BAB XVIII. NOTASI SIGMA, BARISAN, DERET DAN INDUKSI MATEMATIKA
n
4.
∑ KU i =1
n
i
= K ∑U i i =1
n
5.
∑ (U i ± Vi ) = i =1
Notasi Sigma :
n
6.
∑
adalah notasi sigma, digunakan untuk menyatakan
penjumlahan berurutan dari suatu bilangan yang sudah berpola. ∑ merupakan huruf capital “S” dalam abjad Yunani adalah huruf pertama dari kata SUM yang berarti jumlah.
∑U i = i =1 n
7.
∑U i = i =1
n
8.
∑U i = i =m
Bentuk umum notasi sigma:
n
9. a.
∑U i = U 1 + U 2 + U 3 + . . . + U n
n −1
∑U
i =0
m
∑U i + i =1
i =2
∑U i =1
i
dibaca penjumlahan suku U i untuk i=1 sampai
b.
∑U
i = m +1
∑U i− p =
i =m+ p
i =1
; dimana 1< m < n
i
n− p
∑U
i =m− p
n
∑ (U i + Vi ) 2 = ∑ (U i − Vi ) 2 =
i −1
n
n+ p
n
n
i
i =1
n +1
∑U i +1 =
i =1
i =1
∑V
i =1
n
n
n
∑U i ±
i+ p
n
n
∑U i + 2
∑U iVi +
∑V
n
n
n
2
i =1
∑U i - 2 2
i =1
i =1
∑U iVi + i =1
i =1
∑V i =1
2
i
2
i
dengan i=n Barisan dan Deret Aritmetika (Deret Hitung):
i = indeks penjumlahan i =1 disebut batas bawah penjumlahan i = n disebut batas atas penjumlahan {1,2,3,…,n} adalah wilayah penjumlahan
Suatu barisan U 1 , U 2 , U 3 ,…, U n −1 , U n disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku sebelum dan sesudahnya tetap, dimana selish tersebut dinamakan beda (b).
Contoh: b = U 2 - U 1 = U 3 - U 2 = U n - U n −1 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 100 dapat ditulis dengan 50
notasi sigma yaitu
∑ 2i i =1
Sifat-sifat notasi sigma:
Bentuk umum barisan aritmetika : a , a+b, a +2b,…, a+(n-1)b
Bentuk umum deret aritmetika:
n
1.
∑U i =1
i
= U1 + U 2 + U 3 + . . . + U n
a + (a+b) + (a+2b) +… + {a+(n-1)b} dimana:
n
2.
∑U i =1
n
i
=
∑U k =1
k
n
3.
∑K
a = suku pertama b = beda n = banyak suku
= nK ; dimana K adalah konstanta
i =1
www.belajar-matematika.com - 1
Rumus-rumus : 1. Suku ke n barisan aritmetika (U n ) ditulis sbb:
2. Menentukan banyaknya suku baru (n ' ) Barisan lama : U 1 , U 2 , U 3 ,…, U n −1 , U n
U n = a + (n-1) b Barisan baru: U 1 , …,U 2 ,…, U 3 ,…, U 4 ,… U n 2. Jumlah n suku pertama deret aritmetika (S n ) ditulis sbb: n S n = U 1 + U 2 + U 3 + . . . + U n = (a + U n ) 2 n = (2a +(n-1) b) 2 hubungan U n dan S n adalah:
k suku banyaknya suku baru: n ' = 2 + k = 2 +(2-1)k
U n = S n - S n −1
3. Jika n ganjil, maka suku tengah barisan aritmetika (U t ) ditulis sbb: Ut =
k suku k suku k suku k suku dari barisan baru dapat dilihat bahwa U n ' = U n a. jika banyaknya suku =2 U 1 , …,U 2
1 (a + U n ) 2
b. jika banyaknya suku =3 U 1 , …,U 2 ,…, U 3 k suku k suku banyaknya suku baru: n ' = 3 +2 k = 3 +(3-1)k c. . jika banyaknya suku =4 U 1 , …,U 2 ,…, U 3 ,…, U 4
Sisipan: Suatu barisan aritmetika :
k suku k suku k suku
a , a+b, a +2b,…, a+(n-1)b
banyaknya suku baru: n ' = 4 +3 k = 3 +(4-1)k
apabila diantara dua suku disisipkan k buah bilangan , maka barisan aritmetika yang baru adalah sbb: a , (a+ b ' ), (a+2 b ' ),…,(a+k b ' ),{a+(k+1) b ' },… k buah bilangan sisipan U 1 barisan lama U 2 barisan lama
Jadi, jika banyaknya suku adalah n buah maka banyaknya suku baru adalah: n ' = n + (n-1) k 3. Jumlah n suku setelah sisipan (S n ' ) Sn
'
n' n' ' ' = (a + U n ) atau S n = { (2a + (n ' -1) b ' } 2 2
dengan b ' = beda baru setelah ada k bilangan sisipan '
1. Beda barisan baru (b ) hubungan barisan baru dan lama : a +b = a+(k+1) b ' b = (k+1) b ' b b'= k +1
U n ' = U n maka, Sn '=
n' (a + U n ) 2
contoh soal sisipan :
1. Antara bilangan 60 dan 110 disisipkan 10 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terbentuk deret b = beda deret lama ' aritmetika. Tentukan jumlah deret yang terbentuk . b = beda deret baru k = banyaknya bilangan yang disisipkan www.belajar-matematika.com - 2
jawab:
sebelum dan sesudahnya selalu tetap, perbandingan dua suku tersebut disebut pembanding atau rasio (r).
banyaknya suku awal = 2 Æn deret setelah sisipan 60+ … + 110
Jadi r =
U Un U2 = 3 = . . .= U1 U2 U n −1
Bentuk umum barisan geometri: a, ar, ar 2 , ar 3 , . . . , ar n −1 , ar n
10 bilangan Banyaknya suku baru: n ' = n+(n-1)k = 2+(2-1)10 = 12 Jumlah deret yang terbentuk : n' Sn '= (a + U n ) 2 12 (60+110) = 2 = 1020
Bentuk umum deret geometri: a + ar + ar 2 + ar 3 + . . . + ar n −1 + ar n a = suku pertama n = banyaknya suku r = rasio Rumus-rumus:
2. Diantara dua suku berurutan pada barisan 5, 15, 25,… disisipkan 4 bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika yang baru . Tentukan jumlah 10 suku pertama dari barisan yang terbentuk
dari barisan 5, 15, 25,… diketahui a = 5 b = 10 k=4 beda barisan yang baru: b b'= k +1 10 =2 = 4 +1
S 10
Sn =
a(r n − 1) untuk r >1 r −1
Sn =
a(1 − r n ) untuk r <1 1− r
Hubungan U n dan S n
Jumlah 10 suku pertama barisan yang terbentuk : Sn
U n = ar n −1 2. Jumlah n suku pertama deret geometri (S n ) ditulis sbb:
Jawab:
'
1. Suku ke n barisan geometri (U n ) ditulis sbb:
U n = S n - S n −1 3. Untuk n ganjil, maka suku tengah barisan geometri (U t ) adalah :
n' = { (2a + (n ' -1) b ' } 2
Ut =
10 = {2.5+(10-1)2} = 5(10+18) = 140 2
a.U n
Sisipan: Suatu barisan geometri:
Barisan dan Deret Geometri (Deret Hitung): Suatu barisan U 1 , U 2 , U 3 ,…, U n −1 , U n disebut barisan geometri jika perbandingan antara dua suku
a, ar, ar 2 , ar 3 , . . . , ar n −1 , ar n
www.belajar-matematika.com - 3
apabila diantara dua suku disisipkan k buah bilangan , maka barisan geometri yang baru adalah sbb:
Jawab: Barisan baru : 48, sisipan1, sisipan2, sisipan3, 768
a, ar ' , a(r ' ) 2 , a(r ' ) 3 ,…, a(r ' ) k , a(r ' ) k +1 ,… 3 sisipan k buah bilangan sisipan U 1 barisan lama
U 2 barisan lama
Banyaknya suku barisan lama n = 2 banyaknya suku barisan baru : n ' = n + (n-1) k = 2 +(2-1)3= 5
r ' = rasio baru setelah ada k bilangan sisipan rasio barisan lama , r = 1. Banyaknya suku baru:
768 = 16 48 k +1
Rasio barisan baru, r ' =
n ' = n + (n-1) k
= =
2. Rasio baru (r ' ) : hubungan rasio lama dan baru
3+1 4
r
16
24 = 2
ar = a(r ' ) k +1 Barisan geometri tak hingga:
r = (r ' ) k +1 r'=
k +1
Deret geometri yang banyak suku-sukunya tak terbatas /tak hingga dinamakan deret geometri tak hingga.
r
r = rasio lama ; k = banyaknya suku baru yang disisipkan
3. Jumlah n suku setelah sisipan (S n ' ):
Deret : a + ar + ar 2 + ar 3 + . . . + ar n −1 + ar n disebut deret terhingga dengan n suku. Deret : a + ar + ar 2 + ar 3 + . . . disebut deret tak hingga (n nya tak hingga)
Jumlah n suku pertama setelah sisipan : Jumlah n suku pertama deret geometri tak hingga :
a[(r ) − 1] ; r ' > 1 atau ' r −1 ' n ''
Sn ' =
1. Bila |r| < 1 atau -1 < r < 1
a[1 − (r ' ) n ' ] = ; r'< 1 1− r'
S∞ =
'
Sn
'
a 1− r
; dinamakan konvergen (mempunyai nilai)
2. Bila |r| > 1 S ∞ = ∞ ; dinamakan divergen (tidak mempunyai nilai)
Contoh soal sisipan: Diantara bilangan 48 dan 768 disisipkan 3 buah bilangan sehingga terbentuk barisan geometri. Tentukan rasio dan jumlah barisan setelah sisipan.
Contoh deret tah hingga:
1 1 1 + + +... 2 8 32 Berapakan jumlah deret tsb?
1. Diketahui deret geometri :
jawab: www.belajar-matematika.com - 4
Induksi Matematika:
1 1 1 ; r= 8 = Diketahui : a = 1 2 4 2
Induksi matematika adalah suatu cara pembuktian suatu pernyataan umum mengenai deret yang berlaku untuk setiap bilangan asli.
1 memenuhi syarat |r| < 1 atau -1 < r < 1, maka 4 konvergen. r=
S∞=
a 2 = 1− r 1− 1
1. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = 1 2. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = k 3. Buktikan bahwa pernyataan juga benar untuk n = k+1
1
1
=
4
2 = 4 = 2 3 6 3 4
contoh induksi matematika:
2. Apabila suatu deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 10 dengan suku pertamanya adalah 5. Berapa rasio dan jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut ?
diketahui S ∞ = 10 ; a = 5 karena S ∞ = 10 maka deret tak hingga ini adalah konvergen. a S∞ = 1− r 5 5 10 = ; 1-r = 1− r 10
1 1 1 ; r=1- = 2 2 2
Jadi rasionya: r =
1. Buktikan 2 + 4 + 6 + …+2n = n (1+n) langkah 1 :
jawab:
1–r=
Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika adalah:
1 2
untuk n = 1 masukkan nilai n =1 2n = n (1+n) 2.1 = 1 (1+1) 2 = 2 Æ terbukti langkah 2 : untuk n = k misalkan rumus berlaku untuk n = k maka rumus menjadi 2 + 4 + 6 + …+2k = k (1+k) langkah 3 :
jumlah 5 suku pertamanya:
untuk n = k+1 berdasarkan langkah 2
Karena r <1 maka
2 + 4 + 6 + …+2k = k (1+k)
a(1 − r n ) a Sn = = ( 1 - rn ) = S∞( 1 - rn ) 1− r 1− r
jika n = k +1 didapat :
1 5 1 ) ] = 10 ( 1 ) 2 32 31 310 22 = 10 . = =9 32 32 32
S 5 = 10 [1 – (
2 + 4 + 6 + …+2k+ 2(k+1) = k (1+k) + 2 (k+1)
k(1+k) Catatan: Rumus kanan awal : n (1+n) , kita masukkan n = k+1 Menjadi (k+1) (1 +(k+1)) = (k+1) (k+2) Æ ini yang akan dibuktikan
www.belajar-matematika.com - 5
ruas kanan dijabarkan
jika n = k +1 didapat :
k (1+k) + 2 (k+1) = k + k 2 + 2k +2
1 1 1 1 1 + + +...+ + k (k + 1) (k + 1)(k + 2) 2 6 12
= k 2 + 3k +2
k k +1
= (k+1)(k+2) Æ terbukti 2. Buktikan n
1
∑ m(m + 1) m =1
k 1 + k + 1 (k + 1)(k + 2)
= =
n n +1
Catatan:
n , kita masukkan n = k+1 n +1 k +1 k +1 = Æ ini yang akan dibuktikan Menjadi k +1+1 k + 2
jawab: Nilai m dimasukkan menjadi n 1 1 1 1 + + +...+ = 2 6 12 n(n + 1) n +1
Rumus kanan awal :
langkah 1 :
ruas kanan dijabarkan :
Untuk n = 1 masukkan n=1 ruas kiri dan kanan n 1 = n(n + 1) n +1
k 1 1 1 + = + k + 1 (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) =
1 1 = 1(1 + 1) 1 + 1 =
1 1 = Æ terbukti 2 2
k 2 + 2k + 1 (k + 1)(k + 2)
=
(k + 1)(k + 1) (k + 1)(k + 2)
=
k +1 Æ terbukti k+2
Misalkan rumus berlaku untuk n=k rumus menjadi
k 1 1 1 1 + + +...+ = 2 6 12 k (k + 1) k + 1 Langkah 3 : Untuk n = k+1 Berdasarkan langkah 2 :
k 1 1 1 1 + + +...+ = 2 6 12 k (k + 1) k + 1 www.belajar-matematika.com - 6
http://matematikariadotorg.wordpress.com
k (k + 2) + 1 (k + 1)(k + 2)
= Langkah 2: Untuk n = k
k (k + 2) 1 + (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2)
