 4 8 16 2(x − 1) (x − 1)2 4(x − 1)3 [ T3 (x) = 1 + − + ] 3 9 81
1 , x0 = 2, n = 3 x √ 3 b) f (x) = x2 , x0 = 1, n = 3 a) f (x) =
[ T3 (x) =
(39) Vypočítejte přibližně následující funkční hodnotu pomocí Taylorova polynomu n-tého stupně Tn v okolí x0 : ln 2, x0 = 1, n = 10 [ f (x) = ln x, T10 (x) =
10 X (−1)k−1 k=1
k
. . (x − 1)k , ln 2 = T10 (2) = 0.646 ]
(40) Vypočtěte s pomocí L’Hospitalova pravidla: x2 − 1 x→1 x3 − 2x2 + 2x − 1 e2x b) lim 3 x→∞ x ln(1 + x) c) lim 2x x→∞ 3 −1 x−1 d) lim x→1 ln x a) lim
[2] [∞] [0] [1]
(41) Vypočtěte limity typu 0 · ∞: a) lim+ x ln x
[0]
b) lim xex
[0]
x→0
x→−∞
(42) Najděte všechny asymptoty ke grafu funkce. y=
(x − 1)3 (x + 1)2
(43) Vyšetřete průběh funkce. a) f (x) =
x3 − 3x2 + 3x + 1 x−1
[ x = −1, y = x − 5 ]
10
1 − x3 x2 c) f (x) = x + 2 arccotg x b) f (x) =
(44) Integrace užitím základních vzorců. Z 1 √ 1 dx a) x+ + x+ √ x Z √x 14 3 11 4 b) x −√ − 2 dx 3 3 x5 3x Z c) 10x − 2x + 52x dx Z 3 x − 2x + 1 d) dx x3 Z 2 1−x e) dx x Z x2 dx f) 2 Z x + 21 5 sin x + 3 cos2 x g) dx 2 sin2 x cos2 x (NP) Integrace užitím základních vzorců. Z a) (3x2 + 2x − 1) dx Z b) x2 (x2 + 1) dx Z 3 x + 3x − 1 c) dx x Z (x − 1)3 √ d) dx x √ Z ( x + 2)3 e) dx x (45) Integrace substituční metodou. Z a) (4x − 3)4 dx Z 1 b) dx 5 Z (2x − 7) 5 √ c) dx 2 − 49x2
[
√ 1 2 2 √ x + ln |x| + x x + 2 x + C 2 3 28 √ 5 33 4 [ x + √ + +C 3 15 2 x2 3x 10x 2x 52x [ − + +C ln 10 ln 2 2 ln 5 2 1 [ x+ − 2 +C x 2x 1 [− + x − 2 ln |x| + C x
] ] ] ] ]
[ x − arctg x + C ] 3 5 tg x − cotg x + C ] 2 2
[
[ x3 + x2 − x + C ] [
x5 x3 + +C ] 5 3
x3 + 3x − ln |x| + C ] 3 √ √ 2 √ 6 √ [ x3 x − x2 x + 2x x − 2 x + C ] 7 5 √ √ 2 [ x x + 6x + 24 x + 8 ln |x| + C ] 3 [
1 (4x − 3)5 + C ] 20 1 1 [− +C ] 8 (2x − 7)4 5 7x [ arcsin √ + C ] 7 2 [
11
Z
cos x dx Z sinxx + 1 e e) dx x Z e +1 f) sin x cos3 x dx Z g) esin x cos x dx
[ ln | sin x + 1| + C ]
d)
[ ln |ex + 1| + C ] 1 [ − cos4 x + C ] 4 [ esin x + C ]
(NP) Integrace substituční metodou. Z x√ e arctg ex a) dx 1 + e2x Z dx √ b) 2 Z x x −1
[
sin6 x cos x dx
c) Z
1
ex d) dx 2 Z x cos(ln x) dx e) x (46) Integrace metodou per partes. Z a) xex dx Z b) x sin 2x dx Z 2 c) x3 ex dx Z d) ln x dx Z e) ln3 x · x dx Z f) x ln(x + 1) dx (NP) Integrace metodou per partes. Z x cos x a) dx 3 Z sin x b)
2p arctg3 ex + C ] 3 1 [ arccos + C ] x 1 7 [ sin x + C ] 7
x sinh x dx
1
[ −e x + C ] [ sin(ln x) + C ]
[ xex − ex + C ] 1 1 [ − x cos 2x + sin 2x + C ] 2 4 1 x2 2 [ e (x − 1) + C ] 2 [ x ln x − x + C ] [
3 3 3 x2 3 (ln x − ln2 x + ln x − ) + C ] 2 2 2 4 1 1 2 1 2 [ ln(x + 1)(x − 1) − x + x + C ] 2 4 2
[−
x 1 − cotg x + C ] 2 2 sin x 2 [ x cosh x − sinh x + C ]
12
Z c) Z d) Z e)
5xe−4x dx ex cos 2x dx (x2 − 2x + 5)e−4 dx
5 5 [ − xe−4x − e−4x + C ] 4 16 ex [ (cos 2x + 2 sin 2x) + C ] 5 [ −e−x (x2 + 5) + C ]
(47) Integrace racionální lomené funkce. Z 3x + 1 3 x+1 a) dx [ ln(x2 + 2x + 5) − arctg +C 2 x + 2x + 5 2 2 Z 2 x 3 1 3 √ 2x − 3 b) dx [ ln x − + + 3 arctg √ +C 2 x − 3x + 3 2 2 4 3 Z (x − 1)4 (x − 4)5 2x2 + 41x − 91 +C dx [ ln c) (x − 1)(x2 − x − 12) (x + 3)7 Z x e +1 d) dx [ − ln |ex | + 2 ln |ex − 1| + C x e −1 Z 3x3 − 5x2 + 8x 3 1 2 e) dx [ − − + ln |(x − 1)(x + 1)2 | + C 2 2 2 (x − 2x + 1)(x − 1) 2 (x − 1) x−1
] ] ] ] ]
(NP) Integrace racionální lomené funkce. Z (x − 1)4 (x − 4)5 2x2 + 41x − 91 +C ] a) dx [ ln 7 (x − 1)(x + 3)(x − 4) (x + 3) Z dx 1 (x + 1)2 1 2x − 1 b) dx [ ln + √ arctg √ +C ] 3 2 6 x −x+1 3 3 Z x +1 2 5 9 (x − 1) 2x + 3 dx [ x − ln(x2 + 3x + 4) + √ arctg √ c) +C ] 2 x + 3x + 4 2 7 7 (48) Integrace goniometrických funkcí. Z a) sin x cos x dx Z b) tg x dx Z 1 − 2 sin x c) dx cos2 x Z d) cos3 x dx Z 1 e) dx cos3 x
[
1 2 sin x + C ] 2
[ − ln | cos x| + C ] sin x − 2 +C ] cos x 1 2 [ sin x cos2 x + sin x + C ] 3 3 1 [− +C ] 3 sin3 x [
13
Z
1 dx cos x
f)
x [ − ln tg + C ] 2
(NP) Integrace goniometrických funkcí. Z a) sin3 x cos x dx Z b) cos5 2x sin 2x dx Z sin x − cos x c) dx sin x + cos x (49) Integrace iracionálních funkcí. Z 1 √ a) dx x+1 Z r 1 3 x + 1 b) dx x − 1√ (x + 1)(x − 1) √ Z √ 4 3 x3 − 7 x2 + 12 x √ √ c) dx x( 3 x − 6 x) Z
p x 1 + x+1 dx x+1
Z
x √ dx x+ x
d) e)
1 4 sin x + C ] 4 cos6 x +C ] [− 12 [
[ − ln | sin x + cos x|C ]
√ √ [ 2( x − ln | x + 1|) + C ] r 3 3 x+1 [− +C ] 2 x−1 √ √ √ √ 12 12 12 12 12 x − 21 x4 + 4 x3 + 30 x2 + [ 5 √ √ √ 12 12 x + 24 ln | 12 x + 1| + 36 ln | 12 x + 1| + C ] r r x x [ −2 − 2 ln − 1 + C ] x+1 x+1 √ √ [ x − 2 x + 2 ln | x + 1| + C ]
(NP) Integrace iracionálních funkcí. Z
dx √ dx a) 1+ 3x √ Z x √ dx b) 1− 3x
! √ x2 √ − 3 x + ln |1 + 3 x| + C ] [3 2 √ 6 x − 1 √ √ 6√ 6√ 6 6 6 5 7 +C ] [ −6 x − 2 x − x − x − 3 ln √ 6 5 7 x + 1
(50) Výpočet určitého integrálu – úpravou. Z 5 1 a) dx 3 x Z 3 b) |1 − 3x| dx Z
0 1
c) −1
√
2x dx 5 − x2
√ 3
[ ln [
5 ] 3
65 ] 6 [0]
14
(51) Výpočet určitého integrálu – metoda per partes. Z π x sin x dx a)
[π]
0 1
Z b)
ln(x + 2) dx
[ 3 ln 3 − 2 ]
−1 1
Z
arccos x dx
c)
[π]
−1 1
Z
e3x x dx
d)
2 3 1 e + ] 9 9
[
0
(52) Výpočet určitého integrálu – substituční metoda. Z 4 1 √ 2 dx a) x) 1 (1 + Z π 3 1 − sin2 x b) dx 3 π sin x cos x 4 Z 5 ln x c) dx x 1 Z π 2 sin2 x cos x dx d)
[ 2 ln
3 1 − ] 2 3 [
[
1 ] 3
1 2 ln 5 ] 2 [
0
(NP) Výpočet určitého integrálu. Z 5 a) |x + 1| dx
1 ] 3
[ 36 ]
−7 1
Z
cosh x dx
b)
[ e−
1 ] e
[
2 ] 9
−1 1
Z c) 0
π 2
Z d) π 4
dx dx (2x + 1)3 cos x dx sin2 x
[
√
2−1 ]
(53) Vypočtěte obsah křivočarého lichoběžníka ohraničeného křivkami x2 + y 2 = 1, y = 1 − x, x ≥ 0, y > 0. [
π−2 ] 4
15
1 1 (54) Vypočtěte délku oblouku rovinné křivky y = x2 − ln x, x ∈ h1, 3i. 4 2 1 [ 2 + ln 3 ] 2 (55) Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy P kolem osy x. P : y = −x2 +1, y = −2x2 + 2. [
16 π] 5
(56) Vypočtěte povrch tělesa, které vznikne rotací křivky kolem osy x. P : x = a cos3 t, y = a sin3 t, t ∈ h0, πi, a > 0. [
6πa2 ] 2
2 (57) Najděte těžiště homogenní hmotné oblasti omezené křivkami y = x2 , y = . 1 + x2 24 + 15π [ T 0; ] 30π − 20 NP Stanovte definiční obor dané funkce a načrtněte jej. p p p b) z = 2 y − x2 + 5 x − y 2 a) z = 1 − (x2 + y)2 c) z =
x2 + y 2 x2 − y 2
d) z = arcsin(1 − x2 − y 2 ) + arcsin 2xy
[ a) Dz = {(x; y) ∈ E2 : −x2 − 1 ≤ y ≤ −x2 + 1}; b) Dz = {(x; y) ∈ E2 : y ≥ x2 ∧ x ≥ y 2 }; c) Dz = E2 − {(x; y) ∈ E2 : y = x ∧ y = −x}; d) Dz = 1 {(x; y) ∈ E2 : x2 + y 2 ≤ 2} ∩ ({(x; y) ∈ E2 : y ≥ − ∧ x > 0} ∪ {(x; y) ∈ E2 : 2x 1 1 1 y ≤ − ∧x < 0})∪{(x; y) ∈ E2 : y ≤ ∧x > 0}∪{(x; y) ∈ E2 : y ≥ ∧x < 0}] 2x 2x 2x NP Vypočtěte parciální derivace prvního řádu daných funkcí. a) z =
3xy x−y
c) z = xyesin πxy
b) z = (sin x)cos y p x2 + y 2 − x d) y = ln p x2 + y 2 + x
16
3y 2 3x2 0 , z = − 2; y (x−y) (x − y)2 b) zx0 = cos x cos y(sin x)cos y−1 , zy0 = − sin y ln sin x(sin x)cos y ;
[ a) zx0 = −
c) zx0 = y(1 + πxy cos πxy)z, zy0 = x(1 + πxy cos πxy)z; −2 −2x d) zx0 = p , zy0 = p ] x2 + y 2 y x2 + y 2 NP Vypočtěte parciální derivace prvního řádu daných funkcí. s 2 x+y x+y a) z = 1 − + arcsin b) z = (2x + y)2x+y xy xy r r 1 xy − x − y 0 1 xy − x − y 0 [ a) zx = − 2 ,z = − 2 ; x xy + x + y y y xy + x + y b) zx0 = 2[1 + ln(2x + y)]z, zy0 = [1 + ln(2x + y)]z] NP Vypočtěte všechny parciální derivace druhého řádu daných funkcí. a) z =
cosx2 y
y √ b) z = x y + √ 3 x
2 sin x2 + 4x2 cos x2 00 2 cos x2 00 2x sin x2 4y 00 , zyy = , z ; b) zxx = = 7 , xy 3 2 y y y 9x 3 1 −x 1 00 = p , zxy = √ − 4 ] 2 y 3x 3 4 y3
[ a) x00xx = − 00 zyy
NP Vypočtěte všechny parciální derivace druhého řádu daných funkcí. x
a) z = p
x2
[ a)
00 zxx
+
−3xy 2
1 ln(x2 + y 2 ) 2
y(2x2 − y 2 ) −x(x2 + 2y 2 ) 00 00 p , = , zyy = p ; b) zxx = 2 2 5 2 2 5 2 2 5 (x + y ) (x + y ) (x + y ) −2xy x2 − y 2 00 = 2 ,z = ] (x + y 2 )2 yy (x2 + y 2 )2
= p
y 2 − x2 00 , zxy 2 2 2 (x + y )
b) z =
y2 00 zxy
NP Vypočtěte všechny požadované derivace daných funkcí. 000 a) z = ex ln y + sin y ln x, x000 xyy =?, xyyy =?
2
b) z = x2 y + exy , zx000 xy =?
17 000 [ a) zxyy =−
ex sin y 000 2ex 2 000 , z = − − cos y ln x; b) zxxy = 2 + exy y 3 (4 + 2xy 2 ) ] yyy 2 3 y x y
NP Určete d2 z v bodě A funkce z = f (x, y). π π a) z = sin x sin y, A = [ , ] 4 4
b) z = y ln x, A = (1, 1)
1 1 [ a) − dx2 − dxdy − dy 2 ; b) −dx2 + 2dxdy ] 2 2 NP Určete d2 z v bodě A funkce z = f (x, y). a) z = exy , A = [1, 2] [ a) 4e2 dx2 + 6e2 dxdy + e2 dy 2 ] Taylorova věta pro funkci f (x), X = [x1 , x2 , . . . , xn ]: 1 1 1 df (Xo ) + d2 f (Xo ) + · · · + dn f (Xo ) + Rn+1 (X), 1! 2! n! 1 kde zbytek Rn+1 (X) = dn+1 f (x1 + δh1 , . . . , xn + δhn ), δ ∈ (0, 1). (n + 1)! f (X) = f (Xo ) +
NP Napište Taylorův polynom stupně n pro funkci y = f (x, y) v bodě A. a) z = ex sin y, A = [0, 0], n = 3 π b) z = sin(xy), A = [0, ], n = 2 2 1 π π 1 [ a) y + xy + x2 y − y 3 ; b) x + x(y − ) ] 2 6 2 2 NP Napište Taylorův polynom stupně n pro funkci y = f (x, y) v bodě A. a) z = ln(1 − x) ln(1 − y), A = [0, 0], n = 3 [ a) xy + 12 x2 y + 12 xy 2 ] Pravidla pro počítání složených funkcí: • z = f (x, y), x = x(t) a y = y(t) dz ∂f dx ∂f dy = · + · dt ∂x dt ∂y dt
18
• w = f (x, y, z), x = x(u, v), y = y(u, v) a z = z(u, v) ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z = · + · + · , ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂y ∂u ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z = · + · + · , ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂y ∂v • Obecně: w = f (x1 , . . . , xm ), xk = xk (t1 , . . . , tn ), pro k = 1, . . . , m ∂w ∂w ∂x1 ∂w ∂x2 ∂w ∂xm = · + · + ··· + · , ∂ti ∂x1 ∂ti ∂x2 ∂ti ∂xm ∂ti kde i = 1, 2, . . . , n. NP Vypočtěte parciální derivace prvního řádu složených funkcí. a) z = u + v 2 , u = x2 + sin y, v = ln(x + y) b) z = u2 v − v 2 u, u = x cos y, v = x sin y 2 2 ln(x+y), zy0 = cos y+ x+y ln(x+y); b) zx0 = 3x2 sin y cos y(cos y− x+y sin y), zy0 = x3 (sin y + cos y)(1 − 3 sin y cos y) ] [ a) zx0 = 2x+
NP Vypočtěte parciální derivace prvního řádu složených funkcí. x
a) z = uv , u = ln(x + y), v = e y
x
[ a)
zx0
= vu
v−1
y
ey vuv−1 −e y 1 + uv ln v , zy0 = + uv ln u 2 ] x−y y y−x y
NP Určete první parciální derivace funkce z = f (x, y), která je dána implicitně danou rovnicí. a) cos(ax + by − cz) = k(ax + by − cz) b) x + y + z = ez a b 1 [ a) zx0 = , zy0 = ; b) zx0 = = zy0 ] c c (x + y + z − 1) NP Vypočtěte první parciální derivace v bodě A funkce z = f (x, y), která je dána implicitně danou rovnicí. a) ez + x2 y + z + 5 = 0, A = [1, −6, 0] h π π πi NP) cos2 x + cos2 y + cos2 z − 1 = 0, A = , , 3 2 6
19
1 [ a) zx0 (A) = 6, zy0 (A) = − , NP) zx0 (A) = −1, zy0 (A) = 0 ] 2 Tečná rovina a normála plochy: Tečná rovina τ a normála n plochy z = f (x, y) v bodě B0 = [x0 ; y0 ; z0 ] jsou dány rovnicemi tvaru: τ: (x − x0 ) · fx (B0 ) + (y − y0 ) · fy (B0 ) − (z − z0 ) = 0 x − x0 y − y0 z − z0 n: = = fx (B0 ) fy (B0 ) −1 Je-li plocha dána implicitně F (x; y; z) = 0, pak τ: n:
(x − x0 ) · Fx (B0 ) + (y − y0 ) · Fy (B0 ) + (z − z0 ) · Fz (B0 ) = 0 x − x0 y − y0 z − z0 = = Fx (B0 ) Fy (B0 ) Fz (B0 )
Pro normálový vektor ~n tečné roviny platí ~n = (Fx (B0 ); Fy (B0 ); Fz (B0 )). Normálu si můžeme vyjádřit parametricky ve tvaru: x = x0 + tFx (B0 ), y = y0 + tFy (B0 ), z = z0 + tFz (B0 ); t ∈ R. NP Nalezněte tečnou rovinu a normálu v bodě A plochy z = f (x, y) zadané implicitně danou rovnicí. a) x2 + y 2 + z 2 − 49 = 0, A = [2, −6, ?] b) (z 2 − x2 )xyz − y 5 = 5, A = [1, 1, 2] [ a) τ1 : 2x − 6y + 3z − 49 = 0, n~1 : x = 2 + 4t, y = −6 − 12t, z = 3 + 6t, τ2 : 2x − 6y − 3z − 49 = 0, n~2 : x = 2 + 4t, y = −6 − 12t, z = −3 − 6t ] NP Nalezněte lokální extrémy daných funkcí. √ a) z = x y − x2 − y + 6x + 3 b) z = 2x3 + xy 2 + 5x2 + y 2 x c) z = ln + 2 ln y + ln(12 − x − y) 6 [ a) [4; 4] - lok.max.; b) [−1; 2] - není, [0; 0] - lok.min., [−1; −2] a − 52 ; 0 - lok.max., [3; 6] - lok.max. ]
20
NP Nalezněte lokální extrémy daných funkcí. 50 20 + a) z = xy + √ x 2 y b) z = y x − y − x + 6y [ a) [5; 2] - lok.min.; b) [4; 4] - lok.max. ] NP Nalezněte vázané extrémy dané funkce při daných podmínkách. a) z = x + 2y; podm. x2 + y 2 = 5 1 1 b) z = + ; podm. x + y = 2 x y [ a) [1; 2] - lok.max., [−1; −2] - lok.nim.; b) [1; 1] - lok.min. ] NP Nalezněte vázané extrémy dané funkce při daných podmínkách. a) z = x + y; podm. xy = 1 1 1 1 1 b) z = + ; podm. 2 + 2 = 1 x y x y √ √ √ √ [ a) [1; 1] - lok.max., [−1; −1] - lok.nim.; b) [− 2; − 2] - lok.min., [ 2; 2] lok.max. ] NP Najděte absolutní extrémy daných funkcí. a) z = x2 + 2xy − 4x + 8y; na obdélníku 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 b) z = x2 − xy + y 2 ; M je určena nerovnicí |x| + |y| ≤ 1 c) z = x2 + y 2 − 12x + 16y; na oblasti dané nerovnicí x2 + y 2 ≤ 25 [ a) [1; 2] - abs.max., [1; 0] - abs.nim.; b) [0; 1], [0; −1], [1; 0], [−1; 0] - abs.max., [0; 0] - abs.min.; c) [3; −4] - abs.min., [−3; 4] - abs.max.] NP Určete p derivaci ve směru ~s v bodě A a gradient v bodě A funkce z = f (x, y). z = x2 + y 2 − xy, A = [3; 4], ~s = (3; 4). [
∂z 19 17 11 (A) = − , grad z = − ~i − ~j ] ∂~s 5 5 5
NP Určete derivaci funkce z = ln(x2 + y 2 ) v bodě A = [1; 2]. √ a) ve směru tečného vektoru v bodě A ke křivce y = 2 x, b) ve směru, v němž je derivace maximální.
21
[ a)
∂z 3√ ∂z 2√ (A) = − 2; b) (A) = − 2] ∂~s 5 ∂~s 5
NP Určete tečnou rovinu a normálu v bodě T plochy z = f (x, y). z = xy 2 − x2 y, T = [2; 1; ?]. [ τ : 3x + z − 4 = o; ~n : x = 2 + 3t, y = 1, z = −2 + t ] NP Určete tečnou rovinu a normálu v bodě T plochy z = f (x, y). y2 z = 2 , T = [−1; 2; ?]. x [ τ : 8x + 4y − z44 = o; ~n : x = −1 + 8t, y = 2 + 4t, z = 4 − t ] NP Nalezněte obecné řešení daných diferenciálních rovnic. x+y a) y 0 = 10r 1 − y2 b) y 0 = − 1 − x2
[ 10x + 10−y = C ] [ arcsin y + arcsin x = C ]
NP Nalezněte partikulární řešení dané diferenciální rovnice. x(1 + y 2 )dx − y(1 + x2 )dy = 0, y(−2) = 1
2 3 [ y 2 = x2 − ] 5 5
22
Reference [1] Novotný J.: Matematika I - Základy lineární algebry, CERM, FAST VUT Brno 2004. [2] Dlouhý, O. - Tryhuk, V.: Matematika I - Diferenciální počet funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 2004. [3] Tryhuk, V.: Matematika I1 - Úvod do matematické logiky a teorie množin, CERM, FAST VUT Brno 1994. [4] Tryhuk, V.: Matematika I2 - Reálná funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 1994. [5] Veverka, J. - Slatinský E.: Matematika I3 - Diferenciální pocet funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 1995. [6] Novotný J.: Matematika I4 - Lineární algebra, CERM, FAST VUT Brno 1995. [7] Horňáková, D.: Matematika I5 - Vektorová algebra, CERM, FAST VUT Brno 1995. [8] Horňáková, D.: Matematika I6 - Analytická geometrie, CERM, FAST VUT Brno 1995. [9] Voráček, J.: Matematika I7 - Neurčitý integrál, CERM, FAST VUT Brno 1995. [10] Voráček, J.: Matematika II1 - Určitý integrál a jeho užití, CERM, FAST VUT Brno 1995. [11] Daněček, J. - Dlouhý, O.: Integrální počet I, CERM, FAST VUT Brno 2003. [12] Daněček, J. - Dlouhý, O. - Koutková, H. - Prudilová, K. - Sekaninová, J. - Slatinský, E.: Sbírka příkladů z matematiky I., CERM, FAST VUT Brno 1994. [13] Čermáková, H. - Hřebíčková, J. - Slaběňáková, J. - Šafářová, H.: Sbírka příkladů z matematiky II., CERM, FAST VUT Brno 1994. [14] Prudilová, K. - Sekaninová, J. - Slatinský, E.: Sbírka příkladů z matematiky III., CERM, FAST VUT Brno 1995. [15] Hřebíčková, J. - Ráček, J. - Slaběňáková, J.: Diferenciální počet v Maple 7, FAST VUT Brno, 2001, http://math.fce.vutbr.cz/vyuka/matematika/diferencialni pocet/. [16] Hřebíčková, J. - Ráček, J. - Slaběňáková, J.: Integrální počet v Maple 7, FAST VUT Brno, 2001, http://math.fce.vutbr.cz/vyuka/matematika/integralni pocet/. [17] Veverka, J.: Diferenciální počet II, Fakulta stavební, Brno 1982. [18] Eliaš, J. - Horvát, J. - Kajan, J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky, 1. časť, SVTL, Bratislava 1965. [19] Černá, B.: Cvičení z lineární algebry, MZLU v Brně, Brno 1998. [20] Jelínek, Z. - Samotná O.: Matematika - Integrální počet, Skriptum VŠ zemědělské v Brně, SPN, Praha 1985. [21] Jirásek, F. - Kriegelstein, E. - Tichý, Z.: Sbírka řešených příkladů z matematiky I, SNTL/ALFA, Praha 1987. [22] Karásek, J. - Maroš, B.: Integrální počet, Matematika - Metodické pokyny pro cvičení, CERM, FAST VUT Brno 1994. [23] Kříž, J. - Křížová, H.: Diferenciální počet, metodické pokyny, Fakulta strojní VUT, Brno 1978. [24] Vosmanská, G.: Matematika, MZLU v Brně, Brno 1997. [25] Online verze textů: Riešené úlohy z matematiky 1, Katedra Matematiky a Deskriptivnej geometrie, Stavebna fakulta, STU, Bratislava, http://www-kmadg.svf.stuba.sk/skripta/skripta.pdf. [26] Online verze textů: Riešené úlohy z matematiky 2, Katedra Matematiky a Deskriptivnej geometrie, Stavebna fakulta, STU, Bratislava, http://www-kmadg.svf.stuba.sk/skripta2/skripta2.pdf.
