1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod 1. Určete definiční obor Df funkce a proveďte klasifikaci bodů z R2 vzhledem k Df a rozhodněte zda je množina Df uzavřená či otevřená. Určete a načrtněte vrstevnice grafu funkce f a obor hodnot Hf. a) f (x, y) = 2x + 3y − 1. Řešení: Funkce je definována pro všechny hodnoty x a y, tedy Df = R2 . Množina R2 má všechny své body vnitřní, je tedy otevřená. Vnější a hraniční body nemá, je tedy zároveň uzavřená. Vrstevnice grafu jsou popsány rovnicí 2x + 3y − 1 = k, k ∈ R. Vrstevnice tvoří systém rovnoběžných přímek. Protože existuje vrstevnice pro každé k ∈ R je obor hodnot Hf = (−∞, ∞).) b) f (x, y) = √ 1 . x2 +y 2
Řešení: Funkce je definována pro všechny hodnoty, kde je jmenovatel zlomku nenulový. To je všude, kromě bodu(0, 0). Je tedy Df = R2 − {(0, 0)}. Množina má pouze vnitřní body, je tedy otevřená. Hraničním bodem je jediný bod a sice bod (0, 0). Vrstevnice grafu jsou popsány rovnicemi √
q 1 1 1 x2 + y 2 = ⇒ x2 + y 2 = 2 , k > 0. = k ⇒ 2 2 k k x +y
Oborem hodnot je Hf = (0, ∞) a vrstevnicemi jsou soustředné kružnice o poloměrech r = k1 . c) f (x, y) =
x+y . x−y
Řešení: Funkce je definována všude, kde je jmenovatel nenulový. Je tedy Df = {(x, y); x 6= y}, tedy rovina bez bodů přímky y = x. Množina má pouze vnitřní body, je tedy otevřená. Hraničními body jsou body přímky {(x, y); x = y}. Vrstevnice grafu jsou popsány rovnicemi x+y (k − 1)x =k⇒y= pro k 6= −1 a x = 0 pro k = −1. x−y k+1 Vrstevnice tvoří svazek přímek, které prochází počátkem, který je z přímek vynechán. Oborem hodnot je Hf = R. √ d) f (x, y) = x − y 2 . Řešení: Funkce je definována všude, kde je výraz pod odmocninou nezáporný. Je tedy Df = {(x, y); x ≥ y 2 }. Vnitřními body jsou body množiny {(x, y); x > y 2 }. Hraničními body jsou body paraboly {(x, y); x = y 2 } a vnějšími body jsou body množiny {(x, y); x < y 2 }. Množina Df obsahuje všechny své hraniční body, je tedy uzavřená. Vrstebnice jsou popsány rovnicemi q
x − y 2 = k ⇒ x = y 2 + k 2 , k ≥ 0.
1
Hraniční parabola x = y 2 je nulovou vrstevnicí, ostatní dostaneme posouváním této paraboly vpravo o hodnotu k 2 . Oborem hodnot je Hf = h0, ∞). e) f (x, y) = xy . Řešení: Funkce {(x, y); {(x, y);
Vyjádříme si funkci pomocí exponenciální funkce ve tvaru f (x, y) = e yln x . je definována všude, kde je definován exponent. To znamená, že Df = x > 0}. Množina má pouze vnitřní body, je tedy otevřená. Hranicí je přímka x = 0}.
Vrstevnice grafu jsou popsány rovnicemi xy = e yln x = k, k > 0 ⇒ yln x = ln k. Tedy y = 0, x > 0 nebo x = 1 pro k = 1 a
ln k , x ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞) pro k 6= 1. ln x Oborem hodnot je interval Hf = (0, ∞). y=
. f) f (x, y) = arcsin x+y x−y Řešení: Funkce je definována v bodech , kde x 6= y a kde je x+y −1 ≤ x−y ≤ 1. Je tedy −x + y ≤ x + y ≤ x − y ∧ x > y ⇒ x ≥ 0 ∧ y ≤ 0 ∧ x > y a −x + y ≥ x + y ≥ x − y ∧ x < y ⇒ x ≤ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x < y. Tedy Df = {(x, y); (x, y) 6= (0, 0), ((x ≥ 0 ∧ y ≤ 0) ∪ (x ≤ 0 ∧ y ≥ 0))}. Vnitřní body jsou body množiny {(x, y); (x > 0 ∩ y < 0) ∪ (x < 0 ∩ y > 0)}. Hraniční body jsou body přímek {(x, y); x = 0 ∨ y = 0}. Množina Df není tedy ani otevřená ani uzavřená. Vrstevnice grafu jsou popsány rovnicemi arcsin
x+y π π x+y = k, − ≤ k ≤ ⇒ = sin k ⇒ x−y 2 2 x−y
sin k − 1 x, x 6= 0. sin k + 1 Vrstevnice tvoří svazek přímek, které procházejí počátkem a leží ve 2. a 4. kvadrantu. y=
2. Určete definiční obor Df, hladiny a obor hodnot Hf funkce: a) f (x, y) = x2 + y 2 . Řešení: Je Df = R2 a funkce f nabývá pouze nezáporných hodnot. Pro její hladiny dostaneme podmínku: x2 + y 2 = k, k ≥ 0. Hladinou je tedy kružnice se středem v bodě (0, 0) a poloměrem √ r = k, která pro k = 0 splývá s počátkem. Je tedy Hf = h0, ∞) a funkce f má v bodě (0, 0) minimum f (0, 0) = 0. 2
b) f (x, y) = |x| + |y|. Řešení: Je Df = R2 a funkce nabývá nezáporných hodnot. Pro hladiny dostaneme rovnice |x| + |y| = k, k ≥ 0. Z vyjádření vyplývá, že hladina je množina souměrná vzhledem k osám x a y, tedy i vzhledem k počátku. Stačí najít řešení v jednom kvadrantu, např. pro x ≥ 0, y ≥ 0. Podmínce vyhovují body úsečky, která je částí přímky x + y = k. Hladinou je tudíž čtverec s vrcholy v bodech (k, 0), (0, k), (−k, 0) a (0, −k). Pro k = 0 dostaneme bod (0, 0). Obor hodnot funkce f je Hf = h0, ∞). c) f (x, y) = e −xy . Řešení: Funkce je definována v celem R2 . Protože je exponenciální funkce kladná, dostaneme pro hladiny rovnice e −xy = k, k > 0 ⇒ −xy = ln k tedy ln k , k 6= 1 a xy = 0, k = 1. x Protože mají rovnice řešení pro všechny hodnoty k > 0, je obor hodnot Hf = (0, ∞). y=−
d) f (x, y) = sin (x + y). Řešení: Funkce je definována v celém R2 . Funkce sinus nabývá hodnot z intervalu h−1, 1i a tudíž pro hladiny dostaneme rovnice sin (x + y) = k, −1 ≤ k ≤ 1. Hladinou je soustava rovnoběžných přímek: k = 1 : x + y = π2 + 2nπ, n ∈ Z; k = −1 : x + y = − π2 + 2nπ, n ∈ Z; −1 < k < 1 : x + y = arcsin k + 2nπ, x + y = π − arcsin k + 2nπ, n ∈ Z. Oborem hodnot je interval h−1, 1i. e) f (x, y) = arctg xy . Řešení: Funkce arkustangens je definovaná v R a tedy je Df = {(x, y); x 6= 0}. Protože je oborem hodnot funkce arkustangens interval (− π2 , π2 ), dostaneme pro hladiny funkce f rovnice arctg
π π y = k, − < k < ⇒ y = tg k x, x 6= 0. x 2 2
Hladinami jsou přímky, které tvoří svazek procházející počátkem, ze kterých je vynechán bod (0, 0). Oborem hodnot funkce f je interval Hf = (− π2 , π2 ). f) f (x, y) = x2 + 3. Řešení: Funkce f je definována v R2 a vzorec pro výpočet funkční hodnoty neobsahuje proměnnou y. Tato skutečnost se projeví tak, že jsou hladinami přímky, které jsou rovnoběžné s osou y. Pro hladiny dostaneme rovnice √ x2 + 3 = k ⇒ x2 = k − 3 ⇒ x = ± k − 3, k ≥ 3. Graf funkce f dostaneme tak, že graf funkce z = x2 + 3, který nakreslíme v rovině (x, z) posouváme ve směru osy y. Dostaneme plochu, které se říká „válcová.ÿ 3
Obrázky k příkladům 1 a 2 y
Df
y
J J J J J J J J J J J J x J J J J k = −1 J J J J J
k=1 d
k>1
d
1
k>1
@ @d @
1 x
k=1 x
k>0 x
k=0 1c y k=
@
1d y
π 2
y
@ k = − π2 @d x @ @ k=0 @ @
x k<1
1 x
k>1
@ @
@
x k<1
@
2c
1 x
−1 @
2a
y @ k=1
@ @k = 1 @ @ @
1f y
1
k=1
@
1e
k>1
k=0
@
1b
k<1
y
@ @
1a y
k<1
y k = −1
−1
2b y
y
@ @ @
@
@d @ @
@ @ x @ @ @ @ k=0 @ @ k = −1
x @ @
2d
x k>3
2e
k=3 k>3
2f
Neřešené úlohy 1. Určete definiční obor Df funkce a proveďte klasifikaci bodů z R2 vzhledem k Df a rozhodněte zda je množina Df uzavřená či otevřená: a) f (x, y) = xy . [Df = {(x, y); x 6= 0}. Množina Df je otevřená. Hranicí je přímka {(x, y); x = 0}.] √ b) f (x, y) = x2 + y 2 . [Df = R2 . Df je současně otevřená i uzavřená.] c) f (x, y) = √ 1 √ . x+ y √ [Df = {(x, y); x + y > 0, y ≥ 0}. Df není ani otevřená ani uzavřená.] d) f (x, y) =
1 x
+ y1 .
[Df = {(x, y); x 6= 0 ∧ y 6= 0}. Df je otevřená.] e) f (x, y) = ln (x + y). [Df = {(x, y); x + y > 0}. Df je otevřená.] 2. Určete definiční obor Df, hladiny a obor hodnot Hf funkce:
a) f (x, y) = ln
√ 1 x2 +y 2
.
4
[Df = {(x, y); (x, y) 6= (0, 0)}; Hf = R. Rovnice hladin x2 + y 2 = e −2k , k ∈ R.] √1 . xy
b) f (x, y) =
[Df = {(x, y); xy > 0}; Hf = (0, ∞). Rovnice hladin xy = k > 0.] c) f (x, y) = e −(x
2 +y 2 )
1 , k2
.
[Df = R2 ; Hf = (0, 1i. Rovnice hladin x2 + y 2 = −ln k, 0 < k ≤ 1.] d) f (x, y) = 4x2 + 9y 2 − 10. [Df = R2 ; Hf = h−10, ∞). Rovnice hladin 4x2 + 9y 2 = 10 + k, k ≥ −10.] √ e) f (x, y) = 1 − 9x2 − 4y 2 . [Df = {(x, y); 9x2 + 4y 2 ≤ 1}; Hf = h0, 1i. Rovnice hladin jsou 9x2 + 4y 2 = 1 − k 2 , 0 ≤ k ≤ 1.] f) f (x, y) =
xy . x+y
[Df = {(x, y); x + y 6= 0}; Hf = R. Rovnice hladin xy = k(x + y), x = 6 −y.] Obrázky k úlohám 1 a 2 y
y Df
Df
y Df
Df d
x
x
y Df
Df d
x Df
1 a∗
1 b∗ y
y @
k=0
Df @
x
@
Df
1 c∗ y
d
Df 1 d∗ y 0
k=1 d
x
x
• k=1
@ @
1 e∗
2 a∗ y
y
• k = −10
2 d∗
2 b∗ k=0
k > −10 x
• k=1
x
x
2 e∗
5
2 c∗
x
