Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Terapannya 2016 p-ISSN : 2550-0384; e-ISSN : 2550-0392
GEOMETRI TRANSFORMASI DALAM MOTIF BATIK KAWUNG YOGYAKARTA Paskalia Pradanti Universitas Sanata Dharma
[email protected] Maria Rettian Anggita Sari Universitas Sanata Dharma ABSTRACT. Batik is one of Yogyakarta cultural element and one of known batik motif in Yogyakarta named kawung. Ethnomathematics is a research field that studies the relation between mathematics and culture. Mathematical aspects found in kawung motif could be studied in the field of ethnomathematics and the mathematical aspect studied in this research is transformation geometry. Making processes of kawung motif were described in this paper using transformation geometry concepts. From this research results, it could be showed that mathematics is found in Yogyakarta cultural element, especially in the making of kawung batik motif.
Keywords: ethnomathematics, yogyakarta batik, kawung, transformation geometry ABSTRAK. Salah satu unsur budaya yang berkembang di Yogyakarta adalah batik. Motif batik yogyakarta yang banyak dikenal oleh masyarakat. Suatu bidang ilmu yang mempelajari hubungan antara budaya dan matematika adalah etnomatematika. Melalui etnomatematika dapat dikaji berbagai aspek matematis yang dapat ditemukan dalam motif kawung, termasuk aspek goemetri transformasi. Proses penyusunan motif kawung dijelaskan dalam makalah ini dengan menggunakan konsep goemetri transformasi. Dari penelitian ini dapat ditunjukkan bahwa matematika ditemukan dalam unsur budaya yogyakarta khususnya digunakan pada penyusunan motif batik kawung.
Kata Kunci: etnomatematika, batik yogyakarta, kawung, geometri transformasi
1. PENDAHULUAN Yogyakarta memiliki berbagai macam budaya dengan berbagai konteks atau unsur budaya, seperti bahasa, kebiasaan, mitos, serta simbol. Batik merupakan salah satu unsur budaya yang berkembang di Yogyakarta. Batik ditetapkan oleh UNESCO sebagai Masterpieces of the Oral and Intangibel Heritage of Humanity pada tanggal 2 Oktober 2009 dan tanggal 2 Oktober ditetapkan sebagai Hari Batik Nasional oleh Pemerintah Indonesia. Dengan demikian, batik semakin dikenal oleh masyarakat Indonesia, termasuk
Geometri Transformasi dalam Motif Batik Kawung
358
Yogyakarta. Berbagai motif batik yang berkembang di Yogyakarta juga semakin dikenal oleh masyarakat Yogyakarta. Motif batik dari berbagai daerah yang merupakan representasi dari lingkungan dan filosofi kehidupan suatu daerah memiliki ciri khas masingmasing. Motif batik yang berkembang di Yogyakarta memiliki ciri khas latar atau warna dasar kain hitam dan putih dengan warna batik putih, biru tua kehitaman, dan cokelat soga. Kawung merupakan salah satu motif batik yang berbentuk geometris dan banyak dikenal oleh masyarakat Yogyakarta. Istilah etnomatematika diperkenalkan oleh Ubiratan D’Ambrosio (1985: 45) yang menyatakan bahwa etnomatematika merupakan matematika yang digunakan dalam kelompok-kelompok budaya yang dapat diidentifikasi. Etnomatematika dapat dipahami sebagai suatu bidang ilmu yang mempelajari hubungan antara matematika dan budaya. Melalui etnomatematika, dapat dikaji berbagai aspek matematis yang terdapat dalam unsur penyusun motif kawung. Bishop (1988) mengelompokkan aspek matematika berdasarkan enam aktivitas matematika fundamental, yaitu menghitung (counting), menempatkan (locating), mengukur (measuring), mendesain (designing), bermain (playing), menjelaskan (explaining). Aspek matematis yang akan dikaji dalam artikel ini yaitu aspek geometri transformasi yang digunakan dalam menyusun unsur penyusun motif kawung.
2. HASIL DAN PEMBAHASAN 2.1 Motif Batik Kawung Yogyakarta Motif kawung dipakai oleh raja dan keluarga dekatnya sebagai lambang keadilan dan keperkasaan. Unsur motif kawung berupa empat bulatan dengan sebuah titik pusat. Titik pusat pada unsur ini melambangkan seorang raja dan para pembantu yang mendampingi dilanbangkan oleh empat bulatan. Motif kawung khas Yogyakarta dapat dilihat pada Gambar 1.
Purwokerto, 3 Desember 2016
359
P. Pradanti dan M. R. A. Sari
Gambar 1. Motif batik kawung Yogyakarta.
Unsur motif kawung yang berupa empat bulatan dapat didekati dengan bangun datar elips. Satu unsur motif kawung dapat disusun dari satu elips yang ditransformasikan berdasarkan konsep transformasi seperti translasi, refleksi, atau rotasi. Proses penyusunan satu unsur motif kawung dapat dilakukan dengan berbagai cara dan urutan transformasi tertentu. Transformasi yang digunakan pada artikel ini yaitu rotasi dan refleksi. Cara penyusunan unsur motif kawung dijelaskan pada bagian berikutnya.
2.2 Penyusunan Motif Batik Kawung Yogyakarta Menurut Rosa dan Orey (2010) dalam Rosa dan Orey (2011), ethnomodeling adalah pendekatan pedagogis yang menghubungkan aspek budaya dari matematika dengan aspek akademis. Bassanezi (2002) dan D’Ambrosio (2000) dalam Rosa dan Orey (2012: 12) menyatakan bahwa ethnomodeling merupakan proses elaborasi masalah dan pertanyaan yang tumbuh dari situasi nyata yang membentuk suatu gambaran atau makna dari versi matematika yang teridealisasi. Penyelidikan-penyelidikan yang dilakukan dalam pemodelan berguna dalam penerjemahan konteks-konteks etnomatematika (Bassanezi, 2002; Biembengut, 2000; Ferreira, 2004; Rosa dan Orey, 2007; Rios, 2000 dalam Rosa dan Orey, 2012:12). Ethnomodeling yang dilakukan pada artikel ini yaitu penyusunan unsur motif kawung menggunakan konsep-konsep pada geometri transformasi.
Purwokerto, 3 Desember 2016
Geometri Transformasi dalam Motif Batik Kawung
360
Transformasi yang digunakan untuk menyusun satu unsur motif kawung dalam artikel ini adalah rotasi. Elips yang dirotasikan adalah elips diperoleh dengan merotasikan elips putar
. Elips
terhadap pusat putaran
dengan sudut
merupakan elips yang sumbu mayornya sejajar dengan sumbu-
. Persamaan elips
dengan syarat
yang yaitu
,
, dan
Berdasarkan persamaan elips
((
*
( * )
(
*
( *
(
*
(
( )
. dan syarat-syarat tersebut, diperoleh:
(( (
* *
( *
*
(
*
(
*
(
*
(
)
( )
( * ) ( *
*
(
dengan
yang
( * (1)
.
Persamaan (1) dapat ditulis:
(
dengan
dan
)
(
)
(
)
(2)
.
Persamaan (2) merupakan persamaan elips dengan titik pusat ( panjang sumbu mayor
, panjang sumbu minor
Purwokerto, 3 Desember 2016
, dan jarak fokus
), di mana
361
P. Pradanti dan M. R. A. Sari
√
terletak pada titik (
. Puncak elips
(
), dan (
(
) dan (
), (
). Sedangkan koordinat fokus elips
), adalah
).
Rotasi titik
terhadap pusat putaran
dan sudut putar
dilakukan dengan langkah sebagai berikut: (
*
(
(
*
)(
(
√ √
(
*
( *
dengan titik Rotasi elips
(
(
√
)(
)
)
√
√
√
√
√
√
√
√
√
)
)
merupakan hasil rotasi titik
.
dapat dilakukan cukup dengan merotasikan titik puncak
terhadap pusat putaran
dan sudut putar
untuk
dan
. Hasil rotasi titik puncak (
(
*
(
) yaitu √ (
*
√ (
*
Sedangkan hasil rotasi titik puncak (
(
*
(
)
) yaitu
√ (
*
√ (
*
)
Purwokerto, 3 Desember 2016
Geometri Transformasi dalam Motif Batik Kawung
Hasil rotasi titik puncak (
(
) yaitu
*
√ (
*
√
√ (
*
√
(
Sedangkan hasil rotasi titik puncak (
(
362
*
Sehingga diperoleh elips
) yaitu
√ (
*
√
√ (
*
√
(
)
yang melalui
)
,
,
, dan
. Satu unsur motif kawung disusun dengan merotasikan titik puncak elips terhadap pusat putaran
secara berturut-turut dengan sudut putar
dan
terhadap pusat putaran
. Rotasi titik
dan sudut putar
dilakukan dengan langkah sebagai berikut (
*
(
(
)( *
(
*
(
*
Hasil rotasi titik puncak ( √ (
)
(
)(
* *
√ (
)
yaitu (
*
(
√ (
*
√ ( Hasil rotasi titik puncak ( √ (
(
*
(
Purwokerto, 3 Desember 2016
* )
√ (
√ ( √ (
)
* *
)
)
) yaitu
)
363
P. Pradanti dan M. R. A. Sari
Hasil rotasi titik puncak ( √ (
)
√ (
√
)
√
)
√
) yaitu
(
*
√ (
(
*
√ (
√
*
Hasil rotasi titik puncak ( √ (
)
)
√ √ (
√
) yaitu
(
*
√ (
(
*
√ ( Sehingga diperoleh elips
√
*
)
√
yang melalui
,
,
, dan
. Rotasi titik
terhadap pusat putaran
dan sudut putar
dilakukan dengan langkah sebagai berikut (
*
(
(
)( *
(
( *
)( (
*
*
*
Hasil rotasi titik puncak ( √ (
)
√ (
)
)
yaitu (
*
(
√ (
*
√ (
*
Hasil rotasi titik puncak ( √ (
(
*
(
)
)
√ (
√ (
*
√ (
*
)
) yaitu
)
Purwokerto, 3 Desember 2016
Geometri Transformasi dalam Motif Batik Kawung
Hasil rotasi titik puncak ( √ (
)
364
√ (
√
)
√
)
√
) yaitu
(
*
(
√ (
*
√
√ (
*
√
Hasil rotasi titik puncak ( √ (
)
)
√ (
√
) yaitu
(
*
Sehingga diperoleh
(
√ (
*
√
√ (
*
√
yang melalui
)
,
,
, dan
. Rotasi titik
terhadap pusat putaran
dan sudut putar
dilakukan dengan langkah sebagai berikut (
*
(
(
)( *
(
*
(
*
Hasil rotasi titik puncak ( √ (
)
(
)(
*
*
√ (
)
yaitu (
)
(
√ (
*
√ ( Hasil rotasi titik puncak ( √ (
(
)
(
√ ( Purwokerto, 3 Desember 2016
* )
√ (
)
√ ( * *
)
)
) yaitu
)
365
P. Pradanti dan M. R. A. Sari
Hasil rotasi titik puncak ( √ (
)
√ (
√
)
√
)
√
) yaitu
(
)
√ (
(
*
√ ( Hasil rotasi titik puncak ( √ (
√
* )
)
√ √ (
√
) yaitu
(
)
√ (
(
*
√ ( Sehingga diperoleh persamaan elips (
), dan (
√
*
)
√
yang melalui (
), (
),
).
Jadi, diperoleh elips
,
,
motif kawung. Titik-titk puncak elips
, dan ,
sebagai penyusun satu unsur , dan
dapat ditentukan tanpa
harus melakukan rotasi secara berurutan mulai dari sudut putar
,
, dan
karena titik-titik puncak tersebut merupakan hasil rotasi titik puncak
.
2.3 Contoh Penyusunan Motif Batik Kawung Yogyakarta Pada contoh penyusunan satu unsur motif batik kawung digunakan persamaan elips diperoleh ,
,
. Dari persamaan tersebut ,
, titik puncak
, ,
, ,
,dan
,
,
,
,
.
Purwokerto, 3 Desember 2016
Geometri Transformasi dalam Motif Batik Kawung
366
Gambar 2. Sketsa elips
Rotasi titik puncak elips
terhadap pusat putaran
adalah sebagai berikut. Hasil rotasi titik puncak (
*
(
√
)
yaitu √
(
√ Hasil rotasi titik puncak (
yaitu
*
(
Hasil rotasi titik puncak *
√
)
(
*
√
)
√
yaitu (
√
√
√
√
Hasil rotasi titik puncak (
)
√
√
(
dan sudut putar
)
(
√
)
√
yaitu (
Sehingga diperoleh elips .
Purwokerto, 3 Desember 2016
√
√
√
√ yang melalui
)
(
√
)
√ ,
,
, dan
367
P. Pradanti dan M. R. A. Sari
Rotasi titik
terhadap pusat putaran
dan sudut putar
adalah sebagai berikut. Hasil rotasi titik puncak ( √
(
*
√
(
) yaitu
√
)
√ Hasil rotasi titik punca( √
)k yaitu
√
(
*
(
√
)
√ Hasil rotasi titik puncak ( √
) yaitu
√
(
*
(
√
)
√ Hasil rotasi titik puncak ( √
) yaitu
√
(
*
(
√
)
√ Sehingga diperoleh elips
yang melalui
,
,
, dan
. Rotasi titik
terhadap pusat putaran
dan sudut putar
adalah sebagai berikut. Hasil rotasi titik puncak ( √
(
*
(
√
√
) yaitu
)
√ Hasil rotasi titik puncak ( √
) yaitu
√
(
*
(
√
)
√
Purwokerto, 3 Desember 2016
Geometri Transformasi dalam Motif Batik Kawung
Hasil rotasi titik puncak ( √
) yaitu
√
(
*
368
√
(
)
√ Hasil rotasi titik puncak ( √
) yaitu
√
(
*
√
(
)
√ Sehingga diperoleh elips dan
yang melalui
,
,
. Rotasi titik
terhadap pusat putaran
dan sudut putar
adalah sebagai berikut. Hasil rotasi titik puncak ( √
(
)
(
√
√
)(
√ Hasil rotasi titik puncak ( √
) yaitu
√
(
)
(
√
)
√ Hasil rotasi titik puncak ( √
(
√ ) yaitu
)
(
√
)
√ Hasil rotasi titik puncak ( √
(
) yaitu
√
)
(
√ √
Purwokerto, 3 Desember 2016
)
*
) yaitu
,
369
P. Pradanti dan M. R. A. Sari
yang melalui (
Sehingga diperoleh elips dan (
), (
), (
),
).
𝑆
𝑆
𝑃
𝑆 𝑖𝑣
𝑆
Gambar 3. Sketsa hasil contoh penyusunan satu unsur motif batik kawung.
3. KESIMPULAN DAN SARAN Bentuk unsur motif kawung Yogyakarta dapat didekati dengan bangun datar elips. Elips yang digunakan untuk menyusun satu unsur elips merupakan elips horizontal. Hasil rotasi elips tersebut terhadap suatu titik pusat dengan sudut putar dirotasikan dengan sudut putar
,
, dan
kemudian
untuk menyusun unsur motif
kawung. Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa terdapat aspek matematis yang digunakan dalam unsur budaya Yogyakarta yaitu motif batik kawung. Aspek matematis yang digunakan termasuk dalam kategori aktivitas matematika fundamental mendesain (designing).
Persamaan umum elips hasil rotasi belum dirumuskan dalam artikel ini. Oleh karena itu, dapat dilakukan penelitian untuk menentukan persamaan umum elips yang digunakan dalam menyusun motif batik kawung. Selain itu dapat pula dilakukan penelitian tentang penyusunan unsur motif batik kawung atau motif lainnya menggunakan jenis transformasi yang lain.
DAFTAR PUSTAKA Bishop, Alan J., Mathematical Enculturation, Kluwer, 1988. Purwokerto, 3 Desember 2016
Geometri Transformasi dalam Motif Batik Kawung
370
D’Ambrosio, Ubiratan, Ethnomathematics and its Place in the History and Pedagogy of Mathematics, For the Learning of Mathematics, 5(1) (1985), 44-48. Martin, G. E., Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry, SpringerVerlag, New York, 1982 Rosa, M. dan Orey, D. C., Ethnomathematics: The Cultural Aspects of Mathematics, Revista Latinoamericana de Etnomatemática, 4(2) (2011), 3254. _______________________________, An Ethnomathematical Study of the Symmetrical Freedom Quilts, Symmetry: Culture and Science, 23(2) (2012), 191-220. _______________________________, Ethnomathematics: Connecting Cultural Aspects of Mathematics through Culturally Relevant Pedagogy, Proceedings of the Eighth International Mathematics Education and Society Conference Volume 3, Portland, Oregon, Amerika Serikat, 21-26 Juni 2015. Susanta, Geometri Transformasi, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada, 1990. Kebermaknaan Batik Kraton Motif Batik Larangan, Nusantaraku, 27 Januari 2014,
http://akucintanusantaraku.blogspot.co.id/2014/01/kebermaknaan-
batik-kraton-motif-batik.html, diakses pada 25 November 2016.
Purwokerto, 3 Desember 2016
