MATEMATIKA BISNIS
BUNGA
Ada 2 macam bunga: 1. Bunga Tunggal 2. Bunga Majemuk/bunga berbunga • Untuk menghitung jumlah bunga (= I) tergantung dari:
– Jumlah pokok baik yang ditabung atau jumlah hutang piutang (=P) – Tingkat bunga dalam % (= r) – Jumlah waktu atau lamanya (= t)
• • • • •
Sehingga: I = P.r.t Nilai r dipengaruhi t S = nilai total saat jatuh tempo S=P+I
Perluasan Rumus S= P + I S= P + P.r.t S= P ( 1 + r.t) P=
S (1+ r.t)
P= S (1 + r.t) -1 (1 + r.t) -1 adalah faktor discount
• Bapak Amir meminjam uang kepada temannya sebesar Rp. 600.000,- dan dikenakan tingkat bunga r= 12%. Bpk. Amir berjanji akan melunasi seluruh hutangnya + bunga 5 bulan lagi. Berapa jumlah uang yang harus dibayar Bpk Amir saat jatuh tempo (=S)? Jawab: • I = P.r.t • I = Rp.600.000,- x 0,12 x 5 bln 12 bln I = Rp. 600.000,- x 0,01/ bln x 5 bln I= Rp. 30.000,- (bunganya saja selama 5 Bln) S=P+I S = Rp. 600.000,- + Rp. 30.000,- = Rp. 630.000,-
P Ali menabung di koperasi awal januari 2013 sebesar Rp 2.000.000,-; r= 5%. Berapa total uang p Ali selama 2 th, jika bunga tunggal secara: a. Bulanan b. triwulanan c. Semesteran d. Tahunan JAWAB: a. S= Rp 2.000.000 x 0,05/12 x 24 bln b. S= Rp 2.000.000 x 0,05/4 x 8 triwulan c. S= Rp 2.000.000 x 0,05/2 x 4 semester d. S= Rp 2.000.000 x 0,05 x 2 tahun
Kasus Bpk jaya menabung di Bank dekat rumahnya sbb: 1 Feb 2013 menabung Rp 500.000, r= 6% Juni’13 menabung Rp 300.000 Sept,13 menabung Rp 400.000 , r= 7% Hitung Total tabungan Bp Jaya akhir Des,13, dgn bunga tunggal secara bulanan !
Bulan
1 Feb’13 1 feb- 1 juni’13 1 juni’13
Pokok (P)
Bunga (I)
500.000 500.000 500.000x0,06/12 x4 bln =10.000 300.000 -
1 juni- 1 Sep’13
800.000 800.000x 0,06/12 x 3 bln = 12.000
1 Sept ‘13
400.000 -
1 sept- akh des’13
1.200.000 1.200.000x0,07/12 x4 bln =28.000
Total (S)
500.000 510.000 810.000 822.000 1.222.000 1.250.000
Menghitung Tanggal Jatuh Tempo • Jika syarat pinjaman dinyatakan dalam bulan, maka tgl jatuh temponya akan merupakan suatu hari yang terdapat dalam bulan jatuh tempo. • Ada 2 kondisi yang digunakan: 1. Jika bulan jatuh tempo tdk genap atau tidak memiliki jml hari yg dipersyaratkan maka hari/tgl terakhir dari bln tsb berfungsi sbg tgl jatuh tempo.
contoh: Pinjaman 2 bulan yang terhitung sejak tgl 31 Des akan jatuh tempo pada tgl akhir bulan juga pada 2 bulan berikutnya, yaitu tgl 28 atau 29 Februari. 2. Jika tgl jatuh tempo pinjaman jatuh pada hari libur, maka tgl jatuh tempo tsb dimundurkan ke hari kerja berikutnya, dimana hari-hari tambahannya ikut ditambahkan ke periode tsb dlm pembebanan bunganya.
Contoh: Pinjaman 7 bulan yg dimulai pada tgl 4 Desember akan jatuh tempo pada tgl 4 Juli, dan apabila tgl 4 Juli tsb merupakan hari libur nasional, maka jatuh temponya akan mundur tgl 5 Juli.
Bila waktu pinjaman dinyatakan dalam hari: • Ada 2 macam penghitungan hari (berhubungan dgn r): 1. Bunga Eksak, dimana 1 th = 365 hari 2. Bunga Ordinary, dimana 1 th = 360 hari Bunga ordinary lebih menguntungkan pemberi pinjaman
Ada 2 cara untuk menghitung jml hari diantara 2 tgl kalender: 1. Exact time (waktu eksak) merupakan hitungan jml hari yg nyata, termasuk semua hari, kecuali hari pertama. Waktu eksak dpt dicari dgn mudah sesuai di kalender, misal:
• • • • • • • • • • • •
Jan = 31 hari Feb= 28 atau 29 hari Maret = 31 hari April = 30 hari Mei = 31 hari Juni = 30 hari Juli = 31 hari Agustus= 31 hari Sept = 30 hari Okt = 31 hari Nov = 30 hari Des = 31 hari
2. Approximate time (Waktu Kiraan) Dihitung dgn mengasumsikan bahwa dlm setiap bulan terdapat 30 hari semua tanpa pengecualian (sekalipun itu bln Feb) Contoh: waktu eksak dari 18 jan sampai 9 juli (th yg sama). Bila th tsb th kabisat, maka:
Bln Jan Feb Maret April Mei Juni 9 Juli
Hari 31 – 18 = 13 hari = 29 hari = 31 hari = 30 hari = 31 hari = 30 hari = 9 hari = 173 hari
Contoh waktu kiraan: Bln Jan Feb Maret April Mei Juni 9 Juli
Hari 30 – 18 = 12 hari = 30 hari = 30 hari = 30 hari = 30 hari = 30 hari = 9 hari = 171 hari
4 Metode menghitung bunga sederhana: 1. 2. 3. 4.
Bunga Eksak dan waktu nyata Bunga Eksak dan waktu kiraan Bunga Ordinari dan waktu nyata Bunga Ordinari dan waktu kiraan
• 1. 2. 3. 4.
Atau dgn Rumus: Ada 4 rumus mencari bunga ( = I) I = P.r eksak. t nyata I = P. r eksak . t kiraan I = P. r ordinary . t nyata I = P. r ordinary . t kiraan
BUNGA MAJEMUK • Jika bunga ditambahkan ke uang pokok pada akhir tiap-tiap periode pembayaran bunga dan kemudian ikut dipakai sebagai dasar untuk menentukan besarnya bunga periode berikutnya maka bunga seperti ini disebut COMPOUNDED (dilipatgandakan/ dimajemukkan). • Bunga dpt dikonversikan/ diubah menjadi uang pokok dan dpt dimajemukkan secara:
tahunan, setengah tahunan, tri wulanan, empat bulanan, bulanan, mingguan, harian, dll, tetapi harus kontinyu (sama terus). • Bila dimajemukkan secara harian maka jml hari dlm setahun yg dipakai umumnya 365 hari. • Tarif bunga biasanya dinyatakan sebagai tarif bunga tahunan dan dikenal sbg tarif bunga nominal (nominal rate of nominal).
Notasi Yang: Digunakan • P = uang pokok atau nilai sekarang dari S • S = Jml majemuk dari P, atau nilai jatuh tempo dari P atau nilai akumulasi dari P. • m = banyaknya periode pembayaran bunga dlm setahun. • Jm =tarif bunga nominal per tahun yang dimajemukkan m kali dlm setahun. • i = tarif bunga per periode pembayaran bunga. • n =banyaknya periode pembayaran bunga dlm keseluruhan waktu atau disebut total periode pembayaran bunga
• Tarif bunga per periode (i) = tarif bunga nominal bagi banyaknya periode pembayaran bunga dlm setahun. • i = jm/ m • Contoh: • Tarif bunga nomianal adalah 10%, dan bunga dimajemukkan setengah tahun sekali. Berapa tarif bunga per periode?
JAWAB • m= 2 (bunga dimajemukkan 2 kali setahun) • jm = j2 = 10% = 0,10 • i = jm/ m = 10% / 2 = 5% = 0,05
n = Tahun x m
Menghitung Tarif bunga efektif
J= (1 + Jm m
m )
-1
contoh • Suatu lembaga kredit menawarkan 3 jenis sertifikat investasi yg masing-masing mempunyai tarif bunga nominal j2 = 11,6% ; j4= 11,5% ; dan j12= 11,4%. • Sertifikat mana yg akan memberikan hasil pengembalian investasi yg paling besar?
Jawab: • j2 = 11,6% 1. j = ( 1 + 0,116/2)2 – 1 = 0, 119364 = 11,9364% • j4 = 11,5% 2.j= (1 + 0,115/4)4 - 1 = 0,120055112 = 12,0055112% • j12 = 11,4% 3. j= (1 + 0,114/12)12 - 1 = 0,1201492163 = 12,01492163% Pilih investasi ke 3, krn bunga lebih besar
RUMUS BUNGA MAJEMUK Nilai Akumulasi = Pokok x Faktor Akumulasi S = P (1 + i )n P= S/ (1+i)n atau p= S. (1+i) –n I = S - P Rms dapat dikembangkan: P = S ________ (1 + i )n I = n
S i/n - 1 P log S/P = ______ log (1 + i)
Contoh: • Pada awal bln Des’06 . Ali menabung di BCA sebesar Rp. 100.000,-. Bunga dimajemukkan secara bulanan (j12) dengan tingkat bunga 12%.Hitunglah uang Ali pada awal April 2007! • • • • •
Jawab: Diketahui: P P = Rp. 100.000,m = 12 i= 12% / 12 bln= 1% per bln=0,01/bln
Penghitungan secara manual • Bulan Awal Des’06 Awal Jan;07
=Rp.100.000,-(=P) = I= Rp.100.000,- x 0,01 = Rp.1.000,Sehingga Total(S)= Rp. 100.000,- + Rp. 1.000,S = Rp. 101.000,Awal Feb’07 = nilai Rp.101.000,- menjadi P lagi I = Rp. 101.000,- x 0,01= 1.010,S=Rp. 102.010,-
Awal Maret’07 = nilai P adalah Rp. 102.010,Shg I = Rp.102.010,- x 0,01 = Rp.1.020,1 S = 102.010 + Rp.1.020,1 S = Rp.103.030,1,Awal April’07 = nilai Rp.103.030,1,- adalah = P Shg: I = Rp.103.030,1,- x 0,01 = Rp.1.030,301,S= Rp. 103.030,1,- + Rp. 1.030,301,S= Rp.104.060,401 = total uang sampai dgn Awal April’07
Jika menggunakan rumus: S = P (1 + i )n S= Rp. 100.000,- ( 1 +( 0,12:12)4 S= Rp. 100.000,- (1,01)4 S=Rp. 100.000,- x 1,04060401 S=Rp.104.060,401,Cara kalkulator: 100000x((1+(0,12:12))^4= ….. n = 4 krn: Awal des --– Awal jan -- - Awal Feb -- -- Awal Mrt -- Awal April
1
2
3
4
S= P. r/365 .t nyata harian S= P. r/365. t kiraan S= P. r/360. t nyata S= P. r/360 . t kiraan Tunggal/sederhana: Bulanan S= P. r/12 x ….bln Triwulanan S= P. r/4 x….tw Semesteran S= P. r/2 x …smtr Tahunan S= P. r/1 x ….th BUNGA
Majemuk:
harian(365)
S= P (1+ i) n hari
Bulanan Triwulanan Semesteran Tahunan
S= P (1+ i) n bulan S= P (1+ i) n tw S= P (1+ i) n smtr S= P (1+ i) n tahun
