Irányításelmélet és technika I. Mechanikai rendszerek dinamikus leírása Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék
[email protected]
2010 március 19.
Mechanikai alapelemek
Áttekintés 1
Mechanikai alapelemek Tehetetlenség Rugalmas elemek Csillapító elemek
2
Mechanikai rendszerek modellezése
3
Szárazsúrlódás
4
Munka, energia, teljesítmény
5
Mozgás-, energia-, és teljesítményátalakítók
6
Példák
Magyar A. (Pannon Egyetem)
Irányításelmélet
2010 március
2 / 29
Mechanikai alapelemek
Tehetetlenség
Tehetetlenség
Tömeg: egységnyi gyorsulásváltozáshoz szükséges erőváltozás tehetetlenség (m) =
∆F N = kg ∆a m/s2
Tehetetlenségi nyomaték: egységnyi szöggyorsulásváltozáshoz szükséges forgatónyomaték-változás tehetetlenség (J) =
Magyar A. (Pannon Egyetem)
∆T Nm = kgm2 ∆α rad/s2
Irányításelmélet
2010 március
3 / 29
Mechanikai alapelemek
Rugalmas elemek
Rugalmas elemek Külső erő hatására deformálódó elemek, a deformáció egyenesen arányos az erővel
(lineáris) rugó
torziós rugó
F = k · x = k · (x1 − x2 ) ∆F N k= ∆x m
T = k · θ = k · (θ1 − θ2 ) ∆T Nm k= ∆θ rad
k - rugóállandó
Magyar A. (Pannon Egyetem)
Irányításelmélet
2010 március
4 / 29
Mechanikai alapelemek
Csillapító elemek
Csillapító elemek
Energia elnyelő (disszipáló)
T = b · θ˙ = b · (θ˙1 − θ˙2 ) ∆T Nm b= ∆ω rad/s
F = b · x˙ = b · (x˙ 1 − x˙ 2 ) ∆F N b= ∆v m/s
b - viszkózus súrlódási együttható
Magyar A. (Pannon Egyetem)
Irányításelmélet
2010 március
5 / 29
Mechanikai rendszerek modellezése
Áttekintés 1
Mechanikai alapelemek
2
Mechanikai rendszerek modellezése Newton törvények Forgó rendszerek Rugó - tömeg rendszerek Csillapított rugó - tömeg rendszerek
3
Szárazsúrlódás
4
Munka, energia, teljesítmény
5
Mozgás-, energia-, és teljesítményátalakítók
6
Példák
Magyar A. (Pannon Egyetem)
Irányításelmélet
2010 március
6 / 29
Mechanikai rendszerek modellezése
Newton törvények
Newton törvények (I. Tehetetlenség törvénye) Külső erők hiányában m · v = konst, illetve J · ω = konst (II. A dinamika alaptörvénye) Adott irányban ható erők és ugyanolyan irányú gyorsulás esetén (Rögzített forgástengely, illetve ezen tengely körül ható forgatónyomatékok esetén) X X Fi = m · a, ( Tj = J · α) i
j
(III. Hatás-ellenhatás törvénye) Két test kölcsönhatása során mindkét testre azonos nagyságú, egymással ellentétes irányú erő hat. (IV. Erőhatások függetlenségének törvénye) Szuperpozíció elve Magyar A. (Pannon Egyetem)
Irányításelmélet
2010 március
7 / 29
Mechanikai rendszerek modellezése
Newton törvények
Fogalmak
(Forgató)nyomaték (T ): erő × erőkar Merev test: nem deformálódik, pontjainak egymáshoz viszonyított távolsága állandó Tehetetlenségi nyomaték (J): ∼ tömeg, forgómozgásnál adott forgástengelyre vonatkozik Z J = r 2 dm
Magyar A. (Pannon Egyetem)
Irányításelmélet
Jx Jy Jz
R = R (y 2 + z 2 )dm = R (x 2 + z 2 )dm = (x 2 + y 2 )dm
2010 március
8 / 29
Mechanikai rendszerek modellezése
Forgó rendszerek
Forgó rendszerek Pl: csapágyaztott forgórész mozgása
Mozgásegyenletek (Newton II.-ből) - elsőrendű rendszer J ω˙ = −bω,
ω(0) = ω0
Laplace-transzformációval (Ω(s) = L{ω(t)}): J (sΩ(s) − ω(0)) + bΩ(s) = 0
⇒
Ω(s) =
ω0 s + Jb
Megoldás (inverz-Laplace transzformációval): b
ω(t) = ω0 e − J t Magyar A. (Pannon Egyetem)
Irányításelmélet
2010 március
9 / 29
Mechanikai rendszerek modellezése
Rugó - tömeg rendszerek
Rugóra erősített tömeg A függőleges mozgásért felelős erők: rugóerő (k · y ) gravitációs erő (m · g )
Mozgásegyenletek (másodrendű rendszer) X m · x¨ = F = −k · y + m · g Egyszerűsítve (kδ = mg ) a differenciálegyenlet: m · x¨ + k · x = 0 Laplace-transzformációval: ˙ m s 2 X (s) − sx(0) − x(0) +kX (s) = 0
⇒
X (s) =
˙ x(0) sx(0) + k k + m s2 + m
s2
Megoldás (inverz-Laplace transzformációval): r k ˙ x(t) = x0 cos t, feltéve, hogy x(0) = x0 , és x(0) =0 m Magyar A. (Pannon Egyetem)
Irányításelmélet
2010 március
10 / 29
Mechanikai rendszerek modellezése
Csillapított rugó - tömeg rendszerek
Csillapított rugóra erősített tömeg A függőleges mozgásért felelős erők: rugóerő (k · x) csillapító erő (b · x) ˙ gravitációs erő (m · g )
Mozgásegyenletek (másodrendű rendszer) X m · x¨ = F = −k · x − b · x˙ Legyen m = 0.1 kg, b = 0.4
N m/s ,
k=4
N m,
ekkor:
x¨ + 4 · x˙ + 40 · x = 0 Laplace-transzformációval: (s + 4)x0 1 6 s +2 X (s) = 2 = x0 + x0 s + 4s + 40 3 (s + 2)2 + 62 (s + 2)2 + 62 ˙ Megoldás (feltéve, hogy x(0) = x0 és x(0) = 0): 1 −2t x(t) = e sin(6t) + cos(6t) x0 3 Magyar A. (Pannon Egyetem)
Irányításelmélet
2010 március
11 / 29
Szárazsúrlódás
Áttekintés
1
Mechanikai alapelemek
2
Mechanikai rendszerek modellezése
3
Szárazsúrlódás Tapadási- és csúszási súrlódás
4
Munka, energia, teljesítmény
5
Mozgás-, energia-, és teljesítményátalakítók
6
Példák
Magyar A. (Pannon Egyetem)
Irányításelmélet
2010 március
12 / 29
Szárazsúrlódás
Tapadási- és csúszási súrlódás
Tapadási- és csúszási súrlódás
Ható erők gravitációs erő normálerő N (tartóerő) húzóerő tapadási súrlódási erő Fs , arányos N-nel
µs = FNs tapadási súrlódási együttható Egyenesvonalú egyenletes mozgás esetén Fk csúszási súrlódási erő hat Fk = µk N, Magyar A. (Pannon Egyetem)
ahol µs > µk
Irányításelmélet
2010 március
13 / 29
Szárazsúrlódás
Tapadási- és csúszási súrlódás
Tapadási- és csúszási súrlódás - tények
1
A csúszási- és tapadási súrlódási együttható elsősorban az érintkező felületek minőségétől függ
2
A súrlódási erő iránya mindig az aktuális (vagy szándékolt) mozgás irányával ellentétes
3
A csúszási súrlódás nagysága arányos a normálerő nagyságával, és szinte független a súrlódó felülettől.
4
A csúszási súrlódási együttható csak enyhén változik a relatív sebesség függvényében, tekinthető sebességfüggetlennek
5
Adott felületpárra a maximális tapadási súrlódás nagyobb, mint a csúszási súrlódás.
Magyar A. (Pannon Egyetem)
Irányításelmélet
2010 március
14 / 29
Munka, energia, teljesítmény
Áttekintés 1
Mechanikai alapelemek
2
Mechanikai rendszerek modellezése
3
Szárazsúrlódás
4
Munka, energia, teljesítmény Munka Energia
5
Mozgás-, energia-, és teljesítményátalakítók
6
Példák
Magyar A. (Pannon Egyetem)
Irányításelmélet
2010 március
15 / 29
Munka, energia, teljesítmény
Energia
Munka, energia, teljesítmény
Munka: Erő × erő irányába történő elmozdulás W =F ·x
[N · m = J]
Energia ∼ munkavégző képesség. Munkavégzés közben a rendszer elveszíti a munka elvégzéséhez szükséges energiát. potenciális (helyzeti) energia - a test pozíciójából származik kinetikus (mozgási) energia - a test sebességéből származik
Magyar A. (Pannon Egyetem)
Irányításelmélet
2010 március
16 / 29
Munka, energia, teljesítmény
Energia
Potenciális energia
Jele U Tömeg és rugó képes potenciális energia tárolására Mindig egy referencia szinthez képest van értelmezve Pl. m tömegű test Z U=
h
mg dx = mgh 0
Rugó Z U=
Z
x
F dx = 0
Magyar A. (Pannon Egyetem)
x
0
Irányításelmélet
1 kx dx = kx 2 2
2010 március
17 / 29
Munka, energia, teljesítmény
Energia
Kinetikus energia Jele T Tehetetlen elemek képesek potenciális energia tárolására Egyenesvonalú v sebességű mozgást végző m tömegű test 1 T = mv 2 2 Forgómozgás θ˙ sebességgel J tehetetenségi nyomaték esetén 1 T = J θ˙2 2 Kinetikus energia megváltozása megegyezik a sebesség megváltoztatása során végzett munkával Z t2 Z x2 Z t2 dx Fv dt ∆T = ∆W = F dx = F dt = dt t1 x1 t1 Z t2 Z v2 1 1 = mv˙ v dt = mv dv = mv22 − mv12 2 2 t1 v1 Magyar A. (Pannon Egyetem)
Irányításelmélet
2010 március
18 / 29
Munka, energia, teljesítmény
Energia
Példa Egy 1500 kg tömegű autó sebessége 50 km/h. Mekkora erőre van szükség ahhoz, hogy az autót 100 m alatt megállítsuk? Sebesség: 50 km/h = 13.89 m/s Kinetikus energia 1 1 T = mv 2 = · 1500 · 13.982 = 1.447 · 105 Nm 2 2 A fékező F erő által végzett munka: Fx (x = 100 m) ez egyenlő a kinetikus energia megváltozásával: Fx = T
Magyar A. (Pannon Egyetem)
⇒
F =
T 1.447 · 105 Nm = = 1447 N x 100 m
Irányításelmélet
2010 március
19 / 29
Munka, energia, teljesítmény
Energia
Mozgásegyenletek felírása energiákból A rendszer összes energiája állandó, ha nem adunk hozzá, vagy veszünk el belőle energiát Konzervatív rendszer: nem disszipálódik energia hővé a súrlódás miatt (nincs súrlódás) a rendszer energiája potenciális, vagy kinetikus belépő/kilépő energia mechanikai munka formájában jelenik meg
Külső energia hiányában a rendszer teljes energiája T + U, amelyre: T + U = konst Mozgásegyenletek - a teljes energia idő szerinti deriváltjából d (T + U) = 0 dt
Magyar A. (Pannon Egyetem)
Irányításelmélet
2010 március
20 / 29
Munka, energia, teljesítmény
Energia
Energia elnyelés
A csillapító által elnyelt energia megegyezik a rajta végzett munkával: Z x2 Z x2 Z t2 Z t2 dx ∆W = F dx = bx˙ dx = b x˙ dt = b x˙ 2 dt dt x1 x1 t1 t1 Az energia mindig elnyelődik a csillapító elemen, x˙ előjelétől függetlenül Teljesítmény: időegység alatt végzett munka, azaz P = [Nm/s]=[W] Magyar A. (Pannon Egyetem)
Irányításelmélet
dW dt
2010 március
21 / 29
Munka, energia, teljesítmény
Energia
Passzív és aktív elemek
Passzív elemek Energiatároló elemek (tömeg, rugó) A tárolt energia később visszanyerhető Elektromos hálózatokban ellenállás, tekercs, kondenzátor
Aktív elemek Külső energiát képes közölni a rendszerrel Külső erők, nyomatékok Elektromos hálózatokban áramforrás, feszültségforrás
Magyar A. (Pannon Egyetem)
Irányításelmélet
2010 március
22 / 29
Mozgás-, energia-, és teljesítményátalakítók
Áttekintés 1
Mechanikai alapelemek
2
Mechanikai rendszerek modellezése
3
Szárazsúrlódás
4
Munka, energia, teljesítmény
5
Mozgás-, energia-, és teljesítményátalakítók Emelő Csigasor Áttétel
6
Példák
Magyar A. (Pannon Egyetem)
Irányításelmélet
2010 március
23 / 29
Mozgás-, energia-, és teljesítményátalakítók
Emelő
Emelő Olyan eszköz, amely energiát közvetít a rendszer két része között
Ha az emelő egyensúlyban van l1 · mg = l2 · F Azaz az emelő egyensúlyban tartásához szükséges F erő F =
Magyar A. (Pannon Egyetem)
l1 mg , l2
ha l1 < l2 , akkor F < mg
Irányításelmélet
2010 március
24 / 29
Mozgás-, energia-, és teljesítményátalakítók
Csigasor
Csigasor k csigából álló sor esetén a kifejtendő erő a k-ad részére csökken és a kötél vége által megtett út a k-szorosára nő csigák tömege m-ben szerepel, súrlódás elhanyagolható
Magyar A. (Pannon Egyetem)
Irányításelmélet
2010 március
25 / 29
Mozgás-, energia-, és teljesítményátalakítók
Áttétel
Áttétel Sebesség, illetve nyomaték átalakításra alkalmas Ha a sugarak r1 és r2 , illetve a fogak száma n1 és n2 , akkor n1 r1 = r2 n2 A kerületi sebességek megegyeznek: r1 ω1 = r2 ω2 ω2 r1 n1 = = ω1 r2 n2 A nyomatékok közti kapcsolat T1 ω1 = T2 ω2 Magyar A. (Pannon Egyetem)
Irányításelmélet
2010 március
26 / 29
Példák
Áttekintés
1
Mechanikai alapelemek
2
Mechanikai rendszerek modellezése
3
Szárazsúrlódás
4
Munka, energia, teljesítmény
5
Mozgás-, energia-, és teljesítményátalakítók
6
Példák
Magyar A. (Pannon Egyetem)
Irányításelmélet
2010 március
27 / 29
Példák
Példa 1 Határozzuk meg az ábrán látható inga mozásegyenletét! A test tömege m, a kötél tömege és a súrlódás elhanyagolható. P Newton 2. törvénye forgó rendszerekre: T = J θ¨ A gravitációs erő érintőirányú komponense: mg sin(θ) Az ebből származó nyomaték: −mgl sin(θ) A mozgásegyenletek J θ¨ = −mgl sin(θ) A tehetetlenségi nyomaték J = ml 2 , ebből: ml 2 θ¨ + mgl sin(θ) = 0 Mivel kis θ-ra sin(θ) ≈ θ g θ¨ + θ = 0 l Magyar A. (Pannon Egyetem)
Irányításelmélet
2010 március
28 / 29
Példák
Példa 2 Egy m tömegű testet feldobunk 20 m/s kezdősebességgel. Határozzuk meg az energiamegmaradás törvénye segítségével, hogy milyen magasra repül fel? Kezdeti pillanatban: U1 = 0,
1 T1 = mv (0)2 2
A maximális magasság elérésekor: U2 = mgh,
T2 = 0
Energiamegmaradás: T1 + U1 = T2 + U2 , azaz 1 mv (0)2 = mgh 2 Ebből 1 v (0)2 h= = 20.39 m 2 g Magyar A. (Pannon Egyetem)
Irányításelmélet
2010 március
29 / 29