Elektromosságtan. I. Egyenáramú hálózatok általános számítási módszerei. Magyar Attila

Elektromosságtan I. Egyenáramú hálózatok általános számítási módszerei

Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék [email protected]

2010. február 22.

Egyenáramú hálózatok általános számítási módszerei

Gráfelméleti alapfogalmak

Áttekintés

1

Egyenáramú hálózatok általános számítási módszerei Gráfelméleti alapfogalmak A gráfot jellemző mátrixok A gráfot jellemző mátrixok kapcsolata egymással és a gráffal Ohm-törvény Kirchoff-törvények Ágáramok és ágfeszültségek számítása A hurokáramok módszere A vágatfeszültségek módszere A csomóponti potenciálok módszere Átviteli mennyiségek Reciprocitás és szimmetria

Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. február

2 / 45



Gráfelméleti alapfogalmak A hálózat gráfja a hálózat ágainak és csomópontjainak egymáshoz illeszkedését, azaz a hálózat struktúráját jellemzi Gráf: élek és csúcsok kölcsönös egymáshoz rendelése. Az élet vonaldarabbal, a csúcsot kis körrel jelöljük. Az él végpontja a csúcs. Két élnek közös pontja csak a csúcs lehet

A csúcs fokszáma a csúcshoz illeszkedő élek száma. A csúcsok számát n-nel, az élek számát b-vel jelöljük Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. február

3 / 45



Végcsúcs: csak egyetlen élhez illeszkedik Nyitott él: csúcsnélküli él Izolált csúcs: olyan csúcs, amelyhez él nem illeszkedik Részgráf: a gráf csúcsainak és éleinek egy részhalmaza. Részgráfhoz tartozás szempontjából jellemezhető a gráf éleinek halmaza egy sorvektorral: x = [x1 x2 . . . xb ], ahol   1, ha a j ág a részgráf eleme és megfelelő az irány 0, ha a j ág nem eleme a részgráfnak xj =  −1, ha a j ág a részgráf eleme és fordított az irány

x = [1 − 1 − 1 1 0 0], Magyar A. (Pannon Egyetem)

x = [−1 0 0 0 0 0], Elektromosságtan

x = [0 0 − 1 1 0 0] 2010. február

4 / 45



Kiegészítő részgráfok: a két részgráf tartalmazza az eredeti gráf minden élét és csúcsát úgy, hogy a két részgráf egyetlen közös élet sem tartalmaz Út: Olyan (irányított) részgráf, amelynek két végcsúcsa van a többi csúcsának fokszáma a részgráfban pedig 2. Az út egy élen legfeljebb egyszer halad át.

Minden út jellemezhető egy b elemű sorvektorral. Összefüggő gráf: bármely csúcsa között van legalább egy út. Az összefüggő részgráfok neve komponens. A komponensek számát c-vel jelöljük. Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. február

5 / 45



Hurok

Hurok (kör): olyan összefüggő (irányított) részgráf, amelyben minden csúcs fokszáma 2. A hurokból egy nyitott élet elhagyva utat kapunk

A hurokban a csúcsok és az élek száma megegyezik. Jellemezhető egy sorvektorral: B T = [−1 1 0 0 0 1]


Elektromosságtan

2010. február

6 / 45



Fa: az összefüggő gráf olyan összefüggő részgráfja, amely tartalmazza az összes csúcsot és annyi élet, hogy ne alakuljon ki hurok. n csúcs esetén a fának r = n − 1 éle (faág) van. A faágak számát a gráf rangjának nevezzük, általánosan r = n − c. Összefüggő gráf egy-egy fájában bármely csúcs között pontosan egy út van Egy irányított gráf fájában az (i)-től (j)-ig mutató utat jellemezze az LT ij sormátrix, a (j)-től (k)-ig vezető utat pedig LT jk . Ekkor T T LT ik = Lij + Ljk

mivel a fában tetsz két csúcs között az út egyértelmű. LT 14 = [−1 − 1 1 1 0 0 0] LT 47 = [0 0 0 − 1 − 1 1 0] LT 17 = [−1 − 1 1 0 − 1 1 0] Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. február

7 / 45



További példák:


Elektromosságtan

2010. február

8 / 45



Fakomplementum: összefüggő gráf egyik fájának kiegészítő részgráfja. Általában nem tartalmazza a gráf valamennyi csúcsát. A fakomplementum élei a kötőélek (kötőágak)

A fakomplementum éleinek száma a gráf nullitása: m = b − r = b − (n − c) = b + c − n Nem összefüggő gráf minden egyes komponenséhez rendelhető fa. Az egyes komponensekhez rendelt fák összessége erdőt alkot.


Elektromosságtan

2010. február

9 / 45



Vágat Vágat: a gráf nyitott éleinek olyan halmaza, amelynek elhagyásával a kapott gráf rangja az eredeti gráf rangjánál egyel kisebb, és a vágat bármelyik élét a gráfba visszahelyezve a rang az eredeti gráf rangjával megegyezik. Több komponensből álló gráf esetén vágatot csak az egyik komponenshez tartozó nyitott élek alkothatnak, mert különben nem elégítik ki a vágat definícióját Vágatnak irányítás is adható oly módon, hogy az irányítás a vágat elhagyásával keletkezett két összefüggő részgráf egyikétől a másik felé mutat A vágathoz rendelhető egy Q T = [x1 x2 . . . xb ] sorvektor, amely megadja, hogy a vágat a gráf mely éleit tartalmazza, és ezeknek milyen az irányítása a vágat irányításához képest


Elektromosságtan

2010. február

10 / 45



Példa:

Q T = [0 1 0 0 1 − 1 1 1 0 0 0] Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. február

11 / 45



Fundamentális vágatrendszer

Vágatrendszer: adott gráfhoz rendelt több vágat vágatrendszert alkot. A vágatrendszer lineárisan független, ha a rendszerben lévő egyetlen vágat sorvektora sem fejezhető ki a többi vágat sorvektorainak lineáris kombinációjaként. Fundamentális vágatrendszer olyan lineárisan független vágatrendszer, amely a gráf bármely vágatával kiegészítve már nem lineárisan független. Ha adott a gráf egy fája (erdő), és a vágatokat úgy készítjük el, hogy minden vágat csak egy faágat vág el, a létrejött vágatrendszer lineárisan független lesz (minden vágat sorvektora tartalmaz egy olyan faágat, amit a többi nem tartalmaz). Fundamentális vágatrendszer = fa, v. erdő által generált vágatrendszer


Elektromosságtan

2010. február

12 / 45



Példa A fundamentális vágatrendszert alkotó r számú vágat sorvektorai: 0 0 0 0 0 1 −1 = QT 1 −1 1 0 0 0 −1 0 QT = 2 1 0 −1 1 0 0 0 = QT 3 1 0 −1 0 1 0 0 QT = 4

Csúcsok által generált vágatok: n X T AT i =0 i=1 Magyar A. (Pannon Egyetem)

AT 1

=

1 0 −1 1 0 0 0

AT 2

=

−1 1 0 0 0 −1 0

AT 3

=

0 −1 1 0 −1 0 1 0 0 0 −1 1 0 0 = 0 0 0 0 0 1 −1 =

AT 4 AT 5

Elektromosságtan

2010. február

13 / 45



Fundamentális hurokrendszer Hurokrendszer: adott gráfhoz rendelt több hurok hurokrendszert alkot. A hurokrendszer lineárisan független, ha a rendszerben lévő egyetlen hurok B T k sorvektora sem fejezhető ki a többi hurok sorvektorainak lineáris kombinációjaként. Fundamentális hurokrendszer olyan lineárisan független hurokrendszer, amely a gráf bármely hurokjával kiegészítve már nem lineárisan független. Összefüggő gráf fundamentális hurokrendszere a gráf egy tetszőeges fája segítségével meghatározható úgy, hogy a fához sorba illesztjük a kötőéleket: minden kötőél feltétele egy hurkot, és így egy sorvektort határoz meg. Az így létrejött hurokrendszer fundamentális, mert minden hurokban szerepel egy olyan kötőág, amely a többi huroknak nem eleme.


Elektromosságtan

2010. február

14 / 45



Példa

A fundamentális hurokrendszert alkotó hurkok: 0 −1 0 0 0 −1 −1 = BT 1 0 0 −1 −1 −1 0 0 BT = 2 1 1 0 −1 −1 0 0 BT = 3 A fundamentális hurokrendszert megadó sorvektorok száma megegyezik a gráf nullitásával (a kötőélek számával): m = b − n + c


Elektromosságtan

2010. február

15 / 45


A gráfot jellemző mátrixok


Ha ismerjük a hálózat struktúráját, definiálhatjuk a hálózatot jellemző mátrixokat: Csúcsmátrix (At ) Hurokmátrix (B t ) Vágatmátrix (Q ) t


Elektromosságtan

2010. február

16 / 45



Csúcsmátrix - At Incidencia mátrix n sora van (csúcsok száma) b oszlopa van (ágak száma) Értéke

 ha (i) és j nem illeszkedik  0, +1, ha j irányítása (i)-től elmutat aij =  −1, ha j irányítása (i) felé mutat

Tulajdonságai: Egy oszlopban pontosan két nemnulla elem van Rangja n − c (mint a gráfé) c sor elhagyható a mátrixból (komponensenként egy), mivel nem szolgáltat új információt a többihez képest (redukált csúcsmátrix A) Redukált csúcsmátrixból meghatározható a csúcsmátrix


Elektromosságtan

2010. február

17 / 45



Csúcsmátrix - At

   At =   

 1 0 −1 1 −1 1 0 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 1 −1   0 0 0 0 0 −1 0 1 1 −1 1   0 0 0 −1 1 0 1 −1 0 0 0  −1 1 0 0 0 0 −1 0 1 0 0


Elektromosságtan

2010. február

18 / 45



Csúcsmátrix - At



1 0 −1 1 −1 1 0  0 −1 1 0 0 0 0 A=  0 0 0 0 0 −1 0 −1 1 0 0 0 0 −1


Elektromosságtan

0 0 1 0

 0 0 0 0 1 −1   1 −1 1  1 0 0

2010. február

19 / 45



Hurokmátrix - B t Nullitás számú (m) sora van (hurkok száma) b oszlopa van (ágak száma) Értéke  0, ha j nem illeszkedik az i-edik hurokra      +1, ha j illeszkedik az i-edik hurokra, és az irányítása a hurokéval egyező bij =   −1, ha j illeszkedik az i-edik hurokra,    és az irányítása a hurokéval ellentétes



 1 1 1 −1 0 0 1  B t =  −1 −1 0 0 0 −1 1 −1


Elektromosságtan

2010. február

20 / 45



Hurokmátrix - B t



 1 1 1 −1 0 0 1  B t =  −1 −1 0 0 0 −1 1 −1   1 0 0 1 1  −1 1 0 0 0   At =   0 −1 1 0 −1  0 0 −1 −1 0 A csúcsmátrix és a hurokmátrix szorzata =0 At · B T t T B t · At = 0


Elektromosságtan

2010. február

21 / 45


Vágatmátrix - Q


t

Rang számú (r ) sora van (vágatok száma) b oszlopa van (ágak száma) Értéke  0, ha az i-edik vágat nem tartalmazza a j-edik élet      +1, ha az i-edik vágat tartalmazza a j-edik élet, és az irányítása a vágatéval egyező qij =   −1, ha az i-edik vágat tartalmazza a j-edik élet,    és az irányítása a vágatéval ellentétes A vágatmátrix és a hurokmátrix szorzata Q · BT =0 t t

Bt · QT = 0 t


Elektromosságtan

2010. február

22 / 45


A gráfot jellemző mátrixok kapcsolata egymással és a gráffal

A gráfot jellemző mátrixok kapcsolata egymással és a gráffal Válasszuk ki a gráf egy fáját, és számozzuk az éleket úgy, hogy az 1, 2, . . . , m számúak kötőélek legyenek Válasszuk ki a gráfnak azt a fundamentális hurokrendszerét, amelyben az I . hurok az 1, a II . hurok a 2, . . . az m sorszámú hurok az m-edik kötőélet tartalmazza, a hurok irányítása egyezzen meg a megfelelő kötőélek irányításával Ekkor a fundamentális h i hurokrendszer hurokmátrixa partícionálható: B = Im | F ,

ahol I m az m × m-es egységmátrix

Redukált hurokmátrix normálalak Képezzünk a kiválasztott fával fundamentális vágatrendszert is úgy, hogy az I . vágat az m + 1-edik faélet, a II − vágat az m + 2-edik faélet tartalmazza. A vágatok irányítása a faélek irányításával egyezzen meg. A faélek száma r , így a fundamentális vágatmátrix partícionálható: h i Q = Q | Ir e

Redukált vágatmátrix normálalak Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. február

23 / 45



Példa


Elektromosságtan

2010. február

24 / 45



A gráfot jellemző mátrixok kapcsolata egymással és a gráffal  I. 1 0 0  II .  0 1 0 B= III .  0 0 1 IV . 0 0 0  I. 1 0 II .  1 −1  Q= III .  0 1 IV . −1 0

 0 −1 −1 0 1 h i 0 0 1 −1 0  = I |F 4 0 0 0 1 −1  0 1 −1 1 0  0 0 1 0 0 0 h i 0 0 0 1 0 0  = Q |I 4 e −1 −1 0 0 1 0  1 1 0 0 0 1

Mivel Q · B T = 0, ezért   Im h i =0 Q | Ir ·  e T F ebből Qe = −F T , vagy F = −QeT Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. február

25 / 45


Ohm-törvény

Ohm-törvény Definiáljuk az egyenáramú ágtípusokra a hálózat ágáramaiból és ágfeszültségeiből alkotott oszlopvektort!

Gráfélek, ágáramok, és feszültségek indexelése: I1 , I2 , . . . , Ib ágáramok referencia iránya legyen az él irányítása Áramgenerátort tartalmazó ág árama az áramforrás és a belső ellenállás áramának összege (I = IA + IZ ) U1 , U2 , . . . , Ub ágfeszültségek referencia iránya legyen az él irányítása Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. február

26 / 45


Ohm-törvény

Ágáramok oszlopmátrixa (I ), véges ellenállású ágak árama (I Z ), és az áramforrások árama (I A ) Áram- vagy       I1 IZ 1 IA1 feszültséggenerátort  I2   IZ   IA tartalmazó ágak esetén I Z    2   2  I =  .  , I Z =  .  , I A =  . eleme az áram-, vagy . .  .   .   ..  feszültséggenerátor belső Ib IZb IAb ellenállásán folyó áram Ágfeszültségek oszlopvektora (U), véges ellenállású ágak feszültségei (U Z ), és a forrásfeszültségek (U V ) Áram- vagy       feszültséggenerátort U1 UZ1 UV1  U2   UZ   UV  tartalmazó ágak esetén 2  2      U =  .  , U Z =  .  , U V =  .  U Z eleme az áram-, vagy . . .  .   .   .  feszültséggenerátor belső Ub UZb UVb ellenállásán eső feszültség IA +IZ = I Magyar A. (Pannon Egyetem)

és

UV + UZ = U

Elektromosságtan

2010. február

27 / 45


Ohm-törvény

Az i-edik ág ellenállásának árama és feszültsége közötti kapcsolat: UZi = Ri · IZi ahol Ri az i-edik ág ellenállása Valamennyi ágra felírva: U Z = R  R1 0 . . .  0 R2 . . .  R= . .. . .  .. . . 0

0

· I Z , ahol  0 0   ..  mindig diagonális . 

. . . Rb

R inverze a G konduktanciamátrix:    G = 


G1 0 . . . 0 0 G2 . . . 0 .. .. . . . . .. . . 0 0 . . . Gb

    

Elektromosságtan

mindig diagonális

2010. február

28 / 45


Kirchoff-törvények

Kirchoff csomóponti törvénye Kirchoff csomóponti törvény a j-edik csomópontra: X Ik = 0, a csomóponttól elmutató a pozitív referencia irány k

Minden csomóponthoz van egy AT j sorvektor, és így AT j (I A + I Z ) = 0 Az összes csomópontra: At (I A + I Z ) = 0 Elegendő a redukált csúcsmátrixszal számolni: A(I A + I Z ) = 0 Független csomópontokra felírt Kirchoff-egyenletek egyenértékűek egy fundamentális vágatrendszerre vonatkozó Kirchoff-egyenletekkel: Q(I A + I Z ) = 0 ahol Q a redukált vágatmátrix Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. február

29 / 45


Kirchoff-törvények

Kirchoff huroktörvénye Kirchoff huroktörvény a j-edik hurokra: X Uk = 0 k

Minden hurkot egy

BT j

sorvektor jellemez, és így BT j (U V + U Z ) = 0

Az összes hurokra: B T (U V + U Z ) = 0 t Elegendő a az egyenletek a B fundamentális hurokrendszerre felírni: B · U = B(U V + U Z ) = 0 ahol B a redukált hurokmátrix


Elektromosságtan

2010. február

30 / 45


Ágáramok és ágfeszültségek számítása

Ágáramok és ágfeszültségek számítása (Feladat) Adott: a hálózatra jellemző Q, B, R, U V , I A mátrixok és vektorok Határozzunk meg: az ágáramokat és az ágfeszültségeket (IZ és UZ ) Kiindulási egyenletek: Q · (I A + I Z ) = 0 B · (U V + U Z ) = 0 Rendezve:


Q · IZ

= −Q · I A

B · R · IZ

= −B · U V

Elektromosságtan

2010. február

31 / 45


Ágáramok és ágfeszültségek számítása

Hipermátrixos alak:

Q B ·R

· IZ = −

Q · IA B · UV

I Z meghatározása: IZ = −

Q B ·R

−1 Q · IA · B · UV

A hálózat passzív elemein fellépő feszültségek: −1 Q · IA Q · R −1 · UZ = R · I Z = − B · UV B A hálózat ágfeszültségei: U = UZ + UV = UV −

Q · R −1 B

−1 Q · IA · B · UV

U Z és U nem meghatározható a fenti képletekkel, ha a hálózat nulla ellenállású ágat tartalmaz Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. február

32 / 45


A hurokáramok módszere

A hurokáramok módszere Az ágáramok vagy ágfeszültségek meghatározására szolgáló egyenletekben az ismeretlenek száma b. A hurokáramok módszerének lényege az ismeretlenek számának csökkentése. Képezzük a hálózat gráfjának egy fundamentális hurokrendszerét. Minden hurokban folyik egy képzeletbeli áram. A hurokáramok referenciairánya a hurkok irányításával egyezik meg. Az ágáramokat az adott ágon áthaladó hurokáramok előjeles összege adja m hurokáram (ahány független hurok)


Elektromosságtan

2010. február

33 / 45



Feladat: b számú ismeretlen ágáram meghatározása. Hurokáramok felvételével r csomóponti egyenlet automatikusan teljesül. A hurokáramok száma pedig m. (r + m = b) Hurokáramokat tartalmazó oszlopvektor:   J1   J =  ...  Jm A j-edik ág eredő árama az ághoz illeszkedő hurokáramok előjeles összege: Ij = B T j · J, ahol B j a B hurokmátrix j-edik oszlopa. Az összes ágáram: I = I Z + I A = BT · J I Z -re rendezve: I Z = BT · J − I A Eml. hurokegyenlet: B · U = B · (U V + U Z ) = 0 U Z = R · I Z = R · (B T · J − I A ) Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. február

34 / 45



Behelyettesítve U Z -t a hurokegyenletbe: B · UV + B · UZ = B · UV + B · R · BT · J − B · R · I A = 0 Rendezve:

B · R · B T · J = B · (R · I A − U V )

Jelölje R B = B · R · B T

(hurokellenállás mátrixot)

Kifejezhető a hurokáram vektor: · B · (R · I A − U V ) J = R −1 B (A passzív elemek árama) I Z = B T · R −1 · B · (R · I A − U V ) − I A B


Elektromosságtan

2010. február

35 / 45


A vágatfeszültségek módszere

A vágatfeszültségek módszere Az egyes vágatokban fellép egy ún. vágatfeszültség, amelynek referenciairánya a vágat irányításával egyezik meg. Egy ág feszültsége azon vágatfeszültségek előjeles összegével egyenlő, amely vágatok az ágat tartalmazzák. r vágatfeszültség, amelyek a huroktörvényt automatikusan kielégítik. Jelölje a vágatok sorrendjének megfelelően rendezett vágatfeszültség vektort V Q :   VQ1   VQ =  ...  VQr Az i-edik ág feszültsége · V Q, Ui = Q T i ahol Q i a vágatmátrix i-edik oszlopa. Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. február

36 / 45


A vágatfeszültségek módszere

Az ágfeszültségek oszlopmátrixa: U = QT · V Q Célunk a vágatfeszültségek meghatározása UZ = U − UV = QT · V Q − UV Fundamentális vágatrendszerre vonatkozó Kirchoff-egyenletből: Q · (I A + I Z ) = Q · R −1 · U Z + Q · I A = = Q · R −1 · Q T · V Q − Q · R −1 · U V + Q · I A = 0 Rendezve Q · G · Q T · V Q = Q · (G · U V − I A ),

ahol G = R −1

Jelölje G Q = Q · G · Q T a vágatkonduktancia mátrixot, ekkor V Q = G −1 · Q · (G · U V − I A ) Q (A passzív elemek feszültsége) U Z = Q T · G −1 · Q · (G · U V − I A ) − U V Q Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. február

37 / 45


A csomóponti potenciálok módszere

A csomóponti potenciálok módszere Válasszuk nullának a hálózat egy-egy komponensében egy-egy csomópont potenciálját! (Összefüggő hálózat esetén csak egy nullpotenciál van) Jelöljük a többi csomópont potenciálját φ1 , . . . , φr -rel. Oszlopvektorba   rendezve: φ1   φ =  ...  φr Meghatározhatók az ágfeszültségek: a k-adik ág feszültsége az ághoz illeszkedő (i) és (j) csomópont potenciáljának különbsége Uk = ±(φi − φj ) (az ág irányításától függően) Ha Ak az A csúcsmátrix k-adik oszlopa, akkor Uk = AT K ·φ Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. február

38 / 45


A csomóponti potenciálok módszere

Ágfeszültségek mátrixegyenlete: U = AT · φ A csomóponti potenciálok automatikusan kielégítik a huroktörvényt. Az A csúcsmátrix speciális vágatmátrix, a csomóponti potenciálok kiszámítása a vágatfeszültségek meghatározására vezethető vissza: φ = G −1 · A · (G · U V − I A ), A ahol G A = A · G · AT a csomóponti konduktanciamátrix


Elektromosságtan

2010. február

39 / 45


Átviteli mennyiségek

Átviteli mennyiségek A hálózat struktúrája sok esetben a következő alakú:

Határozzuk meg az U2 és I2 kimeneti (szekunder) mennyiségeket az U1 és I1 bemeneti (primer) mennyiségek ismeretében! Lineáris hálózat esetében a kimeneti mennyiségek arányosak a bemeneti mennyiségekkel. Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. február

40 / 45



Négy átviteli mennyiség definiálható: WU

=

U2 U1

feszültségátviteli tényező

WI

=

I2 I1

áramátviteli tényező

RT

=

U2 I1

átviteli (transzfer) rezisztencia

GT

=

I2 U1

átviteli (transzfer) konduktancia

A négy mennyiség nem független egymástól, mivel U2 = R · I2 , és I2 = G · U2 , azaz WU = R · GT ,

és WI = G · RT

Bemeneti mennyiségek


RB

=

U1 I1

bemeneti rezisztancia

GB

=

I1 U1

bemeneti konduktancia

Elektromosságtan

2010. február

41 / 45



Ha U1 feszültséggel gerjesztjük a bemenetet: I1 = GB · U1 ,

U2 = WU · U1 ,

I2 = GT · U1

Ha I1 árammal gerjesztjük a bemenetet: U1 = RB · I 1 ,


U2 = RT · I1 ,

Elektromosságtan

I2 = WI · I1

2010. február

42 / 45


Reciprocitás és szimmetria


Kapcsoljunk az első kapura egy feszültségforrást, a másodikat pedig zárjuk rövidre és mérjük meg az áramokat Kapcsoljunk a második kapura egy feszültségforrást, az elsőt pedig zárjuk rövidre és mérjük meg az áramokat A hálózat a két kapura nézve reciprok, ha I20 = I100 ha a hálózat reciprok, és a források árama is megegyezik (I10 = I200 ), akkor a hálózat a két kapura nézve szimmetrikus


Elektromosságtan

2010. február

43 / 45



Kapcsoljunk az első kapura egy áramforrást, a másodikat pedig zárjuk le szakadással és mérjük meg az áramokat Kapcsoljunk a második kapura egy áramforrást, az elsőt pedig zárjuk le szakadással és mérjük meg az áramokat A hálózat a két kapura nézve reciprok, ha U20 = U100 ha a hálózat reciprok, és a források feszültsége is megegyezik (U10 = U200 ), akkor a hálózat a két kapura nézve szimmetrikus


Elektromosságtan

2010. február

44 / 45



A szimmetria feltétele Reciprocitás I10 I200 U10 U200 U10 = U200 , vagy I10 = I200 (a két oldalról mért rövidzárási konduktancia, illetve üresjárási rezisztancia megegyezik)

Tétel Lineáris ellenállásokból álló kétkapu mindig reciprok.


Elektromosságtan

2010. február

45 / 45

Elektromosságtan. I. Egyenáramú hálózatok általános számítási módszerei. Magyar Attila

Recommend Documents