BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema dari nilai eigen, vektor eigen, dan diagonalisasi, sistem persamaan differensial, model predator prey lotka-voltera, model logistic, fungsi respon, titik ekuilibrium, linearisasi sistem persamaan nonlinear, analisis kestabilan, bifurkasi, dan manifold center yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada bab III. A. Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Diagonalisasi Aplikasi dari aljabar linear terhadap matriks dengan ๐ persamaan dan ๐ variabel didefinisikan sebagai berikut: Definisi 2.1: (J.Hale, H.Kocak : 267) Nilai ๐ disebut nilai eigen dari matriks ๐ด yang berukuran ๐ ร ๐ jika ada vektor bukan nol ๐ฃ sedemikian sehingga, ๐ด๐ฃ = ๐๐ฃ...............................................(2.1) Vektor ๐ disebut vektor eigen dari ๐ด ketika berkorespondensi dengan nilai eigen ๐. Untuk mencari nilai eigen dari matriks ๐ด Persamaan (2.1) dapat ditulis kembali menjadi, ๐ด๐ฃ = ๐ผ๐๐ฃ ๏ณ ๐ด๐ฃ โ ๐ผ๐๐ฃ = 0 ๏ณ ๐ด โ ๐ผ๐ ๐ฃ = 0โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.โฆโฆโฆ(2.2) Karena ๐ฃ merupakan vektor bukan nol, maka ๐ด โ ๐ผ๐ = 0. Dengan kata lain, Persamaan (2.2) dapat dipenuhi jika dan hanya jika, ๐๐๐ก ๐ด โ ๐ผ๐ = 0 Berikut adalah definisi dari determinan matriks ๐ด dengan ukuran ๐ ร ๐. Definisi 2.2 : (Anton, 1988: 63) Misalkan ๐ด adalah sebuah matriks berukuran ๐ ร ๐. Fungsi determinan dinyatakan dengan ๐๐๐ก dan didefinisikan sebagai jumlah semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari ๐ด. Jumlah ๐๐๐ก(๐ด) dinamakan determinan ๐ด.
Contoh 2.1 : (nilai eigen real berbeda) Akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks ๐ด berikut : ๐ด=
5 โ4 4 โ5
Penyelesaian : 5 โ4 ๐ 0 โ 4 โ5 0 ๐ 5โ๐ โ4 ๐ด โ ๐ผ๐ = 4 โ5 โ ๐ ๐ด โ ๐ผ๐ =
Persamaan karakteristiknya adalah detโก (A โ Iฮป) = 5 โ ๐ โ5 โ ๐ โ โ4 4 = 0 ๏ณ ๐2 โ 25 + 16 = 0 ๐2 = 9 ๐1 = 3, ๐2 = โ3 Sehingga diperoleh nilai eigen dari matriks ๐ด adalah 3 dan -3 Selanjutnya akan dicari vektor eigen dari matriks ๐ด Misalkan vektor eigen dari ๐ด adalah ๐ฅ1 ๐ฅ= ๐ฅ 2 untuk ๐1 = โ3 ๐ด โ ๐ผ๐ =
5 โ (โ3) 4
๐ฅ1 โ4 0 8 โ4 ๐ฅ1 = = ๐ฅ โ5 โ (โ3) ๐ฅ2 0 4 โ2 2
diperoleh, 8๐ฅ1 โ 4๐ฅ2 = 0 4๐ฅ1 โ 2๐ฅ2 = 0 ๏ณ ๐ฅ2 = 2๐ฅ1 sehingga diperoleh vektor eigen 1 ๐ฅ 2 1 untuk ๐1 = 3 ๐ด โ ๐ผ๐ =
5 โ (3) 4
๐ฅ1 โ4 2 โ4 ๐ฅ1 0 = = ๐ฅ โ5 โ (3) ๐ฅ2 4 โ8 2 0
diperoleh, 2๐ฅ1 โ 4๐ฅ2 = 0 4๐ฅ1 โ 8๐ฅ2 = 0 ๏ณ ๐ฅ1 = 2๐ฅ2 sehingga diperoleh vektor eigen 2 ๐ฅ 1 2 Contoh 2.2 : (nilai eigen kompleks dan berbeda) Akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks ๐ด berikut : ๐ด=
0 โ4 1 0
Penyelesaian : 0 โ4 ๐ โ 1 0 0 โ๐ โ4 ๐ด โ ๐ผ๐ = 1 โ๐ ๐ด โ ๐ผ๐ =
0 ๐
Persamaan karakteristiknya adalah detโก (A โ I๐) = โ๐ โ๐ โ โ4 1 = 0 ๏ณ๐2 + 4 = 0 ๏ณ ๐2 = โ4 ๏ณ ๐1 = 2๐ atau ๐2 = โ2๐ Sehingga diperoleh nilai eigen dari matriks ๐ด adalah 2๐ dan โ2๐. Selanjutnya akan dicari vektor eigen dari matriks ๐ด. Misalkan vektor eigen dari ๐ด adalah ๐ฅ1 ๐ฅ= ๐ฅ 2 untuk ๐1 = 2๐ ๐ด โ ๐ผ๐ =
(โ2๐) 1
diperoleh, โ2๐๐ฅ1 โ 4๐ฅ2 = 0 ๐ฅ1 โ 2๐๐ฅ2 = 0
๐ฅ1 โ4 0 = (โ2๐) ๐ฅ2 0
1
๏ณ ๐ฅ2 = โ 2 ๐๐ฅ1 sehingga diperoleh vektor eigen 1 1 ๐ฅ โ ๐ 1 2 untuk ๐1 = โ2๐ ๐ด โ ๐ผ๐ =
2๐ 1
โ4 ๐ฅ1 0 = 2๐ ๐ฅ2 0
diperoleh, 2๐๐ฅ1 โ 4๐ฅ2 = 0 ๐ฅ1 + 2๐๐ฅ2 = 0 ๏ณ ๐ฅ1 = โ2๐๐ฅ2 sehingga diperoleh vektor eigen โ2๐ ๐ฅ2 1 Contoh 2.3 : (nilai eigen kembar) Akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks ๐ด berikut : ๐ด=
3 0 0 3
Penyelesaian : 3 0 0 ๐ 0 โ = 0 3 0 0 ๐ 0 3โ๐ 0 ๐ด โ ๐ผ๐ = = 0 0 3โ๐ ๐ด โ ๐ผ๐ =
Persamaan karakteristiknya adalah detโก (๐ด โ ๐ผ๐) = 3 โ ๐ 3 โ ๐ = 0 ๏ณ(3 โ ๐)2 = 0 ๏ณ ๐1,2 = 3 Sehingga diperoleh nilai eigen dari matriks ๐ด adalah 3. Selanjutnya akan dicari vektor eigen dari matriks ๐ด. Misalkan vektor eigen dari ๐ด adalah ๐ฅ1 ๐ฅ= ๐ฅ 2 untuk ๐ = 3
๐ด โ ๐ผ๐ =
๐ฅ1 3โ3 0 0 = ๐ฅ 0 3โ3 2 0
diperoleh, 3.0 + 0. ๐ฅ2 = 0 sehingga diperoleh vektor eigen 1 0 ๐ฅ dan ๐ฅ 0 1 1 2
Definisi 2.3: (Anton,1991:281) Matriks A berukuran ๐ ร ๐ dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks P yang dapat di-invers sedemikian sehingga ๐โ1 ๐ด๐ adalah matriks diagonal. Sehingga dapat dikatakan bahwa matriks ๐ mendiagonalisasi mariks ๐ด.
Teorema 2.1 : (Anton, 1991:285) Jika ๐ด adalah matriks ๐ ร ๐, maka kedua pernyataan berikut ini ekuivalen, (i)
๐ด dapat didiagonalisasi.
(ii)
๐ด mempunyai ๐ vektor eigen bebas linear.
Bukti: (i) โ (ii) Karena ๐ด dapat didiagonalisasi maka terdapat matriks ๐ yang memiliki invers, misal, ๐11 ๐= โฎ ๐๐1
โฏ โฑ โฏ
๐1๐ โฎ ๐๐๐
sehingga ๐โ1 ๐ด๐ = ๐ท adalah matriks diagonal, dimana ๐1 ๐ท= โฎ 0 maka, ๏ณ ๐๐โ1 ๐ด๐ = ๐๐ท ๏ณ ๐ด๐ = ๐๐ท
โฏ โฑ โฏ
0 โฎ ๐๐
๐11 ๐ด๐ = โฎ ๐๐1
โฏ ๐1๐ โฑ โฎ โฏ ๐๐๐
๐1 โฎ 0
โฏ 0 ๐1 ๐11 โฑ โฎ = โฎ โฏ ๐๐ ๐1 ๐๐1
โฏ ๐๐ ๐1๐ โฑ โฎ โฆโฆโฆ.(2.3) โฏ ๐๐ ๐๐๐
Jika dimisalkan ๐ฃ1 , ๐ฃ2 , โฆ , ๐ฃ๐ menyatakan vektor-vektor kolom ๐, maka bentuk (2.3) kolom-kolom ๐ด๐ yang berurutan merupakan ๐1 ๐1 , ๐2 ๐2 , โฆ , ๐๐ ๐๐ . Kolom ๐ด๐ yang berurutan adalah ๐ด๐ฃ1 , ๐ด๐ฃ2 , โฆ , ๐ด๐ฃ๐ . Sehingga diperoleh ๐ด๐ฃ1 = ๐1 ๐1 , ๐ด๐ฃ2 = ๐2 ๐2 , โฆ , ๐ด๐ฃ๐ = ๐๐ ๐๐ โฆโฆโฆโฆโฆโฆ...(2.4) Karena matriks ๐ memiliki invers, maka vektor-vektor kolomnya tidak bernilai nol semuanya, jadi berdasarkan Definisi 2.1, ๐1 , ๐2 , โฆ , ๐๐ adalah nilai-nilai eigen ๐ด, dan ๐ฃ1 , ๐ฃ2 , โฆ , ๐ฃ๐ adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian. Karena ๐ memiliki invers maka diperoleh bahwa ๐ฃ1 , ๐ฃ2 , โฆ , ๐ฃ๐ bebas linear. Jadi ๐ด memiliki ๐ vektor eigen bebas linear. (ii) โ (i) Karena ๐ด mempunyai ๐ vektor eigen bebas linear, misalkan ๐ฃ1 , ๐ฃ2 , โฆ , ๐ฃ๐ maka terdapar nilai-nilai eigen yang bersesuaian yaitu ๐1 , ๐2 , โฆ , ๐๐ , dan misalkan ๐11 โฏ ๐1๐ โฑ โฎ ๐= โฎ ๐๐1 โฏ ๐๐๐ adalah matriks yang vektor-vektor kolomnya adalah ๐ฃ1 , ๐ฃ2 , โฆ , ๐ฃ๐ . Karena ๐ฃ1 , ๐ฃ2 , โฆ , ๐ฃ๐ merupakan vektor eigen dari matriks ๐ด dan kolom-kolom dari hasil kali ๐ด๐ adalah ๐ด๐ฃ1 , ๐ด๐ฃ2 , โฆ , ๐ด๐ฃ๐ , maka ๐ด๐ฃ1 = ๐1 ๐1 , ๐ด๐ฃ2 = ๐2 ๐2 , โฆ , ๐ด๐ฃ๐ = ๐๐ ๐๐ sehingga diperoleh, ๐1 ๐11 โฎ ๐ด๐ = ๐1 ๐๐1
โฏ โฑ โฏ
๐11 ๐๐ ๐1๐ โฎ = โฎ ๐๐1 ๐๐ ๐๐๐
โฏ ๐1๐ โฑ โฎ โฏ ๐๐๐
๐1 โฎ 0
โฏ 0 โฑ โฎ = ๐๐ท โฏ ๐๐
matriks D adalah matriks diagonal yang memiliki nilai-nilai eigen ๐1 , ๐2 , โฆ , ๐๐ pada diagonal utamanya. Karena vektor-vektor kolom ๐ bebas linear, maka matriks ๐ memiliki invers. Jadi ๐ด dapat didiagonalisasi.โ
Contoh 2.4: Tunjukkan bahwa matriks ๐ด pada Contoh 2.1 dapat didiagonalisasi. Penyelesaian:
Berdasarkan Contoh 2.1 matriks A mempunyai 2 vektor eigen yaitu ๐1 =
1 2 dan ๐2 = . Matriks ๐ dapat dibentuk dari vektor-vektor eigen ๐ด 2 1
yaitu ๐=
1 2
โ1/3 2/3 2 , dengan ๐โ1 = 2/3 โ1/3 1
Matriks D didefinisikan sebagai berikut. ๐ท = ๐ โ1 ๐ด๐ ๐โ1 ๐ด๐ =
โ1/3 2/3
1 โ2 1 2 โ1 2 โ3 0 = 0 3
2 1
2 1
=
๐ท=
2/3 5 โ4 1 โ1/3 4 โ5 2
โ3 0 0 3
adalah matriks diagonal dengan nilai eigen matriks ๐ด pada
diagonal utamanya. Sehingga dapat ditunjukkan bahwa matriks ๐ด dapat didiagonalisasi oleh matriks ๐.โ
Contoh 2.5: Tunjukkan bahwa matriks ๐ด pada Contoh 2.2 dapat didiagonalisasi. Penyelesaian: Berdasarkan Contoh 2.2 matriks A mempunyai 2 vektor eigen yaitu ๐1 =
1 โ2๐ dan ๐2 = . Matriks ๐ dapat dibentuk dari vektor-vektor โ0,5๐ 1
eigen ๐ด yaitu ๐=
1 โ0,5๐
1/2 ๐ โ2๐ , dengan ๐ โ1 = ๐/4 1/2 1
Matriks D didefinisikan sebagai berikut. ๐ท = ๐ โ1 ๐ด๐ ๐โ1 ๐ด๐ = =
1/2 ๐/4
๐ 1 0 โ4 1/2 1 0 โ0,5๐
๐ โ2 1 1/2 โ๐ โ0,5๐
โ2๐ 1
โ2๐ 1
=
2๐ 0
๐ท=
0 โ2๐ 2๐ 0
0 adalah matriks diagonal dengan nilai eigen matriks ๐ด pada โ2๐
diagonal utamanya. Sehingga dapat ditunjukkan bahwa matriks ๐ด dapat didiagonalisasi oleh matriks ๐.โ
Contoh 2.6: Tunjukkan bahwa matriks ๐ด pada Contoh 2.3 dapat didiagonalisasi. Penyelesaian: Berdasarkan Contoh 2.3 matriks A mempunyai 2 vektor eigen yaitu ๐1 =
1 0 dan ๐2 = . Matriks ๐ dapat dibentuk dari vektor-vektor eigen ๐ด 0 1
yaitu ๐=
1 0
1 0 , dengan ๐โ1 = 0 1
0 1
matriks D didefinisikan sebagai berikut, ๐ท = ๐ โ1 ๐ด๐ ๐โ1 ๐ด๐ =
1 0 3 0 1 0
0 1 0 3 0 1
3 0 0 3 3 0 ๐ท= adalah matriks diagonal dengan nilai eigen matriks ๐ด pada diagonal 0 3 =
utamanya. Sehingga dapat ditunjukkan bahwa matriks ๐ด dapat didiagonalisasi oleh matriks ๐.โ
B. Sistem Persamaan Differensial Menurut Erwin Kreyszig (1993:1) persamaan differensial adalah persamaan yang mengandung turunan โ turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui, semisal ๐ฆ ๐ฅ . Sedangkan sistem persamaan differensial adalah kumpulan dari beberapa persamaan differensial.
Persamaan differensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya
untuk
pemodelan
yang
membutuhkan
solusi
dari
sebuah
permasalahan. Misalnya seperti pemodelan matematika dalam bidang biologi khususnya untuk pertumbuhan suatu populasi. Pada dasarnya sistem persamaan differensial terdiri dari sistem persamaan differensial yang linear maupun nonlinear. Diberikan sebuah sistem persamaan differensial sebagai berikut : ๐ฅ1 = ๐1 ๐ฅ1 , ๐ฅ2 , โฆ , ๐ฅ๐ ๐ฅ2 = ๐2 ๐ฅ1 , ๐ฅ2 , โฆ , ๐ฅ๐
โฆโฆโฆโฆโฆโฆ..โฆ.. (2.5)
โฎ ๐ฅ๐ = ๐๐ ๐ฅ1 , ๐ฅ2 , โฆ , ๐ฅ๐ dengan kondisi awal ๐ฅ๐ ๐ก0 = ๐ฅ๐0 dimana, ๐๐ : ๐น โ โ๐ โ โ๐ , ๐ฅ๐ =
๐๐ฅ ๐ ๐๐ก
, ๐ = 1,2, โฆ , ๐ dan ๐ฅ1 , ๐ฅ2 , โฆ , ๐ฅ๐ โ ๐น โ โ๐ .
Sistem Persamaan (2.5) dapat ditulis sebagai berikut : ๐ = ๐(๐)โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..โฆโฆโฆ.(2.6) dengan ๐ = ๐ฅ1 , ๐ฅ2 , โฆ , ๐ฅ๐ โ ๐น โ โ๐ dan ๐ ๐ฅ = ๐1 (๐ฅ), ๐2 (๐ฅ), โฆ , ๐๐ (๐ฅ) , dan syarat awal ๐ ๐ก0 = ๐ฅ10 , ๐ฅ20 , โฆ , ๐ฅ๐0 = ๐๐ . Sistem persamaan differensial (2.6) disebut sistem autonomous karena pada sistem ini bergantung pada waktu secara implisit, sedangkan sistem yang bergantung pada waktu secara explisit disebut sistem non-autonomous. Sistem
(2.6)
disebut
sistem
persamaan
differensial
linear
jika
๐1 (๐ฅ), ๐2 (๐ฅ), โฆ , ๐๐ (๐ฅ) masing-masing linear dalam ๐ = ๐ฅ1 , ๐ฅ2 , โฆ , ๐ฅ๐ . Sistem dapat ditulis sebagai ๐ = ๐ด๐โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.โฆโฆโฆโฆโฆ(2.7) dengan ๐ฅ โ R๐ , ๐ด matriks berukuran ๐ ร ๐ dan ๐๐ฅ 1
๐=
๐๐ฅ ๐ ๐๐ก
๐๐ก
=
โฎ โฆโฆโฆโฆโฆ.โฆโฆโฆโฆโฆ(2.8)
๐๐ฅ ๐ ๐๐ก
Dengan kondisi awal ๐ฅ 0 = ๐ฅ0 , solusi dari Persamaan (2.8) adalah ๐ฅ(๐ก) = ๐ ๐ด๐ก ๐ฅ0 โฆโฆโฆโฆ...โฆ.โฆโฆโฆโฆโฆ(2.9) Bukti : ๐ฅ(๐ก) = ๐ ๐ด๐ก ๐ฅ0 ๐๐ฅ (๐ก)
๐ฅ=
=
๐๐ก
๐๐ ๐ด๐ก ๐ฅ 0 ๐๐ก
๐ ๐ โ ๐ด ๐ก ๐=0 ๐ !
๐
๏ณ๐๐ก
๐ ๐ โ ๐ด ๐ก ๐=1 ๐!
๐
๏ณ ๐๐ก ๐ด0 +
๐ ๐ โ1 โ ๐ด .๐.๐ก ๐=1 ๐!
๏ณ0+
๐ ๐ โ1 โ ๐ด ๐ก ๐=1 (๐ โ1)!
๏ณ ๏ณ
๐ฅ0
๐ด1 ๐ก 0 0!
+
๐ด2 ๐ก 1 1!
๏ณ ๐ด(1 + ๐ด๐ก +
๐๐ฅ (๐ก) ๐๐ก
๐ฅ0
๐ฅ0
๏ณ ๐ด + ๐ด2 ๐ก +
๏ณ ๐ด(
๐ฅ0
+
๐ด3 ๐ก 2 2!
๐ด3 ๐ก 2 2! ๐ด2 ๐ก 2 2!
+ โฏ ๐ฅ0
+ โฏ ๐ฅ0 )๐ฅ0
๐ ๐ โ ๐ด ๐ก ๐=0 ๐! )๐ฅ0
= ๐ด๐ ๐ด๐ก ๐ฅ0
๐ฅ(๐ก) = ๐ด๐ฅ(๐ก) ๐ฅ = ๐ด๐ฅโ Ada tiga kemungkinan bentuk ๐ ๐ด๐ก yang berkaitan dengan nilai, yaitu 1. Jika matriks ๐ด berukuran ๐ ร ๐, memiliki nilai eigen real dan berbeda maka bentuk ๐ ๐ด๐ก menjadi (Perko L,2001:7) ๐ ๐ด๐ก = ๐๐๐๐๐[๐ ๐ ๐ ๐ก ]๐โ1 , Dengan ๐ = [๐ฃ1 , ๐ฃ2 , โฆ ๐ฃ๐ ] adalah matriks yang memiliki invers, dan ๐ adalah nilai eigen dari matriksks ๐ด, dengan 1 โค ๐ โค ๐, ๐ โ ๐ dan ๐๐๐๐ ๐
๐๐ ๐ก
๐ ๐1 ๐ก = โฎ 0
โฏ โฑ โฏ
0 โฎ ๐
, sehingga Persamaan (2.9) menjadi
๐๐ ๐ก
๐ฅ(๐ก) = ๐๐๐๐๐[๐ ๐ ๐ ๐ก ]๐ โ1 ๐ฅ0 โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..(2.10)
2. Jika matriks ๐ด berukuran ๐ ร ๐, memiliki ๐ nilai eigen kompleks yang berbeda maka bentuk ๐ ๐ด๐ก menjadi (Perko L,2001:29) ๐ ๐ด๐ก = ๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ก
cos(๐๐ ๐ก) sin(๐๐ ๐ก)
โ sin(๐๐ ๐ก) cos(๐๐ ๐ก)
๐ โ1 ,
Dengan ๐ = [๐ฃ1 ๐ข1 , ๐ฃ2 ๐ข2 , โฆ ๐ฃ๐ ๐ข๐ ] adalah matriks yang memiliki invers, ๐
dan ๐๐ = ๐๐ ยฑ ๐๐๐ adalah nilai eigen dari matriks ๐ด, dengan 1 โค ๐ โค 2 , ๐ โ ๐, sehingga Persamaan (2.9) menjadi ๐ฅ(๐ก) = ๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ก
cos(๐๐ ๐ก) โ sin(๐๐ ๐ก) sin(๐๐ ๐ก) cos(๐๐ ๐ก)
๐โ1 ๐ฅ0 โฆ...(2.11)
3. Jika matriks ๐ด berukuran ๐ ร ๐, memiliki nilai eigen real yang berulang maka bentuk ๐ ๐ด๐ก menjadi (Perko L,2001:33) ๐ ๐ด๐ก = ๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ก 1 + ๐๐ก + โฏ +
๐ ๐โ1 ๐ก ๐ โ1 ๐โ1 !
๐ โ1 ,
Dengan ๐ = [๐ฃ1 ๐ข1 , ๐ฃ2 ๐ข2 , โฆ ๐ฃ๐ ๐ข๐ ] adalah matriks yang memiliki invers, dan ๐ adalah nilai eigen dari matriks ๐ด,dan ๐ adalah matriks nilpotent berorde k dimana ๐ = ๐ด โ ๐, ๐ = ๐๐๐๐๐[๐๐ ]๐โ1 , dengan syarat ๐ ๐โ1 โ 0 dan ๐ ๐ = 0, untuk ๐ โค ๐. Sehingga Persamaan (2.9) menjadi ๐ฅ(๐ก) = ๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ก 1 + ๐๐ก + โฏ +
๐ ๐โ1 ๐ก ๐โ1 ๐โ1 !
๐ โ1 ๐ฅ0 โฆโฆ..(2.12)
Selanjutnya jika Sistem (2.6) tidak dapat dinyatakan dalam bentuk Sistem (2.7) maka Sistem (2.6) tersebut disebut sistem persamaan differensial nonlinear. Berikut adalah contoh sistem persamaan differensial linear, yaitu ๐ฅ = โ๐ฆ ๐ฆ=๐ฅ sedangkan contoh persamaan differensial nonlinear adalah ๐ฅ = ๐ฅ2 ๐ฆ = โ๐ฅ๐ฆ 2 Contoh 2.7a: Tunjukkan bahwa matiks ๐ = Penyelesaian :
3 0
0 adalah matriks nilpotent! 0
Matrik ๐ dikatakan matriks nilpotent jika matriks ๐ memiliki sifat ๐ ๐โ1 โ 0 dan ๐ ๐ = 0, untuk ๐ โค ๐. 3 0
๐=
0 0 3 0
๐2 = ๐ ร ๐ =
0 3 0 0 0 = 0 0 0 0 0
Jadi telah tertunjukkan bahwa matriks N adalah matriks nilpotent dengan orde 2.
Contoh 2.7: Akan dicari solusi dari ๐ = ๐ด๐, dimana ๐ด =
5 4
โ4 โ5
Berdasarkan Contoh 2.1 matriks ๐ด memiliki 2 nilai eigen real yang berbeda yaitu ๐1 = 3 dan ๐2 = โ3 dengan 2 vektor eigen yang bersesuaian yaitu 1 2 dan ๐2 = . Sehingga diperoleh matriks ๐ yang dibentuk dari vektor2 1
๐1 =
vektor eigen ๐ด yaitu ๐=
โ1/3 2/3 2 , dengan ๐โ1 = 2/3 โ1/3 1
1 2
Solusi dari sistem tersebut adalah ๐ฅ ๐ก = ๐ ๐ด๐ก = ๐๐๐๐๐[๐ ๐ ๐ ๐ก ]๐โ1 ๐ฅ0 =
1 2 ๐ 3๐ก 2 1 0
3๐ก = ๐ 3๐ก 2๐
=
โ โ
๐ 3๐ก
3 2๐ 3๐ก 3
0 ๐
โ3๐ก
โ1/3 2/3 ๐ฅ 2/3 โ1/3 0
2๐ โ3๐ก โ1/3 2/3 ๐ฅ 2/3 โ1/3 0 ๐ โ3๐ก + +
4๐ โ3๐ก 3 2๐ โ3๐ก 3
2๐ โ3 ๐ก 3
โ2๐ โ3๐ก 3
4๐ 3๐ก 3
โ
๐ โ3๐ก
๐ฅ0
3
Contoh 2.8: Akan dicari solusi dari ๐ = ๐ด๐, dimana ๐ด =
0 1
โ4 0
Berdasarkan Contoh 2.2 matriks ๐ด memiliki 2 nilai eigen kompleks yang berbeda yaitu ๐1 = 2๐ dan ๐2 = โ2๐ dengan 2 vektor eigen yang bersesuaian yaitu
1 โ2๐ dan ๐2 = . Sehingga diperoleh matriks ๐ yang dibentuk dari โ0,5๐ 1
๐1 =
vektor-vektor eigen ๐ด yaitu ๐=
1/2 ๐ โ2๐ , dengan ๐ โ1 = 1/2 ๐/4 1
1 โ0,5๐
๐โ1 ๐ด๐ =
2๐ 0
0 โ2๐
Solusi dari sistem tersebut adalah ๐ฅ ๐ก = ๐ ๐ด๐ก = ๐๐๐๐๐ ๐ โ2๐ก
cos(๐๐ ๐ก) sin(๐๐ ๐ก)
โ sin(๐๐ ๐ก) cos(๐๐ ๐ก)
๐โ1 ๐ฅ0
=
1 โ0,5๐
2๐ก 0.๐ก โ2๐ ๐ cos(0๐ก) โ๐ sin(0๐ก) 1/2 1 ๐ 0.๐ก sin(0๐ก) ๐ โ2๐ก cos(0๐ก) ๐/4
=
1 โ0,5๐
โ2๐ ๐ 2๐ก 1 0
=
๐ 2๐ก โ0,5๐๐ 2๐ก
=
0,5๐ 2๐ก โ0,25๐๐ 2๐ก + 0,25๐๐ โ2๐ก
โ2๐๐ โ2๐ก ๐ โ2๐ก
1/2 ๐ ๐ฅ ๐/4 1/2 0
0 ๐
๐ ๐ฅ 1/2 0
โ2๐ก
1/2 ๐ ๐ฅ ๐/4 1/2 0 0,5๐ 2๐ก ๐ฅ 0,5๐ โ2๐ก 0
Contoh 2.9: Akan dicari solusi dari ๐ = ๐ด๐, dimana ๐ด =
3 0
0 3
Berdasarkan Contoh 2.3 matriks ๐ด memiliki nilai eigen kembar yaitu ๐1 = ๐2 = 3 dengan 2 vektor eigen yang bersesuaian yaitu ๐1 =
1 0
dan ๐2 =
0 . 1
Sehingga diperoleh matriks ๐ yang dibentuk dari vektor-vektor eigen ๐ด yaitu ๐=
1 0
0 1 dengan ๐ โ1 = 1 0
0 1
Solusi dari sistem tersebut adalah ๐ฅ ๐ก = ๐ ๐ด๐ก = ๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ก 1 + ๐๐ก + โฏ + =
1 0 ๐ 3๐ก 0 1 0
3๐ก = ๐ 0
๐ ๐โ1 ๐ก ๐โ1 ๐โ1 !
๐โ1 ๐ฅ0
0 1 0 ๐ฅ ๐ 3๐ก 0 1 0
0 ๐ฅ ๐ 3๐ก 0
13
Perilaku pada sistem persamaan differensial dapat dilihat dari medan arah, orbit, dan potret fase dari sistem tersebut, berikut penjelasan tentang medan arah orbit, dan potret fase. 1. Medan Arah Setiap titik pada ruang (๐ก, ๐) dimana ๐(๐) terdefinisi, ruas kanan Persamaan (2.7) memberikan nilai-nilai dari turunan
๐๐ฅ ๐๐ก
yang dianggap sebagai gradien dari
ruas garis pada titik tertentu. Kumpulan dari ruas garis tersebut disebut medan arah dari Persamaan (2.7). Grafik solusi Persamaan (2.7) yang melalui ๐ฅ 0 merupakan kurva pada ruang dimensi ๐ (๐ก, ๐) yang didefinisikan oleh
๐ก, ๐ ๐ก, ๐ฅ 0 : ๐ก โ ๐ฐ๐ฅ 0 .
Contoh 2.9 : Diberikan sistem persamaan differensial sebagai berikut : ๐ฅ=๐ฆ ๐ฆ = โ๐ฅโฆโฆ..โฆโฆโฆโฆโฆโฆ..โฆโฆ..(2.12a) Grafik solusi dari Sistem (2.12a) dengan nilai awal pada titik (1,2) berbentuk spiral yang ditunjukkan pada Gambar 2.1. Pada Gambar 2.1 terlihat bahwa untuk kenaikan waktu(๐ก), kurva akan berputar mengelilingi sumbu ๐ก menjauhi bidang-xy. Gambar 2.1 dibuat menggunakan aplikasi Maple 15 dengan perintah pada lampiran 10.
Titik awal
Gambar 2. 1. Grafik solusi sistem (2.12a) pada ruang (๐, ๐, ๐)
14
Gambar 2.1 menunjukkan bahwa ketika t terus bertambah kurva membentuk spiral, dimana nilai x dan y berulang pada periode 2ะ. 2. Orbit Orbit menurut Hale dan Kocak merupakan proyeksi dari grafik solusi pada bidang-xy. Pada orbit diberi panah untuk mengindikasikan arah dimana ๐ ๐ก, ๐ฅ 0 mengalami perubahan untuk ๐ก yang semakin meningkat. Gambar 2.2 merupakan orbit dari Sistem (2.12a) yang dibuat menggunakan aplikasi Maple 15 dengan perintah pada lampiran 10. y
Tititk Awal
x
(0,0)
Gambar 2. 2 Orbit sistem (2.12a) Gambar 2.2 menunjukkan bahwa pada kuadran I dan IV ketika nilai x membesar maka nilai y mengecil, sedangkan pada kuadran II dan III ketika nilai x membesar maka nilai y juga membesar, dan nilai solusi (x,y) dari Sistem (2.12a) dengan nilai awal (1,2) memiliki jarak yang sama terhadap titik pusat (0,0), sehingga membentuk suatu lingkaran. 3. Potret Fase Potret fase dari persamaan differensial menurut Hale dan Kocak merupakan kumpulan dari semua orbit, dengan kata lain potret fase juga merupakan proyeksi dari grafik solusi pada bidang-xy. Pada potret fase juga diberi panah berarah. Gambar 2.1 merupakan potret fase dari sistem (2.12a) yang dibuat menggunakan aplikasi Maple 15 dengan perintah pada lampiran 10.
15
Gambar 2. 3 Potret fase sistem 2.12a Gambar 2.3 merupakan kumpulan dari grafik solusi pada bidang-xy dengan nilai awal (1;2), (1;1,5), (1;1), dan (1;0,5). C. Model Predator Prey Lotka-Voltera, Model Logistik, dan Fungsi Respon Persamaan Lotka-Volterra, juga dikenal sebagai sistem persamaan predator prey, yang merupakan sepasang persamaan differensial orde pertama dan non-linear. Persamaan ini adalah persamaan yang masih sederhana. Asumsi dasar dari persamaan Lotka-Voltera bahwa populasi mengalami pertumbuhan dan peluruhan secara exponensial, dimana faktor lain ditiadakan. Berikut sistem persamaan Lotka-Voltera: (Verhulst,1990:180 ) ๐๐ฅ ๐๐ก ๐๐ฆ ๐๐ก
= ๐ฅ(๐ โ ๐ผ๐ฆ) โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ(2.13) = ๐ฆ(โ๐ + ๐ฝ๐ฅ) โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.(2.14)
Pada kenyataannya populasi tidak selalu mengalami pertumbuhan secara exponensial dan tidak terbatas, pertumbuhan secara exponensial hanya akan dialami dalam waktu singkat, maka pada abad 19 P.F.Verhulst memperkenalkan model logistik untuk pertama kali. Model pertumbuhan logistik megasumsikan bahwa populasi mangsa tidak selamanya meningkat secara exponensial, ada saat ketika pertumbuhan mangsa melambat karena terbatasnya sumber daya alam (SDA) atau adanya kapasitas maksimal yang disediakan lingkungan. Dengan asumsi tersebut, jumlah populasi dengan model ini akan selalu terbatas pada
16
suatu nilai tertentu. Pada masa tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan (ekuilibrium), pada titik ini jumlah kelahiran dan kematian dianggap sama. Ketika diasumsikan laju populasi akan tumbuh cepat mendekati eksponensial dan tak terbatas maka dapat ditulis model laju pertumbuhan populasi sebagai berikut: ๐๐ฅ ๐๐ก
= ๐๐ฅ โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. (2.15)
Namun karena keterbatasan sumber daya alam, Persamaan (2.15) dapat ditulis sebagai persamaan berikut, ๐๐ฅ ๐๐ก ๐๐ฅ ๐๐ก
๐ฅ
= ๐๐ฅ โ ๐พ ๐๐ฅ ๐ฅ
= ๐๐ฅ 1 โ ๐พ
โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..โฆ.... (2.16)
Persamaan (2.16) disebut model logistik. Pada tahun 1953 Holling memperkenalkan fungsi respon. Fungsi respon predator adalah tingkat predasi (daya makan) predator terhadap jumlah makanan/mangsa. Sehingga fungsi respon berkaitan erat dengan peningkatan populasi predator atau pengurangan populasi prey saat saling berinteraksi. Misal fungsi respon dinotasikan dengan ๐ ๐ฅ maka ๐ ๐ฅ haruslah fungsi nonlinear dan terbatas. Holling memperkenalkan 3 fungsi respon, yaitu fugsi respon tipe I, fungsi respon tipe II dan fungsi respon tipe III. ๐๐ฅ
Persamaan dari fungsi respon tipe I ini adalah ๐ ๐ฅ = ๐+๐ฅ . Pada fungsi respon tipe I, ketika populasi mangsa meningkat daya konsumsi predator pun meningkat, sehingga jumlah populasi predator semakin meningkat pula. ๐๐ฅ2
Persamaan dari fungsi respon tipe II ini adalah ๐ ๐ฅ = ๐๐ฅ 2 +๐๐ฅ +๐ . Pada fungsi respon tipe II lebih kompleks dari fungsi respon tipe I karena pada fungsi respon ini memperhatikan waktu predator dalam mencerna mangsa. Sedangkan ๐๐ฅ2
Persamaan dari fungsi respon tipe III ini adalah ๐ ๐ฅ = ๐+๐ฅ 2 . Fungsi respon tipe III adalah fungsi sigmoidal dimana predator yang cenderung akan mencari
17
populasi prey yang lain ketika populasi prey yang dimakan mulai berkurang. (Ruan,S dan Xiao,D, 2001) Ketiga fungsi respon tersebut merupakan fungsi monoton naik. Namun ada interaksi predator prey yang memiliki sifat yang tidak monoton, yaitu ketika pada jumlah populasi mangsa tertentu, tingkat konsumsi pemangsa menurun karena ada sifat bertahan dari mangsa, yaitu ketika mangsa meningkat tingkat pertahanan kelompoknya pun meningkat. Persamaan dari fungsi respon tipe IV Monod Haldane yang merupakan ๐๐ฅ
pengembangan dari fungsi respon tipe II adalah ๐ ๐ฅ = ๐๐ฅ 2 +๐๐ฅ +๐ . Sedangkan fungsi respon tipe IV Sokol and Howell yang merupakan pengembangan dari ๐๐ฅ
fungsi respon tipe III adalah ๐ ๐ฅ = ๐+๐ฅ 2 . (Ruan,S dan Xiao,D, 2001) D. Titik Ekuilibrium Solusi dari suatu sistem yang tidak mengalami perubahan terhadap waktu disebut titik ekuilibrium atau titik tetap. Berikut adalah definisi dari titik ekuilibrium pada suatu sistem persamaan differensial,
Definisi 2.4 : (Perko, 2001: 102) Diberikan suatu sistem persamaan differensial ๐ฅ =
๐๐ฅ ๐๐ก
= ๐(๐ฅ), ๐ฅ, ๐(๐ฅ) โ ๐
. Titik
๐ฅ โ ๐
disebut titik ekuilibrium jika dan hanya jika ๐ ๐ฅ = 0.
Contoh 2.10 Akan dicari titik ekuilibrium dari Sistem (2.13) dan (2.14) Penyelesaian : Misal : ๐ ๐ฅ =
๐๐ฅ ๐๐ก
= ๐ฅ(๐ โ ๐ผ๐ฆ) dan ๐ ๐ฅ =
๐๐ฆ ๐๐ก
= ๐ฆ(โ๐ + ๐ฝ๐ฅ)
๐(๐ฅ) = 0 dan ๐ ๐ฅ = 0 Sehingga didapat persamaan-persamaan berikut : 0 = ๐ฅ(๐ โ ๐ผ๐ฆ) โฆโฆโฆโฆโฆ.โฆ.....โฆ.โฆโฆ(2.17) 0 = ๐ฆ(โ๐ + ๐ฝ๐ฅ) โฆโฆโฆโฆ....โฆโฆ.โฆโฆ..(2.18) Dari Persamaan (2.17), diperoleh
18
๐(๐ฅ) = 0 jika dan hanya jika ๐ฅ = 0 โฆโฆโฆ...โฆโฆ..(2.19) atau ๐ โ ๐ผ๐ฆ = 0 ๐
๐ฆ = ๐ โฆโฆโฆโฆโฆโฆ..โฆโฆโฆโฆโฆโฆ..โฆ(2.20) Selanjutnya jika kita subtitusikan (2.19) ke (2.18) maka diperoleh ๐ฆ(โ๐ + ๐ฝ. 0) = 0 ๐ฆ = 0 โฆโฆโฆโฆ.โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.โฆ.(2.21) Kemudian subtitusikan Persamaan (2.20) ke Persamaan (2.18) ๐ (โ๐ + ๐ฝ. ๐ฅ) = 0 ๐ 1 ๐
๐ฅ = ๐ฝ ( ๐ + ๐)โฆโฆโฆโฆโฆโฆ.โฆโฆ.....โฆโฆ..(2.22) Sehingga diperoleh dua titik ekuilibrium yaitu 1 ๐
๐
T1 = (0,0) dan T2 = (๐ฝ ( ๐ + ๐), ๐ ) E. Linearisasi Sistem Persamaan Nonlinear Linearisasi adalah proses melinearkan fungsi nonlinear. Linearisasi dilakukan untuk melihat perilaku sistem di sekitar titik ekuilibrium. Dengan linearisasi pada sistem nonlinear akan diperoleh pendekatan yang baik. Definisi 2.5 : (J.Hale, H.Kocak : 267) Jika ๐ฅ adalah titik ekuilibrium dari ๐ฅ = ๐(๐ฅ), maka persamaan differensian linear ๐ฅ = ๐ท๐(๐ฅ)๐ฅ Disebut persamaan linearisasi dari vektor field ๐ pada titik ekuilibrium ๐ฅ. Dimana, ๐ = (๐1 , ๐2 ) dan ๐๐1
๐ท๐ ๐ฅ =
๐๐ฅ 1 ๐๐2 ๐๐ฅ 1
(๐ฅ) (๐ฅ)
๐๐1 ๐๐ฅ 2 ๐๐2 ๐๐ฅ 2
(๐ฅ) (๐ฅ)
โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ(2.23)
Matriks ๐ท๐ ๐ฅ disebut sebagai matriks Jacobian. Contoh 2.11 : Akan dicari bentuk linear dari Sistem (2.13) dan (2.14) dengan pusat ๐ฅ, ๐ฆ = 0,0 menggunakan matriks Jacobian.
19
Misalkan : ๐ = ๐ฅ โ ๐ฅโ ๐ = ๐ฆ โ ๐ฆโ ๐1 = ๐2 =
๐๐ฅ
= ๐ฅ(๐ โ ๐ผ๐ฆ)
๐๐ก ๐๐ฆ
= ๐ฆ(โ๐ + ๐ฝ๐ฅ)
๐๐ก
Maka, ๐๐1
= ๐ โ ๐ผ๐ฆโฆโฆโฆ..โฆโฆโฆโฆโฆ...โฆ..(2.24)
๐๐ฅ ๐๐1 ๐๐ฆ ๐๐2 ๐๐ฅ ๐๐2 ๐๐ฆ
= โ๐ผ๐ฅ โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.โฆโฆ(2.25) = ๐ฝ๐ฆ โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ(2.26)
= โ๐ + ๐ฝ๐ฅ โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..โฆโฆ(2.27)
Berdasarkan (2.24), (2.25), (2.26), (2.27), diperoleh ๐๐1 ๐๐1 (0,0) (0,0) ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐ฅ โ ๐ฅโ ๐ท๐ ๐ฅ = ๐ฆ โ ๐ฆโ ๐๐2 ๐๐2 (0,0) (0,0) ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐ = ๐ 0 ๐ 0 โ๐ ๐ ๐ Sehingga, ๐ = ๐๐ ๐ = โ๐๐ Selain linearisasi menggunaka matriks Jacobian, deret Taylor dan deret Maclaurin juga merupakan salah satu cara untuk melinearisasi.
Definisi 2.6: (Thomas dan Ross, 1996: 672) Misalkan ๐(๐ฅ) dapat diturunkan hingga ๐ kali pada ๐ฅ = ๐, maka ๐(๐ฅ) dapat dinyatakan sebagai deret kuasa, ๐ ๐ฅ = ๐ ๐ + ๐โฒ ๐ ๐ฅ +
๐ โฒโฒ (๐)๐ฅ 2 2!
+โฏ+
๐ ๐ (๐)๐ฅ ๐ ๐!
โฆ โฆโฆโฆโฆโฆโฆ(2.28)
20
Definisi 2.7: (Yuri A. Kuznetsov, 1998: 93) Misalkan ๐(๐ฅ, ๐ฆ) dapat diturunkan hingga ๐ kali pada ๐ฅ, ๐ฆ = (๐, ๐), maka ๐(๐ฅ, ๐ฆ) dapat dinyatakan sebagai deret kuasa, ๐ ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ ๐, ๐ +
๐๐ โฒ ๐,๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
+
๐๐ โฒ ๐ ๐ฆ ๐๐ฆ
+
๐๐ โฒโฒ ๐,๐ ๐ฅ๐ฆ ๐๐ฅ๐๐ฆ
1 ๐๐ ๐+๐ ๐ ,๐ ๐ฅ ๐ ๐ฆ ๐
+ โฏ + ๐!๐ !
๐ ๐ ๐ฅ๐ ๐ ๐ฆ
(2.29)
Persamaan (2.28) merupakan deret Taylor dengan satu variabel menggunakan pusat ๐ฅ = ๐, sedangkan Persamaan (2.29) merupakan deret Taylor dengan dua variabel menggunakan pusat ๐ฅ, ๐ฆ = (๐, ๐), jika pusat ๐ฅ = 0 atau ๐ฅ, ๐ฆ = 0,0 disebut dengan deret Maclaurin.
Contoh 2.12: Akan dicari deret Taylor dari ๐ ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฅ(๐ โ ๐ผ๐ฆ) dengan pusat ๐ฅ, ๐ฆ = 0,0 . Penyelesaian : Dicari : ๐ 0,0 = 0,
๐๐ โฒ 0,0 ๐๐ฅ
= ๐,
๐๐ โฒ 0,0 ๐๐ฆ
= 0,
๐๐ โฒโฒ 0,0 ๐๐ฅ๐๐ฆ
= โ๐ผ โฆโฆโฆโฆโฆ(2.30)
Sehingga diperoleh deret Taylor dari ๐ ๐ฅ, ๐ฆ dengan mensubtitusikan (2.30) ke (2.28) yaitu ๐ ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐ฅ โ ๐ผ๐ฅ๐ฆ + โฏ F. Analisis Kestabilan Definisi 2.8: Olsder:2003:53 Diberikan sebuah sistem persamaan differensial ๐ฅ = ๐ (๐ฅ), dengan kondisi awal ๐ฅ 0 = ๐ฅ0 , dan penyelesaian pada waktu ๐ก dinotasikan dengan ๐ฅ(๐ก, ๐ฅ0 ), maka (i)
Sebuah vektor ๐ฅ yang memenuhi ๐ ๐ฅ = 0 disebut titik ekuilibrium.
(ii)
Sebuah titik ekuilibrium ๐ฅ disebut stabil jika untuk setiap ๐ > 0 ada ๐ฟ > 0 sedemikian sehingga, jika
๐ฅ0 โ ๐ฅ < ๐ฟ, maka
๐ฅ ๐ก, ๐ฅ0 โ
๐ฅ < ๐ untuk setiap ๐ก โฅ 0. (iii)
Sebuah titik ekuilibrium ๐ฅ disebut stabil asimtotik jika ๐ฅ stabil dan ada sebuah ๐ฟ1 > 0 sedemikian sehingga lim๐กโโ ๐ฅ ๐ก, ๐ฅ0 โ ๐ฅ = 0 bila ๐ฅ0 โ ๐ฅ < ๐ฟ1 .
21
(iv)
Sebuah titik ekuilibrium x tidak stabil jika untuk setiap ฮต > 0 ada ฮด > 0 sedemikian sehingga, jika x0 โ x < ๐ฟ, maka x t, x0 โ x < ๐ untuk setiap t โฅ 0.
Berikut gambar ilustrasi kestabilan titik ekuilibrium yang stabil, stabil asimtotik, dan tidak stabil.
Stabil Asimtotik
Stabil
Tidak Stabil
Gambar 2. 4 Kestabilan Titik Ekuilibrium Pada Gambar 2.1 terlihat bahwa titik ekuilibrium ๐ฅ stabil jika tiap solusi pada waktu ๐ก memiliki jarak yang dekat dengan titik ekuilibrium. Titik ekuilibrium ๐ฅ stabil asimtotik jika tiap solusi pada waktu ๐ก dan pada setiap diambil titik awal, solusi mendekati titik ekuilibrium. Sedangkan titik ekuilibrium ๐ฅ dikatakan tidak stabil apabila tiap solusi pada waktu ๐ก dan pada setiap diambil titik awal, solusi menjauhi titik ekuilibrium. Titik ekuilibrium dapat dicari kestabilannya menggunakan nilai eigen pada matriks Jacobiannya (๐ท๐(๐ฅ)), jika titik ekuilibrium tersebut hiperbolik. Berikut definisi dari titik ekuilibrium hiperbolik, Definisi 2.9 (Perko, 2001: 102) Titik ekuilibrium ๐ฅ dikatakan hiperbolik jika semua nilai eigen dari matriks Jacobian ๐ท๐(๐ฅ )๐ฅ mempunyai bagian real tak nol.
Berikut adalah teorema mengenai kestabilan titik ekuilibrium berdasarkan nilai eigennya,
22
Teorema 2.2 : (Olsder dan Woude, 2003:57) Diberikan sistem linear ๐ฅ = ๐ด๐ฅ, dengan matriks ๐ด berukuran ๐ ร ๐ dan memiliki k nilai eigen yang berbeda ๐๐ untuk ๐ = 1,2, โฆ ๐ dan ๐ โค ๐, maka (i) Titik ekuilibrium ๐ฅ = 0 dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya jika untuk setiap ๐
๐ ๐๐ < 0. (ii) Titik ekuilibrium ๐ฅ = 0 dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika ada paling sedikit satu ๐
๐ ๐๐ > 0. Bukti : (i) Akan dibuktikan titik ekuilibrium ๐ฅ = 0 stabil asimtotik jika dan hanya jika untuk setiap ๐
๐ ๐๐ < 0 Penyelesaian : Pembuktian (ke kanan) Berdasarkan Definisi (2.8 (ii)), sebuah titik ekuilibrium ๐ฅ disebut stabil asimtotik jika lim๐กโโ ๐ฅ ๐ก, ๐ฅ0 โ ๐ฅ = 0. Artinya untuk t mendekati โ, maka ๐ฅ ๐ก, ๐ฅ0 akan medekati ke ๐ฅ = 0. Karena ๐ฅ ๐ก, ๐ฅ0
merupakan solusi dari sistem
persamaan differensial, maka berdasarkan Persamaan (2.11), ๐ฅ ๐ก, ๐ฅ0 memuat ๐ ๐
๐
๐๐ ๐ก
. Sehingga jika ๐ ๐
๐
๐๐ ๐ก
selalu
menuju ke ๐ฅ = 0, maka ๐
๐ ๐๐ haruslah
bernilai kurang dari nol/ negatif.
Pembuktian (ke kiri) Karena ๐ฅ ๐ก, ๐ฅ0
merupakan solusi dari sistem persamaan differensial, maka
๐ฅ ๐ก, ๐ฅ0 berdasarkan Persamaan (2.11) selalu memuat ๐ ๐
๐ maka untuk ๐ก โ โ, ๐ฅ ๐ก, ๐ฅ0
๐๐ ๐ก
. Jika ๐
๐ ๐๐ < 0
akan mendekati ๐ฅ = 0, atau dapat ditulis
lim๐กโโ ๐ฅ ๐ก, ๐ฅ0 โ ๐ฅ = 0. Berdasarkan Definisi (2.28 (ii)), titik ekuilibrium ๐ฅ = 0 stabil asimtotik. โ (ii) Akan dibuktikan titik ekuilibrium ๐ฅ tidak stabil jika dan hanya jika untuk setiap ๐
๐ ๐๐ > 0. Penyelesaian :
23
Pembuktian (ke kanan) Titik ekuilibrium ๐ฅ = 0 tidak stabil jika untuk ๐ก mendekati โ maka ๐ฅ ๐ก, ๐ฅ0 mendekati โ. Karena ๐ฅ ๐ก, ๐ฅ0 solusi dari sistem persamaan differensial maka berdasarkan Persamaan (2.11) ๐ฅ ๐ก, ๐ฅ0 selalu memuat ๐ ๐
๐
๐๐ ๐ก
. Sehingga
๐ฅ ๐ก, ๐ฅ0 mendekati โ akan terpenuhi jika ๐
๐ ๐๐ > 0. Pembuktian (ke kiri) Karena ๐ฅ ๐ก, ๐ฅ0
merupakan solusi dari sistem persamaan differensial, maka
๐ฅ ๐ก, ๐ฅ0 berdasarkan Persamaan (2.11) selalu memuat ๐ ๐
๐
๐๐ ๐ก
. Jika ๐
๐ ๐๐ > 0
mengakibatkan untuk ๐ก โ โ maka ๐ฅ ๐ก, ๐ฅ0 mendekati โ atau dengan kata lain ๐ฅ ๐ก, ๐ฅ0 menjauhi titik ekuilibrium ๐ฅ = 0. Sehingga ๐ฅ = 0 dikatakan tidak stabil. โ G. Bifurkasi Definisi 2.10 : (Guckenhimer dan Holmes :1985:117) Bifurkasi adalah perubahan kualitatif (dalam hal ini kestabilan) suatu sistem yang terjadi akibat perubahan nilai parameter.
Biasanya bifurkasi terjadi pada penyelesaian titik setimbang yang mempunyai paling sedikit satu nilai eigen sama dengan nol pada bagian realnya. Bifurkasi yang paling sederhana untuk dipelajari adalah bifurkasi dimensi-1 dari ekuilibrium dengan satu parameter. Pada kasus ini, diasumsikan persamaan normal dipelajari disekitar solusi-solusi ekuibrium dari sistem. Bifurkasi ini dikenal dengan bifurkasi satu parameter dari sistem. Beberapa jenis bifurkasi satu parameter adalah bifurkasi saddle node, bifurkasi traskritical, dan bifurkasi hopf.
a. Bifurkasi Saddle Node Bifurkasi saddle node ditandai oleh bertambahnya titik ekuilibrium dalam suatu diagram bifurkasi semisal pada saat ๐ = ๐0 . Ketika ๐ > ๐0 bertambah dua titik ekuilibrium dimana salah satu titik stabil dan satunya tidak stabil. Salah satu
24
bentuk sistem berdimensi-1 yang mengalami bifurkasi saddle node adalah (Wiggins,2003:366) ๐ฅ = ๐ + ๐ฅ2
๐ฅ, ๐ โ ๐
1 โฆโฆโฆโฆ..โฆโฆโฆโฆ(2.31a)
๐ฅ = ๐ โ ๐ฅ2
๐ฅ, ๐ โ ๐
1 โฆโฆโฆโฆ..โฆโฆโฆโฆ(2.31b)
Titik ekuilibrium dari Sistem (2.31a) dan (2.31b) berturut-turut adalah ๐ฅ = ยฑ โ๐ dan ๐ฅ = ยฑ ๐. Terdapat tiga kondisi yang memenuhi Persamaan (2.31a) dan (2.31b), yaitu saat ๐ = 0, ๐ < 0, dan ๐ > 0. Berikut gambar potret fasenya,
(a) Potret fase Persamaan (2.31a) (b) Potret fase Persamaan (2.31b) Gambar 2. 5 Potret Fase Bifurkasi Saddle Node Berikut ini diagram bifurkasi saddle node persamaan (2.31a) dan (2.31b)
(a) Diagram Bifurkasi Persamaan (2.31a) (b) Diagram Bifurkasi Persamaan (2.31b) Gambar 2. 6 Diagram Bifurkasi Saddle Node b. Bifurkasi Transcritical Bifurkasi transcritical ditandai oleh persilangan dari dua cabang ekuilibrium dalam suatu diagram bifurkasi yang mana tipe ekuilibrium setiap
25
cabang mengalami perubahan kestabilan ketika ๐ = ๐0 . Salah satu bentuk sistem berdimensi-1 yang mengalami bifurkasi transcritical adalah (Wiggins,2003: 370) ๐ฅ = ๐๐ฅ + ๐ฅ 2
๐ฅ, ๐ โ ๐
1 โฆโฆโฆโฆ..โฆโฆโฆโฆ(2.32a)
๐ฅ = ๐๐ฅ โ ๐ฅ 2
๐ฅ, ๐ โ ๐
1 โฆโฆโฆโฆ..โฆโฆโฆโฆ(2.32b)
Titik ekuilibrium dari Sistem (2.32a) adalah ๐ฅ = 0 dan ๐ฅ = ๐. Terdapat tiga kondisi yang memenuhi Persamaan (2.32a), yaitu saat ๐ = 0, ๐ < 0, ๐๐๐ ๐ > 0. (a) Potret fase Persamaan (2.32a)
(b) Potret fase Persamaan (2.32b)
Gambar 2. 7 Potret Fase Bifurkasi Transcritical Berikut ini diagram bifurkasi transcritical Persamaan (2.32a) dan (2.32b)
(a) Diagram bifurkasi 2.32a (b) Diagram bifurkasi 2.32b Gambar 2. 8 Diagram Bifurkasi Transcritical
c. Bifurkasi Hopf Menurut Guckenheimer dalam bukunya (Guckenheimer,1985:151-152), terjadinya bifurkasi hopf di titik ekuilibrium (๐ฅ0 , ๐0 ) ditandai dengan
26
๐ท๐ฅ (๐(๐ฅ0 , ๐0 )) mempunyai sepasang nilai eigen imajiner murni dan tidak ada nilai eigen lain dengan bagian real nol, serta memenuhi kondisi transversal yaitu ๐ ๐๐
(๐
๐(๐(๐))) โ 0. Bentuk normal bifurkasi Hopf adalah sebagai berikut:
(Kuznetsov, 1998:100) ๐ฅ = ๐ผ๐ฅ โ ๐ฆ ยฑ ๐ฅ ๐ฅ 2 + ๐ฆ 2 , ๐ฅ = ๐ฅ + ๐ผ๐ฆ ยฑ ๐ฆ ๐ฅ 2 + ๐ฆ 2 , Atau bila diubah dalam koordinat polar adalah sebagai berikut : ๐2 = ๐ฅ2 + ๐ฆ2 โ 2๐๐ = 2๐ฅ๐ฅ + 2๐ฆ๐ฆ, โ๐= โ๐= โ๐=
๐ฅ๐ฅ +๐ฆ๐ฆ ๐
,
๐ฅ ๐ผ๐ฅ โ๐ฆยฑ๐ฅ ๐ฅ 2 +๐ฆ 2
+๐ฆ(๐ฅ+๐ผ๐ฆ ยฑ๐ฆ ๐ฅ 2 +๐ฆ 2 ) ๐
๐ผ ๐ฅ 2 +๐ฆ 2 ยฑ ๐
2 ๐ฅ 2 +๐ฆ 2
,
โ ๐ = ๐ผ๐ ยฑ ๐ 3 . Sehingga diperoleh bentuk standar bifurkasi Hopf pada koordinat polar yaitu ๐ = ๐ผ๐ + ๐ 3 โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..(2.33a) dan ๐ = ๐ผ๐ โ ๐ 3 โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..(2.33b) Solusi dari Persamaan (2.33a) ditunjukkan pada Gambar 2.6 (Wiggins, 2003:381)
Gambar 2. 9. Solusi ๐ = ๐ถ๐ + ๐๐ Ketika ๐ผ < 0 maka sistem stabil asimtotik dan membentuk orbit periodik yang tidak stabil, ditunjukkan dengan ketika mengambil titik awal jauh dari titik ekuilibrium solusi menjauhi titik sedangkan ketika diambil titik awal dekat dengan titik ekuilibrium solusi mendekati titik. Untuk ๐ผ = 0 dan ๐ผ > 0 maka
27
sistem tidak stabil, ditunjukkan dengan ketika diambil titik awal, solusi menjauhi titik ekuilibrium. Sedangkan solusi dari Persamaan (2.33b) ditunjukkan pada Gambar 2.7. (Wiggins, 2003: 381)
Gambar 2. 10. Solusi ๐ = ๐ถ๐ โ ๐๐ Ketika ๐ผ < 0 dan ๐ผ = 0 maka sistem stabil asimtotik, ditunjukkan dengan ketika diambil titik awal, solusi mendekati titik ekuilibrium. Ketika ๐ผ > 0 sistem tidak stabil dan membentuk orbit periodik yang stabil, ditunjukkan dengan ketika mengambil titik awal jauh dari titik ekuilibrium solusi mendekati titik sedangkan ketika diambil titik awal dekat dengan titik ekuilibrium solusi menjauhi titik. H. Manifold Center Ketika suatu sistem memiliki nilai eigen yang pada bagian realnya adalah nol, maka kestabilan sistem tidak dapat dilakukan dengan melihat kestabilan linearisasi sistemnya. Sehingga, analisis kestabilan sistem dilakukan dengan normalisasi sistem menggunakan teorema manifold center. Sebuah sistem persamaan differensial didefinisikan sebagai berikut: (Wiggins, 2003: 246) ๐ฅ = ๐ด๐ฅ + ๐(๐ฅ, ๐ฆ) ๐ฆ = ๐ด๐ฆ + ๐ ๐ฅ, ๐ฆ ,
(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐
๐ ร ๐
๐ โฆโฆ(2.34)
dimana, ๐ 0,0 = 0, ๐ท๐ 0,0 = 0 ๐ 0,0 = 0, ๐ท๐ 0,0 = 0 dengan A adalah matriks ๐ ร ๐ dengan nilai eigen tidak hiperbolik, B matriks ๐ ร ๐ dengan nilai eigen hiperbolik negatif, dimana ๐ dan ๐ adalah fungsi
28
๐ถ ๐ (๐ โฅ 2). Misalkan Persamaan (2.34) bergantung pada parameter, ๐ โ โ๐ , maka sistem persamaan differensial dapat ditulis sebagai berikut : ๐ฅ = ๐ด๐ฅ + ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐) ๐ฆ = ๐ด๐ฆ + ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ ,
โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..โฆ(2.35)
dimana, ๐ 0,0,0 = 0, ๐ท๐ 0,0,0 = 0 ๐ 0,0,0 = 0, ๐ท๐ 0,0,0 = 0 Dengan ๐ด matriks ๐ ร ๐ dengan nilai eigen tidak hiperbolik, ๐ต matriks ๐ ร ๐ dengan nilai eigen hiperbolik negatif, dimana ๐ dan ๐ adalah fungsi ๐ถ ๐ (๐ โฅ 2). Untuk menyelesaikan Sistem (2.35) kita menyertakan parameter ๐ sebagai variabel bebas baru sebagai berikut : (๐ฅ, ๐ฆ, ๐) โ โ๐ ร โ๐ ร โ๐ โฆ.(2.36)
๐ = 0,
๐ฆ = ๐ต๐ฆ + ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐) Dinamik dari (2.35) dibatasi oleh manifold center untuk ๐ข yang cukup kecil : (๐ข, ๐) โ โ๐ ร โ๐ ๐ข = ๐ด๐ฅ + ๐(๐ข, ๐ ๐ข, ๐ , ๐) ๐=0 Selanjutnya, akan diturunkan persamaan ๐(๐ฅ) yang harus dipenuhi sehingga dapat kita menggambarkan manifold center dari (2.35). Misalnya kita memiliki persamaan manifold center : ๐ ๐๐๐๐ 0 =
(๐ฅ, ๐ฆ, ๐) โ โ๐ ร โ๐ ร โ๐ |๐ฆ = ๐ ๐ฅ, ๐ , ๐ฅ < ๐ฟ, ๐ < ๐ฟ , , .โฆโฆ2.37) ๐ 0,0 = 0, ๐ท๐ 0,0 = 0
๐ Untuk ๐ฟ dan ๐ฟ cukup kecil. Dengan menggunakan invariant dari ๐๐๐๐ terhadap
Persamaan (2.35), kita dapat menurunkan persamaan differensial parsial yang harus dipenuhi oleh ๐(๐ฅ, ๐): ๐ฆ = ๐ท๐ฅ ๐ ๐ฅ, ๐ ๐ฅ + ๐ท๐ ๐ ๐ฅ, ๐ ๐ = ๐ต๐ ๐ฅ, ๐ + ๐(๐ฅ, ๐ ๐ฅ, ๐ , ๐)โฆโฆโฆโฆโฆโฆ.(2.38) Kemudian dengan mensubtitusi ๐ฅ = ๐ด๐ฅ + ๐(๐ฅ, ๐ ๐ฅ, ๐ , ๐)โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ(2.39) ๐ = 0โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ(2.40) ke persamaan (2.38) diperoleh,
29
๐ฉ(๐ ๐ฅ, ๐ = ๐ท๐ฅ ๐ ๐ฅ, ๐ [๐ด๐ฅ + ๐ ๐ฅ, ๐ ๐ฅ, ๐ , ๐) โ ๐ต(๐ ๐ฅ, ๐ โ ๐ ๐ฅ, ๐ ๐ฅ, ๐ , ๐ = 0 โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. โฆโฆโฆโฆ.. โฆโฆโฆ(2.41) Persamaan (2.41) merupakan persamaan manifold center.
30