ESTIMASI INTERVAL. (INTERVAL ESTIMATION) Minggu ke Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada

ESTIMASI INTERVAL (INTERVAL ESTIMATION) Minggu ke 8-10

Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada

2014

Minggu 8 : Interval Konfidensi

Minggu 9 : Metode Kuantitas Pivotal

Outline

1

Minggu 8 : Interval Konfidensi Minggu 8 : Interval Konfidensi Metode Kuantitas Pivotal

2

Minggu 9 : Metode Kuantitas Pivotal Minggu 9 : Metode Kuantitas Pivotal

3

Minggu 10 : Kasus Dua Sampel Minggu 10 : Kasus Dua Sampel

Minggu 10 : Kasus Dua Sampel




Outline

1


2


3




Outline

1


2


3







Minggu 8 : Interval Konfidensi Untuk mengetahui seberapa dekat estimasi dengan nilai sebenarnya dapat diketahui dengan nilai dari variansi atau MSE, atau dengan estimasi interval Misalkan X1 , · · · , Xn memiliki pdf bersama f (x1 , · · · , xn ; θ), θ ∈ Ω dengan Ω adalah sebuah interval. Misalkan L = l(X1 , · · · , Xn ) dan U = u(X1 , · · · , Xn ). Jika sebuah eksperimen menghasilkan data x1 , · · · , xn , maka diperoleh nilai observasi l(x1 , · · · , xn ) dan u(x1 , · · · , xn )

Definisi Interval Konfidensi Sebuah interval (l(x1 , · · · , xn ), u(x1 , · · · , xn )) disebut interval konfidensi 100γ untuk θ jika P[l(x1 , · · · , xn ) < θ < u(x1 , · · · , xn )] = γ dengan 0 < γ < 1. Nilai dari observasi l(x1 , · · · , xn ) dan u(x1 , · · · , xn ) masing-masing disebut sebagai batas bawah dan batas atas konfidensi.





Interval Konfidensi

Definisi Batas Konfidensi Satu Sisi 1

Jika P[l(x1 , · · · , xn ) < θ] = γ maka l(x) = l(x1 , · · · , xn ) disebut batas bawah konfidensi satu sisi 100γ untuk θ.

2

Jika P[θ < u(x1 , · · · , xn )] = γ maka u(x) = u(x1 , · · · , xn disebut batas atas konfidensi satu sisi 100γ untuk θ.




Metode Kuantitas Pivotal

Metode Kuantitas Pivotal

Misalkan X1 , · · · , Xn memilik pdf bersama f (x1 , · · · , xn ; θ), dan menghasilkan batas konfidensi untuk θ dimana parameter-parameter sulit yang tidak diketahui juga ditampilkan.

Definisi Kuantitas Pivotal Jika Q = q(X1 , · · · , Xn ; θ) adalah variabel acak yang merupakan fungsi hanya dari X1 , · · · , Xn dan θ, maka Q disebut kuantitas pivotal jika distribusinya tidak bergantung pada θ atau parameter yang tidak diketahui.






Teorema Misalkan X1 , · · · , Xn merupakan sampel acak dari distribusi dengan pdf f (x, θ) untuk θ ∈ Ω dan diasumsikan MLE dariθˆ ada. ˆ − θ adalah 1 Jika θ adalah parameter lokasi, maka Q = θ kuantitas pivotal. 2

Jika θ adalah parameter skala, maka Q = pivotal.

θˆ θ

adalah kuantitas





Lanjutan Metode Kuantitas Pivotal

Teorema Misalkan X1 , · · · , Xn merupakan sampel acak dari distribusi dengan parameter skala lokasi f (x; θ1 , θ2 ) =

x − θ1 1 f0 ( ) θ2 θ2

ˆ 1) Jika MLE dari θˆ1 dan θˆ2 ada, maka (θ1θ−θ dan ˆ2 merupakan kuantitas pivotal untuk θ1 dan θ2 .


θˆ2 θ2


masing-masing



Metode Umum

Jika kuantitas pivotal tidak tersedia, maka masih mungkin untuk menghitung daerah konfidensi untuk parameter θ jika sebuah statistik ada dengan distribusi bergantung pada θ, tetapi tidak pada semua parameter-parameter sulit yang tidak diketahui. Secara khusus, diberikan X1 , · · · , Xn memilik pdf bersama f (x1 , · · · , xn ; θ) dan S = s(X1 , · · · , Xn ) ∼ g (s; θ). Untuk setiap nilai dari θ yang mungkin, asumsikan bahwa akan ditemukan nilai dari h1 (θ) dan h2 (θ), sehingga P[h1 (θ) < S < h2 (θ)] = 1 − α

(1)





Metode Umum

Jika S = s, maka himpunan dari nilai-nilai θ ∈ Ω yang memenuhi h1 (θ) < s < h2 (θ) membentuk sebuah daerah konfidensi 100(1 − α). Dengan kata lain, jika θ0 adalah nilai yang sebenarnya dari θ, maka θ0 akan berada didalam daerah konfidensi jika hanya jika h1 (θ) < s < h2 (θ) yang mana memiliki tingkat konfidensi 100(1 − α), karena Persamaan (1) menggunakan θ = θ0 dalam kasus ini. Sangat sering h1 (θ) dan h2 (θ) akan menjadi fungsi dari θ yang naik monoton dan hasil dari daerah konfidensi akan menjadi interval.





Metode Umum

Teorema Diberikan statistik S kontinu dengan CDF G (s; θ), dan h1 (θ) dan h2 (θ) merupakan fungsi yang memenuhi G (h1 (θ); θ) = α1 dan G (h2 (θ); θ) = 1 − α2 untuk suatu θ ∈ Ω, dengan 0 < α1 < 1 dan 0 < α2 < 1. Diberikan s nilai observasi dari S. Jika h1 (θ) dan h2 (θ) merupakan fungsi naik dari θ, maka:





Lanjutan Teorema 1

Batas bawah konfidensi satu sisi 100(1 − α2 ), θL adalah solusi dari h2 (θL ) = s

2

Batas atas konfidensi satu sisi 100(1 − α1 ), θU adalah solusi dari h1 (θU ) = s

3

Jika α = α1 + α2 dan 0 < α < 1, maka (θL , θU ) adalah interval konfidensi 100(1 − α) untuk θ.





Teorema Diberikan statistik S kontinu dengan CDF G (s; θ), dan misalkan s nilai observasi dari S. Jika G (s; θ) adalah fungsi turun dari θ, maka: 1

Batas bawah konfidensi satu sisi 100(1 − α2 ), θL adalah solusi dengan syarat G (s; θL ) = 1 − α2

2

Batas atas konfidensi satu sisi 100(1 − α1 ), θU adalah solusi dengan syarat G (s; θU ) = α1

3

Jika α = α1 + α2 dan 0 < α < 1, maka (θL , θU ) adalah interval konfidensi 100(1 − α) untuk θ.





Definisi Observasi interval konfidensi [θL , θU ] disebut interval konfidensi konservatif 100(1 − α) untuk θ jika hubungan interval acak mengandung nilai sebenarnya dari θ dengan peluang 1 − α





Teorema Misalkan S statistik dengan CDF G (s; θ), dan misalkan h1 (θ) dan h2 (θ) fungsi yang memenuhi G (h1 (θ); θ) = α1 dan P[S < h2 (θ); θ] = 1 − α2 ] dengan 0 < α1 < 1 dan 0 < α2 < 1. Jika h1 (θ) dan h2 (θ) merupakan fungsi naik, maka batas bawah konfidensi konservatif satu sisi 100(1 − α2 ) untuk θ, berdasarkan nilai observasi s dari S, adalah solusi dari h2 (θL ) = s atau θ = θL , sehingga P[S < s; θL ] = 1 − α2 Batas atas konfidensi konservatif satu sisi 100(1 − α1 ) adalah solusi dari h1 (θU ) = s atau G (s; θU ) = α1





Lanjutan Teorema Jika h1 (θ) dan h2 (θ) merupakan fungsi turun, maka batas bawah konfidensi konservatif satu sisi 100(1 − α1 ) adalah solusi dari h1 (θL ) = s atau G (s; θL ) = α1 . Batas atas konfidensi konservatif satu sisi 100(1 − α2 ) adalah solusi dari h2 (θU ) = s atau θ = θU , sehingga P[S < s; θU ] = 1 − α2 Pada kasus tertentu, jika α = α1 + α2 dan 0 < α < 1, maka (θL , θU ) adalah interval konfidensi konservatif 100(1 − α) untuk θ





Kasus Dua Sampel 1

Dua Sampel Normal Prosedur untuk Variansi Prosedur untuk Rata-rata(Mean)

2

Sampel Berpasangan

3

Dua Sampel Binomial






Dua Sampel Binomial Misalkan X1 ∼ BIN(n1 , p1 ) dan X2 ∼ BIN(n2 , p2 ). pˆ1 = X1 /n1 dan pˆ2 = X2 /n2 , dari BAB.7 diperoleh pˆ2 − pˆ1 − (p2 − p1 ) d p → Z ∼ N(0, 1) pˆ1 (1 − pˆ1 )/n1 + pˆ2 (1 − pˆ2 )/n2 Bisa saja pendekatan batas konfidensi sampel besar untuk p2 − p1 dapat diperoleh dengan cara yang sama dalam kasus satu sampel, yaitu s pˆ2 − hatp1 ± z1−α/2

pˆ1 (1 − pˆ1 ) pˆ2 (1 − pˆ2 ) + n1 n2

ESTIMASI INTERVAL. (INTERVAL ESTIMATION) Minggu ke Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada

Recommend Documents