4
BAB I I LANDASAN T E O R I
2.1. Citra Digital Citra digital adalah suatu dan tingkat
citrayT^,;'^ yang telah memiliki koordinat spasial,
kecerahan yang diskrit. Dengan kata lain, citra digital
adalah
sebuah
matriks yang terdiri atas baris dan kolom dimana setiap pasangan indeks baris dan kolom menyatakan suatu titik pada citra dan nilai matriksnya menyatakan nilai kecerahan pada titik itu. Titik-titik pada citra ini disebut sebagai elemen citra, atau pixel (picture element). (Elfizar, 2001) Dihubungkan dengan objek, tiap pixel mewakili satu luasan tertaitu pada permukaan yang terindera, dan tiap pixel ini mempunyai nilai pantulan tertentu. Jadi dengan kata lain, pixel merupakan data yang punya aspek spasial (ukuran luas yang terwakili) dan sekaligus aspek spektral (besamya nilai pantulan yang tercatat). (Duta, 1995) Nilai kecerahan atau nilai pantulan yang tercatat untuk suatu citra tergantung pada kemampuan komputer (dan sensor) dalam mengubah informasi pantulan atau pancaran elektromagnetik. Pada umumnya sensor bekerja pada sistem 8 bit. Bit adalah satuan terkecil informasi yang menyatakan ada tidaknya arus yang masuk ke dalam register. Sebagai contoh, untuk sistem dua bit, komputer dapat memperoleh empat kemimgkinan nilai. Kemungkinan pertama adalah 'semua register mati (tidak ada arus)\ kemungkinan kedua adalah 'satu hidup-satu mati', kemungkinan ketiga adalah
'satu mati-satu hidup', dan
5
kemungkinan terakhir adalah 'semua hidup'. Jika sensor menerima sinyal pantulan yang sangat lemah, sehingga tidak mampu manginderanya, maka tidak ada arus listrik yang masuk pada register. Seluruh sel pada register tersebut bemilai 0000 yang berarti hitam atau sangat gelap. Sebaliknya ^ a b i l a sensor menerima sinyal yang sangat kuat, sampai semua sel pada register terisi arus, maka sel akan bemilai 1111, atau 15 yang berarti putih. Nilai-nilai pantulan dalam beberapa sistem d ^ a t dilihat pada Tabel 2-1.
Tabel 2-1. Implementasi Nilai Pantulan dalam Beberapa Sistem Sistem 1 bit: 0 = mati (hitam) 1 = hidup (putih)
Siston 0 0 1 1
Sistem 4 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 10 0 0 11 0 10 0 0 10 1 0 110 0 111 10 0 0 10 0 1 10 10 10 11 110 0 110 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Sistem 8 bit: 0 0 0 0 0 0 0 0
bit : = 0 (hitam) - 1 = 2 = 3 - 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 = 10 = 11 = 12 = 13 = 14 = 15 (putih)
2 0 1 0 1
bit: = 0 = 1 = 2 =3
hitam abu-abu gelap abu-abu terang putih
= 0 (hitam)
0 0 0 0 1 1 0 1 = 13 (abu-abu sangat g e l ^ )
1 0 1 0 0 0 0 1 = 193 (abu-abu cerah)
1 1 1 1 1 1 1 1
= 255 (putih)
6
22. Probabilitas Bersyarat Misalkan P(C) terdefinisi pada ruang sample £ dan misalkan C, adalah subset dari i sedemikian hingga P ( C j ) > - 0 . Kemudian, misalkan
adalah
subset yang lain dari £ , probabilitas C2 terfiadap C, disebut sebagai probabilitas bersyarat
terhadap hipotesis C,, atau dapat juga disebut probabilitas bersyarat
terhadap C,, dan ditulis sebagai PCCj | Q ) . Karena Cj adalah ruang sample, terdapat kemungkinan bahwa
adalah
elemen daji C,, atau elemen dari C, o C2, sehingga d ^ a t dirumuskan bahwa: P(C, | q ) = l
P(C2|C,) = P ( C , o C 2 | Q .
atau
Selanjutnya, ratio probabilitas peristiwa C, n C ; dan Q
...(2.1)
terhadap ruang C,
adalah sama dengan ratio antara peristiwa di atas terfaadap mang £ , sehingga didapatkan: (Hogg, 1995) P(qoCjq)_P(C,nC,) P(C,oC,)
P(C,)
Dari persamaan (2.1) dan (2.2) diperoleh: P(C,\q)
= ^^^'^^'^
...(2.3)
Selanjutnya dari persamaan (2.3), didapatkan bahwa P(C,nC,)
= P(C,)PiC,\C,)
...(2.4)
Persamaan (2.4) d ^ a t diperluas untuk tiga atau lebih peristiwa Untuk tiga peristiwa, diperoleh:
7
P(C, n C2 n C3) = P[(C, n C2)
C3
= P(C,nC2)P(C3iqnC2). Menggunakan persamaan (2.4) didapatkan: PiC, n C2 n C3) = P(C,)PiC,
I C,)P(C31
n C2).
Misalkan ruang £ dipartisi atas k peristiwa yang saling independent (mutually exclusive)
C,,C2,-",C^ sedemikian hingga P{Cj)>0,
i=l,2,..,k.
Misalkan C adalah suatu peristiwa yang lainnya sedimikian hingga P(C)>0, maka C akan muncul dengan satu dan hanya satu peristiwa-peristiwa C,,C2,'-sCj^; sehingga: C = Cn(C,uC2U--uQ) ^(Cr^C,)KJiCnC^)KJ•^^^{Cr^C,). Oleh karena C n C^, i=^l,2,...,k
adalah mutually eksklusif, diperoleh :
PiC) = P(C n Cj) + P(C n C2) + • • • + P(C o C, ) . Selanjutnya, disebabkan P(C o C , ) = P{C,)P{C
\ C,), / = 1,2,... ,k; maka
P(C) = P(C,)P(C I C,) + P(C2)P(C I C2) + - + P ( Q ) P ( C
=
IQ)
...(2.5) 1=1
Berdasarkan persamaan (2.3) dan (2.5), didapatkan .
p(c)
£p(c,)p(C|C.) 1=1
Persamaan (2.6) dikenal sebagai Aturan Bayes.
8
2 J . Alur Optik
(Qpacal Flow)
Suatu hal penting yang berhubungan dengan medan gerakan adalah alur optik. Alur optik didefinisikan sebagai gerakan pola kecerahan yang tampak ketika suatu objek bergerak di depan kamera (Horn, 1986). Pola kecerahan pada citra akan bergerak saat objek yang menimbulkaimya bergerak. Perhatikan Gambar 2-1 yang menunjukkan suatu kontur dari intensitas yang sama yang terdapat pada masing-masing dua frame terurut. Kontur yang berbentuk garis horizontal i n i menggambarkan suatu pola kecerahan pada frame tersebut. Dari kedua frame, tampak bahwa telah terjadi suatu gerakan pada pola kecerahan frame pertama, yaitu gerakan dengan arah ke bagian atas frame. Gerakan ini dapat ditunjukkan sebagai suatu vektor pada setiap pixel yang memiliki kecerahan pada kontur tersebut (Gambar 2-2).
Frame]
Frame2
Gambar 2-1. Kontur dari intensitas yang sama pada dua frame temmt
Untuk mendapatkan vektor pada Gambar 2-2, terlebih dahulu harus diketahui nilai masing-masing konponen vektor dalam arah horizontal dan vertikal. Masing-masing komponai inilah (selaiyutnya dinotasikan dengan u dan
9
v) yang disebut sebagai komponen alur optik, dan vektor itu sendiri seb^ai alur optiknya.
/|\/ \/|\.
A A.
/\/\/\
Gambar 2-2. Alur optik dari Gambar 2-1
2.4. Metoda Gradien Jika perubahan intensitas yang tampak pada suatu citra dinyatakan sebagai s e b u ^ fungsi dari posisi dan waktu (dinotasikan dengan f(x,y,t)), maka dengan melakukan ekspansi menggunakan Deret Taylor diperoleh;
f(x + dx,y+dy,l
+ dt) = f(x,y,t)
+ ^dx dx
+ ^dy dy
+ ^dt dt
+e ...(2.7)
dimana e terdiri atas bentuk pangkat yang lebih tinggi, dan dalam hal i n i diabaikan. Walaupun citra pada waktu t + dt adalah hasil dari citra pada waktu t yang bergerak dengan translasi dx dan dy, namun kenyataannya adalah :
/ x + t/x, y + Jy, / + dt) =J(x, y,
0
(2.8)
10
Dari persamaan (2.7) dan (2.8), diperoleh:
dt
dxdt
dy dt
dimana dJJdt, dfldx, dan dfldy adalah nilai-nilai yang langsimg dihitung dari citra, sedangkan dxidt dan dyldt adalah estimasi dari apa yang akan dicari, yaitu kecepatan dalam arah x dan j ^ . Dengan memisalkan : dx
—
dt
= M,
dy -j- = v dt
didapatkan
f : „ + ^ v + ^ = 0. dx dy dt
...(2.9)
Persamaan (2.9) ini yang disebut sebagai persamaan pembatas alur optik {optical flow constraint equation), karena persamaan i n i memberikan batasan atas komponen u dan v alur optik. Persamaan (2.9) ekivalen dengan
^
...(2.10)
dimana V / adalah gradien spasial dari citra dan u = (M,V) adalah alur optik. Ballard dan Brown (1982) menyebutkan bahwa terd£5)at impUkasi menarik dari (2.10). Perhatikan sebuah kamera statis dengan objek bergerak melewatinya Persamaan (2.10) menyatakan bahwa pembahan intensitas suatu titik pada citra terhad^ waktu adalah sebagai tingkat perubahan spasial intensitas objek (pada titik itu) dikalikan dengan kecepatan objek pada titik tersebut melewati kamera
11
Persamaan (2.10) ini juga mengindikasikan bahwa pada velocity space (Gambar 2-3), alur optik (M,V) pasti terletak pada sebuah garis yang tegak lums terhadap vektor (/i, fy) dimana fx dan fy adalah turunan parsial / masing-masing terhadap x dmy. Bila turunan parsial ini sangat akurat, besamya alur optik dalam arah (/5C, ^ ) adalah:
"^J-^Jy^ dimana f
...(2.11)
adalah turunan parsial / terhadap t.
v
Gambar 2-3. Hubungan antara (M,V) dan
(fx,f^
IS. Distnbusi Probabilitas Misalkan u adalah suatu variabel denganMnilai diskrit u^,U2,--',u^ dan probabilitas masing-masing adalah P(u^),P{ti2),---,P{Uj^).
Variabel u dikatakan
suatu variabel random diskrit, dan P{u) dikatakan suatu distribusi diskrit. Selanjutnya, nilai Rata-rata dari u adalah:
12
Rata-rata dari sebarang fungsi dengan variable u,j{u), diberikan oleh:
Rata-rata dari (u-u)^
disebut sebagai variansi, yang merupakan suatu ukuran
dari penyebaran distribusi. Jika variable random U kontinu, maka d ^ a t diinterpretasikan P(u)du sebagai probabilitas bahwa variable random U terletak antara nilai-nilai u dan u+du. Rata-rata dari sebarang fimgsi U adalah:
f(u)
=
lf(u)P(u)du
Distribusi probabilitas kontinu yang sangat penting adalah distribusi Gaussian : (McQuarrie, 1976)
P(x) =
1
e
-00
< X <
00.
Nilai variansi, cr^, akan mengontrol lebar dari distribusi Gaussian yang dihasilkan.
