INTEGRAL
APLIKASI EKONOMI
Pengertian Integral Integral merupakan operasi invers dari turunan. Jika turunan dari F(x) adalah F’(x) = f(x), maka F(x) = ∫ f(x) dx.
∫ adalah lambang untuk notasi integral, dx adalah menyatakan fungsi bekerja dalam x.
http://rosihan.web.id
INTEGRAL Dua macam pengertian integral, yaitu: integral taktentu (indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral). Integral taktentu adalah kebalikan dari diferensial, sedangkan integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area.
INTEGRAL I. INTEGRAL TAK TENTU II. INTEGRAL TETENTU
INTEGRAL TAK TENTU
f x dx F x c
f(x) dx F(x)
c
notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman) fungsi integran adalah diferensial dari F(x), fungsi integral umum yang bersifat F’(x) =f(x) konstanta pengintegralan
Beberapa Teorema
1 n1 x dx n1x c kfxdx k f xdx n
1
2
3
4
f xgxdx f xdx gxdx f xgxdx f xdx gxdx
Contoh – contoh
1. x dx 12 x2 c 2. 54 x3dx 54.4 x4 c 15 x4 c. 3.
PENERAPAN EKONOMI Pendekatan integral tak tentu bisa digunakan untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi pada persamaan fungsi marjinalnya diketahui. Kita tahu bahwa fungsi marjinal adalah turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya –yakni integrasi—dapat dicari fungsi asal dari fungsi turunan tersebut atau fungsi totalnya.
PENERAPAN EKONOMI I. FUNGSI BIAYA II. FUNGSI PENERIMAAN III. FUNGSI UTILITAS IV. FUNGSI PRODUKSI V. FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN
FUNGSI BIAYA Biaya total
:
Biaya marjinal : Biaya total adalah integrasi dari biaya marjinal
Kasus: Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q2 – 6Q + 4. Carilah persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya.
Jawab
Konstanta k adalah biaya tetap. Jika diketahui biaya tetap tersebut sebesar 4, maka: C = Q3 – 3Q2 AC = Q2 – 3Q4/Q
FUNGSI PENERIMAAN
Kasus: Carilah persamaan penerimaan total dan penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan jika penerimaan marjinalnya MR = 16 – 4 Q
Jawab:
FUNGSI UTILITAS
Kasus Carilah persamaan utilitas total dari eorang konsumen jika utilitas marjinalnya MU = 90 – 10 Q.
Jawab
Seperti halnya produk total dan penerimaan total, disinipun konstanta k = 0, sebab tidak aka nada kepuasan atau utilitas yang diperoleh seseorang jika tak ada barang yang dikonsumsi.
FUNGSI PRODUKSI
Kasus Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh MP=18 X-3X^2. Carilah persamaan produk total dan produk rataratanya
Jawab
Dalam persamaan produk total juga konstanta k = 0, sebab tidak akan ada barang ( P ) yang dihasilkan jika tak ada bahan ( X ) yang diolah atau digunakan.
FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN Dalam ekonomi makro, konsumsi ( C ) dan tabungan ( S ) dinyatakan fungsional terhadap pendapatan nasional ( Y ). C=f ( Y )=a+bY MPC=C^'= dC/dY=f^' ( Y )= b Karena Y=C+S, maka
S=g( Y )= -a+( 1-b)Y MPS=S^'= dS/dY=g^' (Y)=( 1-b )
INTEGRAL TERTENTU Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variable bebasnya memiliki batas-batas tertentu. Dalam integral tak tentu kita temukan bahwa
Jika kita ingin mengetahui hasil integrasi antara x = a dan x = b dimana amaka x dapat disubtitusi dengan nilai a dan b sehingga ruas kanan persamaannya menjadi :
F(b) – F(a) adalah hasil integral tertentu dari f(x) antara a dan b.Secara lengkap dapat dituliskan menjadi :
Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas area yang terletak di antara kurva y = f(x) dengan sumbu horizontal – x dan menghitung luas area yang terletak di antara dua kurva.
Andaikan kita memiliki dua buah kurva y1 = f(x) dan y2 = g(x), di mana F(x) Maka luas area antara kedua kurva ini untuk rentang wilayah dari a ke b ( a adalah :
KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU Untuk a < c < b, brlaku:
Penerapan Ekonomi
1.Surplus konsumen 2.Surplus produsen
Aplikasi Ekonomi – Surplus Konsumen Mencerminkan suatu keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang
P
Surplus Konsumen
• Jika tingkat harga pasar adalah Pe maka bagi konsumen tertentu yang sebenarnya mampu dan bersedia membayar dengan harga lebih tinggi dari Pe hal ini akan merupakan keuntungan baginya, sebab ia cukup membayar barang tadi dengan harga Pe • Keuntungan inilah yang disebut dengan surplus konsumen
Pe
0
P = f(Q)
Qe
Q
Aplikasi Ekonomi – Surplus Konsumen Dalam hal fungsi permintaan berbentuk P = f(Q) Qe
Cs f (Q)dQQePe 0
Dalam hal fungsi permintaan berbentuk Q = f(P) ˆ P
Cs f (P)dP Pe
Pˆ Adalah nilai P untuk Q = 0
Contoh – Surplus Konsumen Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q = 48 – 0,03P2. Hitunglah surplus konsumen jika tingkat harga pasar adalah 30 Pe = 30
Q = 48 – 0,03 (30)2 Qe = 21
Q=0 ˆ P
0 = 48 – 0,03 P2
Cs f (P)dP
P = 40
Pe
40
40 Cs 480,03P2dP 48P0.01P3 30 = 110
30
Surplus Produsen Mencerminkan suatu keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh produsen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang • Jika tingkat harga pasar adalah Pe maka bagi produsen tertentu yang sebenarnya bersedia menjual dengan harga lebih rendah dari Pe hal ini akan merupakan keuntungan baginya, sebab ia cukup menjual barang tadi dengan harga Pe • euntungan inilah yang disebut dengan surplus produsen
P
P = f(Q) Pe
Surplus Produsen
0
Qe
Q
Dalam hal fungsi penawaran berbentuk P = f(Q) Qe
Ps QePe f (Q)dQ 0
Dalam hal fungsi penawaran berbentuk Q = f(P) Pe
Ps f (P)dP ˆ P
Pˆ Adalah nilai P untuk Q = 0
Contoh Kasus Seseorang produsen mempunyai fungsi penawaran P = 0,50Q + 3. Berapa surplus produsen itu bila tingkat keseimbangan di pasar adalah 10? Jawab : P = 0,50Q + 3 P=0 Q=0 Pe = 10
Q = -6 + 2P Q = -6 P = 3 = P^ Qe = 14
QePe 0 Qe f (Q)dQ
(14)(10)0 14(0,50Q3)dQ
140 0,25Q 3Q 140 0,25(14)2 3(14) 0,25(0)2 3(0) 140910 49. 2
14 0
Trimakasih Referensi : http://rosihan.web.id
