ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE STUDIJNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE
BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Analýza freeskingového skoku
Vedoucí práce: Ing. Mgr. Jakub Šolc, Ph.D. Katedra matematiky
PRAHA 2014
Miroslav Kalenský
LIST ZADÁNÍ
Abstrakt Cílem bakalářské práce je vytvořit pomocí programovacího jazyka MATLAB aplikaci, s jejíž pomocí lze provést analýzu freeskiingového můstku. V práci je popsáno, co je to freeskiing a detailněji je probrán můstek. Jsou uvedeny metody matematického vyjádření jeho tvaru a popsány různé metody zaměření jeho skutečného tvaru. Práce dále poukazuje na vlivy okolí působící na skokanův pohyb a na jejich základě je sestaven matematický model jednotlivých fází skoku. Výsledkem práce je naprogramovaná aplikace určená pro výpočet analýzy můstku. Výsledky analýzy by měly dát shaperům představu o tom, jaké můstky svými parametry vyhovují pro bezpečné a kvalitní skákání.
Klíčová slova: Freeskiing, skokanský můstek, analýza skoku, trajektorie skokana
Abstract The aim of the bachelor´s thesis is to create an application in technical computing language MATLAB, which performs an analysis of a freeski jump. There is a description of what Freeskiing is focusing on structure of a jump. There is suggested a couple of methods how to express its shape with mathematical equation or how to measure actual shape of the jump. The thesis also takes into account the environmental influences on jumper’s movement and use them to create mathematical model for all the phases of jumping. The result of the thesis is an application programmed to calculate an analysis of jumps. The analysis results should give shapers an idea of what parameters of a jump guarantee safe and high-level jumping.
Key words: Freeskiing, freeski jump, analysis of a jump, trajectory of a jumper
Prohlašuji, že bakalářskou práci na téma Analýza freeskiingového skoku jsem vypracoval samostatně pod odborným vedením Ing. Mgr. Jakuba Šolce, Ph.D. a uvedl jsem všechny prameny a publikace, ze kterých jsem čerpal.
V Praze dne 16. května 2014
………………………….. Miroslav Kalenský
Poděkování: Rád bych poděkoval svému vedoucímu Ing. Mgr. Jakubu Šolcovi, Ph.D. za jeho čas, který byl ochoten mi věnovat a za odborné rady, jež byly pro mou práci přínosem.
Obsah Úvod .............................................................................................................................8 1
2
Freeskiing ............................................................................................................ 10 1.1
Co je freeskiing ............................................................................................. 10
1.2
Historie freeskiingu ....................................................................................... 11
Freeskiingový můstek .......................................................................................... 13 2.1
Popis můstku ................................................................................................. 13
2.1.1 2.2
Konstrukce můstku................................................................................. 14
Matematické vyjádření můstku ...................................................................... 15
2.2.1
Matematické vyjádření navrhovaného můstku ........................................ 16
2.2.1.1 Návrh odrazového můstku ...................................................................... 16 2.2.1.2 Návrh dopadové plochy.......................................................................... 22 2.2.2
Matematické vyjádření zaměřeného můstku ........................................... 24
2.2.2.1 Aproximace bodů odrazového můstku.................................................... 25 2.2.2.2 Aproximace bodů dopadové plochy........................................................ 26 2.3
3
Zaměření postaveného můstku ...................................................................... 27
2.3.1
Volba polohy bodů ................................................................................. 28
2.3.2
Fotogrammetrické metody...................................................................... 28
2.3.3
Zaměření pomocí pásma......................................................................... 31
Vliv prostředí na pohyb skokanů.......................................................................... 33 3.1
Tíhové zrychlení ........................................................................................... 33
3.2
Disipativní procesy........................................................................................ 34
3.2.1
Tření lyží ............................................................................................... 34
3.2.2
Odpor vzduchu ....................................................................................... 35
3.2.2.1 Hustota vzduchu ..................................................................................... 36
4
Matematický model jednotlivých fází skoku ........................................................ 39 4.1
5
Pohyb po odrazovém můstku......................................................................... 39
4.1.1
Změna rychlosti ..................................................................................... 40
4.1.2
Zrychlení a přetížení na odrazovém můstku............................................ 42
4.2
Trajektorie letu .............................................................................................. 44
4.3
Dopad skokana na dopadovou plochu ............................................................ 46
Analýza můstku ................................................................................................... 49 5.1
Účel analýzy ................................................................................................. 49
5.2
Výsledky analýzy .......................................................................................... 51
5.2.1
Vedlejší výsledky analýzy ...................................................................... 51
5.2.2
Výsledky vypovídající o kvalitě můstku ................................................. 52
Závěr ........................................................................................................................... 55 Použité zdroje .............................................................................................................. 56 Seznam tabulek, grafů a obrázků ................................................................................. 57 Seznam příloh ............................................................................................................. 58
Úvod V 90. letech minulého století vznikla ve světě nová disciplína freestylového lyžování nazývaná freeskiing. Díky svému kouzlu získala velmi rychle spoustu příznivců a v posledních letech je čím dál populárnější. Na svahu je vidět spousty mladých lidí, kteří se jí začínají věnovat. Téměř v každém lyžařském areálu se staví snowparky (místa na sjezdovce, kde jsou postaveny překážky za účelem tréninku), které se čím dál více plní freeskiery. Základní překážkou každého snowparku a freeskiingu celkově, je můstek sestávající z odrazové a dopadové plochy. Můstek je určen ke skokům na lyžích, při kterých se skokané snaží během letu předvést co nejlepší trik. Nikdo zatím přesně nespecifikoval, jaké parametry by takový můstek měl mít, aby skokanům zajistil optimální podmínky pro skákání, přestože tvar, velikost a vzájemné polohové uspořádání odrazové a dopadové plochy mají zásadní vliv na kvalitu a bezpečnost skákání. Tyto parametry můstku volí shapeři (osoby zajišťující stavbu a úpravu překážek) na základě vlastního uvážení a často s neuspokojivým výsledkem. Následkem toho jsou skokani vystaveni zbytečně vyššímu riziku a riskují své zdraví. Cílem mé bakalářské práce je vytvořit pomocí programovacího jazyka MATLAB aplikaci, s jejíž pomocí lze provést analýzu freeskiingového můstku. Výsledky analýzy by měly uživateli aplikace dát představu o tom, jaký vliv má konkrétní můstek na bezpečnost a kvalitu skákání. Uživatel aplikace bude mít možnost provést analýzu skoku již postaveného, jehož parametry pomocí vhodných metod v terénu zaměřil, i skoku vymyšleného, který má například v plánu postavit a jehož parametry si sám zvolí. Textová část bakalářské práce je rozdělena do jednotlivých kapitol. V první kapitole seznamuji čtenáře s historií freeskiingu a blíže specifikuji, co je to freeskiing. V kapitole druhé se zabývám freeskiingovým můstkem a popisuji možné způsoby jeho zaměření a matematického vyjádření. Třetí kapitola je zaměřena na popis všech sil, které působí na skokana a ovlivňují tak jeho pohyb. Odvození matematického modelu pro popis celého procesu skoku včetně nájezdu na odrazový můstek, trajektorii letu a doskok na dopadovou plochu je věnována kapitola čtvrtá. V poslední páté kapitole poukazuji na výsledky analýzy můstku, pomocí kterých lze zhodnotit, zda je můstek více či méně vhodný ke skákání.
8
Téma jsem si vybral proto, že ke zmíněnému sportu a jeho problematice mám velmi blízký vztah. Ve čtrnácti letech jsme se s bratrem začali freeskiingu aktivně věnovat a podařilo se nám vypracovat se v Čechách až na špičku. A zatímco bratr je dnes v české reprezentaci, já svou kariéru freeskiera vyměnil za studia na vysoké škole. Nezbývá mi tedy, než zabývat se tímto sportem alespoň z hlediska teoretického a pomoci tak k jeho bezpečnému vývoji.
9
1 Freeskiing 1.1 Co je freeskiing Freeskiing nebo New school skiing (tzv. nová škola lyžování), jak se této disciplíně také přezdívá, je disciplína freestylového lyžování řadící se do kategorie extrémních sportů, která se nejvíce podobá snowboardingu. Spočívá v jízdě na lyžích po překážkách, na kterých se jezdci snaží předvést co nejlepší triky. Dělí se na 3 dílčí disciplíny, kterými jsou Bigair, Slopestyle a Halfpipe, přičemž pro každou z nich jsou specifické různé překážky. Disciplína Halfpipe se vyznačuje překážkou, jejíž tvar dal vzniknout jejímu názvu (halfpipe lze do češtiny přeložit jako půltrubka). Jedná se o U-rampu, kterou si můžeme představit jako velkou trubku rozříznutou podélně na polovinu. Na jejích hranách se jezdci odráží a po předvedení triku opět na stejné straně rampy dopadají, viz obr. 1. Takto jezdí z jedné strany na druhou, přičemž během jedné jízdy stihnou několik skoků.
Obr. 1: U-rampa Zdroj: http://skiunion.mpora.com/features/north-face-freeski-open-2011-day-3-halfpipefinals.html [08-05-2014]
Překážce, která je hlavní a jedinou překážkou disciplíny Bigair a jednou z hlavních překážek disciplíny Slopestyle, se česky slangově říká skok. Jedná se o skokanský můstek tvarem podobný můstku, který se používá při jízdě v boulích. Blíže je tato překážka popsána v kapitole 2. Pro disciplínu Slopestyle je specifický ještě jeden druh překážky nazývaný rail (zábradlí), po kterém se lyžaři klouzají, viz obr. 2.
10
Obr. 2: Rail Zdroj: http://www.freeride.cz/files/bc/h_4455fcdc.jpg [08-05-2014]
Místo na sjezdovce, které je speciálně upravené pro freeskiing a snowboarding, se nazývá snowpark. Obsahuje zpravidla všechny zmíněné překážky a slouží především pro trénování. O jejich výstavbu a průběžnou úpravu se starají tzv. shapers (z anglického slova shape = tvarovat, převzato do češtiny jako šejpr). Jejich úkolem je udržovat snowpark upravený po celý den ježdění. Freeskiing a snowboarding jsou velmi populárními zimními sporty a snowpark dnes najdeme téměř v každém větším lyžařském středisku. Základním znakem freeskiingu je to, že pro něj neplatí žádná omezení. Lyžaři mohou skákat triky přes hlavu, rotovat kolem vertikální osy těla, chytat rukama části lyží apod. Pro tento sport je specifické, že jezdci mohou jezdit tzv. na switch neboli pozadu díky speciálně upraveným patkám lyží. Při závodech nemají čas jízdy ani délka skoku vliv na výsledné hodnocení poroty, která přihlíží především na obtížnost, provedení a kreativitu triků.
1.2 Historie freeskiingu V průběhu 20. století se ve světě rozvíjel druh zimního sportu nazývaný Freestyle skiing (freestylové lyžování). Do tohoto sportu se řadily disciplíny jako Moguls (boule) či Aerials (akrobatické lyžování), které fungovaly pod záštitou Mezinárodní lyžařské federace (FIS). Ta určovala pravidla, zaváděla omezení a diktovala jezdcům, které triky smí a které nesmí skákat. Například v boulích byly zakázány triky přes hlavu a v akrobatickém lyžování byl omezen počet salt a vrutů. V 90. letech
se začali
objevovat jedinci, kterým tato omezení vadila a rozhodli se od těchto sportů distancovat. Byli mezi nimi například Mike Douglas, J. P. Auclair nebo Vincent Dorion. 11
Inspirováni snowboardisty, začali předvádět na lyžích triky, které v té době nebyly k vidění v žádné z disciplín. Dali tak vzniknout nové disciplíně freestylového lyžování dnes nazývané freeskiing. Její vznik se datuje přibližně okolo roku 1996. Tento napohled efektní a ničím neomezený sport získal velmi rychle velkou řadu příznivců. V roce 1999 se poprvé objevil na mezinárodních závodech extrémních sportů X Games, konajících se každý rok v americkém Aspenu, a od té doby je jejich nedílnou součástí. Od roku 2011 spadá paradoxně opět pod Mezinárodní lyžařskou federaci a v roce 2014 se poprvé představil na ZOH v Soči. [1]
12
2 Freeskiingový můstek 2.1 Popis můstku Freeskiingový můstek je jednou ze základních překážek freeskiingu. Skládá se ze dvou hlavních prvků. Tím prvním je odrazová plocha příp. odrazový můstek nebo slangově skok. Druhým prvkem můstku je plocha dopadová, kterou lze rozdělit na tři části, viz obr. 3. První část, které se slangově říká table, se skokané snaží přeletět a tvoří přechod od skoku k dopadu. Dopad, jak se říká druhé části, je úsek, kam se skokané snaží doletět a přistát. Třetí část, po které skokan odjíždí od dopadu, slouží k oddělení jednotlivých můstků, v případě, že je jich více v řadě.
Obr. 3: Model freeskiingového můstku Zdroj: vlastní
1 – odrazový můstek (skok) 2.1 – první část dopadové plochy (table) 2.2 – druhá část dopadové plochy (dopad) 2.3 – třetí část dopadové plochy (odjezd) Základní model freeskiingového můstku je následující. Jeho odrazová část je zakřivená plocha přecházející plynule od nulového sklonu na jeho začátku až po sklon udávající úhel odrazu na jeho konci. Konci odrazového můstku se říká odrazová hrana a jeho velikost je volena v závislosti na předpokládané délce letu. Úhel odrazu je 13
libovolně velký, většinou však nabývá hodnot okolo 20 až 25° pro menší můstky a okolo 30° pro můstky větších rozměrů. První dvě části dopadové plochy jsou zpravidla roviny, jejichž místo dotyku tvoří hranu dopadu, která je buď ostrá nebo více či méně zaoblená. Vzdálenost hrany dopadu od hrany odrazu určuje minimální vzdálenost, kterou by měl jezdec skokem překonat. Její velikost se volí s ohledem na to, pro koho je můstek určen. Může se pohybovat mezi 5 – 15 m pro začátečníky a 15 – 30 m pro profesionály. Dalším důležitým parametrem je sklon a délka dopadu. Sklon dopadu by měl být vyvážený úhlu odrazu, který určuje, pod jakým úhlem budou skokané dopadat. Délka dopadu se odvíjí od předpokládané maximální délky letu. Odjezdová část dopadové plochy mívá tvar neurčitý, většinou závislý na tvaru daného terénu. [1] Všechny tyto parametry a jejich vzájemná kompatibilita ovlivňují to, jak dobře a bezpečně se bude jezdcům skákat. Postavit takový můstek, který by podle představ skokanů splňoval podmínky pro příjemné skákání, není jednoduchý úkol. Zvlášť přihlédneme-li k tomu, že shapeři, se kterými jsem diskutoval tuto problematiku, provádí jejich stavbu od oka bez přesnějšího měření. Kvalita výsledku se pak odvíjí pouze od jejich zkušeností.
2.1.1 Konstrukce můstku Materiálů, ze kterých jsou můstky stavěny, je více. Skoky zpravidla bývají postaveny v horách na svazích, kde není nouze o sníh. V takovém případě jsou stavěny buď celé ze sněhu, nebo se upravuje tvar terénu tak, že se pomocí hlíny vytvoří dopadová plocha a ze sněhu se staví pouze skok. Freeskiingové závody či exhibice se konají i uprostřed měst jako například Fridge Festival, který se koná již několik let (např. ve Vídni nebo v Budapešti). Podmínky pro vybudování můstku se pak musí vytvořit uměle, třeba z lešení a dřevěných palet, na které se následně nanese vrstva sněhu, viz obr. 4. Ne vždy je ale k dispozici sníh, proto například přes léto skokani využívají můstků, jejichž dopadovou plochou je bazén plný vody či molitanových polštářů. Rozjezdová rampa a skok jsou pak stavěny ze dřeva či lešení a povrch pro ježdění je tvořen umělými kartáči.
14
Obr. 4: Freeskiingový můstek – Fridge festival Zdroj: http://www.fridge-vienna.at/pressebilder.html [08-05-2014]
2.2 Matematické vyjádření můstku Provést analýzu můstku znamená definovat, jaký vliv mají jeho parametry na skokanův pohyb a početně určit velikost těchto vlivů. Například budeme chtít vědět, jak se mění rychlost lyžaře při pohybu po odrazovém můstku a jaké přetížení na něj přitom působí. Budeme chtít určit vzdálenost jeho místa dopadu v závislosti na odrazové rychlosti apod. Aby bylo možné tyto výpočty provést, je nezbytné tvar obou jeho prvků matematicky definovat. Pro definici vzájemné polohy odrazové a dopadové plochy můstku bude sloužit dvourozměrný pravotočivý souřadnicový systém, ke kterému jsou vztaženy všechny výpočty, viz obr. 5. Jeho počátek jsem zvolil do bodu, kde odrazový můstek končí a trajektorie skokana začíná. Osa x je rovnoběžná s vodorovnou rovinou a záporná větev osy y definuje směr tížnice. Tvar a velikost odrazového můstku a dopadové plochy budou popsány matematickými funkcemi, jejichž grafem je křivka reprezentující jejich průběh.
15
Obr. 5: Zvolený souřadnicový systém Zdroj: vlastní
2.2.1 Matematické vyjádření navrhovaného můstku Aplikace je určena především k analýze můstku, který má dotyčná osoba v plánu postavit. Jeho navržené parametry uživatel zadá do aplikace a na základě výsledků vyhodnotí, zda odpovídají požadavkům na bezpečné skákání, případně je během výpočtů změní. Tímto způsobem bude moci předejít stavbě takových můstků, které svými vlastnostmi neodpovídají potřebám skokanů.
2.2.1.1 Návrh odrazového můstku
Obr. 6: Tvar odrazového můstku Zdroj: vlastní
Vlastnosti odrazového můstku: h
[m] výška můstku
l
[m] délka můstku
α
[°] úhel odrazu můstku
f(x)
funkce, jejímž grafem je křivka reprezentující průběh odrazového můstku 16
Protože souřadnicový systém je zvolený tak, že jeho počátkem je vždy konec odrazového můstku, bude pro všechny můstky platit pravidlo totožného odrazu. Jinak řečeno jejich koncem je vždy bod o souřadnicích [x, y] = [0, 0] a jejich začátek je dán bodem [x, y] = [-l, -h]. Pro vyjádření průběhu odrazové plochy převedené do dvourozměrného prostoru jsem zvolil osm křivek, které svým tvarem daný průběh nejvíce vystihují. Jedná se především o kružnici, elipsu, parabolu a jiné. Většina těchto funkcí je definována jedním parametrem, jako například kružnice, která je dána pouze poloměrem r. Jsou mezi nimi však i takové, které jsou popsány dvěma parametry, například elipsa, která je dána délkou hlavní a vedlejší poloosy a a b. Počet parametrů definujících tvar křivky se odráží na způsobu návrhu tvaru odrazového můstku. Návrh tvaru a velikosti odrazového můstku pak bude probíhat následujícím způsobem. Uživatel nejprve vybere z nabízených křivek tu, která bude charakterizovat jeho průběh. V případě funkcí, které jsou dány dvěma parametry, bude pro jednoznačné určení jejich hodnot zapotřebí zvolit všechny ze tří výše zmíněných vlastností odrazového můstku. Tzn. úhel odrazu α, délku l i výšku můstku h. Naopak pro jednoznačné určení funkce popsané pouze jedním parametrem stačí znát dvě ze tří zmíněných vlastností. V takovém případě je považováno za přednější znát úhel odrazu a délku odrazového můstku, přičemž jeho výška bude vypočtena na základě zvolené funkce. Dále uvádím odvození výpočtu parametrů jednotlivých funkcí y = f(x) na základě zadaných vlastností odrazového můstku. Kružnice: Obecná rovnice kružnice [2]: ( −
) +( −
) =
Po zavedení pravidla totožného odrazu (tx = -l, ty = r-h) dostaneme předpis funkce (pro dolní půlkružnici) =− (
−( + ) )+ −
Úhel τ, který v bodě x svírá tečna křivky s osou x, je tan( ) =
=
+ (
−( + ) )
(
−
Pro úhel odrazu potom bude platit tan( ) = 17
)
odkud lze vyjádřit vztah pro výpočet poloměru kružnice r =
+
( )
=
( )
Elipsa: Obecný tvar rovnice elipsy [2]: ( −
)
+
( −
)
=1
Po zavedení pravidla totožného odrazu (tx = -l, ty = b-h) dostaneme předpis funkce =
−
−
( + )
−
Úhel τ, který v bodě x svírá tečna odrazového můstku s vodorovnou rovinou tan(τ) =
( + )
∂ = ∂
( + )
1− Pro úhel odrazu α dostaneme tan( ) = 1− Odkud vyjádříme parametr b ( )
=
−
V bodě [x, y] = [0, 0] bude platit ℎ=
1− 1−
Dosazením za b dostaneme ℎ=
tan( )
1−
1− 1−
odkud vyjádříme vztah pro výpočet parametru a
18
=
ℎ − tan( ) = 2ℎ 1− tan( )
( )−
( )
( )−
( )
ze kterého plyne podmínka 1−
2ℎ > 0 ⟶ ℎ < tan( ) , tan( ) 2
>
2ℎ , tan( )
tan( ) >
2ℎ
Z podmínky, která je dána vzorcem pro výpočet parametru elipsy a, vyplývá, že ne pro všechny zadané vlastnosti můstku existuje elipsa charakterizující jeho průběh. Parabola: Obecná rovnice paraboly [2]: =
+
+
Po zavedení pravidla totožného odrazu (b = 0, c = -h) dostaneme předpis funkce = ( + ) − Pro úhel stoupání můstku τ v bodě x platí tan(τ) =
∂ =2 ( + ) ∂
Pro úhel odrazu můstku potom platí tan( ) = 2 a odtud vyjádříme =
( )
Kubický exponent: Předpis funkce: = ( + ) − Úhel τ, který v bodě x svírá tečna křivky s osou x tan( ) =
∂ =3 ( + ) ∂
Pro úhel odrazu dostáváme tan( ) = 3 Odkud =
19
( )
Obecný exponent: Předpis funkce: = ( + ) − Pro parametr a v bodě [x, y] = [0, 0] platí = Úhel sklonu můstku τ v bodě x je dán tan( ) =
∂ = ∂
( + )
odkud dostáváme vztah pro úhel odrazu můstku tan( ) = Dosazením za a dostaneme tan( ) = ℎ
=
ℎ
odkud pro parametr b platí ( )
= Klotoida [4]: Rovnice klotoidy: =
kde R je poloměr oskulační kružnice v délce L. Pro úhel τ, který v délce klotoidy L svírá tečna odrazového můstku s osou x, platí vztah =
2
Z těchto vztahů vyplývá =
1 2
Délku L klotoidy v bodě odrazu vypočteme ze vzorce [5] ∞
=
(4 − 3)(2 − 2)!
(−1)
Parametr klotoidy a lze určit ze vztahu =
20
Souřadnice klotoidy (po aproximaci Taylorovým poylnomem) vypočteme podle vzorců =− + −
40
+
,
3456
= −ℎ +
−
6
336
+
42240
Řetězovka Obecná rovnice řetězovky [3]: =
cosh
Po zavedení pravidla totožného odrazu dostaneme předpis funkce ( + )
=
−
−
Úhel τ, který v bodě x svírá tečna křivky s osou x ( + ) ∂ = sinh ∂
tan( ) = Pro úhel odrazu můstku platí
tan( ) = sinh odkud lze vyjádřit vztah pro výpočet parametru a =
argsinh(tan( ))
=
ln tan( ) + 1 + tan ( )
=
+
( ) ( )
Cykloida Parametrické rovnice cykloidy [3]: = ( − sin( )),
= (1 − cos( )),
pro ∈ (0; )
Zavedením pravidla totožného odrazu dostaneme = ( +
( )) − ,
= ( −
( )) −
Pro úhel τ, který v bodě pro parametr φ svírá tečna křivky s osou x platí tan( ) =
∂ ∂ = ∂ ∂
∂ sin( ) = (1 + cos( )) ∂
Zkrácením R a dosazením úhlu odrazu α dostaneme tan( ) =
sin( ) = tan (1 + cos( )) 2
Odkud plyne =
⟶ 21
∈ ( ;
)
Z rovnice cykloidy pro x vyjádříme parametry R, pro který v bodě [x, y] = [0, 0] platí =
+
(
)
2.2.1.2 Návrh dopadové plochy
Obr. 7: Návrh tvaru dopadové plochy Zdroj: vlastní
Pro návrh tvaru dopadové plochy jsem zvolil následující způsob. Průběh celého dopadu lze relativně jednoduše popsat čtyřmi body P1, …, P4, viz obr. 7. Tyto body tvoří tři úsečky potažmo tři pomyslné roviny představující tři části dopadové plochy. Každá z nich pak může být definována dvěma různými způsoby. Buďto pravoúhlými souřadnicemi obou krajních bodů, nebo polárními souřadnicemi, tzn. sklonem a délkou z předcházejícího bodu. Při návrhu celkového tvaru bude mít uživatel možnost zvolit pro každou z úseček tu či onu metodu zadávání. Tím dostaneme přibližný tvar celé dopadové plochy. Co je však nežádoucí, jsou ostré hrany na bodech P2 a P3. Tyto hrany proto zaoblíme pomocí kružnicových oblouků, jejichž poloměry uživatel zvolí. Dopadovou plochu jsme tak vyjádřili pomocí tří stran polygonu, které jsou zároveň tečnami dvou kružnicových oblouků. Tímto způsobem lze relativně jednoduše a dostatečně přesně navrhnout její tvar. Pro jednoznačné určení polohy dopadové plochy vůči odrazovému můstku je zapotřebí znát pravoúhlé souřadnice alespoň jednoho ze čtyř bodů P1, …, P4. Zavedl jsem proto pravidlo, které vychází z logického předpokladu, že bychom měli vědět, v jakém bodě dopadová plocha začíná. To znamená, že souřadnice bodu P1 bude uživatel zadávat vždy při návrhu jakékoliv
22
dopadové plochy a tím zajistí její jednoznačné polohové určení vůči odrazovému můstku. Souřadnice prvního bodu P1 jsou tedy známy, respektive uživatelem zvoleny a při výpočtu ostatních parametrů z nich budeme vycházet. V případě, že uživatel definuje rovinu i dopadové plochy zvolením pravoúhlých souřadnic následujícího bodu Pi+1, vypočteme její sklon a délku ze souřadnic jejích krajních bodů pomocí vztahů pro převod pravoúhlých souřadnic na polární =
(
) +(
−
−
)
− −
= arctan
V opačném případě, kdy známe její délku a sklon, vypočteme souřadnice následujícího bodu Pi+1 pomocí vztahů pro opačný převod =
+
. cos( )
=
+
. sin( )
Dostaneme tak souřadnice čtyř bodů P1, …, P4 a sklony a délky všech tří rovin. Následuje výpočet souřadnic bodů B1, …, B4, které oddělují jednotlivé úseky dopadové plochy. Vztahy jsou odvozeny z obr. 8.
Obr. 8: Výpočet prvků kružnicového oblouku Zdroj: Vlastní
Pro úhel τ platí =
+
Pomocí něho vypočteme délku tečny kružnicového oblouku = . tan 23
2
A ze souřadnic vrcholového bodu P2 vypočteme souřadnice bodů na přechodu tečnakružnice B1 a kružnice-tečna B2 =
− . cos(
) ,
=
− . sin(
)
=
+ . cos(
) ,
=
− . sin(
)
Totéž se provede i pro druhý kružnicový oblouk a získáme tak souřadnice bodů B3 a B4. Každý z úseků dopadové plochy je pak popsán jiným předpisem funkce. Pro úsečky, jako části přímek, platí = . + kde = tan(
) ,
=
−
.
Kružnicové oblouky jsou dány předpisem ( −
) +( −
) =
−( −
⟶ =
) +
kde =
+
. cos
+
=
−
. sin
+
=
+
. cos
+
2 2 2
⟶
=
−
. sin(
)
⟶
=
−
. cos(
)
⟶
=
−
. sin(
)
⟶ = − . cos( ) 2 Informaci o tom, pro jaký interval na x-ové ose platí, jaký předpis funkce nám dávají x=
−
. sin
+
ové souřadnice bodů P1, …, P4 a B1, …, B4. Podmínkou pro navržený tvar dopadové plochy je xP1<xB1<xP2<xB2<xB3<xP3<xB4<xP4. Splněním této podmínky se vyloučí její nevhodný tvar (sklon nesmí překročit hodnotu ± 90°) i nevhodná velikost poloměrů kružnicových oblouků.
2.2.2 Matematické vyjádření zaměřeného můstku Máme-li v terénu již postavený můstek, který chceme podrobit analýze, je potřeba zaměřit a vyhodnotit jeho tvar, v případě že ho neznáme. K tomu budou sloužit námi zvolené body na povrchu odrazové i dopadové plochy, jejichž souřadnice v terénu zaměříme. Body na můstku zvolíme přibližně v pravidelném odstupu tak, aby co nejlépe popsaly jeho tvar. Průběh obou ploch pak vyjádříme aproximací daných bodů pomocí vhodných polynomů. Aproximaci hledáme ve tvaru ( )=
( )+
( )+⋯+ 24
( )
kde φi jsou zvolené funkce a ai hledané koeficienty polynomu. Hodnoty hledaných koeficientů dostaneme řešením normálních rovnic ve smyslu metody nejmenších čtverců =(
) .
kde a = (a0, a1, … , an) je vektor hledaných parametrů, A je matice plánu ∂
⎛ =⎜ ⎝
( )
∂
∂ ∂
( ) ∂
⋮ ( ) ∂
( )
∂
⋯
∂
⎞ ⋮ ⎟ ( )
∂
⎠
⋮ ∂
(
)
∂
⋯
∂
P je diagonální váhová matice a vektory y = (y1, …, yn) a x = (x1, …, xn) jsou měřené souřadnice bodů. [6] Důležitá bude volba stupně polynomu a tvaru funkce φi(x). Pro stupeň polynomu m = n-1, kde n značí počet bodů, přechází aproximace na interpolaci. Průběh můstku není díky vlastnostem sněhu nikdy dokonale plynulý. Sníh působením slunečního záření během dne měkne a povrch můstku se tím do jisté míry deformuje. Body, které na jeho povrchu označíme a zaměříme, tak budou zatíženy chybou z této deformace a chybou měření. Kdybychom je chtěli interpolovat přesně, dostali bychom tvar křivky, který by skutečnému průběhu odrazového můstku neodpovídal. Je proto vhodnější zvolit takový stupeň polynomu, který tyto body aproximuje a jejich chyby v poloze tím potlačí.
2.2.2.1 Aproximace bodů odrazového můstku Pro vyjádření odrazového můstku budeme chtít dodržet fakt, že jeho průběh by měl být plynulý a ne nějak vlnitý. Polynomy vyšších stupňů při aproximaci v ekvidistantních bodech mají tendenci oscilovat (Rungeho jev), stupeň polynomu tedy nesmí být příliš vysoký. Zároveň ale chceme, aby aproximace nebyla příliš hrubá, proto dáme přednost polynomu třetího stupně. Tvar funkcí φ(x) jsem zvolil následovně ( ) = 1,
( )= ,
( )=
,
( )=
Matice plánů má potom tvar 1 = ⋮ 1
⋮
⋮ ⋮
Za předpokladu, že přesnost měření všech bodů je stejná, je matice vah P jednotková. Řešením
soustavy
normálních
rovnic
pak
dostaneme
hodnoty
koeficientů
a = (a0, a1, a2 ,a3). Dalším podstatným faktem je, že každý můstek má svůj začátek, ve 25
kterém je jeho sklon vůči vodorovné rovině nulový. Je tedy zapotřebí získat takový předpis funkce, který toto splňuje. Ne každý polynom třetího stupně ale tuto vlastnost má. Je proto doporučeno zvolit a zaměřit i body nacházející se mimo můstek na rozjezdové ploše, viz obr. 9. Křivka pak bude aproximovat i jejich polohu a s větší pravděpodobností se toho docílí.
Obr. 9: Aproximace odrazového můstku Zdroj: Vlastní
Když se i přesto bod s nulovým úhlem stoupání na křivce nenajde, zvolí se automaticky stupeň polynomu m = 2 a aproximace se opakuje. Polynom druhého stupně, jehož grafem je parabola, má tento bod pro konkávní tvar odrazové plochy vždy.
2.2.2.2 Aproximace bodů dopadové plochy Velikost dopadové plochy je v porovnání s odrazovým můstkem o mnoho větší. Větší proto bude i počet volených bodů, které dostatečně přesně popisují její průběh. Abychom byly schopni aproximovat vyšší počet bodů s dostatečnou přesností, je zapotřebí volit vyšší stupeň polynomu. Pro polynomy vyšších stupňů je však soustava normálních rovnic špatně podmíněná a vede k nepřesným výpočtům koeficientů aproximace. To ovšem neplatí pro ortogonální polynomy, jejichž soustava normálních rovnic je diagonální. Ortogonálních polynomů je celá řada a patří mezi ně například Legendrovy,
Čebyševovy,
Laguerrovy,
Gramovy…
Vlastností
Legendrových
polynomů, která je pro běžné použití považována za nežádoucí, je to, že body na středu intervalu aproximují s větší přesností než body na jeho okraji. Tato vlastnost je ovšem v našem případě přímo žádoucí, protože střední část dopadové plochy, kam skokani doskakují, je nejdůležitější. Pro aproximaci dopadové plochy jsem proto zvolil Legendrovy polynomy, pro které platí rekurentní formule [7] ( )=1 ( )= 26
( )=
2 +1 +1
( )−
+1
( )
Ortogonalita Legendrových polynomů platí pouze na intervalu [-1, 1] s váhovou funkcí ω(x) = 1. Souřadnice měřených bodů je proto nutné redukovat právě na tento interval. Toho docílíme následujícím způsobem. Nejprve najdeme souřadnice, jejichž hodnota je v daném souboru bodů největší – xmax ,ymax a nejmenší – xmin, ymin. Pro délku intervalu potom bude platit =
−
=
−
Souřadnice bodů, redukované na interval [-1, 1] vypočteme podle vztahů =2 =2
( −
)
( −
)
−1 −1
Zbývá už jen zvolit vhodný stupeň polynomu. Ten se odvíjí od počtu aproximovaných bodů a požadované přesnosti aproximace. Jeho hodnota proto bude určena tak, aby rozdíl na bodech (reziduum) nepřesáhlo předem stanovenou hodnotu, jejíž velikost zvolí uživatel aplikace.
2.3 Zaměření postaveného můstku Pro matematické vyjádření již postaveného můstku jsem zvolil metodu aproximace bodů polynomem. Tyto body se na povrchu můstku dočasně označí a jejich souřadnice v souřadnicovém systému můstku se v terénu zaměří. Pomůcek, kterými lze tyto souřadnice zaměřit, se nabízí více. Těmi nejpřesnějšími a nejefektivnějšími jsou samozřejmě totální stanice nebo nivelační přístroj. Ne každý ale tyto přístroje vlastní a ne každý si bude chtít na tuto práci volat geodety. V této části práce se proto věnuji tomu, jak lze zaměřit souřadnice bodů pomocí běžně dostupných pomůcek a metod.
27
2.3.1 Volba polohy bodů
Obr. 10: Volba polohy bodů pro zaměření můstku Zdroj: Vlastní
Body je potřeba volit s ohledem na to, co mají vyjadřovat. Protože pracujeme v dvourozměrném prostoru, ve kterém definujeme tvar můstku křivkou, charakterizující jeho průběh, je vhodné volit body ve středu můstku tak, aby se nacházely přibližně v rovině pomyslného řezu, vytvářející jeho profil. Odstup mezi jednotlivými body je třeba volit tak, aby dostatečně přesně popsaly tvar jeho odrazové a dopadové části. Záleží tedy na celkové velikosti můstku a doporučoval bych odstup cca 1 až 2 metry na odrazové ploše a 2 až 4 metry na dopadové ploše. Jako první označíme bod na odrazové hraně odrazového můstku, který bude definovat počátek souřadnicového systému. Od něho pak budeme volit polohu ostatních bodů. Pro správné matematické vyjádření odrazového můstku je dobré zvolit body nejen přímo na něm, ale i před ním na nájezdové ploše. Tím se při aproximaci bodů zajistí přesnější nalezení jeho počátku, který v terénu není patrný. U dopadové plochy pak volíme body od odrazové hrany až do vzdálenosti, kterou uznáme za dostačující pro požadovanou analýzu.
2.3.2 Fotogrammetrické metody Digitální fotoaparát má dnes kde kdo. Pro zaměření bodů se proto nabízí použít jednu z metod fotogrammetrie. Fotogrammetrické metody lze rozdělit na jednosnímkové a vícesnímkové, přičemž mezi vícesnímkové patří metoda průsekové fotogrammetrie a stereofotogrammetrie. Pro určení prvků vnější orientace snímků slouží u vícesnímkových metod vlícovací body, jejichž souřadnice se zaměří. My však vycházíme z předpokladu, že pomůcky jako je totální stanice k dispozici nemáme 28
a zaměření souřadnic vlícovacích bodů proto provést nemůžeme. Bez vlícovacích bodů ovšem výrazně klesá přesnost těchto metod a jejich použití není vhodné. [8] U jednosnímkové metody lze při dodržení jistých předpokladů určit měřítko snímku pomocí svislé latě o známé délce. Lať umístíme ve svislé poloze na počáteční bod definující počátek soustavy můstku. Zvolíme stanovisko, které musí ležet ve stejné rovině jako zvolené body. Na tomto stanovisku zhorizontujeme digitální fotoaparát. Horizontací fotoaparátu docílíme vodorovnosti záměrné přímky a tedy rovnoběžnosti osy x a x‘, viz obr 11.
Obr. 11: Fotogrammetrické zaměření souřadnic bodů Zdroj: Vlastní
Lať s koncovým bodem M a známou délkou m bude udávat rozměr celého modelu. Přesnost určení souřadnic bodů tak bude záviset na délce latě, a s ohledem na to je třeba volit její hodnotu. Čím větší bude mít lať délku, tím přesněji určíme souřadnice bodů. Pomocí pásma změříme šikmé vzdálenosti si jednotlivých bodů od počátečního bodu a pořídíme snímek. Každý digitální fotoaparát má svou konstantu komory f, která udává vzdálenost hlavního snímkového bodu H od středu promítání O. Tato konstanta je jedním z prvků vnitřní orientace přístroje a její hodnota je dána výrobcem. [8] Snímek si zobrazíme pomocí vhodného softwaru, např. v MATLABu, a určíme vertikální vzdálenosti r0 - rn bodů od hlavního bodu snímku. Stejně tak určíme vertikální vzdálenost koncového bodu latě rM. Vzdálenosti bodů zobrazených pod úrovní hlavního bodu snímku mají zápornou hodnotu. Pomocí těchto vzdáleností a pomocí známé konstanty komory f vypočteme úhly δ0 - δn a δM, které svírají jednotlivé paprsky s osou záběru δ = arcsin 29
Pomocí známé délky latě m vypočteme šikmou vzdálenost d0 počátečního bodu od středu promítání s využitím podobnosti trojúhelníků OM0 a OM‘0‘ =
−
kde =
cos( )
V trojúhelníku Oi0 vypočteme úhel αi =
−
a pomocí sinové věty vypočteme úhel γi sin( )
= sin
Pomocí kosinové věty vypočteme šikmou vzdálenost bodu na můstku od středu promítání =
+
cos( )
−2
kde =
−
−
Ve středu promítání zvolíme počátek souřadnicového systému s osami x‘ a y‘ rovnoběžnými s osami souřadnicového systému můstku a pomocí známých délek a úhlů určíme souřadnice bodů v tomto systému cos( )
=
sin( )
=−
Vypočteme souřadnicové posuny mezi systémy cos( )
= =−
sin( )
a pomocí nich určíme hledané souřadnice bodů v souřadnicovém systému můstku =
−
=
−
Tato metoda nebyla v praxi vyzkoušena a před jejím použitím doporučuji ověřit její přesnost. Zároveň ji lze použít pouze pro zaměření odrazového můstku. Při snaze zaměřit dopadovou plochu by pravděpodobně selhala při hledání vhodného stanoviska, ze kterého by měly být vidět všechny označené body včetně toho počátečního.
30
2.3.3 Zaměření pomocí pásma Další a zřejmě i poslední pomůckou, která se nabízí pro zaměření souřadnic bodů, a přitom je finančně dostupná, je pásmo. Jeho použití je velice jednoduché a přesnost pro účel analýzy můstku je dostačující. Pásmem jsme schopni měřit pouze vzdálenosti, proto celé zaměření bude spočívat v měření šikmých a vodorovných vzdáleností mezi jednotlivými body. Jako výchozí bod bude opět použit počáteční bod označený na hraně odrazového můstku. V případě bodů na odrazovém můstku budeme měřit šikmé vzdálenosti s1, s2, …, sn jednotlivých bodů od počátečního bodu a vodorovné vzdálenosti dx1, dx2, …, dxn mezi jednotlivými body, které jsou zároveň souřadnicovými rozdíly.
Obr. 12: Zaměření můstku pomocí pásma Zdroj: Vlastní
Souřadnice bodů pak vypočteme podle vztahů =− =−
−
s chybou =√ . =
.
+
.
Chyba souřadnic se zvětšuje s pořadovým číslem bodu, což vyplývá ze způsobu měření x-ových souřadnic, která jsou na sobě závislá. Celkovou chybu souřadnic bodů můžeme zmenšit opakovaným měřením jednotlivých vzdáleností. Výsledná vzdálenost se vypočte jako aritmetický průměr n měření se směrodatnou odchylkou = 31
√
kde σd značí chybu jednoho měření. Za předpokladu dvojího měření vzdáleností s chybou jednoho měření σd = 0,5 cm je teoretická přesnost určených souřadnic desátého bodu σx_10 =1,1 cm a σy_10 =4,2 cm, což lze považovat za dostačující. Při měření souřadnic bodů dopadové plochy lze postupovat obdobným způsobem. Rozdíl bude v tom, že nejsme schopni změřit šikmou vzdálenost všech bodů od počátečního bodu. Budeme tedy měřit šikmé s1, s2, …, sn a vodorovné dx1, dx2, …, dxn vzdálenosti mezi jednotlivými body. Vzorce pro výpočet souřadnic pak budou následující =
=
+
−
s chybou =√ . =
+
.
+
.
Přesnost výsledných souřadnic lze opět zvýšit opakovaným měřením či nadbytečným měřením vzdáleností mezi libovolnými body.
32
3 Vliv prostředí na pohyb skokanů 3.1 Tíhové zrychlení Tělesa nacházející se v poli zemské tíže jsou přitahována k Zemi silou, které říkáme síla tíže. Pole zemské tíže je charakterizováno jeho intenzitou a ta má fyzikální rozměr zrychlení. To nazýváme tíhovým zrychlením g, které je vektorovým součtem gravitačního zrychlení ag a odstředivého zrychlení ao, viz obr. 13.
Obr. 13: Tíhové zrychlení Zdroj: Vlastní
Gravitační zrychlení je dáno gravitační silou Země a směřuje přibližně do jejího středu. Podle Newtonova gravitačního zákona 12
=−
1
2
12
popisujícího pomocí Newtonovy gravitační konstanty G vzájemné silové působení mezi dvěma body o hmotnosti m1 a m2 ve vzdálenosti od sebe r12, se velikost gravitační síly Země mění v závislosti na vzdálenosti tělesa od jejího středu. Protože Země není koule, ale její tvar se nejvíce přibližuje rotačnímu elipsoidu, je vzdálenost od jejího středu, potažmo velikost gravitačního zrychlení, závislá nejen na nadmořské výšce, ale i na zeměpisné šířce. [9] [10] Odstředivé zrychlení je způsobeno rotací Země a směr působení je kolmý k ose rotace. Jeho velikost je dána úhlovou rychlostí otáčení Země, která je v daném okamžiku pro libovolnou polohu na Zemi konstantní, a poloměrem otáčení, který se mění se zeměpisnou šířkou. Dosahuje tak největších hodnot na rovníku a na pólech má hodnotu nulovou. 33
Tíhové zrychlení se tedy mění s polohou na Zemi. Jeho přibližnou hodnotu v závislosti na zeměpisné šířce φ a nadmořské výšce H lze určit pomocí Helmertova vztahu [9] = (9,8061999 − 0,0259296. cos(2 ) + 0,0000567. cos (2 )) − 3,086. 10 Takto vypočtená hodnota je pouze přibližná, protože síla tíže je ve skutečnosti proměnná v čase. To je způsobeno především gravitačními účinky Měsíce a Slunce, nepravidelností v rotaci Země, změnou přesné polohy zemského pólu či atmosférickými změnami. Jejich velikost je však o několik řádů menší, než hodnota tíhového zrychlení a jejich vliv na trajektorii skoku je nevýznamný. [9] [10]
3.2 Disipativní procesy „Disipativností procesu rozumíme nevratný rozptyl částí energií při transformaci z jedné její formy na druhou. Disipativní procesy jsou prakticky všechny reálné procesy, které existují při běžné lidské činnosti. Chůze, let letadla, pracovní a sportovní činnosti, např. jízda na lyžích apod.“ [11]
3.2.1 Tření lyží Třecí síla vzniká při vzájemném dotyku dvou pohybujících se těles, kdy se kinetická energie částečně přemění na energii tepelnou. Velikost tření nezávisí na obsahu plochy dotyku, ale na kolmé síle, jež na sebe tělesa vzájemně působí, a na struktuře a vlastnostech povrchů těchto těles. Třecí síla je dána vztahem = . kde FN je kolmá síla působící mezi oběma předměty a μ je koeficient tření, definující charakteru povrchů těles. Koeficient tření se získává experimentálním měřením na přístrojích zvaných tribometr. V případě tření lyží o sníh je jeho velikost závislá na velkém množství faktorů. Mezi ty nejdůležitější patří druh a kvalita sněhu, ale také teplota vzduchu, tvar a délka lyží, jakost skluznice, vlastnosti urychlovacích vosků, rychlost jízdy apod. Přibližnou závislost koeficientu tření na vlastnostech sněhu uvádí následující tabulka
34
Jakost sněhu
Charakter skluzu
μ
Výborný
0,03 – 0,06
Uspokojivý
0,06 – 0,20
Špatný
0,10 – 0,20
Tvrdý, přemrzlý, pevný jarní firn Uježděný sníh, Krupičkový firn Vlhký, sypký, hluboký, S korou, která se boří
Tabulka 1 - Součinitel smykového tření v závislosti na jakosti sněhu. Zdroj [11]
Mimo tření mezi skluznicí a sněhem dochází při jízdě na lyžích k mnoha dalším odporovým silám. Celkový odpor sněhu brzdící pohyb lyžaře je tak souhrnem několika dílčích složek, které můžeme označit jako R1 až R4. Kde R1 značí tření sněhu a skluznice, R2 je odpor sněhu, který se hrne před špičkou lyže. R3 značí ztrátu kinetické energie předanou částicím sněhu, které následkem toho odletují od lyží a R4 je boční tření lyží o sníh. V praxi pak součet složek R2 + R3 + R4 představuje asi 10 % z celkového odporu sněhu. [11]
3.2.2 Odpor vzduchu Dalším zdrojem ztráty kinetické energie lyžaře je odpor prostředí, ve kterém se pohybuje. Pohybem tělesa v tekutém prostředí dochází k turbulencím, přeskupování molekul, které mu stojí v cestě, a jejich vzájemnému tření. V případě malých rychlostí se jedná o laminární obtékání tělesa a velikost odporové síly je přímo úměrná této rychlosti. Při větších rychlostech, kdy se za tělesem začínají tvořit víry, se obtékání nazývá turbulentní a odporová síla je dána vztahem =
1 2
kde S je obsah plochy průmětu tělesa kolmého ke směru rychlosti, C je koeficient odporu, ρ je hustota prostředí a v je rychlost tělesa vůči danému prostředí. [11] [12] Koeficient odporu, nebo též aerodynamický koeficient C, charakterizuje tvar tělesa a je také závislý na rychlosti tělesa vůči prostředí. „Z oblasti sjezdového lyžování se z experimentálních zjištění v oblasti kinetického tření a odporu vzduchu uvádí (Kaps, P., Nachbauer, W., Mosner, M. 1996), že koeficient odporu vzduchu je zhruba poloviční při rychlosti 10 ms-1 a v intervalu rychlosti 15 – 45 ms-1 je zhruba konstantní.“ [11] Jeho přibližnou hodnotu a hodnotu plochy průmětu lyžaře udává následující tabulka
35
Postoj lyžaře základní snížený nízký
Velikost plochy průmětu lyžaře S [m2], výška 1,7 m, váha 70 kg Obyčejný oblek Přiléhavý oblek 0,8 – 1,0 0,6 0,6 – 0,8 0,4 0,4 – 0,6 0,3
Aerodynamický koeficient C 0,8 0,7 0,6
Tabulka 2 – Velikost plochy průmětu lyžaře S a aerodynamického koeficientu C při různých postojích lyžaře. Zdroj [11]
3.2.2.1 Hustota vzduchu Hustota vzduchu v atmosféře není konstantní, je závislá na její teplotě, atmosférickém tlaku a relativní vlhkosti vzduchu. A protože její hodnota se mění velmi zásadně, je žádoucí určit její konkrétní velikost v závislosti na podmínkách v lokalitě, kde se nachází můstek, jež budeme chtít analyzovat. Budeme-li předpokládat, že vzduch je tvořen směsí vzduchu suchého a určitého množství vody ve formě syté, či přehřáté vodní páry, budeme vycházet z Daltonova zákona = který můžeme pro barometrický tlak rozepsat do jednotlivých složek =
+
kde p je celkový tlaku vzduchu, index A značí suchý vzduch a index V značí vodní páry. Pro 1 kg vlhkého vzduchu má stavová rovnice plynu tvar = kde R je univerzální plynová konstanta, ρ je hustota vlhkého vzduchu, T je termodynamická teplota a Mn je střední molekulová hmotnost vlhkého vzduchu. [13] Relativní vlhkost vzduchu udává míru nasycení vzduchu a její přibližná hodnota je dána poměrem parciálního tlaku vodní páry ve vzduchu ku parciálnímu tlaku sytých par při téže teplotě =
≈
Pouze přibližná rovnost je dána skutečností, že vlhký vzduch není ideální plyn. Parciální tlak syté páry je závislý pouze na teplotě a jeho velikost lze určit pomocí následujících vztahů [13]
36
pro teploty -100 až 0 °C ln(
)=
+
+
+
+
+
ln( )
+
a pro teploty o až 200 °C ln(
)=
+
+
+
+
ln( )
+
kde C1 = -5,674 535 9.103 C2 = -5,152 305 8.10-1 C3 = -9,677 843 0.10-3 C4 = 6,221 570 1.10-7 C5 = 2,074 782 5.10-9 C6 = -9,484 024 0.10-13 C7 = 4,163 501 9 C8 = -5,800 220 6.103 C9 = -5,516 256 0 C10 = -4,864 023 9.10-2 C11 = 4,176 476 8.10-5 C12 = -1,445 209 3.10-8 C13 = 6,545 967 3
Hustota vlhkého vzduchu je dána vztahem =
+
Při rozepsání dostaneme =
=
+ 1
= −
+
= +
+ =
1
=
+ 1
+
−
= −
+
=
1
kam za plynové konstanty suchého vzduchu rA a vodních par rV dosadíme hodnoty =
= 287,11 [ /
. ]
=
= 461,50 [ /
. ]
kde molekulová hmotnost suchého vzduchu 37
MA = 28,96 kg/kmol
molekulová hmotnost vodní páry
MV = 18,02 kg/kmol
univerzální plynová konstanta
R = 8314,3 J/kmol.K
a dostaneme =
,
.
( ,
.
−
)
výsledný vztah pro výpočet hustoty vzduchu na základě jeho barometrického tlaku, termodynamické teploty a relativní vlhkosti. [13] [14] Měření těchto vlastností však vyžaduje speciální přístroje. Požadovaná přesnost aplikace pro určení místa dopadu je v řádech centimetrů a nabízí se proto otázka, zda není zbytečné všechny tyto vlastnosti pro účel výpočtu hustoty vzduchu měřit. Teplota vzduchu má sice nezanedbatelný vliv, ale změřit či odhadnout její hodnotu není problém. Pokusem však bylo zjištěno, že relativní vlhkost vzduchu má v tomto ohledu vliv minimální. Uživatel aplikace proto nebude muset její hodnotu měřit či jinak zjišťovat a do výpočtu bude vstupovat s konstantní hodnotou φ = 50 %. Naproti tomu tlak vzduchu zásadně ovlivňuje jeho hustotu a je tedy nutné ho do výpočtu zahrnout. Za předpokladu atmosféry, ve které se s výškou nemění teplota, lze přibližnou hodnotu atmosférického tlaku vyjádřit pomocí barometrické rovnice =
.
kde p0 je normální atmosférický tlak u hladiny moře (p0 = 101325 Pa), ρ0 je hustota vzduchu u hladiny moře (ρ0 = 1.293 kg/m3), H je nadmořská výška a g je tíhové zrychlení. [15] Pro nadmořské výšky do pěti kilometrů a pro účel naší aplikace je přesnost takto určeného tlaku dostačující. Uživatel aplikace tak bude mít na výběr, zda hodnotu atmosférického tlaku v místě můstku sám změří pomocí tlakoměru, nebo jeho hodnotu vypočte v závislosti na nadmořské výšce.
38
4 Matematický model jednotlivých fází skoku Celý proces skoku, tak jak jej chceme modelovat, lze rozdělit do tří fází. V první fázi skokan najíždí na odrazový můstek, po kterém se pohybuje až do bodu odrazu. Fáze druhá začíná v bodě, kde skokan opouští odrazový můstek a jedná se o let skokana po letové trajektorii. Poslední fází je doskok skokana na dopadovou plochu. Tomu všemu předchází rozjezd, během kterého se skokané snaží nabrat dostatečně velkou rychlost, a celý skok je zakončen odjezdem. Tyto dvě fáze však analýze můstku nepodléhají.
Obr. 14: Jednotlivé fáze skoku Zdroj: http://freeski.downdays.eu/news/27/10/2012/snowpark-lenzerheide-20122013/ [14-05-2014]
4.1 Pohyb po odrazovém můstku Celý proces skoku začíná tím, že se skokan rozjíždí na odrazový můstek a snaží se získat optimální rychlost. Rozjezd bývá zpravidla přírodní či uměle vytvořený svah, takže je k rozjezdu využíváno působení gravitace. V případě, že je rozjezdový svah mírný či úplně rovný, bývají skokané zrychleni jízdou na laně za skútrem, nebo jiným motorovým prostředkem. Otázku rozjezdu však řešit nebudeme a budeme se zajímat až o okamžik, kdy skokané najíždí na odrazový můstek. Do té doby se jejich rychlost zvyšuje, nebo je ustálena na přibližně konstantní hodnotě. Rychlost, se kterou skokan najíždí na odrazový můstek, je zároveň možné za pomoci vhodných pomůcek změřit 39
a případně zobrazit na světelné tabuli umístěné tak, aby ji skokan při rozjezdu viděl. Tuto rychlost budeme nazývat nájezdovou rychlostí a budeme předpokládat, že jsme schopni určit její hodnotu. S pohybem po odrazovém můstku až do bodu odrazu se však tato rychlost mění. Pro výpočet trajektorie je proto nezbytné tuto změnu vypočítat a určit rychlost odrazovou.
4.1.1 Změna rychlosti
Obr. 15: Změna rychlosti při pohybu po odrazovém můstku Zdroj: Vlastní
Zrychlení, se kterým se skokan po odrazovém můstku pohybuje, není konstantní. Mění se s úhlem stoupání můstku, s jeho poloměrem křivosti a s aktuální rychlostí skokana. Výpočet změny rychlosti od místa nájezdu do místa odrazu proto provedeme integrační metodou. Délku odrazového můstku l rozdělíme na n úseků a dostaneme vektor = [ , , ,…,
]= − ,
−1
, … ,0
Pomocí předpisu funkce vyjadřující průběh odrazového můstku vypočteme pro jednotlivá x jejich funkční hodnotu = [ , , ,…,
] = [−ℎ, ( ), ( ), … ,0]
a úhel stoupání můstku ( )
= arctan Získáme tak polohu jednotlivých bodů
= [ , , ,…,
]
dělících průběh celého můstku na n úseků Δr. Jejich přibližnou délku lze vypočítat podle vztahu 40
=
(
) +(
−
−
)
Budeme předpokládat, že se skokan na celém úseku Δri pohybuje s konstantním zrychlením ai, a tedy že pro celý úsek platí konstantní úhel stoupání τi a konstantní poloměr křivosti Ri = kde =
−
Rovnoměrně zrychlený pohyb skokana na úseku Δri lze popsat následujícími vztahy. Pro zrychlení a platí [16] = odkud =
⟶ =
+
Pro rychlost v platí [16] = odkud =
(
+
Dosazením za v dostaneme =
)
a vyřešením integrálu dostaneme pohybovou rovnici pro rovnoměrně zrychlený pohyb =
+
+
1 2
Pro výpočet změny rychlosti na daném úseku Δri potom platí =
+
kde t je čas, za který skokan urazí daný úsek Δri. Tento čas lze určit řešením pohybové rovnice =
+
+
kam dosadíme =
−
a dostaneme kvadratickou rovnici 41
1 2
1 2
+
−
=0
jejímž řešením je =−
1
−
+ 2
Dosadíme-li za t do vzorce pro výpočet změny rychlosti dostaneme =
−
1
−
+ 2
+
odkud =
+
je výsledný vzorec pro výpočet změny rychlosti na úseku Δri. Změnu rychlosti při pohybu po odrazovém můstku pak vypočteme po jednotlivých úsecích. Počáteční rychlostí na úseku Δri bude koncová rychlost předcházejícího úseku Δri-1, přičemž na každém úseku se bude skokan pohybovat s různým zrychlením v závislosti na rychlosti, poloměru křivosti a úhlu stoupání můstku v daném místě.
4.1.2 Zrychlení a přetížení na odrazovém můstku
Obr. 16: Síly působící na skokana při pohybu po odrazovém můstku Zdroj: Vlastní
Obecně je skokan při pohybu vystaven působení mnoha sil. Ty, které zásadně ovlivňují jeho pohyb, jsem zmínil v kapitole 3 a jedná se především o gravitační sílu, odporovou sílu vzduchu a tření lyží. Při jízdě po zakřivené ploše, jakou je například odrazový můstek, působí na skokana ještě jedna síla, kterou můžeme nazvat silou odstředivou. Ta je závislá na rychlosti a poloměru křivosti plochy a vypočte se podle vztahu [16] 42
= kde R je poloměr křivosti v daném místě můstku a v je okamžitá rychlost skokana. Odstředivá síla působí ve směru normály k ploše a má vliv na velikost třecí síly. Celková síla brzdící pohyb skokana je součtem všech sil působících na skokana ve směru tečném k odrazovému můstku =
+
+
kde Fv značí sílu odporu vzduchu, Ft je třecí síla mezi skluznicí a sněhem a Fgt je tečná složka gravitační síly. Gravitační síla je dána vztahem = a působí ve směru vertikálním. Velikost její normálové a tečné složky je závislá na úhlu stoupání. Normálová složka gravitační síly se vypočte =
cos( )
=
sin( )
a její tečná složka
kde m je celková hmotnost skokana, g je tíhové zrychlení a τ je úhel stoupání můstku. Síla tření lyží je dána vztahem = kde μ je koeficient tření mezi skluznicí a sněhem a FN je celková síla působící na skokana ve směru normály k odrazovému můstku. Ta je rovna součtu normálové složky gravitační síly Fgn a odstředivé síly Fo =
+
cos( ) +
=
Výsledná třecí síla je potom rovna cos( ) +
=
Odporová síla vzduchu je v případě turbulentního obtékání popsána vztahem =
1 2
kde S je obsah plochy průmětu skokana, C je koeficient odporu vzduchu skokana a ρ je hustota vzduchu. Výsledná síla způsobující změnu rychlosti skokana, tj. celková síla působící ve směru tečném k odrazovému můstku, se vypočte =
+
+
=
1 2
+ 43
cos( ) +
+
sin( )
Vytknutím hmotnosti skokana m dostaneme =
1 2
cos( ) +
+
+
sin( )
odkud z Newtonova zákona síly = vyjádříme vzorec pro výpočet celkového zrychlení, s nímž se skokan pohybuje na úseku Δri odrazového můstku =
( )+
+
+
( )
Na všechny předměty, nacházející se na Zemi, působí tíhové zrychlení g. Toto tíhové zrychlení můžeme také označit jako přetížení o velikosti 1 g a ve stavu klidu působí na všechny předměty i živočichy. Naše tělo se mu během života přizpůsobilo a zvyklo si na něj. Při pohybu po odrazovém můstku však musí skokané odolávat síle, která na ně působí přibližně ve směru normály k můstku. Můžeme tedy říci, že jsou vystaveni přetížení, které má větší hodnotu, než na kterou jsou zvyklí. To zásadně ztěžuje jejich pohyb. Celkové přetížení, jež působí na skokana v daném bodě na odrazovém můstku, je vektorovým součtem všech zrychlení, které na něho v onom místě působí. Jinak řečeno je vektorovým součtem celkového zrychlení v tečném a normálovém směru a lze ho vyjádřit pomocí Pythagorovy věty [17] =
+
kde = =
+
+
=
1 2
+
=
cos( ) +
+
cos( ) +
+
sin( )
4.2 Trajektorie letu Trajektorie letu začíná v místě, kde skokan opouští odrazový můstek. V ten moment má skokan možnost se odrazit, prošlápnout odraz nebo neudělat nic. Odrazem a prošlápnutím odrazu se rozumí skokanova snaha o změnu velikosti a směru odrazové rychlosti pomocí přesouvání svého těžiště. Jakou silou a v jakém směru se skokané odráží přesně nevíme a bylo by třeba to zjistit zkoumáním konkrétních pokusů. V naší
44
analýze budeme popisovat pouze tu situaci, kdy skokan odraz neovlivňuje. Jinak řečeno trajektorie jeho těžiště bude začínat pod úhlem, kterým končí odrazový můstek. V dynamice hmotných bodů se zpravidla vychází z pohybových rovnic získaných aplikací 2. pohybového zákona =
=
Jsou to diferenciální rovnice, jejichž řešení vyžaduje použití speciálních metod. Numerických metod pro řešení diferenciálních rovnice je celá řada. Mezi nejběžněji používané patří např. Eulerova metoda, nebo Rungovy-Kuttovy metody různých řádů. Osvědčená je Rungova-Kuttova metoda 4. řádu, kterou ve své práci pro výpočet trajektorie použiji i já. Je dána vzorcem [18] [19] 1 + ( 6
=
+2
+2
)
+
kde =ℎ (
,
) ℎ + , 2 ℎ + , 2
=ℎ =ℎ =ℎ (
+ +
+ ℎ,
+
2 2 )
a h je konstantně zvolený časový krok. Za předpokladu, že na intervalu dt = ti+1 - ti, je pohyb skokana dostatečně přesně popsán rovnicí =
+ .
+ .
+ .
kde A, B, C, D jsou vektorové konstanty a dt značí časový interval použitý jako krok numerické metody, popisují cyklus výpočtu následující vztahy [18] = =
+
=
+
=
+
= =
+ +(
2 2
,
+
,
+
,
+
2 2 ,
+(
+
+2
+2 45
,
+
,
+
2 2
+ + +
+ +
+ )
6 )
6
8 8 2
=
+
Protože se skokan pohybuje v dvourozměrném prostoru, kde na něho ve směru obou os působí různé zrychlení, aplikujeme dané vztahy na obě osy zvlášť. Počáteční rychlosti skokana ve směru jednotlivých os jsou dány jeho odrazovou rychlostí v0 a úhlem odrazu α =
. cos( )
=
. sin( )
Zrychlení ve směru os je definováno =− . =− .
. .
−
kde k je koeficient odporu vzduchu zahrnující všechny konstanty . . 2. Rungova-Kuttova metoda 4. řádu je relativně přesná a pro účel naší analýzy můstku =
si můžeme dovolit preferovat rychlost výpočtu na úkor zbytečně vysoké přesnosti. Časový krok numerické metody jsem proto zvolil dt = 0,2 s, což je pro požadovanou přesnost v řádech centimetrů vyhovující. Doba letu skokana se pohybuje okolo 2 sekund a celá trajektorie je tak popsána v přibližně deseti cyklech. Místo dopadu je určeno jako průsečík trajektorie s křivkou vyjadřující průběh dopadové plochy. Spolu s místem dopadu je při výpočtu trajektorie určena doba letu a směr a velikost vektoru dopadové rychlosti.
4.3 Dopad skokana na dopadovou plochu Poslední z fází skoku, které podléhají analýze můstku, je dopad skokana na dopadovou plochu. Tvar dopadové plochy je volen v závislosti na celkové velikosti můstku a musí být v souladu s odrazovým můstkem. Konkrétně úhel odrazu udává, jaký úhel bude mít trajektorie skokana na dopadu a sklon dopadové plochy musí být tomuto dopadovému úhlu úměrný. Zásadním a jediným faktorem, který budeme při analýze dopadu skokana sledovat, je přetížení, které na něho při doskoku působí. V momentě, kdy skokan přistává, se mění směr jeho pohybu z původního směru trajektorie na směr, který je dán průběhem dopadové plochy. Tím se mění i jeho rychlost ve směru normály této plochy. Ke změně rychlosti samozřejmě nedochází okamžitě, protože v takovém případě by na skokana působilo nekonečně veliké 46
přetížení. Aby skokan minimalizoval velikost přetížení při doskoku, snižuje výšku svého těžiště vůči dopadové ploše a zajišťuje tak plynulou změnu rychlosti ve směru její normály z původní hodnoty v0 až na nulovou hodnotu, viz obr. 17.
Obr. 17: Dopad skokana na dopadovou plochu Zdroj: Vlastní
Těsně před dopadem se skokan pohybuje rychlostí v ve směru trajektorie. Ve směru normály k dopadové ploše se pohybuje rychlostí v0 a její velikost je závislá na úhlu α, který spolu svírají trajektorie a dopadová plocha v místě dopadu. = . cos( ) V čase t0 má tedy skokan rychlost v0 a jeho těžiště se nachází ve výšce h0 nad terénem. Po jisté době, tj. v čase t1, sníží výšku těžiště na minimální hodnotu h1 a rychlost ve směru normály klesne na nulu v1 = 0. V případě, že by skokan snižoval polohu svého těžiště rovnoměrně, snižovala by se rovnoměrně i jeho rychlost a na celém úseku t0 – t1 by se pohyboval s konstantním zrychlením. To však ve skutečnosti neplatí a velikost zrychlení, které je směrnicí tečny ke křivce změny rychlosti, je proto v každém místě jiná. Jeho okamžitá hodnota je rovna derivaci rychlosti podle času = Okamžitá rychlost je derivací dráhy podle času = a jejich kombinací dostaneme =
=
=
47
Pro určení okamžitého přetížení ve všech místech bychom museli znát přesný průběh změny těžiště. Ten však neznáme a budeme proto předpokládat, že ke změně polohy těžiště dochází rovnoměrně. Ve skutečnosti tak určíme pouze hodnotu odpovídající střední hodnotě skutečného přetížení, které na skokana v časovém intervalu t0 – t1 při dopadu působí. Vztahy pro okamžité hodnoty rychlosti a zrychlení můžeme přepsat do tvaru − −
= ℎ =ℎ +
1 ( 2
=
−
) ⟶ ℎ =
−
1 ( 2
)
Odkud vyjádříme dt a dosazením do vztahu pro zrychlení dostaneme po úpravě =
.
výsledný vztah pro určení střední hodnoty přetížení, působící na skokana při dopadu. [17] Celkové přetížení je ve skutečnosti ještě sníženo o deformaci dopadové plochy, která je dána tvrdostí sněhu. Pro freeskiingový můstek, jehož dopad bývá tvrdý a přemrzlý, je tato deformace minimální a pohybuje se v řádech jednotek centimetrů. Skokan je tak při tlumení nárazu odkázán především sám na sebe. To o kolik je třeba snížit těžiště, aby přetížení mělo hodnotu, která je přijatelná pro bezpečné přistání, je závislé především na úhlu, který spolu svírají trajektorie a dopadová plocha v místě přistání. Pro účel aplikace budeme předpokládat, že skokan má vždy možnost snížit své těžiště minimálně o 40 cm a tato hodnota bude konstantně nastavena pro výpočet přetížení.
48
5 Analýza můstku Provést analýzu můstku znamená definovat, jaký vliv mají jeho parametry na skokanův pohyb, a početně určit velikost těchto vlivů. Pro tento účel jsem v prostředí MATLABu sestavil řadu programů, které dohromady tvoří jednu aplikaci, viz obr 18. Při analýze sledujeme pohyb skokana po odrazovém můstku, tvar trajektorie, kterou skokan v letu opisuje a dopad skokana na dopadovou plochu. To vše v závislosti na parametrech můstku a okolního prostředí. Na základě výsledků analýzy se vyhodnotí kvalita můstku, na kterou lze nahlížet z více hledisek. Můstek by měl svými parametry zajistit skokanům jednak pohodlné, ale zároveň i bezpečné skákání.
5.1 Účel analýzy Výsledky analýzy můstku by měly především pomoct shaperům navrhnout kvalitní a bezpečný můstek. Tvar odrazové a dopadové plochy a jejich vzájemné polohové uspořádání mají zásadní vliv na kvalitu a bezpečnost skákání. Nikdo zatím přesně nespecifikoval, jak by freeskiingové můstky měly vypadat, aby skokanům zajistily optimální podmínky pro skákání, jako je tomu například u akrobatického lyžování. Jinak řečeno jejich parametry volí každý shaper sám na základě vlastních zkušeností. Výsledky analýzy by tak mohly pomoci vyzkoumat, které parametry můstku jsou či nejsou pro skákání ideální. To by shaperům pomohlo vyhnout se stavbě takových můstků, které jsou pro skákání nevhodné a často i nebezpečné. Analýza pak může sloužit i vedlejšímu účelu, kterým je určení potřebné odrazové nebo nájezdové rychlosti. Vždy, když je stavba nového můstku dokončena, je třeba najít dobrovolníka, který překážku otestuje prvním skokem. Hlavním rizikem tohoto testování je špatný odhad nájezdové rychlosti, které skokan potřebuje dosáhnout pro doskok na místo k tomu určené. K tomuto pochybení, i přes mnohaleté zkušenosti skokanů, velmi často dochází. To má za následek přistání skokana v místě dopadové plochy, které není k dopadu určeno, a může skončit úrazem. Znalost potřebné nájezdové rychlosti by při použití vhodných pomůcek, kterými lze změřit rychlost skokana, pomohla k bezpečnému testování nově postavených skoků.
49
Obr. 18: Uživatelské rozhraní vytvořené aplikace pro analýzu můstku. Zdroj: vlastní 50
5.2 Výsledky analýzy Základními a hlavními výsledky analýzy freeskiingového můstku jsou informace spojené s trajektorií letu skokanů. Těmi jsou například: potřebná odrazová či nájezdová rychlost, vzdálenost místa dopadu, doba letu nebo přetížení působící na skokana při dopadu. Tyto informace se dají dále zpracovat do podoby grafů závislostí jejich hodnot na různých vstupních veličinách. Výsledků analýzy můstku je tedy mnoho. Jedná se především o grafy závislostí veličin spojených s trajektorií na parametrech můstku, parametrech okolního prostředí či různých parametrech skokanů. Některé z nich mají pouze informativní charakter, jiné přímo vypovídají o kvalitě můstku.
5.2.1 Vedlejší výsledky analýzy Mezi výsledky, které nevypovídají o kvalitě můstku, ale mají pouze informativní charakter, můžeme zařadit například grafy závislostí na různých hodnotách parametrů prostředí či parametrů skokanů. Jsou jimi například následující grafy a spousta dalších. Graf 1: Graf závislosti vzdálenosti místa dopadu na nadmořské výšce pro konstantní nájezdovou rychlost v0 = 70 km/h
Zdroj: vlastní
51
Graf 2: Graf závislosti potřebné nájezdové rychlosti na hmotnosti skokana pro požadovanou vzdálenost místa dopadu d = 25 m
Zdroj: vlastní
Těmito výsledky nelze charakterizovat povahu můstku. Spíše nám dávají představu o tom, jaký vliv mají parametry prostředí a skokanů na skákání, a dokazují, že je nezbytné jejich správné hodnoty do výpočtů zahrnout.
5.2.2 Výsledky vypovídající o kvalitě můstku Mezi stěžejní výsledky, na základě kterých můžeme vyhodnotit kvalitu můstku, patří především: Graf přetížení, které působí na skokana při pohybu po odrazovém můstku. Přetížení, kterému musí skokan při pohybu po odrazovém můstku odolávat, zásadně stěžuje jeho pohyb. Při velkých hodnotách přetížení se tak může stát, že se skokan není schopen správně odrazit, aby provedl plánovaný trik, a následkem toho je dezorientován. K velkým hodnotám přetížení dochází v případě, že velikost a poloměr křivosti odrazového můstku jsou neúměrně malé ke vzdálenosti místa dopadu a skokan tak potřebuje k jejímu překonání neúměrně velikou rychlost. Kombinace malého poloměru křivosti můstku s velkou rychlostí způsobí větší přetížení, než kterému je skokan schopen odolat.
52
Graf 3: Přetížení působící na skokana při pohybu po odrazovém můstku pro dvě různé velikosti můstku při stejné požadované vzdálenosti místa dopadu d = 25 m
Zdroj: vlastní
Doba letu pro očekávanou vzdálenost místa dopadu. Každý můstek je stavěn za určitým účelem, pro určitou skupinu lidí a tomu by měly odpovídat i jeho parametry. V případě, že je můstek stavěn pro profesionální skokany, kteří ovládají složité triky, měl by jim můstek zajistit dostatečně dlouhou dobu letu na provedení těchto triků. Je nežádoucí, aby skokané nemohli předvést své nejlepší triky, protože jim to parametry můstku nedovolí. Strmost křivky, popisující závislost vzdálenosti místa dopadu na odrazové rychlosti. Snahou všech, kdo staví skok, je navrhnout takový dopad, který by skokanům zajistil co nejpohodlnější přistání. Toho je docíleno, když tvar dopadu přibližně kopíruje skokanovu trajektorii, a skokan tak dopadá pod minimálním úhlem. V takovém případě ale stačí malý rozdíl v odrazové rychlosti, aby skokan letěl příliš daleko, nebo naopak příliš blízko. To vadí především proto, že skokané svou rychlost odhadují a nikdy nejedou tou samou rychlostí, kterou se odráželi prve. Trefit místo na dopadu, které je ideální pro přistání, je pak velmi obtížné. Posledním výstupem, který považuji za důležitý je velikost přetížení působící na skokana na dopadu a velikost území dopadové plochy, kde při dopadu působí na skokana
přetížení
s hodnotou
v přijatelných
mezích.
Tento
bod
souvisí
s tím předchozím a v podstatě jde o to, aby navržená dopadová plocha nebyla ani příliš strmá, ale ani příliš mírná. Je tedy třeba nalézt jakýsi kompromis mezi tvarem dopadu, 53
který dovolí větší změnu v odrazové rychlosti, ale zároveň zajistí přijatelně veliké přetížení. Na následujících grafech jsou znázorněny oba extrémy. Graf 4: Dopad s malým přetížením a příliš strmou křivkou vzdálenosti místa dopadu
Zdroj: vlastní Graf 5: Dopad s velkým přetížením a málo strmou křivkou vzdálenosti místa dopadu
Zdroj: vlastní
Výstupů a výsledků analýzy je možné získat víc než jen ty, které jsem zmínil. Např. graf závislosti vzdálenosti místa dopadu na hmotnosti skokanů, nebo graf potřebné nájezdové rychlosti v závislosti na vlastnostech sněhu, které se promítnou do koeficientu tření mezi skluznicí a sněhem apod. Je na uvážení každého, které z výsledků bude považovat za směrodatné.
54
Závěr Cílem bakalářské práce bylo vytvořit pomocí programovacího jazyka MATLAB aplikaci, s jejíž pomocí lze provést analýzu freeskiingového můstku. Můstek je základní překážkou relativně mladé disciplíny zvané freeskiing. Analýzou můstku se rozumí určení vlivu jeho parametrů na kvalitu a bezpečnost skákání. V první a druhé části práce popisuji, co je to freeskiing, a detailněji se zabývám hlavní překážkou freeskiingu, tedy skokanským můstkem. Aby bylo možné provádět s můstkem výpočty, bylo třeba matematicky definovat jeho tvar. Pro tento účel jsem zvolil předpisy funkcí, jejichž grafem jsou křivky, které svým tvarem průběh můstku nejvíce vystihují. Pro možnost provést analýzu můstku již postaveného jsem navrhnul a odvodil metody zaměření jeho tvaru pomocí běžně dostupných pomůcek, kterými jsou například digitální fotoaparát nebo pásmo. Pro vyjádření průběhu zaměřeného můstku jsem zvolil aproximaci zaměřených bodů polynomem metodou nejmenších čtverců. V další části práce jsem se zaměřil na popis okolních vlivů, které svým působením zásadně ovlivňují skokanův pohyb. Na základě těchto vlivů jsem sestavil matematický model celého procesu skoku. Počínaje pohybem skokana po odrazovém můstku, u kterého sleduji změnu rychlosti a celkové přetížení, které na něho působí. Přes letovou fázi skoku, pro jejíž numerické řešení jsem zvolil Rungovu-Kuttovu metodu 4. řádu, až po přistání skokana na dopadové ploše. Výsledkem práce je aplikace naprogramovaná v softwaru MATLAB, která jejímu uživateli umožní provést analýzu můstku, jehož tvar a velikost si sám zvolil, nebo můstku již postaveného, jehož parametry v terénu zaměřil. Analýza by pak měla uživateli dát představu o tom, jaký vliv mají konkrétní parametry na pohyb skokana. Výsledky analýzy, které přímo vypovídají o kvallitě můstku z hlediska bezpečnosti skoku a komfortu skokanů, jsem zmínil a jejich důležitost zdůvodnil v poslední kapitole bakalářské práce.
55
Použité zdroje [1] Volák, J., Lukin, M.: Freeskiing. Praha 2009, ISBN 978-80-247-2837-7. [2] Koranda, Petr: Analytická geometrie v rovině – kuželosečky. Tutor matematika, 2010. Dostupné z: http://lasers.wz.cz/ [3] Kobza, Jiří: Počítačová geometrie. Univerzita Palackého, Olomouc 2008. [4] Procházka, Jaromír: Inženýrská geodézie. Sylabus 10. Přednášky, listopad 2013. [5] Holcner, Petr: Pozemní komunikace I, směrové řešení pozemních komunikací. VUT v Brně, Fakulta stavební. 2005. [6] Daněk, Josef: Aproximace funkcí. Studijní materiály, centrum aplikované matematiky, 2007. [cit 2014-10-05] Dostupné z : http://www.cam.zcu.cz/~danek/Students/2006_ZS/index.cz.shtml [7] Kočandrlová, M., Černý, J. : GEO-MATEMATIKA I. ČVUT Praha, 2008. ISBN 978-80-0103936-6. [8] Pavelka, Karel : Fotogrammetrie 1. ČVUT v Praze, Fakulta stavební. Laboratoř fotogrammetrie. [9] Janík, J., Mikulášek, Z. : Obecná astronomie. Masarykova univerzita, 2013. [10] Zeman, A. : Fyzikální geodézie. Skriptum. Vydavatelství ČVUT 2005. [11] Jelen, Karel : Biomechanika sportu – část I. Lyžování – biomechanika alpských disciplín. UK Praha, Fakulta tělesné výchovy a sportu. [12] Šedivý, P.:, Volf, I.: Pohyb tělesa v odporujícím prostředí. Studijní text FO, Gaudeamus, Hradec Králové 1995. [13] Schwarzer, Jan: Teorie vlhkého vzduchu (I). 2006 [online]. [cit. 2014-05-05] Dostupné z: http://www.tzb-info.cz/3323-teorie-vlhkeho-vzduchu-i [14] Schwarzer, Jan: Teorie vlhkého vzduchu (II). 2006 [online]. [cit. 2014-05-05] Dostupné z: http://www.tzb-info.cz/3353-teorie-vlhkeho-vzduchu-ii [15] Vybíral, Bohumil: Mechanika ideálních plynů. Knihovnička FO č. 62, MAFY,
Hradec
Králové 2004. [16] Mikš, A., Novák, P.: Fyzika I. ČVUT v Praze, Fakulta stavební. 2006. ISBN 80-0103411-9 [17] Smělý, Martin: Náraz vozidla do pevné překážky. JUNIORSTAV 2008. Pozemní komunikace [18] Šedivý, Přemysl: Modelování pohybů numerickými metodami. Studijní text FO, MAFY, Hradec Králové 1999. [19] Behnák, Pavel: Výpočet balistické křivky. Vyčichlova soutěž, ČVUT Fakulta stavební 2007.
56
Seznam tabulek, grafů a obrázků Strana
Tabulky Tabulka 1:
Součinitel smykového tření v závislosti na jakosti sněhu …......................... 35
Tabulka 2:
Velikost plochy průmětu lyžaře S a aerodynamického koeficientu C při různých postojích lyžaře …........................................................................................
36
Grafy Graf 1: Graf závislosti vzdálenosti místa dopadu na nadmořské výšce pro konstantní nájezdovou rychlost v0 = 70 km/h ….................................................................... 50 Graf 2: Graf závislosti potřebné nájezdové rychlosti na hmotnosti skokana pro požadovanou vzdálenost místa dopadu d = 25 m …................................................................... 51 Graf 3: Přetížení působící na skokana při pohybu po odrazovém můstku pro dvě různé velikosti můstku při stejné požadované vzdálenosti místa dopadu d = 25 m …... 52 Graf 4: Dopad s malým přetížením a příliš strmou křivkou vzdálenosti místa dopadu … 53 Graf 5: Dopad s velkým přetížením a málo strmou křivkou vzdálenosti místa dopadu … 53
Obrázky Obr. 1:
U-rampa …........................................................................................................... 10
Obr. 2:
Rail …................................................................................................................... 11
Obr. 3:
Model freeskiingového můstku …......................................................................... 13
Obr. 4:
Freeskiingový můstek – Fridge festival …............................................................ 15
Obr. 5:
Zvolený souřadnicový systém …........................................................................... 16
Obr. 6:
Tvar odrazového můstku ….................................................................................. 16
Obr. 7:
Návrh tvaru dopadové plochy ….......................................................................... 22
Obr. 8:
Výpočet prvků kružnicového oblouku …..............................................................
23
Obr. 9:
Aproximace odrazového můstku …......................................................................
26
Obr. 10: Volba polohy bodů pro zaměření můstku …........................................................
28
Obr. 11: Fotogrammetrické zaměření souřadnic bodů ….................................................. 29 Obr. 12: Zaměření můstku pomocí pásma ….....................................................................
31
Obr. 13: Tíhové zrychlení …..............................................................................................
33
Obr. 14: Jednotlivé fáze skoku …......................................................................................
39
Obr. 15: Změna rychlosti při pohybu po odrazovém můstku …........................................
40
Obr. 16: Síly působící na skokana při pohybu po odrazovém můstku …..........................
42
Obr. 17: Dopad skokana na dopadovou plochu …...........................................................
46
Obr. 18: Uživatelské rozhraní vytvořené aplikace pro analýzu můstku .............................
50
57
Seznam příloh Příloha 1:
Kód programu pro výpočet změny rychlosti na odrazovém můstku
Příloha 2:
Kód programu pro výpočet trajektorie Rungovou-Kuttovou metodou 4. Řádu
Příloha 3:
Kód programu pro výpočet aproximace měřených bodů odrazového můstku polynomem
Příloha 4:
Kód programu pro výpočet aproximace měřených bodů dopadové plochy Legendrovým polynomem
58
Příloha 1:
Kód programu pro výpočet změny rychlosti na odrazovém můstku
n=1000; % konstanta definujici krok vypoctu dl=l/n; % krok vypoctu x=0; pret=1; fi = pi-2*alfa : 2*alfa/n : pi ; % parametr pro vypocet cykloidy v=v0; alfa=0; for i=1:n x(i+1)=i*dl; % vypocet sklonu skoku pro souřadnici x v zavislosti na dane funkci if fce==1 % kruznice alfa(i+1)=atan(x(i+1)/sqrt(a^2 - x(i+1)^2)); end if fce==2 % elipsa alfa(i+1)=atan(b*x(i+1)/(a^2 * sqrt(1-(x(i+1)/a)^2))); end if fce==3 % parabola alfa(i+1)=atan(2*a*x(i+1)); end if fce==4 % kubicky exponent alfa(i+1)=atan(3*a*x(i+1)^2); end if fce==5 % ebecny exponent alfa(i+1)=atan(a*b*x(i+1)^(b-1)); end if fce==6 % klotoida L=i*b/n; alfa(i+1)=L^2/(2*a^2); dl=cos(alfa(i+1))*b/n; x(i+1)=L - L.^5/(40*a^4) + L.^9/(3456*a^8); end if fce==7 % retezovka alfa(i+1)=atan(sinh(x(i+1)/a)); end if fce==8 % cykloida x(i+1) = a*(pi-fi(n-i+1)+sin(fi(n-i+1))); alfa(i+1) = (pi-fi(n-i+1))/2; dl = a*(pi-fi(n-i+1)+sin(fi(n-i+1))) - a*(pi-fi(n… i+2)+sin(fi(n-i+2))); end if fce==9 % polynom alfa(i+1) = atan(a1+2*a2*(x(i+1)-l)+3*a3*(x(i+1)-l)^2); end % vypocet zmeny rychlosti na useku dr(i) sklo = (alfa(i+1)+alfa(i))/2; % průměrný sklon na daném úseku dr = dl/cos(sklo); % element drahy R = dr/(alfa(i+1)-alfa(i)); % polomer krivosti ag=-g*sin(sklo); % vliv tíhového zrychleni ao=-(1/m*0.5*S*C*ro*(v0)^2); % vliv odporu vzduchu at=-f*(g*cos(sklo)+v0^2/R); % vliv treni lyzi a_c=ag+ao+at; % celkove zrychleni skokana pret(i+1)=sqrt((a_c)^2+(v0^2/R+g*cos(sklo))^2)/g; % pretizeni v(i+1)=sqrt(v0^2 + 2*a_c*dr); % změna rychlosti v0=v(i+1); % v0 = pocatecni rychlost dalšího cyklu end
59
Příloha 2:
Kód programu pro výpočet trajektorie Rungovou-Kuttovou metodou 4. řádu
dt = 0.2; % dt0 = 0.01; % dtm = dt0:dt0:dt; poc = length(dtm); x = 0; % souradnice y = 0; xm = 0; % souradnice ym = 0; k = S*C*ro/(2*m); vx = v0*cos(alfa); vy = v0*sin(alfa); t = n = f = Yv1
0; 1; 1; = -1;
krok Rungovy-Kuttovy metody krok pro vypocet souradnic polohy skokana
polohy skokana urcene R-K metodou s krokem dt polohy skokana po kroku dt0
% soucinitel odporu vzduchu % velikost odrazove rychlosti v ose x % velikost odrazove rychlosti v ose y
% ypsilonova souradnice dopadove plochy pro x
while y(n)>=Yv1 n = n+1; f = f+poc; % 1. cyklus k1x = -k*v0*vx(n-1); k1y = -k*v0*vy(n-1) - g; vx(n) = vx(n-1) + k1x*dt/2; vy(n) = vy(n-1) + k1y*dt/2; v0 = sqrt(vx(n)^2 + vy(n)^2); % 2. cyklus k2x = -k*v0*vx(n); k2y = -k*v0*vy(n) - g; vx(n) = vx(n-1) + k2x*dt/2; vy(n) = vy(n-1) + k2y*dt/2; v0 = sqrt(vx(n)^2 + vy(n)^2); % 3. cyklus k3x = -k*v0*vx(n); k3y = -k*v0*vy(n) - g; vx(n) = vx(n-1) + k3x*dt; vy(n) = vy(n-1) + k3y*dt; v0 = sqrt(vx(n)^2 + vy(n)^2); % 4. cyklus k4x = -k*v0*vx(n); k4y = -k*v0*vy(n) - g; vx(n) = vx(n-1) + (k1x+2*k2x+2*k3x+k4x)*dt/6; vy(n) = vy(n-1) + (k1y+2*k2y+2*k3y+k4y)*dt/6; v0 = sqrt(vx(n)^2 + vy(n)^2); x(n) = x(n-1) + vx(n-1)*dt+(k1x+k2x+k3x)*dt^2/6; y(n) = y(n-1) + vy(n-1)*dt+(k1y+k2y+k3y)*dt^2/6; xm(2+(n-2)*poc:1+(n-1)*poc)=x(n-1)+vx(n-1)*dtm+(k1x+k2x+k3x)*dtm.^2/6; ym(2+(n-2)*poc:1+(n-1)*poc)=y(n-1)+vy(n-1)*dtm+(k1y+k2y+k3y)*dtm.^2/6;
60
t = t+dt; Yv1 = splajn(X,Y,x(n)); % ypsilonova souradnice dopadove plochy v x(n) end % vypocet pruseciku trajektorie s dopadovou plochou metodou puleni intervalu (casoveho intervalu dT) dT = dt; T = 0; dy = 0; while dT>0.00005 dT = dT/2; if dy<0 T = T-dT; else T = T+dT; end vx(n) = vx(n-1) + (k1x+2*k2x+2*k3x+k4x)*T/6; vy(n) = vy(n-1) + (k1y+2*k2y+2*k3y+k4y)*T/6; x(n) = x(n-1) + vx(n-1)*T+(k1x+k2x+k3x)*T^2/6; y(n) = y(n-1) + vy(n-1)*T+(k1y+k2y+k3y)*T^2/6; Yv = splajn(X,Y,x(n)); dy = (y(n) - Yv); end
61
Příloha 3:
Kód programu pro výpočet aproximace měřených bodů odrazového můstku polynomem
k = 4; % stupeň polynomu for i=1:k A(:,i)=x.^(i-1); end a=(A'*A)^-1*A'*y'; % vyrovnane koeficienty polynomu e = A*a-y'; % rozdily na bodech % vypocet souradnice X zacatku odrazoveho mustku (bod, ve kterem prechazi sklon krivky ze zaporne hodnoty na kladnou) D = 4*a(3)^2-12*a(2)*a(4); % diskriminant X = (-2*a(3)+sqrt(D))/(6*a(4)); % pokud je diskriminant D pro polynom 4. stupne mensi nez 0, pak bod definujici pocatek odrazoveho mustku neexistuje a je třeba zvolit nizsi stupeň polynomu if D<0 clear A a e k = 3; for i=1:k A(:,i)=x.^(i-1); end a=(A'*A)^-1*A'*y'; % vyrovnane koeficienty polynomu e = A*a-y'; % rozdily na bodech X = -a(2)/(2*a(3)); % souradnice X zacatku odrazoveho mustku end % posun konce odrazoveho mustku do pocatku souradnicove soustavy a(1) = 0;
62
Příloha 4:
Kód programu pro výpočet aproximace měřených bodů dopadové plochy Legendrovým polynomem
% funkce vypocte koeficienty Legendrova polynomu aproximujici xouradnice x, y se stupnem k function [ xlim, a, e ] = legepolkoef( x, y, k ) x = x(:); y = y(:); % redukce souradnic bodu na interval [-1, 1] xmin = min(x); xmax = max(x); xr = 2*(x-xmin)/(xmax-xmin)-1; % vypocet koeficientu Legendrova polynomu A(:,1) = ones(length(xr),1); A(:,2) = xr; for i=3:k+1 A(:,i) = (2*i+1)/(i+1)*xr.*A(:,i-1)-(i/(i+1))*A(:,i-2); end a = (A'*A)^-1*A'*y; % koeficienty polynomu e = A*a-y; % rozdily na bodech xlim = [xmin, xmax]; % interval puvodnich souradnic bodu dopadu end % Urceni vhodneho stupne polynomu emax = max_roz+1; % max_roz je uzivatelem zvoleny maximalni povoleny souradnicovy rozdil na bodech k = 1; while emax>max_roz k = k+1; [xlim, a ,e] = legepolkoef(xp, yp, k); emax = max(abs(e)); end
63
