Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
II.1. RAJZOLD LE EGY VONALLAL! A feladatsor jellemzői Tárgy, téma Kombinatorika, geometria, gráfelmélet alapvető ismereteinek elsajátítása egyszerű feladatokon keresztül. Előzmények Tulajdonképpen konkrét ismeret alig szükséges. A páros szám, páratlan szám fogalmakat kell ismerni. Cél A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése rajzoláson, szabályalkotáson, szisztematikus megszámláláson és számoláson keresztül, érvelés és esetleges vitafolyamat segítségével. A modellalkotás és a szövegértés fejlesztése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Ismeretek rendszerezése Ismerethordozók használata
+ + + + + +
Ismeretek alkalmazása Problémakezelés és -megoldás Alkotás és kreativitás Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés A matematika épülésének elvei
+ + + + + + + +
Felhasználási útmutató A gráfelméleti alapfogalmak bevezetéséhez is használható a feladatsor, ebben az esetben nyugodtan lehet válogatni is a feladatok közül. A 2. feladathoz otthon is lehet készíteni további rajzokat, ábrákat, esetleg konkrét figurális ötleteket is meg lehet valósítani, azaz az elkészült rajz valamilyen jól felismerhető konkrét dolgot ábrázoljon (például arc, jármű, növény). A 6. feladatban lehet, hogy segítségre szorulnak a diákok, nem biztos, hogy mindenki látja a kapcsolatot a korábbi feladatok rajzos megoldásaival. Ha úgy ítéljük meg, hogy a tanulóknak nehézséget okoz a feladat ebben a formában, akkor megpróbálhatjuk átfogalmazni úgy, hogy az említett játékban résztvevők számát csökkentjük (ebben az esetben természetesen új táblázatot kell készíteni). A 7. feladatot el lehet kezdeni az órán, esetleg 2–3 fős csoportokban összegyűjteni minél több lerajzolási módot. A szisztematikus leírás lehet házi feladat is. Az 1. feladat megoldásakor egy-egy jó rajz elkészítése után ösztönözzük a gyerekeket az összes lehetséges kiindulópont megtalálására. A lehetetlenség [1. b) 3. ábrája, c) 2. ábrája] észrevétele és igazolása néha segítséggel is nehéz. Ha lehetséges, bátran biztassuk a gyerekeket szabályalkotásra! II. Kombinatorika, gráfok
II.1. Rajzold le egy vonallal! 1.oldal/8
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
A 2. feladattal kapcsolatban várhatóan jó ábrák születnek majd. Mindenképpen kérjünk kifejezetten egyszerű ábrát, valamint olyat is, ami ránézésre bonyolult, de jól látszik rajta a lerajzolhatóság vagy annak lehetetlensége. A 3. feladatban elég a felismert összefüggésre hivatkozni, bár a teljes kilencszög lerajzolása szép feladat. A lerajzolás adminisztrálására lehet betű- vagy számjelölést használni, különböző színes ceruzával jelölni az egyes rajzrészeket, vagy az alábbi rajztechnikával dolgozni:
A 4. és az 5. feladatban fontos a szöveg alapos megértése; továbbvisszük a gráfelméleti gondolatot (más-más absztrakciós szinten), és előkerül a lehetőségek szisztematikus megszámolása is. A 7. feladat részben klasszikus, lehet, hogy az alapkérdést ismerik is a gyerekek. Ez a feladat nagyfokú koncentrációt, kitartást és monotóniatűrést feltételez, ezek részleges hiányában fejlesztheti ezeket a kompetenciákat is. A feladatsor sok feladatot tartalmaz. Ha a rendelkezésre álló idő nem elég a feldolgozásához, vagy a tanár nem akarja a teljes időt a megoldással eltölteni, akkor a feladatsor néhány feladat kihagyásával rövidíthető. Egy javaslat a rövidebb változatra: kihagyható a 2. feladat (ez lényegében kreativitásfejlesztő, szórakoztató rész), továbbá a 3. c), d) és az 5., 6., 7. feladatok.
II. Kombinatorika, gráfok
II.1. Rajzold le egy vonallal! 2.oldal/8
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
RAJZOLD LE EGY VONALLAL! Feladat sor R A JT – C É L
GY ŐZE L EM
Rajzold le egy vonallal a ceruza felemelése nélkül az alábbi ábrákat! (A már megrajzolt vonalon még egyszer áthaladni nem szabad, megrajzolt vonalat keresztezni szabad.) Az ábra melyik pontjában lehet egy sikeres rajzolást elkezdeni? Keresd meg az összes ilyen pontot! Jelöld ezeket színessel!
1.
a)
b)
c)
2. a) Tervezz olyan ábrákat, amit le lehet rajzolni egy vonallal! – Legyen közöttük olyan ábra, ami látszólag bonyolult, de könnyen meg tudod mutatni, hogy le lehet rajzolni. [Például ilyen az 1. a) feladat 3. ábrája.] – Legyen közöttük olyan ábra, ami egy konkrét dolgot felismerhetően ábrázol. b) Tervezz olyan ábrát, amit nem lehet lerajzolni egy vonallal!
NEM 3.
M IN D E GY
Meg lehet-e rajzolni az alábbi ábrákat egy vonallal, a ceruza felemelése nélkül?
a) II. Kombinatorika, gráfok
b)
c)
d) II.1. Rajzold le egy vonallal! 3.oldal/8
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
Ú T F E ST É S Az alábbi térképen Gibabó sziget úthálózatát látjuk. Az utak mindig két települést kötnek össze, és ha két út találkozik, akkor az egyiket a másik fölött felüljáróként építették meg. Az országutakon középen van egy felfestett folyamatos vagy szaggatott vonal, a máshol is szokásos módon. A festés azonban már kissé elkopott, ezért megbízzák Mekk Elek mestert az újrafestéssel. A mester úgy kalkulál, hogy minden útvonalon elég pontosan egyszer végigmennie a festést végző kis járművel, így az a legolcsóbb megoldás, ha minden úton csak egyszer jár. Mekk Elek úgy dönt, hogy a festést Sebonában kezdi és Yamiban fogja befejezni. Sebona Tufi Pamta
Yami Ambala
4. a) Helyes volt-e Mekk Elek döntése? Ha igen, miért? Ha nem, honnan kellene indulnia és hol kellene befejeznie? b) Hányféleképpen juthat Mekk Elek Sebonából Yamiba, ha a lehető legtöbb útfestést akarja elkészíteni úgy, hogy frissen festett úton még egyszer ne menjen végig? Olyan jól sikerült az útfestés Gibabón, hogy három közeli sziget is megrendelte az utak csíkozásának újrafestését. Az útfestést hasonló elven szeretnék magvalósítani mint Gibabón: lehetőleg minden úton csak egyszer kelljen végigmenni. A három szigeten az utak szintén mindig két települést kötnek össze, és ha két út találkozik, akkor az egyiket a másik fölött felüljáróként építették meg. (Két település között természetesen egynél több közvetlen utat nem építettek, és bármely településről el lehet jutni bármelyikre az utak mentén.) A szigetekről beküldték az úthálózatok tervrajzát Mekk Elek logisztikai központjába, de ott véletlenül egy-egy tintapaca csöppent a térképekre. Szerencsére a fekete folt alatt település nem volt. Döntsd el, hogy melyik úthálózatot lehet újrafesteni úgy, mint Gibabó szigetén, és melyik úthálózat festését nem lehet ilyen módon elvégezni!
5.
Sosa Finti
Reju Sal
Babuna
Yube Vanba
Sana Qanda
Mamsu Tuka
Pojo Peve
Yuwuwa sziget
II. Kombinatorika, gráfok
Awuba
Gimu
Bisunda sziget
Ugvi Rudu
Umada sziget
II.1. Rajzold le egy vonallal! 4.oldal/8
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
S Z ÓL Á NC A „szólánc” nevű játék a következőképpen zajlik: az első játékos mond egy szót, rámutat valakire, aki az elhangzott szó utolsó szótagjával kezdődő szót mond, majd ő is mutat valakire, aki az elhangzott szó utolsó szótagjával kezdődő szót mond és így tovább. (Például: ablak – lakatos – Toscana – naptár – …) Anna, Balázs, Ági, Piroska, Dani és János szóláncoztak egyet, Peti pedig játék közben készített egy táblázatot, amiben feljegyezte, hogy ki kire hányszor mutatott. (Például Anna sorában azt látjuk, hogy Balázsra egyszer, Ágira, Piroskára és Danira egyszer sem, Jánosra pedig kétszer mutatott.) Anna
Balázs
Ági
Piroska
Dani
János
Anna
0
1
0
0
0
2
Balázs
1
0
1
0
1
0
Ági
0
0
0
2
0
0
Piroska
1
0
0
0
0
2
Dani
0
0
0
1
0
0
János
0
2
1
0
0
0
6. a) Ki lehetett az első játékos? b) Írd le a játékosok egy lehetséges sorrendjét a játék során!
H Á Z ÉP ÍT É S 7.
Szeretnénk ezt a házat egy vonallal a ceruza felemelése nélkül lerajzolni.
a) Az ábra melyik pontjában lehet egy sikeres lerajzolást elkezdeni? b) A házépítésnél előbb a falakat építik meg, majd a tetőt rakják fel. Van-e olyan lerajzolási mód, amiben a tető „készül el” utoljára? c) Hányféleképpen lehet lerajzolni a házat úgy, hogy az elején legyen az alapozás (az alsó vonal), aztán „épüljenek” fel a falak, a falak után „készüljön el” a födém, majd ezek után a tető? Két lerajzolás akkor különböző, ha a megfelelő vonalak rajzolási sorrendje különböző.
II. Kombinatorika, gráfok
II.1. Rajzold le egy vonallal! 5.oldal/8
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
MEGOLDÁSOK 1. a) A rajzolás a lenti három ábra bármelyik pontjában elkezdhető. [Magyarázat a b) feladat megoldásában.]
b) Az első két ábrát csak a megjelölt pontokban elkezdve lehet lerajzolni egy vonallal, a harmadik ábrát pedig nem lehet egy vonallal lerajzolni.
Magyarázat: Figyeljük meg a csúcsokat! (Csúcs alatt most a sokszögek csúcsát értjük.) Ha egy csúcson a rajz közben áthaladunk, akkor egy bejövő és egy kimenő vonalat elhasználtunk. Így áthaladáskor mindig kettővel csökken a csúcsnál megrajzolandó vonalak száma. Akkor vagyunk készen, ha minden csúcsnál elfogytak a vonalak. Ha egy pont nem kezdő vagy befejező pont a rajzban, akkor ott páros sok vonalnak kell találkoznia. (Csak így csökkenhet nullára a megrajzolandó vonalak száma.) A kezdőpont és a befejező pont különleges. Ha nem esnek egybe, akkor a rajtuk áthaladó vonalpárokon kívül a kezdőpontnál van még egy kimenő „kezdővonal”, illetve a végpontnál van még egy bejövő „záróvonal”, azaz itt páratlan sok vonal találkozik. Ha a kezdőpont és a végpont egybeesik, akkor minden pontban páros sok vonal találkozott. Egy vonallal lerajzolható ábránál más eset nincs. A harmadik ábrán azonban négy olyan pont is van, amelynél páratlan sok vonal fut össze. Így ezt nem lehet lerajzolni egy vonallal. [A megfogalmazásban szándékosan kerültük a gráfelméleti terminológiát, de ha a tanár úgy gondolja, bátran lehet használni az idevágó fogalmakat.] c)
Az első és a harmadik ábrát csak a megjelölt pontokban elkezdve lehet lerajzolni egy vonallal, a második ábrát pedig nem lehet egy vonallal lerajzolni, a magyarázat ugyanaz, mint a b) feladatban.
II. Kombinatorika, gráfok
II.1. Rajzold le egy vonallal! 6.oldal/8
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
2. a) Látszólag bonyolult ábrák: 1
2
Ugyanúgy lerajzolható, mint az 1. a) 3. ábrája.
3
A lerajzolás iránya például a vastag szaggatott pöttyözött vonalak mentén halad.
b) Felismerhető rajz, például egy autó:
3. a) Nem lehet. [Lásd 1.b), több mint két csúcsból páratlan sok vonal indul.] b) Ha az ötszög csúcsai A, B, C, D és E, akkor egy lehetséges lerajzolás: ABCDEACEBDA. c) Nem lehet. [Lásd 1.b), több mint két csúcsból páratlan sok vonal indul.] d) Ha a hétszög csúcsai A, B, C, D, E, F és G, akkor egy lehetséges lerajzolás: ABCDEFGACEGBDFADGCFBEA. E D F E
D
C G A
C
B A
a) feladathoz
b) feladathoz
c) feladathoz
B
d) feladathoz
4. a) Mekk Elek döntése helyes, hiszen Sebona és Yami azok a települések, ahonnan páratlan számú út indul ki, és csak ezek azok. Tehát Sebonában kell kezdenie a festést, és Yamiban kell befejeznie, vagy fordítva. b) A települések kezdőbetűjét használjuk. Sebonából Yamiba érkezve az összes utat át tudja festeni Mekk Elek a feltételeknek megfelelően. A lehetséges útsorrendek: STYAPSY SPAYTSY SYAPSTY STYSPAY SPAYSTY SYTSPAY Tehát hatféleképpen juthat el Sebonából Yamiba.
II. Kombinatorika, gráfok
II.1. Rajzold le egy vonallal! 7.oldal/8
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
5.
Yuwuwa sziget: meg lehet valósítani a kívánt módon történő festést. Minden településről két-két út indul. Bármelyik településen elkezdve az festést a továbbhaladás biztosított és egyértelmű. A végén visszaérkezünk a kiindulási helyre. (Meg lehet kérdezni, hogy hányféleképpen lehet elvégezni a festést? Válasz: Bármely településen elkezdhetjük, és a kezdésnél két útból választhatunk, a többi már ezek után egyértelműen adódik, tehát tízféleképpen.) Bisunda sziget: meg lehet valósítani a festést. Pojótól Quanda felé haladva a településekből induló utak száma: 1, 2, 2, 3, 2. Mivel két páratlan úttal rendelkező település van, így a terv megvalósítható, ha valamelyikükből indul a festés, akkor a másik településen ér majd véget. Umada sziget: nem lehet megvalósítani a festést. Négy olyan település is van, amiből három-három út indul [lásd 1. b)].
6. a) Próbáljuk meg lerajzolni a játékot! A gyerekek legyenek a pontok, a rámutatás pedig egy-egy nyíl. A rajz elkészítéséhez figyelembe kell vennünk az alábbiakat: Anna Balázs
Ági
Piroska Dani János
Hányszor mutatott valakire
3
3
2
3
1
3
Hányszor mutatattak rá
2
3
2
3
1
4
Ha a kezdő és az utolsó játékos ugyanaz lenne, akkor minden egyes játékos ugyananynyiszor mutatott volna valakire, mint ahányszor rámutattak. Leolvasható, hogy most nem ez a helyzet. Anna eggyel többször mutatott, mint ahányszor rámutattak, illetve Jánosra eggyel többször mutattak, mint ahányszor ő mutatott másra. Így nyilván Anna kezdte a játékot és János fejezte be. b) A játék egy lehetséges menete: A B Á P A J B D P J B A J Á P J. 7. a) Mivel van az ábrának két olyan pontja, ahol három vonal találkozik, így csak ezekből a pontokból lehet elkezdeni a sikeres rajzolást. (Lásd 1. feladat!) A rajzolás egy (sok) lehetséges megvalósítása a d) feladat megoldásában. b) Mivel az egyik megjelölt pontban elkezdve a rajzolást mindig a másik megjelölt pontban ér véget, így a tető nem készülhet el utoljára. c) Számozzuk be a vonalakat! A lehetséges lerajzolások: 12657348 és 15827436. Más nem lehet.
a) és b) feladathoz II. Kombinatorika, gráfok
c) és d) feladathoz II.1. Rajzold le egy vonallal! 8.oldal/8
