Page 1 of 16
Kegiatan Belajar 4 A. Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari kegiatan belajar 4, diharapkan siswa dapat a. Menentukan nilai fungsi trigonometri b. Menentukan persamaan grafik fungsi trigonometri c. Menggambar grafik fungsi trigonometri d. Menentukan nilai maksimun dan minimum grafik fungsi trigonometri.
B. Uraian Materi 4
Fungsi Trigonometri a. Pengertian Fungsi Trinonometri Jika kita perhatikan
gambar
di
samping,
perbandingan
trigonometri untuk sudut θ masing-masing adalah Y
sin θ =
y r
cosθ =
x r
tan θ =
y x
•P r
y θ x
O
P1
X
Karena untuk setiap sudut θ mengakibatkan hanya ada satu nilai sin θ, cos θ dan tan θ maka terdapat pemetaan dari himpunan real (R) ke himpunan bilangan real (R). Pemetaan-pemetaan atau fungsi-fungsi sin, cos dan tan merupakan pemetaan dari himpunan sudut ke bilangan real. Hal ini dapat digambarkan sebagai berikut : R
R
R
f
R
B
f
R f
•
•
•
•
•
•
θ
sin θ
θ
cos θ
θ
tan θ
Gambar (i)
Gambar (ii)
Gambar (iii)
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page 2 of 16
a. Gambar (i) fungsi sinus didefenisikan f : θ → sin θ , θ ∈ R, dengan f (θ ) = sin θ
b. Gambar (ii) fungsi kosinus didefenisikan f : θ → cos θ , θ ∈ R, dengan f (θ ) = cos θ c. Gambar (iii) fungsi tangent didefenisikan f : θ → tan θ , θ ∈ B, dengan f (θ ) = tan θ 3π π π 3π Untuk B = R \ ...,− ,− , , ,... artinya semua anggota himpunan bilangan real 2 2 2 2 3π π π 3π selain ...,− ,− , , ,... . 2 2 2 2 Fungsi
f (θ ) = sin θ ,
f (θ ) = cosθ ,
f (θ ) = tan θ disebut sebagai fungsi trigonometri.
Adapun nilai sin, cos dan tan suatu sudut dapat bernilai positif, nol atau negatif tergantung letak sudut di kuadrannya.
b. Nilai fungsi trigonometri Menentukan nilai fungsi trigonometri sama dengan cara menentukan fungsi linier, fungsi kuadrat yang sudah kita pelajar, yakni dengan cara mensubtitusikan nilai variabel yang diberikan kedalam fungsi.
Contoh 1. Tentukan nilai fungsi dari f(x) = 2 sin x, jika nilai x = 45o Penyelesaian f(x) = 2 sin x; x = 45o f(45o) = 2 sin 45o 1 f(450) = 2 2 2 f(45o) =
2
2. Tentukan nilai fungsi f ( x ) =
sin x + cos x − tan 2 x π ; jika x = sin 2 x + 2 sec x 3
Penyelesaian sin x + cos x − tan 2 x π ; jika x = sin 2 x + 2 sec x 3 π π π sin + cos − tan 2 3 3 π 3 ⇒ f = 2π π 3 sin + 2 sec 3 3 f (x ) =
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page 3 of 16
2 1 1 3+ − 3 π 2 ⇒ f = 2 1 3 3 + 2(2 ) 2 3 +1− 6 π 2 ⇒ f = 3 +8 3 2 3 −5 2 π ⇒ f = × 2 3 +8 3
( )
3 −5 3 −8 π ⇒ f = × 3 +8 3 −8 3
π 3 − 13 3 + 40 ⇒ f = 3 − 64 3 π 43 − 13 3 ⇒ f = − 61 3
π 3. Jika f ( x ) = k . cos x + (k + 4 )sin x + 3 dan f = 3 + 2 maka nilai k adalah.. 4 Penyelesaian f ( x ) = k . cos x + (k + 4 ) sin x + 3
⇒ f ( x ) = k . cos x + k . sin x + 4 sin x + 3 ⇒ f ( x ) = k (cos x + sin x ) + 4 sin x + 3 π π π π ⇒ f = k cos + sin + 4 sin + 3 4 4 4 4 1 1 1 2+ 2 + 4 2+3 ⇒ 3 + 2 = k 2 2 2
⇒ 3+ 2 = k 2 + 2 2 +3
(
) (
⇒ k 2 = 3+ 2 − 2 2 +3
)
⇒k 2=− 2 ⇒k=
− 2 2
⇒ k = −1
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page 4 of 16
Grafik Fungsi Trigonometri a. Menggambar grafik fungsi trigonometri untuk memahami cara menggambar grafik fungsi trigonometri lakukanlah kegiatan di bawah ini
Kegiatan 4.1
1. Lengkapilah tabel berikut f(x) = sin x, untuk 0o ≤ x ≤ 270o x
0o
30o
45o
900
120o
135o
150o
180o
210o
225o
240o
270o
f(x) = sin x
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
(x, y)
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
Gambarkan titik (x, y) pada bidang koordinat cartesius berikut Hubungkan titik sehingga membentuk sebuah kurva Grafik yang terbentuk adalah grafik f(x) = sin x, untuk 0o ≤ x ≤ 270o
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page 5 of 16
2. Lengkapi tabel berikut f(x) = 2 cos x, untuk 0 ≤ x ≤ π x
0
π
π
π
π
6
4
3
2
2π 3
3π 4
5π 6
π
cos x
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
f(x) = 2 cos x
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
(x, y)
Gambarkan titik (x, y) pada bidang koordinat cartesius berikut Hubungkan titik sehingga membentuk sebuah kurva Grafik yang terbentuk adalah grafik f(x) = 2 cos x, untuk 0 ≤ x ≤ π
3. Lengkapi tabel berikut 1 f(x) = 3 sin x + π , untuk 0 ≤ x ≤ π 6 x x+
π 6
(
Sin x +
(
π 6
)
f(x) = 3 Sin x +
π 6
0
π
π
π
π
6
4
3
2
2π 3
3π 4
5π 6
π
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
)
(x, y) Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page 6 of 16
Gambarkan titik (x, y) pada bidang koordinat cartesius berikut Hubungkan titik sehingga membentuk sebuah kurva 1 Grafik yang terbentuk adalah grafik f(x) = 3 sin x + π , untuk 0 ≤ x ≤ π 6
Kesimpulan: Dari kegiatan di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa langkah-langkah menggambar grafik fungsi trigonometri adalah ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page 7 of 16
b. Nilai Maksimum dan Minimum Grafik Fungsi Trigonometri
Lakukanlah kegiatan berikut
Kegiatan 4.2 Tujuan Kegiatan
: Menentukan nilai maksimum dan minimum grafik fungsi, f(x) = sin x, f(x) = cos x, dan f(x) = tan x
Permasalahan
: Bagaimana menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi trigonometri. : 1) Lengkapi tabel fungsi f(x) = sin x, untuk 0o ≤ x ≤ 360o berikut,
Kegiatan
kemudian gambarlah grafiknya
x
0o
30o
45o
900
120o
135o
150o
180o
210o
225o
240o
270o
300o
315o
330o
360o
f(x) = sin x
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
(x, y)
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
Perhatikan grafik yang anda gambar, nilai maksimum/titik puncak terjadi pada
y
=…… dan x =…….., nilai y merupakan nilai maksimal dari fungsi f(x) = sin x.
Nilai minimum/titik paling rendah terjadi pada saat y = ……. dan x = ........., nilai y merupakan nilai minimum dari fungsi f(x) = sin x. Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page 8 of 16
2)
Lengkapi tabel fungsi f(x) = cos x, untuk 0o ≤ x ≤ 360o berikut, kemudian gambarlah grafiknya
x
0o
30o
45o
900
120o
135o
150o
180o
210o
225o
240o
270o
300o
315o
330o
360o
f(x) = cos x
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
(x, y)
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
Perhatikan grafik yang anda gambar, nilai maksimum/titik puncak terjadi pada
y
=…… dan x =…….., nilai y merupakan nilai maksimal dari fungsi f(x) = cos x.
Nilai minimum/titik paling rendah terjadi pada saat y = ……. dan x = ........., nilai y merupakan nilai minimum dari fungsi f(x) = cos x. 3) Lengkapi tabel fungsi f(x) = tan x, untuk 0o ≤ x ≤ 360o berikut, kemudian gambarlah grafiknya
x
0o
30o
45o
900
120o
135o
150o
180o
210o
225o
240o
270o
300o
315o
330o
360o
f(x) = tan x
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
(x, y)
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page 9 of 16
Perhatikan grafik yang anda gambar, nilai maksimum/titik puncak terjadi pada
y
=…… dan x =…….., nilai y merupakan nilai maksimal dari fungsi f(x) = tan x.
Nilai minimum/titik paling rendah terjadi pada saat y = ……. dan x = ........., nilai y merupakan nilai minimum dari fungsi f(x) = tan x.
Pada fungsi f(x) = tan x grafik tidak akan pernah memotong garis x = 90o dan
x=
270o, karena pada saat x = 90o dan x= 270o nilai fungsi tak terdefinisi, sehingga garis x = 90o dan x = 270o disebut sebagai garis asimtot, jadi panjang priodik pada fungsi f(x) = sin x, adalah 0o ≤ x ≤ 180o
Kesimpulan : Dari kegiatan di atas dapat di tarik kesimpulan bahwa nilai maksimum/minimum grafik trigonometri adalah : 1. Nilai maksimum f(x) = sin x adalah.......... untuk x=.............. 2. Nilai minimum f(x) = sin x adalah............ untuk x=................ 3. Nilai maksimum f(x) = cos x adalah......... untuk x=............. 4. Nilai minimum f(x) = cos x adalah........... untuk x=............... 5. Nilai maksimum f(x) = tan x adalah...................... untuk x=............ 6. Nilai minimum f(x) = tan x adalah......................... untuk x=............ Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page 10 of 16
c. Menentukan Persamaan Grafik fungsi Trigonometri Untuk menentukan persamaan dari grafik fungsi trigonometri yang perlu kita ingat adalah bentuk umum persamaan trigonometri. 1. f ( x ) = y = A sin k (x − a ) , dimana
A = amplitudo / titik puncak k=
2π , karena priodik fungsi f(x) = sin x, adalah 0o ≤ x ≤ 360o p
p = priode grafik a = absis titik awal grafik
Contoh : 1. Tentukan persamaan grafik di bawah 3
-3
• •
•
•
•
π
π 2
π
4
3π 2
•
Penyelesaian Jika kita perhatikan grafik di atas adalah grafik fungsi sinus, bentuk umum fungsi sinus adalah f ( x ) = y = A sin k (x − a )
A=3 p=π a=0 k=
2π
π
⇒ k = 2,
Jadi persamaan fungsinya adalah f(x) = 3 sin 2(x – 0) f(x) = 3 sin 2x
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page 11 of 16
2. Tentukan persamaan grafik berikut
2
•
1
•
-2
•
•
•
•
•
4π 6
10π 6
16π 6
22π 6
4π
•
Penyelesaian Grafiknya berbentuk grafik sinus, maka f ( x ) = y = A sin k (x − a )
A=2 p = 4π a=
=
4π 10π 4π − − 6 6 6
4π π −π ⇒ − 6 3
k=
2π 1 ⇒k = , 4π 2
π 1 Jadi persamaan fungsinya adalah f ( x) = 2 sin x + 2 3
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page 12 of 16
C. Rangkuman 4 1.
Fungsi Sinus, f(x) = sin x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π 1
• •
•
•
•
π
π
3π 2
2π
2
-1
2.
•
Fungsi kosinus, f(x)= cos x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π 1
• •
•
•
•
π
π
3π 2
2π
2
-1
3.
Sifat a. Max = 1 b. Min = - 1 c. sin (- x) = - sin x d. Priode = 2π
Sifat a. Max = 1 b. Min = - 1 c. cos (- x) = - cos x d. Priode = 2π
•
Fungsi tangen, f(x) = tan x, untuk 0 ≤ x ≤ π
1
-1
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
π
π
4
2
3π 4
π
5π 4
3π 2
7π 4
2π
Sifat a. Tidak ada max dan min b. Garis α = ± 90, ± 270, ± k.90 k adalah bilangan ganjil adalah asimtot c. tan (- x) = - tan x d. Priode = π
4. Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri maka terlebih dahulu menentukan nilai fungsi yang diberikan, dengan mengambil titik ujinya adalah sudut-sudut. 5. Untuk menentukan persamaan fungsi trigonometri dati suatu grafik gunakan bentuk umum fungsi f ( x ) = y = A sin k ( x − a ) , dimana
A = amplitudo / titik puncak k=
2π , karena priodik fungsi f(x) = sin x, adalah 0o ≤ x ≤ 360o p
p = priode grafik Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page 13 of 16
a = absis titik awal grafik D. Lembar Kerja 4 1. Tentukan nilai dari
π 1 π a. f ( x) = 2 cos 3 x − + sin x, untuk x = 6 2 3 b. f ( x) =
cos x + 2 sin x 7π ; untuk x = 2 4 tan x
..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 2. Tentukan nilai maksimum dan minumum dari fungsi
π a. f ( x) = 3 + 2 sin x + 6 π b. f ( x) = 2 cos 3 x − 3 ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page 14 of 16
..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 3. Gambarlah sketsa gafik fungsi dari : a. f ( x) = sin 2 x; untuk 0 ≤ x ≤ 2π
π b. f ( x) = 2 tan x − 4 ....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page 15 of 16
4. Tentukan persamaan fungsi trigonometri dari grafik berikut a. 2
-2
b.
• •
•
15o
60o
•
•
• 180o
•
2
π
π
2
-2
..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page 16 of 16
..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
