Ruang Vektor
Ruang Vektor Kartika Firdausy – UAD blog.uad.ac.id/kartikaf
Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor 1. Jika vektor – vektor u , v ∈ V , maka vektor u + v ∈ V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w 4. Ada 0 ∈ V sehingga 0 + u = u + 0 untuk semua u ∈ V , 0 : vektor nol 5. Untuk setiap u ∈ V terdapat – u ∈ V sehingga u + (– u ) = 0 6. Untuk sembarang skalar k , jika u ∈ V maka ku ∈ V 7. k ( u + v ) = k u + k v , k sembarang skalar 8. (k + l) u = k u + l u , k dan l skalar 9. k( l u ) = ( kl ) u 10. 1 u = u
2
Aljabar Linear dan Matriks
1
Ruang Vektor
Contoh ruang vektor : 1.
V adalah himpunan vektor euclidis dengan operasi standar (operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar ) Notasi: Rn .
2. V adalah himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar Bentuk umum polinom orde – n pn(x) = a0 + a1x +… + anxn qn(x) = b0 + b1x +… + bnxn Operasi standar pada polinom orde – n pn(x) + qn(x) = a0+ b0 + (a1 + b1)x +… + (an + bn)xn k pn = ka0 + ka1x +… + kanxn Notasi: Pn
3. V adalah himpunan matriks berukuran mxn dengan operasi standar ( penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar ) Notasi: Mmn
3
Sub–ruang vektor Diketahui V ruang vektor dan U subhimpunan V. U dikatakan sub–ruang dari V jika memenuhi dua syarat berikut : 1. Jika u ,v ∈ U maka u + v ∈ U 2. Jika u ∈ U , untuk skalar k berlaku ku ∈ U
4
Aljabar Linear dan Matriks
2
Ruang Vektor
Kombinasi linier Vektor v dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor – vektor v 1, v 2,…,v n bila v bisa dinyatakan sebagai : v = k1 v 1 + k2 v 2+…+ kn v n , k1,k2,…,kn adalah skalar
5
Contoh Diketahui a = ( 1,2 ) , b = ( –2,–3 ) dan c = ( 1,3 ) Apakah c merupakan kombinasi linier dari a dan b ?
6
Aljabar Linear dan Matriks
3
Ruang Vektor
Contoh Tunjukkan bahwa v =(3,9,-4,-2) merupakan kombinasi linier u1= (1,-2,0,3), u2 = (2,3,0,-1) dan u3= (2,-1,2,1)
Jawab: Bila v merupakan kombinasi linier dari u1, u2, dan u3 maka dapat ditentukan x, y dan z sehingga: v = xu1 + yu2 + zu3 (3,9,-4,-2) = x(1,-2,0,3)+ y(2,3,0,-1) + z (2,-1,2,1) (3,9,-4,-2) = (1x,-2x, 0x, 3x)+ (2y,3y,0y,-1y) + (2 z,-1z,2z,1z) 7
(3,9,-4,-2) = (x+2y+2z, -2x+3y-z, 2z, 3x-y+z) Diperoleh persamaan:
⎧x + 2 y + 2z = 3 ⎪− 2 x + 3 y − z = 9 ⎪ ⎨ ⎪2 z = −4 ⎪⎩ 3 x − y + z = − 2 8
Aljabar Linear dan Matriks
4
Ruang Vektor
Penyelesaian: x =1, y = 3 dan z = -2 Jadi v = u1 + 3u2 – 2u3 Jika sistem persamaan di atas tidak memiliki penyelesaian maka v tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari u1, u2, dan u3 9
Diketahui V ruang vektor dan S = { s 1, s 2 ,…, s n } s 1, s 2 ,…, s n ∈ V S dikatakan membangun/merentang V bila untuk setiap v ∈ V, v merupakan kombinasi linier dari S ,yaitu : v = k1 s1 + k2 s2+…+ knsn k1,k2,…,kn adalah skalar 10
Aljabar Linear dan Matriks
5
Ruang Vektor
Contoh Apakah u = ( 1,2,3 ) , v = ( 2,4,6 ) dan w = ( 3,4,7 ) membangun R3
11
Kebebasan Linier Vektor – vektor di S dikatakan bebas linier (linearly independent) jika persamaan
0 = k1 s 1 +k2 s 2+…+ kn sn hanya memiliki penyelesaian k1= k2 =…= kn = 0 jika ada penyelesaian lain untuk nilai k1,k2,…,kn selain 0 maka dikatakan vektor –vektor di S bergantung linier (linearly dependent) 12
Aljabar Linear dan Matriks
6
Ruang Vektor
Contoh Diketahui u = ( 1,2 ) , v = ( 2,2 ) , w = ( 1,3 ) a. Apakah u , v dan w membangun R2 ? b. Apakah u , v dan w bebas linier ?
13
Basis dan Dimensi Misalkan V ruang vektor dan S = { s 1, s 2 ,…, s n }. S disebut basis dari V bila memenuhi dua syarat , yaitu : 1. S bebas linier 2. S membangun V Basis dari suatu ruang vektor tidak harus tunggal tetapi bisa lebih dari satu. Ada dua macam basis yang kita kenal yaitu basis standar dan basis tidak standar
14
Aljabar Linear dan Matriks
7
Ruang Vektor
Contoh basis standar : 1. S = { e1, e2,…, en } , dengan e1, e2,…, en ∈ Rn e1 = ( 1,0,…,0) ,e2 = ( 0,1,0,…,0 ),…,en = ( 0,0,…,1 ) merupakan basis standar dari Rn 2. S = { 1, x, x2…,xn } merupakan basis standar untuk Pn ( polinom orde n ) 3. S =
{
1 0
0 0
,
0 0
1 0
,
0 1
0 0
,
0 0
0 1
}
merupakan basis standar untuk M22
15
Contoh Misal v1=(1,2,1), v2=(2,9,0), dan v3=(3,3,4). Tunjukkan bahwa himpunan S=(v1,v2,v3) adalah basis untuk R3 Syarat: 1. S bebas linier 2. S membangun V Sebarang vektor b dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier b = k1 v 1 +k2 v 2+ k3 v3 Sistem memiliki pemecahan untuk semua pilihan b= (b1 ,b2 ,b3 ) k1 v 1 +k2 v 2+ k3 v3 = 0 Pembuktian bebas linier → pembuktian sistem homogen S bebas linier dan membangun R3 → matriks koefisien dapat dibalik, karena det A = ….
Aljabar Linear dan Matriks
16
8
Ruang Vektor
Basis ruang baris dan basis ruang kolom Suatu matriks berukuran mxn dapat dipandang sebagai susunan bilangan yang tersusun dari bilangan dalam kolom 1 sampai kolom n atau dalam baris 1 sampai baris m. a11 a21 : am1
Jika A =
a12 a22 : am1
… a1n ... a2n : ... amn
Maka A tersusun atas vektor –vektor baris r i dengan r i = (ai1,ai2,…,ain ) atau bisa juga dikatakan A tersusun atas vektor – vektor kolom c j = (c1j,c2j,…,cmj } dengan i = 1,2,…,m dan j =1,2,…,n Subruang Rn yang dibangun oleh vektor– vektor baris disebut ruang baris dari A Subruang Rm yang dibangun oleh vektor– vektor kolom disebut ruang kolom dari A
17
Contoh A=
2 3
1 1
0 -4
Vektor baris A adalah… Vektor kolom A adalah…
18
Aljabar Linear dan Matriks
9
Ruang Vektor
Menentukan basis ruang kolom / baris Basis ruang kolom A didapatkan dengan melakukan OBE pada A, sedangkan basis ruang kolom A didapatkan dengan melakukan OBE pada At Banyaknya unsur basis ditentukan oleh banyaknya satu utama pada matriks eselon baris tereduksi. Dimensi ( ruang baris ) = dimensi ( ruang kolom ) =
rank matriks
19
Aljabar Linear dan Matriks
10
