EKONOMICKÁ OPTIMALIZACE SMĚŠOVACÍHO PROBLÉMU Josef Košťálek Klíčová slova: Analýza nákladů, optimalizace směšovaných surovin, směšovací problém, nutriční problém, matematický zápis, matematický algoritmus, lineární programování, nástroj řešitel v MS Excel, obecný matematický model Key words: Cost analysis, optimization mixed raw materials, mixing problem, nutritional problem, mathematical notation, mathematical algorithms, linear programming, tool into MS Excel, general mathematical model Abstrakt Předmětem mého příspěvku je představení jednoduchého a přitom užitečného nástroje sloužícího k optimalizaci směšovaných surovin za účelem dosažení směsi požadovaných vlastností s minimálními náklady. Východiskem je matematický zápis a jeho řešení pomocí algoritmu lineární programování v kombinaci s některými kroky a funkcemi Excelu, za pomoci kterých lze celou situaci zobecnit a vytvořit model fungující pro libovolné zadání směšovacího problému. Typické oblasti možného použití jsou: hutní a potravinářský průmysl, výroba zemědělských směsí atd. Abstract In my article was described the simple tool for a solution with a mixing problem. This tool is the model in Excel and it can determine optimum of raw materials which will be mixed, but cost of materials must be minimum. The situation will be written mathematically and scientifically to solve it is not too difficult. The benefit of my model is that it can solve the problem generally for any situation. Typical areas of application are: metallurgical and food industries, production of agricultural mixtures, etc.
Úvod Současné podnikatelské prostředí se vyznačuje převisem nabídky nad poptávkou a silným konkurenčním prostředím. Je to způsobeno řadou okolností, jako technický pokrok, který přinesl zvýšení produkce výrobních zařízení všeho druhu, jak uvádí např. Kavan (2006, s. 1), prudký rozvoj přepravních a komunikačních prostředků, což zkrátilo vzdálenosti a umožnilo rozmach obchodu. Dalším atributem dneška je snížení koupěschopnosti i ochoty utrácet na straně spotřebitelů v důsledku dozvuků hospodářské krize a panující nejistoty z budoucího vývoje u nás i v Evropě. Pokud chce podnikatel za takových okolností obstát je nucen dosahovat co nejvyšší efektivity (poměr vstupů k výstupům) a to se neobejde bez pečlivé analýzy nákladů a urputné snahy odstraňovat plýtvání všeho druhu. Minimalizace nákladů nesmí být prázdnou frází a rovněž nesmí podtrhnout budoucí rozvoj a konkurenceschopnost podniku. Skutečně efektivní řízení nákladů je založeno na hluboké znalosti výrobního procesu a soustavném hledání možností úspor, nových řešení i zlepšení byť dílčích, lepších způsobů organizace práce atd., jak uvádí Freiberg (2007, s. 65). V tomto příspěvku popisuji jednoduchý model sestavený v prostředí MS Excel představující snadný a přitom efektivní nástroj umožňující hledat úspory v procesech užívajících směšování
803
vstupních surovin určitých vlastností, ze kterých vzniká výsledná směs o vlastnostech pohybujících se ve stanovených intervalech. Požadavek na výslednou směs je dosáhnout takové kombinace vstupních surovin, aby celkové náklady na tyto suroviny byly minimální – optimalizace vstupních surovin z hlediska ceny. Např. nalezení takových surovin tvořících vsázku pro výrobu oceli, aby obsah každého klíčového chemického prvku v oceli splňoval požadovanou vlastnost danou intervalovým rozpětím. Obdobný požadavek lze nalézt v potravinářském průmyslu i při optimalizaci krmných dávek v zemědělské živočišné výrobě. Nepředpokládám, že se povede s novou kombinací surovin snížit náklady na jejich pořizování o desítky procent, spíše půjde o úspory v procentech, ale i to může ve velkovýrobě snadno představovat statisícové úspory a to s nulovými investičními výdaji či riziky. Fletcher a Clarke (1964, s. 37) uvádí zajímavý příklad z historie. Společnost North – Western Gas Board řešila v 50. letech 20. stol. dopravní problém a hledala optimální řešení distribuce různých druhů uhlí (lišícího se svými parametry) do plynáren na severu Anglie. Jedná se o jinou optimalizační úlohu, ovšem způsob řešení se v některých rysech podobá směšovacímu problému minimálně v použití algoritmu lineární programování, o kterém pohovořím dále. A zmiňovaná společnost dokázala na základě propočtů nalézt optimální řešení, které oproti původní organizaci distribuce přineslo úsporu 1,75 %, což ovšem při výši přepravních nákladů této britské společnosti znamenalo 65 000 liber. Chci tím demonstrovat, že rozhodovací analýza má svůj smysl – není to aplikovaná matematika pro matematiku, že je vhodné opírat se o výpočty ne jen o intuici a v neposlední řadě ukázat jaké možnosti dnes nabízí v oblasti výpočtů a rozhodovacích analýz program Excel.
1. Charakteristika problému Zmiňovaná problematika je dobře známá, v minulosti se jí věnovala řada matematiků i ekonomů a vžil se pro ni termín ,,Směšovací“ nebo ,,Nutriční problém“ jak uvádí např. Kořenář a kol. (2003, s. 11 - 12). Známý je také způsob řešení tohoto problému, které používá algoritmu lineárního programování (LP). Cílem mého modelu je tento výpočet zobecnit, aby stačilo zadat parametry vstupních surovin a požadavky na výslednou směs, model poté exaktně nalezne správný poměr surovin s nejnižšími možnými pořizovacími náklady a v tom je jeho originalita. Přidaná hodnota tedy spočívá v tom, že se nemusí celá situace znovu programovat. Popisovaná problematika může možná působit dojmem, že se jedná o analogii s nepříliš složitou úlohou známou ze základní školy, kdy máme např. vodu o teplotě 50 °C a vodu o teplotě 10 °C a požadujeme jejich namíchání v takovém poměru, aby vzniklo 10 litrů vody o teplotě 20 °C, ale není tomu tak. Směšovací problém se kromě vyššího počtu směšovaných komodit a tím vyššího počtu neznámých odlišuje především tím, že požadovaný výsledek není dán jednou hodnotou, ale intervalovým rozpětím. Tím dostává celá problematika zcela novou dimenzi, neboť neznámé dostávají v rámci intervalového rozpětí ,,určitou volnost“, což implikuje teoreticky nekonečný počet vyhovujících řešení – takových řešení, které vyhovují požadavkům intervalového rozpětí (např. výsledná vodní lázeň s teplotou 15 až 25 °C, požadovaný obsah tuku v jogurtu 5 až 6 % apod.). A zde se dostávám k podstatě problému, ze všech přípustných řešení, která reprezentují různé kombinace vstupních surovin plnící požadavky výsledné směsi, je třeba vybrat řešení jediné, a sice to, jehož surovinová kombinace bude pořízena za nejnižší cenu.
804
2. Příklad popisovaného problému Pro lepší názornost uvádím řešení typického problému – optimalizaci vsázkových surovin z hlediska minimalizace nákladů na vsázku pro výrobu např. litiny ČSN 42 2410. Obrázek 1: Optimalizace vsázkových surovin
Vsázkou označuji soubor surovin, ze kterých se roztavením v peci a následnými chemickými procesy docílí požadované slitiny. Situaci ilustruje obrázek 1. ● Požadavky na obsah chemických prvků vyráběné litiny ČSN 42 2410 v procentech uvádí tabulka 1 (nové označení české normy v souladu s harmonizací v EU je EN-GJL-100). Tabulka 1: Požadované chemické složení litiny ČSN 42 2410 (EN-GJL-100) Uhlík Křemík Mangan Fosfor Síra Prvek C Si Mn P S Interval (%) 3,55 – 3,75 2,2 – 2,3 0,4 – 0,6 0,5 – 0,7 Max. 0,15 Zdroj: (Němec a kol., 2009, s. 127 - 130) Ještě je třeba dodat, že uvažuji určité zjednodušení této problematiky, předpokládám totiž shodu mezi výslednou vsázkou (směsicí různých vsázkových surovin) a litinou, která vznikne roztavením této vsázky v jednu homogenní směs. Tento předpoklad v praxi platit může, ale také nemusí zejména při chemických interakcí mezi vsázkovými surovinami, palivovým koksem i vyzdívkou pece.
805
● Seznam možných vsázkových surovin a jejich parametry: Tabulka 2: Parametry surovin
Zdroj: (Novotný a kol., 2006, s. 23-26) ● Nyní je třeba vyřešit otázku, které suroviny použít (není nutné využít všechny) a v jakých poměrech mají být ve vsázce zastoupeny, při požadavku minimálních nákladů na pořizované suroviny. Celou situaci, definované podmínky, veškeré hodnoty z tabulek 1 a 2 i souvislosti mezi těmito hodnotami lze zapsat matematicky, jak popisuje Kožíšek a kol. (2008, s. 96 - 97). Zastoupení jednotlivých surovin ve výsledné vsázce označují neznámé x1 až x10 viz tab. 3. Tabulka 3: Označení množství suroviny ve výsledné vsázce pomocí neznámých
Matematický zápis se skládá ze tří vztahů: Vztah 1: Podmínka celku x 1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 = 1 x1, x2 až xn představují relativní podíl (např. 0,4; 0,1 apod.), kde celek představuje výslednou vsázku (směs). Jestliže všechny suroviny smíchané dohromady, obdržíme výslednou vsázku. Logicky musí platit, že součet všech relativních četností musí být roven jedné.
806
Vztah 2: Omezující podmínky dané požadavky výsledné vsázky resp. litiny C: 3,8 • x1 + 4,2 • x2 + 4 • x3 + 4,1 • x4 + 3,3 • x5 + 0,4 • x6 + 0,09 • x7 + 3,7 • x8 ≥ 3,55 C: 3,8 • x1 + 4,2 • x2 + 4 • x3 + 4,1 • x4 + 3,3 • x5 + 0,4 • x6 + 0,09 • x7 + 3,7 • x8 ≤ 3,75 Si: 1,5 • x1 + 0,3 • x2 + 2,3 • x3 + 0,6 • x4 + 2 • x5 + 0,3 • x6 + 0,22 • x7 + 2,7 • x8 ≥ 2,2 Si: 1,5 • x1 + 0,3 • x2 + 2,3 • x3 + 0,6 • x4 + 2 • x5 + 0,3 • x6 + 0,22 • x7 + 2,7 • x8 ≤ 2,3 Mn: 1 • x1 + 0,1 • x2 + 0,3 • x3 + 0,2 • x4 + 0,7 • x5 + 0,5 • x6 + 0,4 • x7 + 0,5 • x8 ≥ 0,4 Mn: 1 • x1 + 0,1 • x2 + 0,3 • x3 + 0,2 • x4 + 0,7 • x5 + 0,5 • x6 + 0,4 • x7 + 0,5 • x8 ≤ 0,6 ……………….. ≥ 0,5 P: 0,3 • x1 + P: 0,3 • x1 + ……………….. ≤ 0,7 S: 0,06 • x1 + ……………….. ≤ 0,15 Jestliže první vsázková surovina (surové železo 45 2114) obsahuje 3,8 % uhlíku a ve výsledné vsázce je tato surovina zastoupena v množství x1, potom do výsledné vsázky (směsi) přispívá prvkem uhlíku 3,8 • x1. Sečtou se příspěvky tohoto prvku od všech surovin, a jelikož požadavek na obsah uhlíku ve výsledné vsázce resp. výsledné litině činí minimálně 3,55 % uhlíku, musí být výsledný součet vyšší než tato hranice. Obdobně se postupuje při formulaci podmínky říkající, že maximální koncentrace uhlíku ve výsledné vsázce je 3,75, potom tento součet musí být nižší. (V tomto případě požadavky na výslednou litinu připouští ještě hraniční hodnotu intervalu, nerovnosti proto nebudou ostré, ale budou ,,větší rovno“ a ,,menší rovno“.) Stejným způsobem se zapíše jakýkoliv počet podmínek daných požadavky vsázky. Pokud je dán požadavek jen jednou hranicí intervalu, vzniká jen jedna omezující podmínka, tak je tomu ve vztahu 1 v případě síry, u které není uvedena její minimální koncentrace, ale pouze maximální 0,15 %. Vztah 3: Účelová funkce F = 5,3 • x1 + 11,5 • x2 + 10,5 • x3 + 11 • x4 + 1 • x5 + 1,5 • x6 + 3 • x7 + 4 • x8 = minimum Účelová funkce vyjadřuje výši nákladů na vsázkové suroviny. Např. 1 kg surového železa reprezentovaného neznámou x1 stojí 5,3 Kč. Tímto způsobem vznikne funkce, ve které figurují všechny zavedené proměnné, a celá problematika spočívá v nalezení takových hodnot proměnných, aby hodnota této funkce byla samozřejmě minimální. Na druhé straně jsou všechny proměnné x1 až x8 ,,svázány“ omezujícími podmínkami viz vztahy 1 a 2. Řešení jakéhokoliv jiného směšovacího (nutriční) problému je postaveno na stejném principu a výsledkem jeho matematického zápisu je účelová funkce, pro kterou se hledá minimum a dále množina nerovnic i rovnic, které udávají proměnným v účelové funkci určitá omezení.
3. Exaktní řešení matematického zápisu V této etapě je celá situace matematicky zapsaná a vyvstává otázka jakým matematickým aparátem ji vyřešit. Na začátku svého příspěvku jsem uvedl, že takto zadaný problém nelze řešit jako soustavu rovnic. Jak uvádí Kožíšek a kol. (2008, s. 80) extrém nelze nalézt ani parciálním derivováním podle proměnných ani pomocí Lagrangeových multiplikátorů, což způsobuje nerovnicový zápis, viz vztah 2. Algoritmus schopný v konečném počtu kroků vyřešit takto zadanou úlohu nalezením hodnot minimalizující účelovou funkci se nazývá Lineární programování (LP). Rovnice, nerovnice i účelová funkce jsou lineární, viz vztahy 1 až 3, proto termín lineární programování (tento matematický nástroj má řádu modifikací včetně podoby nelineárního programování, neslouží pouze k řešení této problematiky, ale
807
k celé škále problémů postavených na hledání obecně extrému účelové funkce, čili také maxima), jak popisují Jablonský (2007, s. 8 – 10) a Fábry (2010, s. 25 – 27). Tyto propočty jsou velice zdlouhavé a pracné. Ovšem jak uvádí Kožíšek a kol. (2008, s. 97 - 101) s pomocí nástroje ,,řešitel“, který je běžnou součástí programu Excel lze nalézt hodnoty neznámých velice snadno a rychle. Pro mnou zvolený příklad řešící optimalizaci vsázkových surovin litiny ČSN 42 2410 vyšlo následující řešení, které jsem pro lepší přehlednost převedl z desetinných čísel na procenta, viz tabulka 4. Tabulka 4: Hodnoty neznámých v %
Zdroj: Výsledky z mého modelu pro optimalizaci vsázky Náklady na suroviny pro přípravu 1 kg vsázky, tj. hodnota účelové fce. F = 3 Kč.
4. Zobecnění problému pro libovolnou situaci V dosavadní části příspěvku jsem se věnoval popisu směšovacího problému a způsobu řešení. Stejným způsobem by se postupovalo při přípravě vsázky pro výrobu kterékoliv jiné litiny či oceli nebo slitiny neželezných kovů např. hliníku. Čím více by bylo stanoveno požadavků na chemické složení výsledné taveniny, tím více by bylo nerovnic ve vztahu 1. Čím větší by byl sortiment volených surovin, tím více by bylo neznámých. Na tom všem není nic objevného ani originálního. Právě proto, aby nebylo třeba při každé změně zadání celou situaci znovu a znovu matematicky vyjadřovat a následně přepisovat rovnice do maticových zápisů v Excelu, rozhodl jsem se tento problém zobecnit a naprogramovat do Excelu tak, aby při změně požadavku na výslednou slitinu stačilo uvést její žádané chemické složení. Ještě jednoduší je způsob výběru surovin, ze kterých lze vsázku sestavovat, zde jsem nastavil 31 různých surovin běžně používaných pro přípravy vsázek litin či ocelí označením se surovina automaticky zařadí do skupiny, ze kterých se vybírá řešení. Funguje to takto, označím několik surovin připadajících v úvahu (nemá smysl uvažovat drahé legující suroviny pro výrobu podřadných slitin), na takto navolené škále následně proběhne propočet optimálního smísení a může se stát, že některé suroviny nebudou vybrány (jejich podíl na vsázce bude nulový) jak k tomu došlo v řešení ilustrovaném tabulkou 4. Toto je přidaná hodnota mnou představovaného jednoduchého modelu. V další části popíši způsob řešení některých problémů spojených s přechodem od konkrétního příkladu k obecnému modelu. Prvním krokem je zavedení tabulky umožňující nastavení požadavků na výslednou vsázku viz tabulka 5. V tabulce jsou zadány meze intervalů, ve kterých se má chemické složení pohybovat (pro ilustraci jsem zvolil litinu tentokráte ČSN 42 2430).
808
Tabulka 5: Vkládání požadavků na taveninu (vsázku), obsah prvku v % (ukázka z mého modelu v Excelu)
Nyní se dostávám k prvnímu problému, který jsem musel vyřešit. Pokud bych optimalizoval vsázku pouze pro tuto litinu postačily by mi řádky ,,a“ až ,,e“. Jestliže má být model skutečně obecný musí obsahovat možnost zadání ještě jiných prvků z ostatních řádků např. Cr, Mo atd. pro legované oceli atd. Jak si, ale poradit s přítomností těchto ,,nadbytečných“ prvků při zadání např. ,,obyčejné“ litiny. Východisko jsem nalezl v rozšíření rozpětí intervalů na takové hodnoty, aby de facto žádné omezení nepředstavovaly. Tzn. pokud je mi při zadávání vlastností množství některého z nabízených prvků lhostejné nadefinuji jeho koncentraci 0 % až 100 % viz tabulka 5. Zadané hodnoty se odtud automaticky přenesou do políček tvořících samotnou výpočtovou část. Tabulka 6: Výběr vhodných vsázkových surovin (ukázka z mého modelu v Excelu – část)
Východisko jsem nalezl v rozšíření rozpětí intervalů na takové hodnoty, aby de facto žádné omezení nepředstavovaly. Tzn. pokud je mi při zadávání vlastností množství některého z nabízených prvků lhostejné nadefinuji jeho koncentraci 0 % až 100 % viz tabulka 5. Zadané hodnoty se odtud automaticky přenesou do políček tvořících samotnou výpočtovou část. 809
Volba suroviny se realizuje napsáním hodnoty 1 do spodního řádku tabulky 6, použitím podmíněného formátování se takové políčko zbarví zeleně. Pro ,,Nevybrání“ suroviny napíši jakoukoliv jinou hodnotu než 1, políčko se zbarví červeně. Na tomto místě se pokusím osvětlit fungování výpočetního mechanismu, který se skládá z uvedených vztahů 1 až 3, ovšem transformovaných tak, aby fungovaly nikoliv pro rigidně zadané hodnoty nýbrž obecně pro jakékoliv hodnoty podle potřeby zadavatele. Tabulka 7: Výběr vhodných vsáz. surovin (ukázka z mého modelu v Excelu – část)
Buňky programu Excel jsou naprogramovány tak, aby se hodnoty představující obsah chemických prvků těch surovin, které byly vybrány viz tabulka 6 přesunuly do výpočtu a naopak u těch surovin, které vybrány nebyly dojde k přesunu nulových hodnot. Nulové i nenulové hodnoty jsou součástí výpočtu (jde o princip maticového součinu, ale celý výpočet je komplikovanější, jde zde o naprogramování do takové podoby, se kterou umí nástroj ,,Řešitel“ pracovat. Tomu odpovídá také zaznamenání hodnot přicházejících ze zadaných požadavků na výslednou vsázku v pravé části tabulky 7. Kromě požadavků na správné obsazení, vybrání a označení buněk v programu Excel je třeba navíc vyplnit cosi jako menu nástroje řešitel, jedná se např. o omezení oboru hodnotu proměnných x1 až x 31 na nezáporná čísla. Ve finálním modelu zůstává toto nastavení zachováno, což je dalším podstatným zjednodušením. Princip fungování naprogramovaných buněk volně přibližuje na prvních dvou řádcích vztah 4. Řádek nulových hodnot pod řádkem označující neznámé x1, x2 atd. jsou vlastní počáteční hodnoty těchto neznámých. Vztah 4: Princip zobecněného výpočtu
Použití tohoto modelu tedy spočívá v zadání požadovaných vstupních parametrů, které se automaticky přenáší do předpřipraveného propočtu. Samotný propočet je spuštěn aktivací nástroje ,,Řešitel“. Propočet vygeneruje hodnoty neznámých viz tabulka 8 (vybarvený řádek).
810
Tabulka 8: Výsledek výpočtu (ukázka z mého modelu v Excelu – část)
Matematické výsledky z tabulky 8 v podobě podílů na vsázce v rozmezí 0 až 1 jsou následně transformovány do přehlednější podoby. Surovina, která bude použita k přípravě zadané vsázky, se barevně označí, viz tabulka 9, napíše se podíl suroviny ve vsázce v % a při zadání požadované hmotnosti výsledné vsázky také v kg. Z takové podoby výsledku lze snadno získat informaci o celkové ceně surovin potřebných k přípravě vsázky, výpočet se skládá ze sumy dílčích součinů cen a použitou hmotností zvolené suroviny a na takový propočet lze v prostředí Excel s výhodou použít fci. skalární součin. Tabulka 9: Výsledek výpočtu (ukázka z mého modelu v Excelu – část)
Závěr Směšovací problém spočívá v nalezení vsázkových surovin a stanovení jejich správného množství tak, aby na jedné straně měla tavenina požadované chemické složení (což determinuje vlastnosti výsledného materiálu) a na straně druhé byly suroviny kombinovány takovým způsobem, který přinese nejnižší náklady na pořizované suroviny. Východiskem je optimalizace vsázkových surovin za účelem minimalizace nákladů pomocí algoritmu lineárního programování s využitím možností MS Excel, který nahradí pracný a zdlouhavý výpočetní algoritmus pomocí simplexové tabulky. Při volbě jiných surovin vyznačujících se odlišnou cenou i chemickým složením a při potřebě docílit taveniny jiných vlastností bude zapotřebí celý výpočet předělat. Proto jsem se pokusil uvést v život myšlenku o obecném modelu, který by dokázal celou situaci zobecnit. Primární oblast použití tohoto modelu je ve snižování materiálových nákladů pomocí lepší – optimální kombinace vsázkových surovin. Je tak možno dosáhnout značných úspor s nulovou vstupní investicí, pouze pomocí lepšího rozhodnutí. V součastné situaci neúprosného konkurenčního boje a silného tlaku na snižování nákladových položek se jedná o užitečný nástroj. Jiná možnost využití je v propočtu změn materiálových nákladů v závislosti na jakosti výsledné 811
taveniny. Nebo ve výpočtech změn materiálových nákladů za nedostatku některých vstupních surovin a nutnosti jejich náhrady substituty. Směšovací problém se neřeší pouze ve slévárnách, ale v celé řadě dalších provozů při činnostech jako přípravy nejrůznějších substrátů, potravin, roztoků, krmiv apod. Na úplný závěr bych si dovolil uvést jednu zajímavost obdobný problém, jehož řešení jsem v příspěvku představil, je možné spatřit ve filmu Mladé víno z r. 1986, kde se skupina programátorů pokouší s pomocí počítače (pro dnešního uživatele kyklopských rozměrů) stanovit optimální krmné dávky pro dojné krávy. Na tomto příkladu je dobře patrná neuvěřitelná dynamika vývoje výpočetní techniky v posledních 20-ti letech a díky tomu úkol pro skupinu lidí zvládne jediný člověk za zlomek času.
Literatura: [1] FÁBRY, Jan. Matematické modelování. 1. vyd. Praha: ČVUT, 2010. 143 s. ISBN: 97880-245-1266-2. [2] FLETCHER, Allan a Geoffrey CLARKE. Ekonomie a společnost. Řízení a matematika. 1. vyd. Praha: Svoboda, 1968. 281 s. [3] FREIBERG, František. Financování podniku. 1. vyd. Praha: ČVUT, 2007. 182 s. ISBN: 978-80-01-03636-5. [4] JABLONSKÝ, Josef. Programy pro matematické modelování. 1. vyd. Praha: VŠE, 2007. 259 s. ISBN: 978-80-245-1178-8. [5] KAVAN, Michal. Výrobní management. 1. vyd. Praha: ČVUT, 2006. 213 s. ISBN: 8001-03445-3. [6] KOŘENÁŘ, Václav a kol. Optimalizační metody. 1. vyd. Praha: VŠE, 2003. 187 s. ISBN: 80-245-0609-2. [7] KOŽÍŠEK, Jan a kol. Statistická a rozhodovací analýza. 1. vyd. Praha: ČVUT, 2008. 252 s. ISBN: 978-80-01-04209-0. [8] NĚMEC, Milan a kol. Teorie slévání. 1. vyd. Praha: ČVUT, 2009. 218 s. ISBN: 978-8001-04395-0. [9] NOVOTNÝ, Jiří a kol. Technologie I. (Slévání, tváření a povrchové úpravy). 1. vyd. Praha: ČVUT, 2006. 227 s. ISBN: 80-01-02351-6.
Ing. Josef Košťálek Doktorand Ústav řízení a ekonomika podniku Strojní fakulta České vysoké učení technické v Praze Karlovo náměstí 13, 121 35 Praha 2
[email protected]
812
