Rekenproblemen? Helpen helpt van groep 1 t/m 8! SWV Stichting Passenderwijs 7 & 14 januari 2015 www.google.nl: hans van luit
1
Definitie van rekenen Rekenen is een proces waarin een realiteit (of een abstractie daarvan) wordt geordend of herordend met behulp van op inzicht berustende denkhandelingen, welke ordening in principe is te kwantificeren en die toelaat om er (logische) operaties op uit te voeren dan wel uit af te leiden.
2
Leren en individuele verschillen De opslag van kennis wordt voor een belangrijk deel bepaald door de wijze waarop we dat op onze eigen manier doen. Hasemann noemt dit ‘concept maps’.
3
Concept maps van ‘de helft’
½
“half”
½
1:2
½
4
Dyscalculie ‘een definitie’ Dyscalculie is een stoornis die gekenmerkt wordt door hardnekkige problemen met het leren en vlot/ accuraat oproepen/toepassen van rekenwiskundekennis (feiten/ afspraken), die blijvend zijn ook na gedegen onderwijs.
5
Enkele kenmerkende problemen...
Problemen met de kennis van eenvoudige telrijen (1, 3, 5, ...) en met positionele ordening (niet weten dat de 1 in 21 een andere waarde heeft dan de 1 in 18). Problemen met het herkennen van rekenkundige symbolen (in grote getallen als 1674 en in tekens als %, >, :, x², ...). Moeite met het adequaat opstellen en groeperen van getallen bij berekeningen (bij ‘37 + 36 + 13’ consequent van links naar rechts rekenen). Bij redactieopgaven de op te lossen rekenhandeling niet uit de tekst kunnen halen 6
Groot probleem is en blijft: automatisering
Voor jonge kinderen met dyscalculie is het al een hele klus om bijvoorbeeld het antwoord op 7x8 als gememoriseerde kennis op te slaan. Wellicht net zo moeilijk als voor ons het antwoord op 41x37 is te onthouden.
Verschil: wij kennen strategieën om dit soort opgaven mentaal ‘vlot’ op te lossen. Welke? 7
41 x 37 40 x 37 = (370 + 370) x 2 = 740 x 2 = 1480 + 37 = 1517 30 x 41 =1230 + (7 x 41) = 1230 + 280 + 7 = 1517
8
41 x 37
30 7
40
1
1200
30
280
7
9
Drie criteria voor dyscalculie (a) 1 er is sprake van een significante rekenachterstand ten opzichte van leeftijden/of opleidingsgenoten, waar de persoon in het dagelijks leven door gehinderd wordt (criterium van ernst) 2 er is sprake van een significante rekenachterstand ten opzichte van datgene wat op basis van de individuele ontwikkeling van de persoon verwacht mag worden (criterium van achterstand) 10
Drie criteria voor dyscalculie (b) 3 er is sprake van een hardnekkig rekenprobleem, dat resistent is tegen gespecialiseerde hulp (criterium van didactische resistentie)
11
Neuro(psycho)logie: Lateraal aanzicht van de hersenen Pariëtaalkwab
Frontaalkwab
Occipitaalkwab
Temporaalkwab
Hersenstam Ruggenmerg
Cerebellum 12
Prevalentie Dyscalculie:
2-3%
Ernstig rekenprobleem:
7-8%
Zwakke rekenaar:
15%
13
Co-morbiditeit Rekenproblemen van kinderen kunnen samengaan met andere stoornissen of problemen: - verstandelijke beperking - dyslexie of leesprobleem - ADHD - ASS - DCD - NLD? 14
Een voorbeeld uit de CITOeindtoets basisonderwijs Er worden 26 mensen met auto’s vervoerd. In iedere auto kunnen vier mensen. Hoeveel auto’s zijn nodig? 17 kinderen: 7 3 kinderen: 6½ (bij doorvragen: 7) 1 jongen : 9 1 jongen : 1 1 jongen : 2 1 jongen : geen idee, ook niet na doorvragen15
Huidige visie op getalbegrip: het belang van tellen
tellen via herkennen (vanaf 2½ jaar) akoestisch tellen (vanaf 3½ jaar) asynchroon tellen (vanaf 4 jaar) ordenend tellen (vanaf 4½ jaar) resultatief tellen (vanaf 5 jaar) verkort tellen (vanaf 5½ jaar) 16
Relatie voorbereidend rekenen en latere rekenen (a)
Telvaardigheden zijn een belangrijke voorwaarde voor het rekenen (Kidd, Pasnak, Gadzichowski, Ferral-Like, & Gallington, 2008; Passolunghi, Vercelloni, & Schadee, 2007).
Sterk verband tussen problemen bij het voorbereidend rekenen en het feitelijke rekenen vanaf groep 3 (Aunola, Leskinen, Lerkkanen, & Nurmi, 2004; Jordan, Kaplan, Locuniak, & Ramineni, 2007).
17
Relatie voorbereidend rekenen en latere rekenen (b)
Sterk verband aan tussen lage scores op de UGT in groep 2 en rekenprestaties in groep 6 basisschool (Kavkler, Tancig, & Magajna, 2003).
Kleuterrekenniveau bepaalt voor een zeer groot deel het rekenwiskundeniveau in verdere basisonderwijs en voortgezet onderwijs (Siegler, 2009). 18
19
Componenten van de UGT-R (www.graviant.nl)
Vergelijken Hoeveelheden koppelen Eén-één correspondentie Ordenen Telwoorden gebruiken Synchroon en verkort tellen Resultatief tellen Toepassen van kennis van getallen Schatten
20
Doetaak (% goedscore) UGT-R Groep 1 jan/febr taak 4½-5 j.
Groep 2 jan/febr 5½-6 j.
Groep 3 jan/febr 6½-7 j.
A1 A8 A15 A16 A24 B28 B33 B40
B43
21
UGT-R: Vergelijken
Het vergelijken van objecten op kwalitatieve of kwantitatieve kenmerken.
22
UGT-R: Hoeveelheden koppelen Het groeperen van objecten in een klasse of subklasse aan de hand van bepaalde criteria.
23
UGT-R: één-één correspondentie Het vergelijken van hoeveelheden door het toepassen van de één-één relatie.
24
UGT-R: Ordenen Het (rang)ordenen van objecten aan de hand van bepaalde criteria.
25
UGT-R: Telwoorden gebruiken Vooruit-, terug- en verder tellen alsmede het gebruik van kardinale en ordinale getallen.
26
UGT-R: Synchroon en verkort tellen Het synchroon tellen en het verkort tellen vanuit de dobbelsteenstructuur.
27
UGT-R: Resultatief tellen Het tellen van gestructureerde en ongestructureerde hoeveelheden alsmede het tellen van bedekte hoeveelheden.
28
UGT-R: Toepassen van kennis van getallen Het kunnen toepassen van de kennis van het getallensysteem in eenvoudige probleemsituaties
UGT-R: Schatten Het kunnen inschatten van de juiste positie van een getal op een getallenlijn.
30
Heeft vroegtijdige onderkenning zin? vroegtijdige onderkenning vereist interventie handelen dient plaats te vinden op basis van een interventieprogramma dat zich richt op de specifieke (voor)schoolse vaardigheden en bekwaamheden waar het kind zwak in is (twee aangrijpingspunten: instructiewijze en getalbeelden)
31
Op weg naar rekenen www.graviant.nl
Hoofdkenmerken Ontwikkeld voor ‘zwakke’ kleuters Drie hoofdkenmerken:
Belang van internalisatie Concreet
Semiconcreet
Abstract
‘mapping’: (semi-)concreet-abstract
Mapping in de praktijk
Resultaten
Project: posttest results
Eind groep 3: Tempo Toets Rekenen
41
32:2 Oplossing van Nick (12 jaar, groep 8)
42
Tijd en extra tijd Ingeroosterde tijd: Per dag: 1 uur instructie- en oefentijd Extra tijd voor zwakke rekenaars: Per week: 1 uur verlengde instructie Kinderen verschillen vooral van elkaar in de hoeveelheid tijd die ze nodig hebben om dezelfde doelen te bereiken.
43
Protocol DDG ( www.graviant.nl)
44
Onderkenning van dyscalculie criterium 1: Vaststellen aanwezigheid en ernst van het probleem Over het algemeen wordt het criterium van ernst vastgesteld door tekorten in zowel geautomatiseerde als inhoudelijke kennis.
Criterium van ernst: Er is sprake van een significante achterstand wat betreft de automatisering van de basale rekenvaardigheden ten opzichte van leeftijden/of opleidingsgenoten en er is sprake van een significante achterstand wat betreft de beheersing van de inhoud van de rekendomeinen.
Procesonderzoek (a)
Observeren van open handelingen, verborgen handelingen en taakaanpak.
Vragen naar de oplossingswijze.
Variëren van opgaven door rekentaken aan te bieden die qua oplossingswijze dichtbij net goed of net fout opgeloste opgaven liggen.
Procesonderzoek (b)
Helpen door middel van het doorlopen van de ‘vijf niveaus van hulp’: Meer structuur aanbrengen (S+). Complexiteit verminderen (S+/C-). Verbale hulp geven (VH). Materiële hulp geven (MH). Modelleren (voordoen-samen doen-nadoen) van de oplossingsprocedure (MOD).
Uitwerking van de hulpstappen - een voorbeeld Mark (8;9 jaar, januari groep 5) heeft veel moeite met contextopgaven. Een voorbeeld: In een bus zitten 12 mensen en de bestuurder. De bus rijdt van Aalt naar Dolk. Onderweg stopt de bus in Heek. Daar stappen 7 mensen uit en stappen er 3 in. Hoeveel mensen zitten in de bus als die van Heek naar Dolk rijdt?
Stap 1 ‘Helpen’ (S+)
In de bus zitten 12 mensen en de bestuurder. In de bus zitten dus 13 mensen. In Heek stappen 7 mensen uit en 3 mensen in. Hoeveel mensen zitten nu in de bus?
Stap 2 ‘Helpen’ (S+/C-)
In de bus zitten 8 mensen en 1 bestuurder. In de bus zitten dus 9 mensen Als de bus stopt stappen 4 mensen uit. Hoeveel mensen zitten nu in de bus?
Stap 3 ‘Helpen’ (VH)
Hoeveel mensen zitten in de bus? Heb je de bestuurder meegeteld? Als je die meetelt, hoeveel mensen zitten dan in de bus? Hoeveel mensen stappen uit? Hoeveel mensen blijven dan over? Hoe kun je dat het beste uitrekenen?
Stap 4 ‘Helpen’ (MH)
9
-4
?
Stap 4 ‘Helpen’ (MH)
9
-4
?
Stap 4 ‘Helpen’ (MH)
9
-4
?
Stap 5 ‘Helpen’(MOD) In deze stap worden alle bewerkingen, die met name in stap 3 en stap 4 zijn aangeboden eerst door de begeleider uitgevoerd. Daarna door begeleider en leerling samen en tenslotte zoveel mogelijk door de leerling zelf.
Nog een voorbeeld Tjaco (15 jaar, leerjaar 2 vmbo-tl) heeft veel moeite met contextopgaven waarin taken zitten waarbij gerekend moet worden. Een voorbeeld: Sjaak moet de lege flessen in de supermarkt sorteren. Hij moet 187 flessen in kratten doen. In ieder krat kunnen 12 flessen. Hoeveel kratten heeft hij nodig?
Stap 1 ‘Helpen’ (S+) Sjaak moet flessen in kratten doen. Hij heeft 187 flessen. In ieder krat kunnen 12 flessen. Hoeveel kratten heeft Sjaak nodig om alle flessen op te bergen?
Stap 2 ‘Helpen’ (S+/C-)
Sjaak heeft 154 flessen.
Hij ruimt ze op in kratten.
In ieder krat kunnen 10 flessen.
Hoeveel kratten heeft Sjaak nodig?
Stap 3 ‘Helpen’ (VH)
Hoeveel flessen heeft Sjaak? Wat moet hij met die flessen doen? Wat betekent een ‘krat’? Hoeveel flessen kunnen in één krat? Hoeveel kratten zijn ongeveer nodig denk je? Hoe kun je dat het beste uitrekenen?
Stap 4 ‘Helpen’ (MH) 154 -100 (10 kratten) 54 - 50 (5 kratten) 4 (4 flessen over, daar is ook een krat voor nodig) In totaal 10+5+1 → 16 kratten nodig.
Stap 5 ‘Helpen’(MOD) In deze stap worden alle bewerkingen, die met name in stap 3 en stap 4 zijn aangeboden eerst door de begeleider uitgevoerd. Daarna door begeleider en leerling samen en tenslotte zoveel mogelijk door de leerling zelf.
Onderkenning criterium 2: Vaststellen van het rekenprobleem
Criterium van achterstand: er is sprake van een significante rekenachterstand ten opzichte van datgene wat op basis van de individuele ontwikkeling van de persoon verwacht mag worden (criterium van achterstand).
Onderkenning criterium 3: Vaststellen hardnekkigheid van het rekenprobleem
Criterium van didactische resistentie: er is sprake van een hardnekkig rekenprobleem, dat resistent is tegen gespecialiseerde hulp.
Verklaring van dyscalculie fase 1: Vaststellen van primaire verklarende factoren
planningvaardigheid benoemsnelheid verbaal en visueel-ruimtelijk geheugen aandacht en concentratie number sense (onder voorbehoud)
Simon (14 jaar, leerjaar 2 vmbo-gl)
Moeder gaat met Simon kleren kopen. Ze heeft 75 euro bij zich. Eindelijk vinden ze een broek die Simon mooi vindt. De broek kost 50 euro. Hoeveel geld houdt moeder over als ze de broek betaald heeft?
De oplossing van Simon
50 en 75, 50 en 75, 50 en nog eens 50 is 100.
De broek kost 50 euro en moeder heeft 75.
Moet ik dat uitrekenen? “Ja”
Dan houd je 7 50 over en 50 is 50.
Die 50 zijn tienen en die 7 zijn meestal lossen. En die broek kost normaal 57, dan heb je 7 over!
Ik ken dit soort sommen niet, ik begrijp het niet. Ik reken uit dat 50, dat moeder 50 euro geeft. Dat betekent dus 7 over….
Enige hulp
75
50 ?
Verklaring fase 2: Vaststellen van secundaire verklarende factoren vanuit het individu en vanuit de omgeving
werkhouding en motivatie competentiebeleving (faal)angst leesproblemen sociaal-emotionele ontwikkeling
comorbide stoornissen
Dyscalculieverklaring en rekenenwiskunde
Dyscalculie is vastgesteld op basis van de drie criteria volgens het protocol DDG en blijkt uit problemen in de volgende contexten: …. Op basis hiervan is behoefte aan een of meer van de volgende maatregelen: Specialistische hulp in de vorm van: …. Als (materiële/immateriële) voorzieningen: …. De volgende dispensaties: ….
Primair probleem: informatieverwerking
Informatieverwerking bij een typische leerling mn (28)
xn (7)
:n (7) m (4)
De lade van 4+4 bij een typisch leerling
Informatieverwerking bij een leerling met dyscalculie mn (28)
mn (28)
xn (7)
:n (7) m (4)
m (4)
De lade van 4+4 bij een leerling met dyscalculie
Tom (8 jaar, begin groep 5) 1+1=2 2+2=4 3+3=6 4+4=8 5+4=…
Behandeling a.
b. c. d. e. f.
Aanzet tot behandeling van ernstige rekenproblemen en dyscalculie Analyse faciliterende en belemmerende factoren Werkzame instructieprincipes Evidence-based rekenhulpprogramma’s Het behandelen van tekorten in strategiegebruik Behandeling en comorbiditeit
a) Aanzet tot behandeling van ernstige rekenproblemen en dyscalculie
Het ‘protocol ERWD’ biedt de schoolpraktijk handvatten om het rekenonderwijs door de school heen beter af te stemmen op de zwakke rekenaar. Om het rekenonderwijs zo vorm te geven is echter schoolbreed veel kennis, kunde en scholing nodig van alle bij het onderwijs betrokkenen. Leraren zijn ingedeeld op drie niveaus (sporen genoemd).
Stap 4: fase groen Fase groen
Signalering Deskundigheid minimaal op De leerling ontwikkelt zich spoor 1: gemiddeld of goed en De leraar functioneert in observeert de de grote groep. leerlingen volgens Resultaat: aanwijzingen in de methode. +: naar fase ‘blauw’ 0/-: naar fase ’geel’
ERWD Diagnostiek Deskundigheid minimaal op spoor 1:
Begeleiding Deskundigheid minimaal op spoor 1:
De interne rekenexpert ondersteunt de leraar. Hij analyseert samen met de leraar de resultaten op de bloktoetsen en het lovs en stelt een groepsplan op.
De begeleiding vindt plaats volgens aanwijzingen in de methode. Bij te weinig aantoonbare vorderingen gaat de leerling naar fase geel.
Stap 5: fase geel Fase geel
Signalering Deskundigheid minimaal op spoor 2:
De leerling heeft geringe problemen op deelgebieden. De leraar observeert intern dagelijks op max. 0,5 jaar specifieke onderdelen, houdt de Resultaat: vorderingen op +: naar fase toetsen en lovs ‘groen’ bij en 0/-: naar fase analyseert de ‘oranje’ resultaten.
ERWD Diagnostiek Deskundigheid minimaal op spoor 2:
Begeleiding Deskundigheid minimaal op spoor 2:
De leraar voert rekengesprekken met de leerling, analyseert het resultaat en stelt een begeleidingsplan op, eventueel samen met de interne rekenexpert.
De leerling krijgt extra begeleiding in een subgroep. Bij te weinig of geen aantoonbare vorderingen gaat de leerling naar fase oranje.
Stap 6: fase oranje Fase oranje
Signalering Deskundigheid minimaal op De leerling heeft ernstige spoor 3: rekenproblem en De leraar op enkele of observeert alle dagelijks op deelgebieden. specifieke onderdelen, intern houdt de max. 0,5 jaar vorderingen op toetsen en lovs bij en Resultaat: analyseert +: naar fase samen met de ‘geel’ interne 0/-: naar fase rekenexpert de ‘rood’ resultaten.
ERWD Diagnostiek Deskundigheid minimaal op spoor 3:
Begeleiding Deskundigheid minimaal op spoor 3: Het schoolteam De leraar voert voert de begeleiding uit. een diagnostisch De leerstof en de gesprek met de instructie worden leerling, afgestemd op de analyseert onderwijsbehoeften samen met de van de individuele interne leerling. rekenexpert het Bij te weinig of geen resultaat en aantoonbare stelt een vorderingen wordt individueel de leerling handelingsplan aangemeld voor op. extern onderzoek.
Stap 7: fase rood
ERWD
Fase rood
Signalering
Diagnostiek
De problemen zijn hardnekkig. De leerling wordt aangemeld voor extern onderzoek.
Intern / extern:
Extern / intern:
Begeleiding
Intern / extern: spoor 3 De externe Het team voert de De externe deskundige begeleiding uit. deskundige voert het De leerstof en de verzamelt diagnostisch instructie worden deels extern, deels informatie onderzoek uit afgestemd op de intern over de zoals onderwijsbehoeften leerling beschreven in van de individuele (zie hoofdstuk 8. leerling. Resultaat: Indien nodig wordt de +: naar fase oranje hoofdstuk 8) begeleiding Het team stelt 0/-: bijstellen een individueel uitgevoerd door een handelingsplan en dyscalculieverklahandelingsplan externe expert in nauw overleg met de ring; blijvende op. school. begeleiding in fase rood.
Inpassing zorg in regulier onderwijsaanbod
83
b) Analyse faciliterende en belemmerende factoren
In de indicatieanalyse is het van belang faciliterende en belemmerende factoren voor de behandeling van de leerling in kaart te brengen. De begeleiding (RT) en behandeling dient afgestemd te zijn op (het niveau van) het individu en contextgebonden factoren, en dient rekening te houden met contra-indicaties. Door deze afstemming kan aangesloten worden bij de sterke en zwakke kanten van de leerling, die tijdens de diagnostiek zijn gebleken.
c) Werkzame instructieprincipes
directe instructie: overdracht van inhoudelijke kennis van de behandelaar aan de leerling door demonstratie van procedures en uitleg van regels; expliciete uitleg en uitgebreide inoefening; de leerstappen bij de instructie dienen klein te zijn; veel structuur en herhaling; in principe: aanleren van één oplossingstrategie; opgaven opdelen in subtaken; zelfinstructie: van voordoen door de behandelaar naar volledig zelfstandig probleem oplossen door de leerling (de leerling leert procedures door zichzelf steeds weer een aantal relevante vragen te stellen bij het maken van een rekenopgave).
d) Evidence-based rekenhulpprogramma’s
naast instructie is ook het gebruik van een effectief gebleken (‘evidence based’) rekenhulpprogramma belangrijk; er zijn slechts weinig ‘evidence based’ programma’s op de markt. Voorbeelden: Op weg naar rekenen, Hulp bij leerproblemen Rekenen-wiskunde en Met sprongen vooruit; Alternatief: gebruik maken van in de praktijk werkzaam gebleken programma’s, zoals Maatwerk.
e) Het behandelen van tekorten in strategiegebruik
vaste stappenplannen en het gebruik van strategiekaarten; bij tekorten in de planningvaardigheden: cognitieve instructie gericht op planning en strategiegebruik; expliciete uitleg over oplossingsprocedures en rekenstrategieën.
opzoekboekje (www.tbraams.nl)
f) Behandeling en comorbiditeit
verlaagde competentiebeleving en/of faalangst vragen om begeleiding en behandeling van het sociaal-emotionele welbevinden door:
psycho-educatie, gericht op ouders en leerkracht, maar vooral ook op de leerling zelf
aanpakken van faalangst, bij voorkeur op basis van een programma dat hier specifiek voor bedoeld is (zie databank effectieve jeugdinterventies; www.nji.nl).
9x4
7x6 8x6 9x6 6x7
6x8 7x8 4x9
8x7 9x7
9x8
6x9 7x9 8x9 9x9
Preteaching Deze oude school heeft 58 ramen. Er zijn er 14 kapot, hoeveel ramen zijn er nog heel? Het is nu 15.56 uur. Wat staat er over een half uur op de klok? 58 – 17 = In een doos kunnen 15 boeken. Als ik 70 boeken wil vervoeren, hoeveel dozen heb ik dan nodig? 17 + 48 + 13 =
De rol van ouders
Beleid
De wet is niet eenduidig als het gaat om regelgeving bij dyscalculie. Het ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap in april 2004 de ‘notitie VO/OK/2004/19023: Hulpmiddelen en vrijstellingen voor leerlingen met een beperking, zoals dyslexie en dyscalculie’ het licht doen zien. Deze notitie is in januari 2006 nog aangevuld met de notitie ‘Ontheffingsmogelijkheden en hulpmiddelen voor leerlingen met een beperking, zoals dyslexie en dyscalculie’.
Politieke besluiten met ernstige gevolgen
Voor de vakken Nederlands, Engels en wiskunde mag een leerling maximaal voor 1 vak een 5 op zijn/haar eindlijst hebben, naast twee voldoendes Er wordt een rekentoets ingevoerd die (voor vo en mbo) verplicht is vanaf schooljaar 2015-2016, af te nemen in het eindexamenjaar, met als minimumeis een 4,5 om het diploma te kunnen halen. De toets mag 3 keer herkanst worden: - Rekentoets 2F: vmbo en mbo 1, 2, en 3 - Rekentoets 3F: havo, vwo en mbo 4
Lichtpuntje Jurisprudentie, bedroevende resultaten op de proefrekentoetsen en veel gelobby in Den Haag hebben waarschijnlijk bijgedragen aan een op handen zijnde ‘oplossing’ voor de verplichte rekentoets vanaf 2016 voor kinderen met dyscalculie of een ernstig rekenprobleem. Toetstype
Registratie bij CvE
Deskundigenverklaring
Extra inspanning
Rekenkaart
Extra tijd wegens dyscalculie
Rekenmachine bij alle opgaven
Aantekening op cijferlijst
Formele gevolgen voor doorstroming
Standaard
nee
nee
nee
nee
nee
nee
nee
nee
Standaard met aange-paste wijze van examinering
ja
ja
nee
ja
Ja, max 30 minuten
nee
nee
nee
Aangepast met aangepast niveau
ja
nee
ja
ja
Nee, is al ‘ingebouwd’
ja
ja
ja
De directeur van de school heeft beslissingsbevoegdheid
Artikel 55 van het Eindexamenbesluit geeft de directeur de volgende bevoegdheid: “…toestaan dat een gehandicapte kandidaat (lees: een leerling met dyscalculie) het examen geheel of gedeeltelijk aflegt op een wijze die is aangepast aan de mogelijkheden van die kandidaat. In dat geval bepaalt de directeur de wijze waarop het examen zal worden afgelegd”. De examencondities zijn dus een zaak van de school.
Bedankt voor jullie aand8 en tijd voor (verdere) vragen
