LOGO
MATEMATIKA BISNIS (Deret)
DOSEN FEBRIYANTO, SE., MM.
www.febriyanto79.wordpress.com 1
MATEMATIKA BISNIS
Matematika Bisnis memberikan pemahaman ilmu mengenai konsep matematika dalam bidang bisnis.
Sehingga suatu masalah dapat menjadi lebih sederhana untuk disajikan, dipahami, dianalisa, dan dipecahkan.
2 Matematika Bisnis - Deret
(Febriyanto, SE., MM.)
MATEMATIKA BISNIS Deret hitung (DH) Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda, yaitu selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan. Contoh:
• 1) 5, 10, 15, 20, 25, 30 (pembeda = 5) • 2) 83, 73, 63, 53, 43, 33 (pembeda = - 10) • 3) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 (pembeda = 2) Matematika Bisnis - Deret
(Febriyanto, SE., MM.)
3
MATEMATIKA BISNIS Suku ke-n dari deret hitung Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah deret hitung dapat dihitung melalui sebuah rumus.
Sn = a +(n-1)b • a : suku pertama atau S1 • b : pembeda • n : indeks suku Sebagai contoh, nilai suku ke-10 (S10) dari deret hitung 5, 10, 15, 20, 25, 30 adalah • S10 = a + (n - 1)b • S10 = 5 + (10 - 1)5 • S10 = 5 + 45 • S10 = 50. Suku ke-10 dari deret hitung 5, 10, 15, 20, 25, 30 adalah 50. Matematika Bisnis - Deret
(Febriyanto, SE., MM.)
4
MATEMATIKA BISNIS Jumiah n suku deret hitung Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu adalah jumlah nilai suku-sukunya, sejak suku pertama (S1 atau a) sampai dengan suku ke-n (Sn) yang bersangkutan. Menghitung jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu n, terdapat empat bentuk rumus yang bisa digunakan n
J n Si i 1
n J n a S n 2
n 2a n - 1b 2 n J n na n - 1b 2
Jn
Jika Sn belum diketahui
Jumlah deret hitung 5, 10, 15, 20, 25, 30 sampai suku ke-10 adalah • J 10 = 10/2 (5 + S10) • J10 = 5 (5 + 50) • J10 = 275 Matematika Bisnis - Deret
(Febriyanto, SE., MM.)
5
Deret dalam Penerapan Bisnis Model Perkembangan Usaha Contoh Sebuah perusahaan menghasilkan 3.000 unit produk pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan karyawan dan peningkatan produktivitas, perusahaan dapat meningkatkan produksinya sebanyak 500 unit setiap bulan. Jika perkembangan produksinya tetap, berapa unit produk yang dihasilkannya pada bulan kelima? Berapa unit produk yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut? Diketahui: • a = 3.000 • b = 500 • n=5
Jn
Sn = a +(n-1)b S5 = 3.000 + (5 - 1)500 = 5.000
5 J 5 3.000 5.000 2
n a S n 2
20.000
• Jumlah produksi pada bulan kelima adalah 5.000 unit produk, sedangkan jumlah seluruh produk yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut 20.000 unit. Matematika Bisnis - Deret
(Febriyanto, SE., MM.)
6
Deret dalam Penerapan Bisnis Model Perkembangan Usaha Kasus 2 Besarnya penerimaan PT “ME" dari hasil penjualan barangnya Rp.620 juta pada tahun kelima dan Rp.880 juta pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung, berapa perkembangan penerimaannya per tahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp.360 juta ? Diketahui: • S5 = 620 • S7 = 880 • Sn = 360 • Ditanya: – S1 = ? – n = ? Jika penerimaan = 360 Matematika Bisnis - Deret
(Febriyanto, SE., MM.)
7
Deret dalam Penerapan Ekonomi Dalam jutaan: S7 = 880
a + 6b = 880 S5 = 620 a + 4b = 620 Sn = a +(n-1)b 2b = 260 b = 130. Perkembangan penerimaan per tahun sebesar Rp 130 juta. a + 4b = 620 a = 620 - 4b a = 620 - 4(130) a = 100 Penerimaan pada tahun pertama (S1) sebesar Rp 100 juta. 360 = 100 + (n - 1) 130 360 = 100 + 130n - 130 360 = 100 - 130 + 130n 360 = -30 + 130n 360 + 30 = 130n 390 = 130n 390/130 = n n = 3 Penerimaan sebesar Rp 360 juta diterima pada tahun ketiga. Matematika Bisnis - Deret
(Febriyanto, SE., MM.)
8
Deret Deret Ukur (DU) Deret ukur ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda, yakni merupakan hasil bagi nilai suatu suku terhadap nilai suku di depannya. Contoh
• 3, 6, 12, 24, 48, 96 (pengganda = 2) • 512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda = 0,5) • 1, 4, 16, 54, 216 (pengganda = 4) Matematika Bisnis - Deret
(Febriyanto, SE., MM.)
9
Deret Suku ke-n dari DU Rumus penghitungan suku tertentu dari sebuah deret ukur:
• Sn = apn-1 » a : suku pertama » p : pengganda » n : indeks suku Contoh
• Nilai suku ke 10 (S10) dari deret ukur 3, 6, 12, 24, 48, 96 adalah » S10 = 3 (2)10-1 » S10 = 3 (512) » S10 = 1536
• Suku ke 10 dari deret ukur tersebut adalah 1536 Matematika Bisnis - Deret
(Febriyanto, SE., MM.)
10
Deret Jumlah n suku deret hitung Jumlah deret ukur sampai suku tertentu adalah jumlah nilai dari suku pertama sampai dengan suku ke-n. Rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni:
a(p n 1) Jn p -1 Jika : p 1
atau
a(1 p n ) Jn 1 p Jika : p 1
Contoh: • Jumlah n suku ke 10 dari deret hitung 3, 6, 12, 24, 48, 96 : • Diketahui 3(2 10 1) J 10 –a=3 2 -1 – p = 2 p>1 3(1023) J 10 3069 1 Matematika Bisnis - Deret
(Febriyanto, SE., MM.)
11
Deret dalam Penerapan Bisnis
Model Pertumbuhan Penduduk Pt = P1 R t-1
Dimana R = 1 + r
Pi : Jumlah pada tahun pertama (basis) Pt : Jumlah pada tahun ke-t r : persentase pertumbuhan per tahun t : indeks waktu (tahun)
Matematika Bisnis - Deret (Febriyanto, SE., MM.)
12
Deret dalam Penerapan Bisnis Model Pertumbuhan Penduduk Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat per tumbuhannya 4% per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006. Jika mulai tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5%, berapa jumlahnya 11 tahun kemudian ? Pt = P1 R t-1 Dimana: R = 1 + r P1 = 1 juta r = 0,04 R = 1,04
P tahun 2006
P1 = 1.800.943 r = 0,025 R = 1,025 Matematika Bisnis - Deret
= P12006 = 1 juta (1,04)15 = 1 juta (1,800943) = 1.800.943 jiwa
P 11 tahun kemudian = P11 P11 = 1.800.943 (1,025)10 P11 = 2.305.359 jiwa (Febriyanto, SE., MM.)
13
LOGO
(www.Febriyanto79.wordpress.com)
14
