Matematické základy

Nelineární systémy

3 / Matematické základy

Přehled 1. Úvod 2. Příklady 3. Matematické základy 4. Stabilita a Lyapunovova funkce 5. Řízení NS pomocí přibližné linearizace. Gain scheduling 6. Řízení NS pomocí strukturálních metod – základní pojmy 7. Struktura a řízení NS s jedním vstupem a výstupem 8. Struktura a řízení NS s více vstupy a výstupy

Letní semestr 2007

Nelineární systémy | 3 | S. Čelikovský | FEL ČVUT

2

Přehled

NS1. Úvod NS2. Euklidovský prostor a spojité funkce NS3. Vektorový prostor NS4. Věta o pevném bodě NS5. Existence a jednoznačnost řešení NS6. Závislost řešení na počátečních podmínkách

Letní semestr 2007


3

Úvod budeme zkoumat základní vlastnosti rovnice x& = f (x,t) , které z ní dělají vhodný matematický model fyzikálních systémů při experimentech s fyzikálními systémy (třeba s kyvadlem) začneme z nějakého počátečního stavu v čase t0 a očekáváme, že se systém bude pohybovat a jeho stav bude definován v (aspoň nejbližší) budoucnosti t > t0 systém je deterministický, takže také očekáváme, že pokud budeme experiment přesně opakovat, systém se bude chovat stejně a jeho budoucí stavy budou stejné chování systému můžeme takto predikovat, když tzv. počáteční problém x& = f ( x, t ), x(t0 ) = x0 bude mít jediné řešení abychom zajistili existenci a jednoznačnost řešení, musíme trochu omezit pravou stranu typické omezení je tzv. f ( x, t ) − f ( y , t ) ≤ l x − y Lipschitzova podmínka pro všechna (x, t) a ( y, t ) z nějakého okolí ( x0 , t0 )

Letní semestr 2007


4

Úvod / 2 podstatným faktorem pro planost nějakého matematického modelu je spojitá závislost na datech problému model by měl být takový, aby malá chyba v datech nezpůsobila veliké chyby v řešení data problému jsou t0 , x0 a tvar a parametry funkce na pravé straně f ( x, t ) řešení by mělo být spojitě závislé na těchto datech ukážeme, že za jistých podmínek je a trochu budeme zkoumat citlivost

Letní semestr 2007


5

Euklidovský prostor

Euklidovský prostor prostor vektorů reálných čísel se sčítáním vektorů a násobením vektoru skalárem euklidovský n

označujeme ho R n norma v R je reálná funkce s vlastnostmi

x = 0⇔ x = 0

x ≥ 0 ∀x ∈ R n

αx = α x

∀α ∈ R

x+ y ≤ x + y

n

trojúhelníková nerovnost

n příklady norem v R

x

∞

= max { xi , i = 1,K , n}

x 1 = ∑ i =1 xi n

x

p

=

(∑

Letní semestr 2007

n i =1

xi

p

)

1 p

, 1≤ p < ∞

pro p = 2 je to Eukleidovská n.


7

Vlastnosti norem v Euklidovském p. p-normy v R n jsou ekvivalentní:

Například:

∃k1 , k2 , k3 , k4 : ∀x ∈ R n :

x

k1 x α ≤ x

x

k3 x

β

β

≤ k2 x α

≤ x α ≤ k4 x

β

x

2 ∞ ∞

≤ x1≤

n x

≤ x

n x

2

≤

≤ x1≤n x

2 ∞

∞

nemusíme se moc starat o konkrétní výběr normy klasický výsledek pro p-normy je Hölderova nerovnost x y ≤ x T

Letní semestr 2007

p

1 1 y q , + =1 p q


8

Posloupnosti v Euklidovském p.

(

Posloupnost xn , prvku x jestliže

n = 1, 2,K ) vektorů z R n konverguje k ∀ε > 0 ∃N (ε ) takové, že

xn − x < ε ∀ n ≥ N (ε ) jinými slovy

xn − x → 0 n → ∞

Letní semestr 2007


9

Kompaktní množiny Podmnožina platí:

K ⊂ X

se nazývá kompaktní, jestliže

Z každé posloupnosti { xn ∈ K , n ∈ N} můžeme vybrat konvergentní podposloupnost. Platí: každá omezená uzavřená množina v konečně dimenzionálním prostoru je kompaktní. V prostorech nekonečné dimenze platí: Je-li množina kompaktní, je uzavřená a omezená. Obráceně ne!

Letní semestr 2007


10

Spojité funkce m n funkce f : R → R je spojitá v bodě x když f ( xk ) → f ( x ) kdykoli xk → x ekvivalentně f je spojitá v x pokud ∀ε > 0 ∃δ > 0 : x − y < δ ⇒ f ( x ) − f ( y ) < ε f je spojitá na S pokud je spojitá v každém bodě S a je stejnoměrně (uniform) spojitá na S pokud δ nezávisí na výběru bodu na kompaktu je spojitost a stejnoměrná spojitost totéž lineární kombinace a kompozice spojitých funkcí jsou spojité obraz kompaktu ve spojité funkci je kompakt obraz souvislé množiny ve spoj. funkci je souvislý n funkce f : R → R je po částech spojitá na intervalu J ⊂ R pokud má na každém jeho omezeném podintervalu nejvýše konečně mnoho skokových nespojitostí (ex. lim. zprava a zleva)

Letní semestr 2007


11

Diferencovatelné funkce m n funkce f : R → R je diferencovatelná v bodě x když exist. f ( x + h) − f ( x ) lim = f ′( x ) h →0 h zvaná derivace v bodě m n funkce f : R → R je spojitě diferencovatelná v bodě x0 jestliže tam všechny první parciální derivace ∂f i ∂x j existují a jsou spojité pro spojitě diferencovatelnou funkci f : R m → R definujeme řádkový vektor ∂f ⎡ ∂f ∂f ⎤ =⎢ ,K , ⎥ ∂x ⎣ ∂x1 ∂xn ⎦ T a gradient ⎡ ∂f ⎤ ∇f ( x) = ⎢ ⎥ ⎣ ∂x ⎦ pro spojitě diferencovatelnou funkci f : R m → R n definujeme Jacobiho matici výrazem ⎡ ∂f ⎤ ∂f i = ⎢ ∂x ⎥ ⎣ ⎦ ij ∂x j

Letní semestr 2007


12

Střední hodnota a implicitní funkce n čárový segment spojující dva různé body x , y ∈ R je L ( x, y ) = { z : z = θ x + (1 − θ ) y , 0 < θ < 1} m nechť f : R → R je spojitě diferencovatelná na otevřené S a nechť x,y jsou dva body S takové že L ( x, y ) ⊂ S . Pak ∂f ∃z ∈ L ( x , y ) : f ( x ) − f ( y ) = ( y − x) ∂x x = z

Nechť f : R × R → R je spojitě diferencovatelná v každém bodě otevřené množiny S ⊂ R n × R m a nechť ( x0 , y0 ) ∈ S je takový bod, že f ( x0 , y0 ) = 0 ⎡ ∂f ⎤ a Jacobiho matice ⎢⎣ ∂x ⎥⎦ ( x , y ) je nesingulární 0 0 n m n Pak existují okolí U ⊂ R bodu x 0 ∈ R a V ⊂ R m bodu y 0 ∈ R ∀y ∈ V : f ( x, y ) = 0 má jediné řešení x a to řešení lze vyjádřit jako x = g ( y ) spojitě diferencovatelnou v y0 n

Letní semestr 2007

m

n


13

Nerovnost Bellmana-Gronwalla Lemma (Bellman-Gronwall): Nechť λ (t ), µ (t ) : [a, b] → R jsou spojité nezáporné funkce. Jestliže spojitá funkce y (t ) : [a, b] → R splňuje t

y (t ) ≤ λ (t ) + ∫ y ( s ) µ ( s )ds a0 pro t ∈ [ a, b] , pak také na stejném intervalu t

t

µ (τ ) dτ ∫ s y (t ) ≤ λ (t ) + ∫ λy ( s ) µ ( s )e ds a0 t

µ (τ ) dτ ∫ a y (t ) ≤ λ e

pokud je λ (t ) ≡ λ konstantní, pak pokud je navíc ještě µ (t ) ≡ µ konstantní, pak

Letní semestr 2007

y (t ) ≤ λ e µ ( t − a )


14

Lemma: Bellman-Gronwall / 2 Důkaz: Označíme

t

z (t ) = ∫ µ ( s ) y ( s )ds a v(t ) = z (t ) + λ (t ) − y (t ) ≥ 0 0

Pak z je diferencovatelná a dz (t ) = µ (t ) y (t ) = µ (t ) z (t ) + µ (t )λ (t ) − µ (t )v(t ) dt To je skalární lineární diferenciální rovnice se stavovou t přechodovou funkcí µ (τ ) dτ s počáteční podmínkou

Φ (t , s ) = e ∫s z (a ) = 0 má její řešení tvar

t

z (t ) = ∫ Φ (t , s )( µ ( s )λ ( s ) − µ ( s )v( s ))ds t

člen

a

∫ Φ(t , s) µ ( s)v( s)ds

je nezáporný, takže

a

Letní semestr 2007


15

Lemma: Bellman-Gronwall / 2 Proto

t

t

a

a

t

µ (τ ) dτ ∫ s z (t ) ≤ ∫ Φ (t , s ) µ ( s )λ ( s )ds = ∫ e µ ( s )λ ( s )d

Jelikož Pokud

t

, důkaz je hotov.

y (t ) ≤ λ (t ) + z (t )

λ (t ) ≡ λ , pak

∫ µ ( ) s e ∫

t

s

µ (τ ) dτ

a

Pokud i µ (t ) ≡ µ

Letní semestr 2007

s =t

µ (τ ) dτ ⎧ ∫s µ (τ ) dτ ⎫ d ⎧ ∫s µ (τ ) dτ ⎫ ∫ s ds = ∫ ⎨e ⎬ds = − ⎨e ⎬ = −1 + e ds ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ s=a a t

t

t

t

, vypočteme integrál.


16

Věty o kontrakci

Pevný bod Definice Zobrazení T z vektorového prostoru X do vektorového prostoru Y * x má pevný bod když

T ( x* ) = x* v dalším budeme označovat

T ( x* ) = Tx*

pojem pevného bodu je užitečný při zkoumání řešitelnosti diferenciálních rovnic

Letní semestr 2007


18

Globální teorém o kontrahujícím zobrazení Globální neboli Banachova věta o k.z.: Nechť ( X ,| . |) je Banachův prostor a T : X a X takové, že ∃ρ < 1:

Tx − Ty ≤ ρ x − y ∀x, y ∈ X Pak existuje právě jedno

je zobrazení

kontrahující

x* ∈ X takové, že T ( x* ) = x*

je globální, neboť platí stejnoměrně na celém prostoru hypotézu nelze oslabit na Tx − Ty ≤ x − y ∀x, y ∈ X

Letní semestr 2007


19

Globální teorém o kontrahujícím zobrazení

protipříklad - oslabení: funkce T ( x ) = x + π 2 − tan −1 x splňuje oslabenou podmínku (má derivaci x 2 (1 + x 2 ) < 1 ∀x ), přičemž ovšem neexistuje ρ v předpokladech věty, 2 neboť

< 1 splňující podmínku

x sup x∈R =1 2 1+ x

Zobrazení nemá pevný bod - musel by být x* = tan(π 2), což neexistuje!

Letní semestr 2007


20

Globální teorém o kontrahujícím zobrazení / 2 Důkaz: Vezměme libovolné x0 ∈ X a definujme posloupnost xn +1 = Txn , n = 0,1,K Opakovaně použijeme podmínku kontrakce

xn +1 − xn ≤ ρ xn − xn −1 ≤ L ≤ ρ n x1 − x0 Pro m = n + r použijeme trojúhelníkovou nerovnost pro normy r −1

r −1

i =0

i =0

xm − xn ≤ ∑ xn + i +1 − xn + i ≤ ∑ ρ n + i

ρn x1 − x0 ≤ x1 − x0 1− ρ

ρ < 0 pak pro ε > 0 jistě existuje dost velké N tak, že xm − xn < ε ∀m > n ≥ N , tedy posloupnost je Cauchyovská

Jelikož

Protože prostor je Banchův, posl. v něm má limitu. Označme ji x Protože Tx* = lim Txn = lim xn+1 = x*,

*

x* je hledaný pevný bod!

Když exist. ještě jiný x** , pak x* − x** = Tx* − Tx** ≤ ρ x* − x** Protože

ρ < 0 , máme x* = x**, tedy jednoznačnost.

Letní semestr 2007


21

Lokální teorém o kontrahujícím zobrazení podmínku lze oslabit lokálně Lokální věta o kontrahujícím zobrazení: Nechť M je podmnožina Banachova prostoru ( X ,| . |) a T : X a X je zobrazení takové, že pro nějaké ρ < 1 platí

Tx − Ty ≤ ρ x − y ∀x, y ∈ M Pokud existuje x0

∈X

lokálně kontrahující

takové, že

⎧ Tx − Tx0 ⎫ B = ⎨ x ∈ X : x − x0 ≤ ⎬⊂ M 1− ρ ⎭ ⎩ Pak T má právě jeden pevný bod v M. pokud M je uzavřená, pak druhá podmínka není nutná. Uzavřenost zaručuje, že pevný bod leží v M. Důkazy: podobné předchozímu.

Letní semestr 2007


22

Existence a jednoznačnost řešení diferenciální rovnice

ODE a její řešení Obyčejná diferenciální rovnice v R n ODE (= ordinary differential equation)

x& = f ( x, t ), t ≥ 0, x(0) = x0

ODE

řešení ve smyslu Caratheodoryho je spojitě diferencovatelná funkce času t

x(t ) = x0 + ∫ f ( x(τ ), τ )dτ

CAR

0

Letní semestr 2007


24

Řešitelnost pokud f je spojitá, je řešení spojitě diferencovatelné pokud je spojitá v x , ale jen po částech spojitá v t, pak je řešení pak řešení může být po jen částech spojitě diferencovatelné předchozí je vhodné pro popis časově proměnných systémů se skokovými změnami parametrů Příklad: 23 x ( t ) = (2 t 3) 3 rovnice x& = x , x(0) = 0 má dvě řešení:

x(t ) ≡ 0

jelikož je pravá strana spojitá, asi to pro jednoznačnost nestačí pro existenci řešení spojitost stačí to ale nebudeme dokazovat, omezíme se na jednodušší verzi Letní semestr 2007


25

Lokální existence a jednoznačnost VĚTA: Lokální existence a jednoznačnost Nechť f ( x, t )je spojitá v x a po částech spojitá v a nechť platí Lipschitzova podmínka

t

f ( x, t ) − f ( y, t ) ≤ k x − y ∀x, y ∈ B ( x0 , r ) ∀t ∈ [t1 , t2 ] kde

{

B ( x0 , r ) = x ∈ R n : x − x0 ≤ r

}

je kruh s poloměrem r a středem x0 . Pak ∃δ > 0 takové, že má rovnice ODE právě . δ] jedno řešení CAR na intervalu [t0 , t0 +

Letní semestr 2007


26

Lokální ... - Důkaz Důkaz (nový): nejprve si všimněme, že je-li pak platí CAR

x(t ) řešením ODE x& = f ( x, t ), t ≥ 0, x(0) = x0 t

x(t ) = x0 + ∫ f ( x(τ ), τ )dτ 0

a naopak, splňuje-li x (t ) CAR a je diferencovatelná, splňuje i ODE. můžeme tedy ekvivalentně zkoumat řešení integrální rovnice CAR na pravou stranu CAR se můžeme dívat jako na zobrazení nn x :[ t , t ] → spojité funkce RR . Označíme-li ho ( Px )(t ) pak 0 1 CAR x (t ) = ( Px )(t ) P je spojité v t a řešením této rovnice je pevný bod P. Existenci pevného bodu dokážeme pomocí V o p.b. Letní semestr 2007


27

Lokální ... - Důkaz / 2 K tomu musíme nejprve definovat Banachův prostor X a na něm uzavřenou množinu S takovou, že P zobrazuje S na S a přitom je na S kontrakcí Nechť X = C[t , t + δ ] 0

x

C

0

= max

{

t∈[ t0 ,t0 +δ ]

x(t )

S = x ∈ X : x − x0

C

}

kde δ a r musíme vybrat. omezíme se na δ ≤ t1 − t0 takže [t0 , t0 + δ ] ⊂ [t0 , t1 ] ukážeme, že P zobrazuje S na S:

(Px)(t) − x0 = ∫ f (x(s), s)ds =∫ [ f (x(s), s) − f (x0 , s) + f (x0 , s)] ds t1

t1

t0

t0

f je po částech spojitá, takže Letní semestr 2007

f (x0 , t) je omezená na [t0 , t1 ]


28

Lokální ... - Důkaz / 3 nechť h = max f ( x (t ), t ) t∈[ t0 ,t0 +δ ] použítím L. podmínky a faktu, že

∀x ∈ S : ∀t ∈ [t0 , t0 + δ ] : x(t ) − x0 ≤ r

dostaneme t1

(Px)(t) − x0 ≤ ∫ ⎡⎣ f (x(s), s) − f (x0 , s) + f (x0 , s) ⎤⎦ ds t0 t1

t1

≤ ∫ ⎡⎣L x(s) − x0 + h⎤⎦ ds ≤ ∫ (Lr + h)ds t0 t0 = (t − t0 )(Lr + h) ≤ δ (Lr + h) a

Px − x0 C = max (Px)(t) − x0 ≤ δ (Lr + h) t∈[t0 ,t0 +δ ]

výběrem δ ≤ r (Lr + h) zajistíme, že P zobrazuje S na S abychom dokázali, že P je kontrakce na S, vezměme x, y ∈S a uvažme, že Letní semestr 2007


29

Lokální ... - Důkaz / 4 (Px)(t) − (Py)(t) =

t1

∫ [ f (x(s), s) − f ( y(s), s)]ds t0

t1

≤ ∫ f (x(s), s) − f ( y(s), s) ds t0

t1

t1

≤ ∫ ⎡⎣L x(s) − y(s) ⎤⎦ ds ≤ ∫ dsL x − y C t0 t0 a proto

Px − Py C ≤ Lδ x − y C ≤ ρ x − y C pro δ ≤ ρ L vybereme-li tedy ρ <1,δ ≤ ρ L , zajistíme že P je kontrakce na S z věty o pevném bodu plyne, že vybereme-li

r ρ⎫ ⎧ , ⎬ , pro ρ > 1 δ ≤ min ⎨t1 − t0 , Lr + h L ⎭ ⎩

pak CAR má jediné řešení v S Letní semestr 2007


30

Lokální ... - Důkaz / 5 ještě musíme dokázat, že řešení je jediné v X, tj. mezi všemi spojitými funkcemi každé řešení ODE v X leží v S neboť x0 leží v B a každé spojité řešení x(t) tam musí zůstat po nějaký časový interval. řekněme, že x(t) opustí kruh B a že na hranici je pravě pro t = t0 + µ pak x(t0 + µ) − x0 = r t přitom ale x(t0 + µ ) − x0 ≤ [ f ( x(s), s) − f ( x0 , s) + f ( x0 , s) ]ds

∫

t0

takže

t

t

t0

t0

≤ ∫ L x(s) − x0 + h]ds ≤ ∫ ( Lr + h)ds r = x ( t 0 + µ ) − x 0 ≤ ( Lh + r ) µ ⇒ µ ≥

r ≥δ Lr + h

a x(t) nemůže opustit množinu B během intervalu [t0 , t0 +δ ] a tudíž každé řešení v X leží v S proto jednoznačnost v S implikuje jednoznačnost v X Letní semestr 2007


31

Příklady n n f : R → R Když , pak můžeme L.

podmínku napsat jako

f ( y ) − f ( x) y−x

to znamená, že úsečka spojující libovolné dva body grafu funkce musí mít sklon s absolutní hodnotou menší než l tj. žádná funkce, která má někde nekonečný sklon, v tom bodě nemůže být L. např. nespojitá funkce není L. v bodě nespojitosti funkce tj.

f ( x) = x 3

má derivaci

f ′(0) = ∞

≤l

f ′( x) =

1 1 3 x2/3

z čehož jsou ty problémy Letní semestr 2007


32

Peanova věta o existenci řešení Další věta o existenci řešení diferenciálních rovnic.

Nechť funkce f je spojitá v množině

D = {(t , y ),| t − t0 |≤ a,| y − y0 |≤ b} Označme M maximum funkce f na množině D a

b h := min( a, ) M

Pak existuje na intervalu (t0 − h, t0 řešení y(t) takové, že y (t ) = y 0

+ h) aspoň jedno

0

Peanova věta zaručuje existenci řešení, ale nikoli jeho jednoznačnost. Letní semestr 2007


33

Maximální řešení Věta o lokální existenci řešení zaručuje existenci intervalu I a funkce x : I ⎯ ⎯ → R tak, že x je řešení rovnice na I s počáteční podmínkou x0 v čase t0, který patří do intervalu I Interval I není určen jednoznačně. Máme-li řešení x1 a x2 definované na intervalech I 1 a I 2 pak funkce x definovaná

⎧ x1 ( t ) , t ∈ I 1 x (t ) = ⎨ ⎩ x 2 (t ), t ∈ I 2 je korektně zadaná a je řešením na intervalu I 1 ∪ I 2 . Zajímají nás taková řešení, která jsou definovaná na „co nejdelším“ intervalu. Existují i řešení definovaná na nejdelším možném intervalu? Letní semestr 2007


34

Maximální řešení Funkce x je prodloužením řešení

x1 i x2.

Řešení se nazývá maximální, neexistuje-li k němu žádné netriviální prodloužení. Platí: ke každému řešení diferenciální rovnice existuje maximální řešení, které je jeho prodloužením.

Letní semestr 2007


35

Globální existence a jednoznačnost Příklad Uvažme systém

x& = − x 2 , x ( 0 ) = −1

funkce f ( x ) = − x je lokálně L. ∀x ∈ R . je tedy L. na každé kompaktní podmnožině R jediné řešení 2

1 x(t ) = t −1

existuje na [0,1) pro t → 1 x (t ) opustí každou kompaktní množinu už jsme to měli jako „finite escape time“ jak další podmínka zaručí možnost neomezeného prodloužení? Letní semestr 2007


36

Globální existence a jednoznačnost VĚTA: Globální existence a jednoznačnost Nechť

f ( x, t ) je po úsecích spojitá v t a splňuje f ( x, t ) − f ( y , t ) ≤ L x − y f ( x0 , t ) ≤ h

∀x, y ∈ R n , ∀t ∈ [t0 , t1 ]

Pak má rovnice ODE právě jedno řešení CAR na intervalu

Letní semestr 2007

[t0 , t1 ]


37

Globální existence a jednoznačnost / 2 Důkaz:

Ukážeme, že konstantu δ z lokální věty lze udělat nezávislou na počátečním stavu x0 z nerovnosti pro δ v důkazu lok. v. vidíme, že závislost na x0 se projevuje přes konstantu h ve členu r ( Lr + h) protože nyní L. podmínka platí globálně, můžeme vzít libovolně velké pro každé konečné h můžeme vzít r tak, aby r ( Lr + h) > ρ pak se nerovnost pro δ redukuje na ρ⎫ ⎧

δ ≤ min ⎨t1 − t0 , ⎬ r⎭ ⎩ pokud (t1 − t0 ) < ρ / L , mohli bychom vzít δ = t1 − t0 a hotovo jinak rozdělíme [t0 , t1] na konečně mnoho podintervalů délky δ ≤ ρ L a použijeme lokální v. opakovaně Letní semestr 2007


38

r

Příklad uvažme lineární systém x& = A(t ) x + g (t ) = f ( x, t ) kde A(.), g (.) jsou po částech spojité funkce času na každém konečném intervalu [t0 , t1 ] jsou prvky A(t ), g (t ) omezené, takže A(t ) ≤ a a g (t ) ≤ b , kde g (t ) je libovolná norma v a A(t ) je indukovaná maticová norma podmínky globální věty jsou splněny, neboť

Rn

f ( x, t ) − f ( y, t ) = A(t )( x − y ) ≤ A(t ) x − y ≤ a x − y , ∀x , y ∈ a

n

, ∀t ∈ [t0 , t1 ]

f ( x0 , t ) = A(t ) x0 + g (t ) ≤ a x0 + b, ∀x0 , s∀t ∈ [t0 , t1 ]

takže dle věty má lineární systém jediné řešení na [t0 , t1 ] protože t1 může být libovolně velké, pak (za podmínek nahoře) má jediné řešení ∀t ≥ t1 a nemůže mít „únik v konečném čase“ Letní semestr 2007


39

Globální versus lokální mezi globální a lokální L. podmínkou musíme rozlišovat lokální L. vlastně požaduje hladkost a plyne ze spojité diferencovatelnosti až na nespojité nelinearity (které jsou idealizací fyzikálních jevů), je rozumné předpokládat, že fyzikální systém má funkci na pravé straně lokálně L. neplatí to jen ve výjimečných případech, které v praxi sotva potkáme naopak globální L. je omezující modely mnoha fyzikálních systémů ji nesplňují snadno zkonstruujeme rozumný hladký příklad, kdy globální L. neplatí, ale systém má přesto jediné globální řešení je tedy požadavek globální L. příliš konzervativní

Letní semestr 2007


40

Příklad skalární systém

x& = − x 3 = f ( x )

pravá strana není globálně L. protože jakobián

∂f = −3 x 2 ∂x není globálně omezený přesto má rovnice pro pp. x (t0 ) = x0 jediné řešení

x02 x (t ) = sign( x0 ) 1 + 2 x02 (t − t0 ) které je dobře definované ∀t ∈ t0 Letní semestr 2007


41

Jiná globální věta protože je požadavek globální L. moc konzervativní, chtěli bychom mít zaručenu g. s jenom lokální L. lze toho dosáhnout za cenu, že o řešení víme více

VĚTA: Globální existence a jednoznačnost Nechť f ( x, t ) je po úsecích spojitá v t a splňuje a lokálně L. ∀t ≥ t0 , ∀x z oblasti D ⊂ R Rn . Nechť W je kompaktní podmnožina D, x0 ∈ W a předpokládejme, že víme, že každé řešení rovnice

x& = f ( x, t ), x (t0 ) = x0 celé leží ve W. Pak má rovnice ODE právě jedno řešení CAR definované pro každé t ≥ t0 Letní semestr 2007


42

Důkaz a diskuse Důkaz: Dle lokální věty jediné řešení ex. na intervalu [t0 , t0 + δ ] označme maximální interval [t0 , T ) a ukažme, že T = ∞ lze ukázat, že pokud je T konečné, řešení musí opustit každou kompaktní podmnožinu D protože ale neopustí kompaktní W, musí být T = ∞ Diskuse větu můžeme použít, když něco o řešení víme, aniž bychom ho znali k tomu můžeme využít třeba Lyapunovovu teorii nebo nějaký ad hoc trik

Letní semestr 2007


43

Příklad - pokračování Uvažme opět skalární systém

x& = − x 3 = f ( x ) ∂f ∂x = −3 x 2

pravá strana je lokálně L. protože jakobián je lokálně omezený pro každý čas platí: je-li x (t ) > 0 , pak derivace x& (t ) < 0 a naopak takže pokud začneme z libovolného počátečního stavu x (t0 ) = a x ∈R n :: x ≤ a řešení neopustí kompaktní množinu aniž bychom řešení vypočetli, usoudíme z věty, že existuje jediné pro každé t ≥ 0

{

Letní semestr 2007


}

44

Spojitá závislost na počátečních podmínkách

Spojitá závislost na počátečních podmínkách Nechť je dán systém ODE s funkcí

f ( x, t )

splňující hypotézu

f ( x, t ) − f ( y, t ) ≤ kT x − y ∀x, y ∈ R nn f ( x0 , t ) ≤ hT Nechť x (.), y (.) jsou dvě jeho řešení vzcházející z pp. Pak, ∀ε > 0 ∃δ (ε , T ) :

x0 , y0

x0 − y0 ≤ δ ⇒ x(.) − y (.) < ε tj. řešení je spojitou funkcí počátečních podmínek

Letní semestr 2007


46

Spojitá závislost na počátečních podmínkách / 2 Důkaz: Jestliže jsou x (t ), y (t ) obě řešeními ODE, pak t

x(t ) − y(t ) ≤ x0 − y0 + ∫ f ( x(τ ),τ ) − f ( y(τ ),τ ) dτ 0

t

≤ x0 − y0 + kT ∫ x(τ ) − y(τ ) dτ 0

můžeme tedy použít BG lemma. Podle ní platí ∀t ∈ [0, T ]

x(t ) − y(t ) ≤ x0 − y0 ekT t Tedy pro dané

ε > 0 stačí vzít

δ=

Letní semestr 2007

ε e KT T


47

Závislost na pp. na nekonečném intervalu spojitá závislost na pp. platí jen na kompaktních intervalech na nekonečných intervalech vůbec ne - měli jsme mnoho příkladů, třeba

k odhadu konvergence/divergence dvou trajektorií na nek. intervalu se užívá Lyapunovův exponent

⎛1 ⎛ x (t ) − y ( t ) λ+ = lim sup ⎜ log ⎜⎜ ⎜t t →∞ ⎝ x0 − y0 ⎝ Letní semestr 2007

⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠⎠


48

Závislost na pp. na nekonečném intervalu / 2 z předchozích vět plyne, že pokud kT ≤ k ∀T

− k ≤ λ+ ≤ k

, pak

tento odhad je ale většinou příliš hrubý většinou t. nedivergují takto exponenciálně, zejména když začínají ve stejném „povodí“ (attracting set) pokud ano a λ+ se blíží horní mezi k , pak je systém extrémně citlivý na pp. a indikuje to chaos jedna z definic chaosu je právě založena na blízkosti Lyapunovova exponentu Lipschitzově konstantě (ve stejném povodí)

Letní semestr 2007


49

Matematické základy

Recommend Documents