Elsőfokú egyenletek

Els˝ofok´ u egyenletek... I. sorozat 1. Hozza egyszer˝ ubb alakra a k¨ ovetkez˝ o kifejezést:

1967. N 1.

1 1 1 1 + : − . a−1 a+1 a−1 a+1

2. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet:

1981. G 1. 3. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert:

3x + 1 3x − 1 5 + = − 2. 2x − 6 2 x−3

3x − 7y = 66; 2x − 9y = −8.

H´ any sz´ azaléka az y érték az x értékének, ha x és y az egyenletrendszer megoldása? 1973. G 1. 4. Egy kétjegy˝ u sz´ am jegyeinek ¨ osszege 9; az els˝ o sz´ amjegy fele 3- mal nagyobb a második jegy négyzeténél. Melyik ez a kétjegy˝ u sz´ am? 1982. N 1. 5. Egy 1920 Ft-os porsz´ıvó ´ ar´ at kétszer sz´ all´ıtották le, mégpedig a második alkalommal kétszer annyi sz´ azalékkal, mint az els˝ o alkalommal. H´ any sz´ azalékkal sz´ all´ıtották le az ár´ at másodszor, ha utána 1260 Ft lett az ára? 1978. G 2. ´ munkamódszerek bevezetésével 6. Egy textilgy´ ar két m˝ uhelyében egy hónap alatt 10200 méter v´ asznat sz˝ ottek. Uj ´ az els˝ o m˝ uhelyben 10%-kal, a másodikban 15%-kal n˝o a termelés. Igy egy hónap alatt a második m˝ uhely dolgozói 930 m v´ aszonnal sz˝ onek t¨ obbet, mint az els˝ o m˝ uhely dolgozói. Mennyi volt eredetileg a két m˝ uhely havi termelése k¨ ulön-k¨ ulön? 1970. N 2.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

1

Els˝ofok´ u egyenletek... II. sorozat 1. Hozza a lehet˝ o legegyszer˝ ubb alakra a k¨ ovetkez˝ o kifejezést: a3 + a2 b a2 − 2ab a2 b + ab2 + − . a 2 − b2 a2 + 2ab + b2 a+b 1968. N 1. 2. Mely val´ os sz´ amok elég´ıtik ki a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: 1 1 1 1 − = − ? x x+2 x+3 x+5 1983. G 1. 3. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert:

7x − 8y = −31; 2x + 3y = 7.

1973. N 1. 4. Két sz´ am sz´ amtani k¨ ozepe 25-tel kisebb az egyik sz´ amnál, szorzatuk 18-adrésze pedig 12-vel nagyobb a másik sz´ amnál. Melyek ezek a sz´ amok? 1981. N 2. 5. Egy k¨ onyvet háromféle k¨ otésben ´ arus´ıtanak. Ha a b˝orkötéses k¨ onyv ár´ at p%-kal cs¨ okkentenék, akkor a v´ aszonk¨ otéses k¨ onyv ´ ar´ at kellene fizetni a b˝orkötésesért. Ha a v´ aszonk¨ otéses k¨ onyv ár´ at cs¨ okkentenék 2p%-kal, akkor a pap´ırkötéses k¨ onyv ´ ar´ aba ker¨ ulne a v´ aszonk¨ otéses. Ha viszont a b˝orkötéses k¨ onyv ár´ at 40,5%-kal cs¨ okkentenék, akkor a b˝orkötéses ugyanannyiba ker¨ ulne, mint a pap´ırkötéses. H´ any sz´ azaléka a v´ aszonk¨ otéses k¨ onyv ára a b˝orkötéses k¨ onyv ´ ar´ anak? 1979. G sz 6. 6. 3150 forintot három munkás k¨ ozött osztanak szét a teljes´ıtményeik ar´ any´ aban. H´ any forintot kap egy-egy munkás, ha ugyanolyan munkadarabot 23 perc, 2 perc, illetve 3 perc alatt kész´ıtenek el? 1969. N 2.

2

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Els˝ofok´ u egyenletek... III. sorozat 1. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet:

1979. G 1.

2 1 3x − 2 + =1− 2 . 3x + 1 3x − 1 9x − 1

2. Oldja meg a val´ os sz´ amok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: x2 − x x2 + 1 x−1 − = . x2 − 1 x2 − 2x + 1 1 − x2 1993. G 1. 3. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert:

5x − 3y = x2 − 6y; y y+3 x+3 = x+4 .

1974. G 1. 4. Egy t¨ ort nevez˝ oje egész sz´ am, és 5-tel nagyobb a t¨ ort sz´ aml´ al´ ojánál. Ha a sz´ aml´ al´ ot megszorozzuk 7-tel, és a nevez˝ ob˝ol elvesz¨ unk 3-at, akkor a t¨ ort reciprok´ at kapjuk. Melyik ez a t¨ ort? 1976. G 2. 5. Egységnyi oldal´ u kis kock´ akb´ ol egy nagyobbat áll´ıtunk össze. Ha a rendelkezés¨ unkre álló kis kock´ akb´ ol a lehet˝ o legnagyobb kock´ at rakjuk ¨ ossze, akkor még 107 kis kock´ ank marad. Ha azonban eggyel t¨ obb kis kock´ at akarunk rakni minden él mentén, akkor még 62 kis kock´ ara lenne sz¨ ukség¨ unk. H´ any darab kis kock´ ank van? 1988. N 3. 6. Egy u ¨zemben egy termék el˝ oa´ll´ıt´ asával 16 munkás foglalkozik; heti termelés¨ uk 1680 darab. A heti termelést 20%-kal növelni akarj´ ak; ennek érdekében u ´j´ıt´ asok bevezetésével egy termék el˝oa´ll´ıt´ asi idejét 24 percr˝ ol 17,5 percre cs¨ okkentik; a munkások sz´ ama azonban 16 f˝or˝ ol 14 f˝ore cs¨ okken. Teljes´ıthet˝o-e a megemelt terv v´ altozatlan munkaid˝ o alatt, feltételezve, hogy minden munkás azonos teljes´ıtménnyel dolgozik? 1983. G 3.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

3

Els˝ofok´ u egyenletek... IV. sorozat 1. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: 2

(x − 1)

1 1 − − 1 = 8 − 6x. x−1 x+1

1979. N 1. 2. Mely val´ os x sz´ amok elég´ıtik ki a k¨ ovetkez˝ o egyenl˝otlenséget: |x + 3| + x > 1? x+2 1995. N 3. 3. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert:

x x+2 1 x−3

= =

y+1 y−1 ; 2 y+1 .

1974. N 1. 4. Egy t¨ ort sz´ aml´ al´ ojának és nevez˝ ojének négyzetösszege 34, a t¨ ortnek és reciprok´ anak összege t¨ ort? 1978. N 1.

34 15 .

Melyik ez a

5. Egy 60 km/´ ora egyenletes sebességgel haladó személygépkocsi 8 óra 40 perckor érkezik célj´ ahoz, m´ıg egy 40 km/´ ora egyenletes sebességgel haladó tehergépkocsi ugyanazon az u ´tvonalon 9 óra 5 perckor fut be a k¨ ozös célba. H´ any km-rel a cél el˝ ott el˝ ozte meg a személyautó a teheraut´ ot? 1966. N 2. 6. Bizonyos munkát két munkás egy¨ utt dolgozva 6 nap alatt végez el. Ha az egyik egyed¨ ul 10 nap alatt kész¨ ul el a munkával, hány nap alatt végzi el a másik egyed¨ ul? H´ any nap alatt kész¨ ul el a két munkás egy¨ utt dolgozva a munka 83 -ad részével? 1971. N 2.

4

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Geometria IX. I. sorozat 1. Egy k¨ or sugara 10 egység, a k¨ or C pontjához h´ uzhat´ o érint˝ o a k¨ or CB h´ urj´ aval 30◦ -os sz¨ oget zár be. Sz´ am´ıtsa ki az ABC háromszög ker¨ uletét és ter¨ uletét, ha az AC oldal a k¨ or egyik átmér˝ oje! 1989. N 1. 2. Egy trapéz egyik alapján fekv˝o fels˝o sz¨ ogek 30◦ -osak, a másik három oldal mindegyike 12 egység. Mekkora a ter¨ ulete? 1972. N 1. 3. Az ABC egyenl˝o oldal´ u háromszög belsejében vegy¨ uk fel a C ′ pontot u ´gy, hogy az ABC ′ háromszög egyenl˝o ′ sz´ ar´ u deréksz¨ og˝ u legyen! Milyen t´ avol van a C pont a C-t˝ol és a BC oldaltól, ha AB = 10? 1977. G 1. 4. Egy s´ıks´ agon két torony ´ all egym´ astól 60 m t´ avolságra. Az egyik magass´ aga 50 m, a másiké 40 m. A két torony alapját összeköt˝ o szakaszon a tornyok cs´ ucsát´ ol egyenl˝o t´ avolságra van egy k´ ut. Milyen messze van a k´ ut a két torony alapját´ ol? 1978. G 1. 5. Egy 5 cm széles és 50 cm hossz´ u szalagb´ ol maximális sz´ am´ u 2,5 cm sugar´ u k¨ orlemezt v´ agunk ki. Mekkora a hulladék, és hány sz´ azaléka ez a lemez ter¨ uletének? 1969. N 1. √ ulete és a ter¨ ulete annak a 6. Egy deréksz¨ og˝ u háromszög befog´ oinak a hossza 3 és 3 3 egység. Mekkora a ker¨ k¨ orszeletnek, amelyet a háromszög kisebbik befog´ oja a háromszög k¨ oré ´ırt k¨ orb˝ ol lev´ ag? (A k¨ orszelet kisebb a félk¨ ornél.) 1990. N 1. 7. A szimmetrikus trapéz 10 egység hossz´ u´ atlója 45◦ -os sz¨ oget zár be a hosszabbik párhuzamos oldallal. Mekkora a trapéz ter¨ ulete? 1983. G 2. 8. Az ABC háromszög BC oldal´ anak egyik bels˝ o pontja D. Az AB oldal B-n t´ uli meghosszabb´ıt´ asán felvessz¨ uk a P pontot u ´gy, hogy BP = BD legyen. Bizony´ıtsa be, hogy a P D egyenes akkor és csak akkor mer˝oleges az AC-re, ha a CAB sz¨ og egyenl˝o a BCA sz¨ oggel! 1985. N g 6.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

5

Geometria IX. II. sorozat 1. Egy rombusz egyik sz¨ oge feleakkora, mint a másik sz¨ oge, a hosszabbik átlója 12 egység. Sz´ am´ıtsa ki a rombusz sz¨ ogeit, oldalait, másik ´ atlóját és ter¨ uletét! 1974. G 2. 2. Az ABCD trapéz AB alapjá√ n az A cs´ ucsn´ al 60◦ -os sz¨ og van, B-nél pedig deréksz¨ og; a trapéz AB-vel párhuzamos uletét és ter¨ uletét! oldala 4, magass´ aga pedig 2 3. Határozza meg a trapéz hosszabbik átlóját, ker¨ 1973. G 2. 3. K¨ ozel´ıt˝ o értékek haszn´ alata nélk¨ ul sz´ am´ıtsa ki a k¨ ovetkez˝ o kifejezések értékét: 1 a) log3 √ ; 3

5

b) 32(8− 3 ) + 810,75 ;

c) sin 990◦ + tg(−225◦ ).

1980. G 3. 4. Az ABCD paralelogramma A cs´ ucsánál lév˝ o sz¨ og 30◦ -os. Szerkessz¨ unk a BC és CD oldalak fölé kifelé BCX, √ illetve CDY szabályos háromszögeket. Sz´ am´ıtsa ki az AXY háromszög oldalait, ha AB = 11, 5 és BC = 8 3. 1996. N 2. 5. Az ABC egyenl˝o sz´ ar´ u háromszög BC alapja 40 egység, az alaphoz tartozó magass´ ag 15 egység. Az alap F felez˝opontjából a sz´ arakra ´ all´ıtott mer˝olegesek talppontjai P és Q. Mekkora az AP F Q négysz¨ og ker¨ ulete és ter¨ ulete? 1991. N 3. 6. Egy téglalap oldalaira mint ´ atmér˝ okre rajzoljon olyan félk¨ or¨ oket, amelyek a téglalapon k´ıv¨ ul vannak. Igaz-e az az áll´ıt´ as, hogy a téglalap k¨ oré ´ırt k¨ or és a négy félk¨ or határolta – 4 db ,,holdacska” alak´ u – s´ıkrész ter¨ uletösszege a téglalap ter¨ uletével egyenl˝o? 1971. N 4. 7. Bizony´ıtsuk be, hogy bármely deréksz¨ og˝ u háromszögben az átfog´ ohoz tartozó magass´ ag nem nagyobb az átfog´ o felénél! 1968. N 3. 8. Egy konvex négysz¨ og ´ atlóinak hossza 1, illetve 2 egység. A négysz¨ og szemk¨ ozti oldalfelez˝ opontjait összeköt˝ o szakaszok hossza egyenl˝o. Bizony´ıtsa be, hogy a négyszög átlói mer˝olegesek egym´ asra, és sz´ am´ıtsa ki a négysz¨ og ter¨ uletét! 1983. N sz 6.

6

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Geometria IX. III. sorozat 1. Egy deréksz¨ og˝ u háromszögben az egyik hegyessz¨ og sz¨ ogfelez˝ ojének hossza 10. Ez a sz¨ ogfelez˝ o a szemk¨ ozti befog´ oval 60◦ -os sz¨ oget zár be. Sz´ am´ıtsa ki a háromszög hegyessz¨ ogeit és oldalait! Mekkora ter¨ ulet˝ u részekre bontja ez a sz¨ ogfelez˝ o az adott háromszöget? 1976. G 1. 2. Egy paralelogramma két oldal´ anak hossz´ us´ aga 21 cm, illetve 24 cm, és egyik sz¨ oge 60◦ . Határozza meg annak a négysz¨ ognek a ter¨ uletét, amelyiknek cs´ ucspontjai a paralelogramma oldalfelez˝ o pontjai! 1967. N 2. 4. Az e és f egyenesek párhuzamosak, t´ avolságuk 10. K¨ ozött¨ uk két egyenl˝o sugar´ u és egymást érint˝ o k¨ or helyezkedik el u ´gy, hogy az egyik k¨ or az e egyenest, a másik f -et érinti. A k¨ or¨ ok k¨ ozéppontjából a párhuzamosokra ´ all´ıtott mer˝olegesek egym´ astól mért t´ avolsága 4. Mekkora a k¨ or¨ ok sugara? 1977. N 3. 5. Mekkora az r sugar´ u k¨ or k¨ oré rajzolható egyenl˝o oldal´ u háromszög és a k¨ orbe ´ırható szabályos hatsz¨ og ter¨ uletének ar´ anya? 1966. N 3. 6. Legyen AB egy egységsugar´ u k¨ or egyik ´tmér˝ oje, C pedig a k¨ orh¨ oz az A pontban h´ uzhat´ o érint˝ onek olyan √ a am´ıtsa ki az ABC háromszög és a k¨ or k¨ ozös részének ter¨ uletét! pontja, hogy az AC szakasz hossza 2 3. Sz´ 1988. N 2. 7. Az ABCD téglalapban AB = 2a és BC = a. Az AB és AD oldalak mint átmér˝ok fölé k¨ or¨ oket rajzolunk; ezeknek a téglalap belsejébe es˝ o metszéspontja M . Mutassa meg, hogy M a BD átlón van! Mekkora az M A, M B és M D szakaszok hossza? 1988. G B 6. 8. Az ABC háromszögben a C cs´ ucsn´ al deréksz¨ og van. Az A-b´ ol indul´ o sz¨ ogfelez˝ o a BC befog´ ot a D pontban, a C-b˝ ol indul´ o magass´ agot az F pontban metszi. Az F ponton átmen˝ o, CB-vel párhuzamos egyenes AB-t a G pontban metszi. Igazolja, hogy a CF GD négysz¨ og rombusz! 1978. N 6.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

7

Geometria IX. IV. sorozat q 1. Egy deréksz¨ og˝ u háromszög egyik sz¨ oge 30◦ , az átfog´ ohoz tartozó magass´ aga 4 23 . Sz´ am´ıtsa ki a háromszög oldalait és ter¨ uletét! 1973. N 2. 2. Az ABCD paralelogramma AB oldala és BD átlója mer˝olegesek egym´ asra; AB = BD = 10. Sz´ am´ıtsa ki a paralelogramma ter¨ uletét, sz¨ ogeit, AD oldal´ anak és AC átlójának a hossz´ at! 1974. N 2. 3. Egy háromszög egyik sz¨ oge egyenl˝o a másik két sz¨ og összegével. A háromszög k¨ oré ´ırható k¨ or sugara 6, a legkisebb oldalra rajzolt négyzet ter¨ ulete egyenl˝o a háromszög ter¨ uletével. Sz´ am´ıtsa ki a háromszög ter¨ uletét! 1988. G 4. 4. Az ABCD téglalapban AB = 2BC = 2a. Az A és B cs´ ucs mint k¨ ozéppont k¨ or¨ ul egy-egy a sugar´ u negyedkört rajzolunk, amelyeknek határoló sugarai a téglalap oldalaira esnek. Sz´ am´ıtsa ki annak a k k¨ ornek a sugarát, amely érinti a CD oldalt és a két negyedkört! A k k¨ or ter¨ ulete hány sz´ azaléka azon s´ıkidom ter¨ uletének, amelyet a CD szakasz, valamint a DE és EC k¨ or´ıvek határolnak? 1982. G 2. 5. Az ABCD deltoidban AB = BC = 2, CD = DA; a B cs´ ucsn´ al 120◦ -os, a D cs´ ucsn´ al pedig 60◦ -os sz¨ og van. Sz´ am´ıtsa ki a deltoid ismeretlen sz¨ ogeit, oldalait, átlóit, valamint a be´ırt k¨ or sugarát! 1982. N 2. 6. Az a oldal´ u szabályos háromszög minden oldala mint átmér˝ o fölé k¨ ort rajzolunk. Mekkora e három k¨ or k¨ ozös részének ter¨ ulete? 1975. G 6. 7. Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai AD és BC. A trapéz BC oldala mint átmér˝o fölé k¨ ort rajzolunk. Ez a k¨ or érinti a trapéz AD oldal´ at és felezi mindkét átlót. Sz´ am´ıtsa ki a trapéz sz¨ ogeit! 1990. G 5. 8. Legyen P az ABC háromszög AB oldal´ anak tetsz˝ oleges bels˝ o pontja. A P ponton átmen˝ o és a C-b˝ ol indul´ o s´ ulyvonallal párhuzamos egyenes az AC egyenest az M , a CB egyenest az N pontban metszi. Igazolja, hogy a P N + P M összeg ´ alland´ o! 1971. N 5.

8

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Geometria X. I. sorozat 1. Két egym´ ast k´ıv¨ ulr˝ ol érint˝ o k¨ or k¨ ozéppontjának t´ avolsága 4 cm. A k¨ or¨ ok ter¨ uletének összege a k¨ or¨ ok sugara? 1995. N 1. 3. Egy trapéz átlói mer˝olegesek egym´ asra. P´ arhuzamos oldalainak hossza 17 és 34, egyik sz´ ara trapéz másik sz´ ara, ter¨ ulete és magass´ aga? 1995. G 4.

80π 2 9 cm .

Mekkora

√ 964. Mekkora a

4. Egy egyenl˝o sz´ ar´ u háromszög egyik sz¨ oge 120◦ -os, be´ırt k¨ orének sugara 3. Mekkor´ ak a háromszög oldalai? 1984. N 2. 5. Az ABCD téglalap AB oldalegyenesén vegy¨ unk fel egy M pontot! Az A ponton át a DM egyenessel párhuzamosan h´ uzott egyenes a CM egyenest az N pontban metszi. Mekkora t´ avolságra van N az AB egyenest˝ol, ha AM = 6; M B = 4 és BC = 3? 1980. G 4. 6. Az ABCD téglalap D cs´ ucsán ´ atmen˝ o és az AC átlóra mer˝oleges egyenes az AB szakaszt az E pontban metszi. Az AE szakasz hossza 29 egység, a téglalap ter¨ ulete 48 ter¨ uletegység. Sz´ am´ıtsa ki a téglalap oldalainak hossz´ at és átlóinak sz¨ ogét! 1993. N 2. 8. Legyen p és q két adott pozit´ıv sz´ am, és p > q. Bizony´ıtsa be, hogy létezik olyan háromszög, amelynek oldalai a=

√

pq;

b=

1 (p − q); 2

c=

1 (p + q). 2

Vizsgálja meg, hogy ez a háromszög p és q mely értékei mellett a) deréksz¨ og˝ u; b) egyenl˝o sz´ ar´ u! 1983. G g 7.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

9

Geometria X. II. sorozat 1. Egy szimmetrikus trapéz oldalai 20 és 10, ter¨ ulete 180. hegyessz¨ oge? 1976. N 1.

Mekkora a trapéz magass´ aga, sz´ ara, átlója és

2. Az egységnyi oldal´ u ABCD négyzet AB; BC; CD és DA oldal´ an rendre vegye fel az E; F ; G; H pontokat u ´gy, hogy AE = 12 , BF = 31 , CG = 23 és DH = 21 legyen. Sz´ am´ıtsa ki az EF GH négysz¨ og sz¨ ogeit, ker¨ uletét, ter¨ uletét! 1992. N 2. 3. Két koncentrikus k¨ or k¨ ozéppontját´ ol 15 egységre lév˝ o szel˝ o a kisebb k¨ orb˝ ol akkora h´ urt metsz ki, amelyik 25 része a nagyobb k¨ orb˝ ol kimetszett h´ urnak. Mekkora a két k¨ or sugara, ha az egyik 8 egységgel nagyobb, mint a másik? 1993. G 3. 4. Egy háromszög oldalainak hossza 13; 14, illetve 15 egység. Mekkora annak a k¨ ornek a sugara, amelynek k¨ ozéppontja a háromszög leghosszabb oldal´ an van, és a k¨ or érinti a háromszög másik két oldal´ at? 1983. G 4. 6. Egy téglalapba konvex négysz¨ oget ´ırunk. A téglalap ker¨ uletén végighaladva a be´ırt négysz¨ og cs´ ucsai a téglalap egyes oldalait rendre azonos ar´ anyban osztj´ ak. Mekkora ez az ar´ any, ha a be´ırt négysz¨ og ter¨ uletének és a téglalap ter¨ uletének az ar´ anya 5:8? 1968. N 5. 7. Egy 120◦ -os sz¨ og cs´ ucsa k¨ oré egységk¨ ort rajzolunk. Sz´ am´ıtsa ki annak az egységk¨ ort bel¨ ulr˝ ol érint˝ o k¨ ornek a sugarát, amely a sz¨ og sz´ arait érinti! 1970. N 6. 8. Jelölje a; b és c egy háromszög oldalainak hossz´ at. Bizony´ıtsa be, hogy 1 a 2 + b2 + c 2 1 ≤ < . 3 (a + b + c)2 2 1991. N 8.

10

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Geometria X. III. sorozat 1. Egy 9 sugar´ u k¨ orbe ´ırjunk két k¨ ulönböz˝o sugar´ u k¨ ort u ´gy, hogy egym´ ast k´ıv¨ ulr˝ ol, az adott k¨ ort pedig egy atmér˝ojének két végpontjában bel¨ ´ ulr˝ ol érintsék! Mekkora a be´ırt k¨ or¨ ok sugara, ha az adott k¨ or belsejének a be´ırt k¨ or¨ ok¨ on k´ıv¨ ul fekv˝o része 28π ter¨ ulet˝ u? 1979. N 3. 2. Az ABCD téglalapban AB = 2, 4BC. A téglalapot az A cs´ ucsb´ ol mint k¨ ozéppontból u ´gy nagy´ıtjuk, hogy az u ´j téglalap ter¨ ulete az eredetinek 49 -szerese legyen. A nagy´ıt´ as k¨ ovetkeztében a téglalap átlója 13 egységgel hosszabbodik. Mekkor´ ak az ABCD téglalap oldalai? 1986. N 4. 3. Egy egyenl˝o sz´ ar´ u háromszög alapjának hossza 40, sz´ arainak hossza 29. Mekkora a háromszög s´ ulypontjának az oldalakt´ ol mért t´ avolsága? 1981. G 2. 4. Az ucsánál deréksz¨ og˝ u ABC háromszög egyik sz¨ oge 30◦ -os, az A cs´ ucspont a be´ırható k¨ or k¨ ozéppontját´ ol √ A cs´ avolságra van. Mekkora a háromszög k¨ oré ´ırt k¨ or sugara? 2 2 t´ 1986. G 3. 5. Egy egyenl˝o sz´ ar´ u háromszög alapja 8, sz´ arai 12 egység hossz´ uak. A sz´ arak metszéspontját´ ol milyen t´ avol kell elmetszeni a háromszöget az alappal párhuzamosan, hogy a keletkezett trapéz ker¨ ulete 20 egység legyen? 1983. N 2. 6. Egy 10 egység oldal´ u ABCD négyzet minden cs´ ucsát k¨ osse össze a cs´ ucsot nem tartalmazó két oldal felez˝opontjával. E nyolc szakasz mindegyikén 4-4 bels˝o metszéspont keletkezett. Ezen metszéspontok k¨ oz¨ ul a 2-2 k¨ ozéps˝o (a P ; Q; R; S; T ; U ; V ; X pontok) egy nyolcsz¨ oget határoznak meg. Mekkora ennek a nyolcsz¨ ognek a ter¨ ulete? 1989. N 5. 8. Az R és r sugar´ u k¨ or a C pontban k´ıv¨ ulr˝ ol érinti egym´ ast. A k¨ or¨ ok egyik k¨ uls˝ o érint˝ oje az egyik k¨ ort az A, a másik k¨ ort a B pontban érinti. Bizony´ıtsa be, hogy az ABC háromszög deréksz¨ og˝ u! Fejezze ki az ABC háromszög ter¨ uletét a k¨ or¨ ok sugarával! 1984. N g 6.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

11

Geometria X. IV. sorozat 1. Egy 10 sugar´ u k¨ orbe olyan egyenl˝o sz´ ar´ u háromszöget ´ırunk, amelynek sz´ arai 45◦ -os sz¨ oget zárnak be egymással. Mekkora sugar´ u k¨ or ´ırható a háromszögbe? 1978. N 2. 2. Az ABCD négyzet AB oldal´ at hosszabb´ıtsuk meg B-n t´ ul 7 egységgel, ´ıgy egy P pontot kapunk, amely D-t˝ol 13 egységnyire van. Sz´ am´ıtsa ki a négyzet oldalainak hossz´ at, a P C t´ avolságot és a DP A sz¨ oget! 1975. N 2. 3. Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB és CD, mégpedig AB hosszabb CD-nél és CD=3 egység. A trapéz sz´ arai egyenl˝o hossz´ us´ ag´ uak, és az AC ´ atló mer˝oleges a BC sz´ arra. Az AB oldalhoz tartozó magass´ ag 2 egység. Sz´ am´ıtsa ki az AB oldal hossz´ at és a trapéz sz¨ ogeit! 1992. G 3. 4. Az ABC hegyessz¨ og˝ u háromszög AB oldala 16, a hozz´ a tartozó magass´ ag 12. A háromszögbe olyan egyenl˝o sz´ ar´ u deréksz¨ og˝ u háromszöget ´ırunk, amelynek átfog´ oja párhuzamos AB-vel, deréksz¨ og˝ u cs´ ucsa AB-n, másik két cs´ ucsa pedig AC-n, illetve BC-n van. Mekkor´ ak a be´ırt háromszög oldalai? 1987. N 4. 5. Egy ABCD trapéz párhuzamos oldalai: AB = 10 és CD = 6. Az EF szakasz párhuzamos AB-vel, és a trapézt u ´gy v´ agja ketté, hogy az ABF E trapéz ter¨ ulete az ABCD trapéz ter¨ uletének harmada. Milyen hossz´ u az EF szakasz? 1985. N 5. 6. Egy rombusz átlóinak hossza 2a, illetve 2b. A rombuszba ´ırt k¨ ornek a rombusz átlóival párhuzamos érint˝ oi és a rombusz oldalai egy nyolcsz¨ oget határoznak meg. Fejezze ki ennek a ter¨ uletét a -val és b-vel! 1969. N 7. 7. Egy k¨ orbe ´ırt trapéz magass´ aga 8, a sz´ ara a k¨ or k¨ ozéppontjából 60◦ -os sz¨ ogben l´ atszik. Mekkora a trapéz ter¨ ulete? 1986. G sz 6. 8. Bizony´ıtsa be, hogy tetsz˝ oleges háromszög esetén a háromszög oldalegyeneseit k´ıv¨ ulr˝ ol érint˝ o k¨ or k¨ ozéppontját a háromszögbe ´ırt k¨ or k¨ ozéppontjával ¨ osszeköt˝ o szakasz felez˝opontja a háromszög k¨ oré ´ırt k¨ or¨ on van! 1987. N g 8.

12

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Geometria X. V. sorozat 2. A P pont aban, az AC egyenesnek D-vel megegyez˝ o oldal´ an van; AP = CP = 10, √ az ABCD négyzet s´ıkj´ al. Igazolja, hogy a P pont a négyzeten k´ıv¨ ul van, és sz´ am´ıtsa DP = 6 2. A négyzet oldala nem nagyobb 3-n´ ki a négyzet ter¨ uletét! 1982. N g 6. 3. Két k¨ or sugara 5 és 2, k¨ ozös k¨ uls˝ oérint˝ o-szakaszuk másfélszer akkora, mint a k¨ ozös bels˝ oérint˝ o-szakasz. Milyen t´ avol van egym´ astól a két k¨ or k¨ ozéppontja? 1977. G 4. 4. Az a befog´ oj´ u egyenl˝o sz´ ar´ u deréksz¨ og˝ u háromszögben kijel¨ olt P pontnak a befog´ októl mért t´ avolsága u, illetve v. Mekkora P t´ avolsága az ´ atfog´ ot´ ol? 1969. N 3. 5. Egy k¨ or k¨ ozéppontját´ ol 10 egység t´ avolságra lév˝ o pontból érint˝ oket h´ uzunk a k¨ orh¨ oz. Mekkora a k¨ or sugara, ha az érintési pontokat ¨ osszeköt˝ o h´ ur hossza 9,6 egység? 1974. N 4. 6. Valamelyik k¨ or k¨ oré ´ırt egyenl˝o sz´ ar´ u trapéz párhuzamos oldalainak hossza a és b; a nem párhuzamos oldalak a k¨ ort az M , illetve N pontban érintik. Fejezze ki az M N t´ avolságot az adatokkal! 1967. N 6. 8. Egy k¨ or két mer˝oleges h´ urja a és b, illetve c és d hossz´ us´ ag´ u darabokra v´ agja szét egymást. Mekkora a k¨ or sugara, ha a2 + b2 + c2 + d2 = 20? 1983. N g 7.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

13

Geometria X. VI. sorozat 1. Egy egyenl˝o sz´ ar´ u háromszög alapjának hossza 36, sz´ arainak hossza 30. Mekkora a háromszög s´ ulypontjának a háromszög k¨ oré ´ırt k¨ or k¨ ozéppontját´ ol mért t´ avolsága? 1987. G 3. 2. Egy ABCD trapéz párhuzamos oldalainak hossza AB=20 és CD=10; tov´ abb´ a BC = AD és a trapéz átlói mer˝olegesek egym´ asra. Mekkor´ ak a trapéz sz¨ ogei és a másik két oldala? 1994. G 2. √ √ 3. Az ABCD négyzet AB oldalegyenesének egy P pontját´ ol a C és D cs´ ucsok t´ avolsága 13, illetve 10. Mekkora a négyzet oldala? 1982. G g 7. 4. Egy deréksz¨ og˝ u sz¨ ogtartom´ any belsejében lév˝ o P pontnak a sz´ arakt´ ol mért t´ avolsága 4 és 5. Mekkor´ ak annak a 40 egységnyi ter¨ ulet˝ u deréksz¨ og˝ u háromszögnek az oldalai, amelyet egy, a P ponton átmen˝ o szel˝ o metsz le a deréksz¨ og˝ u sz¨ ogtartom´ anyb´ ol? 1984. G 5. 5. Egy 8 sugar´ u k¨ orbe ´ırjunk ABCD trapézt u ´gy, hogy a párhuzamos oldalak a k¨ or O k¨ ozéppontjának ugyanazon az oldal´ an legyenek! A r¨ ovidebbik párhuzamos oldal C és D végpontjában a k¨ orh¨ oz h´ uzott érint˝ ok metszéspontja M , az OC sug´ ar és az AB oldal metszéspontja E. Sz´ am´ıtsa ki a párhuzamos oldalak hossz´ at, ha OM = 10 és

OE : EC = 1 : 3.

1985. G 5. 6. Egy trapézt a két ´ atlója négy háromszögre bont. A párhuzamos oldalakon nyugv´ o háromszögek ter¨ ulete T és t ter¨ uletegység. Fejezze ki a trapéz ter¨ uletét T és t seg´ıtségével! 1975. N 7. 7. Két, egym´ ast érint˝ o k¨ or sugara 4, illetve 9 egység; egyik k¨ ozös k¨ uls˝ o érint˝ oj¨ uk a két k¨ ort az E, illetve F pontban érinti. Sz´ am´ıtsa ki annak a k¨ ornek a sugarát, amely érinti a két adott k¨ ort és az E és F k¨ ozött a k¨ ozös érint˝ ot! 1982. N sz 6. 8. Az AB átmér˝ oj˝ u félk¨ orbe egy ABCD négysz¨ oget ´ırunk u ´gy, hogy a C és D cs´ ucsok a félk¨ or´ıven vannak. Legyen P a CD oldal tetsz˝ oleges bels˝ o pontja, Q pedig a P mer˝oleges vet¨ ulete az AB a´tmér˝on. Bizony´ıtsa be, hogy AQ · QB − CP · P D = P Q2 ! 1981. G g 7.

14

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Geometria X. VII. sorozat 2. Egy rombusz oldal´ anak hossza az ´ atlók hossz´ anak mértani k¨ ozepe. H´ anyszorosa a hosszabb átló a r¨ ovidebb atlónak? ´ 1976. N 5. 3. Egy k¨ or k¨ oré ´ırt szimmetrikus trapéz két cs´ ucsának a k¨ or k¨ ozéppontját´ ol mért t´ avolsága 3, illetve 4. Mekkor´ ak a trapéz oldalai? 1982. G sz 7. 5. Egy ABCD trapéz párhuzamos oldalai: AD = 16 és BC = 9. A BC oldal meghosszabb´ıt´ asán van egy olyan M pont, amelyre CM = 3, 2. Milyen ar´ anyban osztja a trapéz ter¨ uletét az AM egyenes? 1982. G g 6. 6. Az ABC háromszög ter¨ ulete 48. Jelölj¨ uk az AB oldal felez˝opontját C1 -gyel, az AC felez˝opontját B1 -gyel, a BB1 szakasz felez˝opontját D-vel, a CC1 -ét E-vel. Mekkora a BDEC s´ıkidom ter¨ ulete? 1979. G sz 7. 8. A hegyessz¨ og˝ u ABC háromszög mindegyik magass´ agvonala mint átmér˝ o fölé rajzoljon félk¨ ort, s mindegyik félk¨ ort messe el a háromszög M magass´ agpontján átmen˝ o és a félk¨ or átmér˝ ojére mer˝oleges egyenessel; a metszéspontok legyenek P ; Q; R. Bizony´ıtsa be, hogy az M P ; M Q; M R szakaszok egyenl˝ok! 1976. N 8.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

15

Geometria X. VIII. sorozat 1. Egyenl˝o sz´ ar´ u háromszögbe négyzetet ´ırunk u ´gy, hogy a négyzet egyik oldala a háromszög alapján, egy-egy am´ıtsa ki a cs´ ucsa pedig a háromszög sz´ arain legyen. A négyzet ter¨ ulete a háromszög ter¨ uletének 49 része. Sz´ háromszög sz¨ ogeit! 1980. N sz 7. 2. Egy téglalap oldalai 37 és 23. Mindegyik cs´ ucsánál lev´ agunk bel˝ole egy-egy, egymással egybevág´ o háromszöget u ´gy, hogy a megmaradó nyolcsz¨ og egyenl˝o oldal´ u legyen, és szimmetrikus legyen a téglalap szimmetriatengelyeire. Mekkora a nyolcsz¨ og oldala, ter¨ ulete, mekkor´ ak a sz¨ ogei? 1980. N 4. 3. Az ABCD téglalap o P pont t´ avolsága a B; A; D cs´ ucsokt´ ol √ AB oldala √ háromszorosa a BC oldalnak. Egy bels˝ rendre P B = 4 2; P A = 2; P D = 2. Mekkora a téglalap ter¨ ulete? 1987. N g 7. 4. Legyen a deréksz¨ og˝ u háromszög ´ atfog´ oja 10 cm, a deréksz¨ og sz¨ ogfelez˝ oje pedig a befog´ ok? 1966. N 6.

√ 24 2 7

cm hossz´ us´ ag´ u. Mekkor´ ak

5. Az ABC háromszög oldalai: AB = 9, AC = 15 és BC = 8. Mekkora t´ avolságra jel¨ olj¨ uk ki a C cs´ ucstól az AC oldalon a P , a BC oldalon a Q pontot, ha azt akarjuk, hogy ezeket egy egyenesszakasszal o¨sszekötve a keletkezett CP Q háromszögnek és az ABQP négysz¨ ognek egyenl˝o legyen a ker¨ ulete, és a ter¨ ulet¨ uk is egyenl˝o legyen? 1981. G sz 6. 6. Jelölje K az ABC háromszög AB oldal´ anak A-hoz k¨ ozelebbi harmadol´ opontját, L a BC oldal B-hez k¨ ozelebbi harmadol´ opontját, Q pedig az AL és CK szakaszok metszéspontját. H´ anyadrésze az ABC háromszög ter¨ uletének az AQB és BQC háromszög ter¨ ulete, és milyen ar´ anyban osztja a Q pont az AL, illetve a CK szakaszt? 1995. N 8. 7. Az r sugar´ u AOB negyedkörben az OA és OB sugarak mint átmér˝ ok fölé egy-egy félk¨ ort rajzolunk. Sz´ am´ıtsa ki annak a k¨ ornek a sugarát, amely ezt a két félk¨ ort és az AOB negyedkört is érinti! 1980. G sz 7. 8. Legyen P és Q az ABC háromszög AB, illetve AC oldal´ an lév˝ o két bels˝ o pont u ´gy, hogy BP = CQ. Jelölje a BC oldal felez˝opontját E, a P Q szakasz felez˝opontját F . Igazolja, hogy az EF egyenes párhuzamos az ABC háromszög A cs´ ucsából indul´ o bels˝ o sz¨ ogfelez˝ ojével! 1992. N 8.

16

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Másodfok´ u egyenletek... I. sorozat 1. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: x+3 22 7x + 6 3 + = − . x − 4 x2 − 16 x+4 x−4 1980. N 1. 2. Oldja meg a val´ osszám-p´ arok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert:

xy + y 2 = 55; 2x + y = 17.

1984. N 1. 3. Mely val´ os x, y sz´ ampárok elég´ıtik ki a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert:

1 1 2 x + y = xy ; 2 2

x + y = 1?

1995. G 1. 4. Melyek azok az x val´ os sz´ amok, amelyekre a 2x2 + 6x + 6 x2 + 4x + 5 kifejezés értéke legal´ abb 1 és legfeljebb 3? 1981. G sz 7. 5. Határozza meg az m paraméter értékét u ´gy, hogy az (m + 2)x2 + (2m + 3)x − 2 = 0 egyenletnek két k¨ ulönböz˝o, (−1)-nél kisebb val´ os gy¨ oke legyen! 1983. G sz 7. 6. Határozza meg az x 7→ f (x) = |x − 1| + |x2 − 6x + 8|

(x ∈ ℜ)

f¨ uggvény legkisebb helyettes´ıtési értékét! 1995. G 7. 7. A p és q olyan val´ os sz´ amok, hogy az x2 + px + q = 0 és az x2 − p2 x + pq = 0 egyenlet gy¨ okei is val´ osak, mégpedig az utóbbi egyenlet gy¨ okei eggyel nagyobbak az el˝obbi egyenlet gy¨ okeinél. Sz´ am´ıtsa ki p és q értékét! 1982. N g 7. 8. Bizony´ıtsa be, hogy ha az ax2 + bx + c = 0 másodfok´ u egyenletben a két gy¨ ok négyzetének k¨ ulönbsége egyenl˝o, akkor b4 − c4 = 4ab2 c! 1987. N sz 6.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

c2 a2 -tel

17

Másodfok´ u egyenletek... II. sorozat 1. Mely val´ os x sz´ amok elég´ıtik ki a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: x2 + 1 x+1 x − 2 = ? 3x − 1 9x − 1 9x + 3 1994. G 1. 2. Mely val´ osszám-p´ arok elég´ıtik ki a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert:

x(x + 4) = 3y(x − 1); 2y + x = 10?

1983. N 1. 3. Oldja meg a val´ osszám-p´ arok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert:

1 x−3 2

1 + y2 = (x−3)y ; y − 4(y − x) = 9.

1993. N 1. 4. Az m paraméter mely értékeire lesz az (m2 − 1)x2 + 2(m − 1)x + 1 polinom értéke minden x-re pozit´ıv? 1976. G 7. 5. Melyek azok a b val´ os sz´ amok, amelyekre az x2 + bx + b2 − 1 = 0 egyenletnek van olyan x0 gy¨ oke, hogy teljes¨ ul a −1 ≤ x0 ≤ 1 feltétel? 1978. N 8. 6. Határozza meg a p paraméternek mindazokat az értékeit, amelyekkel a 4x2 − 4px + (p2 − 2p + 2) polinom legkisebb értéke a [0; 2] sz´ amk¨ ozben 3. 1983. N g 8. 7. Jelölje x1 és x2 az x2 − a2 x + ab = 0 egyenlet gy¨ okeit, x3 és x4 pedig az x2 + ax + b = 0 egyenlet gy¨ okeit. Határozza meg az ¨ osszes olyan a, b val´ osszám-p´ art, amelyre egyidej˝ uleg teljes¨ ulnek a k¨ ovetkez˝ o feltételek: I. x1 − x3 = 1 és x2 − x4 = 1; II. x1 , x2 , x3 , x4 olyan val´ os sz´ amok, hogy x1 ≥ x2 és x3 ≥ x4 . A feltételeknek megfelel˝ o minden a, b val´ osszám-p´ arhoz adja meg a hozz´ a tartozó x1 , x2 , x3 , x4 gy¨ ok¨ oket is. 1993. G 8. 8. Az x, y, z val´ os sz´ amok megoldásai az x + y + z = v, 1 1 1 1 x + y + z = v egyenleteknek. Bizony´ıtsa be, hogy az x, y, z sz´ amok k¨ oz¨ ul az egyik v-vel egyenl˝o! 1972. N 8.

18

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Másodfok´ u egyenletek... III. sorozat 1. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet a val´ os sz´ amok halmazán: x2 + 3x + |x + 3| = 0. 1990. G 1. 2. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert:

x2 − y = 46; x2 y = 147.

1980. G 2. 3. Mely val´ osszám-p´ arok elég´ıtik ki a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert:

3 x

− 2y = 1; −2x + y3 = 3?

1996. G 1. 4. Az a val´ os paraméter mely értékeire lesz a k¨ ovetkez˝ o egyenl˝otlenségrendszernek egy val´ osszám-p´ ar a megoldása, és ezekre az értékekre mi az egyetlen megoldás?

x2 + y 2 + 2x ≤ 1 x−y+a=0

1996. G 5. 5. A p val´ os paraméter mely értékeire van megoldása az 1+

x 2p 2x2 − 4x + 9p2 = + x−p x+p x 2 − p2

egyenletnek? Milyen p értékekre lesz az egyenlet gy¨ oke p-nél kisebb? 1990. N 7. ´ 6. Allap´ ıtsa meg, hogy az m (val´ os) paraméter mely értékeire lesznek a 2x2 + 2(m + 2)x + m2 + 4m + 3 = 0 egyenlet gy¨ okei val´ osak, és ´ allap´ıtsa meg ezekre az m értékekre az x1 + x2 + 3x1 x2 kifejezés legnagyobb és legkisebb értékét, ahol x1 és x2 az egyenlet gy¨ okeit jelentik! 1980. N g 7. 7. Az m paraméter mely értékeire lesznek az al´ abbi egyenletrendszer val´ os x és y gy¨ okei ellenkez˝ o el˝ojel˝ uek:

2(m + 2)x − (m + 1)y = m; m2 (x − y) = 4x − y?

1984. N sz 8. 8. Igazolja, hogy a p val´ os paraméter tetsz˝ oleges értékénél pontosan egy val´ os gy¨ oke van a k¨ ovetkez˝ o egyenletnek: x|x + 2p| = p. 1991. N 7.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

19

Másodfok´ u egyenletek... IV. sorozat 1. Mely val´ os x sz´ amok elég´ıtik ki a k¨ ovetkez˝ o két egyenletet: a)

4x 13 9x + = ; x x 4 9 6

b)

2x2 + 4 3x + 2 13 + 2 = ? 3x + 2 2x + 4 6

1996. G 3. 2. Mely val´ os sz´ amok elég´ıtik ki a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: |x2 + 3x − 4| + 3x + 9 = 0? 1983. G 5. 3. Oldja meg a val´ os sz´ amok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert:

x2 − y 2 = 52 ; √ xy = 26 .

1987. N 2. 4. Hogyan kell megv´ alasztani az x2 + px + q polinomban p és q értékét, ha azt akarjuk, hogy ezt a polinomot egy alkalmasan v´ alasztott másodfok´ u polinommal szorozva az x4 + 1 polinomot kapjuk? 1986. N g 7. 5. Mely val´ osszám-h´ armasok elég´ıtik ki a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert:

x + y + z = 2; 2xy = z 2 + 4.

1991. G 7. 6. Mekkor´ anak kell v´ alasztani az m (val´ os) paraméter értékét ahhoz, hogy az x2 − (5m + 3)x + 6m2 + 5m − 4 = 0 egyenlet gy¨ okei a [-2; 5] zárt intervallumba essenek, és a gy¨ ok¨ ok négyzetének összege a) minimális, b) maximális legyen? 1980. N sz 8. 7. Milyen határok k¨ ozött mozog a p + q ¨ osszeg értéke, ha p és q olyan val´ os sz´ amok, hogy az x2 + px + q = 0 2 2 uggés? egyenletnek val´ os gy¨ okei vannak, és az egyenlet gy¨ okeire fenn´ all az x1 + x2 = 1 összef¨ 1992. G 8. 8. Igazolja, hogy ha a < b < c val´ os sz´ amok, akkor az (x − a)(x − b) + (x − b)(x − c) + (x − c)(x − a) = 0 másodfok´ u egyenletnek két k¨ ulönböz˝o val´ os gy¨ oke van! 1982. G g 8.

20

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Gykvons I. sorozat 1. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet:

√ x−1 1− x √ + = 4. 2 1+ x

1977. N 1. 2. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket a val´ os sz´ amok k¨ orében: a) 1974. G 3.

p

8−

x2

√ 2 ; b) sin x cos x = 2

= −x;

c) lg(x2 − 1) = lg(x + 1) + lg(x − 1).

3. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket: √ a) x − 3 x − 4 = 0;

b)

6−x 1 =6+ ; x−5 x−5

c) 1 + lg(x + 3) = 0;

d) 10sin x =

1 . 10

1973. G 3. 4. K¨ ozel´ıt˝ o értékek haszn´ alata nélk¨ ul ´ allap´ıtsa meg, hogy melyik nagyobb az al´ abbi két-két sz´ am k¨ oz¨ ul! a)

√

√ 50 − 12

vagy

√ 20 − 96 √ ; 8

b) 1002 lg 2

vagy

√

102+0,5 lg 16 .

1977. G 3. 5. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert: √ 2 √y − 6x = x + 3; y − 1 = x + 2. 1981. N 4. 6. Határozza meg k¨ ulön-k¨ ulön a a val´ os sz´ amoknak azt a legb˝ovebb részhalmazát, amelyen az al´ abbi kifejezések értelmezhet˝ok: p 1 a) 3 ; b) x3 − x2 − 2x; c) lg(x3 − x2 − 2x). 2 x − x − 2x 1995. G 3.

7. Oldja meg a val´ os sz´ amok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenl˝otlenségeket: a) (x + 2) 1992. N 5.

2013. I. 13.

p

x2 − 2x + 3 ≥ 0;

b) 2 log5

√ 1 x ≥ 2 + logx . 5

http://www.madas.tk

21

Gykvons II. sorozat 1. Oldja meg a val´ os sz´ amok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: √ x+1+2 x+1 √ . = x−2 x+1−1 1991. N 1. 2. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket: a)

√

2x −

√ 18x = 2;

b) 5x+3 · 2x−1 = 375;

(cos x + sin x + 1)(cos x + sin x − 1) = 1. sin 2x

c)

1976. G 4. 3. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet a val´ os sz´ amok halmazán: √ 2x − 3 x = 2. 1996. N 1. 4. Sz´ am´ıtsa ki a k¨ ovetkez˝ o kifejezés értékét: √ √ ( 3 + 2)

q

√ 5 − 2 6.

1970. N 1. 5. Mely val´ osszám-p´ arokra igaz a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszer: (

q

y − xq= 44;

6x x+y

+

x+y 6x

= 25 ?

1988. N 4. ´ 6. Allap´ ıtsa meg a k¨ ovetkez˝ o f¨ uggvények értelmezési tartomány´ at: a) y = lg |x + 1|;

b) y =

p 15 + 2x − x2 ;

c) y =

tg 3x . tg πx

1975. N 6. 7. Oldja meg a val´ os sz´ amok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenl˝otlenséget:

1993. G 6.

22

p −x2 + 6x − 5 > 8 − 2x.

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Gykvons III. sorozat 1. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket a val´ os sz´ amok k¨ orében: a) x2 +

1 1 = 4x + ; x−4 x−4

b)

p

x2 − 4x + 4 = x − 2;

c) sin 2x = 2 sin(x + π) cos(x + π).

1974. N 3. 2. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet a val´ os sz´ amok halmazán: q p 1 + x x2 − 24 = x − 1.

1988. G 1.

3. Oldja meg a val´ os sz´ amok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: √ √ 4x + 9 = 5 + x − 6. 1992. N 1. 4. K¨ ozel´ıt˝ o értékek haszn´ alata nélk¨ ul sz´ am´ıtsa ki a k¨ ovetkez˝ o kifejezések értékét: a)

√

104−lg 25 ;

◦

◦

b) sin 75 cos 75 ;

c)

q

√ 3−2 2−

q

√ 3 + 2 2.

1992. G 1. 5. Melyek azok a pozit´ıv x és y val´ os sz´ amok, amelyek kielég´ıtik az al´ abbi egyenletrendszert:

x+y+

√

2 2

x y 5

x + y − 2 = 14; − xy = 10?

1985. N sz 7. ´ 6. Allap´ ıtsa meg a k¨ ovetkez˝ o f¨ uggvények értelmezési tartomány´ at és értékkészletét: √ a) y = − x;

b) y =

√ −x;

c) y =

√ √ x + −x;

d) y = √

1 √ . x + −x

1975. G 4. 7. Oldja meg a val´ os sz´ amok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenl˝otlenséget: √ √ x − x − 5 > 2. 1989. N 4.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

23

Gykvons IV. sorozat 1. Oldja meg a val´ os sz´ amok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket: √ a) |3 x − 1| = 3;

b) 2x − 11 =

2| cos x| , ha x ∈ [π; 2π]; cos x

1993. N 3. 2. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: √

p c) x2 − 7 = 3 x2 − 2x + 1.

√ √ 21 − 2 x − 2x + 1 = 0. 2x + 1

1972. N 3. 3. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet a val´ os sz´ amok halmazán: √

x + 10 −

√

x+3=

√ 2x − 11.

1989. G 1. 4. Oldja meg a val´ os sz´ amok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: q

√ x+2+4 x−2+

q

√ x + 7 − 6 x − 2 = 5.

1986. G sz 8. 5. Mely val´ osszám-p´ arok elég´ıtik ki a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert: √ √ √ x + y = xy; x + y = 8? 1983. N sz 7. 6. Hozzuk a lehet˝ o legegyszer˝ ubb alakra a k¨ ovetkez˝ o kifejezést: x+y x−y

s 3

(x2 − y 2 )4 . (x + y)8

1966. N 1. 7. Mely val´ os x értékekre teljes¨ ul, hogy

4x2 √ < 2x + 9? (1 − 1 + 2x)2

1985. N g 7.

24

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Trigonometria X. I. sorozat 1. K¨ ozel´ıt˝ o értékek haszn´ alata nélk¨ ul sz´ am´ıtsa ki a k¨ ovetkez˝ o kifejezések értékét: 1 a) log3 √ ; 3

5

b) 32(8− 3 ) + 810,75 ;

c) sin 990◦ + tg(−225◦ ).

1975. G 3. 2. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket: a) x2 =

√

b) 2x = −3;

x;

c) tg 2x = 1;

d) logx 2x = 2.

1972. N 2. 3. Mely val´ os x-ekre értelmezhet˝ok az al´ abbi kifejezések: tg x b) ; ctg x

a) tg x ctg x;

r

c)

√ tg x d) √ ? ctg x

tg x ; ctg x

1984. G 3. 4. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket: x+1

a) 0, 5 x−1 =

1 ; 32

b)

q

ctg2 x = − ctg x;

c) lg(0, 5 + x) = lg 0, 5 − lg x.

1982. N 3. 5. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket a val´ os sz´ amok halmazán: a) 6 sin2 x − 13 sin x + 6 = 0;

b) 6 · 4x − 13 · 6x + 6 · 9x = 0.

1989. G 4. 6. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket: a) x −

8 1 = ; x 3

b) lg x −

1 8 = ; lg x 3

c) 10x − 10−x =

8 ; 3

d) tg2 x − ctg2 x =

8 . 3

1975. N 4. 7. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket: p x−3 a) lg(3 x−6 + 1) = 1;

b) sin(π cos x) = 0.

1981. G 4. 8. Igazolja, hogy a osszeg minden x értékre ´ ¨ alland´ o! 1980. G sz 6.

2013. I. 13.

p

sin4 x + 4 cos2 x +

p

cos4 x + 4 sin2 x

http://www.madas.tk

25

Trigonometria X. II. sorozat 1. Sz´ am´ıtsa ki az al´ abbi kifejezések pontos értékét: 21π p A = tg + 5 sin(−7π); 4

log√2 3

B=2

log4 9

·2

;

C = logπ

"

2π 2π cos + sin 3 3

2

# 4π . − sin 3

1985. N 3. 2. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket: 1 a) 3−4x = √ ; 3

b)

9 − 3x − 1 = 0; x−3

c)

lg 2x = lg 2; x

d) tg

πx = 1. 4

1973. N 3. ´ 3. Allap´ ıtsa meg a k¨ ovetkez˝ o f¨ uggvények értelmezési tartomány´ at: a) y = lg |x + 1|;

b) y =

p 15 + 2x − x2 ;

c) y =

tg 3x . tg πx

1975. N 6. ´ 4. Allap´ ıtsa meg a val´ os sz´ amok halmazának azt a legb˝ovebb részhalmazát, amelyen a k¨ ovetkez˝ o kifejezések értelmezhet˝ok! Adja meg a kifejezések legnagyobb és legkisebb értékét! a) log2 0, 5sin x ;

b)

1992. G 4.

p

1 − sin2 x;

c) log2 0, 5sin x

p

1 − sin2 x.

5. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: 3 sin x = 2 cos2 x. 1971. N 1. 6. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert:

tg x + ctg y = 2; ctg x + tg y = 2.

1973. G 6. 7. Mely val´ os x-ekre értelmezhet˝ok a k¨ ovetkez˝ o kifejezések: a)

√ 1 + sin x;

1978. G 3.

b)

p

1 + tg x;

c)

p

sin(x + 1)?

8. Oldja meg a val´ os sz´ amok halmazán a 2(sin6 x + cos6 x) − 3(sin4 x + cos4 x) + 1 = 0 egyenletet! 1985. G sz 6.

26

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Trigonometria X. III. sorozat 1. K¨ ozel´ıt˝ o értékek haszn´ alata nélk¨ ul sz´ am´ıtsa ki a k¨ ovetkez˝ o kifejezések értékét: a)

√

104−lg 25 ;

◦

◦

b) sin 75 cos 75 ;

c)

q

√ 3−2 2−

q

√ 3 + 2 2.

1992. G 1. 2. Mely val´ os x-ekre értelmezhet˝ok a k¨ ovetkez˝ o kifejezések: 2 ; a) x 2 −4

2

b) lg(−x + 2x);

c)

r

tg

x − 1. 4

1976. N 6. 3. Oldja meg a val´ os sz´ amok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket: √ a) |3 x − 1| = 3;

b) 2x − 11 =

2| cos x| , ha x ∈ [π; 2π]; cos x

1993. N 3.

p c) x2 − 7 = 3 x2 − 2x + 1.

4. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert:

xy = 1; x + y − cos2 z = −2.

1977. N 7. 5. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: 1 tg x + ctg x = 9

r

1 − 1 − 1. cos2 x

1979. G g 7. 6. Mely val´ os x sz´ amokra értelmezhet˝ok a k¨ ovetkez˝ o kifejezések? Mely val´ os értékeket vesznek fel? a) sin 1986. G 4.

π 6

cos(πx) ;

b)

p

sin(πx).

7. Sz´ am´ıtsa ki a cos(πx2 ) = cos(π(x2 + 2x + 1)) egyenlet legkisebb pozit´ıv gy¨ okét! 1989. N 6.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

27

Trigonometria X. IV. sorozat 1. Sz´ am´ıtsa ki az al´ abbi kifejezés pontos sz´ amértékét (ne haszn´ aljon sz¨ ogf¨ uggvénytáblázatot): 1 − 8 sin 60◦ . (1 − cos 15◦ )(1 + sin 75◦ ) 1976. N 3. 2. Adja meg a val´ os sz´ amoknak azt a legb˝ovebb halmazát, amelyen az

kifejezés értelmezhet˝o! értékkészletét! 1984. N 5.

p

1 |2 sin 2x − 1|

´ Allap´ ıtsa meg az ezen a halmazon az adott kifejezéssel definiálhat´ o f¨ uggvény

3. Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszer 0◦ és 360◦ k¨ ozé es˝ o megoldásait:

sin x + cos y = 0; sin x sin y = − 21 .

1968. N 4. 4. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet a val´ os sz´ amok halmazán: x2 + 2x sin(xy) + 1 = 0. 1988. G B 7. 5. Mekkora sin x pontos értéke, ha tg x + ctg x = 4? 1983. G g 6. 6. Oldja meg a val´ os sz´ amok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenletet:

1984. G sz 8.

π 3π π sin x = x − − x − . 4 4

7. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: tg

x2

√ 2πx = − 3. +x+1

1978. G 7.

28

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Geometria XI. IX. sorozat 16. Egy paralelogramma r¨ ovidebb ´ atlója 8 egység, átlóinak sz¨ oge 45◦ , ter¨ ulete 40 ter¨ uletegység. Sz´ am´ıtsa ki a paralelogramma ker¨ uletét! 1989. G 3. √ ucsn´ al lév˝o sz¨ og 120◦ . Sz´ am´ıtsa ki az 36. Az ABCD négysz¨ ogben AB = 3; BC = 5; CD = 5 és DA = 2 6; a B cs´ AC átlót, a D cs´ ucsn´ al lév˝ o sz¨ oget és a négysz¨ og ter¨ uletét! 1975. G 2. 40. S´ık terepen lev˝ o A és B pontok k¨ ozötti t´ avolság kiszám´ıt´ asához a k¨ ovetkez˝ o adatokat ismerj¨ uk: Az A pontt´ ol 100 m-re ´ alló gy´ arkémény az A pontból 45◦ - os, a B pontból 30◦ -os emelkedési sz¨ ogben l´ atszik; az A pontot a kémény aljával ¨ osszeköt˝ o egyenes 60◦ -os sz¨ oget zár be az AB egyenessel. Mekkora az AB t´ avolság? 1975. N 5. 60. Egy egyenl˝o sz´ ar´ u háromszög egyik sz¨ oge 120◦ , a háromszögbe ´ırt k¨ or sugara 8. Sz´ am´ıtsa ki a háromszög oldalait és a háromszög k¨ oré ´ırható k¨ or sugarát h´ arom értékes jegy pontoss´ aggal! 1979. G 2. 85. Egy trapéz párhuzamos oldalai a és 3a, a másik két oldal a és 2a. Mekkor´ ak a trapéz sz¨ ogei? 1981. N 3. 86. Adott egy 2a oldal´ u szabályos háromszög. Mi a mértani helye a háromszög s´ıkj´ aban elhelyezked˝ o azon P pontoknak, amelyekre a háromszög cs´ ucsait´ ol mért t´ avolságok négyzetének összege egy r¨ ogz´ıtett val´ os s sz´ ammal egyenl˝o? 1981. N sz 7. 88. Egy hegyessz¨ og˝ u háromszög egyik oldala 16, másik két oldal´ anak ar´ anya 3:2; a háromszög k¨ oré ´ırható k¨ or sugara 10. Mekkora a háromszög másik két oldala? 1980. N sz 6. 89. Egy k¨ or 120◦ -os k¨ ozépponti sz¨ ogét olyan két részre osztjuk, hogy a rész-szögekhez tartozó h´ urok ar´ anya 2:5. Mekkor´ ak a h´ urokhoz tartozó k¨ ozépponti sz¨ ogek? 1977. N 6. 96. Egy háromszög két sz¨ oge: β = 50◦ és γ = 100◦ ; a vel¨ uk szemk¨ ozti oldalak b, illetve c; a háromszög harmadik oldala a. Bizony´ıtsa be, hogy ab = c2 − b2 ! 1982. N g 8. 103. Egy egyenl˝o sz´ ar´ u háromszög sz´ ara 10 egység; a sz´ arak metszéspontján átmen˝ o és a sz´ arak sz¨ ogét 1:2 ar´ anyban oszt´ o egyenesnek a háromszögbe es˝ o szakasza 9 egység. Mekkora a háromszög ter¨ ulete? 1983. G sz 6. 112. A 12 egységnyi hossz´ u AB szakaszt a C pont 1:2 ar´ anyban osztja. Az AB; AC és CB szakaszok mint átmér˝ok fölé félk¨ or¨ oket rajzolunk az AB egyenesnek ugyanazon a partján. Mekkora annak a k¨ ornek a sugara, amely érinti mind a három félk¨ ort? 1984. G g 7. 119. Egy háromszög két oldala 8 és 15, ter¨ ulete 48. Mekkora a háromszög harmadik oldala? 1985. G 2. 127. Egy háromszög két oldala 8 és 12, a harmadik oldalhoz tartozó s´ ulyvonal 9. Mekkora a háromszög ter¨ ulete? 1986. G 5. 145. Egy háromszög sz¨ ogeinek tangensei u ´gy ar´ anylanak egym´ ashoz, mint 1:2:3. Hogyan ar´ anylanak egymáshoz a háromszög oldalai? 1988. G A 7. 157. Mekkora a ter¨ ulete annak az ABC háromszögnek, amelyben AB = 3; BC = 7; és a B cs´ ucsb´ ol indul´ o s´ ulyvonal hossza 4 egység? 2013. I. 13.

http://www.madas.tk

29

1990. G 3. 160. Egy háromszög AB oldala 10, a hozz´ a tartozó s´ ulyvonal 6, egy másik s´ ulyvonala pedig 9 egység. Mekkora a háromszög AC és BC oldala? 1990. N 4. 171. Egy egyenl˝o sz´ ar´ u háromszög s´ ulyvonalainak a hossza 90, 51, 51. Mekkor´ ak a háromszög oldalai és sz¨ ogei? 1996. G 2.

30

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Koordinátageometria I. sorozat 1. A koordinátatengelyek mely pontjai vannak egyenl˝o t´ avol az A(−1; 6) és B(9; 12) pontoktól? 1984. G 1. 2. Az e egyenes áthalad az origón és irányvektora (4; 3); az f egyenes két pontja A(1; 7) és B(22; −21). Sz´ am´ıtsa ki az e és f egyenesek metszéspontjának koordinát´ ait és a metszéspont t´ avolság´ at A-tól! 1975. N 1. 3. Adott négy pont a koordin´ at´ aival: A(1; −1), B(5; 1), C(7; 7), D(3; 5). Igazolja, hogy az ABCD négysz¨ og paralelogramma, és sz´ am´ıtsa ki a ter¨ uletét! 1977. G 2. 4. Mekkora annak a háromszögnek a ter¨ ulete, amelyet a koordinátarendszer x tengelye, tov´ abb´ a a 2x − y = 0, illetve a 4x + 7y = 36 egyenlet˝ u egyenesek zárnak k¨ ozre? Mekkor´ ak a háromszög sz¨ ogei? 1977. N 2. 5. Egy háromszög cs´ ucspontjai: A(0; 0); B(10; 2) és C(2; 2). Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely felezi az ABC háromszög ter¨ uletét és párhuzamos az y tengellyel! 1992. G 2. 6. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a (6; 4) ponton, tov´ abb´ a az x + y = 4 és az

x+y =5

egyenlet˝ u egyeneseket olyan pontokban metszi, amelyek abszcissz´ ainak k¨ ulönbsége 2! 1990. G 6. ´ 7. Allap´ ıtsa meg, hány olyan egyenes van, amely áthalad az A(1; 8) ponton, és egyenl˝o t´ avolságra van a P (−3; 5) és Q(9; −1) pontoktól! Írja fel ezeknek az egyeneseknek az egyenletét! 1980. N g 6.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

31

Koordinátageometria II. sorozat 1. Határozza meg a 2x − 3y = 2 egyenlet˝ u egyenesnek azt a pontját, amely az A(0; 3) és B(4; 7) pontoktól egyenl˝o t´ avolságra van! 1973. G 4. 2. Az ABCD paralelogramma A és B cs´ ucsai: A(1; 4) és B(6; 6). A BC oldalegyenes egy pontja P (10; 18), a CD oldalegyenes egy pontja R(−1; 11). Mekkora a paralelogramma ker¨ ulete? 1987. G 2. 3. Egy háromszög két cs´ ucsának koordinát´ ai: A(3; 4), B(7; 4); a harmadik cs´ ucson átmen˝ o oldalak párhuzamosak a v1 (7; 6), illetve a v2 (1; 2) vektorokkal. Mekkora a háromszög ter¨ ulete? 1982. N 4. 4. Egy deréksz¨ og˝ u háromszög ´ atfog´ ojának egyik végpontja: A(−2; 2), másik végpontja a B pont, amelynek ordinát´ aja 4. Az egyik befog´ o egyenlete x + y = 10. Sz´ am´ıtsa ki az átfog´ ohoz tartozó magass´ ag hossz´ at! 1993. G 4. 5. Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely mer˝oleges a 2x + y = 20 egyenesre, és felezi az adott egyenes és a koordin´ atatengelyek ´ altal határolt háromszög ter¨ uletét! 1967. N 7. 6. Az x + y = 30 egyenlet˝ u egyenesnek az x és az y tengellyel val´ o metszéspontjait jel¨ olje A, illetve B, és legyen az origó O. Írja fel annak az e egyenesnek az egyenletét, amelyik párhuzamos az x − 3y = 6 egyenlet˝ u egyenessel, metszi az OB szakaszt a C, az AB szakaszt a D pontban, és amelyre az OADC négysz¨ og ter¨ ulete 234 egység! 1988. N 5. ´ azolja deréksz¨ 7. Abr´ og˝ u koordin´ ata-rendszerben azoknak a P (x; y) pontoknak a halmazát, amelyeknek a koordinát´ ai kielég´ıtik a k¨ ovetkez˝ o feltételt: a) |x| ≤ |y|;

b) |x + 1| + |y + 1| ≤ 2.

1987. G g 6. 8. Legyen A(−6; 10) és B(4; 14). Sz´ am´ıtsa ki annak a 2x − 5y = −4 egyenlet˝ u egyenesen fekv˝o P pontnak a koordinát´ ait, amelyre az AP és BP szakaszok hossz´ anak összege a lehet˝ o legkisebb! 1980. G g 7.

32

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Koordinátageometria III. sorozat 1. Egy háromszög cs´ ucsai: A(0; 0), B(6; 0), C(4; 8). Sz´ am´ıtsuk ki a háromszög magass´ agpontjának a koordinát´ ait! 1968. N 2. 2. Mekkora a ter¨ ulete annak a négyzetnek, amelynek két oldalegyenese az 5x − 12y + 26 = 0 és az

5x − 12y − 65 = 0

egyenlet˝ u egyenes? 1985. G 4. 3. Egy négyzet egyik cs´ ucsának koordinát´ ai: 5; 7, egyik átlójának egyenlete 3x + 4y = 18. Írja fel a t¨ obbi cs´ ucs koordin´ at´ ait! 1983. N 3. 4. Az ABCD téglalap AB oldalegyenesének egyenlete: y = 3x, átlói az M (12; 6) pontban metszik egymást; az AC átló párhuzamos az x tengellyel. Határozza meg a B, C, D cs´ ucsok koordinát´ ait! 1972. N 4. 5. Egy rombusz két oldalegyenesének egyenlete: 3x − 10y − 54 = 0, illetve 3x − 10y + 128 = 0. Az egyik átló az x − y + 10 = 0 egyenlet˝ u egyenesre illeszkedik. Sz´ am´ıtsa ki a rombusz cs´ ucsainak koordinát´ ait! 1982. G sz 6. 6. Az ABCD rombusz A cs´ ucsának koordinát´ ai: (−1; 3), az átlók metszéspontja: Q(2; 1). A P (0; 2) pont az A cs´ ucsb´ ol indul´ o egyik oldalon van. Sz´ am´ıtsa ki a rombusz ter¨ uletét! 1979. N 4. 7. Az ABCD deltoid szimmetriatengelye az AC átló, ahol A(0; 0) és C(8; 10). A deltoid ter¨ ulete 41 ter¨ uletegység. Az egyik átló az origót´ ol sz´ am´ıtva 3:2 ar´ anyban osztja a másikat. Határozza meg a hiányzó cs´ ucspontok koordinát´ ait! 1991. G 6.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

33

Koordinátageometria IV. sorozat 1. Sz´ am´ıtsa ki az ABC háromszög magass´ agpontjának koordinát´ ait, ha A(−5; −2),

B(−2; 7) és

C(2; −1)

1994. N 2. 2. A P (4; 2) ponton ´ atmen˝ o egyenes az x tengelyt (a; 0), az y tengelyt (0; b) pontban metszi. Fejezze ki b-t a f¨ uggvényeként. 1971. N 3. 3. Egy rombusz cs´ ucsa az A(5; 8) pont, a BD ´ atló egyenesének egyenlete: x − 2y + 6 = 0. A rombusz oldala 5 egység. Határozza meg a t¨ obbi cs´ ucspont koordinát´ ait és a rombusz ter¨ uletét! 1991. N 4. 4. Egy téglalap két szemk¨ ozti cs´ ucsa: A(5; 0), C(2; 4); egy tov´ abbi cs´ ucsa az x − 3y = 0 egyenlet˝ u egyenesen van. Sz´ am´ıtsa ki a téglalap ismeretlen cs´ ucsainak koordin´ at´ ait! 1979. G 4. 5. Egy téglalap hosszabbik oldala háromszorosa a r¨ ovidebb oldalnak. Az egyik hossszabbik oldal végpontjainak koordinát´ ai: −2; 4 és 7; 16. Adja meg a téglalap hiányz´ o cs´ ucsainak koordinát´ ait! 1984. N 4. 6. Egy rombusz egyik ´ atlója a másik ´ atlójának kétszerese; a r¨ ovidebbik átló végpontjai: A(6; −4) és C(−2; 6). Határozza meg a hiányz´ o cs´ ucsok koordinát´ ait! 1974. N 5. 7. A koordináta-rendszer O kezd˝ opontjának t¨ ukörképe az A(5; 5) pontra O1 , az O1 t¨ ukörképe a B pontra O2 , és O2 t¨ ukörképe a C(1; 7) pontra ismét az O kezd˝opont. Sz´ am´ıtsa ki B koordinát´ ait, és bizony´ıtsa be, hogy az OABC négysz¨ og rombusz! 1987. N 3.

34

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Koordinátageometria V. sorozat 1. Mely pontokban metszi az x2 + y 2 = 25 egyenlet˝ u k¨ ort az x − 7y + 25 = 0 egyenlet˝ u egyenes? Milyen hossz´ u h´ urt metsz ki a k¨ or az egyenesb˝ ol? Mekkora t´ avolságra van a k¨ or k¨ ozéppontja az egyenest˝ol? 1976. G 3. 2. Sz´ am´ıtsa ki annak az ABCD négysz¨ ognek a ter¨ uletét, amelynek A cs´ ucsa az x2 + y 2 − 6x − 4y = 12 egyenlet˝ u k¨ or k¨ ozéppontja, B és D az el˝ obbi k¨ or és az x − 2y + 6 = 0 egyenes két metszéspontja, C pedig a B és D pontban a k¨ orh¨ oz h´ uzhat´ o érint˝ ok metszéspontja! 1978. N 3. 3. Egy k k¨ or k¨ ozéppontjának abszcissz´ aja −1. Az A(7; 4) pontból indul´ o AB átmér˝o B végpontja az x tengelyen van. Írja fel a k k¨ or egyenletét! Sz´ am´ıtsa ki az AB átmér˝ ore mer˝oleges átmér˝ o végpontjainak koordinát´ ait! 1992. N 4. 4. Sz´ am´ıtsa ki az x2 + y 2 = 10 és az x2 + y 2 − 6x − 6y + 2 = 0 egyenlet˝ u k¨ or¨ ok k¨ ozös h´ urja, az x tengely és az y tengely által alkotott háromszög ter¨ uletét! 1974. G 5. 5. A k1 k¨ or egyenlete (x − 2)2 + (y − 4)2 = 20, a k2 k¨ or egyenlete (x − 7)2 + (y − 14)4 = 5. Írja fel annak a k¨ ornek az egyenletét, amelynek k¨ ozéppontja a k1 és k2 k¨ ozéppontját összeköt˝ o egyenesen van, és amelyet a k1 és k2 k¨ or¨ ok bel¨ ulr˝ ol érintenek! 1976. N 4. 6. A k k¨ or érinti az x tengelyt és a 3x + 4y = 69 egyenlet˝ u e egyenest; a k¨ or és az egyenes k¨ ozös pontjának abszcissz´ aja 11. Írja fel a k¨ or egyenletét! 1989. G 5. 7. Az x2 + y 2 = 25 egyenlet˝ u k¨ ort érinti a 3x + 4y = k egyenlet˝ u egyenes. Sz´ am´ıtsa ki k értékét! Mekkora az érint˝ onek a koordin´ atatengelyek k¨ ozé es˝ o szakasza? 1973. N 4. 8. Határozza meg az r értékét u ´gy, hogy a C(−12; 0) k¨ ozéppont´ u, r sugar´ u k¨ ornek és az x2 + y 2 = 8 egyenlet˝ u k¨ ornek legyen az y = x egyenlet˝ u egyenessel párhuzamos k¨ ozös érint˝ oje! 1992. G 7.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

35

Koordinátageometria VI. sorozat 1. A k k¨ or áthalad az A(−1; 15); B(9; 15) és C(16; 8) ponton; az e egyenes mindkét koordinátatengely negat´ıv felét metszi, mindkett˝ ot 10 egységre az origót´ ol. Írja fel k és e egyenletét, és sz´ am´ıtsa ki k¨ ozös pontjaik koordinát´ ait! 1985. N 4. 2. Az (x − 5)2 + (y − 12)2 = 169 egyenlet˝ u k¨ or 10 abszcissz´ aj´ u pontjaiban h´ uzott érint˝ oi mely pontban és mekkora sz¨ ogben metszik egym´ ast? 1993. N 4. 3. Adott az x2 + y 2 − 2x − 25 = 0 egyenlet˝ u k¨ or két pontja: A(−4; −1) és B(6; 1); a k¨ or AC és BC h´ urjai hossz´ anak ar´ anya 3:2. Határozza meg a C pont koordin´ at´ ait! 1990. N 5. 4. Az (x − 2)2 + (y − 2)2 = 25 és az x2 + y 2 − 16x − 4y + 55 = 0 egyenlet˝ u k¨ or¨ ok k¨ ozéppontja és metszéspontjai egy négysz¨ oget határoznak meg. Mekkora ennek a négysz¨ ognek a ter¨ ulete? 1981. G 5. 5. Egy k k¨ or érinti az x2 + y 2 − 10x − 10y + 25 = 0 egyenlet˝ u k¨ ort és a koordináta-tengelyeket. Mekkora a k k¨ or sugara? 1994. G 6. 6. Írja fel annak a k¨ ornek az egyenletét, amely érinti az x tengelyt, és a P (4; 8) pontban bel¨ ulr˝ ol érinti az (x + 4)2 + (y − 2)2 = 100 egyenlet˝ u k¨ ort! 1995. G 5. 7. Az (x − 5)2 + (y − 10)2 = 50 egyenlet˝ u k¨ orb˝ ol az origón átmen˝ o g egyenes 10 hossz´ us´ ag´ u h´ urt metsz ki. Írja fel a g egyenes egyenletét, és sz´ am´ıtsa ki a kimetszett h´ ur végpontjainak koordinát´ ait! 1986. G sz 7. 8. Az x2 + y 2 = 4 és az (x − 8)2 + (y − 5)2 = 9 egyenlet˝ u k¨ or k¨ ozéppontját összeköt˝ o szakasz mely pontjából h´ uzhat´ o k¨ ozös érint˝ o a két k¨ orh¨ oz? Írja fel az érint˝ oegyenesek egyenletét! 1995. N 5.

36

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Koordinátageometria VII. sorozat 1. Az ABC háromszögben AB = BC. Jelölje a BC felez˝opontját F , a BC oldalhoz tartozó magass´ ag talppontját T. Sz´ am´ıtsa ki a B és C cs´ ucs koordinát´ ait, ha A(−2; 1), T (16; 1) és F második koordinát´ aja 13. 1988. G 5. 2. Az ABCD rombusz oldala 5 egység. Az A és C cs´ ucs az y = x2 + 7x + 10 egyenlet˝ u parabol´ an van, a B cs´ ucs a parabola fókuszpontja. Mekkora a rombusz ter¨ ulete? 1989. N 7. 3. Írja fel az y = 4x2 +4 parabola origón ´ athalad´ o érint˝ oinek egyenletét! Sz´ am´ıtsa ki az érintési pontok koordinát´ ait! 1970. N 5. 4. Az y tengellyel párhuzamos tengely˝ u és felfelé ny´ıló parabola átmegy az A(5; 4) ponton, és érinti az x tengelyt. Az A pontban a parabol´ ahoz h´ uzhat´ o érint˝ o mer˝oleges a v(4; −1) vektorra. Írja fel a parabola egyenletét! 1986. N sz 6. 5. Mi az y = 4x2 − 4(a + 1)x + a2 + 4a − 1 egyenlet˝ u parabol´ ak cs´ ucspontjainak mértani helye, ha az a paraméter befutja az összes val´ os sz´ amot? 1979. N g 7. 6. Határozza meg azoknak a pontoknak a halmazát a s´ıkon, amelyeknek (x; y) koordinát´ ai kielég´ıtik a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: 4xy x3 y + xy 3 p . =p √ 2 2 2 (x − 4)(y 2 − 4) 4−x · 4−y 1995. G 8.

7. A v(1; 1) vektorral párhuzamos g egyenes az y = x2 − 4x + 6 egyenlet˝ u parabol´ at az A és B pontokban metszi. A két metszéspont k¨ oz¨ ul A van k¨ ozelebb az y tengelyhez. A g egyenesnek az y tengelyre es˝ o pontját Y -nal ´ jel¨ olve AB = 3Y A. Allap´ ıtsa meg a g egyenes egyenletét, valamint az A és B pontok koordinát´ ait! 1985. G sz 8.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

37

Hatvány, gyök, logaritmus I. sorozat 1. Sz´ am´ıtsa ki a k¨ ovetkez˝ o kifejezések pontos értékét: 1 1 1 235 + 3 · 233 + 232 ; b= − 8 : 7; a= 33 32 7 3·2 −2 3 3 3

5

2

c = 64 3 · 252,5 · 1000− 3 · 400−1,5 .

1981. N 1. 2. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket: √ a) x − 3 x − 4 = 0;

b)

6−x 1 =6+ ; x−5 x−5

c) 1 + lg(x + 3) = 0;

d) 10sin x =

1 . 10

1973. G 3. 3. Oldja meg a val´ os sz´ amok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: lg(4x + 2) − lg(−6x) = lg(1 − 2x). 1986. G 1. 4. Mely val´ os x sz´ amok elég´ıtik ki a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: log3 (x + 4) + log3 (x − 1) = 1 + log3 2? 1995. N 2. 5. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert:

lg x + lg y = 1; x − y = 3.

1967. N 5. 6. Mely val´ os x sz´ amok elég´ıtik ki a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: 2x+3 x+9 2x−1 2x+2 1 1 = ? 2 4

1994. N 1. ´ 7. Allap´ ıtsa meg a k¨ ovetkez˝ o f¨ uggvények értelmezési tartomány´ at: p a) y = lg |x + 1|; b) y = 15 + 2x − x2 ;

c) y =

tg 3x . tg πx

1975. N 6.

8. Mely x helyeken vesznek fel pozit´ıv értékeket a k¨ ovetkez˝ o kifejezések: a) 2x + 2−x −

17 ; 4

b) 2 + log 31 (5x − 1)?

1987. N g 6. ´ 9. Allap´ ıtsa meg, hogy a k¨ ovetkez˝ o kifejezés mely val´ os x értékekre értelmezhet˝o! Van-e legnagyobb és legkisebb értéke; ha van, mivel egyenl˝o, és mely x helyeken veszi fel? 1 lg(4 − |x − 1| + |x + 2|) 2 1994. N 6. 10. Oldja meg (a val´ os sz´ amok k¨ orében) az (m − 1)10x + m10−x = 2m egyenletet, amelyben m adott val´ os sz´ amot jelent! 1976. N 7. 38

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Hatvány, gyök, logaritmus II. sorozat 0. Sz´ am´ıtsa ki a k¨ ovetkez˝ o kifejezés pontos értékét zsebszámol´ ogép, illetve f¨ uggvénytáblázat haszn´ alata nélk¨ ul: 2 3 5 · 8− 3 + √23 sin 16π 3 . log4 2 1987. G 1. 1. Sz´ am´ıtsa ki az AB kifejezés pontos értékét k¨ ozel´ıt˝ o értékek haszn´ alata nélk¨ ul, ha !2 cos( 12k+1 1 + log2 4 6 π) és B = , A= 8π 1 + log 31 27 tg 3 ahol k tetsz˝ oleges egész sz´ amot jelent. 1993. G 2. 2. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket: 1 9 − 3x a) 3−4x = √ ; b) − 1 = 0; x−3 3 1973. N 3.

c)

3. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket: q x+1 1 a) 0, 5 x−1 = ; b) ctg2 x = − ctg x; 32 1982. N 3.

lg 2x = lg 2; x

d) tg

πx = 1. 4

c) lg(0, 5 + x) = lg 0, 5 − lg x.

4. Oldjuk meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: 1966. N 4.

logx−1 x − logx−1 6 = 2.

5. Oldja meg a val´ osszám-p´ arok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert: y x 5 y + x = 2; log3 (x − y) + log3 (x + y) = 1. 1991. N 5. 6. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket: √ √ b) 5x+3 · 2x−1 = 375; a) 2x − 18x = 2;

c)


1976. G 4. 7. Határozza meg a val´ os sz´ amok halmazának azt a legb˝ovebb részhalmazát, amelyen értelmezhet˝o az al´ abbi kifejezés: √ x2 + 4x − 5 ; b) lg(1 − sin(2x)). a) |x + 2| − 3 1987. G 4. 8. Mely val´ os x-ekre igaz, hogy log √1 (6x+1 − 36x ) ≥ −2? 5

1984. N g 7. 9. Sz´ am´ıtsa ki az 32x −2·31 x−1 +1 kifejezés legnagyobb és legkisebb értékét, ha −2 ≤ x ≤ 0! 1979. G sz 8. 10. Az m paraméter mely egész értékénél lesz a 9x + 2(m + 3) · 3x + m2 = 22

egyenletnek két k¨ ulönböz˝o gy¨ oke a val´ os sz´ amok halmazán? Adja meg a lehetséges gy¨ ok¨ ok sz´ amértékét is! 1993. N 7. 2013. I. 13.

http://www.madas.tk

39

Hatvány, gyök, logaritmus III. sorozat 1. Sz´ am´ıtsa ki és rendezze növekv˝ o sorrendbe a k¨ ovetkez˝ o kifejezések értékét: log5 0, 008;

2 tg

2π ; 3

1

−(0, 04)− 2 .

1980. N 2. 2. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket: a) x −

8 1 = ; x 3

b) lg x −

1 8 = ; lg x 3

c) 10x − 10−x =

8 ; 3

d) tg2 x − ctg2 x =

8 . 3

1975. N 4. 3. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket a val´ os sz´ amok k¨ orében: √ p 2 2 a) 8 − x = −x; ; c) lg(x2 − 1) = lg(x + 1) + lg(x − 1). b) sin x cos x = 2 1974. G 3.

4. Oldja meg a val´ os sz´ amok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: 2(lg 2 − 1) + lg(x3 + 1) = lg(

5 + 5). x3

1993. N 5. 5. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert: ( 1977. G 5.

xy = 256; 7 logx y + log1 y = 50.

x

6. Oldja meg a val´ os sz´ amok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert: 2x+1 8 = 32√· 24y−1 ; x−y 5·5 = 252y+1 . 1986. N 2. 8. Oldja meg a val´ os sz´ amok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenl˝otlenségeket: a) (x + 2) 1992. N 5.

p

x2 − 2x + 3 ≥ 0;

b) 2 log5

√ 1 x ≥ 2 + logx . 5

9. Fejezze ki lg 2 és lg 5 értékét p f¨ uggvényeként, ha lg 2 · lg 5 = p. 1973. N 5. 10. Mely val´ os x sz´ amok elég´ıtik ki a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket: a) 2sin x cos x tg x = 1;

b) logcos x sin x + logsin x cos x = 2?

1994. G 3. 40

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Hatvány, gyök, logaritmus IV. sorozat 1. Határozza meg a k¨ ovetkez˝ o kifejezések pontos értékét (t´ ablázat és sz´ amol´ ogép haszn´ alata nélk¨ ul): a) log3

1991π − tg 4

√ 2 b) 1991 cos (9π)−1 ;

;

c) log2+√3 (2 −

√

3).

1991. G 2. 2. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket: a) x2 =

√

b) 2x = −3;

x;

c) tg 2x = 1;

d) logx 2x = 2.

1972. N 2. 4. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: 1 + lg(3x−3 + 15) = lg 3 + lg(9x−3 − 1). 1971. N 6. 5. A p, q, r pozit´ıv sz´ amok ¨ osszege 222; lg p és lg r sz´ amtani k¨ ozepe lg q, tov´ abb´ a lg 1977. N 5. 6. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet:

√

4

x−2

√

+ 16 = 10 · 2

x−2

r p

= 2. Melyek ezek a sz´ amok?

.

1982. G 1. 7. Határozza meg k¨ ulön-k¨ ulön a a val´ os sz´ amoknak azt a legb˝ovebb részhalmazát, amelyen az al´ abbi kifejezések értelmezhet˝ok: p 1 a) 3 ; b) x3 − x2 − 2x; c) lg(x3 − x2 − 2x). 2 x − x − 2x 1995. G 3.

8. Az a milyen értékeire van val´ os megoldása az loga x + loga (x + 1) ≤ loga (2x + 6) egyenl˝otlenségnek? Oldja meg az egyenl˝otlenséget a val´ os sz´ amok halmazán! 1984. N sz 7. 9. Adja meg az összes olyan x sz´ amot, amely egyszerre elég´ıti ki a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket: 1975. G 7.

√ sin log√2 x = 0; p √ sin log 2 x = 0.

10. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket: a) x1−

lg x 3

= 1;

b) a6x + a3x = a +

√ a

(a > 0).

1978. N 4.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

41

Hatvány, gyök, logaritmus V. sorozat 0. K¨ ozel´ıt˝ o értékek haszn´ alata nélk¨ ul sz´ am´ıtsa ki a k¨ ovetkez˝ o kifejezések értékét: q q √ √ √ a) 104−lg 25 ; b) sin 75◦ cos 75◦ ; c ) 3 − 2 2 − 3 + 2 2. 1992. G 1.

1. K¨ ozel´ıt˝ o értékek haszn´ alata nélk¨ ul sz´ am´ıtsa ki a k¨ ovetkez˝ o kifejezések értékét: 5 1 b) 32(8− 3 ) + 810,75 ; a) log3 √ ; c) sin 990◦ + tg(−225◦ ). 3 1975. G 3. 2. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket:

p x−3 a) lg(3 x−6 + 1) = 1;

1981. G 4.

3. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert:

1980. N 3.

b) sin(π cos x) = 0.

3y · 9x = 81; lg(x + y)2 − lg x = 2 lg 3.

4. Mely val´ os sz´ amok elég´ıtik ki a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: lg(4x−2 + 9) − lg(2x−2 + 1) + lg 2 − 1 = 0? 1988. G 3. 5. Mely val´ osszám-p´ arok elég´ıtik ki a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert: log12 x + log12 y = 1 + log12 5; lg(2y − 10) = 1 − lg 5? 1989. N 2.

6. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket a val´ os sz´ amok halmazán: a) 6 sin2 x − 13 sin x + 6 = 0;

b) 6 · 4x − 13 · 6x + 6 · 9x = 0.

1989. G 4. 7. Mely val´ os x-ekre értelmezhet˝ok a k¨ ovetkez˝ o kifejezések: a) 1976. N 6.

2 ; 2x − 4

b) lg(−x2 + 2x);

c)

r

tg

x − 1. 4

8. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenl˝otlenséget a val´ os sz´ amok halmazán: 1 1 2 logx + log4 ≤ −3. 4 x 1987. G sz 6.

9. H´ arom sz´ am egy mértani sorozat három egym´ ast k¨ ovet˝o eleme; összeg¨ uk 62, t´ızes alap´ u logaritmusuk összege 3. Melyik ez a három sz´ am? 1981. N 5. 10. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert:

1982. N sz 7. 42

642x + 642y √ = 12; 64x+y = 4 2.

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Hatvány, gyök, logaritmus VI. sorozat 0. K¨ ozel´ıt˝ o értékek haszn´ alata nélk¨ ul ´ allap´ıtsa meg, hogy melyik nagyobb az al´ abbi két-két sz´ am k¨ oz¨ ul! √ √ √ √ 20 − 96 √ 102+0,5 lg 16 . ; b) 1002 lg 2 vagy a) 50 − 12 vagy 8 1977. G 3. 1. Sz´ am´ıtsa ki a k¨ ovetkez˝ o kifejezés pontos értékét: 1

(π sin π ) · (log√3 9) · (64− 3 ) · 1979. N 2.

p

0, 0004.

2. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet a val´ os sz´ amok halmazán: 4|2x+6|−|x−9| = 8. 1992. G 6. 3. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert:

1969. N 5.

log2 log3 (x + y) = 1; lg x + lg y = 3 lg 2.

4. Oldja meg a val´ os sz´ amok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: lg 2 + lg(4−x−1 + 9) = 1 + lg(2−x−1 + 1). 1984. G 4. 5. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert: 1979. G 3.

101+lg(x+y) = 50; lg(x − y) + lg(x + y) = 2 − lg 5.

6. Oldja meg a val´ os sz´ amok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket: 2 2 7 a) lg x = 1 + ; b) 62x+1 · 2x = 9x · 48. 7 lg x 1985. G 3. 7. Mely val´ os x-ekre értelmezhet˝ok és mely val´ os értékeket vesznek fel a k¨ ovetkez˝ o kifejezések: √ 2 b) lg(25(−x2 + 20x − 96))? a) 3 −1+sin x ; 1983. N 5. 8. K¨ ozel´ıt˝ o értékek haszn´ alata nélk¨ ul bizony´ıtsa be, hogy p p √ 2 < log2 3 + log3 2 < 2 + 1. 1989. G 8.

amok egy mértani sorozat, a logx+3 y, 9. Az x és y olyan val´ os sz´ amot jel¨ olnek, amelyekre az x2 − 1, y, x216−1 sz´ 4 2 3 logx+3 (x − 5x + 20), logx+3 y sz´ amok pedig egy sz´ amtani sorozat egym´ ast k¨ ovet˝o elemei. Sz´ am´ıtsa ki az osszes ilyen mértani sorozat hányados´ ¨ at és sz´ amtani sorozat k¨ ulönbségét! 1979. G g 6. 10. Oldja meg a val´ osszám-p´ arok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: 2 cos2

x2 + 3y = 3x + 3−x . 6

1988. N B 7. 2013. I. 13.

http://www.madas.tk

43

Hatvány, gyök, logaritmus VII. sorozat 1. Sz´ am´ıtsa ki az al´ abbi kifejezések pontos értékét: 21π p + 5 sin(−7π); A = tg 4

log√2 3

B=2

log4 9

·2

;

C = logπ

"

2π 2π cos + sin 3 3

2

# 4π − sin . 3

1985. N 3. 2. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: log3 log8 log2 (x + 9) = −1 + log3 2. 1982. G 3. 3. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: lg

√

x − 5 + lg

√ 2x − 3 + 1 = lg 30.

1973. G 5. 4. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: x + lg(5x + 1) = x lg 2 + lg 30. 1970. N 7. 5. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert a val´ osszám-p´ arok halmazán: −1 x + y −1 = x + y; (2 + lg y) lg x = 1. 1990. G 4. 6. Oldja meg a val´ os sz´ amok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: log5 (x − 4) + log√5 (x3 − 2) + log0,2 (x − 4) = 4. 1990. G 7. ´ 7. Allap´ ıtsa meg a val´ os sz´ amok halmazának azt a legb˝ovebb részhalmazát, amelyen a k¨ ovetkez˝ o kifejezések értelmezhet˝ok! Adja meg a kifejezések legnagyobb és legkisebb értékét! p p a) log2 0, 5sin x ; b) 1 − sin2 x; c) log2 0, 5sin x 1 − sin2 x. 1992. G 4.

´ 8. Allap´ ıtsa meg, hogy mely x-ekre pozit´ıv a k¨ ovetkez˝ o kifejezés: log2−x (x2 −4x+3) 1 . 1− 2 1980. G g 8. 9. Melyik az a legkisebb pozit´ıv páratlan n sz´ am, amelyre a 1

3

27 · 27 · . . . · 2

2n+1 7

szorzat nagyobb 1000-nél? 1982. G sz 8. 10. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenl˝otlenséget a val´ os számok halmazán: (x2 − x + 1)x−2 > 1. 1986. G g 6.

44

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Hatvány, gyök, logaritmus VIII. sorozat 1. K¨ ozel´ıt˝ o értékek haszn´ alata nélk¨ ul sz´ am´ıtsa ki a k¨ ovetkez˝ o kifejezések értékét: p √ 1 √ 3 A = 101−lg 2 + 3log9 36 ; B = 125− 3 1000 logsin π6 2; C = lg tg 36◦ + lg tg 54◦ . 1988. N 1.

2. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket: a) logsin x cos x = 1;

b) logsin x cos x = 0;

c) logsin x cos x = −1.

1980. G 5. 3. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet:

√ 1 lg 2x = lg(3 − x) − lg x + 1. 2

1978. G 4. 4. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet a val´ os sz´ amok k¨ orében: lg(4 · 5x + 20) − lg 4 = −2 + lg[125(25x−1 − 1)]. 1974. N 6. 5. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert a val´ os sz´ amok halmazán:

xlog8 y + y log8 x = 4; log4 x − log4 y = 1.

1987. G g 7. 6. Oldja meg a val´ os sz´ amok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: log1991 (x − 3) + log1992 (x − 3) = 3 − lg(x5 − 24). 1991. G 8. 7. Mely val´ os sz´ amokra értelmezhet˝ok a k¨ ovetkez˝ o kifejezések: p √ a) lg lg x; b) lg lg x; 1986. N 3.

c)

p

lg lg x?

8. Melyek azok az x val´ os sz´ amok, amelyekre az logx (x2 + x − 4) − 1 kifejezés értéke negat´ıv? 1981. N sz 8. 9. Adott egy a1 , a2 , . . . , an , . . . sz´ amtani sorozat és egy pozit´ıv elemekb˝ ol álló b1 , b2 , . . . , bn , . . . mértani sorozat. Van-e olyan val´ os c sz´ am, hogy az an − logc bn kifejezés értéke minden n-re ugyanannyi? 1978. G 8. 10. A p és q mely értékei mellett teljes¨ ul minden val´ os x-re a p · 3x + q = 3px+q egyenl˝oség? (p pozit´ıv, q val´ os sz´ amot jel¨ ol.) 1979. G g 8.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

45

Sorozatok I. sorozat 1. Egy sz´ amtani sorozatban a1 + a2 + a3 = −12; a1 a2 a3 = 80. Sz´ am´ıtsa ki a sorozat els˝ o három elemét! 1980. G 1. 2. H´ arom k¨ onyvért ¨ osszesen 76 forintot fizett¨ unk. A legdr´ ag´ abb k¨ onyv 4 forinttal volt olcsóbb, mint a másik kett˝ o egy¨ uttvéve. Mennyibe ker¨ ult egy-egy k¨ onyv, ha az áruk egy mértani sorozat három egymást k¨ ovet˝o elemével egyenl˝o? 1984. N 3. 3. A 3 és 18 sz´ amok k¨ ozé tegyen két sz´ amot u ´gy, hogy az els˝ o három sz´ am egy mértani, az utolsó három sz´ am pedig egy sz´ amtani sorozat egym´ ast k¨ ovet˝o három eleme legyen. Melyek ezek a sz´ amok? 1985. N 1. 4. Egy keresked˝ o 39 Ft-ért adott el egy ´ arut. Mennyiért vette, ha annyi %-kal drág´ abban adta, mint ahány forintért vette az árut? 1985. G 1. 5. Egy u ¨zem kétféle min˝oség˝ u alkatrészt gy´ art. Az I. oszt´ aly´ u termék gy´ artásából sz´ armazik a bevétel 73%-a. H´ any sz´ azalékkal emelkedik az u ¨zem bevétele, ha az I. oszt´ aly´ u termék termelését 27%-kal, a II. oszt´ aly´ u termék termelését pedig 22%- kal növelik? 1991. G 1. 6. Egy téglalap két oldal´ anak és ´ atlójának hossza egy sz´ amtani sorozat három szomszédos eleme. A téglalap ter¨ ulete 108 ter¨ uletegység. Mekkor´ ak az oldalai? 1984. G 2. 7. Egy pozit´ıv sz´ amokb´ ol ´ alló mértani sorozat els˝ o, harmadik és öt¨ odik elemének összege 52, ugyanezen három 13 . Sz´ am´ıtsa ki a sorozat els˝ o három elemét! elem reciprok´ anak ¨ osszege 36 1992. G 5. 8. Egy sz´ amtani sorozat els˝ o n elemének ¨ osszege egyenl˝o az els˝ o n elemének az összegével (n 6= m). Bizony´ıtsa be, hogy az els˝ o n + m elem ¨ osszege nulla! 1973. G 8.

46

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Sorozatok II. sorozat 1. Egy sz´ amtani sorozat harmadik eleme az els˝ o elem négyzete; az els˝ o három elem összege 30. Írja fel a sorozat els˝ o három elemét! 1991. N 2. 2. Egy mértani sorozat els˝ o, harmadik és ¨ ot¨ odik tagjának összege 63, a harmadik és az els˝ o k¨ ulönbsége 9. Írja fel a sorozat els˝ o öt tagját! 1967. N 4. 3. Egy sz´ amtani sorozat els˝ o három elemének ¨ osszege 105. Ha az els˝ o két sz´ amot v´ altozatlanul hagyjuk és a harmadik sz´ amhoz 180-at adunk, akkor egy mértani sorozat els˝ o három eleméhez jutunk. Sz´ am´ıtsa ki a sorozat els˝ o három elemét! 1988. G 2. 4. Egy termék ár´ at el˝ osz¨ or 10%-kal felemelték, majd 10%-kal cs¨ okkentették. Vég¨ ul ismét felemelték 10%-kal. Sz´ am´ıtsa ki, hogy a végs˝ o´ ar az eredetinek hány sz´ azaléka! 1990. G 2. 5. András és Béla egy¨ utt 1 milli´ o Ft-ot ¨ or¨ ok¨ olt. András takarékbetétk¨ onyvet nyitott, és egy év m´ ulva 96 ezer Ft kamatot kapott. Béla a takarékbetétnél 2%-kal magasabb kamatoz´ as´ u hitellevelet v´ asárolt, és egy év m´ ulva 72 ezer Ft kamatot kapott. Mennyi volt k¨ ulön-k¨ ulön András és Béla ör¨ oksége? 1993. G 5. 6. Egy deréksz¨ og˝ u háromszög oldalai egy sz´ amtani sorozat szomszédos elemei. Sz´ am´ıtsa ki a deréksz¨ og˝ u háromszög és az azzal egyenl˝o ker¨ ulet˝ u szabályos háromszög ter¨ uletének ar´ any´ at! 1994. N 3. 7. Egy mértani sorozatban az els˝ o elem 3, az els˝ o n elem összege 93, az els˝ o n elem reciprok´ anak összege meg a sorozat els˝ o n elemét! 1985. G g 6.

31 48 .

Adja

8. Egy sz´ amtani sorozat els˝ o n elemének ¨ osszege b, els˝ o 2n elemének összege pedig c. Fejezze ki b és c seg´ıtségével az els˝ o 3n elem összegét! 1981. N g 8.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

47

Sorozatok III. sorozat 1. Bizony´ıtsa be, hogy az

1 √ ; √ 3+ 2

sin

√ 2 19π − (2 2)− 3 ; 3

1 √ 2+1

sz´ amok egy sz´ amtani sorozat egym´ ast k¨ ovet˝o elemei! 1989. G 2. 2. Egy mértani sorozat els˝ o és kilencedik elemének szorzata 2304, a negyedik és a hatodik elem összege 120. Írja fel a sorozat els˝ o elemét és hányados´ at! 1982. N 5. 3. Négy testvért életkorukról kérdeznek. A legid˝osebb ezt mondja: ,,Sz¨ uletési éveink egy sz´ amtani sorozat els˝ o négy elemét adj´ ak”. A korban utána k¨ ovetkez˝ o pedig: ,,15 évvel ezel˝ ott testvéreim életkora egy mértani sorozat els˝ o három elemével volt egyenl˝o, most pedig életkoruk összege 11 emnek”. Sz´ am´ıtsa ki a testvérek 4 -szerese az eny´ jelenlegi életkor´ at! 1990. N 3. 4. Egy almatárolóban az alm´ at 6 hónapig t´ arolj´ ak kétféle módszerrel. Az els˝ o módszer alkalmaz´ asánál a t´ arolt alma s´ ulyvesztesége havonként 4% (az el˝oz˝o havi s´ ulyhoz képest); a második módszernél az els˝ o két hónapban nincs s´ ulyveszteség, utána azonban havi 6%. Melyik módszer alkalmaz´ asa jár kevesebb s´ ulyveszteséggel? 1976. G 6. 5. Egy u ¨zemben az év második negyedét˝ol kezdve minden negyedévben 20%-kal t¨ obbet termeltek, mint az el˝oz˝o negyedévben, és ´ıgy az egész évben ¨ osszesen 10736 tonna terméket áll´ıtottak el˝o. H´ any tonna terméket termelt az u ¨zem az egyes negyedévekben? H´ any sz´ azalékkal volt nagyobb a termelés a negyedik negyedévben, mint az els˝ o negyedévben? 1975. G 5. 6. Egy háromszög három oldal´ anak hossza megegyezik egy sz´ amtani sorozat egymást k¨ ovet˝o elemeivel. A háromszög egyik sz¨ oge 120◦ , s az ezzel szemk¨ ozti oldal hossza 21. Sz´ am´ıtsa ki a háromszög másik két oldal´ anak hossz´ at! 1976. G 5. 7. Ha 101 darab egym´ ast k¨ ovet˝o páratlan sz´ am o¨sszege 12827, akkor mekkora k¨ oz¨ ul¨ uk a legkisebb és a legnagyobb? 1987. N 1. 8. Egy mértani sorozat hányadosa 1-gyel kisebb a sorozat els˝ o eleménél, és van olyan pozit´ıv egész n, amelyre a k¨ ovetkez˝ o két feltétel egyidej˝ uleg teljes¨ ul: a) az els˝ o n elem ¨ osszege 21, b) az els˝ o elem és az n-edik elem szorzata 36. Sz´ am´ıtsa ki a sorozat els˝ o elemét, hányados´ at, valamint az n értékét. 1994. N 7.

48

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Sorozatok IV. sorozat ¨ egymást k¨ 1. Ot ovet˝o egész sz´ am k¨ oz¨ ul az els˝ o három négyzetének összege egyenl˝o az utolsó kett˝ o négyzetének osszegével. Melyek ezek a sz´ ¨ amok? 1976. N 2. 2. H´ any olyan mértani sorozat van, amelyben az els˝ o három elem négyzetének összege 364, tov´ abb´ a az els˝ o és a harmadik elem szorzata 36? Adja meg e sorozatok els˝ o három elemét! 1985. G sz 7. 3. H´ arom sz´ am egy mértani sorozat három egym´ ast k¨ ovet˝o eleme. Ha a másodikhoz 8-at adunk, akkor egy sz´ amtani sorozat három egym´ as utáni elemét kapjuk. Ha ennek a sz´ amtani sorozatnak a harmadik eleméhez 64-et adunk, akkor egy u ´j mértani sorozat három egym´ ast k¨ ovet˝o elemét kapjuk. Melyik ez a három sz´ am? 1978. N 5. 4. Egy erd˝oben a faállomány egy id˝opontban 10000 m3 . Ett˝ol kezdve a faállomány 20 éven át évente átlagosan 6%-kal gyarapszik. A 20. év végén ritk´ıt´ as célj´ aból kivágják az állomány 10%-át. Ett˝ol kezdve az évi gyarapodás 15%-os lesz. A 10%-os ritk´ıt´ ast a 23. és 26. év végén is megismétlik. Az évi gyarapodás 15%-os marad. Mennyi fát termelnek ki ¨ osszesen a három ritk´ıt´ as alkalm´ aval? 1977. G 6. 5. Egy u ¨zem termelése az ¨ otéves terv els˝ o három évében rendre 12,5%-kal, 25%-kal, illetve 28%-kal n˝ott. A negyedik és az öt¨ odik évben a növekedés u ¨teme azonos volt. Az öt¨ odik évben a gy´ ar elérte a tervid˝ oszakot megel˝oz˝o év termelésének 3,2- szeresét. H´ any sz´ azalékkal növekedett a termelés az öt¨ odik évben? 1981. G 3. 6. Egy háromszög egyik sz¨ oge 120◦ -os, egyik oldala egyenl˝o a másik kett˝ o sz´ amtani k¨ ozepével. Hogyan ar´ anylanak egymáshoz az oldalak? 1980. N 5. 7. Mekkora az n, ha az els˝ o n pozit´ıv páros sz´ am összegének és az els˝ o n pozit´ıv páratlan sz´ am összegének a 21 hányadosa 20 ? 1986. N 1. 8. Bizony´ıtsa be, hogy ha 0 < p < 1, akkor minden pozit´ıv egész n-re 1 + 2p + 3p2 + . . . + npn−1 <

1 . (1 − p)2

1983. G g 8.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

49

Sorozatok V. sorozat 1. Egy sz´ amtani sorozat harmadik eleme 3, tizedik eleme 31. Mekkora a sorozat k¨ ulönbsége, els˝ o eleme és az els˝ o 25 elem összege? 1975. G 1. 2. Egy mértani sorozat els˝ o három elemének ¨ osszege 2; öt¨ odik, hatodik és hetedik elemének összege pedig 1250. Sz´ am´ıtsa ki a mértani sorozat hányados´ at és negyedik elemét! 1975. N 3. 3. Négy sz´ am egy sz´ amtani sorozat els˝ o négy eleme. Ha rendre 5-öt, 6- ot, 9-et, illetve 15-öt adunk hozz´ ajuk, akkor egy mértani sorozat egym´ as után k¨ ovetkez˝ o elemeit kapjuk. Melyik ez a négy sz´ am? 1984. G sz 6. ¨ éven át minden év elején elhelyez¨ ¨ év eltelte 4. Ot unk a takarékpénzt´ arban 5000 Ft-ot 26%-os kamatláb mellett. Ot után legal´ abb hány teljes évet kell még v´ arnunk, hogy a pénz¨ unk 105000 Ft-ra növekedjék? 1994. G 5. 5. Egy mez˝ ogazdas´ agi u ¨zem t´ız éven ´ at minden év elején munkába áll´ıt egy a Ft érték˝ u munkagépet; ezek értéke évenként p sz´ azalékkal cs¨ okken. Mekkora a 10 gép egy¨ uttes értéke a tizedik év végén? 1972. N 7. 6. Egy egyenl˝o sz´ ar´ u háromszög sz´ ar´ anak, alapjának, az alaphoz tartozó magass´ agnak és a háromszög ter¨ uletének sz´ amértéke a megadott sorrendben egy mértani sorozat els˝ o négy eleme. Mekkor´ ak a háromszög oldalai? 1993. N 6. 7. Egy sz´ amtani sorozat els˝ o eleme −210, n-edik eleme 228. A k¨ ozb¨ uls˝ o elemek összege 45. Írja fel a sorozat els˝ o n elemét! 1986. G 2. 8. Melyek azok a sz´ amtani sorozatok, amelyekben az els˝ o n elem összegének és az utánuk k¨ ovetkez˝ o 5n elem osszegének hányadosa minden n-re ugyanannyi? ¨ 1977. G 8.

50

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Sorozatok VI. sorozat 1. Egy sz´ amtani sorozat els˝ o t´ız elemének ¨ osszege 155, az els˝ o és a hetedik elemének szorzata egyenl˝o a második és a harmadik elemének a szorzatával. Sz´ am´ıtsa ki a sorozat els˝ o t´ız elemét! 1989. N 3. 2. Egy mértani sorozat els˝ o hat elemének ¨ osszege 168. A második, negyedik és hatodik elem összege −168. Írja fel a sorozat els˝ o hat elemét! 1994. G 4. 4. Valamilyen termékb˝ol két u ¨zem termelése 1970-ben egyar´ ant 100 egység volt, 1980-ban pedig mindkett˝ oben 1000 egység. Az els˝ o u ¨zem termelése évente mindig ugyanannyival növekedett, a másikban viszont a termelésnövekedés minden évben ugyanannyi sz´ azalékos volt. Melyik u ¨zem termelt t¨ obbet 1979-ben, és mennyivel? 1982. G 5. 5. Hat éven át minden év elején elhelyez¨ unk a takarékpénzt´ arban ugyanakkora összeget p%-os kamatláb mellett, majd a hatodik év letelte után még tov´ abbi négy éven át kamatoztatjuk. Mennyit tett¨ unk a takarékpénzt´ arba évenként, ha pénz¨ unk a tizedik év végére S forintra növekedett? 1973. G 7. 6. Egy téglatest egy cs´ ucsb´ ol kiindul´ o éleinek ¨ osszege 14, négyzet¨ uk összege 84. Az egyik él mértani k¨ ozepe a másik kett˝ onek. Mekkora a téglatest felsz´ıne és térfogata? 1984. N sz 6. 7. Egy mértani sorozat ¨ ot¨ odik és hatodik elemének az összege, valamint hetedik és öt¨ odik elemének k¨ ulönbsége egyar´ ant 48-cal egyenl˝o; az els˝ o n elem ¨ osszege 1023. Mekkora az n? 1995. G 2. 8. Egy pozit´ıv sz´ amokb´ ol ´ alló mértani sorozat els˝ o n elemének összege S, az els˝ o n elem reciprokainak összege R. Fejezze ki az els˝ o n elem szorzatát az S-sel, R-rel és n-nel! 1988. N B 8.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

51

Sorozatok VII. sorozat 1. Legyen a1 ; a2 ; a3 ; . . . ; an ; . . . sz´ amtani sorozat. b1 ; b2 ; b3 ; . . . ; bn ; . . . sorozat is sz´ amtani sorozat! 1991. G 5.

Igazolja, hogy a bn = a2n+1 − a2n képlettel értelmezett

2. Jelölje a1 , a2 , ·, an egy egész sz´ amokb´ ol ´ alló mértani sorozat egym´ as után k¨ ovetkez˝ o elemeit. Az els˝ o három elem összege 21, az utolsó három elem ¨ osszege pedig 336. Írja fel ezeket a sz´ amokat! 1973. N 6. 3. Adja meg az összes olyan sz´ amtani sorozatot, amelyre an = 2, ap = 3, aq = 5 és n + p + q = 31 (n, p és q pozit´ıv egészek)! 1980. N g 8. 4. Az 1973. évben a B u ¨zem termelése az A u ¨zem termelésének a másfélszerese volt. Az A u ¨zem termelését minden évben az elm´ ult évi termeléshez képest kétszer annyi sz´ azalékkal növelik, mint a B u ¨zemét. H´ any sz´ azalékos ez a növekedés, ha a terv szerint az 1973–75-ig terjed˝o hároméves id˝oszak alatt a két u ¨zemnek ugyannyit kell termelnie? 1974. G 6. 5. Egy sorozat els˝ o eleme 7, nyolcadik eleme 84, az els˝ o három elem összege 30; a szomszédos elemek k¨ ulönbségei sz´ amtani sorozatot alkotnak. Sz´ am´ıtsa ki a sorozat els˝ o öt elemét! 1981. G g 8. 6. H´ arom szakasz hossza egy mértani sorozat három egym´ ast k¨ ovet˝o eleme. Milyen értékek k¨ ozött v´ altozhatik a mértani sorozat hányadosa, hogy a három szakaszból háromszöget lehessen szerkeszteni? 1979. N sz 8. 7. Adott p és q val´ os sz´ amokhoz határozza meg az összes olyan sz´ amtani sorozat els˝ o elemét és k¨ ulönbségét, amelyben az els˝ o négy elem ¨ osszege p, a negyedik és az els˝ o elem hányadosa pedig q! 1988. N A 6. 8. Bizony´ıtsa be, hogy az an =

1 1 1 + + ... + n+1 n+2 2n

sorozat minden eleme nagyobb az el˝oz˝onél, de kisebb 1-nél! 1986. N sz 8.

52

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Sorozatok VIII. sorozat 1 1 1 1. Igazoljuk, hogy ha az egym´ astól k¨ ulönböz˝o a2 ; b2 ; c2 , illetve az a+b ; a+c ; b+c sz´ amhármasok egyike a fel´ırt sorrendben sz´ amtani sorozatot alkot, akkor a másik sz´ amhármas is az adott sorrendben egy sz´ amtani sorozat egymás után k¨ ovetkez˝ o három tagja! 1968. N 6.

b és a háromjegy˝ 2. Adja meg azokat az a; b; c sz´ amjegyeket, amelyekre fenn´ all, hogy az egyjegy˝ ub a; a kétjegy˝ u ba u c cba sz´ am egy mértani sorozat egym´ ast k¨ ovet˝o elemei! 1992. N 7.

3. A természetes sz´ amok növekv˝ o sorozat´ aból kiválasztunk egy sz´ amot, azután a nála 8-cal nagyobbat, és ´ıgy tov´ abb minden nyolcadikat addig, am´ıg a kiv´ alasztott sz´ amok összege 473 lesz. H´ any sz´ amot v´ alasztottunk ki, és mi volt az els˝ o sz´ am? 1995. N 6.

4. Egy apa 20000 Ft ¨ osszeg˝ u rendk´ıv¨ uli jutalmát 10 és 12 éves fiai és 13 éves l´ anya sz´ amára OTP-ben akarja elhelyezni évi 5%-os kamatra u ´gy, hogy mindegyik¨ uk 18 éves kor´ aban kapja meg a neki sz´ ant pénzt: a két fi´ u egyenl˝o összeget, a l´ any pedig annyit, mint a két fi´ u egy¨ uttvéve. A rendelkezésre ´ alló pénzb˝ol kinek a nevére mekkora o¨sszeget tegyen takarékba az apa, ha feltételezz¨ uk, hogy a kamatokat évente nem veszik fel, hanem a betétk¨ onyvben lév˝ o pénzhez csatolj´ ak; tov´ abb´ a azt is feltessz¨ uk, hogy a betétek kamatoz´ asi ideje mindhárom gyermek esetében egész év? 1984. G g 6. √ √ √ amtani sorozat elemei? 5. Lehetnek-e 2, 3, és 5 egy sz´ 1977. N 8. 6. Egy háromszög oldalainak hossza olyan sz´ amtani sorozat egym´ ast k¨ ovet˝o három eleme, amelynek k¨ ulönbsége 1. A háromszög ter¨ uletének mér˝ osz´ ama kétszer akkora, mint a ker¨ ulet mér˝ osz´ ama. Mekkor´ ak az oldalak? 1981. G g 6. 8. A brilli´ ans ára ar´ anyos s´ uly´ anak négyzetével. Bizony´ıtsa be, hogy a) a brilli´ ans értéke cs¨ okken, ha darabokra v´ agjuk; b) n részre v´ agva az értéke akkor a legkisebb, ha a darabok s´ ulya egyenl˝o. 1971. N 8.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

53

Trigonometria XI. V. sorozat 0. K¨ ozel´ıt˝ o értékek haszn´ alata nélk¨ ul sz´ am´ıtsa ki a k¨ ovetkez˝ o kifejezések értékét: a)

√

104−lg 25 ;

◦

◦

b) sin 75 cos 75 ;

c)

q

√ 3−2 2−

q

√ 3 + 2 2.

1992. G 1. 1. Mekkora tg 2α értéke, ha sin(90◦ − α) = 1967. N 3.

1 4

(0◦ < α < 90◦ )?

2. Oldja meg a val´ os sz´ amok halmazán az al´ abbi egyenletet: 3 cos 2x = −2 sin x + 3. 1985. N 2. 3. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket a val´ os sz´ amok k¨ orében: a) x2 +

1 1 = 4x + ; x−4 x−4

b)

p

x2 − 4x + 4 = x − 2;

c) sin 2x = 2 sin(x + π) cos(x + π).

1974. N 3. 4. Mely val´ os x sz´ amok elég´ıtik ki az al´ abbi egyenletet: 1 cos 2x = sin2 2x? 4 ctg2 x − tg2 x 1994. N 4. 5. Oldja meg az 1 + sin 2x = sin x + cos x egyenletet! 1977. G 7. 6. Egy háromszög sz¨ ogei α, β, γ. Bizony´ıtsa be, hogy ha 2 cos α =

sin γ , sin β

akkor a háromszög egyenl˝o sz´ ar´ u! 1972. N 6. 7. Mely val´ os p értékekre van a sin 3x = p sin x egyenletnek olyan megoldása, amelyre 0 < x < π? 1979. N g 6.

54

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Trigonometria XI. VI. sorozat 0. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket a val´ os sz´ amok k¨ orében: a) 1974. G 3.

p

8−

x2

= −x;

√ 2 ; b) sin x cos x = 2

c) lg(x2 − 1) = lg(x + 1) + lg(x − 1).

1. Sz´ am´ıtsa ki a k¨ ovetkez˝ o kifejezések pontos értékét k¨ ozel´ıt˝ o értékek haszn´ alata nélk¨ ul, ha tg α = 2 és 0◦ < α < ◦ 180 : 1 + sin(2α) 1 − sin4 α − cos4 α . a) ; b) cos4 α sin2 α − cos2 α 1992. N 3.

2. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: 1 + 2 cos 2x = 4 sin x. 1970. N 3. 3. Igazolja a k¨ ovetkez˝ o azonosságot: sin2 (45◦ − α) + sin 2α = cos2 (45◦ − α). 1974. G 4. 4. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: 4 sin 2x = 3 tg x − 3 ctg x. 1980. G g 6. 5. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet a val´ os sz´ amok halmazán: 1 sin x + cos x = sin(2x) + . 2 1987. N 5. 6. Igazolja, hogy egy háromszög akkor és csak akkor deréksz¨ og˝ u, ha hegyessz¨ ogeire fenn´ all a sin α + sin β = cos α + cos β ¨sszef¨ o uggés! 1986. N sz 7. 7. Oldja meg az egész sz´ amok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: cos 1986. N g 8.

2013. I. 13.

π 4

(3x −

p

9x2 − 16x − 80) = 1.

http://www.madas.tk

55

Trigonometria XI. VII. sorozat 1. Sz´ am´ıtsa ki tg α értékét, ha tg 2α = 1969. N 4.

√

5 2 .

2. Oldja meg a val´ os sz´ amok halmazán a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: ctg x − sin(2x) = ctg x cos(2x). 1990. N 2. 3. Határozza meg mindazokat az x val´ os sz´ amokat, amelyekre teljes¨ ul, hogy 0 ≤ x ≤ 2π és p

1995. N 4.

1 − cos2 x − cos 2x = 0.

4. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket: a)

√

2x −

√ 18x = 2;

b) 5x+3 · 2x−1 = 375;

c)


1976. G 4. √ 5. Oldja meg a cos 2x + 3 cos x − 2 ≤ 0 egyenl˝otlenséget a − π2 ≤ x ≤ 1995. G 6.

π 2

feltételt kielég´ıt˝ o val´ os sz´ amok halmazán!

6. Jelölje α, β és γ egy háromszög sz¨ ogeinek mér˝ osz´ amait! Bizony´ıtsa be, hogy ha sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 2, akkor a háromszög deréksz¨ og˝ u! 1978. N 7. 7. Az m val´ os paraméter mely értékeire van megoldása a cos 2x − m cos x + 1 − 3m2 = 0 egyenletnek? 1982. N sz 8.

56

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Trigonometria XI. VIII. sorozat 1. Sz´ am´ıtsuk ki sin 4x értékét, ha tg x = 31 . 1966. N 5. 2. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet:

3 tg x tg 2x = + . tg x 2 tg 2x

1982. G 4. 3. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet a val´ os sz´ amok halmazán: 8 sin2

x − 2 cos x = 7. 2

1991. G 4. 4. Az ABC háromszög AA1 s´ ulyvonala mer˝oleges AB-re. Jelölj¨ uk a háromszög BC; AC és AB oldal´ anak hossz´ at rendre a-val, b-vel és c-vel! Fejezze ki a CAB sz¨ og cosinus´ at b és c, a BCA sz¨ og cosinus´ at pedig a és b f¨ uggvényeként! 1987. G sz 7. 5. Igazolja, hogy a k¨ ovetkez˝ o egyenletnek nincs gy¨ oke a val´ os sz´ amok halmazán: (sin x +

√ 3 cos x) sin(4x) = 2.

1989. G 7. 6. Bizony´ıtsa be, hogy egy háromszög akkor és csak akkor deréksz¨ og˝ u, ha α; β és γ sz¨ ogeire fenn´ all: cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1. 1985. N sz 8. 7. Mely pozit´ıv c értékekre van megoldása a val´ os sz´ amok k¨ orében a sin4 x + cos4 x + sin 2x + 2c(c + 1) = 0 egyenletnek? Adja meg az egyenlet megoldását a c lehetséges legnagyobb és legkisebb értéke esetén! 1983. N sz 8.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

57

Trigonometria XI. IX. sorozat 0. Sz´ am´ıtsa ki az al´ abbi kifejezés pontos sz´ amértékét (ne haszn´ aljon sz¨ ogf¨ uggvénytáblázatot): 1 − 8 sin 60◦ . (1 − cos 15◦ )(1 + sin 75◦ ) 1976. N 3. 2. Oldja meg a sin 4x = 1977. N 4.

3 2

tg x egyenletet!

3. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: sin 3x − cos 2x + sin x = 1. 1981. N g 6. 4. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet: cos

3π + 2x 2

π x √ x . = 2 3 sin sin + 2 2 2

1979. N sz 6. 5. Mely val´ osszám-p´ arok elég´ıtik ki a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert:

√ 4 sin y − 6 2 cos x = 5 + 4 cos2 y; cos 2x = 0?

1983. N g 6. 6. Határozza meg mindazokat a val´ os (a; b) sz´ ampárokat, amelyekre a cos(ax + b2 ) − (a cos x + b2 ) = 1 − a egyenl˝oség minden val´ os x értékre teljes¨ ul! 1990. G 8. 7. Bizony´ıtsa be, hogy ha cos(α + β) = 0, akkor sin(α + 2β) = sin α. Igaz-e ennek az áll´ıt´ asnak a megford´ıt´ asa? 1976. G 8.

58

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Vektorok IX. sorozat 11. Legyen A, B és C egy egyenes három pontja (B az A és a C k¨ ozött van). Az egyenesnek ugyanarra az oldal´ ara rajzolja meg az ABD és a BCE szabályos háromszögeket! Jelölje a CD szakasz felez˝opontját P -vel, az AE szakaszét pedig R-rel! Igazolja, hogy a BP R háromszög szabályos! 1974. G 7. 12. Egy ABC háromszög AB oldalegyenesén B-n t´ ul vegy¨ unk fel egy P pontot, a BC oldalegyenesen C-n t´ ul egy PA RC Q pontot, és a CA oldalegyenesen A-n t´ ul egy R pontot u ´gy, hogy BA = QB = legyen! Bizony´ ıtsa be, hogy CB AC az ABC és a P QR háromszög s´ ulypontja egybeesik! 1978. G 5. 21. Legyen ABCD egy s´ıkbeli négysz¨ og. Adjon elj´ ar´ ast annak a P pontnak a szerkesztésére, amelyre P~A + P~B + P~C + P~D = 0! 1986. N g 6. 22. Az ABCD négysz¨ og s´ıkj´ aban tetsz˝ olegesen felvett P pontnak A -ra vonatkozó t¨ ukörképe Q, a B-re vonatkozó t¨ ukörképe pedig R. Bizony´ıtsa be, hogy az ABCD négysz¨ og akkor és csak akkor paralelogramma, ha Q-nak D-re vonatkozó t¨ uk¨ orképe egybeesik R-nek C-re vonatkozó t¨ ukörképével! 1988. G A 8. 31. Legyenek a és b olyan val´ os sz´ amok, hogy a > b és ab = 1. Bizony´ıtsa be, hogy √ a 2 + b2 ≥ 2 2. a−b 1987. G sz 8.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

59

Térgeometria I. sorozat 1. Egy C k¨ ozéppont´ u, 3 egységnyi sugar´ u k¨ ornek CA és CB sugarai 120◦ -os sz¨ oget zárnak be egymással. Egy k´ upot u ´gy helyezt¨ unk a k¨ or s´ıkj´ ara, hogy alapk¨ ore érinti az AB k¨ or´ıvet, valamint a CA és CB szakaszt. A k´ up magass´ aga AB hossz´ us´ ag´ u. Határozza meg a k´ up térfogat´ at! 1991. G 3. 2. Az ABCD háromoldal´ u g´ ulán AD = BD = CD = a, ADB 6 = 60◦ , ADC 6 = 90◦ , BDC 6 = 120◦ . Sz´ am´ıtsa ki a g´ ula felsz´ınét! 1979. N 5. 3. Két egyenes henger térfogat´ anak k¨ ulönbsége 48π, a palástok ter¨ uletének k¨ ulönbsége 24π. A nagyobb térfogat´ u henger alapk¨ orének sugara 1-gyel nagyobb a másikén´ al, magass´ aga pedig a másik magass´ ag´ anak 34 -szorosa. Mekkora a hengerek magass´ aga és alapk¨ or¨ uknek sugara? 1988. N B 6. 4. Mekkora az R sugar´ u g¨ omb k¨ oré ´ırt csonkak´ up felsz´ıne és térfogata, ha alapk¨ orének sugara kétszerese fed˝ok¨ ore sugarának? 1970. N 4. 5. Egy négyoldal´ u szabályos g´ ulába forg´ ashengert helyez¨ unk el u ´gy, hogy a henger tengelyének egyenese egybeessék a g´ ula magass´ ag´ anak egyenesével. A g´ ula alapéle és magass´ aga egyar´ ant 6 egység. Mekkora a hengerpalást felsz´ınének maximuma? 1979. G 5. 6. Az ABCDA′ B ′ C ′ D′ kocka B ′ cs´ ucsának a C ′ cs´ ucsra vonatkozó t¨ ukörképe legyen M . Az M A′ B s´ık a kock´ aból egy négysz¨ oget v´ ag ki. Mekkora ennek a négysz¨ ognek a ter¨ ulete, ha a kocka éle 10 cm? 1989. G 6. 7. Egy a alapél˝ u négyzetes oszlop magass´ aga az alapél négyszerese. K¨ oss¨ uk össze a fed˝olap egyik cs´ ucsát az alaplap négy cs´ ucsával! Mekkora a keletkezett g´ ula felsz´ıne? Mekkora a két legnagyobb ter¨ ulet˝ u oldallap által bez´ art sz¨ og? 1984. G sz 7. 8. Jelölj¨ uk az ABCDEF szabályos hatsz¨ og alap´ u egyenes g´ ula cs´ ucsát G-vel, az AG és az F G oldalélek felez˝opontját P - vel, illetve R-rel! Igazolja, hogy a BERP négysz¨ og trapéz! Sz´ am´ıtsa ki a BERP trapéz és az AF G háromszög ter¨ uletének ar´ any´ at! 1978. G 6.

60

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Térgeometria II. sorozat 1. Egy egyenes hengert a tengelyével párhuzamos s´ıkkal elmetsz¨ unk. A s´ıkmetszet ter¨ ulete 96, a tengelyt˝ ol val´ o t´ avolsága 3, a hengerpal´ ast ter¨ ulete 120π. Mekkora a henger sugara és magass´ aga? 1996. N 4. 2. Egy nem-egyenl˝o sz´ ar´ u deréksz¨ og˝ u háromszöget a r¨ ovidebb befog´ oja k¨ or¨ ul megforgatva olyan forg´ astest keletkezik, amelynek a felsz´ıne 300π, a térfogata 240π. Mekkor´ ak a háromszög oldalai? 1993. G 7. 3. Egy 6 cm él˝ u kocka minden cs´ ucsát lev´ agjuk egy-egy olyan s´ıkkal, amely a cs´ ucsb´ ol kiinduló éleket a cs´ ucstól ´ 2 cm t´ avolságra metszi. Allap´ ıtsa meg az ´ıgy keletkezett test cs´ ucsainak, éleinek és lapjainak sz´ amát, valamint sz´ am´ıtsa ki felsz´ınét és térfogat´ at! 1985. N sz 6. 4. Egy g¨ omb k¨ oré csonkak´ upot ´ırunk u ´gy, hogy a csonkak´ up alap- és fed˝ok¨ ore egy-egy pontban, palástja pedig egy k¨ orben érinti a g¨ omböt. Mekkora a csonkak´ up térfogat´ anak és felsz´ınének a hányadosa, és mekkora az alap- és fed˝ok¨ or sugarainak a szorzata, ha a g¨ omb sugara 6 egység? 1990. N 6. 5. Egy szabályos négyoldal´ u g´ ula minden éle egyenl˝o. A g´ ulába ´ırt kocka alaplapja a g´ ula alaplapján van, fed˝olapjának cs´ ucsai pedig a g´ ula oldalélein. H´ anyszorosa a g´ ula térfogata a kocka térfogat´ anak? 1991. N 6. 6. Egy kocka cs´ ucsait az ´ abr´ an l´ athat´ o módon jel¨ olt¨ uk meg. [PQRS alatt TUVW.] Legyen a T U V W lap k¨ ozéppontja A, az U V RQ lapé pedig B. Az U V él a P AB s´ıkot az X pontban metszi. Mekkora az VU X X hányados értéke? 1987. N sz 7. 7. Egy egyenes k¨ ork´ up alapk¨ orének egyik h´ urja az alapk¨ or k¨ ozéppontját´ ol 1 egység t´ avolságra van, és a hozz´ a tartozó k¨ ozépponti sz¨ og 120◦ . Az adott h´ urra és a k´ up cs´ ucsára illeszked˝ o s´ık 30◦ -os sz¨ oget zár be az alaplap s´ıkj´ aval. Sz´ am´ıtsa ki a k´ up felsz´ınét! 1983. N 4. 8. Egy hatoldal´ u szabályos g´ ula alapéle 12, magass´ aga 18. Mekkora a k¨ or¨ ul´ırt és a be´ırt g¨ omb sugara? 1981. N g 7.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

61

Térgeometria III. sorozat 1. Egy egyenes has´ ab alaplapja olyan deréksz¨ og˝ u háromszög, amelynek egyik hegyessz¨ oge 30◦ -os, az ezzel szemk¨ ozti befog´ oja 2 hossz´ us´ ag´ u. Tudjuk, hogy a has´ abba g¨ omb ´ırható. Sz´ am´ıtsa ki a has´ ab térfogat´ at! 1981. N sz 6. 2. Forgassuk meg az ABC háromszöget el˝osz¨ or az AB, majd a BC oldala k¨ or¨ ul. Bizony´ıtsa be, hogy az ´ıgy kapott forg´ astestek térfogat´ anak ar´ anya BC –vel egyenl˝ o ! AB 1973. N 7. 5. Egy négyoldal´ u szabályos g´ ula alaplapja az ABCD négyzet, az alaplapon k´ıv¨ uli cs´ ucsa O, a g´ ula valamennyi élének hossza h. Mekkora ter¨ ulet˝ u négysz¨ oget metsz ki a g´ ulából az AB alapélre és az OC oldalél F felez˝opontjára illesztett s´ık? Mekkora sz¨ oget zár be a metsz˝o s´ık a g´ ula alaplapjával? 1986. G g 7. 6. Egy a él˝ u kock´ an kiv´ alasztunk két szemk¨ ozti lapot, és mindkét lap k¨ ozéppontját összekötj¨ uk a szemk¨ ozti lapon lév˝o cs´ ucspontokkal. Bizony´ıtsa be, hogy az ´ıgy nyert két g´ ula oldalélei páronként metszik egymást, és sz´ am´ıtsa ki a két g´ ula k¨ ozös részének térfogat´ at! 1974. N 7. 7. Az OABC u g´ ula ABC alaplapja egyenl˝o sz´ ar´ u deréksz¨ og˝ u háromszög, mégpedig ABC 6 = 90◦ . Az √ háromoldal´ OC = 3 3, és ez az oldalél mer˝oleges az alaplap s´ıkj´ ara. Az OAB oldallap az alaplap s´ıkj´ aval 60◦ -os sz¨ oget zár be. Sz´ am´ıtsa ki a g´ ula felsz´ınét és térfogat´ at! 1986. N 5. 8. Az α és β s´ıkok mer˝olegesek egym´ asra; az A pont az α, a B pont a β s´ık egy-egy tetsz˝ oleges pontja. Jelölj¨ uk A′ -vel, illetve B ′ -vel az A, illetve B pont mer˝oleges vet¨ uletét a két s´ık metszésvonal´ an; legyen tov´ abb´ a F az AB szakasz felez˝opontja. Bizony´ıtsa be, hogy F A′ = F B ′ ! 1972. N 5.

62

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Térgeometria IV. sorozat 1. Egy szabályos háromszög alap´ u egyenes has´ ab valamennyi lapját érinti egy g¨ omb. Határozza meg a g¨ omb A1 felsz´ınét, ha a has´ ab felsz´ıne A2 ! 1994. N 5. 2. Forgasson meg egy egyenl˝o sz´ ar´ u háromszöget egyik sz´ ara, majd az alapja k¨ or¨ ul. Jelölje V1 , illetve V2 az ´ıgy keletkezett forg´ astestek térfogat´ at. Sz´ am´ıtsa ki a háromszög sz¨ ogeit, ha V1 : V2 = 3 : 7! 1992. N 6. 4. Az r1 és r2 sugar´ u k¨ or¨ ok egym´ ast k´ıv¨ ulr˝ ol érintik. Egyik k¨ ozös k¨ uls˝ o érint˝ oj¨ uknek az érintési pontok k¨ ozé es˝ o szakasz´ at megforgatjuk a k¨ or¨ ok k¨ ozéppontjain áthalad´ o egyenes k¨ or¨ ul. Sz´ am´ıtsuk ki a keletkez˝ o csonkak´ up palástj´ anak ter¨ uletét! 1968. N 7. 5. Egy négyzetes g´ ula alapéle 12 cm, az oldalélek egyenl˝o hossz´ uak. A szomszédos oldallapok 120◦ -os sz¨ oget zárnak be egymással. Határozza meg a g´ ula térfogat´ at! 1994. G 8. 6. Egy egységnyi oldal´ u kock´ anak tekints¨ uk azt a négy cs´ ucsát, amelyek k¨ oz¨ ul bármelyik kett˝ o nem esik a kock´ anak ugyanazon élére. A négy pont ´ altal meghatározott tetraédert mess¨ uk el olyan s´ıkkal, amely a tetraéder két szemk¨ ozti élével párhuzamos. Az ¨ osszes ilyen s´ıkot figyelembe véve mennyi lesz a keletkezett s´ıkmetszet ker¨ uletének és ter¨ uletének maximális értéke? 1988. N A 8. 7. Egy háromoldal´ u g´ ula alaplapja szabályos háromszög, oldallapjai egybev´ ag´ o, egyenl˝o sz´ ar´ u háromszögek. Az egyik oldalélen átmen˝ o és ezzel szemk¨ ozti alapélre mer˝oleges s´ıkmetszet ter¨ ulete 150 cm2 . A g´ ula térfogata 1500 cm3 . Mekkora sz¨ oget zár be egy-egy oldallap az alaplappal? 1987. G 5. 8. Egy szabályos tetraéder alaplapjának belsejében válasszunk ki egy tetsz˝ oleges P pontot, és ebben a pontban all´ıtsunk mer˝olegest az alaplap s´ıkj´ ´ ara. Ez a mer˝oleges az oldallapok s´ıkjait rendre az X, Y és Z pontokban metszi. Bizony´ıtsa be, hogy a P X + P Y + P Z összeg f¨ uggetlen P v´ alasztását´ ol! 1993. N 8.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

63

Oszthatóság I. sorozat 1. Keresse meg mindazokat a pozit´ıv egész x és y sz´ amokat, amelyek négyzeteinek k¨ ulönbsége 133. 1971. N 7. es n−5 esek értéke egyszerre egész sz´ am 2. a) Mutassa meg, hogy nincs olyan n egész sz´ am, amelyre az n−6 15 ´ 24 kifejez´ lenne! b) Bizony´ıtsa be, hogy ha egy négyzetszámot elosztunk 16-tal, akkor maradékul is négyzetszámot kapunk! 1985. G g 7. 3. Határozza meg azokat a pozit´ıv egész sz´ amokat, amelyek kielég´ıtik az xy 2 + 2xy + x − 243y = 0 egyenletet! 1974. G 8. 4. Melyik az a négyjegy˝ u sz´ am, amellyel 25707-et osztva 32-t, 37568-at osztva pedig 43-at kapunk maradékul? 1975. G 8. 6. Bizony´ıtsa be, hogy minden 6-ra végz˝ od˝o négyzetszámban a t´ızesek helyén páratlan sz´ am áll! (Négyzetszámon egész sz´ am négyzetét értj¨ uk.) 1969. N 6. 7. Bizony´ıtsa be, hogy egym´ ast k¨ ovet˝o pozit´ıv egész sz´ amok összege nem lehet 2-nek pozit´ıv egész kitev˝os hatv´ anya! 1981. G sz 8.

64

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Oszthatóság II. sorozat 1. H´ any olyan k¨ ulönböz˝o (x; y) sz´ ampár elég´ıti ki az x2 − y 2 = 1980 egyenletet, amelyeknek elemei pozit´ıv egész sz´ amok? 1980. G sz 8. 2. Határozza meg azokat az a és b egész sz´ amokat, amelyekre teljes¨ ul, hogy a + b + 20 = ab, és az a, b, 21 hossz´ us´ ag´ u szakaszokb´ ol háromszög szerkeszthet˝o! 1996. G 8. 3. Melyek azok az n egész sz´ amok, amelyekre a 2n2 − n − 36 egy pr´ımsz´ am négyzetével egyenl˝o? 1994. G 7. 5. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletet, ha tudja, hogy p pr´ımsz´ am és n pozit´ıv egész sz´ am: 1 + p + p2 + . . . + pn = 2801. 1988. N A 7. 6. a) Mutassa meg, hogy nincs olyan n egész sz´ am, amelyre az n−6 es n−5 esek értéke egyszerre egész sz´ am 15 ´ 24 kifejez´ lenne! b) Bizony´ıtsa be, hogy ha egy négyzetszámot elosztunk 16-tal, akkor maradékul is négyzetszámot kapunk! 1985. G g 7. 7. Bizony´ıtsa be, hogy ha n pozit´ıv egész sz´ am, akkor a) 81 oszt´ oja a 10n (9n − 1) + 1; b) 1990 oszt´ oja a (600n − 3n )(n5 − n) kifejezésnek! 1990. N 8.

2013. I. 13.

http://www.madas.tk

65

Oszthatóság III. sorozat 1. Egy háromjegy˝ u sz´ am sz´ amjegyeit ford´ıtott sorrendbe ´ırva olyan, nála kisebb háromjegy˝ u sz´ amot kapunk, hogy a két sz´ am négyzetének a k¨ ulönbsége oszthat´ o 1980-nal. H´ any ilyen háromjegy˝ u sz´ am van és melyek ezek? 1994. N 8. 2. Sz´ am´ıtsa ki az összes olyan x val´ os sz´ amot, amelyre a 2x − 3;

5x − 14 és

2x − 3 5x − 14

sz´ amok mindegyike egész sz´ am! 1985. N g 8. 3. Egy t´ ablára fel´ırjuk 1-gyel kezdve az egym´ as utáni pozit´ıv egész sz´ amokat egy bizonyos sz´ amig. Majd a fel´ırt . Melyik sz´ a mot t¨ or¨ olt¨ uk le? sz´ amok k¨ oz¨ ul egyet let¨ orl¨ unk. A megmaradt sz´ amok sz´ amtani k¨ ozepe 602 17 1986. G g 8. 4. Melyek azok az x, y, z pozit´ıv egész sz´ amok, amelyekre egyidej˝ uleg teljes¨ ul a k¨ ovetkez˝ o két egyenl˝oség:

x + y + z = 12; xy + xz + yz = 41?

1995. N 7. 5. Legyen n tetsz˝ oleges pozit´ıv egész sz´ am. Mennyi a maradék, ha az 1n + 2n + 3n + 4n összeget elosztjuk 4-gyel? 1975. N 8. 7. Bizony´ıtsa be, hogy ha az y = ax2 + bx + c másodfok´ u f¨ uggvény értéke minden egész x-re egész, akkor a 2a, az a + b és a c is egész! Igaz-e ennek a tételnek a megford´ıt´ asa? 1974. N 8.

66

http://www.madas.tk

2013. I. 13.

Elsőfokú egyenletek

Recommend Documents