MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. május 5. EMELT SZINT I. 1) Egy négyzet alapú egyenes hasáb alapéle 18 egység, testátlója 36 2 egység. a) Mekkora szöget zár be a testátló az alaplap síkjával? (4 pont) b) Hány területegység a hasáb felszíne? (A felszín mérőszámát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!) (3 pont) c) Az alapél és a testátló hosszát – ebben a sorrendben – tekintsük egy mértani sorozat első és negyedik tagjának! Igazolja, hogy az alaplap átlójának hossza ennek a sorozatnak a második tagja! (4 pont) Megoldás: a)
Az ACG háromszögben a GAC
szöget keressük
Az ABC derékszögű háromszögben AC 18 2 AC 1 így cos , 0 90 AG 2 ahonnan 60 b) A négyzetes hasáb alapéle a 18 , magassága m CG 18 6 felszíne: A 2a 2 4a m 2 182 4 182 6 3822,5 A hasáb felszíne 3822,5 területegység c) Ha a mértani sorozat első tagja a, hányadosa q, akkor a AB a q 3 AG 36 2
(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) 18 és (1 pont)
innen q 3 2 2
(1 pont)
azaz q 2
(1 pont)
A mértani sorozat második tagja tehát a q 18 2 és ez éppen az alaplap átlójának hossza. (1 pont) Összesen: 11 pont
2) Egy gimnázium egyik érettségiző osztályába 30 tanuló jár, közülük 16 lány. A lányok testmagassága centiméterben mérve az osztályozó naplóbeli sorrend szerint: 166,175,156, 161, 159, 171, 167, 169, 160, 159, 168, 161, 165, 158, 170, 159 a) Számítsa ki a lányok testmagasságának átlagát! Mekkora az osztály tanulóinak centiméterben mért átlagmagassága egy tizedesjegyre kerekítve, ha a fiúk átlagmagassága 172,5 cm? (5 pont) Ebben a 30 fős osztályban a tanulók három idegen nyelv közül választhattak, ezek az angol, német és francia. b) Hányan tanulják mindhárom nyelvet, és hányan nem tanulnak franciát, ha tudjuk a következőket: (1) minden diák tanul legalább két nyelvet. (2) Az angol is és németet is tanuló diákok száma megegyezik a franciát tanuló diákok számával. (3) Angolul 27-en tanulnak. (4) A németet is és franciát is tanulók száma 15. (7 pont) Megoldás: a)
2624 (1 pont) 164 cm 16 Az osztály tanulóinak átlagmagasságát (t) a 16 lány átlagmagassága (l) és a 14 16 l 14 f fiú átlagmagassága (f) segítségével számolhatjuk ki: t (1 pont) 30 16 164 14 172,5 (1 pont) 30 5039 (1 pont) 30 Az osztály tanulóinak átlagmagassága 168,0 cm (1 pont)
A lányok testmagasságának átlaga:
b)
Ha az osztály 30 tanulóját a három tanult nyelv szerint Venn-diagramon ábrázoljuk, csak négy tartományba jut tanuló, az ábra alapján jelöljük az egyes tartományokat x-szel, y-nal, z-vel és t-vel. (1 pont) (1) alapján x y z t 30 (2) alapján z t y (3) alapján x y z 27 (4) alapján x t 15 (2 pont) Ezekből: x 12, y 9, z 6, t 3 (2 pont) Három nyelven 12-en tanulnak, és 9-en nem tanulnak franciát (1 pont) Összesen: 12 pont
3) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete 2x y 10 , egyik csúcsa az origó. Hány ilyen tulajdonságú háromszög van? (6 pont) b) Jelölje e azokat az egyeneseket, amelynek egyenlete 2x y b , ahol b valós paraméter. Mekkora lehet b értéke, ha tudjuk, hogy van közös pontja az így megadott e egyenesnek és az origó középpontú 4 egység sugarú körnek? (8 pont) Megoldás: a)
A megadott 2x y 10 egyenletű egyenes az A 5;0 és B 0;10 pontokban metszi a tengelyeket (1 pont) Az origóból az egyenesre bocsátott, rá merőleges egyenes egyenlete x 2y 0 (1 pont) A két egyenes D metszéspontjának koordinátái: D 4;2 (1 pont) A megadott feltételeknek három derékszögű háromszög felel meg AOB háromszög, ahol A 5;0 , O 0;0 , B 0;10 (1 pont) ADO háromszög, ahol A 5;0 , D 4,2 , O 0;0
(1 pont)
BDO háromszög, ahol B 0;10 , D 4,2 , O 0;0
(1 pont)
b) Az egyenesnek és a körnek akkor és csak akkor van közös pontja, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek van megoldása (1 pont) 2 2 A kör egyenlete: x y 16 (1 pont) Az egyenes egyenletéből y b 2x . Behelyettesítés után: x 2 b 2x 16 2
(1 pont)
5x 2 4bx b 2 16 0 (1 pont) A kapott másodfokú egyenletnek van megoldása, ha a D diszkrimináns nem negatív (1 pont) 2 (1 pont) D 320 4b 0
ahonnan b 4 5
(1 pont)
A b paraméter lehetséges értékei tehát a 4 5; 4 5 elemei (1 pont) Összesen: 14 pont
4) Legyen f és g a valós számok halmazán értelmezett függvény: ha x 1 1 f x 2x 1 ha 1 x 0 és g x x 2 2 1 ha x 0 a) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben mindkét függvényt! Adja meg az f x g x egyenlet valós megoldásait! (6 pont) b) Számítsa ki a két függvény grafikonja által közrefogott zárt síkidom területét! (8 pont) Megoldás: a)
A függvények ábrázolása 1 x 2 2 egyenlet megoldása x 1 feltétel esetén x 1 2x 1 x 2 2 egyenletnek nincs megoldása a 1;0 intervallumon
(2 pont) (1 pont) (1 pont)
1 x 2 2 egyenlet megoldása az x 0 feltétel esetén x 3 Az f x g x egyenletnek két megoldása van: x1 1 és x 2 3
(1 pont) (1 pont)
b)
Tekintsük az f és g grafikonját ahol A 1; 1 , B 0;1 ,C
3;1 , D 0; 2
(1 pont) A vizsgálandó síkidomot az AB, a BC szakaszok és az ADC parabolaív határolja (1 pont) Vágjuk ketté a síkidomot az y tengellyel. TABCD TABD TDBC (1 pont) 0
TABD
f x g x dx
1
0
x
1
2
2x 3 dx
(1 pont)
0
x3 5 x 2 3x 3 1 3 3
TDBC
(1 pont) 3
f x g x dx 3 x dx 2
0
(1 pont)
0
3
x3 3x 2 3 3 0 A keresett terület nagysága:
(1 pont) 5 2 3 5,13 3
(1 pont) Összesen: 14 pont
II. 5) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása a valós számok halmazán! 2x 2 x 10 a) (4 pont) 0 2x 1 2 x 16 x 9 5 b) (4 pont) 2 2 c) lg x x 6 lg 1 x (4 pont) d)
sin x 1
lg cos2 x 1, 5cos x
(4 pont)
Megoldás: a)
A nevező nem lehet 0, ezért 2x 1 2 0 (1 pont) ebből x 2 (1 pont) 2 A továbbiakban a tört akkor 0, ha számlálója 0, tehát 2x x 10 0 , azaz (1 pont) x1 2 és x 2 2,5 Így az egyenletnek csak egy valós megoldása van: x 2,5 (1 pont)
x 16 5 x 9 egyenletet mindkét oldalról b) A rendezés után kapott négyzetre emelve, (1 pont) rendezés után kapjuk, hogy 10 x 9 0 (1 pont) Innen x 9 (1 pont) Behelyettesítéssel ellenőrizve ez jó megoldás. (1 pont) 2 2 c) A logaritmus értelmezése szerint: x x 6 0 és 1 x 0 (1 pont) Az első egyenlet megoldásai azon x valós számok, amelyekre x 3 vagy (1 pont) x 2 a másodiké: 1 x 1 (1 pont) A két egyenlőtlenség megoldáshalmazának nincs közös eleme, így az egyenletnek nincs megoldása. (1 pont)
d) A jobb oldali kifejezés az értelezési tartományán csak nem negatív lehet, így (1 pont) sin x 1 0 . Ez csak x 2k k esetén teljesül (1 pont) 2 De mivel cos 2k 0 minden k esetén (1 pont) 2 és nullára a logaritmus nincs értelmezve, így nincs olyan valós szám, amelyre az egyenlet értelmezve lenne, így nincs megoldása. (1 pont) Összesen: 16 pont
6) Egy nagyvárosban a helyi járatokon olyan buszjegyet kellett érvényesíteni, amelyen egy 3x3-as négyzetben 1-9-ig szerepelnek a számok. (lásd 1. ábra) A jegy érvényesítésekor a jegykezelő automata a kilenc mezőből mindig pontosan hármat lyukaszt ki. a) Rajzolja le az összes olyan lyukasztást, amelyben minden sorban és minden oszlopban pontosan egy kilyukasztott mező van! Indokolja, hogy miért ezek és csak ezek a lehetséges lyukasztások! (4 pont) b) Rajzoljon a 2. ábrán megadott mezőbe egy olyan lyukasztást, amelyen a ki nem lyukasztott hat kis négyzetlap olyan tartományt fed le, amelynek pontosan egy szimmetriatengelye van! (A mezőkre nyomtatott számoktól most eltekintünk). Rajzolja be a szimmetriatengelyt! (3 pont) Két kisiskolás a buszra várakozva beszélget. Áron azt mondja, hogy szeretné, hogy a buszjegyen kilyukasztott három szám mindegyike prím lenne. Zita pedig azt reméli, hogy a számok összege 13 lesz. c) Mekkora valószínűséggel teljesül Áron, illetve Zita kívánsága? (9 pont) 1.ábra
2.ábra
Megoldás: a)
Minden sorban kell lyukasztásnak lenni. Az első sorban 3 lehetőségünk van a lyuk kiválasztására, a második sorban 2, ezek pedig egyértelműen meghatározzák a harmadik sort. (1 pont) A megfelelő lyukasztások száma: 3 2 1 6 (1 pont) A megoldások: (2 pont)
b) Néhány jó példa a megoldásra:
c)
(2 (1 (1 (1
Szimmetriatengely berajzolása Az első kilenc pozitív egész között 4 prímszám van Kedvező esetek száma 4 9 Az összes lehetséges lyukasztások száma: 84 3 4 Áron kívánsága P 0, 048 valószínűséggel teljesül 84 Zita kívánságának 7 számhármas felel meg:
(2 pont) (1 pont)
1;3;9 1; 4;8 1;5;7 2;3;8 2; 4;7 2;5;6 3; 4;6
A keresett valószínűség P
pont) pont) pont) pont)
(3 pont)
7 0, 083 84
(1 pont) Összesen: 16 pont
7) András edzőtáborban készül egy úszóversenyre, 20 napon át. Azt tervezte, naponta 10000 métert úszik. De az első napon a tervezettnél 10%-kal többet, a második napon pedig az előző napinál 10%-kal kevesebbet teljesített. A 3. napon ismét 10%-kal növelte előző napi adagját, a 4. napon 10%-kal kevesebbet edzett, mint az előző napon és így folytatta, páratlan sorszámú napon 10%-kal többet, pároson 10%-kal kevesebbet teljesített, mint a megelőző napon. a) Hány métert úszott le András a 6. napon? (4 pont) b) Hány métert úszott le összesen a 20 nap alatt? (6 pont) c) Az edzőtáborozás 20 napjából véletlenszerűen kiválasztunk két szomszédos napot. Mekkora a valószínűsége, hogy András e két napon együttesen legalább 20000 métert teljesített? (6 pont) Megoldás: a)
Jelölje an az n-edik napon leúszott hosszat, méterben mérve. a1 10000 1,1 11000
a2 a1 0,9 10000 1,1 0,9 9900
a3 a2 1,1 10000 1,12 0,9 10890 a 4 a3 0,9 10000 1,12 0,92 9801
(1 pont) (1 pont)
a5 a4 1,1 10000 1,13 0,92 10781
(1 pont) a 4 a5 0,9 10000 1,13 0,93 9703 A hatodik napon tehát kb. 9703 métert úszott (1 pont) b) A páratlan és páros sorszámú napokon leúszott hosszak is egy-egy mértani sorozat első 10 tagját alkotják. A páratlan sorszámúaknak az elő tagja 11000, hányadosa 0,99, a páros sorszámúak első tagja 9900, hányadosa 0,99.(1 pont) A páratlan sorszámú napokon: (1 pont) S ptl a1 a3 ... a19 11000 11000 0,99 ... 11000 0,999
1 0,9910 105179,7 1 0,99 A páros sorszámú napokon: S ps a2 a4 ... a20 9900 9900 0,99 ... 9900 0,999 11000
(1 pont)
1 0,99 (1 pont) 94661,7 1 0,99 Az első húsz napon kb. 199841 métert úszott összesen (1 pont) Az edzések 20 napja közül két szomszédos nap 19-féleképpen választható ki (1 pont) Ha két szomszédos nap során összességében nem teljesül a tervezett 20000 méter, később se fog, mert az összteljesítmény csökken (1 pont) napok naponta leúszott táv kétnapi össztáv száma (n) méterben an bn an an 1 9900
c)
(1 pont)
10
1. 11000 2. 9900 3. 10890 4. 9801 5. 10781 6. 9703 7. 10673 8. 9606 9. 10566 10. 9510 11. 10461 a táblázat kedvező esetek száma 9 A keresett valószínűség P
9 0, 474 19
20900 20790 20691 20582 20484 20376 20279 20172 20076 19971 (2 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 16 pont
8) A K középpontú és R sugarú kört kívülről érinti az O középpontú és r sugarú R r . A KO egyenes a nagy kört A és E, a kis kört E és D pontokban metszi. Forgassuk el a KO egyenest az E pont körül hegyesszöggel! Az elforgatott egyenes a nagy kört az E-től különböző B pontban, a kis kört C pontban metszi. a) Készítsen ábrát! Igazolja, hogy az ABCD négyszög trapéz! (5 pont) b) Igazolja, hogy az ABC háromszög területe: t R R r sin 2 ! (7 pont) c) Mekkora szögnél lesz az ABC háromszög területe maximális, az adott R és r esetén? (4 pont) Megoldás: a)
Jó ábra (1 pont) Thálesz-tétel miatt (1 pont) (1 pont) ABE DCE 90 Mivel AB és CD merőleges a BC egyenesre, ezért az ABCD négyszögnek van párhuzamos oldalpárja, azaz trapéz. (2 pont) b) Az ABE derékszögű háromszögben BE 2R cos (1 pont) és AB 2R sin (1 pont) A DCE derékszögű háromszögben EC 2r cos (1 pont) Így BC 2R cos 2r cos 2 r R cos (1 pont)
c)
Mivel az ABC derékszög, AB BC AB BE EC így TABC 2 2 Így TABC 2R r R sin cos R r R sin2
(1 pont)
Mivel TABC R r R sin2 (és R r R pozitív)
(1 pont)
ezért TABC akkor maximális, ha sin2 1 azaz 45
(1 pont) (1 pont) (2 pont) (1 pont) Összesen: 16 pont
9) Öt egyetemista: Bence, Kati, Márti, Pali és Zoli nyáron munkát szeretne vállalni egy üdülőhelyen. A helyi újságban több megfelelőnek látszó munkahelyet is találtak, mégpedig a következőket: három éttermet, ahova csak fiúkat, két fodrászatot, ahova csak lányokat vesznek fel és két fagyizót, amelyekbe viszont alkalmaznak fiúkat és lányokat is. (Egyik munkahelyen sincs létszámkorlátozás.) a) Hányféleképpen helyezkedhet el az öt fiatal, ha mind az öten egymástól függetlenül döntenek az állásokról, és minden fiatal csak egy állást vállal? (Az azonos típusú munkahelyeket is megkülönböztetjük.) (7 pont) b) Hányféleképpen helyezkedhet el az 5 fiatal, ha a 2 lány nem akar ugyanazon a helyen dolgozni, és a 3 fiú közül bármelyik kettő különböző helyre szeretne menni? (4 pont) Bence, Kati, Pali és Zoli asztaliteniszben körmérkőzést játszanak. (A körmérkőzés azt jelenti, hogy mindenki mindenkivel pontosan egy mérkőzést játszik.) Az első este csak három mérkőzést játszanak le. c) Hányféle lehet a három mérkőzésben a játékosok párosítása, ha tudjuk, hogy négyük közül pontosan két játékos két-két mérkőzést játszott? (5 pont) Megoldás: a)
Minden fiú öt lehetőség közül választhat (1 pont) 3 ez együtt 5 lehetőség (1 pont) minden lány négy lehetőség közül választhat (1 pont) 2 ez összesen 4 lehetőség (1 pont) A választásuk független egymástól, ezért az elhelyezkedési lehetőségek száma (2 pont) 53 42 = 2000 (1 pont) b) A három fiú az öt helyre összesen 5 4 3 60 -féleképpen helyezkedhet el (1 pont) A két lány a négy helyre 4 3 12 -féleképpen helyezkedhet el (1 pont) A fiúk és a lányok választásai függetlenek egymástól, így az összes elhelyezkedések száma: 60 12 720 (2 pont) c)
4 A körmérkőzésen két mérkőzést játszók kiválasztása: 6 -féleképpen lehet 2 (2 pont) A két-két mérkőzést játszó bármelyik diák két személy közül választhatja az egy mérkőzést játszó társát (2 pont) Ezért összesen 6 2 12 párosítás lehetséges (1 pont) Összesen: 16 pont
