Masalah dalam Menentukan Nilai Limit Suatu Fungsi Anang Wibowo, S.Pd
Semakin banyak membaca / menuntut ilmu, maka seseorang akan semakin banyak tahu akan kebodohannya, semakin mengerti bahwa ia lebih banyak tidak mengetahui dari pada apa yang ia ketahui. Akan semakin bertambah pula keinginannya untuk belajar dan belajar, tidak merasa banyak tahu sehingga malas belajar dan tak mau tahu. Dari proses itulah akhirnya muncul penasaran dalam benak ini yaitu tentang nilai limit suatu fungsi. Ada beberapa masala h yang muncul, yaitu:
Telah diketahui bersama bahwa: Definisi limit:
lim f ( x) = L (ada) ⇔ lim+ f ( x) = lim− f ( x) = L (limit kiri = limit kanan)
x→ a
A. Menentukan Nilai
x→ a
x→ a
lim f ( x )
x →a
Dari beberapa buku pelajaran yang pernah kami buka, banyak yang menyimpulkan bahwa, dengan cara SUBTITUSI akan diperoleh:
k , f (a ) = k ..............1 k lim f ( x ) = ∞, f (a ) = ..............2 x →a 0 0 BTT , f ( a ) = ..............3 0 BTT = Bentuk Tak Tentu, maka harus diproses lebih lanjut dengan cara: a). Pemfaktoran atau b). Perkalian dengan bentuk sekawan.
Yang menjadi pertanyaan adalah persamaan kedua, benarkah bahwa:
lim f ( x) = ∞, x→ a
jika f (a ) =
k 0
Perhatikan soal: Soal Pertama:
Lihat grafiknya! y
f(x)=(x+3)/(x-2)
4
2
x -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-2
-4
Dari grafik diketahui bahwa nilai limit kiri dan limit kanan tidak sama untuk x mendekati 2, sehingga sesuai definisi, limit f(x) untuk x mendekati 2 adalah TIDAK ADA.
Soal Kedua:
Lihat grafiknya! f(x)=(x^2-x-2)/(x^2+5x+6)
y 10
8
6
4
2
x -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-2
2
3
4
5
6
7
8
9
Dari grafik diketahui bahwa nilai limit kiri dan limit kanan adalah sama untuk x mendekati –3, sehingga sesuai definisi, limit f(x) untuk x mendekati –3 adalah Tak Hingga.
Soal Ketiga: lim
x→ 3
2 x 2 + 2 x − 1 3 2 + 2.3 − 1 14 x 2 + 2 x − 1 (− 3 ) + 2 (− 3 ) − 1 2 = = , demikian juga, lim = = . x → −3 x2 − 9 32 − 9 0 x2 − 9 0 (− 3 )2 − 9
apakah nilai lilmitnya tak hingga? Perhatikan grafik!
7
y
f(x)=(x^2+2x-1)/(x^2-9)
6 5 4 3 2 1 x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1 -2 -3
Limit kiri ≠ Limit kanan
-4 -5 -6
Jadi, nilai lim
x→ 3
x 2 + 2x − 1 x 2 + 2x − 1 TIDAK ADA, demikian juga untuk lim x → −3 x2 − 9 x2 −9
Soal Ke empat:
Lihat grafiknya! y 16
14
12
10
8
6
4
2
x -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-2
Dari grafik diketahui bahwa nilai limit kiri dan limit kanan adalah sama untuk x mendekati 1, sehingga sesuai definisi, limit f(x) untuk x mendekati 1 adalah Tak Hingga.
Soal ke lima:
x2 + x + 2 8 lim 2 = = ∞? x → 2 − x + 4 x −4 0 Perhatikan grafik!
12
Dari grafik di atas terlihat bahwa nilai limit kiri dan limit kanan adalah sama untuk x mendekati 2, sehingga sesuai definisi, limit f(x) untuk x mendekati 2 adalah Min Tak Hingga.
Kesimpulannya adalah,
mungkin Tak Hingga, Min Tak Hingga atau mungkin juga Tak Ada, diperlukan analisa grafik untuk menentukannya.
B. Menentukan Nilai lim f ( x ) x→ ∞
ax n + bx n −1 + ... Untuk menyelesaikan lim f ( x) , dimana f ( x ) = adalah dengan x →∞ px m + qx n −1 + ... membaginya dengan variable pangkat tertinggi dari penyebut (karena jika disubtitusi ∞ diperoleh bentuk tak tentu ). Dari penyelesaian soal-soal yang ada, diperoleh kesimpulan: ∞
0, jk n < m
a ax n + bx n −1 + ... ax n f ( x ) = = lim f ( x ) = lim , jk n = m Jika maka x →∞ x →∞ px m px m + qx n−1 + ... p ∞, jk n > m
n adalah pangkat tertinggi dari pembilang dan m adalah pangkat tertinggi dari penyebut.
Pertanyaannya adalah, apakah benar bahwa jika n > m, maka nilai limitnya adalah TAK HINGGA?
Perhatikan Soal Berikut: Soal Pertama:
Perhatikan grafik! 100 80 60 40 20
x -80
-60
-40
-20
20
40
60
80
100
120
-20 -40 -60
f ( x) adalah Tak Hingga. Dari grafik, benar bahwa nilai limit lim x→ ∞
140
160
180
200
Soal Kedua: ??•
?? ?
? ? ? ? ?? ? ? ?? ?
Perhatikan grafik!
???•??•?? o? y
f(x)=(-x^2+3x)/(x-2)
120 100 80 60 40 20
x -60
-40
-20
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
-20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160
Ternyata ketika x mendekati Tak Hingga, nilai y mendekati Min Tak Hingga. Jadi
lim f ( x) x→ ∞
adalah MIN TAK HINGGA .
Soal Ketiga: ??•
?? ?
? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?
???•??•?? o?
Perhatikan grafik!
y
f(x)=(3+2x-4x^3)/(x^2-2x+6)
8
6
4
2
x -6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-2
-4
-6
-8
-10
Ternyata ketika x mendekati Tak Hingga, nilai y mendekati Min Tak Hingga. Jadi
lim f ( x) adalah MIN TAK HINGGA. x→ ∞ www.matikzone.wordpress.com
13
Soal Keempat: Telitilah kebenarannya dengan menggunakan grafik! a.
c.
b.
d.
Perhatikan Grafik!
y 10 f(x)=(2x^3+x)/(x-3x^2)
x -10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
-10
-20
-30
Grafik Soal 4a.
-40
-50
-60
y 10 f(x)=(-2x^3+x)/(x+3x^2)
x -10
10
20
30
-10
-20
-30
-40
-50
-60
Grafik Soal 4b.
40
50
60
70
80
90
60
50
40
30
Grafik Soal 4c. 20
10 f(x)=(2x^3+x)/(x+3x^2)
x -10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
-10
60
50
40
30
Grafik Soal 4d. 20
10
x -10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
f(x)=(-2x^3+x)/(x-3x^2)
-10
Apakah yang dapat kita simpulkan?
Kesimpulannya adalah:
ax n + bx n −1 + ... Jika f ( x) = px m + qx n −1 + ... ax n f ( x) = lim maka lim x→ ∞ x →∞ px m
dimana n adalah pangkat tertinggi dari pembilang dan m adalah pangkat tertinggi dari penyebut.
Ini adalah akhir dari rasa penasaran kami, berdasarkan pendekatan grafiknya, ternyata ada beberapa kesimpulan yang berbeda dari apa yang selama ini kita ketahui dan kita ajarkan kepada siswa di kelas. Ini merupakan sebuah wacana dari kami, silakan Anda mengkoreksi atau menambahnya demi kebenaran yang sesungguhnya mengenai masalah di atas. Kami tunggu di
[email protected]
Semoga ada manfaatnya. Ponorogo, Ahad 31 Maret 2013 Pukul 09.10 www.matikzone.wordpress.com – www.etung2.wordpress.com
Didukung oleh:
• • • • •
Ms. Office 2007 (Ms Word, ngetiknya) DOC 2 PDF (bikin PDF, print as PDF ) Graph 4.4.0.428 (untuk menggambar grafik nya) Geogebra 3.2 (untuk menggambar grafiknya juga) MathType 6.8 (untuk bikin rumus biar ndak hancur pas dibikin PDF)
www.matikzone.wordpress.com
Lampiran: Beberapa kesimpulannya (cara cepat) dalam menentukan nilai limit tak hingga suatu fungsi adalah:
1). Jika f ( x ) =
ax n + bx n −1 + ... px m + qx n −1 + ...
f ( x) = lim maka lim x→ ∞ x →∞
? ?
?? ? ? ?
ax n ? px m ? ??
? ????
??•? ? ? ? ??•? ? ? ?
??•? ? ? ? ???•
??•? ? ? ? ???•
?
? ? ?
? ? ? ?
dimana n adalah pangkat tertinggi dari pembilang dan m adalah pangkat tertinggi dari penyebut.
2). Jika f ( x) =
3). Jika f ( x) =
ax 2 + bx + c −
ax + b −
∞ , jk a > p b − q , jk a = p px 2 + qx + r maka lim f ( x) = x →∞ 2 a − ∞ , jk a < p
∞ , jk a > p px + q maka lim f ( x) = 0, jk a = p x →∞ − ∞, jk a < p
www.matikzone.wordpress.com
