III. Dvojný a trojný integrál

E. Broˇz´ıkov´ a, M. Kittlerov´ a, F. Mr´ az: Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u z Matematiky II (2016)

III. Dvojn´ y a trojn´ y integr´ al

III.1. Existence Necht’ D je mˇeˇriteln´ a (v Jordanovˇe smyslu) mnoˇzina v E2 (resp. E3 ) a funkce f je omezená na D. Necht’ mnoˇzina bod˚ u nespojitosti funkce f v D m´ a m´ıru 0. Potom f je integrovateln´ a v D, tj. integr´ al ZZ ZZZ f (x, y) dx dy (resp. f (x, y, z) dx dy dz) existuje. D

D

´ mka : Dalˇs´ı podrobnosti najdete ve skriptech J.Neustupa: Matematika II. pozna ZZ 1 Pˇ r´ıklad 237. Rozhodnˇete, zda dan´ y integrál dx dy existuje, jestliˇze : 2 2 D x +y 1 a) D = {[x, y] ∈ E2 : x2 + (y − 1)2 ≤ }; 4 b) D = {[x, y] ∈ E2 : x2 + y 2 ≤ 1}; c) D = {[x, y] ∈ E2 : x2 + (y − 1)2 ≤ 2}. ˇ sen´ı : Budeme vycházet z toho, ˇze dvojn´ Reˇ y a trojn´ y integrál (vlastn´ı) je definován pouze pro funkce omezené na omezené mnoˇzinˇe D a dále budeme pouˇz´ıvat vˇetu o existenci. y Mnoˇzina D je mˇeˇritelná, tedy D je omezená a jej´ı 1 je spojitá a hranice má m´ıru 0 a f (x, y) = 2 x + y2 omezená na D. Integrál existuje.

a)

x

0

y b) x

1

Mnoˇzina D je mˇeˇritelná, ale f (x, y) nen´ı omezená 1 = ∞. v D, protoˇze [0, 0] ∈ D a lim 2 [x,y]→[0,0] x + y 2 Integrál neexistuje.

y

c)

f (x, y) opˇet nen´ı omezená na D integrál neexistuje.

1 x

45

([0, 0] ∈ D),


Pˇ r´ıklad 238. Je dána mnoˇzina D = {[x, y] ∈ E2 : x2 + y 2 ≤ 4}. Vyˇsetˇrete, zda existuj´ı dvojné integrály : ZZ ZZ ZZ x dx dy dx dy sin(x2 + y 2 ) , c) , dx dy, b) a) 2 2 2 2 2 2 x +y D x +y +1 D x +y D ZZ ZZ 1 1 e) dx dy. dx dy, d) 2 D (x + y) D 1 + xy ˇ sen´ı : Reˇ sin(x2 + y 2 ) = 1 < ∞ ⇒ funkce je omezená, a) existuje, lim [x,y]→[0,0] x2 + y 2 x b) neexistuje, lim = ∞, 2 [x,y]→[0,0] x + y 2 1 je spojitá v D ⊂ E2 , c) existuje, 2 x + y2 + 1 y d) neexistuje, protoˇze napˇr.

e) neexistuje, protoˇze napˇr.

lim

[x,y]→[−1,1]

1 = ∞, 1 + xy

1 = ∞. [x,y]→[1,−1] (x + y)2 lim

2 x 0 y = 1/x

Pˇ r´ıklad 239. Vyˇsetˇrete, zda existuj´ı trojné integrály : ZZZ dx dy dz a) , W = {[x, y, z] ∈ E3 : 0 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 0, −2 ≤ z ≤ 2}, 3 W (1 + x + z) ZZZ b) (x + yz) dx dy dz, W = {[x, y, z] ∈ E3 : x2 ≤ y ≤ 2, z ≥ 3}, ZZZW 1 dx dy dz, W = {[x, y, z] ∈ E3 : 1 < x2 + y 2 + z 2 < 4}. c) 2 2 2 W x +y +z −9 ˇ sen´ı : Reˇ 1 a) neexistuje, protoˇze funkce nen´ı omezená na W, {1+x+z = 0}∩W 6= ∅, (1 + x + z)3 b) neexistuje, protoˇze mnoˇzina W nen´ı omezená v E3 , c) existuje; W je mˇeˇritelná mnoˇz ina v E3 ; x2 + y 2 + z 2 − 9 6= 0 ve W, tedy integrovaná 1 1 1 < pro kaˇzd´ y bod [x, y, z] ∈ W , funkce je spojitá na W ; < 2 8 x + y2 + z2 − 9 5 tedy funkce je omezená na W . III.2. Fubiniho vˇ eta pro dvojn´ y integr´ al Mnoˇzinu M = {[x, y] ∈ E2 ; a ≤ x ≤ b, φ1 (x) ≤ y ≤ φ2 (x)}, kde funkce φ1 (x), φ2 (x) jsou spojité na < a, b > a φ1 (x) ≤ φ2 (x), nazýv´ ame element´ arn´ım oborem integrace vzhledem k ose x. Necht’ M je element´ arn´ı obor integrace vzhledem k ose x. Necht’ funkce f (x, y) je spojitá v M . Pak ZZ Z b Z φ2 (x) f (x, y) dy dx. f (x, y) dx dy = D

a

46

φ1 (x)

E. Broˇz´ıkov´ a, M. Kittlerová, F. Mr´ az: Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u z Matematiky II (2016)

´ mka: Analogicky pro elementárn´ı obor vzhledem k ose y pozna • Vypoˇc´ıtejte dvojné integrály na dan´ ych obdéln´ıkov´ ych mnoˇzinách : Pˇ r´ıklad 240. I = ˇ sen´ı : Reˇ y

ZZ

D

x2

x=3

dx dy , − 2xy + y 2

D = {[x, y] ∈ E2 : 3 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2}

x=4 Obdéln´ık D je ohraniˇcen kˇrivkami x = 3, x = 4, y = 0, y = 2.

y=2 D y=0 x

0

Z 2 Z 2h 1 dx −1 i4 −1 + dy = I= dy = dy = 2 x−y 3 4−y 3−y 3 (x − y) 0 0 0 Z 2 h i2 1 1 − dy = ln |y − 4| − ln |y − 3| = ln 2 − ln 1 − ln 4 + ln 3 = = y−4 y−3 0 0 3 2·3 = ln . = ln 4 2 ZZ dx dy , D = {[x, y] ∈ E2 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1} Pˇ r´ıklad 241. I = 2 D (x − 2y + 3) ˇ sen´ı : Reˇ Z 1 Z 2 Z 1 Z 1h i2 1 −1 1 −1 I= dy = dy = dx dy = + 2 x − 2y + 3 0 5 − 2y 3 − 2y 0 (x − 2y + 3) 0 0 0 Z 1 i1 1 9 h1 1 1 1 = − ln |2y − 5| − ln |2y − 3| = ln . dy = 2y − 5 2y − 3 2 2 2 5 0 0 ZZ π Pˇ r´ıklad 242. I = y 2 sin2 x dx dy, D = {[x, y] ∈ E2 : 0 ≤ x ≤ , 1 ≤ y ≤ 2} 2 D Z π/2 Z 2 Z π/2 h 1 − cos 2x y 3 i2 2 2 ˇ y dy = sin x dx · Reˇsen´ı : I= dx · = 2 3 1 0 1 0 7π sin 2x iπ/2 8 1 1 π 7 1h − . · = · · = = x− 2 2 3 3 2 2 3 12 0 Z 2 Z

4

´ mka: Je-li funkce typu f (x, y) = g(x) · h(y) a mnoˇzina D je obdéln´ık pozna ZZ Z b Z d D =< a, b > × < c, d >, pak f (x, y) dx dy = g(x) dx · h(y) dy. D

Pˇ r´ıklad 243. I =

ZZ

a

c

2

D

xyex dx dy, y2 + 3

D = {[x, y] ∈ E2 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3}

ˇ sen´ı : Reˇ Z 3 Z 2 1Z 4 i3 1h y x2 = t t x2 2 dy = = e dt · = xe dx · ln |y + 3| I= 2x dx = dt 2 2 0 2 0 0 y +3 0 1 1 h t i4 1 1 12 1 1 = e · = (e4 − 1) ln 4 = (e4 − 1) ln 2. ln 12 − ln 3 = (e4 − 1) · ln 2 2 2 3 4 2 0 2 47


• Mnoˇzina D ⊂ E2 je omezená zadan´ ymi kˇrivkami. Naˇcrtnˇete ji a vyjádˇrete jako elementárn´ı obor integrace. Pˇ r´ıklad 244. 2x − y = 1, 2x − y = 5, x = 0, x = 2 ˇ sen´ı : Reˇ 0≤x≤2 D : 2x − 5 ≤ y ≤ 2x − 1 y y = 2x − 1 y = 2x − 5

↑

x

-1

Mnoˇzina D je elementárn´ım oborem integrace vzhledem k ose x.

x=2 -5

ˇ Sipka oznaˇcuje moˇzn´ y smˇer vnitˇrn´ı integrace pˇri v´ ypoˇctu dvojného integrálu na D pomoc´ı Fubiniovy vˇety.

x=0 ↑

Pˇ r´ıklad 245. y = 0, x = 2y, x = 4 ˇ sen´ı : Reˇ y →

y=

−2

x = 2y

x 2

y=0 0

x=4

↑

1) ↑  0≤x≤4 x D:  0≤y≤ 2

nebo

2) → D:

0≤y≤2 2y ≤ x ≤ 4

D je elementárn´ı oblast integrace vzhledem k ose x 1) ↑ i k ose y 2) → Pˇ r´ıklad 246. y = 18 − x2 , y = x2 ˇ sen´ı : Reˇ y 18 y = x2 9 y = 18 − x2

−3

0 3

18 − x2 = x2 =⇒ x2 = 9 =⇒ x1,2 = ±3 −3 ≤ x ≤ 3 ↑ D: x2 ≤ y ≤ 18 − x2

x

48


Pˇ r´ıklad 247. xy = 4, y = x, y = 4x, (x ≥ 0) ˇ sen´ı : Reˇ y = 4x y D = D1 ∪ D2 [1, 4] y=x → ( y D2 → ≤x≤y 4 D1 : [2, 2] 0≤y≤2 xy = 4 D1 x

[0, 0]

  y ≤x≤ 4 4 y D2 :  2≤y≤4

• Zamˇen ˇte poˇrad´ı integrace : Z 1 Z


0

ˇ sen´ı : Reˇ 1) ↑

1−x

f (x, y) dy dx 0

y

0≤x≤1 0≤y ≤1−x

1 → x 0

I=

Z 1 Z 0

1−y

f (x, y) dx dy. 0


Z 1 Z 0

ˇ sen´ı : Reˇ 1) ↑

↑

x x2

0≤x≤1 x2 ≤ y ≤ x

I=

0

√

y

0≤y≤1 √ y≤x≤ y

y = x2 y=x

→

2) →

[1, 1]

↑

f (x, y) dx dy. y

y =1−x

x Z 1 Z

0≤y≤1 0≤x≤1−y

f (x, y) dy dx y

2) →

49



Z 4 Z 0

ˇ sen´ı : Reˇ 1)

(

√

↑

√ √

4x

4x−x2

f (x, y) dy dx Mnoˇzina D ⊂ E2 je omezená kˇrivkami : √ y = 4x − x2 , coˇz je rovnice ”horn´ı” poloviny kruˇznice (x − 2)2 + y 2 = 4, √ y = 4x , coˇz je rovnice ”horn´ı” vˇetve paraboly y 2 = 4x, x = 4, x = 0.

0≤x≤4 √ 4x − x2 ≤ y ≤ 4x

2) Ve smˇeru osy x rozdˇel´ıme mnoˇzinu D na tˇri ˇcásti tak, aby tyto ˇca´sti byly elementárn´ımi obory integrace. →

D = D1 ∪ D2 ∪ D3 [4, 4]

y

D1 :

D1 D3 0

I=

Z 2 Z 0

2−

√

↑ 4−y 2

f (x, y) dx dy +

y2 4


Z 4 Z 0

ˇ sen´ı : Reˇ

I=

0

6−x

Z 4 Z 2

y 2

4

f (x, y) dx dy +

y2 4

f (x, y) dx dy + 0

Z 6 Z 4

6

D2

4

0

y =6−x

D1

x

0

50

Z 2 Z 0

4 2+

√

4−y 2

f (x, y) dx dy.

f (x, y) dx dy

y = 2x

f (x, y) dy dx. 2x

6−y

y

D = D1 ∪ D2 ( 0≤y≤4 y D1 : 0≤x≤ 2 4≤y≤6 D2 : 0≤x≤6−y Z 2 Z

x

4

0≤y≤2

2

p  y ≤ x ≤ 2 − 4 − y2 4   2≤y≤4 2 D2 :  y ≤x≤4 4 ( 0≤y≤2 p D3 : 2 + 4 − y2 ≤ x ≤ 4

D2 →

 

Nov´ y smˇer vnitˇrn´ı integrace dovoluje vyjádˇrit celou mnoˇzinu D bez pˇredcházej´ıc´ıho dˇelen´ı : 0≤x≤2 D: 2x ≤ y ≤ 6 − x


• Pomoc´ı Fubiniho vˇety pˇreved’te dvojn´ y integrál

ZZ

f (x, y) dx dy na dvojnásobné D

integrály pro oba smˇery integrace, jestliˇze mnoˇzina D ⊂ E2 je omezená kˇrivkami : Pˇ r´ıklad 252. x = 0, y = x2 , x + y = 2 (x ≥ 0) ˇ sen´ı : Reˇ y

ZZ

y = x2

2

[1, 1] x+y =2

=

0

D

Z 1 Z 0

x

x=0

f (x, y) dx dy =

Z 1 Z

√

y

2−x

f (x, y) dy dx = x2

f (x, y) dx dy + 0

Z 2 Z 1

2−y

f (x, y) dx dy. 0

Pˇ r´ıklad 253. x = y 2 − 4, x = −3y n 2 ˇ sen´ı : Vyˇreˇsen´ım soustavy x = y − 4 dostaneme pr˚ Reˇ useˇc´ıky paraboly x = y 2 − 4 x = −3y s pˇr´ımkou o rovnici x = −3y. ZZ Z 1 Z −3y y f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy = x = y2 − 4 2 −4 D −4 y Z −3 Z √x+4 [−3, 1] = f (x, y) dy dx+ √ x −4

x = −3y

+

[12, −4]

Z

− x+4 12 Z − x3

−3

√ − x+4

f (x, y) dy dx.

• Naˇcrtnˇete mnoˇzinu D ⊂ E2 omezenou zadan´ ymi kˇrivkami a vypoˇc´ıtejte dané integrály : Pˇ r´ıklad 254. I = ˇ sen´ı : Reˇ

ZZ

D

x2 dx dy, y2

D : xy = 1, y = 4x, x = 3

y = 4x y x=1

xy = 1 1 2

3

Z 3 h i4x 1 x2 x2 − dy dx = dx = I= 2 y 1/x 1/2 1/x y 1/2 Z 3 Z 3 x 1 2 3 x − + x dx = = x − dx = 4x 4 1/2 1/2 h x 4 x 2 i3 1225 − = = 4 8 1/2 64 Z

3

Z

4x

x

51


Pˇ r´ıklad 255. I = ˇ sen´ı : Reˇ y

ZZ

x3 y 2 dx dy, D

a I=

Z a Z √a2 −y2 −a

a

=

x

Z

=

−a Pˇ r´ıklad 256. I =

ZZ

D : x2 + y 2 = a2 , x = 0 (x ≥ 0)

D

a

−a

x3 y 2 dx dy =

0

y2 2 1 (a − y 2 )2 dy = · 2 4 4

Z

Z

a

y2 −a

a

0

h x4 i√a2 −y2 4

0

dy =

y 2 (a4 − 2a2 y 2 + y 4 ) dy =

1 h 4 y3 4 7 y 5 y 7 ia 1 7 1 2 1 = a − 2a2 + − + a a = 2 3 5 7 0 2 3 5 7 105

dx dy , x2 + 1

D : y = 2x − x2 , y = −x

ˇ sen´ı : y = 2x − x2 neboli y − 1 = −(x − 1)2 je rovnice paraboly s vrcholem [1, 1]. Reˇ Pr˚ useˇc´ıky paraboly s pˇr´ımkou y = −x najdeme tak, ˇze zjist´ıme jejich x-ové souˇradnice : n −x = 2x − x2 =⇒ x(x − 3) = 0 y = 2x − x2 po dosazen´ı =⇒ x1 = 0, x2 = 3 y = −x y

Z 3 Z

Z 3 dy 1 I= dx = (2x − x2 + x) dx = 2 2 x +1 −x 0 0 x +1 y = 2x − x2 Z Z 3 3 2 x + 1 − 3x − 1 −x2 + 3x dx = − dx = = 2 3 2 x +1 x2 + 1 0 0 x Z 3 h x 3 1 =− 1−3 2 dx = − x − ln |x2 + 1|− − 2 x +1 x +1 2 0 i3 3 −arctg x = ln 10 + arctg 3 − 3 y = −x 2 0


ZZ

2x−x2

D : y 2 − x2 ≤ 1, y ≥ 0, x ∈ h−2, 2i

(x + y) dx dy, D

ˇ sen´ı : y − x = 1 je rovnice hyperboly . Reˇ 2

2

I= y 2 − x2 = 1

y

−2

1 -2

0

Z 2 Z

2

√

1+x2

(x + y) dy dx = 0

Z 2h −2

√

y 2 i 1+x2 dx = xy + 2 0

Z 2 √ Z 2 √ 1 + x2 2 x 1+x + = x 1 + x2 dx + dx = 2 −2 {z } | −2 = 0 (lich´ a funkce) Z 2 h 2 x3 i2 14 x + = (1 + x2 ) dx = x + 2 0 | {z } 3 0 3 sud´ a funkce

52


ZZ


(1 + x) y dx dy, D

D : y = x2 − 4, y = −3x, x ≤ 0

ˇ sen´ı : Stanov´ıme x-ové souˇradnice pr˚ Reˇ useˇc´ık˚ u paraboly s pˇr´ımkou : n 2 2 y =x −4 x + 3x − 4 = 0 . Po dosazen´ı y = −3x x1 = 1, x2 = −4 Z Z 0 Z −3x h i−3x 1 0 dx = (1 + x) y2 I = (1 + x)y dy dx = y 2 x2 −4 2 −4 −4 x −4 Z 1 0 (1 + x)(9x2 − (x2 − 4)2 ) dx = = 2 −4 2 y =x −4 Z 1 0 = (−x5 − x4 + 17x3 + 17x2 − 16x − 16) dx = 2 1 −4 i0 h 1 −1376 x6 x5 17x4 17x3 x -4 2 = + + − 8x − 16x = − − 2 6 5 4 3 15 −4 y = −3x Pˇ r´ıklad 259. ˇ sen´ı : Reˇ y

ZZ

(x + 1) dx dy,

D : y = 2x, 2y = x, y = 2

D

y = 2x

[1,2]

ZZ

2y = x

[4, 2]

x Pˇ r´ıklad 260. ˇ sen´ı : Reˇ y xy = 1

D

1 dx dy, y

y=x x=2

x

1 261. 262. 263. 264.

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

D

dx dy , (x + y)2

D

y/2

(x + 1) dx dy =

D : xy = 1, y = x, x = 4, x ≥ 0 Z 4 Z x Z 4h ix 1 1 dx dy = dy dx = dx = ln |y| 1/x 1 1 1/x y D y Z 4 Z 4 1 ln x dx = (per partes) dx = 2 ln x − ln = x 1 1 h i4 u = ln x, v′ = 1 = u′ = 1 , v = x = 2 x ln x − x = 8 ln 4 − 6 ZZ

x

D : x = 3, x = 4, y = 1, y = 2

cos(x + y) dx dy,

0

2y

Z 2h 2 Z 2h 2 i 4y y2 y i x +x dy = +2y− − dy = 2 2 8 2 0 0 Z 2h i 15 2 3 y + y dy · · · = 8 8 2 0

y=2

ZZ

(x + 1) dx dy =

Z 2 Z

D : x = 0, y = π, y = x

1

h

ln

25 i 24 [-2]

D

(x2 + y 2 ) dx dy, D

(x + 2y) dx dy, D

D : y = 0, y = 1 − x, y = 1 + x D : x = y 2 − 4, x = 5 53

h1i 3

[50,4]


265.

ZZ

xy dx dy, D

D : y = x − 4, y 2 = 2x

[90]

ZZ

1 dx dy, D : x = 0, y = 2, y = 4, y 2 = x D y+1 ZZ x 267. dx dy, D : y 2 = x, y 2 = 4x, y = 2 2 y D ZZ (xy + y) dx dy, D : x = 1, x = 2, xy = 4, y = 0 268.

266.

h

4 + ln

5i 3

h5i 4

h

D

4 + 8 ln 2

i

269. Pˇreved’te dvojn´ y integrál obˇema zp˚ usoby na dvojnásobn´ y (tj. obˇe poˇrad´ı integrace) h i a integrál vypoˇc´ıtejte. D = {[x, y] ∈ E2 ; y ≥ ln x, x ≥ 1, y ≤ 1}, f (x, y) = 1/x 1 2

• Omezená mnoˇzina D ⊂ E2 je zadána nerovnicemi nebo hraniˇcn´ımi kˇrivkami a je dána funkce f (x, y) a) Naˇcrtnˇete mnoˇzinu D s popisem os, mˇeˇr´ıtkem, popisem kˇrivek a vyznaˇcen´ım bod˚ u, které jsou pro ˇreˇsen´ı u ´lohy d˚ uleˇzité. b) Ovˇeˇrte splnˇen´ı pˇredpoklad˚ u pro pouˇzit´ı Fubiniho vˇety. c) Mnoˇzinu D vyjádˇrete ve tvaru elementárn´ıho oboru integrace vzhledem ke vhodnˇe zvolené ose. RR d) Vypoˇc´ıtejte D f (x, y) dx dy. 270. D = {[x, y] ∈ E2 ; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2x + 1},

f (x, y) = x2 y

 c) x ∈ h0, 1i  y ∈ h0, 2x + 1i    16 d) 15 

271. D = {[x, y] ∈ E2 ; x + y ≤ π, x − y ≤ π, x ≥ 0} f (x, y) = sin(x + y)

[π]

 c) x ∈ h0, 1i  y ∈ hx − π, −x + πi  d) π 

√ 272. D ⊂ E2 je ohraniˇcena kˇrivkami: y = x/2, y = 3x, y = 2 f (x, y) = x y 

 c) y ∈ h0, 2i  x ∈√hy/3, 2yi      40 2 d) 9

273. D = {[x, y] ∈ E2 ; x ≥ 0, x + y ≤ 2, x ≤ y 2 } f (x, y) = xy  c) x ∈ h0, 1i √  y ∈ h x, 2 − xi    7 d) 24 

54


274. D = {[x, y] ∈ E2 ; y ≥ x2 , y ≤ 12 − x2 } f (x, y) = |x|  

275. D ⊂ E2 je ohraniˇcena kˇrivkami: y =

√

c) − d) 36

√  6≤x≤ 6 2  x ≤ y ≤ 12 − x

√

2

√ x, y = 2 x, x = 1 f (x, y) = 2xy  

c)

√

d) 1

 0≤x≤1 √ x≤y≤2 x 

276. D ⊂ E2 je ohraniˇcena kˇrivkami: y = x, y = 1/x, y = 2 f (x, y) = xy 2  0≤x≤2  1/x ≤ y ≤ x    13 d) 5 

c)

III.3. Substituˇ cn´ı metoda pro dvojn´ y integr´ al Necht’ existuje vz´ ajemnˇe jednoznaˇcné regul´ arn´ı zobrazen´ı oblasti B(u, v) ⊂ E2 na oblast D ⊂ E2 definované rovnicemi x = φ1 (u, v), y = φ2 (u, v). Pak ZZ

f (x, y) dx dy = D

ZZ

∂φ1 f φ1 (u, v), φ2 (u, v) |J| du dv, kde J = ∂u ∂φ2 B(u,v) ∂u

y dx dy, kde D = {[x, y] ∈ E2 : x D x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0, x ≥ 0}. Pokud ano, spoˇc´ıtejte jej.

Pˇ r´ıklad 277. Rozhodnˇete, zda existuje integrál ˇ sen´ı : Reˇ

ZZ

∂φ1 ∂v ∂φ2 ∂v

arctg

Mnoˇzina D je mˇeˇritelná v E2 . y Funkce f (x, y) = arctg nen´ı definována na mnoˇzinˇe 1 x y = (x2 − 1) 2 ∗ D = {[x, y] ∈ E2 : x = 0}. Mnoˇzina bod˚ u nespojitosti funkce f v D, tj. D1 = {[x, y] ∈ D : x = 0, y ∈< 0, 1 >} D1 D je mnoˇzina m´ıry nula v E2 . Dále plat´ı, ˇze funkce f je omezená na mnoˇzinˇe D \ D1 , x proto dan´ y integrál existuje. 1 Zde pouˇzijeme transformaci do polárn´ıch souˇradnic. Z π Z ZZ x = r cos ϕ 1 0≤r≤1 2 y arctg dx dy = y = r sin ϕ | 0 ≤ ϕ ≤ π2 = ϕ · r dr dϕ = J =r x D 0 0 y

55


=

Z

π 2

0

ϕ dϕ ·

Z

1 0

h ϕ2 i π2 h r2 i1 π 2 = . r dr = · 2 0 2 0 16

• Vypoˇc´ıtejte integrály : ZZ p x2 + y 2 dx dy, D = {[x, y] ∈ E2 : x2 + y 2 − bx ≤ 0}, b > 0 Pˇ r´ıklad 278. D

ˇ sen´ı : Reˇ

y

b 2 b2 D : x− + y2 ≤ 2 4

0

b

x

2 2 2 x = r cos ϕ y = r sin ϕ x + y ≤ bx −→ r ≤ br cos ϕ 0 ≤ r ≤ b cos ϕ −→ cos ϕ ≥ 0 = x2 + y 2 dx dy = J = r π π D − ≤ϕ≤ 2 2 Z π/2 Z b cos ϕ Z π/2 h 3 ib cos ϕ Z r 1 π/2 3 = r · r dr dϕ = b cos3 ϕ dϕ = dϕ = 3 3 0 −π/2 0 −π/2 −π/2 Z π/2 2 2 4 2 cos3 ϕ dϕ = b3 · · 1 = b3 . = b3 3 3 3·1 9 0 ZZ Pˇ r´ıklad 279. ln(1 + x2 + y 2 ) dx dy, D = {[x, y] ∈ E2 : x2 + y 2 ≤ a2 , x ≤ 0} ZZ p

D

ˇ sen´ı : Reˇ ZZ

0≤r≤a x = r cos ϕ 3π π 2 2 ln(1 + x + y ) dx dy = y = r sin ϕ | 2 ≤ ϕ ≤ 2 = J =r D Z a Z 3π/2 Z 3π/2 Z a h i 1 + r2 = t 2 ln(1 + r2 )r dr = 2r dr = dt = dϕ · ln(1 + r ) · r dr dϕ = = 0 π/2 0 π/2 Z 1+a2 i1+a2 πh π 1 ln t dt = t ln t − t = (1 + a2 ) ln(1 + a2 ) − a2 . =π· · 2 1 2 2 1

Pˇ r´ıklad 280.*

ZZ

D

x3 dx dy, kde D ⊂ E2 je mnoˇzina ohraniˇcená kˇrivkami xy = 1, xy = 3,

x2 , y = 2x2 . 2 y = 2x2 2y = x2 y=

ˇ sen´ı : Reˇ

y

Pouˇzijeme transformaci D

=⇒

D∗ ,

n xy = u y =v x2

kde

D∗ = {[u, v] ∈ E2 : 1 ≤ u ≤ 3,

xy = 3 xy = 1 x 56

1 ≤ v ≤ 2}. 2


Nyn´ı spoˇc´ıtáme x a y pomoc´ı u a v a dále Jakobián u u y = , y = vx2 , x x ∂x ∂y J = ∂u ∂u = ∂x ∂y ∂v ∂v

u = vx =⇒ x = , v 1 1 −4 1 −2 −1 u 3 v 3 − u3 v 3 3 3 2 −1 1 1 2 −2 u 3v3 u3 v 3 3 3 2

3

r

r

2 √ 3 3 u x= = u2 v ; 2 v 1 2 1 6= 0. = v −1 + v −1 = 9 9 3v 3

u =⇒ y = v v

Uˇzit´ım vˇety o substituci dostaneme ZZ ZZ Z 3 Z 2 Z 3 Z u 1 2 1 u 1 3 x dx dy = dv · · J du dv = · du dv = u du= 3 1/2 v 2 D D∗ v 1 1/2 1 v 3v 1 h 1 i2 h u 2 i3 1 3 = − 1· = · · 4 = 2. 3 v 2 2 1 3 2 ZZ Pˇ r´ıklad 281.* (2x − y) dx dy, D ⊂ E2 je omezená pˇr´ımkami x + y = 1, x + y = 4, D

y = x, y = 5x

ˇ sen´ı : Reˇ x+y =4

y

y = 5x

Nejvhodnˇejˇs´ı substituce bude následuj´ıc´ı ) x+y =u y , D =⇒ D∗ , kde =v x ∗ D = {[u, v] ∈ E2 : 1 ≤ u ≤ 4, 1 ≤ v ≤ 5}.

y=x x+y =1 x u   1 + v Potom uv  ; y= 1+v ZZ ZZ (2x−y) dx dy =

J =

x=

1 1+v v 1+v

−u (1 + v)2 u (1 + v)2

u uv u = (1 + v)3 + (1 + v)3 = (1 + v)2 6= 0;

Z 5 Z 4 2u 2u u uv uv ·J du dv = − − du dv = 1+v 1 + v 1 + v (1 + v)2 1 1 D D∗ 1 + v Z 5 Z 4 Z 5 h u3 i4 Z 5 v + 1 − 3 2−v 1 3 2 u du· = − − · dv = dv = dv = 21· + 3 3 1 1 (1 + v)3 (1 + v)2 (1 + v)3 1 (1 + v) 1 1 1 i5 h 1 3 3 1 3 = 21 = 0. − − − + = 21 · 1 + v 2(1 + v)2 1 6 2 · 36 2 2 · 4 ZZ p Pˇ r´ıklad 282. 1 + 4x2 + 9y 2 dx dy, D = {[x, y] ∈ E2 : 4x2 + 9y 2 ≤ 36, y ≥ 0} D

ˇ sen´ı : Reˇ

4

0

y

Pouˇzijeme transformaci do zobecnˇen´ ych polárn´ıch souˇradnic (eliptick´ ych) : x = 3r cos ϕ , J = 3 · 2 · r, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ π. y = 2r sin ϕ 3

x 57


ZZ p

=

ZD π 0

283. 284.

ZZ

ZZ

D

9y 2

(x − 2y + 3) dx dy, x dx dy,

D

Z π Z

q 2 2 2 2 1+ + dx dy = 1 + 4 · 9r cos ϕ + 9 · 4r sin ϕ · 6r dr dϕ = 0 0 1 Z 1√ √ π 1 (1 + 36r2 )3/2 2 dϕ · = 1 + 36r · 6r dr = π · 37 − 1). (37 3 12 18 0 2 0 4x2

1

D = {[x, y] ∈ E2 : x2 + y 2 ≤ a2 }

D = {[x, y] ∈ E2 : (x − 2)2 +

[3πa2 ]

(y − 1)2 ≤ 1} 4

(Pouˇzijte souˇradnice x = 2 + r cos ϕ, y = 1 + 2r sin ϕ.)

[4π]

ZZ p 285. x2 + y 2 dx dy, D = {[x, y] ∈ E2 : x2 + y 2 ≤ 2x} D ZZ 286. (x2 + y) dx dy, D = {[x, y] ∈ E2 : xy = 1, xy = 4, y = x, y = 9x} D

(Pouˇzijte souˇradnice xy = u,

• Vypoˇctˇete integrály

ZZ

287. D = {[x, y] ∈ E2 ;

y = v.) x

h

h 32 i 9

J=

1 19 i , 4v 3

f (x, y) dx dy , je-li dána mnoˇzina D a funkce f (x, y) D

x2 y 2 + ≤ 1, x ≥ 0} f (x, y) = xy 2 9 4

288. D = {[x, y] ∈ E2 ; x2 + 9y 2 ≤ 9, x ≥ 0}, 289. D = {[x, y] ∈ E2 ; x2 + 4y 2 ≤ 4, y ≥ 0},

f (x, y) = y 2 p f (x, y) = y x2 + 4y 2

290. D = {[x, y] ∈ E2 ; 36x2 + y 2 ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0}, 291. D = {[x, y] ∈ E2 ; x2 + y 2 ≤ 4x, y ≥ 0}, 292. D = {[x, y] ∈ E2 ; x2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0},

58

f (x, y) = xy

f (x, y) = xy f (x, y) = e−x

2 −y 2

h 48 i

5 h 3π i 8

[2] h9i 32 h 32 i 3 [π(1 − e−4 )]


III.6. Aplikace dvojn´ ych integr´ al˚ u • Urˇcete ploˇsn´ y obsah rovinného obrazce D ⊂ E2 ohraniˇceného dan´ ymi kˇrivkami : Pˇ r´ıklad 293. y = x2 , x + 2y = 3, y = 0 ˇ sen´ı : Reˇ ZZ Z 1 Z 3−2y Z y y = x2 P = 1 dx dy = 1 dx dy = √ D

1

=

x + 2y = 3

0

x

3

Z 1

0

y

1 0

h i3−2y x √ dy = y

√ h 2y y i1 4 √ 2 = . 3 − 2y − y dy = 3y − y − 3 3 0

Pˇ r´ıklad 294. xy = 1, xy = 4, y = x, x = 8 ˇ sen´ı : Reˇ Z 8 Z 4 ZZ Z 2 Z x x 1 dy dx+ 1 dy dx = P = 1 dx dy = y=x 1 1 2 D 1 y x x Z 2 Z 8 i2 h x2 y = x4 1 4 1 = x− − − ln |x| + dx + dx = x x x 2 1 1 2 y = x1 h i8 x=8 1 3 83 2 +3 ln |x| = 2 − ln 2 − + 3(ln 8 − ln 2) = + ln = 2 2 2 · 23 2 3 x = + ln 32. 1 2 2

Pˇ r´ıklad 295. Urˇcete ploˇsn´ y obsah rovinného obrazce omezeného osou x a jedn´ım obloukem cykloidy o parametrick´ ych rovnic´ıch x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t). ˇ sen´ı : Reˇ y

y = ϕ(x)

Jeden oblouk cykloidy op´ıˇse bod kruˇznice, která se kotál´ı po pˇr´ımce y = 0, tj. t ∈ h0, 2πi. x

ZZ

2aπ 1 dx dy =

0 ≤ x ≤ 2πa 0 ≤ y ≤ ϕ(x)

Z =

2πa Z ϕ(x)

Z

2πa

P = 1 dy dx = ϕ(x) dx = D 0 0 0 substituce : x = x(t) = a(t − sin t) ⇒ dx = a(1 − cos t) dt R 2π = a(1 − cos t) · a(1 − cos t) dt = = y = y(t) = a(1 − cos t) 0 x ∈< 0, 2πa > ⇒ t ∈< 0, 2π > Z 2π Z 2π h i2π 2 2 2 1 − 2 cos t + cos2 t dt = a2 t − 2 sin t + (1 − cos t) dt == a =a 0 0 Z 02π i 2h 1 + cos 2t a sin 2t 2π +a2 = 2πa2 + a2 π = 3πa2 . dt == a2 · 2π + t+ 2 2 2 0 0 59


Pˇ r´ıklad 296. Urˇcete ploˇsn´ y obsah rovinného obrazce D omezeného asteroidou 2/3 2/3 x + y = a2/3 . ˇ sen´ı : Reˇ ZZ y P = 1 dx dy D

x = r cos3 ϕ Pouˇzijeme transformace do souˇradnic : y = r sin3 ϕ 2/3 2/3 = a2/3 =⇒ r2/3 = a2/3 =⇒ + r sin3 ϕ r cos3 ϕ

a x

0≤r≤a 0 ≤ ϕ ≤ 2π

, J =

cos3 ϕ sin3 ϕ

−3r cos2 ϕ sin ϕ 3r sin2 ϕ cos ϕ

= 3r sin2 ϕ cos4 ϕ + 3r sin4 ϕ cos2 ϕ =

= 3r sin2 ϕ cos2 ϕ. Z Z 2π Z a 2 2 3r sin ϕ cos ϕ dr dϕ = 4 P = 0

0

=4

Z

π 2

0

π 2

0

2

2

sin ϕ cos ϕ dϕ · 3

Z

a

r dr = 0

h r2 ia Z π2 1 − cos 4ϕ 3 2 3 2h sin 4ϕ i π2 sin2 2ϕ = dϕ · 3 dϕ · a = a ϕ − = 4 2 0 2 2 4 4 0 0 3 π 3 = a2 · = πa2 . 4 2 8

• Urˇcete ploˇsn´ y obsah rovinného obrazce omezeného uzavˇrenou kˇrivkou : 2 ata) Pˇ r´ıklad 297. x2 + y 2 = a2 (x2 − y 2 ) (Bernoulliova lemnisk´

ˇ sen´ı : Reˇ

y P =

a x

ZZ

1 dx dy = D

x = r cos ϕ y = r sin ϕ J =r

.

Po dosazen´ı do zadán´ı dostáváme postupnˇe : r4 = a2 r2 (cos2 ϕ−sin2 ϕ), r2 = a2 cos 2ϕ, p 3π 5π π π 0 ≤ r ≤ a cos 2ϕ =⇒ cos 2ϕ ≥ 0, ϕ ∈ h− , i ∪ h , i. 4 4 4 4 Z π Z π Z a√cos 2ϕ Z π h 2 ia√cos 2ϕ 4 4 4 r dϕ = 2 a2 cos 2ϕ dϕ = P =4 r dr dϕ = 4 2 0 0 0 0 0 h sin 2ϕ i π4 = 2a2 = a2 . 2 0 2 Pˇ r´ıklad 298.* x2 + 9y 2 = x2 y ˇ sen´ı : P = Reˇ

ZZ

1 dx dy = D

x = r cos ϕ r y = sin ϕ 3 1 J= r 3

r r4 = r2 cos2 ϕ · sin ϕ 3 1 2 0 ≤ r ≤ cos ϕ sin ϕ 3 cos2 ϕ sin ϕ ≥ 0 =⇒ 0 ≤ ϕ ≤ π 60


Z π Z

1 cos2 3

Z 1 1 π h r2 i 31 cos2 ϕ sin ϕ dϕ = P = r dr dϕ = 3 3 0 2 0 0 0 Z π Z 2 1 π1 1 4 2 = cos ϕ sin ϕ dϕ = ·2· cos4 ϕ (1 − cos2 ϕ) dϕ = 6 0 9 54 0 Z π 2 1 3 · 1 π 5 · 3 · 1 π π 1 4 6 (cos ϕ − cos ϕ) dϕ = (Wallisova formule) = = = · − · . 27 0 27 4 · 2 2 6 · 4 · 2 2 864 ϕ sin ϕ

Pˇ r´ıklad 299.* (x3 + y 3 ) = 3axy ˇ sen´ı : Reˇ y

x

−a −a

(Descartes˚ uv list) x = r cos ϕ 0 ≤ r ≤ r(ϕ) P = 1 dx dy = y = r sin ϕ | ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 J =r D Z ϕ2 Z r(ϕ) Z 1 ϕ2 2 = r dr dϕ = r (ϕ) dϕ. 2 ϕ1 ϕ1 0 ZZ

=

Nyn´ı urˇc´ıme r(ϕ) a dosad´ıme do posledn´ıho integrálu.

x3 + y 3 = 3axy

=⇒ r3 cos3 ϕ + r3 sin3 ϕ = 3ar2 cos ϕ sin ϕ, takˇze π π 3a cos ϕ sin ϕ 0 ≤ ϕ ≤ , r(0) = r( ) = 0. r(ϕ) = 3 , 3 2 2 cos ϕ + sin ϕ π Z π Z 2 2 2 2 9a cos ϕ sin ϕ 1 2 3a cos ϕ sin ϕ 2 dϕ = P = 2 dϕ = 3 2 0 cos3 ϕ + sin ϕ 2 0 3 3 cos ϕ + sin ϕ ( ˇcitatel a jmenovatel vydˇel´ıme cos6 ϕ )

9 a2 = 2

Z

π 2

0

tg2 ϕ

3

dϕ = 2 · 2 cos ϕ

tg ϕ = u 1 dϕ = du cos2 ϕ

Z 9 a2 ∞ 3u2 = du = 2·3 (u3 + 1)2 0

tg ϕ + 1 Z C h −1 iC −1 3 2 3u2 3 a2 3 a2 = a lim = du = lim lim + 1 = 2 C→+∞ 0 (u3 + 1)2 2 C→+∞ u3 + 1 0 2 C→+∞ C 3 + 1 3 a2 . = 2 Pˇ r´ıklad 300. Urˇcete ploˇsn´ y obsah rovinného obrazce omezeného kˇrivkami x2 + y 2 + x = 0, x2 + y 2 + 4x = 0, y = x, y = 0. ˇ sen´ı : Reˇ y 2 1 1 + y2 = x2 + y 2 + x = 0 =⇒ x + 2 4 −4 −1 x2 + y 2 + 4x = 0 =⇒ (x + 2)2 + y 2 = 4 x

P =

ZZ

1 dx dy = D


x2 + y 2 + x = 0 =⇒ r = − cos ϕ x2 + y 2 + 4x = 0 =⇒ r = −4 cos ϕ − cos ϕ ≤ r ≤ −4 cos ϕ 5 π≤ϕ≤ π 4

61

=


5 π 4

Z 5 Z 5 1 4 π 1 4 π h 2 i−4 cos ϕ r 16 cos2 ϕ − cos2 ϕ dϕ = dϕ = = r dr dϕ = 2 π 2 π − cos ϕ π − cos ϕ Z 5 Z 5 15 4 π sin 2ϕ i 54 π 15 h 15 4 π 1 + cos 2ϕ 2 = cos ϕ dϕ = = ϕ+ dϕ = 2 π 2 π 2 4 2 π sin 52 π 15 5 sin 2π 15 π 1 15(π + 2) = = = π+ −π− + . 4 4 2 2 4 4 2 16 Z

Z

−4 cos ϕ

Pˇ r´ıklad 301. Je dána parabolická u ´seˇc s tˇetivou kolmou k ose. Délka tˇetivy je a, v´ yˇska u ´seˇce h, a ploˇsná hustota ̺ = 1. Urˇcete : a) moment setrvaˇcnosti u ´seˇce vzhledem k tˇetivˇe, b) tˇeˇziˇstˇe u ´seˇce. ˇ sen´ı : Reˇ y h

x 0

Analytické vyjádˇren´ı této paraboly bude y − h = px2 . ha i a2 −4h , 0 , pak −h = p =⇒ p = 2 =⇒ Pouˇzijeme-li bod 2 4 a 4h 2 y = h− 2x . a

a 2

a) Moment setrvaˇcnosti k tˇetivˇe je nyn´ı momentem setrvaˇcnosti vzhledem k ose x. Z a Z ZZ 4h 2 D: h− a4h2 x2 2 0 ≤ y ≤ h − x 2 2 2 a Jx = y dx dy = y dy dx = = a a − ≤x≤ D − a2 0 2 2 Z a Z a Z a 1 2 h3 2 4h 2 3 4x2 3 1 2 h 3 ih− a4h2 x2 dx = dx = dx = y h− 2x 1− 2 = 3 − a2 3 − a2 a 3 − a2 a 0 Z a 2h3 2 12x2 48x4 64x6 2h3 h 4x3 48x5 64x7 i a2 = 1 − 2 + 4 − 6 ) dx = − = x− 2 + 3 0 a a a 3 a 5a4 7a6 0 a h3 a 3 1 16 h3 a 2h3 a a 3a − + − − . = = = 3 2 2 10 14 3 5 7 105 Mx b) T = 0, yT , yT = m ZZ Z a Z h− 4h2 x2 Z a 2 2 a 4h 2 m= dx dy = dy dx = 2 h − 2 x dx = a D 0 − a2 0 Z a a a 2 h 2 4x2 4x3 i a2 =2 1 − 2 dx = 2h x − 2 = 2h = ha, − a 3a 0 2 6 3 − a2 ZZ Z a Z h− 4h2 x2 2 a 2 y dy dx = · · · = h2 a, Mx = y dx dy = 5 0 D − a2 yT =

2 2 ha 5 2 ha 3

=

3 h, 5

h 3 i T = 0, h . 5

62


Pˇ r´ıklad 302. Urˇcete tˇeˇziˇstˇe rovinné desky omezené kˇrivkami x2 + y 2 − 2x = 0, x2 + y 2 − 4x = 0, je-li ̺ = 10. ˇ sen´ı : Reˇ x2 + y 2 − 2x = 0 =⇒ (x − 1)2 + y 2 = 1 y x2 + y 2 − 4x = 0 =⇒ (x − 2)2 + y 2 = 4 My T = xT , 0 , xT = , 2 4 m 2 2 x m = 10 · P = 10 π · 2 − π · 1 = 30π, kde P je plocha dané desky 2 + y 2 ≥ 2x =⇒ r ≥ 2 cos ϕ x = r cos ϕ xx2 + 2 y ≤ 4x =⇒ r ≤ 4 cos ϕ y = r sin ϕ 10x dx dy = My = = 2 cos ϕ ≤ r ≤ 4 cos ϕ J =r π π D − ≤ϕ≤ 2 2 Z π Z π Z π Z 4 cos ϕ h r3 i4 cos ϕ 2 2 10 2 2 cos ϕ· 56 cos4 ϕ dϕ = dϕ = r cos ϕ dr dϕ = 10 = 10 3 2 cos ϕ 3 − π2 − π2 − π2 2 cos ϕ Z π 2 20 1120 3 · 1 π · 56 · · = 70π, cos4 ϕ dϕ = = 3 3 4·2 2 0 h7 i 70π xT = , T = ,0 . 30π 3 ZZ

Pˇ r´ıklad 303. Urˇcete souˇradnice tˇeˇziˇstˇe kruhové v´ yseˇce (viz obrázek), je-li ̺ = konst. ˇ sen´ı : Reˇ y πa2 T = xT , 0 , m = · 2α̺ = a2 α̺, 2π Z Z α a My = x̺ dx dy = α x D =


=

0≤r≤a −α ≤ ϕ ≤ α

2 3 ̺ a sin α, 3

Z αZ a iα h r 3 ia h 2 = · sin ϕ r cos ϕ dr dϕ = ̺ = ̺ 3 0 −α 0 −α xT =

2 a sin α · . 3 α

Pˇ r´ıklad 304. Urˇcete moment setrvaˇcnosti vzhledem k poˇcátku soustavy souˇradnic homogenn´ı rovinné desky s ploˇsnou hustotou ̺ = k omezené kˇrivkami x2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = 4. ˇ sen´ı : Reˇ y ZZ (x2 + y 2 ) dx dy =[polárn´ı souˇradnice] = J0 = k ZD2π Z 2 1 2 15 =k r3 dr dϕ = kπ. x 2 0 1

63


Pˇ r´ıklad 305. Urˇcete polohu tˇeˇziˇstˇe obrazce omezeného kardioidou r = a(1 + cos ϕ), ϕ ∈ h0, 2πi, a > 0, ̺ = 1. ˇ sen´ı : Reˇ My y T = x , 0 , xT = T r = a(1 + cos ϕ) m ZZ Z ϕ2 Z r(ϕ) a 1 · r dr dϕ = m= dx dy = x

Z

=

Z

0

ϕ1 D 2π Z a(1+cos ϕ) 0

0

1 r dr dϕ = 2

Z

2π

r2 dϕ = 0

Z 1 2 2π (1 + cos ϕ) dϕ = a (1 + 2 cos ϕ + cos2 ϕ) dϕ = 2 0 0 Z h i 2π 2π 1 1 1 + cos 2ϕ π 3 = a2 ϕ + 2 sin ϕ + a2 dϕ = a2 π + a2 = a2 π, 2 2 2 2 2 0 0 Z ZZ Z h i a(1+cos ϕ) 2π r2 cos ϕ dr dϕ = My = x dx dy = polárn´ı souˇr. = 1 = a2 2

2π

2

D

=

1 3

Z

0

0

2π

cos ϕ·a3 (1+cos ϕ)3 dϕ = 0

=

5 3 a π; 4

3

a 3

xT =

Z

0

2π

cos ϕ+3 cos2 ϕ+3 cos3 ϕ+cos4 ϕ dϕ =

5a . 6

• Je dána omezená mnoˇzina D ⊂ E2 a funkce f (x, y) a) Naˇcrtnˇete mnoˇzinu D. b) Ovˇeˇrte splnˇen´ı pˇredpoklad˚ u pro pouˇzit´ı Fubiniovy vˇety ’ c) Uved te alespoˇ n dva pˇr´ıklady moˇzného fyzikáln´ıho v´ yznamu daného integrálu. Uved’te, zda se jedná o hmotnost ( pˇri jaké hustotˇe), statick´ y moment nebo moment setrvaˇ RR cnosti ( pˇri jaké hustotˇe a vzhledem k jakému bodu nebo pˇr´ımce). d) Vypoˇc´ıtejte D f (x, y) dx dy. 306. D je ohraniˇcena kˇrivkami: x = 1, x = y 2 + 2, y = 0, y = 2,

√ f (x, y) = y/ x

√  c) m pro ̺ = y/ x √  mx pro ̺ = 1/ x    √ 4√ 2 d) 4 6 − 4 − 3 

307. D je ohraniˇcena kˇrivkami: y = x2 , y =

√

x,

f (x, y) = x,  c) m pro ̺ = x  my pro ̺ = 1    3 d) 20 

64


308. D je ohraniˇcena kˇrivkami: x = y 2 , x − y − 2 = 0,

f (x, y) = y 2     

309. D = {[x, y] ∈ E2 ; x ≥ 0, y ≤ x + 2, y ≥ x2 },

c) m pro ̺ = y 2 mx pro ̺ = y Jx pro ̺ = 1 29 d) 60

    

f (x, y) = 2x(y + 1)  c) m pro ̺ = 2x(y + 1)  my pro ̺ = 2(y + 1)    52 d) 3 

310. D je ohraniˇcena kˇrivkami: y = 2x, y = 2/x, x = 2,

f (x, y) = x2 y 

311. D je ohraniˇcena kˇrivkami: y = x, y = 1/x, x = 3,

f (x, y) =

√

     

c) m pro ̺ = x2 y mx pro ̺ = x2 my pro ̺ = xy Jy pro ̺ = y 62 d) −3 5

     

x 

c) m pro√ ̺=  8(1 + 3) d) 5

312. D = {[x, y] ∈ E2 ; x2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0},



√

x

 

f (x, y) = xy 

 c) m pro ̺ = xy  mx pro ̺ = x     my pro ̺ = y  d) 2

• Urˇcete ploˇsn´ y obsah P rovinného obrazce D ⊂ E2 ohraniˇceného dan´ ymi kˇrivkami : h 875 i

313. x = y 2 , 8x = y 2 , y = 5

24 h 13 i 6 h 21 i − ln 2 2

2

314. y = x , x − y + 2 = 0, x = 0, x = 1 315. x = y 2 , xy = 1, x = 4y, (xy ≥ 1) y 2 2 = xy 316. 4x2 + 9

8

1i − 2 e

h1

317. y = ln x, x − y = 1, y = −1

318. y =

h9i

x2 8 , y= 4 4 + x2

h 2 i 2 π− 3

65


• Urˇcete hmotnost m rovinné desky omezené kˇrivkami : h 45 i

319. y = x2 , x − y + 2 = 0, je-li hustota ̺(x, y) = xy p 320. x2 + y 2 = 2ax, je-li ̺(x, y) = x2 + y 2 , a > 0

8

h 32

a3

i

9 h 94 i

321. x = y 2 , xy = 1, x = 4, je-li ̺(x, y) = 2x

5 h1i 6

322. x2 + y 2 = 1, x + y ≥ 1, je-li ̺(x, y) = y

323. x2 + y 2 − 2x = 0, x2 + y 2 − 4x = 0, y = x, y = 0, je-li hustota ̺(x, y) v libovoln´ em √

h 70 2 i 9

bodˇe rovna vzdálenosti tohoto bodu od poˇca´tku soustavy souˇradnic.

• Urˇcete hmotnost m rovinné desky D pˇri dané ploˇsné hustotˇe ̺(x, y). 324. D = {[x, y] ∈ E2 ; y ≤ x + 2, y ≥ x2 , x ≥ 0},

̺(x, y) = xy

325. D = {[x, y] ∈ E2 ; x ≤ 4, x ≥ y 2 , y ≥ 1/x}, 2

2

326. D = {[x, y] ∈ E2 ; x + y ≤ 1, x + y ≥ 1},

[6] h 94 i

̺(x, y) = 2x

5 h1i 6

̺(x, y) = y

• Urˇcete tˇeˇziˇstˇe T rovinné desky omezené kˇrivkami : 327. y = 2x − 3x2 , y = −x, je-li ̺(x, y) = 1 328. y = sin x, y = 0, x ∈ h0, πi, je-li ̺(x, y) = 1 329. y 2 = 4x + 4, y 2 = −2x + 4, je-li ̺(x, y) = 1 2

2

2

h

h1 1 ii ,− T = 2 5 h h π π ii , T = 2 8 h h 2 ii T = ,0 5

ı v I. kvadrantu, 330. x 3 + y 3 = a 3 , x ≥ 0, y ≥ 0, je-li ̺(x, y) = 1 (jde o ˇctvrtinu asteroidy leˇz´ıc´ h 256a i pouˇzijte souˇradnice x = r cos3 ϕ, y = r sin3 ϕ) x T = yT = 315π

• Urˇcete moment setrvaˇcnosti : 331. kruhu o polomˇeru a vzhledem k jeho teˇcnˇe, ̺(x, y) = 1, 2

2

332. elipsy 4x + y ≤ 1 vzhledem k ose y, ̺(x, y) = y,

h5

πa4

i

4 h1i 30

333. ˇctvrtiny kruhu o polomˇeru a vzhledem k jeho ose soumˇernosti, ̺(x, y) = 1, h a4 (π − 2) i (Zvolte polohu tak, aby osa x byla osou soumˇernosti.) 334. ˇctverce o stranˇe a vzhledem k jeho vrcholu, ̺(x, y) = 1, 2

2

2

2

335. ˇca´sti mezikruˇz´ı x + y = 1, x + y = 4, omezeného pˇr´ımkami y = x, y = 0 v I. kvadrantu s hustotou ̺(x, y) = k, (k > 0) vzhledem ke stˇredu mezikruˇz´ı.

16 h2 3

a4

i

h 15kπ i 16

• Je dána omezená mnoˇzina D ⊂ E2 a funkce f (x, y) a) Naˇcrtnˇete tˇeleso, jehoˇz objem bude roven hodnotˇe spoˇc´ıtaného integrálu. b) Naˇcrtnˇete pr˚ umˇet tˇelesa do roviny z = 0. c) Napiˇste název RRplochy z = f (x, y). d) Vypoˇc´ıtejte D f (x, y) dx dy. 66


336. D je ohraniˇcena kˇrivkami: y = x, y = 2x, x = 2,

f (x, y) = x + y

z c) rovina 20 d) 3

#

c) rotaˇcn´ı paraboloid 1 d) 3

#

"

c) rovina 7 d) 3

#

c) v´ alcov´ a plocha 13 d) 60

#

c) hyperbolick´ y paraboloid 7 d) 24

#

"

y

x

y

x

337. D = {[x, y] ∈ E2 ; x + y ≤ 1, x + 1 ≥ y ≥ 0},

f (x, y) = x2 + y 2

z "

y x x

y

338. D = {[x, y] ∈ E2 ; y 2 − x2 ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 2, y ≥ 0},

f (x, y) = y

z

y

x y

339. D = {[x, y] ∈ E2 ; y ≥ 0, y ≤ 2 − x, x ≥ y 2 },

x

f (x, y) = y 2 y

z

" x

x y

340. D = {[x, y] ∈ E2 ; x ≥ 0, x + y ≤ 2, x ≤ y 2 }, z

f (x, y) = xy

y "

y x x

341. D = {[x, y] ∈ E2 ; x2 + y 2 ≤ 9, y ≥ 0},

f (x, y) =

z

p 9 − x2 − y 2 y

y x

67

x

c) kulov´ a plocha d) 9π

III. Dvojný a trojný integrál

Recommend Documents