BAB XVIII. NOTASI SIGMA, BARISAN, DERET DAN INDUKSI MATEMATIKA
n
4.
∑ KU i =1
n
i
= K ∑U i i =1
n
5.
∑ (U i ± Vi ) = i =1
Notasi Sigma :
n
6.
∑
adalah notasi sigma, digunakan untuk menyatakan
penjumlahan berurutan dari suatu bilangan yang sudah berpola. ∑ merupakan huruf capital “S” dalam abjad Yunani adalah huruf pertama dari kata SUM yang berarti jumlah.
∑U i = i =1 n
7.
∑U i = i =1
n
8.
∑U i = i =m
Bentuk umum notasi sigma:
n
9. a.
∑U i = U 1 + U 2 + U 3 + . . . + U n
n −1
∑U
i =0
m
∑U i + i =1
i =2
∑U i =1
i
dibaca penjumlahan suku U i untuk i=1 sampai
b.
∑U
i = m +1
∑U i− p =
i =m+ p
i =1
; dimana 1< m < n
i
n− p
∑U
i =m− p
n
∑ (U i + Vi ) 2 = ∑ (U i − Vi ) 2 =
i −1
n
n+ p
n
n
i
i =1
n +1
∑U i +1 =
i =1
i =1
∑V
i =1
n
n
n
∑U i ±
i+ p
n
n
∑U i + 2
∑U iVi +
∑V
n
n
n
2
i =1
∑U i - 2 2
i =1
i =1
∑U iVi + i =1
i =1
∑V i =1
2
i
2
i
dengan i=n Barisan dan Deret Aritmetika (Deret Hitung):
i = indeks penjumlahan i =1 disebut batas bawah penjumlahan i = n disebut batas atas penjumlahan {1,2,3,…,n} adalah wilayah penjumlahan
Suatu barisan U 1 , U 2 , U 3 ,…, U n −1 , U n disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku sebelum dan sesudahnya tetap, dimana selish tersebut dinamakan beda (b).
Contoh: b = U 2 - U 1 = U 3 - U 2 = U n - U n −1 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 100 dapat ditulis dengan 50
notasi sigma yaitu
∑ 2i i =1
Sifat-sifat notasi sigma:
Bentuk umum barisan aritmetika : a , a+b, a +2b,…, a+(n-1)b
Bentuk umum deret aritmetika:
n
1.
∑U i =1
i
= U1 + U 2 + U 3 + . . . + U n
a + (a+b) + (a+2b) +… + {a+(n-1)b} dimana:
n
2.
∑U i =1
n
i
=
∑U k =1
k
n
3.
∑K
a = suku pertama b = beda n = banyak suku
= nK ; dimana K adalah konstanta
i =1
www.belajar-matematika.com - 1
18. SOAL-SOAL NOTASI SIGMA, BARISAN, DERET DAN INDUKSI MATEMATIKA
25
2 . 21 =
∑ pk Æ k =5
25
∑ pk
= 42
k =5
jawabannya adalah D Catatan :
UN2004 21
1.Nilai
∑ (5n − 6) = ….
25
∑2
n=2
k =5
= 21+4 24 +2 2 +4...4+32 = 2 . 21 = 42 n kali
A. 882 B. 1030 C. 1040 D. 1957 E. 2060 Jawab: 21
∑ (5n − 6) = (5.2 – 6) + (5.3 – 6) + (5.4 – 6)+…+ (5.21 – 6) n=2
= 4 + 9 + 14+ . . .+ 99
Jawab:
n n (a + U n ) = (2a +(n-1) b) 2 2
U 4 = 17 = a + (n-1) b = a + 3b …(1) U 7 = 29 = a + (n-1)b = a + 6b …(2)
20 (2. 4 +(20-1) 5) = 10 (8 + 95) 2 = 10 . 103 = 1030 =
Dari (1) dan (2) a + 3b = 17 a + 6b = 29 -
Jawabannya adalah B
-3b = -12 b=4
EBTANAS2000 2. Diketahui
A. 20
25
25
k =5
k =5
∑ (2 − pk ) = 0, maka nilai ∑ pk = ...
B. 28
EBTANAS2000 3. Suku keempat dan suku ketujuh barisan aritmetika berturut-turut adalah 17 dan 29. Suku ke 25 barisan tersebut adalah…. A. 97 B. 101 C. 105 D.109 E. 113
a=4 b = 9 – 4 = 14 – 9 = 5 n = n(akhir) – (n(awal)-1) = 21 – (2-1) = 20 Sn =
n = 25 – (5-1) = 21 kali
C. 30
D. 42
E. 112
Jawab:
a + 3b = 17 a = 17 – 3b = 17 – 3.4 = 17 – 12 = 5 U 25 = a + (25 – 1)b = 5 + 24 . 4 = 5 + 96 = 101
25
∑ (2 − pk ) = 0 k =5
jawabannya adalah B 25
25
25
k =5
k =5
k =5
∑ (2 − pk ) = ∑ 2 - ∑ pk = 0 25
∑2 = k =5
25
∑ pk
EBTANAS1990 4. Suatu deret aritmetika, diketahui jumlah 5 suku yang pertama = 35 dan jumlah 4 suku yang pertama = 24, suku yang ke 15 = ….
k =5
25
2 (n(akhir) – (n(awal)-1) ) =
∑ pk
A. 11
B. 25
k =5
25
2 (25 – (5-1) ) =
∑ pk k =5
www.matematika-sma.com - 1
C. 31
D. 33
E. 59
Jawab: n 5 S 5 = (2a +(n-1) b) = (2a + 4b) = 5a+10b = 35….(1) 2 2 4 S4 = (2a + 3b) = 4a + 6b = 24 ….(2) 2
EBTANAS1993 6. Jumlah n suku pertama dari sebuah deret aritmetika adalah 1 Sn = n (3n – 1 ). Beda dari barisan aritmetika itu 2 adalah….
dari (1) dan (2)
A. -3
5a+10b = 35 | x 4 | ⇒ 20a + 40b = 140 4a + 6b = 24 | x 5 | ⇒ 20a + 30b = 120
jawab:
-
10b = 20 b=2
UAN2007 5. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah… E. 315
jawab: U 3 = a +(n-1) b = a + 2b = 36 …(1) U 5 + U 7 = a + 4 b + a + 6b = 144 = 2a + 10b = 144 = a + 5b = 72 ….(2) Dari (1) dan (2) a + 2b = 36 a + 5b = 72 -3b = -36 b = 12
E. 4
jumlah n suku pertama:
Beda = U n - U n −1 = U 2 - U 1
Jawabannya adalah C
C. 640 D. 630
D. 2
1 n (3n – 1 ) 2 1 1 (3 – 1 ) = 1 S1 = 2 1 2 (6 – 1 ) = 5 S2 = 2
U 15 = a + (15 – 1)b = 3 + 14 . 2 = 3 + 28 = 31
B. 660
C. 3
Sn =
5a + 10b = 35 5a = 35 – 10b 5a = 35 – 20 a = 15/5 = 3
A. 840
B. -2
U1 = S1 = 1 U n = S n - S n −1 U 2 = S 2 - S1 = 5 – 1 = 4 Beda = U 2 - U 1 = 4 – 1 = 3 Jawabannya adalah C UAN2003 7. Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 7 tahun dan usia anak ke-5 adalah 12 tahun, maka jumlah usia enam anak tersebut adalah ........
A . 48,5 tahun B . 49,0 tahun
C . 49,5 tahun E . 50,5 tahun D . 50,0 tahun
Jawab: -
a + 2b = 36 a = 36 – 2b = 36 – 24 = 12 10 (2. 12 +(10-1) 12) = 5 (24 + 108) 2 = 5 . 132 = 660
S 10 =
U 3 = a +(n-1) b = a + 2b = 7 …(1) U 5 = a +(n-1) b = a + 4 b = 12 …(2) Dari (1) dan (2) a + 2b = 7 a + 4 b = 12 - 2 b = -5 Æ b =
5 2
a+2b=7 a = 7 – 2b =7–2.
Jawabannya adalah B www.matematika-sma.com - 2
5 =2 2
jumlah n suku pertama: Sn =
Jawab:
n (2a +(n-1) b) 2
bilangan antara 450 dan 1001 yang habis dibagi 8 456, 464, 472, …, 1000 ditanya banyak bilangan (n) = ?
maka jumlah usia enam anak tersebut adalah: S6 =
U n = a + (n-1) b
6 5 (2.2 +(6-1). ) 2 2
= 3. ( 4 +
25 33 99 1 )=3( )= = 49 tahun 2 2 2 2
U n = 1000 a = 456 b = 464 – 456 = 472 – 464 = 8
Jawabannya adalah C
sehingga :
UMPTN1998 8. Antara dua suku yang berurutan pada barisan 3, 18, 33,… disisipkan 4 buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika yang baru. Jumlah 7 suku pertama dari barisan yang berbentuk adalah…
1000 = 456 + (n-1 ) . 8 = 456 + 8.n – 8 = 448 + 8n 8n = 1000 – 448 = 552 552 n= = 69 8
A. 78
B. 81
C. 84
D. 87
E. 91
jawabannya adalah C
Jawab:
SPMB2003 10. Jumlah bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 tetapi tidak habis dibagi 4 adalah…
dari barisan 3, 18, 33,… diketahui a = 3 b = 15 k=4
A. 168
B. 567
C. 651
E. 735
jawab:
beda barisan yang baru: b b'= k +1 15 = =3 4 +1
1. bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 7, 14, 21, …, 98 a=7;b=7
Jumlah 7 suku pertama barisan yang terbentuk : U n = a + (n-1) b 98 = 7 + (n-1). 7 98 = 7 + 7n – 7 98 = 7n n = 98/7 = 14
n' S n ' = { (2a + (n ' -1) b ' } 2 S7 =
D. 667
7 7 {2.3+(7-1).3} = (6+18) = 84 2 2
Sn =
Jawabannya adalah C UAN2002 9. Banyak bilangan antara 450 dan 1001 yang habis dibagi 8 adalah…
n (2a +(n-1) b) 2
14 (2 . 7 + 13. 7) 2 = 7 (105) = 735
S 14 =
A. 67 B. 68 C. 69 D. 182 E. 183
www.matematika-sma.com - 3
2. bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 dan juga habis dibagi 4 : 28, 56, 84
U 6 = ar 5 =
4 5 4 . 3 = . 243 = 108 9 9
Jawabannya adalah A
karena jumlah n sedikit kita langsung jumlah saja = S 3 = 28 + 56 + 84 = 168 Kalau dengan rumus seperti berikut:
UN2006 12. Dari suatu deret geometri yang rasionya 2 diketahui jumlah 10 buah suku pertama sama dengan 3069. Hasil kali suku ke 4 dan ke 6 dari deret tersebut=….
a = 28 ; b = 28 ; n = ? A. 3069 B. 2304 C. 4236 D. 4476 U n = a + (n-1) b 84 = 28 + (n – 1).28 84 = 28 + 28n – 28 84 = 28n n = 84/28 = 3
E. 5675
jawab : Diketahui : r=2
n (2a +(n-1) b) 2 3 S3 = (2.28 + 2 . 28) 2 3 = ( 112) = 168 ( hasilnya sama) 2
Sn =
Sn =
a (r n − 1) r −1
S 10 =
⇒ Jumlah bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 tetapi tidak habis dibagi 4 adalah :
⇒
karena r > 1
a(210 − 1) = 3069 2 −1 a.1023 = 3069 1 3069. a= = 3 1023
hasil (1) – hasil (2) = 735 – 168 = 567
U 4 = ar 3 = 3 . 2 3 = 3 . 8 = 24
jawabannya adalah B
U 6 = ar 5 = 3 . 2 5 = 3 .32 = 96
EBTANAS1999
4 3 dan suku ke 5 adalah 36. Suku ke 6 barisan tersebut adalah….
11. Dari suatu barisan geometri diketahui suku ke 2 adalah
A. 108
B.120
C.128
D. 240
E. 256
U 4 . U 6 = 24 . 96 = 2304 jawabannya adalah B
U n = ar n −1
UAN2007 13. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp.80.000.000,- Setiap 3 tahun nilai jualnya menjadi dari harga sebelumnya. Berapa 4 nilai jual setelah 3 tahun ?
4 3 4 U 5 = ar = 36
A. Rp. 20.000.000,B. Rp. 25.312.000,C. Rp. 33.750.000,-
Jawab:
U2 = a r =
U5 36 ar 4 = = U2 ar 4/3 3 r 3 = 36 . = 27 4 r = 3 27 = 3 a. r =
4 4/3 4 ⇒a = = 3 3 9
D. Rp. 35.000.000,E. Rp. 45.000.000,-
Jawab: Diketahui harga awal = a = 80.000.000 3 4 Nilai jual setelah 3 tahun = suku ke 3 = U 3 r=
www.matematika-sma.com - 4
3 2 ) 4 9 = 80.000.000 16 = 45.000.000
U 3 = ar n −1 = 80.000.000 . (
S∞ =
C. 2
1−
D.
1 2
E.
x −1 1 1 , , ,... x x x( x − 1) jumlahnya mempunyai limit, nilai x harus memenuhi…
A. x > 0 B. x < 1
1 4
C. 0<x< 1 atau x >1 D. x >2
Jumlah n suku pertama = S n = 2 n + 2 - 4 S1 = 2 3 - 4 =4
Jawabannya adalah C
Mempunyai limit (konvergen) jika |r| < 1 atau -1
-1 <
(1 )
UAN2005 15. Jumlah deret geometri tak hingga dari 16 32 + +... 3 9
A. 48 B .24 C. 19.2 D. 18 E. 16.9 Jawab: 16
3 = 2 Æ |r| < 1 , maka S = a ∞ 8 3 1− r
1 x −1 1 , , ,... x x x( x − 1)
1 1 1 x Mempunyai r = x = . = x −1 x x −1 x −1 x
S1 = U1 = a = 4 S 2 = U 1 + U 2 = 2 2+ 2 - 4 4 + U2 = 24 - 4 U 2 = 16 – 4 – 4 =8 U 2 = a. r U 8 r= 2 = =2 a 4
E. 0<x< 1 atau x >2
Jawab: Deret bilangan
r=
8 = 24 1 3
15. Agar deret bilangan
Jawab:
8+
2 3
=
SPMB2002
EBTANAS1997 14. Jumlah n suku pertama suatu deret geometri ditentukan oleh rumus S n = 2 n + 2 - 4 . Rasio dari deret tersebut adalah… B. 4
8
=
Jawabannya adalah B
Jawabannya adalah E
A. 8
a 1− r
(2)
1 <1 x −1
1 > -1 x −1 1 > -x +1 x -1 + 1 > 0 x >0 1 <1 x −1 1<x-1 x–1>1 x>2
gabungan dari (1) dan (2) didapat nilai x > 2 jawabannya adalah D
mempunyai nilai (konvergen)
catatan: x > 2 memenuhi x > 0 x > 0 tidak memenuhi x > 2
www.matematika-sma.com - 5
UAN2005 16. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25m 4 dan memantul kembali dengan ketinggian kali tinggi 5 sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga boleh berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah.. A. 100m B. 125m C. 200m D. 225m E. 250m
Jawab: Menjawab soal ini dengan membayangkan pergerakan bola pingpong tersebut yang digambarkan dengan sketsa gambarnya sbb:
25 m 20 20 16 16
terlihat pada gambar 20m dan 16m dan selanjutnya nya 4 terdiri dari dua kejadian: pantulan dari tinggi sebelumnya 5 naik ke atas dan dengan jarak yang sama turunnya.
Sehingga terjadi 2 kejadian deret yaitu naik dan turun a = 20 (bukan 25, deret terjadi awalnya pada 20) 4 r= 5 deret adalah tak terhingga karena sukunya tidak terbatas. S∞ =
a 1− r
=
20 20 = = 100 4 1 1− 5 5
Jumlah seluruh lintasan = 25m + S ∞ naik + S ∞ turun = 25m + 100m + 100m = 225m Jawabannya adalah D
www.matematika-sma.com - 6
Rumus-rumus : 1. Suku ke n barisan aritmetika (U n ) ditulis sbb:
2. Menentukan banyaknya suku baru (n ' ) Barisan lama : U 1 , U 2 , U 3 ,…, U n −1 , U n
U n = a + (n-1) b Barisan baru: U 1 , …,U 2 ,…, U 3 ,…, U 4 ,… U n 2. Jumlah n suku pertama deret aritmetika (S n ) ditulis sbb: n S n = U 1 + U 2 + U 3 + . . . + U n = (a + U n ) 2 n = (2a +(n-1) b) 2 hubungan U n dan S n adalah:
k suku banyaknya suku baru: n ' = 2 + k = 2 +(2-1)k
U n = S n - S n −1
3. Jika n ganjil, maka suku tengah barisan aritmetika (U t ) ditulis sbb: Ut =
k suku k suku k suku k suku dari barisan baru dapat dilihat bahwa U n ' = U n a. jika banyaknya suku =2 U 1 , …,U 2
1 (a + U n ) 2
b. jika banyaknya suku =3 U 1 , …,U 2 ,…, U 3 k suku k suku banyaknya suku baru: n ' = 3 +2 k = 3 +(3-1)k c. . jika banyaknya suku =4 U 1 , …,U 2 ,…, U 3 ,…, U 4
Sisipan: Suatu barisan aritmetika :
k suku k suku k suku
a , a+b, a +2b,…, a+(n-1)b
banyaknya suku baru: n ' = 4 +3 k = 3 +(4-1)k
apabila diantara dua suku disisipkan k buah bilangan , maka barisan aritmetika yang baru adalah sbb: a , (a+ b ' ), (a+2 b ' ),…,(a+k b ' ),{a+(k+1) b ' },… k buah bilangan sisipan U 1 barisan lama U 2 barisan lama
Jadi, jika banyaknya suku adalah n buah maka banyaknya suku baru adalah: n ' = n + (n-1) k 3. Jumlah n suku setelah sisipan (S n ' ) Sn
'
n' n' ' ' = (a + U n ) atau S n = { (2a + (n ' -1) b ' } 2 2
dengan b ' = beda baru setelah ada k bilangan sisipan '
1. Beda barisan baru (b ) hubungan barisan baru dan lama : a +b = a+(k+1) b ' b = (k+1) b ' b b'= k +1
U n ' = U n maka, Sn '=
n' (a + U n ) 2
contoh soal sisipan :
1. Antara bilangan 60 dan 110 disisipkan 10 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terbentuk deret b = beda deret lama ' aritmetika. Tentukan jumlah deret yang terbentuk . b = beda deret baru k = banyaknya bilangan yang disisipkan www.belajar-matematika.com - 2
jawab:
sebelum dan sesudahnya selalu tetap, perbandingan dua suku tersebut disebut pembanding atau rasio (r).
banyaknya suku awal = 2 Æn deret setelah sisipan 60+ … + 110
Jadi r =
U Un U2 = 3 = . . .= U1 U2 U n −1
Bentuk umum barisan geometri: a, ar, ar 2 , ar 3 , . . . , ar n −1 , ar n
10 bilangan Banyaknya suku baru: n ' = n+(n-1)k = 2+(2-1)10 = 12 Jumlah deret yang terbentuk : n' Sn '= (a + U n ) 2 12 (60+110) = 2 = 1020
Bentuk umum deret geometri: a + ar + ar 2 + ar 3 + . . . + ar n −1 + ar n a = suku pertama n = banyaknya suku r = rasio Rumus-rumus:
2. Diantara dua suku berurutan pada barisan 5, 15, 25,… disisipkan 4 bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika yang baru . Tentukan jumlah 10 suku pertama dari barisan yang terbentuk
dari barisan 5, 15, 25,… diketahui a = 5 b = 10 k=4 beda barisan yang baru: b b'= k +1 10 =2 = 4 +1
S 10
Sn =
a(r n − 1) untuk r >1 r −1
Sn =
a(1 − r n ) untuk r <1 1− r
Hubungan U n dan S n
Jumlah 10 suku pertama barisan yang terbentuk : Sn
U n = ar n −1 2. Jumlah n suku pertama deret geometri (S n ) ditulis sbb:
Jawab:
'
1. Suku ke n barisan geometri (U n ) ditulis sbb:
U n = S n - S n −1 3. Untuk n ganjil, maka suku tengah barisan geometri (U t ) adalah :
n' = { (2a + (n ' -1) b ' } 2
Ut =
10 = {2.5+(10-1)2} = 5(10+18) = 140 2
a.U n
Sisipan: Suatu barisan geometri:
Barisan dan Deret Geometri (Deret Hitung): Suatu barisan U 1 , U 2 , U 3 ,…, U n −1 , U n disebut barisan geometri jika perbandingan antara dua suku
a, ar, ar 2 , ar 3 , . . . , ar n −1 , ar n
www.belajar-matematika.com - 3
apabila diantara dua suku disisipkan k buah bilangan , maka barisan geometri yang baru adalah sbb:
Jawab: Barisan baru : 48, sisipan1, sisipan2, sisipan3, 768
a, ar ' , a(r ' ) 2 , a(r ' ) 3 ,…, a(r ' ) k , a(r ' ) k +1 ,… 3 sisipan k buah bilangan sisipan U 1 barisan lama
U 2 barisan lama
Banyaknya suku barisan lama n = 2 banyaknya suku barisan baru : n ' = n + (n-1) k = 2 +(2-1)3= 5
r ' = rasio baru setelah ada k bilangan sisipan rasio barisan lama , r = 1. Banyaknya suku baru:
768 = 16 48 k +1
Rasio barisan baru, r ' =
n ' = n + (n-1) k
= =
2. Rasio baru (r ' ) : hubungan rasio lama dan baru
3+1 4
r
16
24 = 2
ar = a(r ' ) k +1 Barisan geometri tak hingga:
r = (r ' ) k +1 r'=
k +1
Deret geometri yang banyak suku-sukunya tak terbatas /tak hingga dinamakan deret geometri tak hingga.
r
r = rasio lama ; k = banyaknya suku baru yang disisipkan
3. Jumlah n suku setelah sisipan (S n ' ):
Deret : a + ar + ar 2 + ar 3 + . . . + ar n −1 + ar n disebut deret terhingga dengan n suku. Deret : a + ar + ar 2 + ar 3 + . . . disebut deret tak hingga (n nya tak hingga)
Jumlah n suku pertama setelah sisipan : Jumlah n suku pertama deret geometri tak hingga :
a[(r ) − 1] ; r ' > 1 atau ' r −1 ' n ''
Sn ' =
1. Bila |r| < 1 atau -1 < r < 1
a[1 − (r ' ) n ' ] = ; r'< 1 1− r'
S∞ =
'
Sn
'
a 1− r
; dinamakan konvergen (mempunyai nilai)
2. Bila |r| > 1 S ∞ = ∞ ; dinamakan divergen (tidak mempunyai nilai)
Contoh soal sisipan: Diantara bilangan 48 dan 768 disisipkan 3 buah bilangan sehingga terbentuk barisan geometri. Tentukan rasio dan jumlah barisan setelah sisipan.
Contoh deret tah hingga:
1 1 1 + + +... 2 8 32 Berapakan jumlah deret tsb?
1. Diketahui deret geometri :
jawab: www.belajar-matematika.com - 4
Induksi Matematika:
1 1 1 ; r= 8 = Diketahui : a = 1 2 4 2
Induksi matematika adalah suatu cara pembuktian suatu pernyataan umum mengenai deret yang berlaku untuk setiap bilangan asli.
1 memenuhi syarat |r| < 1 atau -1 < r < 1, maka 4 konvergen. r=
S∞=
a 2 = 1− r 1− 1
1. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = 1 2. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = k 3. Buktikan bahwa pernyataan juga benar untuk n = k+1
1
1
=
4
2 = 4 = 2 3 6 3 4
contoh induksi matematika:
2. Apabila suatu deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 10 dengan suku pertamanya adalah 5. Berapa rasio dan jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut ?
diketahui S ∞ = 10 ; a = 5 karena S ∞ = 10 maka deret tak hingga ini adalah konvergen. a S∞ = 1− r 5 5 10 = ; 1-r = 1− r 10
1 1 1 ; r=1- = 2 2 2
Jadi rasionya: r =
1. Buktikan 2 + 4 + 6 + …+2n = n (1+n) langkah 1 :
jawab:
1–r=
Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika adalah:
1 2
untuk n = 1 masukkan nilai n =1 2n = n (1+n) 2.1 = 1 (1+1) 2 = 2 Æ terbukti langkah 2 : untuk n = k misalkan rumus berlaku untuk n = k maka rumus menjadi 2 + 4 + 6 + …+2k = k (1+k) langkah 3 :
jumlah 5 suku pertamanya:
untuk n = k+1 berdasarkan langkah 2
Karena r <1 maka
2 + 4 + 6 + …+2k = k (1+k)
a(1 − r n ) a Sn = = ( 1 - rn ) = S∞( 1 - rn ) 1− r 1− r
jika n = k +1 didapat :
1 5 1 ) ] = 10 ( 1 ) 2 32 31 310 22 = 10 . = =9 32 32 32
S 5 = 10 [1 – (
2 + 4 + 6 + …+2k+ 2(k+1) = k (1+k) + 2 (k+1)
k(1+k) Catatan: Rumus kanan awal : n (1+n) , kita masukkan n = k+1 Menjadi (k+1) (1 +(k+1)) = (k+1) (k+2) Æ ini yang akan dibuktikan
www.belajar-matematika.com - 5
ruas kanan dijabarkan
jika n = k +1 didapat :
k (1+k) + 2 (k+1) = k + k 2 + 2k +2
1 1 1 1 1 + + +...+ + k (k + 1) (k + 1)(k + 2) 2 6 12
= k 2 + 3k +2
k k +1
= (k+1)(k+2) Æ terbukti 2. Buktikan n
1
∑ m(m + 1) m =1
k 1 + k + 1 (k + 1)(k + 2)
= =
n n +1
Catatan:
n , kita masukkan n = k+1 n +1 k +1 k +1 = Æ ini yang akan dibuktikan Menjadi k +1+1 k + 2
jawab: Nilai m dimasukkan menjadi n 1 1 1 1 + + +...+ = 2 6 12 n(n + 1) n +1
Rumus kanan awal :
langkah 1 :
ruas kanan dijabarkan :
Untuk n = 1 masukkan n=1 ruas kiri dan kanan n 1 = n(n + 1) n +1
k 1 1 1 + = + k + 1 (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) =
1 1 = 1(1 + 1) 1 + 1 =
1 1 = Æ terbukti 2 2
k 2 + 2k + 1 (k + 1)(k + 2)
=
(k + 1)(k + 1) (k + 1)(k + 2)
=
k +1 Æ terbukti k+2
Misalkan rumus berlaku untuk n=k rumus menjadi
k 1 1 1 1 + + +...+ = 2 6 12 k (k + 1) k + 1
k (k + 2) + 1 (k + 1)(k + 2)
= Langkah 2: Untuk n = k
k (k + 2) 1 + (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2)
Langkah 3 : Untuk n = k+1 Berdasarkan langkah 2 :
k 1 1 1 1 + + +...+ = 2 6 12 k (k + 1) k + 1 www.belajar-matematika.com - 6
