MATRIKS
MATRIKS DEFINISI Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris dan kolom) Bentuk umum A=(aij) ,i= 1,2,...m J=1,2,...m a11 a12……a1n a21 a22…..a2n Am1 am2…amn
baris 1 baris 2 baris m
Kolom n Kolom 2 Kolom 1
Matriks di atas mempunyai m buah baris dan n buah kolom maka dikatakan ukuran matriks tersebut adalah (mxn).
Kesamaan dua matriks Dua buah matriks A=(aij) dan B=(bij) dikatakan sama A=B, jika ukurannya sama (mxn) dan berlaku aij=bij.
A=
C=
E=
G=
1
2
4
1
2
4
2
1
3
2
1
3
1
2
2
2
1
2
2
1
3
2
1
3
1
2
4
x
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
5
6
9
0
7
B=
D=
F=
H=
? 2
? 2
? 2
? 4
? 5
? 6
? 9
? 0
? 7
A=B C≠D
E = F jika x = 1
G=H
Operasi pada Matriks 1. Penjumlahan / Pengurangan Syarat = kedua matriks tersebut berukuran sama
Contoh penjumlahan matriks: 1
2
2
A=
4
B= 3
6
+ +
A+B 3
=
6 3 =
12 6
6
PENGURANGAN MATRIKS 1
2
A=
2
4
B= 3
A-B
6
-
3
= -1 -2 =
00
6
2. Perkalian scalar terhadap matriks Jika λ suatu scalar dari A=(aij) maka λ A diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan λ Contoh: A maka 3A 9 0 - 3 3 0 1 4 3
7
2 3 / 2 7/2 1 A 2 3/2 0 - 1/2
12 9 21
3. Perkalian Matriks Dua buah matriks A&B dapat dikalikan jika: Jumlah kolom matriks pertama (A) sama dengan jumlah baris matriks kedua (B). Misal. A(mxn) dan B(nxp), C=AxB maka C(mxp).
A
mxn
B C
nx p
mx p
A=(aij) dengan i=1,2,3,…,m dan j=1,2,3,…,n B=(bjk) dengan j=1,2,3,…,n dan k=1,2,3,…,p
C=(cik) dengan i=1,2,3,…,m dan k=1,2,3,…,p
Maka : A x B = (aij) x (bjk)=(cik)
Contoh: 1
2
3
=
A =
0
4
B
5
x
+
x
+
x
= 9
x
+
x
+
x
= 16
x
+
x
+
x
= 3
x
+
x
+
x
= 13
x
+
x
+
x
= 8
x
+
x
+
x
= 14
AxB=
1
-4
0
4
2
1
0
1
2
Jika A,B,C adalah matriks-matriks yang memenuhi syarat-syarat yang di perlukan, maka: A(B+C)=AB+AC A(BC)=(AB).C Perkalian matriks tidak komutatif = AB≠BA tetapi ada beberapa matriks yang berlaku AB=BA Bila AB=AC , belum tentu B=C Bila AB=0(matriks nol) Maka kemungkinan-kemungkinan: 1. A=0 & B=0 2. A=0 atau B=0 3. A≠B dan B≠0
Transpose A=
4
2
6
7
5
3
-9
7
AT = A’ =
4
5
2
3
6
-9
7
7
Definisi: Transpose mariks A adalah matriks AT dimana kolom-kolomnya adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A. T
[A ]ij = [A]ji
nxm
Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran ……
Sifat-sifat transpose matriks 1. Transpose dari A transpose adalah A:(AT )T = A
A
(AT)T = A
AT
Contoh: 4
5
2
3
4
2
6
6
-9
5
3
-9
7
7
4
5
7
2
3
7
6
-9
7
7
Sifat-sifat transpose matriks 2. (A+B)T = AT + BT
T
T
A+B
(A+B)T
T
=
A
+
B
=
T A
+
T B
Sifat-sifat transpose matriks 3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k
T
T
kA
T (kA)
k
=
A
T k(A)
Sifat-sifat transpose matriks 4. (AB)T = BT AT
AB
T (AB)
AB
T
T
T
= =
B
T T BA
A
Jenis Matriks Khusus 1. Matriks bujur sangkar Adalah suatu matriks dengan banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom Contoh
2 1
2x2
0 0 , 1 2 2
1 3 1 3x3
2 - 1 0 elemen diagonal utama
2. Matriks Nol Adalah matriks yang semua elemennya nol
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
2x2
3x3
3. Matriks Diagonal Adalah matriks yang semua elemen diluar diagonal utama adalah nol Contoh:
1 0 0
0 2 0
0 0 4
4. Matriks Identitas Adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya semua=1 Contoh: 1 0 0 0 0
1 0
0 I 3 1
5. Matriks Skalar Adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utama=K Contoh: 2 0 0 0 2 0 0 0 2
6. Matriks Segitiga Bawah Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diatas diagonal utama=0 Contoh: 1 0 0 2 2 0 1 1 3
7. Matriks Segitiga Atas Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen dibawah diagonal utama=0 Contoh:
8. Matriks Simetris Adalah matriks yang transfosenya sama dengan dirinya sendiri.(A=AT). Contoh:
1 2 0 1 2 0 A 2 1 4 A T 2 1 4 0 4 3 0 4 3
9. Matriks Anti Simetris Adalah matriks yang transfosenya adalah negatifnya. Contoh:
0 - 1 A 1 2
- 1 - 2 0 -1 0 3 - 4 T 1 0 ,A -1 3 -3 0 1 4 1 0 2 4 1
2 - 3 4 0 1 1 0 1
10. Matriks Hermitian Adalah matriks yang transfose hermitiannya sama dengan dirinya sendiri Contoh:
3 2 i T 3 2 i A ,A 2 i 4 2 i 4
11. Matriks Invers Misal A(nxn), B(nxn) dan berlaku AB=BA=I maka dikatakan B invers dari A→B=A-1 atau A invers dari B→A=B-1 Contoh: 1 2 3 6 - 2 3 A 1 3 3 , B 1 1 0 1 2 4 1 0 1 AxB BxA I 12. Matriks Komutatif Jika A dan B matriks-matriks bujur sangkar dan berlaku AB=BA, maka A dan B dikatakan berkomutatif satu sama lain. Contoh: 2 1 3 1 A ,B 1 2 1 3 2 1 3 1 7 5 AxB 1 2 1 3 5 7 3 1 2 1 7 5 BxA 1 3 1 2 5 7
Transformasi Elementer Yang di maksud Transformasi Elementer pada matriks adalah operasi sbb: 1. Bij : Pergantian baris ke i dengan baris ke j 2. Kij : Pergantian kolom ke i dengan kolom ke j 3. Bi(λ) : Elemen-elemen baris ke i masing-masing dikalikan dengan skalar λ≠0 4. Ki(λ) : Elemen-elemen kolom ke j masing-masing dikalikan dengan skalar λ≠0 5. Bij(λ) : Elemen-elemen baris ke i masing-masing ditambah dengan λ kali baris ke j 6. Kij(λ) : Elemen-elemen kolom ke i masing-masing ditambah dengan λ kali kolom ke j
Contoh: Di ketahui matriks
3 1 4 B 2 1 1 , maka: 3 0 1
Matriks Ekivalen Dua matriks A dan B dikatakan ekivalen(A ~B) jika matriks yang satu dapat di peroleh dari matriks yang lain dengan transformasi baris dan atau kolom. Contoh: 3 0 2 1 5 1 3 1 A dan B 3 0 2 1 4 1 3 2
Adalah ekivalen karena: 3 A 4 3 5
0 2 1 (1) 5 1 2 1 ( 1) K K 12 42 1 3 2 ~ 3 0 3 2 ~ 0 2 1 5 1 3 1 B12 B 1 3 1 ~ 3 0 2 1
Matriks Eselon Setiap matriks yang bukan matriks nol dapat dirubah menjadi matriks eselon dengan menggunakan “Transformasi Elementer”. Matriks yang memenuhi bahwa elemen-elemen yang sekolom dengan setiap elemen tidak nol terkiri semuanya nol (kecuali elemen 1 terkirinya) disebut “ Matriks Eselon “.
Kondisi-kondisi matriks bentuk eselon baris dan eselon baris tereduksi: Ya
Tidak
1. Elemen pertama yang tidak nol adalah 1 (satu utama)
1 0 0
0 1 0
2 3 1
4 6 0
1 0 0
0 3 0
2 1 1
4 6 0
2. Satu utama baris berikutnya berada lebih kanan dari baris sebelumnya
1 0 0
0 0 0
2 1 0
4 6 1
1 0 0
0 0 1
2 1 0
4 6 0
3. Baris nol berada di paling bawah
1 0 0
0 1 0
2 6 0
4 0 0
1 0 0
0 0 1
2 0 6
4 0 0
6 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 6 5 0
1 0 0
0 1 0
2 3 1
4 6 0
4. Elemen di atas satu utama nol semua
0 0 0 0
1 0 0 0
Matriks dalam bentuk eselon baris (eb) dan eselon baris tereduksi (ebt) Matriks yang memenuhi kondisi 1, 2, 3 disebut matriks berbentuk eselon baris. Jika matriks memenuhi kondisi 1, 2, 3, 4, maka matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi. * * * * * *
* * * * * *
eselon baris.
*
1 utama Sembarang nilai Nol
eselon baris tereduksi
Rank Matriks Setiap matriks dapat dijadikan matriks eselon atau eselon tereduksi dengan menggunakan transformasi elementer. Jumlah elemen satu terkiri pada matriks eselon atau jumlah baris yang tidak sama dengan nol (tidak dapat di nolkan) pada matriks eselon disebut Rank Matriks.
Contoh : Tentukan rank matriks di bawah ini : 1 2 3 1 3 2 2 6 4
Jawab : 1 2 3 H (1) 1 3 2 21 ~ H ( 2) 2 6 4 31~
1 2 3 H ( 2) 32 0 1 ~ 1 0 2 2
matrik eselon Jadi rank matriks diatas adalah 2
1 2 3 0 1 1 0 0 0
2
