A feladat megoldása során az Excel 2010 használata a javasolt. A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni:
Egyenletrendszerek megoldása Excelben. Solver használata. Mátrixműveletek és függvények (ismétlés).
A feladat megoldása hozzávetőlegesen 80 percet vesz igénybe.
A Fájl/Megnyitás parancs segítségével nyissuk meg a Nyers.xls nevű fájlt Excel 2010-ben. Soha ne dupla kattintással nyissuk meg a táblázatokat, ha olyan környezetben dolgozunk, ahol nem tudjuk, milyen program van az adott kiterjesztésű fájlhoz rendelve.
Oldjuk meg az Egyenlet munkalapon a következő egyenletrendszert az inverz mátrixos módszer segítségével! 2𝑎 − 2𝑏 + 4𝑐 + 𝑑 = 12 −3𝑎 + 3𝑏 − 2𝑐 + 8𝑑 = −48 𝑎 + 5𝑏 + 2𝑐 − 4𝑑 = 18 −2𝑎 − 4𝑏 + 3𝑐 + 19𝑑 = −72 Lépések: Legyen az együtthatómátrix A , a jobboldal oszlopvektora b !
1 2 2 4 3 3 2 8 A 1 5 2 4 2 4 3 19
12 48 b 18 72
Először ellenőrizzük le, hogy a A determinánsa nulla-e. Ha nem nulla, akkor folytathatjuk tovább a számítást az A (4 × 4-es méretű) inverz mátrixának a kiszámításával. A megoldás-
1
vektort az x A b egyenlettel lehet kiszámítani. A megoldásvektor egy 4 × 1-es méretű mátrix (4 dimenziós vektor) lesz. Az inverz mátrix megjelenési formátumát állítsuk be a determináns számjegyeinek megfelelően. Végezetül az egyenletbe való visszahelyettesítéssel ellenőrizzük le a megoldást. Ha b A x akkor a megoldás helyes. Az ellenőrzés során a megoldás visszahelyettesítése után számítsuk ki az oszlopvektorok különbségét is. A különbségvektor számformátuma tudományos legyen 5 tizedesjeggyel! Ezután számoljuk ki a megoldásvektort a Solver segítségével is. A továbbiakban a Solverrel készített vektort y -ként fogjuk jelölni. Első lépésként a megoldásvektor összes elemét állítsuk be egyre, majd számítsuk ki A y vektort. Majd állítsuk be a Solvert a következő ábra szerint. Figyeljünk arra, hogy célértéket nem kell beállítani és vegyük fel az A y b korlátozó feltételt. A Solver számítási pontosságát állítsuk át 1E-15-re.
Határozzuk meg az A y b vektort és hasonlítsuk össze az A x b vektorral. A Solverrel sokkal pontosabb eredményt kaptunk, mint az inverz mátrixszal.
A Végtelen munkalapon határozzuk meg a következő A x b egyenletrendszer megoldását. 3𝑥1 − 𝑥2 + 8𝑥3 + 3𝑥4 = 5 −2𝑥1 + 3𝑥3 − 𝑥4 = −13 4𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 + 4𝑥4 = 27 11𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 9𝑥4 = 58 Az együtthatómátrix felvétele után vizsgáljuk meg az A mátrix determinánsát. A determináns nulla, ezért a mátrix nem invertálható. Az eltolt mátrix determinánsát is nézzük meg. Az eltolt mátrixot úgy kapjuk meg, hogy elhagyjuk az első oszlopot és a végéhez hozzátesszük a b vektort. Az eltolt mátrix determinánsa is nulla, tehát az egyenlet nem ellentmondásos, van megoldása (végtelen sok megoldás van). Ilyen esetekben a legkisebb (vektorhosszú) megoldást szoktuk megadni. A továbbiakban ezt a feladatot oldjuk meg a Solver segítségével. Vegyük fel az x kiinduló koordinátáinak az egyet és számoljuk ki azok négyzetösszegét, majd számítsuk ki az A x vektort. Ezután töltsük ki a Solvert a következő ábra szerint. Ebben esetben a Solverben célértéket is be kell állítani, méghozzá a négyzetösszeg celláját kell megadni célértékként és azt kell minimalizálni ahhoz, hogy a legkisebb megoldást találjuk meg.
Oldjuk meg az Ellentmondó munkalapon a következő A x b alakú egyenletrendszert. 𝑎 + 5𝑏 + 13𝑐 + 𝑑 + 4𝑒 = 19 2𝑎 + 3𝑏 + 12𝑐 − 2𝑑 − 3𝑒 = 4 −4𝑎 + 7𝑏 + 3𝑐 − 5𝑑 + 𝑒 = −35 3𝑎 + 𝑏 + 4𝑐 + 2𝑒 = 14 2𝑎 + 16𝑏 + 32𝑐 − 6𝑑 + 4𝑒 = 5 Az együtthatómátrix felvétele után vizsgáljuk meg az A mátrix determinánsát. A determináns nulla, ezért a mátrix nem invertálható. Az eltolt mátrix determinánsát is nézzük meg. Az eltolt mátrixot úgy kapjuk meg, hogy elhagyjuk az első oszlopot és a végéhez hozzátesszük a b vektort. Az eltolt mátrix determinánsa nem nulla, tehát az egyenletrendszerben ellentmondás van. Ebben az esetben az egyenletrendszernek nincs megoldása. Ilyenkor egy közelítő megoldást lehet/tudunk megadni. Célunk tehát az, hogy az A x vektor minél közelebb kerüljön a b vektorhoz, azaz A x b négyzetösszegét fogjuk minimalizálni Solver segítségével. A megadásnál figyeljünk arra, hogy az A x b nem biztosítható!
Oldjuk meg a következő nemlineáris egyenletrendszert a Nemlin munkalapon! 𝐹(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 − sin(𝑥𝑦) − 3 = 0 𝐺(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 5𝑦 − 1 = 0
A megoldást a C2:C3 cellákban elhelyezett (0,9; 0,1) koordinátájú pontokból indítsuk! Az F2:F3 cellákban helyezzük el az F(x,y) és G(x,y) értékeket! Az ezekre vonatkozó korlátozó feltétel 1e-15 pontossággal a 0 legyen!
Mindkét egyenlet átalakítható explicit alakúra, azaz az y = yf(x) és y = yg(x) összefüggések felírhatók. Így mindkét függvény közös diagramon ábrázolható. Ábrázoljuk őket az x ∈ [0,7; 1,3] intervallumban! sin−1 (3𝑥 − 3) 𝑥2 − 1 𝑦𝑓(𝑥) = 𝑦𝑔(𝑥) = 𝑥 5
Végezetül mentsük el a munkafüzetet a táblázatkezelő saját formátumában Egyenletek néven. Gratulálunk! Ezzel elérkeztünk a példa végéhez.
© Dr. Szörényi Miklós, Boros Norbert, Dr. Kallós Gábor (SZE), 2013. Minden jog fenntartva
