Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
KMA/GPM — Barycentrick´e souˇradnice a troj´uheln´ıkov´e pl´aty Frantiˇsek Jeˇzek –
[email protected] Katedra matematiky Z´ apadoˇ cesk´ e univerzity v Plzni, 2008
19. dubna 2009
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
1
Troj´ uheln´ıkov´e pl´aty obecnˇe
2
Barycentrick´e souˇradnice
3
Zobecnˇen´ı Bernsteinov´ych polynom˚ u
4
Troj´ uheln´ıkov´y B´ezier˚ uv pl´at
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Z pl´atu ˇctyˇru ´heln´ıkov´eho lze vytvoˇrit pl´at troj´ uheln´ıkov´y tˇemito cestami: redukc´ı jedn´e strany hranice na bod – pro plochy urˇcen´e s´ıt´ı napr. volbou V0,n = · · · = Vm,n , teˇcn´ym napojen´ım dvou sousedn´ıch okrajov´ych kˇrivek – pro B´ezierovu plochu napˇr. pro n = m volbou V1,0 − V0,0 = V0,1 − V0,0
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Z pl´atu ˇctyˇru ´heln´ıkov´eho lze vytvoˇrit pl´at troj´ uheln´ıkov´y tˇemito cestami: redukc´ı jedn´e strany hranice na bod – pro plochy urˇcen´e s´ıt´ı napr. volbou V0,n = · · · = Vm,n , teˇcn´ym napojen´ım dvou sousedn´ıch okrajov´ych kˇrivek – pro B´ezierovu plochu napˇr. pro n = m volbou V1,0 − V0,0 = V0,1 − V0,0
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Barycentrick´e souˇradnice na pˇr´ımce Barycentrick´e souˇradnice (x0 , x1 ) bodu X na u ´seˇcce s krajn´ımi body P0 P1 definujeme pˇredpisem X = x0 P0 + x1 P1 a podm´ınkou x0 + x1 = 1 (x0 ≥ 0, x1 ≥ 0). Barycentrick´e souˇradnice v rovinˇe Barycentrick´e souˇradnice (x0 , x1 , x2 ) bodu X splˇ nuj´ı vztahy: X = x0 P0 + x1 P1 + x2 P2 , x0 + x1 + x2 = 1. Pokud xi ≥ 0, i = 0, 1, 2, n´aleˇz´ı bod X troj´ uheln´ıku P0 P1 P2 .
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Barycentrick´e souˇradnice na pˇr´ımce Barycentrick´e souˇradnice (x0 , x1 ) bodu X na u ´seˇcce s krajn´ımi body P0 P1 definujeme pˇredpisem X = x0 P0 + x1 P1 a podm´ınkou x0 + x1 = 1 (x0 ≥ 0, x1 ≥ 0). Barycentrick´e souˇradnice v rovinˇe Barycentrick´e souˇradnice (x0 , x1 , x2 ) bodu X splˇ nuj´ı vztahy: X = x0 P0 + x1 P1 + x2 P2 , x0 + x1 + x2 = 1. Pokud xi ≥ 0, i = 0, 1, 2, n´aleˇz´ı bod X troj´ uheln´ıku P0 P1 P2 .
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Simplex v En Simplexem v En rozum´ıme n + 1 line´arnˇe nez´avisl´ych bod˚ u Pi , i = 0, . . . , n. Barycentrick´e souˇradnice v En Barycentrick´e souˇradnice (x0 , x1 , . . . , xn ) bodu X vzhledem k simplexu P0 , . . . Pn definujeme pˇredpisem X=
n X
xi Pi
i=0
a podm´ınkou
Pn
i=0 xi
= 1,
(xi ≥ 0, i = 0, . . . n).
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Simplex v En Simplexem v En rozum´ıme n + 1 line´arnˇe nez´avisl´ych bod˚ u Pi , i = 0, . . . , n. Barycentrick´e souˇradnice v En Barycentrick´e souˇradnice (x0 , x1 , . . . , xn ) bodu X vzhledem k simplexu P0 , . . . Pn definujeme pˇredpisem X=
n X
xi Pi
i=0
a podm´ınkou
Pn
i=0 xi
= 1,
(xi ≥ 0, i = 0, . . . n).
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Geometrick´y v´yznam barycentrick´ych souˇradnic Vˇeta Pro barycentrick´e souˇradnice x0 , x1 , x2 bodu P vzhledem k troj´ uheln´ıku P0 P1 P2 plat´ı x0 =
O(4P0 PP2 ) O(4P0 P1 P) O(4PP1 P2 ) , x1 = x2 = O(4P0 P1 P2 ) O(4P0 P1 P2 ) O(4P0 P1 P2 )
D˚ ukaz: Z definice barycentrick´ych souˇradnic plyne: P = x0 P0 + x1 P1 + x2 P2 a x0 + x1 + x2 = 1, coˇz je soustava tˇr´ı rovnic pro nezn´ame x0 , x1 , x2 a jej´ı ˇreˇsen´ı (Cramerov´ym pravidlem) vede spolu s v´ypoˇctem obsahu troj´ uheln´ıka pomoc´ı velikosti vektorov´e souˇcinu vektor˚ u dvou stran k dokazovan´ym vztah˚ um.
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Geometrick´y v´yznam barycentrick´ych souˇradnic Vˇeta Pro barycentrick´e souˇradnice x0 , x1 , x2 bodu P vzhledem k troj´ uheln´ıku P0 P1 P2 plat´ı x0 =
O(4P0 PP2 ) O(4P0 P1 P) O(4PP1 P2 ) , x1 = x2 = O(4P0 P1 P2 ) O(4P0 P1 P2 ) O(4P0 P1 P2 )
D˚ ukaz: Z definice barycentrick´ych souˇradnic plyne: P = x0 P0 + x1 P1 + x2 P2 a x0 + x1 + x2 = 1, coˇz je soustava tˇr´ı rovnic pro nezn´ame x0 , x1 , x2 a jej´ı ˇreˇsen´ı (Cramerov´ym pravidlem) vede spolu s v´ypoˇctem obsahu troj´ uheln´ıka pomoc´ı velikosti vektorov´e souˇcinu vektor˚ u dvou stran k dokazovan´ym vztah˚ um.
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Bernstein˚ uv polynom v barycentrick´ych souˇradnic´ıch Zobecnˇen´y Bernstein˚ uv polynom definujeme vztahem n! i j k x x x , i + j + k = n, i!j!k! 0 1 2 Nutno je doplnit, ˇze 0! = 1 a q0 = 1.
n Bi,j,k (x0 , x1 , x2 ) =
x0 + x1 + x2 = 1.
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Vlastnosti zobecnˇen´ych Bernsteinov´ych polynom˚ u Vˇeta Pro x0 + x1 + x2 = 1 plat´ı X
n Bi,j,k (x0 , x1 , x2 ) = 1
i+j+k=n
Vˇeta Pro barycentrick´e souˇradnice x0 = 0, x1 + x2 = 1 a j + k = n plat´ı n B0,j,k (0, x1 , x2 ) = Bjn (x1 ) = Bkn (x2 )
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Vlastnosti zobecnˇen´ych Bernsteinov´ych polynom˚ u Vˇeta Pro x0 + x1 + x2 = 1 plat´ı X
n Bi,j,k (x0 , x1 , x2 ) = 1
i+j+k=n
Vˇeta Pro barycentrick´e souˇradnice x0 = 0, x1 + x2 = 1 a j + k = n plat´ı n B0,j,k (0, x1 , x2 ) = Bjn (x1 ) = Bkn (x2 )
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Troj´ uheln´ıkov´a s´ıt’ ˇ ıd´ıc´ı polygon zde nahrazuje troj´ R´ uheln´ıkov´a ˇr´ıd´ıc´ı s´ıt’ bod˚ u, jeˇz v pˇr´ıpadˇe n = 4 m´a podobu: V040 V031 V130 V022 V121 V220 V013 V112 V211 V310 V004 V103 V202 V301 V400 S´ıt’ tvoˇr´ı v obecn´em pˇr´ıpadˇe 21 (n + 1)(n + 2) bod˚ u. Jejich poˇcet se naz´yv´a troj´ uheln´ıkov´e ˇc´ıslo.
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Definice troj´ uheln´ıkov´eho pl´atu Oznaˇcme Vijk polohov´e vektory vrchol˚ u troj´ uheln´ıkov´e ˇr´ıd´ıc´ı s´ıtˇe. Indexy nab´yvaj´ı hodnot 0 aˇz n a pro kaˇzd´y bod plat´ı i + j + k = n. Pak troj´ uheln´ıkov´y B´ezier˚ uv pl´at pro tuto s´ıt’ je d´an rovnic´ı (u1 + u2 + u3 = 1): P(u1 , u2 , u3 ) =
i+j+k=n X i,j,k
n Vijk Bijk (u1 , u2 , u3 ).
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Vlastnosti troj´ uheln´ıkov´eho B´ezierova pl´atu Algoritmus de Casteljau D´ana je ˇr´ıd´ıc´ı troj´ uheln´ıkov´a s´ıt’ a trojice parametr˚ u (u1 , u2 , u3 ), u1 + u2 + u3 = 1. Urˇcujeme bod B´ezierovy plochy, kter´y odpov´ıd´a dan´ym parametr˚ um. Pro troj´ uheln´ıky s´ıtˇe urˇcujeme opakovanˇe (rekurentnˇe) body o barycentrick´ych souˇradnic´ıch dan´ych trojic´ı (u1 , u2 , u3 ). Po zredukov´an´ı s´ıtˇe na bod dost´av´ame bod plochy, kter´y odpov´ıd´a zadan´ym parametr˚ um.
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Vlastnosti troj´ uheln´ıkov´eho B´ezierova pl´atu Algoritmus de Casteljau D´ana je ˇr´ıd´ıc´ı troj´ uheln´ıkov´a s´ıt’ a trojice parametr˚ u (u1 , u2 , u3 ), u1 + u2 + u3 = 1. Urˇcujeme bod B´ezierovy plochy, kter´y odpov´ıd´a dan´ym parametr˚ um. Pro troj´ uheln´ıky s´ıtˇe urˇcujeme opakovanˇe (rekurentnˇe) body o barycentrick´ych souˇradnic´ıch dan´ych trojic´ı (u1 , u2 , u3 ). Po zredukov´an´ı s´ıtˇe na bod dost´av´ame bod plochy, kter´y odpov´ıd´a zadan´ym parametr˚ um.
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Vlastnosti troj´ uheln´ıkov´eho B´ezierova pl´atu Algoritmus de Casteljau D´ana je ˇr´ıd´ıc´ı troj´ uheln´ıkov´a s´ıt’ a trojice parametr˚ u (u1 , u2 , u3 ), u1 + u2 + u3 = 1. Urˇcujeme bod B´ezierovy plochy, kter´y odpov´ıd´a dan´ym parametr˚ um. Pro troj´ uheln´ıky s´ıtˇe urˇcujeme opakovanˇe (rekurentnˇe) body o barycentrick´ych souˇradnic´ıch dan´ych trojic´ı (u1 , u2 , u3 ). Po zredukov´an´ı s´ıtˇe na bod dost´av´ame bod plochy, kter´y odpov´ıd´a zadan´ym parametr˚ um.
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Vlastnosti troj´ uheln´ıkov´eho B´ezierova pl´atu Podm´ınka konvexn´ıho obalu – bod B´ezierovy plochy leˇz´ı v konvexn´ım obalu ˇr´ıd´ıc´ı s´ıtˇe. Afinn´ı invariance – pouˇzit´ı gener´atoru plochy a transformace je zamˇeniteln´e. Okrajov´ymi kˇrivkami troj´ uheln´ıkov´e B´ezierovy plochy jsou B´ezierovy kˇrivky urˇcen´e okrajov´ymi lomen´ymi ˇcarami troj´ uheln´ıkov´e s´ıtˇe. Napojen´ı pl´at˚ u ve tˇr´ıdˇe spojitosti C1 : okrajov´e troj´ uheln´ıky jsou koplan´arn´ı (dvojice troj´ uheln´ık˚ u leˇz´ı v jedn´e rovinˇe) a vˇsechny si odpov´ıdaj´ı v jedn´e afinn´ı transformaci.
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Vlastnosti troj´ uheln´ıkov´eho B´ezierova pl´atu Podm´ınka konvexn´ıho obalu – bod B´ezierovy plochy leˇz´ı v konvexn´ım obalu ˇr´ıd´ıc´ı s´ıtˇe. Afinn´ı invariance – pouˇzit´ı gener´atoru plochy a transformace je zamˇeniteln´e. Okrajov´ymi kˇrivkami troj´ uheln´ıkov´e B´ezierovy plochy jsou B´ezierovy kˇrivky urˇcen´e okrajov´ymi lomen´ymi ˇcarami troj´ uheln´ıkov´e s´ıtˇe. Napojen´ı pl´at˚ u ve tˇr´ıdˇe spojitosti C1 : okrajov´e troj´ uheln´ıky jsou koplan´arn´ı (dvojice troj´ uheln´ık˚ u leˇz´ı v jedn´e rovinˇe) a vˇsechny si odpov´ıdaj´ı v jedn´e afinn´ı transformaci.
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Vlastnosti troj´ uheln´ıkov´eho B´ezierova pl´atu Podm´ınka konvexn´ıho obalu – bod B´ezierovy plochy leˇz´ı v konvexn´ım obalu ˇr´ıd´ıc´ı s´ıtˇe. Afinn´ı invariance – pouˇzit´ı gener´atoru plochy a transformace je zamˇeniteln´e. Okrajov´ymi kˇrivkami troj´ uheln´ıkov´e B´ezierovy plochy jsou B´ezierovy kˇrivky urˇcen´e okrajov´ymi lomen´ymi ˇcarami troj´ uheln´ıkov´e s´ıtˇe. Napojen´ı pl´at˚ u ve tˇr´ıdˇe spojitosti C1 : okrajov´e troj´ uheln´ıky jsou koplan´arn´ı (dvojice troj´ uheln´ık˚ u leˇz´ı v jedn´e rovinˇe) a vˇsechny si odpov´ıdaj´ı v jedn´e afinn´ı transformaci.
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
Vlastnosti troj´ uheln´ıkov´eho B´ezierova pl´atu Podm´ınka konvexn´ıho obalu – bod B´ezierovy plochy leˇz´ı v konvexn´ım obalu ˇr´ıd´ıc´ı s´ıtˇe. Afinn´ı invariance – pouˇzit´ı gener´atoru plochy a transformace je zamˇeniteln´e. Okrajov´ymi kˇrivkami troj´ uheln´ıkov´e B´ezierovy plochy jsou B´ezierovy kˇrivky urˇcen´e okrajov´ymi lomen´ymi ˇcarami troj´ uheln´ıkov´e s´ıtˇe. Napojen´ı pl´at˚ u ve tˇr´ıdˇe spojitosti C1 : okrajov´e troj´ uheln´ıky jsou koplan´arn´ı (dvojice troj´ uheln´ık˚ u leˇz´ı v jedn´e rovinˇe) a vˇsechny si odpov´ıdaj´ı v jedn´e afinn´ı transformaci.
Obsah Troj´ uheln´ıkov´ e pl´ aty obecnˇ e Barycentrick´ e souˇradnice Zobecnˇ en´ı Bernsteinov´ ych polynom˚ u Troj´ uheln´ıkov´ y B´ ezier˚ uv pl´ at
