Gyökvonás 1.
2.
Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) 33 4 vagy 23 11 c) 24 10 vagy 34 2
d) 2 5 2 11 vagy
64 8 55
4 2 2 7 vagy
60 16 14
e)
Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! 2 a) 3 72 2 32 18 3 2 b) 3 12 75 4 48 5 c) 2 4 160 3 4 810 4 6250
g)
2 3 2 2 5 23
h)
7 5 7 3
i)
a 4 a3 a
d) 23 8a 4 5 3 a 4 43 27a 4
j)
e) 3 3 125a 6b 4 3 8a 3b 7 a3 27a 3b 4
k) 7 24 7 24
f) 3. a) b) c) 4. a)
5
3
12 3 7 3 12 3 7 2
a3 a a
Gyöktelenítsd a következő törtek nevezőjét! 4 5 3 d) 3 5 35 3 6 10 e) 4 3 33 5 7 2 7 2 Mely valós számokra értelmezhetők a következő kifejezések? 2 b) 3x 2 75 3x 15
7
f)
7
2 a4
Másodfokú egyenlet 1. Írd fel a gyöktényezős alakot! a) x2 – 5x + 6
b) x2 + 8x +15
c) 2x2 – 7x + 3
d) -3x2 – 8x + 3
8 e) x 2 x 1 3
2. Írd fel azt a másodfokú egyenletet, melynek gyökei: a) 2 és 5
b) -7 és 0
c)
1 és – 4 2
d)
4 3 és 3 4
e)
3 és 4 5
f) -3 és 3
3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! a) x2 – 4x + 5 = 0
b) 3x2 + 4x – 1 = 0
c) -2x2 + 5x – 4 = 0
d) 56x2 – 43x + 23 = 0
4. Határozd meg a p paraméter értékét, hogy az egyenletnek egy valós gyöke legyen! a) px2 + 4x – 5 = 0
b)
-5x2 + px – 12 = 0
c) 24x2 – 16x + p = 0
d) –px2 – x – 1 = 0
5. Határozd meg a p paraméter értékét, hogy az egyenletnek az 5 legyen az egyik gyöke! a) px2 + 4x – 5 = 0
b)
-5x2 + px – 12 = 0
c) 24x2 – 16x + p = 0
d) –px2 – x – 1 = 0
6. Oldd meg a következő egyenleteket! a) x2 – 10x + 25 = 0
b) x2 + 7x + 6 = 0
e) x2 + 7x + 8 = 3 – x2
f) (x +5)(8 – x) = 47
h) (x + 2)2 – 3(5 – 2x) = 11(x – 1)
6 2 7x 4 14 x 5 5 2 1 o) x 2 2x 2 x k)
r) 4x4 – 9x2 + 2 = 0
l)
c) 8x2 – 14x + 3 = 0
d) 4x2 – 20x + 27 = 0
g) 3(x2 + 2x) = 13 – x(1 + 3x)
x3 8 2 x3 1 1 1 n) x x 1
i) (x – 4)2 + 4(2x – 5) = 0
j)
2x 1 3 2x 1 x m) 3 4 x 3x 4 x4 x2 5x x 7 12( x 2) 2 p) q) x4 – 2x2 – 15 = 0 x3 x3 x 9 s) x6 + x3 – 72 = 0
t) (x + 1)4 = 2(x + 1)2 + 3
u)
3x 1 2 0
v)
x 13 13 x 1
x)
x 4 3 x
y)
4 x 3 3x 2
w) z)
2x 1 5 x
3x 9 3 5 x
7. Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket! a) x2 – 4x + 3 > 0 0
b) x2 – 7x + 20 > 0
e) -3x2 + 5x + 2 0
f) 6x2 + x < 2
i) (2x – 1)(5 – 4x) 0
j) 3x(x + 4) < 0
c) 3x2 + x – 2 < 0
d) 4x2 +12x + 9
g) x2 x + 12
h) x2 + 5x < 8x + 18
k) - 2x2 + 8x – 8 < 0
l) (3x – 1)2 > 1
c) I. 2y + 4x = x2 + 2 II. y – x = 1
d) I. x2 + y2 = 4 II. (x – 5)2 + y2 = 10
8. Oldd meg a következő egyenletrendszereket! a) I. x2 + y2 = 4 II. y – x = 2
b) I. x2 – y2 = 12 II. x – y = 3
9. Két szám szorzata 91, összege 20. Melyik ez a két szám? 10. Két szám szorzata 56, összege 15. Melyik ez a két szám? 11. Hány olyan valós szám van, és melyek azok, amelyeknek a harmadát és az ötödét összeszorozva a szám tizenötszörösét kapjuk? 12. Két szomszédos pozitív egész számot összeszorozva, a szorzat 169-cel lesz nagyobb, mint a kisebbik szám. Melyik ez a két szám? 13. Két egymás után következő pozitív páratlan szám szorzata 6083. Melyik ez a két szám? 14. Egy üzleti tárgyalás résztvevői kézfogással köszöntötték egymást. Összesen 136 kézfogástörtént. Mindenki mindenkivel pontosan egyszer fogott kezet. Hányan voltak a találkozón?
15. Karácsonykor az osztály tagjai úgy döntenek, hogy mindenki megajándékoz mindenkit egy jelképes ajándékkal. Hányan járnak az osztályba, ha összesen 756 kis ajándék került átadásra? 16. Egy négyzet egyik oldalát 2 cm-rel megnöveljük, a másik oldalát ugyanennyivel csökkentjük. Az így kapott téglalap területe 45 cm2. Mekkora volt a négyzet oldala? 17. Egy téglalap egyik oldala 23 cm-rel hosszabb a másiknál. Átlója 37 cm. Mekkora a területe? 18. Egy téglalap kerülete 60 dm, területe 221dm2 . Mekkorák az oldalai? 19. Hány oldalú az a két sokszög, melyben az oldalak számának összege 20, az átlóké 79? 20. Egy konvex sokszög átlóinak a száma 77. Hány oldalú a sokszög?
1. Oldd meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a)
x 52x 3 3x x 42x 5 7
b)
2x 10x 6 9x 3x 2x 7 43
c)
3x x 2 3 7 x 5 4 6 12
d)
2 x 2 4 3x 1 x 2 6 4 3
e)
2x x 2 x 2 12 x 2 x 2 x2 4
f)
5x 7 x 12x 2 2 x 3 3 x x 9
2. Szöveges feladatok: a) Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 17 cm, átfogója 13 cm, mekkorák a befogói? b) Egy téglalap területe 96 cm2, kerülete 38 cm. Milyen hosszúak az oldalai? c) Egy tört számlálója 3-mal nagyobb a nevezőjénél. Ha a törthöz hozzáadjuk a reciprokát, 2,9 -et kapunk. Melyik ez a tört? 58 d) Egy tört számlálójának és nevezőjének az össze 10, ha a törthöz hozzáadjuk a reciprokát, -et 21 kapunk. Melyik ez a tört? e) Egy kétjegyű számban a tízesek helyén álló számjegy 2-vel nagyobb, mint az egyesek helyén álló. Ha a számjegyeket felcseréljük, és az eredeti számot megszorozzuk a felcserélttel, 2755-öt kapunk. 3. Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) 2 x 2 5x 3 b) 2 x 2 9 x 4
c) 3x 2 7 x 2 d) x 2 7 x 10
e) 2 x 2 3x 1 f) 4 x 2 11x 6
4. Egyszerűsítsd a következő törteket! a)
x 2 6x 8 x2 x 2
b)
3x 2 5 x 12 2x 2 7x 3
c)
6 x 2 13x 5 4x 2 9
d)
2 x 2 5x 3 3x 2 4 x 1
5. Írj fel olyan egyenletet, amelynek gyökei:
2 3 c) 3 és -6 e) 0 és 7 d) és -5 5 4 6. A p paraméter mely értékeire lesz az 2 x 2 5x p 0 ; 3x 2 7 x 2 p 0 ; 3x 2 px 7 0 egyenleteknek a) 2 és -4
b) 7 és
a) Két különböző valós gyöke? b) Egy valós gyöke?
c) 0 valós gyöke? d) két pozitív valós gyöke?
e) két negatív valós gyöke? f) két különböző előjelű valós gyöke?
g) az egyik gyöke 0?
7. Milyen p értékekre lesz a következő egyenlet egyik gyöke -4? a) x 2 2 x p 0 b) 3x 2 px 7 0
c) px 2 4 x 10 0 d) 3x 2 7 x 2 p 0
e) x 2 px 5 0
8. Oldd meg az alábbi magasabb fokú egyenleteket! a) x 4 4 x 2 45 0 b) 8x 6 7 x 3 1 0 c) x 8 13x 4 48 0 9. Oldd meg az alábbi négyzetgyökös egyenleteket! a) 3x 4 3 2 x 1 b) 7 2 x 5 2 x c) 2 x 7 x 8 10. Oldd meg az alábbi egyenlőtenségeket a valós számok halmazán, a megoldást ábrázold számegyenesen! a) x 2 5x 6 0 b) x 2 12 7 x
c) x 2 5x 6 3x 6 d) 3x 10 x 2
Geometria 1. Egy kör adott ívén nyugvó kerületi és középponti szög nagyságának összege 222°. Számítsd ki a kerületi és a középponti szög nagyságát! 2. Egy kör adott ívén nyugvó kerületi és középponti szög nagyságának különbsége 22°. Számítsd ki a kerületi és a középponti szög nagyságát! 3. Mekkora kerületi szög tartozik a kör azon ívéhez, amelynek hossza a kör kerületének 22%-a? 4. Egy háromszög a oldala a köré írható kör középpontjából 22°-os szög alatt látszik. Mekkora az A csúcsnál lévő szög? (a oldal az A csúccsal szemben van) 5. Egy húrnégyszög két szöge 122° és 22° nagyságú. Hogyan helyezkednek el ezek a szögek? Mekkorák a négyszög hiányzó szögei? 6. Egy háromszög oldalai: a= 12 cm, b= 14 cm, c=16 cm. Egy ehhez hasonló háromszög leghosszabb oldala 15 cm. Mekkora a hasonlóság aránya, mekkora a háromszög legrövidebb oldala? 7. Egy háromszög oldalai: a= 12 cm, b= 14 cm, c=16 cm. Egy ehhez hasonló háromszög leghosszabb oldala 15 cm. Mekkora a hasonlóság aránya, mekkora a háromszög legrövidebb oldala? 8. Egy háromszög oldalai: a= 12 cm, b= 14 cm, c=16 cm. Egy ehhez hasonló háromszög leghosszabb kerülete 28 cm. Mekkora a hasonlóság aránya, mekkora a háromszög legrövidebb oldala? 9. Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága 2 cm és 8 cm hosszú szakaszokra osztja az átfogót. Milyen hosszú az átfogóhoz tartozó magasság? 10. Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága 2 cm és 8 cm hosszú szakaszokra osztja az átfogót. Számítsd ki a háromszög egyik befogójának hosszát! 11. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, átfogója 10 cm. Milyen hosszú szakaszokra osztja az átfogót a magasság? 12. Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága 6 cm, az átfogót a magasság két szakaszra osztja, amelyek közül az egyik 4 cm hosszú. Milyen hosszú a másik szakasz?
13. Egy háromszög oldalai: a= 12 cm, b= 14 cm, c=16 cm. Az A csúcsból induló szögfelező milyen hosszú szakaszokra osztja az a oldalt? 14. Egy adott körhöz egy külső P pontból húzott szelőnek a körrel vett metszéspontjai P-től 4 cm és 16 cm távolságra vannak. Milyen hosszú érintőszakasz húzható P-ből. 15. Egy adott körhöz egy külső P pontból 6 cm hosszú érintőszakasz húzható. Egy P pontból húzott szelő egyik metszéspontja a körrel 4 cm távolságra van a P ponttól. Milyen hosszú húrt metsz ki a szelőből a kör? 16. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, az átfogóhoz tartozó magasság 4 cm. Mekkorák a háromszög hiányzó oldalai, Milyen hosszú szakaszokra osztja az átfogót a magasság? 17. Egy trapéz oldalai: a=10 cm, b= 5 cm, c=6 cm, d=4 cm. Mekkorák a trapézt háromszöggé kiegészítő trapéz oldalai? 18. Egy kör sugara r=6 cm, középpontja az O pont, ettől 10 cm-re van a P pont (OP=10 cm). A P pontból a körhöz húzott szelő A és B pontokban metszi a kört. Tudjuk, hogy PB=10 cm. Milyen hosszú az AB húr? 19. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, az átfogója 13 cm. Mekkora a háromszög másik befogója, az átfogóhoz tartozó magassága és milyen hosszú szakaszokra osztja az átfogót a magasság? 20. Egy paralelogramma oldalai AB=15 cm és DA=10 cm. A P pont a BC oldalt 2: 3 arányban osztja két részre. A DP egyenes E pontban metszi az AB egyenesét. Milyen hosszú a BE szakasz? Szögfüggvények 1. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! a. 4 sin 30 4 cos 45 2 ctg 45 b. sin 60 tg 60 3 tg 45 6 cos 45 2 sin 45 c. 6 cos 60 tg 45 d.
sin 602 cos 452
4 sin 45 4 cos 60 2 ctg 45
e.
sin 60 tg 30 3 ctg 45 6 cos 30 2tg 60 g. 6 tg 45 cos 60 f.
h.
sin 452 cos 302
2. A derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítása a) Egy derékszögű háromszög átfogója 20 cm-es és az egyik szöge 40°-os. Számítsd ki a befogók hosszát! b) Egy derékszögű háromszögben ismert a 18 cm-es befogó és a mellette lévő 18°-os szög. Határozd meg a másik befogó és az átfogó hosszát! c) Egy derékszögű háromszög két befogójának hossza 12 cm és 20 cm. Mekkorák a háromszög szögei? d) Egy derékszögű háromszög 17 cm-es befogójával szemközti szöget keressük, ha tudjuk, hogy az átfogója 25 cm hosszú 3. Szöveges feladatok a. Egy hegyi út emelkedése 12%. Mekkora az út emelkedési szöge a vízszinteshez képest? b. Egy lejtő a vízszintessel 15°-os szöget zár be, és 20 m magasra visz. Milyen hosszú a lejtő? c. Egy téglalap átlója 15 cm, az egyik oldallal 24°15’ szöget zár be. Mekkorák az oldalai? 4. Egyenlőszárú háromszögek, téglalapok, rombuszok, parallelogrammák a. Egy téglalap rövidebb oldala 8,2 m, átlóinak hajlásszöge 38°. Mekkorák az oldalai? b. Egy rombusz egyik átlója 32 cm. Ez az átló az 50°-os szögek csúcsait köti össze. Milyen hosszú a másik átló és a rombusz oldala? 5. Térelemek hajlásszöge a. Egy téglatest alapélei 12 cm és 20 cm hosszúak, magassága 10 cm. Mekkora szöget zár be az alaplap a testátlóval? Mekkora szöget zár be a testátló az alapélekkel? 6. Tornyok, hegycsúcsok és egyéb magasan lévő tárgyak a. Egy nyárfától 25 m távolságra áll egy ember, akinek a szemmagassága 170 cm, így a nyárfát 28°-os szögben látja. Milyen magas a nyárfa?
b. Egy épülettől 28 m távolságra az épület egyik ablakának felső széle 19°40’, alsó széle 16°30’ emelkedési szög alatt látszik. Milyen magas az ablak? c. Egy domb tetején lévő kápolnához 200 m hosszú egyenes út vezet. Az út emelkedési szöge 18°. Az út elejéről a kápolna 7°-os szög alatt látszik. Milyen magas a kápolna? 7. Területszámítás a. Egy háromszög két oldala 12 cm és 16 cm, a közbezárt szög 40°. Mekkora a háromszög területe? b. Egy háromszög területe 40 cm2, két oldala 8 cm és 13 cm hosszú. Mekkora a közbezárt szög? c. Egy háromszög a oldala 8 cm, γ=30°, területe 48 cm2. Mekkora a b oldala? 8. Számítsd ki az hegyesszög többi szögfüggvényét, ha a. sin=0,3 b. cos=0.54 c. tg=4 d. ctg=2,5! Szögfüggvények 1. Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényeket! a. f x 2 sin x 1 d. ix 2 cosx 60 1 b. g x cos x 2 e. j x sin x 2 2 c. hx sin 2 x 1
f.
1 1 k x cos x 2 2
Statisztika, kombinatorika, gráfok 1.
Az 1,1,1,1, 2,2,2, 4,4,4, számjegyekből hány 41-gyel kezdődő 10 jegyű szám készíthető?
2. Hány páros hatjegyű szám készíthető a 0, 2, 3,5,6.7 számjegyek felhasználásával, ha minden számjegy csak egyszer szerepelhet? 3. Két kockával dobunk. Mi a valószínűsége annak, hogy a dobott pontok összege 8? 4. Egy repülőgépen 24 magyar 18 német és 12 francia utas utazik, más nem. Az utasok közül egy személyt véletlenszerűek kiválasztva mi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott személy a) magyar b) nem német c) orosz d) nem angol 5. Egy fagylaltárusnál hétféle fagylalt van. Valaki szeretne egy négygombócos fagylaltot venni. Hányféleképpen teheti meg, ha a a négy gombóc különböző, és a sorrend is számít, mert tölcsérbe kapja b a négy gombóc lehet egyforma is, és tölcsérbe kapja c a négy gombóc különböző, és a sorrend nem számít, mert kehelybe kéri 6. Egy öttagú társaságban a házigazda mindenkit ismer, minden egyes vendége pedig pontosan két embert ismer. (Az ismeretségek kölcsönösek.) Szemléltesse rajzzal az ismeretségeket! 7. A fizika órai tanulókísérlet egy tömegmérési feladat volt. A mérést 19 tanuló végezte el. A mért tömegre gramm pontossággal a következő adatokat kapták: 37, 33, 37, 36, 35, 36, 37, 40, 38, 33, 37, 36, 35, 35, 38, 37, 36, 35, 37. a) Készítse el a mért adatok gyakorisági táblázatát! b) Mennyi a mérési adatok átlaga gramm pontossággal? c) Mekkora a kapott eredmények mediánja, módusza? d) Készítsen oszlopdiagramot a mérési eredményekről!
