M/D/13 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM
Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája (intenzív tagozat) 2003. május
!"#$ (
) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 5 3 2 + =2 12 4 6 3
% &%
Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: 9 + 10 = 24 8
Innen rendezés után
2 pont
=24
1 pont 2 pont
Ez racionális szám, és kielégíti az egyenletet.
' ()*#+ , ,-.. !"#$
4 pont
Összesen:
9 pont
„A megoldás kielégíti az egyenletet” megállapítást behelyettesítéssel ellenőrzés, illetve ekvivalens lépésekre vagy zsebszámológéppel való számolásra hivatkozás esetén fogadjuk el.
&
&
( ) Egy trapéz egyik alapja 4 8 cm, a többi három oldala 3 2 cm hosszúságú. Mekkora a trapéz területe? Mekkorák a szögei?
1
3 2
/1 1/ 0 02 1 2
3 2
| {z }
3 2
4 8
A trapéz területe
Behelyettesítés után
| {z }
65 &
A feltételek szerinti trapéz szimmetrikus (ábra). Ezért az ábrán -szel jelölt szakaszok hossza: 48 32 = = 0 8 cm 2 Az ábrán vonalkázással jelölt háromszögből Pitagorasz tételével
& & & % 3 & &% 3 4& 5& % 678 9 : 3 ; 2
+ 0 82 = 3 22
1 pont 2 pont
1 pont
Innen a trapéz magassága
12 4 cm2 .
=
96
=
3 1 (cm)
+ 2
1
2 pont
;
2 pont
&& & % 5 & %
A trapéz hegyesszöge a bevonalkázással jelölt háromszögből kiszámítható, például: 08 = 0 25 cos = 32 Innen 75 52 . A trapéz tompaszögeinek nagysága: 104 48 180
5&
2 pont 1 pont 1 pont
() Egy számtani sorozat első három tagjának az összege 30-cal kisebb, mint a következő három Összesen:
12 pont
!"#$
tag összege. Az első hat tag összege 60. Melyik ez a sorozat?
% 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 % 9 9 % % 999999 9 9 9 9 9 9 % 99 % 9 ;
A feladat első feltétele szerint
1
Az elemeket
1 -gyel
+
2
+
3
+ 30 =
+
4
5
+
2 pont
6
és -vel kifejezve a következő egyenlethez juthatunk: 1
+
1
+
+
1
+ 2 + 30 =
1
+3 +
1
+4 +
1
2 pont
+5
Az egyenlet alakja összevonás után:
3
Innen
1
+ 3 + 30 = 3 =
1
+ 12
10 3
2 pont
A feladat második feltétel szerint
9
1
1 -gyel
+
2
+
3
+
5
+
+3 +
1
4
+
6
1 pont
= 60;
és -vel kifejezve: 1
+
1
+
+
1
+2 +
1
+4 +
1
+ 5 = 60
Az összevonás után
6
2
vagy
Ebbe az egyenletbe
innen
1
9 1
=
+ 15 = 60
1
2 pont
+ 5 = 20
fent kapott értékét helyettesítve kapjuk: 10 2 1+5 = 20; 3
5 . 3
A keresett sorozat első eleme tehát és a szövegben történő ellenőrzés:)
2 pont
5 10 , differenciája ; és ez megfelel a feladat feltételeinek. (A válasz 3 3
' ()*#+
Összesen:
A feladat más jelölésekkel rövidebben is megoldható. A tanuló bármely helyes megoldás esetén a teljes pontszámot kapja meg. 2
2 pont 13 pont
,. !"#$
/ /
( ) Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái ( 3; 2), (6; 0) és (0; 8). Határozza meg a háromszög magasságpontjának koordinátáit!
Jelölje a háromszög csúcspontjait rendre , , . A háromszög magasságvonalai a csúcsból a szemközti oldalra bocsátott merőlegesek. Metszéspontjuk a magasságpont. Kiszámításához elegendő két magasságvonal egyenletét, pl. -ét és -ét felírnunk. Az egyenes normálvektora = = (9; 2). Felhasználva, hogy a magasság a ponton áthalad, az egyenes
(0; 8)
/
3 3 3
2 3 % 3 % &% & % 3
( 3; 2)
0
(6; 0)
egyenletébe behelyettesítve (1)
3
+
=
Az
2 =
9
+
0
egyenlete:
Az normálvektora = = (3; 6). Felhasználva, hogy ez az egyenes illeszkedik a (2)
0
2* pont 2 pont
2 pont
16
pontra,
2 pont
egyenlete:
2 pont
+2 =6
pont koordinátáit a
9
2 =
16
+2 =6
egyenletrendszer megoldása adja. Ez
=
1
és
3 pont
=35
A magasságpont koordinátái tehát
1 pont
( 1; 3 5)
' ()*# + 4 4 4 44 ; 4 4 4 4 % !"#$ 4 4& 4 4& 4 4& 4 4& 4 4& 4 4& 4 4% 4 4 4 44 ; ;44 4 4 & 4 4 44 %
Összesen:
14 pont
1. Az pont az egyenlete: 3 4 = 17 segítségével is megkapható. 2. A *-gal jelölt 2 pont egyértelmű ábra elkészítése esetén is megadható. (
) Számítsa ki a következő kifejezés pontos értékét! 2 12 4 27 + 3 75 + 7 8 3 18 4 48
3 27
5 18 + 2 50
Felhasználjuk, hogy 12 = 2 3
27 = 3 3
75 = 5 3
8=2 2
Ezeket az értékeket behelyettesítve a kifejezés alakja 4 3 12 3 + 15 3 + 14 2 9 2 16 majd összevonás után
7 3+5 2
7 3 3
18 = 3 2 3
5 2
9 3
48 = 4 3 és
15 2 + 10 2
50 = 5 2
4 pont 3 pont 2 pont
A szorzás eredménye
. !" #$
4 4 %
7 3
2
2 5 2 = 97
2 pont Összesen:
11 pont
( ) Egy labdarúgótornán összesen 156 mérkőzést játszottak a csapatok. Hány csapat vett részt a tornán, ha minden csapat minden csapattal kétszer játszott?
csapat vett részt a bajnokságban, mindegyik kétszer játszott a többi ( 1) csapattal. Így összesen ( 1) mérkőzést játszottak. (A játszmák fenti száma tartalmazza az csapat -vel, a csapat -val játszik esetet is; ezáltal tehát figyelembe vettük, hogy minden csapat minden csapattal kétszer játszott.) Ezért – a feltétel szerint – ( 1) = 156 Innen az
% % 2
másodfokú egyenlethez juthatunk. Ennek megoldásai
1
= 13
2 pont
1 pont
156 = 0
és
2
=
1 pont 2 pont
12
1 pont 1 pont 1 pont
Az utóbbi nem megoldása a feladatnak. Tehát 13 csapat vett részt a bajnokságban. Ez az érték megfelel a feladat feltételeinek (ellenőrzés).
() Bizonyítsa be a szinusztételt! * *#$
Összesen:
9 pont
A tétel kimondásáért és a teljes (hegyes-, tompa-, derékszögű) háromszög esetére is érvényes bizonyításáért Összesen:
4
12 pont
