Management rekreace a sportu
10. Derivace
10. Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také fyzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu. K zásadnímu obratu došlo v 18. století (Newton, Leibniz), kdy byly poprvé zformulovány základy diferenciálního počtu. Objevil se pojem derivace. Pojem derivace dnes nachází aplikace všude, kde se popisuje dynamika chování fyzikálně realizovatelného systému. Matematicky jde přitom o limitu jistého podílu.
DEFINICE DERIVACE Derivace funkce y = f (x) je funkce f ′( x ) = lim
∆ x →0
f ( x + ∆x ) − f (x ) ∆y = lim , ∆ x → 0 ∆x ∆x
(10.1)
definovaná pro taková x, pro něž limita existuje. Namísto f ′(x) se značí též
dy dx
a čte se "dy
podle dx". Platí D ( f ′) ⊆ D ( f ), neboť pro některá x ∈ D ( f ) nemusí limita existovat. Veličina ∆x se nazývá změna nezávisle proměnné x, veličina ∆y = f (x + ∆x) − f (x) změna funkce y (= f (x) ). Pro pevně zadané x = c ∈ D ( f ′) se číslo f ′(c) nazývá derivace funkce f v bodě c; značí se též f ' (x ) x =c . Označíme-li c + ∆x = x, pak z ∆x → 0 plyne x → c a f ′(c) lze vyjádřit alternativně ve tvaru f ′(c ) = lim
∆ x →0
f (c + ∆x ) − f (c ) f (x ) − f (c ) = lim . x →c x−c ∆x
(10.2)
Poznámka: Derivace je tedy vyjádření poměru změny funkce (funkční hodnoty) k odpovídající nekonečně malé změně nezávisle proměnné. Její definice vychází z geometrického významu (viz dále obr. 10.1).
Příklad: a) Určíme f '(x) a f '(3) pro f (x) = x2. Podle (10.1) dostáváme (x2)' = lim
( x + ∆x )2 − x 2 ∆x
∆ x→0
x 2 + 2 x∆x + (∆x ) − x 2 = lim (2 x + ∆x ) = 2 x ; odtud f '(3) = x 2 ∆ x→0 ∆x 2
= lim
∆ x→0
( )
1
'
x =3
= 6.
=
Management rekreace a sportu
10. Derivace
e x + ∆x − e x = ∆ x→0 ∆x
b) Určíme f '(x) a f '(0) pro f (x) = ex. Podle (10.1) dostáváme (ex)' = lim
e ∆x − 1 = e x (viz důležité limity v předchozí kapitole); odtud f '(0) = e x ∆ x→0 ∆x
( )
= e x lim
'
x =0
= e 0 = 1.
Derivace elementárních funkcí se určí výpočtem limity podle (10.1), případně aplikací pravidel pro počítání s derivacemi, které si ukážeme později. Uveďme nyní přehled základních vzorců.∗
(c )′ = 0 , c je libovolná konstanta;
(x )′ = sx
s −1
s
(log a x )′ =
(a )′ = a x
(e )′ = e x
x
x
, s je libovolná konstanta;
1 , a je libovolná kladná konstanta, a ≠ 1; x ln a
ln a , a je libovolná kladná konstanta;
;
(ln x )′ = 1 ; x
(sin x )′ = cos x ; (cos x )′ = − sin x ;
(tg x )′ =
1 ; cos 2 x
(cotg x )′ = −
1 ; sin 2 x
(arcsin x )′ =
1 1− x2
(arccos x )′ = − (arctg x )′ =
;
1 1− x2
;
1 ; 1+ x2
(arccotg x )′ = −
1 . 1+ x2
Jako vzorec pro přibližný výpočet derivace funkce f v bodě c, f ′(c), (pokud f ′(c) ∗
Tyto vzorce, podobně jako pravidla pro počítání s derivacemi, je nutné naučit se nazpaměť.
2
Management rekreace a sportu
10. Derivace
existuje) lze použít i podílu příslušného k limitě ve vztahu (10.2), neboť (pro dosti malé ∆x) je podíl přibližným odhadem limity, tj.
f ′(c ) ≈
f (c + ∆x ) − f (c ) . ∆x
(10.3)
Příklad: Určíme přibližně f '(1) pro funkci f (x) = 1/x2. Pro dosti malé ∆x, např. ∆x = 0,01, dostaneme užitím (10.3) f ' (1) ≈
1 1 f (1 + 0,01) − f (1) = − 1 = −1,97 (přesná hodnota je −2). 2 0,01 0,01 1,01
INTERPRETACE Geometrická: Již víme, že derivace se objeví při řešení úlohy nalezení rovnice tečny ke grafu funkce. Uvažujme funkci f a body P[c, f (c)], Q[c + ∆x, f (c + ∆x)] jejího grafu (obr. 10.1). Spojnice těchto bodů (sečna s grafu) má směrnici ks = tg α a platí
ks =
f (c + ∆x ) − f (c ) . ∆x
Blíží-li se ∆x k nule (∆x → 0), blíží se bod Q k bodu P a tudíž přejde sečna s v tečnu t grafu funkce f v bodě P[c, f (c)]. Její směrnice bude dána výrazem
k t = lim
∆ x →0
f (c + ∆x ) − f (c ) . ∆x
(10.4)
Výraz na pravé straně (10.4) je pak v souladu s definicí (10.2) derivace funkce f v bodě c, tj. f ′(c). Tedy kt = f ′(c). Rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě P[c, f (c)] má přitom obecně tvar+
y − f (c ) = f ′(c )( x − c ) .
(10.5)
+
Tento tvar vychází z analytické geometrie, kde platí věta: Má-li přímka danou směrnici k a prochází bodem A[x1, y1], lze ji vyjádřit rovnicí y = k(x − x1) + y1.
3
Management rekreace a sportu
10. Derivace
Příklad: Určíme rovnici tečny ke grafu funkce f (x) = x2 v bodě příslušném x = 1. Platí f '(x) = 2x, dále f (1) = 1, f '(1) = 2 a užitím (10.5) dostáváme rovnici tečny ve tvaru y − 1 = 2(x − 1), tudíž po úpravě 2x − y − 1 = 0.
y f Q
f (c + ∆x) f (c + ∆x) − f (c )
s
t P
f (c)
β
∆x
α c
0
0 ← ∆x
c + ∆x
x
Obr. 10.1. Z geometrické interpretace je zřejmé, že existence derivace úzce souvisí s existencí tečny ke grafu. Dá se tedy očekávat, že neexistuje-li tečna ke grafu v daném bodě, pak nebude existovat ani derivace příslušné funkce v příslušném bodě. Takovými typickými body na grafu jsou body typu hrotu, zlomu apod. Pro funkci znázorněnou na obrázku 10.2 je oprávněná hypotéza, že neexistuje f ′(c), f ′(d).
Obr. 10.2. VLASTNOSTI DERIVACÍ Existence derivace stačí k tomu, aby funkce byla v bodě spojitá: Jestliže existuje derivace funkce v bodě c, f ′(c), pak je funkce f spojitá v bodě c. (Věta obrácená neplatí!) Jestliže existují f ′(x), g′(x), pak pro x ∈ D( f ′) ∩ D(g′) existují ( f ± g)′(x), ( fg)′ (x),
4
Management rekreace a sportu
10. Derivace
f
′
a je-li navíc g(x) ≠ 0, i (x ) a platí g
′ ± g ) (x ) = f ′ (x ) ± g ′ (x ) ;
(f
( fg )′ (x ) =
(10.6)
f ′ ( x )g ( x ) + f ( x )g ′ ( x ) ;
(10.7)
′ f f ′ ( x )g ( x ) − f ( x )g ′ ( x ) ( x ) = . [g (x )]2 g
(10.8)
(Vztahy (10.6) – (10.7) jsou tzv. základní pravidla pro počítání s derivacemi.)
Příklad:
a1) ( x tg x ) = (10.7 ) = ( x ) tg x + x (tg x ) = 1 tg x + x '
'
1
'
= tg x +
2
cos x
x cos 2 x
.
Při derivaci funkce tg x jsme využili znalostí základního vzorce, můžeme ale postupovat i jinak, protože víme, že funkce tg x = sin x / cos x.
'
sin x a2) ( x tg x ) = (10.7 ) = ( x ) tg x + x (tg x ) = 1 tg x + x = (10.8) = cos x '
'
= tg x + x
'
(sin x )' cos x − (cos x )' sin x = tg x + x cos 2 x + sin 2 x = tg x + 2
2
cos x
cos x
x cos 2 x
.
Přitom jsme využili vztah sin2x + cos2x = 1.
(sin x + cos x ) (sin x − cos x ) − (sin x + cos x )(sin x − cos x ) = sin x + cos x b) = (10.8) = x x sin cos − (sin x − cos x )2 (cos x − sin x )(sin x − cos x ) − (sin x + cos x )(cos x + sin x ) = = (10.6) = (sin x − cos x )2 '
'
=
(
2 cos x sin x − sin 2 x − cos 2 x − sin 2 x + 2 sin x cos x + cos 2 x
(sin x − cos x )
2
− 2 sin x − 2 cos x 2
=
'
2
(sin x − cos x )
2
=
(
− 2 sin 2 x + cos 2 x
(sin x − cos x )
2
)=
−2
(sin x − cos x )2
)=
.
Velmi důležitá je věta o derivaci složené funkce:
Jestliže pro funkce y = f (u), u = g(x) existují f ′ (u) a g′ (x), pak existuje derivace složené funkce y = f (g(x)) a platí
5
Management rekreace a sportu
10. Derivace
[ f (g (x ))] ′ = f ′ (g (x ))g ′ (x )
(10.9)
pro taková x, pro něž jsou všechny příslušné funkce definovány. Vzorec (10.9) se zapisuje také ve tvaru
dy dy du = ⋅ . dx du dx
(10.10)
Příklad: Určíme y′′ pro y = (x2 + 1)3. Položíme u = g(x) = x2 + 1, y = f (u) = u3. Užitím (10.10) dostáváme
y' =
( ) (x
dy dy du ⋅ = u3 = dx du dx
'
2
)
(
'
)
(
2
)
2
+ 1 = 3u 2 ⋅ 2 x = 3 x 2 + 1 2 x = 6 x x 2 + 1 .
Výpočet derivace složené funkce se po jisté praxi provádí mechanicky principem podle (10.9), aniž je třeba formálně provádět rozklad složené funkce. Zkusme takto vypočítat znovu předchozí příklad.
(
)
'
(
)
(
)
3 2 2 y' = x 2 + 1 = 3 x 2 + 1 2 x = 6 x x 2 + 1 .
Přirozeným způsobem lze vzorec (10.9) zobecnit i pro funkci složenou z více než dvou funkcí.
Příklad:
(
Určíme y′′pro y = sin 1 + x 2
)
. Tedy y ' =
[ (
1 sin 1 + x 2 2
)]
−
1 2
(
)
⋅ cos 1 + x 2 ⋅ 2 x =
(
x cos 1 + x 2
(
sin 1 + x 2
)
).
[Pomůcka pro výpočet derivace y′′: y je složená funkce √ po sin po (1 + x2) tj. nejprve derivujeme jako odmocninu, pak jako sinus a pak derivujeme (1 + x2) ].
Pro funkci f (x) = u(x)v(x) se postupuje tak, že se f (x) přepíše do tvaru (viz vlastnosti logaritmické funkce) f (x) = ev(x) ln u(x) a aplikuje se vzorec (10.9).
Příklad:
sin x sin x f ( x ) = x sin x ; platí f ( x ) = e sin x ln x a odtud f ' ( x ) = e sin x ln x cos x ln x + . = x sin x cos x ln x + x x
6
Management rekreace a sportu
10. Derivace
VYŠŠÍ DERIVACE Pro celé číslo n ≥ 0 se n-tá derivace f (n) funkce f definuje rekurentně vztahy
f (0 ) = f ;
(
f (n ) = f
(n −1)
)′
pokud pro všechna m = 0, 1,…, n existují funkce f (m) na nějaké neprázdné podmnožině
dn M ⊆ D( f ).Užívá se též označení f ( x ) ; pro n = 2, případně n = 3, se značí f ′′, případně dx n f ′′′, namísto f
(2)
, případně f
(3)
. Pro pevně zadané x = c se číslo f (n)(c) nazývá n-tá derivace
funkce f v bodě c. Z definice je zřejmé, že vyšší derivace se vypočtou opakovaným provedením derivace.
Příklad: Pro f (x) = sin x dostáváme f ′(x) = cos x, f ′′(x) ′′ = ( f ′(x) ) ′ = − sin x, f ′′′(x) ′′′ = ( f ′′(x) ′′ ) ′ = − cos x, f (4)(x) = ( f ′′′(x) ′′′ ) ′ = sin x atd.
L´HOSPITALOVO PRAVIDLO Při výpočtu limit podílu funkcí nastává potíž, jestliže limita funkce ve jmenovateli (případně i v čitateli) je rovna nule. V takových případech (ale i v jiných) může být užitečná následující věta, nesoucí tradiční název L´Hospitalovo pravidlo.
Jestliže platí lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0
(10.11)
lim g ( x ) = ±∞
(10.12)
x →c
x→c
nebo
x →c
a platí-li lim x →c
lim x →c
f ′ (x ) = a , kde a, c ∈ R , pak rovněž platí g ′ (x )
f (x ) = a. g (x )
7
Management rekreace a sportu
10. Derivace
Pokud zůstávají předpoklady v platnosti, lze použít této věty i opakovaně. Zdůrazněme, že v případě nesplnění předpokladů (10.11), případně (10.12) nelze věty použít.
Příklad: 3
a) lim
− 1− 2x −1
x → −1
2+ x + x
= lim
x → −1
=
( − 1 − 2 x − 1) = 0, lim ( 3
x → −1
2 1 − ( − 1 − 2 x ) 3 (− 2) 0 4 2 + x + x = 0, je splněno (10.11), typ = lim 3 =− . 1 0 x → −1 1 9 − (2 + x ) 2 + 1 2
)
1 ln(1 + x ) 0 1 x = 1. + b ) lim = lim ln (1 + x ) = 0, lim x = 0, je splněno (10.11), typ = lim x→0 x→0 x →0 0 x →0 1 x
Podmínka (10.11) se často vyjadřuje tak, že jde o výraz typu o výrazech typu
∞ ∞
0 . Analogicky se hovoří 0
, avšak podmínka (10.12) vyžaduje daleko méně totiž jen lim g ( x ) = ±∞ . x →c
Při výpočtu jiných typů, u kterých nelze přímo použít vět o limitách, lze postupovat tak, že se snažíme převést je korektními úpravami na tvary splňující (10.11), případně (10.12).
Cílové znalosti
1. Derivace, geometrická interpretace. 2. Derivace elementárních funkcí. 3. L´Hospitalovo pravidlo.
8
Management rekreace a sportu
10. Derivace
X. Derivace_CVIČENÍ
POJEM DERIVACE, VLASTNOSTI DERIVACÍ 1. Určete ∆y,
∆y pro funkci f (x ) = ∆x
2. Určete ∆y,
∆y 1 pro funkci f ( x ) = 2 , x = 1, ∆x = 0,2. ∆x x + x−6
x , x = 0, ∆x = 0,0001.
3. Najděte:
16 . x
a)
f ′ (x ) , f ′ (−8) pro funkci f ( x ) = 1 − 3 x 2 +
b)
π f ′ (t ) , f ′ pro funkci f (t ) = cos t (1 − sin t ) . 6
4. Najděte f ′ (x ) : a)
f ( x ) = 3 cos x + 2 sin x . b) f ( x ) =
d)
f ( x ) = x 3 arcsin x .
sin x + cos x . c) f ( x ) = (x 2 + 1)arctg x . sin x − cos x
5. Najděte f ′ (x ) : a)
f (x ) = sin 3 x . b) f ( x ) = ln tg x . c) f (x ) = 5cos x . d) f ( x ) = ln sin (x 2 + 1) .
e)
f ( x ) = arcsin 1 − x 2 . f) f ( x ) = x x . g) f ( x ) =
(
tg x
)
x +1
.
INTERPRETACE
π
6. Určete rovnici tečny grafu funkce f ( x ) = sin x v bodě , ? . 2
7. Určete rovnici tečny grafu funkce f ( x ) =
1 v bodě [1, 1] . x
VYŠŠÍ DERIVACE
8. Odvoďte vzorec pro n-tou derivaci funkce a) y = ln x . b) y = e kx , k je konstanta.
9
Management rekreace a sportu
10. Derivace
L’HOSPITALOVO PRAVIDLO
9. Určete limity: a) lim x →0
cotg 2 x ln (1 + x ) sin x 1 − cos x . b) lim . c) lim . d) lim . π x → 0 x → 0 x tg x x x x→ 2
10. Určete limity: 3 1 + 2x + 1 ln (1 + x 2 ) e ax − e −2 ax sin 3 x 2 lim . b) lim . c) lim . d) . x →0 x → −1 x → 0 ln cos(2 x 2 − x ) x → 0 cos 3 x − e − x ln(1 + x ) 2+ x + x
a) lim
11. Určete limity:
1 1 1 − cotg x − . . b) xlim → − 0 x ln x x − 1
a) lim x →1
10
Management rekreace a sportu
10. Derivace
VÝSLEDKY CVIČENÍ
1.
∆y = 0,01 ,
2.
∆y = −
∆y = 100 . ∆x
1 ∆y 5 , =− . 21 ∆x 21
3. a) f ′ (x ) = −
2 1 16 1 π − , f ′ (− 8) = . b) f ′ (t ) = − sin t − cos 2t , f ′ = −1 . 12 3 3 x x2 6
4. a) f ′ (x ) = −3 sin x + 2 cos x . b) f ′ (x ) = − d) f ′ (x ) = 3x 2 arcsin x +
6.
t : y =1.
7.
t: y =2− x.
8. a) y (n ) =
x x 1 − x2
(− 1)
n −1
1− x 2
(
1 . c) 1 . d) 0 . 2
10. a) 3a . b)
4 . c) −6 . d) 0 . 9
)
2 . c) f ′ (x ) = −5 cos x sin x ln 5 . d) f ′ (x ) = 2 x cotg x 2 + 1 . sin 2 x
b) y (n ) = k n e kx .
9. a) 1 . b) −
11. a)
. c) f ′ (x ) = 2 x arctg x + 1 .
. f) f ′ (x ) = x x (ln x + 1) . g) f ′ (x ) =
(n − 1)! .
xn
(sin x − cos x )2
x3
5. a) f ′ (x ) = 3 sin 2 x cos x . b) f ′ (x ) = e) f ′ (x ) = −
2
1 . b) 0 . 2
11
(
tg x
)
x +1
x +1 ln tg x + . sin 2 x
