MAKALAH GEOMETRI TRANSFORMASI
MEMBAHAS TENTANG GESERAN (TRANSLASI)
Kelompok VI (Enam) DENGAN PERSONIL : 1. 2. 3. 4. 5. 6.
AYEN ARAVAH FIRMAN IDA AJENG RIKA ARIYANI SEB ARIZON TRI HELENZA
NPM : ( NPM : ( NPM : ( NPM : ( NPM : ( NPM : (
) ) ) ) ) )
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
STKIP-PGRI LUBUKLINGGAU TAHUN AKADEMIK 2009/2010 KATA PENGANTAR 1
Segala puji kehadirat Allah S.W.T. atas berkat rahmat dan karunia-Nya penyaji dapat menyelesaikan makalah Geometri Transformasi dengan pokok pembahasan mengenai Geseran (Translasi). Dalam penyusunan makalah ini telah dirasakan oleh penyaji bahwa penyusunannya begitu berat karena waktu yang singkat dengan teorema-teorema yang semuanya harus dibuktikan sehingga memerlukan banyak waktu. Tapi meskipun demikian penyaji dapat juga menyelesaikan tugas tepat pada waktunya. Waktu yang singkat dan kurangnya pemahaman penyaji pada teorema-teorema dalam
makalah ini tentu akan
mengakibatkan banyaknya kekurangan dan kesalahan dalam isi dan penyusunannya. Untuk itu diharapkan kritik dan saran rekan-rekan sekalian sebagai perbaikan di kemudian hari.
Lubuklinggau,
Mei 2010
(Kelompok VI)
DAFTAR ISI
2
HALAMAN JUDUL ………………………………………………………………... i KATA PENGANTAR ………………………………………………………………. ii DAFTAR ISI ………………………………………………………………………… iii GESERAN (TRANSLASI) 10.1. KETENTUAN DAN SIFAT-SIFAT ………………………………….. 1 - Teorema 10.1 ………………………………………………………. 1 - Teorema 10.2 ………………………………………………………. 1 - Teorema 10.3 ………………………………………………………. 2 - Teorema 10.4 ………………………………………………………. 3 10.2. HASILKALI GESERAN ……………………………………………... 3 - Teorema 10.5 ………………………………………………………. 3 - Teorema 10.6 ………………………………………………………. 4 - Teorema 10.7 ………………………………………………………. 5 - Teorema 10.8 ………………………………………………………. 5
GESERAN (TRANSLASI) 10.1. Ketentuan dan Sifat-sifat Teorema 10.1 : Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A dan B maka AA " = BB" dengan A" = M h M g ( A) dan B " = M h M g ( B ). Bukti : Kita pilih sebuah system koordinat dengan g sebagai sumbu –y dan sebuah garis tegak lurus pada g sebagai sumbu-x (gambar 10.1). y A"
A
B"
B
x
C g
h Gambar 10.1
Andaikan A = (a1 , a2 ) dan B = (b1 , b2 ). Jika N tengah-tengah ruas garis A" B maka harus dibuktikan S N ( A) = B" . Andaikan persamaan h adalah x = k (≠ 0), apabila P = ( x, y ) dan P' = M h ( P) maka PP' memotong h di sebuah titik Q = ( k , y ) dengan Q sebagai titik tengah
PP' , jadi P' = M h ( P) = (2k − x, y ) sedangkan M g ( P ) = ( − x, y ) .
Jadi, M h M g ( P ) = M h [( − x, y )] = ( 2k + x, y )
Jadi pula A" = M h M g ( A) = (2 x + a1 , a 2 ) dan B " = M h M g ( B) = (2 x + b1 , b2 ) Oleh karena N titik tengah A" B , maka
3
(2k + a1 ) + b1 a 2 + b2 N= , 2 2
2k + a1 + b1 a + b2 − a1, 2 2 − a2 Sedangkan S N ( A) = 2 2 2 Atau S N ( A) = (2k + b1 , b2 ) = B" Dengan demikian maka AA " = BB" . Definisi : Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada ruas garis berarah AB Sehingga setiap titik P pada bidang menjadi P ' dengan G ( P ) = P ' dan PP' = AB. Teorema 10.2 : Apabila AB = CD maka G AB = GCD Bukti : Jika x sebarang, maka harus dibuktikan G AB ( X ) = GCD ( X ) . Andaikan G AB ( X ) = X 1 dan GCD ( X ) = X 2
XX 1 = AB dan XX 2 = CD
Jadi
Karena AB = CD maka XX 1 = XX 2 ini berarti bahwa X 1 = X 2 sehingga G AB = GCD . Teorema 10.3 : Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan CD sebuah garis berarah tegak lurus pada g denga C ∈ g dan D ∈ h . Apabila AB = 2CD maka G AB = M h M g . Bukti : Andaikan P sebuah titik sebarang. Jika P' = G AB ( P) dan P" = M h M g ( P ), maka harus dibuktikan bahwa P' = P". C” D
C" = M h M g (C )
B C P”
A h P
g
Gambar 10.2
Menurut ketentuan geseran, PP' = AB . Oleh karena AB = 2CD , maka PP' = 2CD . Berhubung C " = M h M g (C ), C ∈ g , maka C" = M h (C ) . Jadi D adalah titik tengah CC" sehingga CC" = 2CD . Oleh karena
CC" = PP"(teorema10.1) , maka PP" = 2CD = PP' Ini berarti bahwa P' = P". jadi G AB ( P ) = M h M g ( P ). Karena P sebarang, maka G AB = M h M g . Catatan :
4
1) Dari teorema di atas dapat kita simpulkan bahwa setiap geseran G AB dapat ditulis sebagai hasil kali dua refleksi pada dua garis yang tegak lurus pada AB dan berjarak 12 AB . 2) Jika AB sebuah garis dan M titik tengah AB sedangkan g, h dan n tiga garis yang masing-masing tegak lurus di A, di M, dan di B pada AB maka G AB = M h M g = M n M h . g
h
n
A
B
M
Gambar 10.3 3) Oleh karena setiap geseran dapat ditulis sebagai hasilkali dua refleksi, sedangkan suatu refleksi adalah suatu transformasi, maka suatu geseran adalah suatu transformasi yang merupakan isometri disebabkan karena suatu refleksi adalah suatu isometri. Lagi pula suatu geseran adalah suatu isometri langsung sebab setiap refleksi adalah suatu isometri lawan. Teorema 10.4 : Jika G AB sebuah geseran maka (G AB ) −1 = G BA . Bukti : Oleh karena himpunan isometri-isometri merupaka grup bagian dari grup transformasi, maka setiap geseran memiliki balikan (G AB ) −1 (gambar 10.3). Dari uraian di atas diperoleh : G AB = M h M g = M n M h Sedangkan
G BA = M h M n = M g M h
Sehingga
(G AB ) −1 = ( M n M h ) −1 M h M n
Jadi
−1
(G AB )
−1
−1
= M h M n = G BA
= G BA .
10.2. Hasil Kali Geseran Teorema 10.5 : Jika G AB sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga AB = 2CD maka G AB = S D S C . Bukti : Andaikan g = CD, k ⊥ g di c, m ⊥ g di D (gambar 10.4) B g
D A
C m 5
k Gambar 10.4 Maka CD ruas garis berarah dari k ke m. Oleh karena AB = 2CD Maka G AB = M m M k sedangkan S D = M m M g dan S C = M g M k . Jadi : S D S C = ( M m M g )( M g M k ) = M m ( M g M g ) M k S D S C = M m IM k = M m M k .
Atau
Dengan demikian maka G AB = S D S C
Teorema 10.6 : Komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah putaran. Bukti : Andaikan G AB suatu geseran dan C sebuah titik sebarang. Andaikan E titik (yang tunggal) sehingga CE = AB . Andaikan D titik tengah CE maka CE = 2CD ;menurut teorema 10.5 G AB = S D S C Jadi G AB S C = ( S S S C ) S C = S D ( S C S C ) Akibat : Andaikan S A , S B dan S C masing-masing setengah putaran, maka S C S E S A = S D dengan D sebuah titik sehingga AD = BC . Bukti : Kita peroleh berturut-turut : S C S B = G ZBC . JADI S C S C S A = G ZBC S A . B A
C D Gambar 10.6
Andaikan G ZBC S A = S X maka 2 BC = 2 AX atau BC = AX Jadi S C S B S A = S D sehingga BC = AD . Perhatikan dua geseran G AB dan GBC , maka G BC ( A) = B dan G BC ( B) = C , sehingga dapat kita tulis bahwa G BC G AB ( A) = C ( gambar10.7) .
6
Apabila E titik sebarang, maka G AB ( E ) = E ' dengan EE ' = AB sedangkan G BC ( E ' ) = E" sehingga E ' E" = BC . E’
B Q
E A
P
R
E”
C
Gambar 10.7 Maka G BC G AB ( E ) = E" dengan EE" = AC Sehingga G EE " ( E ) = E" = G AC ( E ) . Jadi G BC G AB = G AC .
Hal ini dapat juga dilihat sebagai berikut. Dengan menggunakan teorema 10.6 : Andaikan P, Q dua titik sehingga 2 PQ = AB dan titik R sehingga 2 QR = BC maka G AB = S Q S P dan G BC = S R S Q Sehingga
G BC G AB = ( S R S Q )( S Q S P ) = S R S Q
Oleh karena 2 PR = AC maka S R S P = G AC Jadi G BC G AB = G AC Dengan demikian terbukti teorema berikut : Teorema 10.7 : Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi. Catatan : Apabila CD = BA maka G AB GCD = G AB G BA = I . Di sini I adalah transformasi identitas. Jadi : Kalau CD = BA maka kalau I dianggap sebagai translasi, teorema di atas tetap berlaku. Teorema 10.8 : Jika GOA sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik O(0,0) dan A(a,b) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai T ( P ) = ( x + a, y + b) maka T = GOA . Bukti : Untuk P = ( x, y ), T ( P ) = ( x + a, y + b) . Andaikan P' = GOA ( P) maka PP' = OA sehingga P ' = ( x + a − 0, y + b − 0) = ( x + a, y + b) . Jadi T ( P) = GOA ( P), ∀P ∈ V . Ini berarti GOA = T . Untuk membuktikan dengan koordinat-koordinat teorema 10.7 perhatikan dua translasi GEF dan G KH . Andaikan A = ( a, b) dan B = (c, d ) dua titik sehingga OA = EF dan OB = KH maka apabila P ( x, y ) titik sebarang, diperoleh G EF ( P) = GOA ( P) = ( x + a, y + b), dan G KH ( P) = GOB ( P) = ( x + c, y + d ) maka G KH G EF ( P) = GOB GOA ( P) = GOB [( x + a, y + b)] = (( x + a ) + c, ( y + b) + d ) = ( x + ( a + c ), y (b + d )) Ini berarti bahwa GKH GEF adalah translasi yang membawa titik O(0,0) ke titik ( a + c, b + d ).
7
Contoh 1 : Andaikan G AB suatu translasi yang membawa titik A(2,3) ke titik B(4,1) dan GCD suatu translasi yang membawa titik C(-3,4) ke titik D(0,3). Jika P(x,y) tentukan GCD G AB (P). Jawab : Andaikan O' = G AB (0) dan O" = GCD (0) maka 00' = AB dan 00" = CD . Jadi 0' = (0 + 0 + 3,0 + 3 − 4) = (3,−1). Jadi G AB ( P) = ( x + 2, y − 2) dan GCD ( P) = ( x + 3, y − 1) sehingga GCD G AB ( P) = GCD [( x + 2, y − 2)] = ( x + 2 + 3, y − 2 − 1) = ( x + 5, y − 3) .
DAFTAR PUSTAKA Rawuh , 1992, Geometri Transformasi, Departemen Pendidikan dan Kebudayaan.
8
Contoh Soal : 1. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris. a) Lukislah G AB ( A) dan G AB (B) . b) Lukislah G AB (C ) c) Lukislah garis-garis g dan h dengan A ∈ g dan G AB = M h M g d) Lukislah g dan h sehingga C ∈ g dan G AB = M h M g Jawab: a) A B b)
A B
C
G AB (C ) c) A
g
B
G AB = M h M g
B
G AB = M h M g
h
c) C A
g
h
2. Diketahui titik-titik A dan B dan garis g sehingga g ⊥ AB . Lukislah a) garis h sehingga M h M g = G AB b) garis k sehingga M g M k = G AB c) garis m sehingga m' = G AB (m) d) titik C sehingga G AB (C ) = B Jawab : a)
B
A
g
h
9
b) A
B
g
k
c)
A
B
m' = G AB (m)
m
d)
B
B
C
G AB (C ) = B
3. diketahui garis g dan h yang sejajar dan sebuah titik A tidak pada garis-garis tersebut. a) Lukislah titik B sehingga M h M g = G AB b) Lukislah titik C sehingga M g M h = G ZAC Jawab :
a) B
A
g
h
b) A
Z
C C
M g M h = G ZAC
g
h
10
4. Diketahui titik-titik A, B, C, D, P dan garis g seperti pada gambar. B
D
A
P
g
C
Lukislah : a) GCD G AB (P ) b) GCD G BA (P) Jawab : a)
D
B
G CD G AB (P )
A
C P
B
b)
D
A C
G CD G BA ( P ) P
5. Nyatakanlah P dan R dalam bentuk yang paling sederhana. a) G AB GCD ( P ) = R b) S A G BC ( P) = R Jawab : a) Misal GCD ( P ) = Q maka G AB (Q) = R b) Misal G BC ( P ) = Q maka S A (Q) = R
11
