Hoofdstuk 4 : Driehoeksmeting

Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 4: Driehoeksmeting

- 65 –

Naam: ……………………………………….…

Klas: ............

Hoofdstuk 4 : Driehoeksmeting Tangens van een hoek (boek pag 86)

P3 P2

P1

O Q1 rechthoekige driehoek ∆ OQ1P1

Grootte hoek Oˆ = ......

Lengte overstaande rhz (in cm) Q1 P1 = .......

Q2 Lengte aanliggende rhz (in cm) OQ1 = .......

Q3

lengte overstaande rhz lengte aanliggende rhz Q1 P1 OQ1

∆ OQ2P2

Oˆ = ......

Q2 P2 = .......

OQ2 = .......

Q2 P2 OQ2

∆ OQ3P3

Oˆ = ......

Q3 P3 = .......

OQ3 = .......

Q3 P3 OQ3

= ..............

= ..............

= ..............

Besluit: De scherpe hoeken van de drie driehoeken zijn ....................................................... De verhouding van de lengte van de overstaande rhz en de lengte van de aanliggende rhz van die driehoeken blijft ook ............................

Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 4: Driehoeksmeting Naam: ……………………………………….… We noemen deze verhouding de tangens van de scherpe hoek.

Tangens α = tan α =

Lengte van de overstaande rechthoekzijde Lengte van de aanliggende rechthoekzijde

Let op : Tangens van een hoek is een reëel getal.

Oefening 1 : Bereken tan α voor de volgende opgaven

tan α =

=

lengte overstaande RHZ lengte aanliggende RHZ .............. ...............

= ...............

tan α =

=


= ............... lengte overstaande RHZ

tan α =

=


= ...............

- 66 – Klas: ............


- 67 –

Naam: ……………………………………….… Klas: ............ Als we de hoek kennen kunnen we steeds de tangens van die hoek berekenen. We gebruiken hiervoor onze zakrekenmachine.

De hoek α is gegeven

(bv. 33o)

Bereken de tangens van deze hoek : tan

30o

= 0,64940975

Oefening 2 : Bereken met je ZRM de tangens tot op 0,00001 nauwkeurig tan 45 o = ................................... tan 30 o = .................................... tan 60 o = ...................................... tan 33 o 22' 15 " = .............................. tan 87 o 15 ' 22" = .............................. Als we de tangens kennen kunnen we steeds de hoek berekenen. We gebruiken hiervoor onze zakrekenmachine.

De tangens van de hoek α is gegeven Bereken deze hoek : 2nd

tan

(bv. 0,64940975)

0,64940975 = 33o

Oefening 3 : Bereken met je ZRM de hoek als de tangens gegeven is. tan α = 0,817 ⇒ α = .................................. tan α = 1,5 ⇒ α = .................................. tan α = 0,2 ⇒ α = ..................................


- 68 –

Naam: ……………………………………….…

Klas: ............

Sinus van een hoek ( boek pag 91)

rechthoekige driehoek

∆ OQ1P1

Grootte hoek

Oˆ = ......

Lengte overstaande rhz (in cm)

Q1 P1 = .......

Lengte schuine zijde (in cm)

OP1 = .......

lengte overstaande rhz lengte schuine z

Q1 P1 OP1

∆ OQ2P2

Oˆ = ......

Q2 P2 = .......

OP2 = .......

Q2 P2 OP2

∆ OQ3P3

Oˆ = ......

Q3 P3 = .......

OP3 = .......

Q3 P3 OP3

= ..............

= ..............

= ..............

Besluit: De scherpe hoeken van de drie driehoeken zijn ....................................................... De verhouding van de lengte van de overstaande rhz en de lengte van schuine zijde van die driehoeken blijft ook ............................


- 69 –

Naam: ……………………………………….… We noemen deze verhouding de sinus van de scherpe hoek. Sinus α = sin α =

Klas: ............

Lengte van de overstaande rechthoekzijde Lengte van de schuine zijde

Let op : Sinus van een hoek is een reëel getal.

Oefening : Bereken sin α voor de volgende opgaven lengte overstaande RHZ lengte schuine zijde

sin α =

=

.............. ...............

= ...............

lengte overstaande RHZ lengte schuine zijde

sin α =

=

.............. ...............

= ...............

sin α =

=

lengte overstaande RHZ lengte schuine zijde .............. ...............

= ...............


- 70 –

Naam: ……………………………………….… Klas: ............ Als we de hoek kennen kunnen we steeds de sinus van die hoek berekenen. We gebruiken hiervoor onze zakrekenmachine.


(bv. 33o)

Bereken de sinus van deze hoek : sin

33o

= 0,544639

Oefening 2 : Bereken met je ZRM de sinus tot op 0,00001 nauwkeurig sin 45 o = ................................... sin 30 o = .................................... sin 60 o = ...................................... sin 33 o 22' 15 " = .............................. sin 87 o 15 ' 22" = .............................. Als we de sinus kennen kunnen we steeds de hoek berekenen. We gebruiken hiervoor onze zakrekenmachine.

De sinus van de hoek α is gegeven Bereken deze hoek : 2nd

sin

(bv. 0,544639) 0,544639 = 33o

Oefening 3 : Bereken met je ZRM de hoek als de sinus gegeven is. sin α = 0,817 ⇒ α = .................................. sin α = 0,5 ⇒ α = .................................. sin α = 0,2 ⇒ α = ..................................


- 71 –

Naam: ……………………………………….…

Klas: ............

Cosinus van een hoek (boek pag 93)

rechthoekige driehoek

∆ OQ1P1

Grootte hoek

Oˆ = ......

Lengte aanliggende rhz (in cm)

OQ1 = .......

Lengte schuine zijde (in cm)

OP1 = .......

lengte aanliggende rhz lengte schuine zijde

OQ1 OP1

∆ OQ2P2

Oˆ = ......

OQ2 = .......

OP2 = .......

OQ2 OP2

∆ OQ3P3

Oˆ = ......

OQ3 = .......

OP3 = .......

OQ3 OP3

= ..............

= ..............

= ..............

Besluit: De scherpe hoeken van de drie driehoeken zijn ....................................................... De verhouding van de lengte van de aanliggende rhz en de lengte van schuine zijde van die driehoeken blijft ook ............................


- 72 –

Naam: ……………………………………….… We noemen deze verhouding de cosinus van de scherpe hoek.

Cosinus α = cos α =

Klas: ............

Lengte van de aanliggende rechthoekzijde Lengte van de schuine zijde

Let op : Cosinus van een hoek is een reëel getal.

Oefening : Bereken cos α voor de volgende opgaven

cos α =

=

lengte aanliggende RHZ lengte schuine zijde .............. ...............

= ...............

cos α =

=


= ...............

cos α =

=


= ...............


- 73 –

Naam: ……………………………………….…

Klas: ............

Als we de hoek kennen kunnen we steeds de cosinus van die hoek berekenen. We gebruiken hiervoor onze zakrekenmachine.


(bv. 33o)

Bereken de cosinus van deze hoek : cos

33o

= 0,8386705

Oefening 2 : Bereken met je ZRM de cosinus tot op 0,00001 nauwkeurig cos 45 o = ................................... cos 30 o = .................................... cos 60 o = ...................................... cos 33 o 22' 15 " = .............................. cos 87 o 15 ' 22" = .............................. Als we de cosinus kennen kunnen we steeds de hoek berekenen. We gebruiken hiervoor onze zakrekenmachine.

De cosinus van de hoek α is gegeven Bereken deze hoek : 2nd

cos

(bv. 0,8386705)

0,8386705 = 33o

Oefening 3 : Bereken met je ZRM de hoek als de cosinus gegeven is. cos α = 0,817 ⇒ α = .................................. cos α = 0,5 ⇒ α = .................................. cos α = 0,2 ⇒ α = ..................................


- 74 –

Naam: ……………………………………….…

Klas: ............

Rekenen in een rechthoekige driehoek

Stelling van Pythagoras : ∆ABC is rechthoekig in Aˆ

⇔ a2 = b2 + c2

∆ABC is rechthoekig in Aˆ

⇔ (SCHZ ) = (RHZ 1 ) + (RHZ 2 )

2

2

tan α =

Lengte van de overstaande rechthoekzijde = Lengte van de aanliggende rechthoekzijde

AC b = c AB

sin α =

Lengte van de overstaande rechthoekzijde Lengte van de schuine zijde

AC b = a BC

cos α =

Lengte van de aanliggende rechthoekzijde Lengte van de schuine zijde

=

=

2

AB c = a BC

Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 4: Driehoeksmeting Naam: ……………………………………….… Opgave pag 102 nr. 12 : Bereken x a.

b.

c.

d.

e.

- 75 – Klas: ............

Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 4: Driehoeksmeting Naam: ……………………………………….…

- 76 – Klas: ............

f.

g.

h.

Opgave pag 103 nr. 13 : Los de volgende rechthoekige driehoeken op: dit betekent dat je de maatgetallen van de lengten en de niet-gegeven zijden en de grootten van de nietingegeven hoeken moe berekenen. a. Geg: ............. = 12 ............. = 22o , Aˆ = ................. gevr: b = ? , c= ? , Cˆ = ................. Opl:

Bˆ = ................. c :

..............................................

b :

..............................................

Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 4: Driehoeksmeting b.

- 77 –

Naam: ……………………………………….… Geg: ............. = 5

Klas: ............

............. = 13 , gevr: b = ? ,

Aˆ = .................

Cˆ = ?

Bˆ = ? Opl: Cˆ : ................ ............................... .......................................................... .......................................................... Bˆ : ....................................... b : .............................................. ..........................................................

Opgave pag 103 nr. 14 : Bereken x a.

b.

Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 4: Driehoeksmeting Naam: ……………………………………….… c.

d.

e.

f.

- 78 – Klas: ............

Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 4: Driehoeksmeting Naam: ……………………………………….… g.

Opgave pag 103 nr. 15 : Bereken x. Er is telkens een constructie nodig. a.

b.

c.

- 79 – Klas: ............

Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 4: Driehoeksmeting Naam: ……………………………………….…

- 80 – Klas: ............

d.

Opgave pag 103 nr. 16 De zon staat 70o hoog en geeft voor een persoon een schaduw van 60 cm. Hoe groot is die persoon?

Opgave pag 103 nr. 17 Een weg heeft een helling van 8o. Men legt op die weg 1 km af. Hoeveel meter is men gestegen?


- 81 –

Naam: ……………………………………….… Eigenschappen van de goniometrische getallen: (boek pag 98)

Klas: ............

Eigenschap 1

=

........ ........

Sin (90o - α ) =

........ ........

Sin α

cos α

=

........ ........

=

........ ........

cos (90o - α )

Besluit: sin α =

cos (90o - ...........)

cos α = sin (90o - ...........)

Eigenschap 2: sin α

=>

=

sin α = cos α =

Besluit :

tan α =

sin α cos α

........ ........

....... ..... ...... ...... ....... .......

cos α

=

=

..... ..... ⋅ ..... .....

= .........α

........ ........


- 82 –

Naam: ……………………………………….…

Klas: ............

Eigenschap 3 – !!! GRONDFORMULE !!! sin α 2 + cos α 2 = ............................... = ............................... = ............................... = ...............................

Besluit:

Grondformule : sin 2 α + cos 2 α = 1

Oefeningen: We geven één van de getallen sin α en cos α. Bereken het andere getal en ook de tangens en dit zonder de hoek te bereken. a. 4 sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1 − sin 2 α sin α = 5 ⇒ cos 2 α = ..................... = ....................... = ....................... = .......................

⇒ cos α = cos 2 α = ...................

tan α =

sin α ......... ....... ........... = = ⋅ cos α ......... ...... .......... = ......................................

Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 4: Driehoeksmeting b.

- 83 –

Naam: ……………………………………….… Klas: ............ 7 sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1 − sin 2 α sin α = 25

⇒ cos 2 α = ..................... = ....................... = .......................

⇒ cos α =

cos 2 α

= ...................

tan α =

sin α ......... ....... ........... = = ⋅ cos α ......... ...... .......... = ......................................

c.

cos α =

15 17

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α = 1 − cos 2 α

⇒ sin 2 α = ..................... = ....................... = ......................

⇒ sin α =

sin 2 α

= ...................

tan α =

sin α ......... ....... ........... = = ⋅ cos α ......... ...... .......... = ......................................

Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 4: Driehoeksmeting Naam: ……………………………………….… Oefening: Vereenvoudig

- 84 – Klas: ............

a. sin 3 α + sin α ⋅ cos 2 α = ................................................. = .................................................. = ...................................................

b.

( (

) )

cos 90 o − α ............................. = o ............................... sin 90 − α = ..................................

c. sin α + cos α ⋅ tan α = ....................................... = ....................................... d.

cos α 1 : = ............................................. sin α tan α = ............................................... = ...............................................

Samenvatting: sin α =

tan α =

cos (90o -

...........) en

cos α =

............. ............

Grondformule : sin 2 α + cos 2 α = ..................

sin (90o - ...........)

Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 4: Driehoeksmeting Naam: ……………………………………….… Sin 45°, cos 45°, tan 45° ( boek pag 96)

- 85 – Klas: ............

Berekening van de lengte van de schuine zijde : a = ......................................................................... Met de definities van sin, cos en tan vinden we dan: Sin 45° = .................................................................

Cos 45° = ................................................................

Tan 45° = ................................................................

Sin 60°, cos 60°, tan 60° ( boek pag 97) a = ......................................................................... c = ......................................................................... Sin 60° = .................................................................

Cos 60° = ................................................................

Tan 60° = ................................................................

Sin 30°, cos 30°, tan 30° ( boek pag 98) a = ......................................................................... b = ......................................................................... Sin 30° = .................................................................

Cos 30° = ................................................................

Tan 30° = ................................................................

Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 4: Driehoeksmeting Naam: ……………………………………….… Toepasingen in de ruimte: ( boek pag 104)

- 86 – Klas: ............

Geg : Een kubus ABCDA’B’C’D’ Zijde van de kubus : z Gevr : Bepaal de grootte van de scherpe hoek α die een diagonaal in een hoekpunt maakt met een zijvlaksdiagonaal Oplossing: Bepalen van de lengte van de diagonaal [ BD ]

BD

2

= .......................................

⇒ BD = .....................................

Bepalen van de lengte van de diagonaal [B' D ] .

B' D

2

= ....................................... = .......................................

⇒ B' D = ..................................... Bepalen van de hoek α :

tan α =

.......... = ..........

.............. .............

⇒ α = .............................. = ................................

=

............... ..............

Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 4: Driehoeksmeting Naam: ……………………………………….… Oefening pag 105 nr. 22

- 87 – Klas: ............

De afmetingen van een balk ABCDA’B’C’D’ zijn : 8 cm, 15 cm, 6 cm Bereken de grootte van de scherpe hoek die de diagonaal [A' C ] maakt met de zijvlaksdiagonaal [AC ]. Geg: ................................. ................................. ................................. Gevr: .............................. Oplossing:

Bepalen van de lengte van de diagonaal [ AC ]

AC

2

= ....................................... = ........................................

⇒ AC = .....................................

Bepalen van de hoek α

tan α =

.......... = ..................... ..........

⇒ α = .............................. = ................................


- 88 –

Naam: ……………………………………….… Opgave pag 105 nr.25

Klas: ............

Voor de piramide TABCD geldt : • Het grondvlak ABCD is een rechthoek met afmetingen 4 cm en 3 cm. • Het lijnstuk [TS ] is 6 cm lang en staat loodrecht op SA, SB, SC, SD. Bereken: a) de lengte van de opstaande ribbe [TA] b) de grootte van TAˆ S Oplossing:

Bepalen van de lengte van [ AS ] AC

2

= ....................................... = ........................................

⇒ AC = .................................. ⇒ AS = .................................

Bepalen van de lengte van [ AT ] en de grootte van de hoek α ( TAˆ S ) AT

2

= ....................................... = ........................................

⇒ AT = ..................................

tan α =

⇒ α = ..........................

= ............................

Hoofdstuk 4 : Driehoeksmeting

Recommend Documents