Logisch redeneren. Historische figuren. Begrippen. Axioma s of grondbegrippen. Grondbegrippen

Logisch redeneren We vertrekken vanuit grondbegrippen en axioma’s om de logica op te bouwen 

Historische figuren ‐ ‐ ‐ ‐

August De Morgan(19de eeuw, Engeland): grondlegger van de formele logica.  George Boole( 19de eeuw, Ierland): grondlegger formele logica. Toont aan dat de formele  logica aan de mathematische rekenwijze kan worden onderworpen.  Aristoteles(300v.c.): bewijst dat er een systematiek in bewijzen te vinden is.  Kurt Gödel(20ste eeuw): hij beweerde dat een consistent axiomastelsel voor een groot  deelgebied van de wiskunde steeds onvolledig is. 

Begrippen Axioma’s of grondbegrippen  axioma’s of grondbegrippen zijn stellingen die niet bewezen worden maar aanvaart worden als  waar. Verschillende samen horende axioma’s vormen een axiomastelsel. Binnen zo één  axiomastelsel mogen er geen twee axioma’s strijdend zijn.  Men ging opzoek naar een consistent en volledig stelsel, maar Kurt Gödel beweerde dat dit niet kon  omdat een consistent axiomastelsel steeds voor een groot deelgebied van de wiskunde onvolledig is.  Gödel gaat dan ook een onderscheid maken tussen “de bewering is waar” en “de bewering is  bewijsbaar”. 

Grondbegrippen Een grondbegrip is een begrip dat geen definitie heeft. Deze worden verbonden door uitspraken,  axioma’s. grondbegrippen zijn nodig om andere begrippen te kunnen definiëren.   

 

Propositielogica Grondbegrippen en axioma’s van de propositielogica Een propositie is een zin die aangeeft dat wat beweerd wordt waar of niet waar is. 

De grondbegrippen van de formele logica Uitspraak: een uitspraak noteren we met een kleine letter (p). Van deze uitspraak kan dat gezegd  worden of ze waar (1) of vals (0) is.  uitdrukkingen waarin gebruik wordt gemaakt van een variabele is geen uitspraak.  Negatie: niet(~)  Conjunctie:  en (Λ)  Disjunctie: of (v)  Implicatie: als…dan (⇒)  Equivalentie: als en slechts als () 

De axioma’s van de formele logica 1. Axioma van de uitgesloten derde en van niet‐ tegenstrijdigheid  een uitspraak is ofwel waar, ofwel niet waar, maar niet beide tegelijk.  2. Axioma van de negatie  de negatie van een uitspraak p, is een uitspraak (~p)  3. Axioma van conjunctie  De conjunctie van een uitspraak p en q is uitspraak p en q      die waar als p en q waar zijn, in andere gevallen is de uitspraak vals.  4. Axioma van de disjunctie  de disjunctie van een uitspraak p en q is een uitspraak p OF q     die vals is al p en q vals zijn. In alle andere gevallen is de uitspraak waar.  5. Axioma van de implicatie  de implicatie van 2 uitspraken p en q is een uitspraak als p… dan q...      die vals is al p waar is en q vals. In alles andere gevallen is de uitspraak waar.  6. Axioma van de equivalentie   de equivalentie van 2 uitspraken p en q is een uitspraak p als en slechts als q     die waar is als p en q beiden waar zijn of beiden vals. De twee andere uitspraken zijn vals. 

De waarheidstafels Voor n uitspraken zijn er 2  mogelijkheden. 

Volgorde van de logische bewerkingen   



~ komt voor Λ en V  Λ en V komen voor  ⇒  en   De andere operaties worden uitgevoerd van links naar rechts. 



Algemene info (te lezen)  ‐ ‐

We gebruiken de implicatiepijl niet in onze schrijftaal.  “of” wordt in de wiskunde in haar inclusieve betekenis gebruikt. “of” betekent : p / q/p en q. 

‐

p=> q ≠ q => . we noemen de uitspraak voor de implicatie het antecedent en de uitspraak na  de implicatie de consequens. 

De waarheidswaarde van samengestelde uitspraken ‐ ‐

contradictie : alle samengestelde uitspraken zijn vals  tautologie: alle samengestelde uitspraken zijn waar. 

Logische wetten of tautologiën Te leren pag. 15‐16!!! 

Elektronische schakels  (lezen pag. 17‐19)   

 

Predicatenlogica Uitspraakvormen Een uitspraakvorm of predikaat is een uitdrukking met veranderlijke(n) die een uitspraak wordt als  men de verandrlijke(n) vervangt door constante(n).  We schrijven een uitspraakvorm afhankelijk van x en noteren p(x). 

De referentieverzameling De veranderlijken worden vervangen door constanten die uit een welbepaalde verzameling gekozen  worden. Deze verzameling noemen we de referentieverzameling. 

Waarheidsverzameling De waarheidsverzameling is de verzameling van all constanten uit de referentieverzameling waarvoor  de waarheidsvorm of het predikaat waar is. 

Samengestelde uitspraken Met behulp van uitspraakvormen in eenzelfde referentieverzameling kunnen nieuwe  uitspraakvormen gevormd worden door gebruik te maken van logische connectoren.  Vb.: p(x) Λ q(x) 

Gekwantificeerde uitspraken Gekwantificeerde uitspraken zijn uitspraakvormen van de vorm p(x) in de referentieverzameling R. 

De universele kwantor ∀ x ∈ R geldt: p(x) 

Existentiële kwantor of bestaanskwantor Er bestaat ten minste één x van R waarvoor p(x) geldt. 

Uniciteitskwantor Er bestaat juist één element van R waarvoor p(x) geldt. 

Meervoudige gekwanteerde uitspraken Voor alle elementen x  van X bestaat er een y uit element van Y waarvoor geldt: p(x,y).  ! 2 ongelijknamige kwantoren zijn niet verwisselbaar!   



Negatie van een gekwanteerde uitspraak 

“∀ elementen”  “∃ 1 element waarvoor … niet geldt”. 

Men bekomt de negatie van een gekwanteerde uitspraak door:  1. De alkwantor te vervangen door de bestaanskwantor of omgekeerd.  2. De uitspraakvorm te vervangen door zijn negatie. 

Verklaringen Lees pag. 28‐29 

Conjuncties en disjunctie van gekwanteerde uitspraken Zie pag. 29‐30   

 

Wiskundige theorie Begrippen en stellingen Wiskunde is een geheel van theorieën (algebra, meetkunde, analyse,…)  Grondbegrippen zijn primitieve begrippen die niet gedefinieerd worden.   Ware uitspraken die een verband uitdrukken tussen begrippen van een theorie noemen we  eigenschappen of stellingen.  Grondstellingen of axioma’s zijn primitieve stellingen die niet meer bewezen kunnen worden. 

Definiëren Een definitie is een uitspraak over dat begrip equivalent verklaren met een uitspraak of reeds  bekende begrippen van de theorie.  Een definitie is wordt voor een begrip dat voor het eerst in een theorie ondubbelzinnig omschreven  wordt. 

Bewijzen Een eigenschap bewijzen is haar waarheid aantonen door logische wetten toe te passen op de  axioma’s en op de op dat ogenblik gekende definities en bewezen eigenschappen. 

Soorten eigenschappen Een eigenschap is een uitspraak die te schrijven is als een implicatie.  Een kenmerk of criterium is een eigenschap die als equivalent geschreven kan worden. 

Soorten bewijzen ‐ ‐ ‐ ‐ ‐

Rechtstreeks bewijs  Bewijs door contrapositie  Bewijs door inductie  Bewijs uit het ongerijmde  Bewijs van een existentiestelling 

Bewijs uit het ongerijmde Het bewijs uit het ongerijmde steunt op de logische wet van de contrapositie en op het axioma van  de uitgesloten derde.  We vertrekken van de negatie van wat bewezen moet worden. 

Eisen waaraan een axiomastelsel moet voldoen  

Een axiomastelsel mag niet contradictorisch zijn. De verschillende axioma’s mogen niet  tegenstrijdig zijn.  De axioma’s moet onafhankelijk zijn van elkaar. 

Logica in het wiskunde onderwijs Lezen pag. 37‐38 

 

De verzamelingenleer Het begrip verzameling Een verzameling is een collectie van goed onderscheiden objecten die voldoen aan een bepaalde  eigenschap. Hieruit volgt dat de elementen van een verzameling onderling verschillen en dat de  volgorde van de elementen geen belang heeft.  George Cantor (einde 19de eeuw) is de grondlegger van de verzamelingenleer.  Het begrip verzameling werd door B. Russell is in twijfel getrokken door de paradox van de barbier te  formuleren: R is dan en slechts dan een element van R als R geen element is van R. 

Klasse Een klasse is een primitief begrip dat met het intuïtieve idee “collectie van objecten correspondeert.  Axioma’s bepalen het gedrag van klassen. 

Verzameling Een verzameling wordt per definitie een klasse die zelf element is van een andere klasse en geen  element is van zichzelf. De verzameling is een bijzondere klasse.  In de paradox van Russell is R een klasse en geen verzameling. 

Algemeenheden over verzamelingen Elementen van een verzameling worden vastgelegd door:  ‐ ‐

Opsomming van deze elementen  Omschrijving van deze elementen 

Voorstellen van een verzameling:  ‐

Aan de hand van een Venndiagram . (= een gesloten kromme waarbinnen de elementen met  een punt worden voorgesteld) 

(het Venndiagram werd in in 1880 door J. Venn geïntroduceerd). 

Notaties 1. T={x І x is een letter van het woord “appel” }  ieder element wordt slechts éénmaal gebruikt in de voorstelling. T = {a, p, e, l}  2. Gehele getallen = {0, ‐1, 1, ‐2, 2, …}  de verzameling van de gehele getallen is een oneindige verzameling.  3. Referentieverzameling R van een uitspraak wordt soms voorgesteld voor een rechthoek.  4. Een singleton is een verzameling met slechts 1 element. A = {4}  5. De ledige verzameling kan op veel manieren worden voorgesteld.  Ø = {  }  , Ø = {x is een natuurlijk getal  l  2 < x < 3 }  6. Een paar is een verzameling met juist 2 elementen. P = {4,9}   



Relaties tussen verzameling De gelijke verzameling ‐ ‐ ‐

Twee verzamelingen zijn gelijk als en slechts als ze de zelfde elementen hebben.  (A = B )  (∀ x : x Є  A  x Є B )   wordt een “equivalentieteken genoemd. 

De deelverzameling van een verzameling ‐ ‐ ‐ ‐

Een deelverzameling B is een deel van verzameling 4 als en slechts als elk element van B een  element van A is.  (B ⊂ A)  ( ∀ x : x Є B => x Є A )  => wordt een “ implicatieteken” genoemd.  B ⊂A  “ B is een echte deelverzameling van A. (B ≠ A)” 

De referentieverzameling De referentie verzameling is de verzameling van alle objecten die men bestudeert. Deze verzameling  wordt vaak niet expliciet genoemd.       

   

 

 

R 

. 

 

Criterium van gelijke verzamelingen Kenmerk :  A

B ⇔ A ⊂ B Λ B ⊂ A  

Bewijs pag. 49 

Delenverzameling van een verzameling Een delenverzameling van een verzameling A is de verzameling van alle delen van A.  D A ( de delenverzameling van A)  in symbolen: D A = {X I X ⊂ A}  voorbeeld: A = {1,2} 

, 

D A= {   Ø, {1} , {2} , {1,2}   } 

eigenschap 1 B ⊂ A ⇔ D A ⊂ DB   In woorden: het bewijs van een equivalentie kan gebeuren in 2 delen.  Bewijs pag.51‐52   

 

Eigenschap 2 Een eindige verzameling met n elementen (n behoort tot de verzameling van de natuurlijke getallen)  heeft 

 deelverzamelingen 

(bewijs door inductie pag. 53) 

De begrippen paar en koppel *Een paar is een verzameling van 2 elementen.  A = {4,9}={9,4}  *Een koppel heeft een oorsprong en een uiteinde en is een geordend paar.  A = (5,9)≠(9,5)  Een identiek koppel is een koppel met zelfde oorsprong en uiteinde.  Een invers koppel is een koppel waarbij oorsprong en uiteinde zijn verwisseld  a, b

b, a  

Opeenvolgende koppels zijn koppel waarvan het uiteinde van het ene koppel de oorsprong is van  het volgende koppel.  (a,b) en (b,c) zijn opeenvolgende koppels.  Samen gestelde koppels zijn koppels die de oorsprong van het ene koppel bevatten en het  uiteinde van het opeenvolgend koppel.  (a,c) is een samengesteld koppel van (a,b) en (b,c) 

bewerkingen van verzamelingen het complement van een verzameling A t.o.v. een referentieverzameling R het complement van een verzameling A t.o.v. een referentieverzameling R is de verzameling van alle  elementen van R die niet tot A behoren.   

R 

 

 

 

A 

 

 

Co(A) 

      Voorbeeld: P is de verzameling van alle priemgetallen. Het complement van P zijn alle natuurlijke  getallen die geen priemgetallen zijn. 

De doorsnede van een verzameling De doorsnede van A en B is de verzameling van alle elementen die tot A en tot B behoren.  A ∩ B   

 

De unie van verzamelingen De unie van A en B is de verzameling van elementen die tot A of tot B behoren.  A ∪ B 

Verband met de logica De logische connectoren zijn terug te vinden in de 3 bovenstaande bewerkingen. We kunnen alle  uitspraken uit de verzamelingenleer terugvoeren naar logica‐ uitdrukkingen. 

De aftrekking van A en B Het verschil van de verzameling A en B is de verzameling van alle elementen die tot A behoren en  niet tot B behoren.  A \B 

Het symmetrische verschil van A en B Het symmetrische verschil van A en B is de verzameling van alle elementen die tot A of tot B  behoren, maar niet tot beiden.  A∆B A ∪ B \ A ∩ B  

Het product van A en B Het product van A en B is de verzameling van alle koppels waarvan het beginelement tot A behoort  en het eindelement tot B behoort.  A X B = {(x,y) І x Є A Λ y Є B}  Als A  n elementen heeft en B  m elementen heeft, van bevat A X B   n∙m  elementen. 

Eigenschappen van de bewerkingen en de relaties met verzamelingen Leren pag. 62‐63 

Partitie van een verzameling Een partitie van A is een verzameling van niet‐ledige deelverzamelingen van A met als eigenschap  dat ieder element van A tot juist één van deze deelverzamelingen behoort.  Voorbeeld: de restklassen.  een partitie van   = { 5 ,  5  +1,  5  +2,  5  +3,  5  +4} =  O 1 2 3 4   ‐ ‐  

De unie van al deze delen van de partitie is de verzameling zelf.  Twee elementen van een partitie zijn steeds disjunct. (= 2 delen zijn gescheiden) 

Algemeenheden over relaties Een relatie r van een verzameling A naar een verzameling B is een verzameling van koppels met  beginelement in A en eindelement in B.  Een relatie is dus een deel van de productverzameling A X B   r ⊂ A

B 

Relaties kunnen worden voorgesteld in een Venndiagram, een pijlenvoorstelling of een  roostervoorstelling.  Een relatie r in A wordt bepaald door opsomming van de koppels of door omschrijving van de  koppels. Deze omschrijving is een verband tussen begin‐ en eindelement, het relatievoorschrift  genoemd.  Voorbeelden: is een veelvoud van, is gelijk aan, is kleiner dan,…  Het relatievoorschrift van een relatie r in A² is een uitspraakvorm in 2 variabelen p(x,y). x is hierin de  onafhankelijk veranderlijke en y is de afhankelijk veranderlijke.    r

x, y ∈ A waarvoor geldt p x, y  

r is de identieke permutatie, dit is de verzameling van alle koppels waarvan oorsprong en uiteinde  gelijk zijn.   

 

Relaties in een verzameling Sorteren Een equivalentierelatie is een relatie die ervoor zorgt dat de elementen gesorteerd worden.  elementen van eenzelfde soort horen samen in één deelverzameling of equivalentieklasse. 

Equivalentierelatie Een equivalentierelatie r in A is een relatie die reflexief, symmetrisch en transitief is in A. 

Reflexiviteit R is reflexief in A  ∀ a ϵ A: a, a ϵ A  Alle identieke koppels uit A² behoren tot de verzameling 

Symmetrie r is symmetrisch in A  ∀ a, b ϵ A: a, b ϵ r ⇒ b, a ϵ r  Als een koppel (a,b) tot de relatie behoort dan behoort het omgekeerde koppel ook tot de relatie. 

Transitiviteit r is transitief in A ∀ a, b, c ϵ A: a, b ϵ r ⋀ b, c ϵ r ⇒ a, c ϵ r  als twee opeenvolgende koppels in de relatie bestaan, dan behoort het samengesteld Koppel ook tot  de relatie.  Als a ϵ A en r is een equivalantieverzameling van A, dan is de equivalentieklas van a de verzameling  van alle elementen die met a in relatie staan.  Ieder element van A behoort tot juist één equivalentieklas van de equivalentieverzameling.  De verzameling van de equivalentieklassen vormen een partitie van A.   



Orderelatie Een orderelatie r in A is een relatie die reflexief, anti‐ symmetrisch en transitief is. 

Reflexiviteit R is reflexief in A  ∀ a ϵ A: a, a ϵ A  Alle identieke koppels uit A² behoren tot de verzameling 

Anti‐ symmetrisch r is anti‐ symmetrisch in A  ∀ a, b ϵ A: a, b ϵ r ⋀ b, a ϵ r ⇒ a

b 

identieke koppels mogen wel voorkomen. 

Transitiviteit r is transitief in A ∀ a, b, c ϵ A: a, b ϵ r ⋀ b, c ϵ r ⇒ a, c ϵ r  als twee opeenvolgende koppels in de relatie bestaan, dan behoort het samengesteld Koppel ook tot  de relatie.  Als a ϵ A en r is een equivalantieverzameling van A, dan is de equivalentieklas van a de verzameling  van alle elementen die met a in relatie staan.  Ieder element van A behoort tot juist één equivalentieklas van de equivalentieverzameling.  De verzameling van de equivalentieklassen vormen een partitie van A.   

 

Strikte orde Een strikte orde r in A is een relatie die anti‐ reflexief, anti‐ symmetrisch en transitief is in A.  r is antireflexief in A  ∀ a ϵ A: a, a ∉ r  Alle identieke koppels behoren niet tot de relatie. 

Anti‐ symmetrisch r is anti‐ symmetrisch in A  ∀ a, b ϵ A: a, b ϵ r ⋀ b, a ϵ r ⇒ a

b 

identieke koppels mogen wel voorkomen. 

Transitiviteit r is transitief in A ∀ a, b, c ϵ A: a, b ϵ r ⋀ b, c ϵ r ⇒ a, c ϵ r  als twee opeenvolgende koppels in de relatie bestaan, dan behoort het samengesteld Koppel ook tot  de relatie.  Als a ϵ A en r is een equivalantieverzameling van A, dan is de equivalentieklas van a de verzameling  van alle elementen die met a in relatie staan.  Ieder element van A behoort tot juist één equivalentieklas van de equivalentieverzameling.  De verzameling van de equivalentieklassen vormen een partitie van A.   

 

Geordende verzamelingen Een geordende verzameling A is een verzameling waarin een orderelatie is gedefinieerd.  A is een geordende relatie 

A,≼  

Een geordende verzameling A,≼  is totaal geordend als en slechts als ∀ a, b ϵ A: a ≼ b of b ≼ a.  Een geordende verzameling A,≼  is partieel geordend als en slechts als ze niet totaal geordend is. 

Maximum, minimum van een geordende verzameling Als D een niet‐ ledig deel is van V,≼  , dan definiëren we de begrippen maximum en minimum van D  we noteren maxD en minD.  m = minD  m ϵ D ⋀ ∀ xϵ D: m ≼ x  M = maxD  M ϵ D ⋀ ∀ xϵ D: x ≼ M  Een deel van een geordende verzameling heft hoogstens één minimum (maximum).  Elke niet ledige eindige verzameling van een totaal geordende verzameling heeft een minimum en  een maximum. 

Welgeordende verzameling Een welgeordende verzameling is een geordende verzameling waarvan elke niet‐ ledige  deelverzameling een minimum heeft. 

Boven en ondergrens, begrensde verzameling Als D een niet‐ ledig deel is van een geordende verzameling  V,≼  , dan definiëren:  g is de ondergrens van D   g ϵ A ∧ ∀ x ϵ D ∶ g ≼ x  G is de bovengrens van D  G ϵ A ∧ ∀ x ϵ D ∶ x ≼ G  D is begrensd  D naar boven en onder begrensd is.  D is naar onder begrensd  D een ondergrens bezit. 

Supremum en infimum Het supremum van D (supD) is het minimum van de verzameling van de bovengrenzen van D.  Het infimum van D (infD) is het maximum van de verzameling van de ondergrenzen van D.   

 

Functiestudie Functies Een relatie  van A naar B is een functie als en slechts als elk element van A hoogstens éénmaal  voorkomt als eerste element van een koppel.  is een functie van A naar B ⇔ ∀ x ϵ A, ∀ y , y ∈ B ∶

x, y

∈ ⋀ x, y

∈

⇒y

y  

Benaming, voorstelling, notatie x, y ∈   of y =  x   Het domein van een functie is de verzameling van alle elementen uit A die voorkomen als eerste  element van een koppel.  is een functie van A naar B ⇔ ∀ x ϵ A, ∃! y ∈ B ∶ y x   x is de functievoorwaarde van in x 

‐ ‐ ‐ ‐

Functievoorschrift *Het expliciet voorschrift  (voorbeeld:  y= X²‐5)  de afhankelijke veranderlijke staat in één lid van de vergelijking en de vergelijking is opgelost naar de  afhankelijke veranderlijke.  *het impliciet voorschrift (voorbeeld: x²+y² = 16)  dit voorschrift kan meestal omgevormd worden naar een expliciet voorschrift.  *meervoudig voorschrift  hierbij worden meerdere vergelijkingen weergegeven over verschillende domeinen.   

 

De afbeelding Een functie  van A naar B is een afbeelding  elk element van A juist eenmaal voorkomt als eerste  element van een koppel.  Een functie   is een afbeelding  dom = A  Een transformatie is een afbeelding van A in A.  Bij iedere functie hoort een afbeelding die we bekomen door de functie te beperken tot het  domein van de functie. 

Een injectie of injectieve afbeelding





  dom 

A en ∀ x , x ϵ A ∶

x

x

⇒x

x  

Er komt hoogstens 1 pijl uit A aan in elk element van B. 

Een surjectie of surjectieve afbeelding







  dom 

A en ∀ y ϵ B ∶ ∃ x ϵ A ∶ y

x  

Er komt minstens 1 pijl uit A aan in elk element van B. 

Een bijectie of bijectieve afbeelding







  dom 

A en ∀ y ϵ B ∶ ∃! x ϵ A ∶ y

x  

Er komt juist 1 pijl uit A in elk element uit B.  de verzameling van de afbeeldingen van A in B noteren we metB

. 

Het aantal afbeeldingen van A in B. Het aantal afbeeldingen van A in B van een verzameling met n elementen in een verzameling met m    elementen = 

Het aantal permutaties van A Het aantal permutaties van een verzameling A met n elementen = n! 

Een permutatie is een afbeelding waarbij elk element van A juist 1 keer op een element uit A  wordt afgebeeld. (= bijectie)  (notatie van permutaties lezen pag.87 en cursusbladen).   

 

Bewerkingen met afbeeldingen De inverse relatie van een functie Een inverse relatie van een functie   is de verzameling van alle inverse koppels van  .  de inverse relatie van 





 

de samenstelling van functies de samengestelde functie van twee functies f en g is de verzameling van alle samengestelde koppels  die kunnen gevormd worden met de opeenvolgende koppels uit f en g.  we schrijven  g ∘ f   of lezen g na f 

optelling en vermenigvuldiging van afbeeldingen lezen pag. 89‐90 

Rijen In verzamelingen heeft de volgorde van de elementen geen belang. Willen we echter een bepaalde  volgorde aan de elementen geven, kunnen we dit doen door aan elk element een natuurlijk getal te  koppelen.  Voorbeeld: 

A= {z,r,d,}      {(1,r) , (2,z) , (3,d)}    =  een afbeelding van {1,2,3} in A  Een element van een rij heet een term. De algemene term van een rij schrijven we als a  

Uitbreiding tot het begrip matrix Voorbeeld  A= {((1,1),r)   , ((1,2), a)  , ((2,1), q)   , ((2,2), p) }  r Dit is een afbeelding van {1,2} X{1,2} in A    q

a p  

De rekenkundige rij En reële getallenrij is een rekenkundige rij  elke term uit de voorgaande term wordt afgeleid door  hetzelfde reël getal op te tellen. Dit reëel getal heet het verschil van de rekenkundige rij. 

a

a

a

a

v     n

1 v 

Som van de eerste n termen:  S  

a

a 2

. n   

Een meetkundige rij Een reële getallenrij is een meetkundige rij  elke term uit de voorgaande term wordt afgeleid door  met hetzelfde reëel getal, verschillend van 0, te vermenigvuldigen. Dit reëel getal heet de reden van  een meetkundige rij. 

a

a

∙ q    

a

a ∙q

 

Som van de eerste n termen:  S    

a

q q

1 . n met q 1

1 

Kardinaalgetallen en natuurlijke getallen Gelijkmachtige verzamelingen Om na te gaan of twee verzameling een zelfde aantal elementen hebben kunnen we de elementen  gaan tellen. We kunnen de elementen van de twee verzamelingen ook gaan koppelen. Als we een  bijectie uitkomen hebben we een verzameling met evenveel elementen.  Twee verzamelingen met evenveel elementen zijn gelijkmachtig of equipotent.   Twee verzamelingen zijn equipotent of gelijkmachtig  er een bijectie bestaat tussen ene  verzameling en de andere. 

De relatie “gelijkmachtig met” bij verzamelingen ‐

Iedere verzameling is gelijkmachtig met zichzelf. De bijectie is hier bijvoorbeeld een identieke  permutatie.  De inverse relatie van een bijectie is een bijectie  De samenstelling van 2 bijecties is een bijectie 

‐ ‐

Kardinaalgetal van een verzameling Twee verzamelingen hebben hetzelfde kardinaalgetal  ze gelijkmachtig zijn. 

De paradox van Galilei Bij het koppelen van de verzameling van de natuurlijke getallen aan de verzameling van de  kwadraten van de natuurlijke getallen is er een bijectie hoewel er bij de verzameling van de  kwadraten elementen ontbreken. Hier spreken we van een paradox. 

De oneindige verzameling Een oneindige verzameling is een verzameling die equipotent is met een echt deel van zichzelf. 

De natuurlijke getallen Een kardinaalgetal van een verzameling is een natuurlijk getal als en slechts als de verzameling eindig  is.  # ⊄

 

 

(#

 aftelbaarheid) 

Aftelbaarheid #  



 we spreken van een transfiniet kardinaalgetal.   

Het vreemde van oneindig Het Hilberthotel 

Aftelbare oneindige verzamelingen Een verzameling is aftelbaar als en slechts als er een bijectie bestaat van een deel van   op die  verzameling. 

Orderelaties en orde in de kardinaalgetallen # A  

#B ⇔ ∃C ⊂ B ∶ #A

#C   

Rekenen met natuurlijke getallen Voorstellingen van natuurlijke getallen ‐ ‐ ‐

Driehoeksgetallen  Vierkantsgetallen  … 

Talstelsels ‐ ‐ ‐ ‐

Tiendelig talstelsel  Binair systeem  16‐delig talstelsel  … 

Bewerkingen en relaties met natuurlijke getallen (we werken met eindige verzamelingen) 

De optelling Als a = #A en b = #B en A ∩ B = ϕ  dan a+b = # A# ∪ B  Eigenschappen:  ‐ ‐ ‐ ‐ ‐

de optelling in  is gedefinieerd voor elk koppel natuurlijke getallen.  De optelling is associatief (haakjes zijn verplaatsbaar)  De optelling is commutatief ( de termen mogen van plaats veranderd worden)  0 is het neutraal element  De vereenvoudigingswet geldt 

De aftrekking Is kleiner dan of gelijk aan in    # A

Uit 

#B ⇔ ∃C ⊂ B ∶ #A

#C 

volgt:  # b

a ⇔ ∃! c ∈

∶c

b

a 

We definiëren de aftrekking:  a

b

c⇔c

b

a 

De aftrekking is de inverse bewerking van de optelling.  Eigenschappen:  ‐ ‐ ‐ ‐

als b > a dan bestaat a – b niet in    de aftrekking is niet associatief in       ∃a, b, c ∈ : a de aftrekking is niet commutatief in      ∃a, b ∈ : a er bestaat geen neutraal element voor de aftrekking 

b c a b b b a  

c    

de vermenigvuldiging als a

#A en b

#B, dan definiëren we het product van a en b als

#

#  

eigenschappen:  ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐

de vermenigvuldiging in   is gedefinieerd voor elk koppel natuurlijke getallen.  ∀a, b ϵ : ab ϵ   de vermenigvuldiging is commutatief in    ∀a, b ϵ : ab ba  de vermenigvuldiging is associatief in N ∀a, b, c ϵ : abc a bc   1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in  . (1 is het eenheidselement)  ∀a ϵ : 1 ∙ a a a ∙ 1  0 is het opslorpend element voor de vermenigvuldiging in    ∀a ϵ : a ∙ 0 0 0 ∙ a  De vereenvoudigingswet geldt:  ac bc met c 0 ⇒ a b  De vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling in    ∀a, b, c ϵ : a b c ab ac en b c a ba ca 

De deling Is een deler van in  .  We noteren b I a en we lezen b is een deler van a of a is deelbaar door b of a is een veelvoud van b.  b is een deler van a ⇔ ∃ q ∈ : a

bq 

eigenschappen:  ‐ ‐ ‐ ‐

1 is een deler van elk natuurlijk getal  Elk natuurlijk getal is een deler van 0  Elk natuurlijk getal is een deler van zichzelf  … 

We definiëren:  ∶ ⇔

 

De deling is de inverse bewerking van de vermenigvuldiging.  Opmerkingen:  ‐ ‐ ‐

De deling is niet associatief  de deling is niet commutatief  er bestaat geen neutraal element bij de deling 

deelbaarheidskenmerken ‐ ‐ ‐ ‐

een getal is deelbaar door 10 als en slechts als het laatste cijfer een 0 is.  Een getal is deelbaar door 2 als en slechts als het laatste cijfer een 2,4,6,8 of 0 is.  Een getal is deelbaar door 5 als en slechts als het laatste cijfer een 0 of 5 is.  Lezen pag. 15‐ 18 

Deelbaarheid door 11  112957 is deelbaar door 11 want:  (112957)  (7+9+1) – (1+2+5)=11‐voud    17  –  8   =11 

Deelbare getallen Een deler van een getal a is een echte deler als en slechts als de deler verschillend is van 1 en a.  Een getal heet deelbaar getal als en slechts al het echte delers heeft. 

Priemgetallen Een getal p is een priemgetal als en slechts als het getal juist 2 verschillende delers heeft.  Stellingen pag. 21 

De grootst gemeenschappelijke deler van 2 natuurlijke getallen. d is de grootste gemeenschappelijke deler van 2 strikt positieve getallen a en b   als en slecht als  d is een gemeenschappelijke deler van a en b en elke gemeenschappelijke deler van a en b is een  deler van d. 

onderlinge ondeelbare getallen 2 strikt positieve getallen a en b zijn onderling ondeelbaar als en slechts als de ggd {a,b}=1 

Het kleinst gemeenschappelijke veelvoud van 2 natuurlijke getallen v is het kleinst gemeenschappelijke veelvoud van 2 strikt positieve natuurlijke getallen a en b   

als en slechts als 

v is een gemeenschappelijk veelvoud van a en b en elk gemeenschappelijk veelvoud van a en b is een  veelvoud van v. 

het verband tussen kgv en ggd van twee getallen ,  

 

∙

,

 

Telproblemen Telproblemen pag.24 kunnen oplossen (Dit hoofdstuk leren in cursus!!!)  Een convexe veelhoek is een veelhoek waarbij we een lat langs elke zijde kunnen leggen zodat de  veelhoek volledig langs 1 kant van de lat ligt.  Het aantal diagonalen van een veelhoek  #diagonalen veelhoek



n

3 ∙n   2

De som van alle natuurlijke getallen tot en met n  som van de eerste n natuurlijke getallen



n

1 ∙n   2

Het aantal delers van een getal a  Gegeven:  

a

T.B.: 

 

# delers van a

Bewijs:   

#delers van a

 

p ∙ q ∙ v   r r



1 s s

t

1 t rs

rt

1   st

rst

1 

Eigenschappen van de binomiaalcoëfficiënt Eigenschap 1: n!   p! n p !

n p

Eigenschap 2:  n

n p

1 p

n p

1  

Eigenschap 3:  n 0

n   n

1

Te bewijzen  n 0

n 1

n 2

n 3

n n

⋯

2  

De driehoek van Pascal  1 

 

 

 

 

 

1 

1 

 

 

 

 

1 

2 

1 

 

 

 

1  1  1   

 

3  3  1      4  6  4  1    5  10  10  5  1             Hieruit kunnen we de formules afleiden voor   

 

Gehele getallen Michaël Stifel voerde in onze streken de negatieve getallen is (0‐3) of (0‐8)… 

De verzameling van de gehele getallen 0

n

n ⇔

n

n

0 met n ϵ  

n en (‐n) zijn tegengestelde getallen  

0,1, 1,2, 2,3, 3, …  

Het kardinaal getal van We construeren een bijectie van  op   1  2  3  4  5  6  …  ↓  ↓  ↓  ↓  ↓  ↓  ↓ 0  1  ‐1  2  ‐2  3  …  # #   De gehele getallen zijn aftelbaar. (aftelbaarheid leidt naar een oneindigheid)/ 

Eigenschappen van de bewerkingen in De optelling in 1. 2. 3. 4. 5.

De optelling is overal gedefinieerd in en inwendig in    De optelling is associatief in    0 is het neutraal element voor de optelling in    Ieder geheel getal heeft een tegengesteld geheel getal   De optelling is commutatief in   

De eerste 4 eigenschappen maken van de structuur  , een groep  De vijfde eigenschap maakt van de structuur  ,   een abelse groep  

De vermenigvuldiging in 1. 2. 3. 4.

De vermenigvuldiging is overal gedefinieerd en inwendig in De vermenigvuldiging is associatief in 1 is het neutraal element in De vermenigvuldiging is commutatief

De eerste 2 eigenschappen maken van de structuur ,∙ een semigroep De derde eigenschap maakt van de structuur een semigroep met eenheidselement De vierde eigenschap maakt van de structuur een commutatieve semigroep met eenheidselement. Het neutraal element van de optelling is het opslorpend of absorberend element voor de vermenigvuldiging.

De distributiviteitswetten ∀ a, b, c ∈ : a b

, ,∙

c

ab

bc en b



c a

bc

ca 



 

De eigenschap commutativiteit, de eenheidselementen en de 8 eigenschappen maken van deze  structuur een commutatieve eenheidsring. 

Deelbaarheid in De relatie “is een deler van” in De deling is de inverse bewerking van de vermenigvuldiging. ‐ ‐ ‐ ‐

Als b geen deler is van a dan bestaat de bewerking a : b niet in . De deling is niet associatief De deling is niet commutatief Er bestaat geen neutraal element voor de deling

Eigenschappen ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐

1 is een deler van elk geheel getal ‐1 is een deler van elk geheel getal Elk geheel getal is deler van zichzelf Elk geheel getal is deler van zijn tegengesteld geheel getal Elk tegengesteld geheel getal is deler van zijn geheel getal De relatie is een deler van is transitief in Een veelvoud van een geheel getal is ook een veelvoud van haar tegengestelde Een deler van 2 gehele getallen is een deler van hun verschil Een deler van een geheel getal is ook een deler van iedere strikt positieve gehele macht van dat getal.

Het axioma van Archimedes Het is steeds mogelijk een geheel getal in te sluiten door twee opeenvolgende gehele veelvouden  van een willekeurig gegeven natuurlijk getal verschillend van 0  ∀b ∈

, ∀a ∈ , ∃q ∈ : qb

a

q

1 b 

De stelling van de Euclidische deling in Als a en b gehele getallen zijn en b>0 dan bestaan er juist 2 gehele getallen q en r waarvoor geldt: a bq r en 0 r b  



Het algoritme van Euclides om de ggd te berekenen. Leren paf 35‐36 Voor twee getallen a en b en a>b geldt: De gemeenschappelijke deler van a en b is ook gelijk aan de deler van a‐ veelvoud van b = rest r. De gemeenschappelijke deler van a en b is gelijk aan de gemeenschappelijke deler van b en r.



Rationale getallen Geschiedenis van de rationale getallen Simon Stevin geeft het decimaaltalstelsel in de 16e eeuw bekendheid. Hij schrijft een boek waarbij hij  met zowel eenheden als tienden werkt. 

De verzameling van de rationale getallen ‐ ‐ ‐

Breuken  Procenten  ... 

De verzameling van de rationale getallen wordt gedefinieerd als:  ℚ

is een deler van a ∈ en b ∈

} 

Het kardinaalgetal van ℚ We noteren onvereenvoudigbare breuken: 0 01 012 0 1 23 … 1 21 321 4 3 21 De som van teller en noemer is 1, dan 2, dan 3, dan 4,… we schrappen de gelijkwaardige breuken en bekomen volgende bijectie: ↓ ℚ

0 ↓ 0

1 ↓ 1

2 ↓ ‐1

3 ↓ 1 2

4 ↓ 1 2

5 ↓ 2

6 ↓ ‐2

7 ↓ 1 3

8 ↓ 1 3

… ↓ …

Eigenschappen van de bewerkingen in ℚ De optelling in ℚ 1. 2. 3. 4. 5.

De optelling is overal gedefinieerd en inwendig in ℚ De optelling is associatief in ℚ 0 is het neutraal element in ℚ Ieder rationaal getal heeft een tegengesteld getal De optelling is commutatief in ℚ

De eerste 4 eigenschappen maken van de structuur ℚ, een groep. De vijfde eigenschap maakt van de structuur een abelse groep. De aftrekking b

a is gedefinieerd door b

a

De vermenigvuldiging in ℚ 1. 2. 3. 4. 5.

De vermenigvuldiging is overal gedefinieerd en inwendig in ℚ De vermenigvuldiging is associatief in ℚ 1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in ℚ Ieder rationaal getal heeft een omgekeerde in ℚ De vermenigvuldiging is commutatief

De eerste 3 eigenschappen maken van de structuur ℚ,∙ een groep. de laatste 3 eigenschappen maken van de structuur een abelse groep.

de distributiviteitswetten ∀ a, b, c ∈ ℚ: a b

ℚ, ,∙





c

ab

bc en b

c a

bc

ca 



De structuur wordt bepaald door 11 eigenschappen. 

Evenredigheden a b

c met a en d de uitersten en b en c de middensten d

We noemen en de leden van de evenredigheid.  

 

Lettervormen in ℚ Veeltermen in ℚ We noteren een veelterm als ∑

a x

We kunnen veeltermen rangschikken we rangschikken van grootste naar kleinste macht van x We kunnen veeltermen herleiden we tellen gelijksoortige termen op We kunnen veeltermen vervolledigen We kunnen de graad bepalen de graad = de hoogste macht van X We kunnen een coëfficiënten rij noteren dit is een rij van alle coëfficiënten in volgorde van grootste naar kleinste macht van x.

‐

‐

‐ ‐

‐

Een veelterm in meerdere variabelen Om de graad van veeltermen met meerdere variabelen te weten tellen we de machten van  variabelen per term op. De grootste som geeft de graad weer. 

Ontbinden in factoren 1. We zonderen de gemeenschappelijke factor af  2. We onderzoeken of er nog factoren kunnen worden afgesplitst.  3. We onderzoeken op merkwaardige producten 

Regel van horner Leren pag. 48