Een leerlinggestuurde leeromgeving voor het oplossen van toepassingsopgaven rekenen Een verkennend onderzoek in de basisschool
J. van de Schaar Verslag onderzoeksstage 2009 Begeleiding: E. Harskamp Onderwijskunde Rijksuniversiteit Groningen
1
Samenvatting Toepassingsopgaven bij rekenen en wiskunde zijn opgaven die tot op zekere hoogte een realistische probleemsituatie omschrijven. Een belangrijk kenmerk is dat er geen informatie over de manier van oplossen in de opgave gegeven wordt. Leerlingen moeten deze zelf uit de tekst en de afbeeldingen halen. Het oplossen van toepassingsopgaven is voor veel leerlingen in het basisonderwijs erg moeilijk. Het kost leerlingen veel inspanning om door tekst en andere informatie op het spoor te komen van de benodigde reken/wiskundekennis om een opgave op te lossen. In deze studie wordt nagegaan hoe effectief een computerondersteund programma voor het oplossen van toepassingsopgaven is. Het programma is gebaseerd op Schoenfeld's theorie van probleemoplossen. In deze theorie staat centraal dat leerlingen tijdens het proces van oplossen aanwijzingen krijgen voor episodes van probleemoplossen. Deze episodes zijn: analyseer het probleem, kijk welke kennis hier nodig is, maak een plan, voer het uit, geef een oplossing, controleer je antwoord en kijk of je de gestelde vraag hebt beantwoord. In het onderzoek is nagegaan of een versie van een softwareprogramma met hints voor verschillende episodes van probleemoplossen tot betere resultaten leidt in het beantwoorden van toepassingsopgaven dan een versie van het programma zonder hints. De leerlingen kregen in beide versies dezelfde toepassingsopgaven en feedback op hun antwoord. Om de opgaven op te lossen is een zekere basis rekenkennis vereist, waaronder: samengestelde hoofdbewerkingen, meten, meetkunde, verhoudingen breuken en procenten. De effectiviteit van het programma met hints is geëvalueerd in een experiment in de onderwijspraktijk. Bij het onderzoek waren leerlingen uit drie klassen van groep 8 van de basisschool betrokken. Binnen de klassen werden leerlingen willekeurig verdeeld over beide versies van het programma. In totaal waren er 28 leerlingen in de experimentele groep en 29 leerlingen in de controlegroep. Tijdens de uitvoering van het programma bleek dat bij 30 tot 40% van de leerlingen de genodigde basis rekenkennis ontbrak om de opgaven op te kunnen lossen. Deze zwakke rekenaars kregen daarom van te voren extra reken onderwijs.. Op die manier konden ook de zwakke rekenaars zich richten op de episodes van probleemoplossen en niet alleen op het zoeken van een goede manier van uitrekenen. De resultaten laten zien dat groep waarin aanwijzingen werden gegeven beter in staat was om de opgaven van de natoets op te lossen. Daarbij moet worden aangetekend dat de leerkrachten in beide versies een rol speelde doordat deze de zwakkere leerlingen van te voren rekeninstructie gaven. In de experimentele groep profiteerden de zwakkere leerlingen en de betere leerlingen in gelijke mate van de hints. Tevens werd een verband aangetoond tussen het hintgebruik van leerlingen en hun scores op de natoets, ongeacht of leerlingen hoog of laag scoorden op de voortoets. Het valt echter op dat zwakkere leerlingen op de voortoets niet meer gebruik maken van de hints dan betere leerlingen. Zouden ze dat wel hebben gedaan dan zou het verschil tussen de zwakkere en de betere rekenaars wellicht zijn verminderd. Deze conclusie leidt in het laatste hoofdstuk van dit artikel tot suggesties voor het bijstellen van het programma speciaal voor zwakke rekenaars. Praktische consequenties voor het toepassen van het programma met hints in het onderwijs worden besproken.
2
Inhoud 1. Inleiding
4
1.1 Probleemoplossen als probleem
4
1.2 Onderzoeksvragen
5
2. Programmaontwikkeling
7
2.1 Ontwerpcriteria
7
2.2 Het programma
8
3. Onderzoeksopzet
14
3.1 De opzet van het onderzoek in de scholen
14
3.2 Instrumenten
15
4. Resultaten
18
4.1 De implementatie van beide programmaversies
18
4.2 De effecten bij de leerlingen
23
Hoofdstuk 5. Conclusies en Aanbevelingen
26
5.1 Conclusies
26
5.2 Discussie
27
5.3 Praktische aanbevelingen
28
3
1. Inleiding 1.1 Probleemoplossen als probleem In de basisschool krijgen leerlingen onderwijs in het maken van rekenopgaven. Een deel daarvan zijn toepassingsopgaven. In groep 8 moet bij deze opgaven bestaande kennis over hoofrekenen, meetkunde, procenten of breuken worden toegepast. Toepassingsopgaven zijn opgaven die een min of meer realistische probleemsituatie beschrijven. Een belangrijk kenmerk is dat er geen informatie over de manier van oplossen in de opgaven wordt gegeven. De informatie in toepassingsopgaven bestaat uit getallen in een tekst, meestal aangevuld met een afbeelding, schema of tabel. Op de toetsen Periodieke Peiling van het Onderwijs in rekenen en wiskunde eind groep 8 (Janssen, 2005) blijkt dat vrijwel alle leerlingen problemen hebben om deze opgaven systematisch aan te pakken. De beste leerlingen van de basisschool kunnen nog wel eenvoudige toepassingsopgaven aan, maar zodra de tekstopgaven meer bewerkingsstappen vragen neemt ook de beheersing bij deze leerlingen af. Slechts weinig leerlingen kunnen de toepassingsopgaven in één keer overzien en hierbij een oplossingsplan maken. De meesten rekenen willekeurige onderdelen van een toepassingsopgave wat leidt tot foutieve antwoorden. Leerlingen in groep 8 zijn kennelijk niet geoefend in het zorgvuldig lezen en het analyseren van de probleemsituatie in een toepassingsopgave en het maken van een oplossingsplan. Hiervoor zijn een aantal verklaringen te geven. In de reken/wiskundemethoden van het basisonderwijs komen veel toepassingsopgaven voor, maar wordt nauwelijks aandacht besteed aan het systematisch aanpakken van deze opgaven. Wel is er veel aandacht voor de manier van oplossen van bewerkingen. De auteurs van de rekenmethodes verwachten dat toepassingsopgaven het rekenen zullen vergemakkelijken omdat er voorstelbare situaties worden aangeboden voor abstracte opgaven. Bijvoorbeeld: 268 voetbalsupporters moeten met de bus naar een uitwedstrijd van hun club. In een bus kunnen 40 supporters. Hoeveel bussen zijn er nodig om de supporters te vervoeren? Een eerste stap is dat de leerling een ‘mentaal model maakt ‘van de situatie (Mayer, 1992, 2007). In dit geval moeten kennis over hoe je mensen in bussen vervoert en kennis van het rekenen worden gekoppeld in een overzicht van de situatie. De leerling kan een schets op papier maken, maar ook een mentale voorstelling maken. Een ervaren probleemoplosser zal van te voren uitproberen of de mentale voorstelling (mentaal model) tot geslaagde uitkomsten kan leiden en hoe je een efficiënt oplossingsplan kunt maken. (Stel: ik heb 80 supporters, die gaan dan in 2 bussen, dat is 80 : 40, het gaat dus om delen….).Pas daarna kan de leerling met succes een plan voor het oplossen van de opgave opstellen. De praktijk laat zien dat de informatie over de situaties in opgaven op zichzelf al een barrière kunnen vormen. De leerling moet goed lezen en de informatie koppelen aan wat hij al weet om de situatie te kunnen begrijpen en hij kiest vaak niet de meest efficiënte oplossingswijze, maar een manier die de situatie aan de leerling lijkt op te dringen (bijvoorbeeld: herhaald aftrekken om de supporters bus voor bus in te delen). Voor veel leerlingen zijn toepassingsopgaven meestal moeilijker op te lossen dan kale sommen (Verschaffel, Greer & de Corte, 2000). In de onderwijspraktijk doen leerkrachten wel eens voor hoe je toepassingsopgaven kunt oplossen. Het gaat dan meestal om efficiënte oplossingen en om opgaven die op elkaar lijken (bijvoorbeeld toepassingsopgaven over meten, meetkunde of procenten). Het gaat dan meestal om het oefenen voor een toets. Maar door gelijksoortige opgaven te oefenen leren leerlingen niet om problemen op te lossen (Harskamp en Deinum, 1995; Foshay en Kirkley, 2003). Onderzoekers (Garofalo en Lester, 1985; Schoenfeld, 1987; Goos, 2002) concluderen dat het falen van leerlingen bij het oplossen van problemen niet voortkomt uit
4
een gebrek aan reken-wiskundekennis, maar meestal uit het niet herkennen welke kennis nodig is om een toepassingsopgave op te lossen. Schoenfeld (1992) stelde dat leerlingen moeten leren om bij het oplossen van opgaven zichzelf doelen te stellen en om hun eigen oplossingsproces te reguleren. Volgens hem maken ervaren probleemoplossers gebruik van ‘episodes’ om tot goede oplossingen te komen. Goede probleemoplossers doorlopen systematisch de volgende episodes: probleem analyseren (een mentaal model opbouwen), de juiste reken/wiskundekennis selecteren (door het mentale model even te beproeven), een plan maken, het plan uitvoeren en controleren of het antwoord past bij de gestelde vraag. De episodes kunnen na elkaar worden uitgevoerd, maar ervaren probleemoplossers gaan ondertussen wel eens terug naar de voorafgaande episode (bijvoorbeeld van plan opstellen naar analyseren van het probleem). Meestal doen ze dit om na te gaan of ze inderdaad op de goede weg zitten. Schoenfeld stelde vast dat ervaren probleemoplossers relatief veel tijd besteedden aan het analyseren van problemen en aan het controleren of ze de juiste oplossing hadden gevonden. Beginners daarentegen besteedden de meeste tijd aan het uitvoeren van bekende procedures zonder dat ze goed nagingen of ze een goed plan hadden opgesteld dat paste bij de probleemsituatie. Beginners besteedden weinig tijd aan het lezen van de opgaventekst en het bedenken welke kennis en welk plan daar bij zou passen. . Dreyfuss en Eisenberg (1996), Goos (2002) en Teong (2003) bevestigen de bevindingen van Schoenfeld. Zij concluderen verder nog dat leerlingen in staat zijn om probleemsituaties in verschillende vormen te representeren: een schets, een grafiek of een tabel. Deze mentale modellen verschillen tussen leerlingen. Zwakke probleemoplossers hebben er vaak meer problemen mee dan goede. Zwakke probleemoplossers blijven met hun representaties dicht bij de situatie in het probleem. Ze maken een schets en zetten er wat getallen bij, maar komen vaak niet verder. Dan kiezen ze voor de meest voor de hand liggende bewerking met de getallen in de opgave. Goede probleemoplossers daarentegen gebruiken vaker meer formele representaties zoals een tabel of een formulesom. Zij maken meer flexibel gebruik van verschillende representaties en zij bewaken hun eigen oplossingsproces. Naast het analyseren van het bekwaamheidsniveau van probleem oplossen, laat Schoenfeld (1992) ook zien hoe beginnelingen kunnen leren om problemopgaven beter en systematischer op te lossen. Hij vroeg leerlingen bijvoorbeeld wat het probleem was dat zij moesten oplossen, welke stappen zij tot nog toe daarvoor hadden ondernomen, of ze een idee hadden van de rekenkennis die nodig was en of ze al een idee voor een oplossingsplan hadden. Tot slot vroeg hij leerlingen die klaar waren hoe ze wisten dat hun oplossing correct was. Door procesgerichte vragen te stellen en korte uitleg te geven, daar waar inhoudelijke kennis ontbrak, kon Schoenfeld leerlingen met succes leren problemen op te lossen. Deze manier van begeleiden schrijft leerlingen niet stap voor stap voor hoe ze problemen moeten oplossen, maar wijst hen op stappen (episodes) die van belang zijn en die ze op een eigen manier kunnen invullen. Het gaat erom dat leerlingen een eigen methode ontwikkelen om problemen aan te pakken, geholpen door vragen en inhoudelijke aanwijzingen. 1.2 Onderzoeksvragen Het onderwijs in het oplossen van toepassingsopgaven kan naast reguliere onderwijsvormen profiteren van computer software die leerlingen helpt bij het oplossen van problemen. Zo kan een interactief softwareprogramma worden ontwikkeld dat hints geeft die leerlingen kunnen gebruiken tijdens het oplossen van opgaven en dat feedback geeft over de juistheid van hun antwoorden. Het is van belang dat de hints de leerlingen bewust maken van hun eigen oplossingsproces. Het probleem is hoe een programma te ontwerpen dat zowel interactief is en zich aanpast aan de behoeften van leerlingen als ook houvast biedt (Jonassen, 1996). Het ontwerpen van een programma dat leerlingen in staat stelt om
5
hints te gebruiken als ze dat nodig hebben en die hints geeft die bij hun denkproces passen, is geen eenvoudige zaak: er zijn grote verschillen tussen leerlingen in voorkennis. Wood en Wood (1999) deden onderzoek naar een dergelijk adaptief instructieprogramma. Ze rapporteren dat leerlingen met weinig voorkennis meestal minder vaak hulp zoeken als ze een foutief antwoord geven dan leerlingen met meer voorkennis. Het kan echter ook aan het programma hebben gelegen dat leerlingen alleen maar hints gaf met een standaard oplossingswijze. Misschien dat wanneer zwakke leerlingen meer op informele oplossingen gerichte hints krijgen, zij van die hints meer gebruik gaan maken. Dit artikel gaat over de ontwikkeling en evaluatie van een softwareprogramma dat uitgaat van Schoenfeld’s theorie van probleemoplossen en zijn ideeën over adaptieve aanwijzingen om leerlingen te helpen om reken/wiskundeopgaven op te lossen. De bedoeling is software aan te bieden in een leerlinggestuurde leeromgeving met korte instructies in de vorm van hints en met verschillende oplossingmethodes in elke hint. Leerlingen kunnen dan zelf kiezen welke hints ze willen gebruiken. Door hints te kiezen die uitgaan van een meer informele methode of juist een meer formele methode (zie volgende paragraaf) kunnen alle leerlingen hulp krijgen op een niveau van instructie dat het best bij hen past. Er zijn drie onderzoeksvragen: 1. Gebruiken leerlingen daadwerkelijk de hints voor de episodes van probleemoplossen tijdens het uitvoeren van opgaven? 2. Is er verschil in effectiviteit tussen de hints van de verschillende episodes? 3. Leidt het gebruik van een softwareprogramma gebaseerd op de episodes van Schoenfeld en met vrije keuze van hintgebruik, tot betere resultaten in het oplossen van toepassingsopgaven rekenen/ wiskunde door leerlingen?
6
2. Programmaontwikkeling Een van de meest intrigerende vragen bij het ontwerpen van een adaptieve en leerlinggestuurde leeromgeving is hoe men hulp kan inbouwen voor leerlingen die hun proces van probleemoplossen ondersteunt. Verschillende onderzoeken laten zien dat het leren oplossen van toepassingsopgaven nauw verbonden dient te zijn met het proces van verwerven van reken- wiskundekennis (Koedinger & Nathan, 2004; Maccini, McNaughton en Ruhl, 1999; Sfard & Kieran, 2001; Sharp & Evans, 2002). De instructie moet enerzijds rekening houden met het leren van een efficiënte procedure om een toepassingsopgave te analyseren en op te lossen en anderzijds met de verschillende manieren waarop leerlingen een opgave kunnen uitrekenen. Het moet niet alleen gaan over episodes in probleemoplossen, maar ook om de vraag hoe de aanwezige rekenkennis van de leerling op te roepen. In het voorgaande is het voorbeeld gegeven van het toepassen van hoofdbewerkingen bij een opgave over het vervoer van supporters met bussen en er is besproken dat leerlingen verschillende rekenmethodes kunnen toepassen afhankelijk van hun ontwikkelingsniveau en inzicht . We geven nog een voorbeeld, maar nu op het gebied van breuken. Bijvoorbeeld, de opgave: Hoeveel flesjes met een inhoud van ½ cl kunnen er worden gevuld uit een fles van ¾ liter parfum?, vraagt om kennis van het metriekstelsel en van bewerkingen met breuken. Bij het oplossen van het probleem moet de leerling eerst een mentaal model construeren dat bij deze opgave past. Daarvoor is zowel wereldkennis nodig: de leerling moet inzien dat kleine flesjes gevuld worden vanuit een grote fles. Maar ook kennis van het metriekstelsel en van breuken is hier vereist. Een goede rekenaar zal zich realiseren dat ½ cl nemen van ¾ liter gelijk staat aan ½ cl nemen van 75 cl. Nu kunnen er verschillende oplossingsplannen ontstaan: leerlingen kunnen in hun representatie van de situatie een herhaalde aftreksom zien (75 – ½ – ½ etc), een deelsom (75 : 1/2) of redeneren (stel de flesjes zijn 1 cl dan 75 flesjes; flesjes zijn ½ cl, dus twee keer zo veel). Dat hangt af van hun ontwikkeling in rekenkennis. Kennis van breuken kan behoorlijk verschillen tussen leerlingen. Wanneer het rekenen met breuken wordt geïntroduceerd, leren leerlingen om eerst breuken te gebruiken met concreet materiaal, dan om breuken te visualiseren met schema’s. We spreken van informele rekenmethodes. Tot slot leren leerlingen om met breuken te rekenen in sommen en om te redeneren. We spreken dan van formele rekenmethodes. Butler, Miller, Crehan, Babbitt, Pierce (2003) en Cramer, Post, & Currier (1993) concluderen dat de ontwikkeling van informele naar formele methode zich niet in korte tijd voltrekt, maar vaak jaren duurt. Lang niet alle leerlingen in groep 8 bereiken het niveau om met begrip met breuken te rekenen in sommen (Janssen, 2005). Veel leerlingen laten hun keuze voor de manier van rekenen afhangen van de uiterlijke kenmerken van een toepassingsprobleem, zoals in het voorbeeld hierboven wanneer leerlingen voor herhaald aftrekken kiezen, een erg foutgevoelige aanpak.
2.1 Ontwerpcriteria Een effectief programma voor het oplossen van toepassingsopgaven dient in staat te zijn om de voorkeursmethode van leerlingen voor het oplossen van opgaven te ondersteunen. (Shute en Psotka, 1996) Dit zal het systematisch leren hanteren van een procedure voor het probleemoplossen vergemakkelijken. In een overzicht van literatuur over probleemoplossen met behulp van computersimulaties geven De Jong en Van Joolingen (1998) aan dat studenten vaardigheid in probleemoplossen ontwikkelen als het programma aan de volgende eisen voldoet. Het programma: a) verschaft heldere vragen of oefeningen b) biedt moeilijker oplossingsprocedures geleidelijk aan
7
c) geeft bij het probleemoplossen hulp die pas wordt aangeboden als de leerling die nodig heeft (just-in-time instruction) d) geeft leertaken die zijn opgebouwd in complexiteit Een belangrijke conclusie uit dit overzichtsartikel is dat in een ideale elektronische leeromgeving de computer de leerling hulp geeft die komt wanneer de leerling er behoefte aan heeft. Verschillende onderzoekers hebben laten zien hoe Schoenfeld’s theorie kan worden gebruikt voor het ontwerpen van software voor probleemoplossen. Harskamp & Suhre (2007) pasten de theorie toe in het wiskundeonderwijs in VWO-4. Zij onderscheiden hints volgens de episodes van Schoenfeld en ze geven inhoudelijke aanwijzingen op zowel formeel niveau als informeel niveau, naar keuze van de leerlingen. Teong (2003) trainde leerlingen in het primair onderwijs in het gebruik van de episodes van Schoenfeld en komt met positieve gegevens over de effecten van die training op probleemoplossen in rekenen en wiskunde. In het programma voor dit onderzoek kunnen hints bij de episodes van Schoenfeld worden voorzien van informele en formele rekenmethodes. Informele methodes kunnen betrekking hebben op het laten afmaken van een tabel, een situatieschets, een vereenvoudigd numeriek voorbeeld etc. Formele methodes kunnen zijn: rekensommen, rekenprocedures of logisch redeneren. Na het beantwoorden van een opgave worden er uitgewerkte oplossingen beschikbaar gesteld die de leerlingen kunnen vergelijken met hun eigen oplossing. Leerlingen kunnen in hun eigen tempo het programma doorlopen. Het programma moet gebruikt kunnen worden naast de bestaande reken/wiskundemethodes en wat betreft de uitleg aansluiten bij de visuele schema’s en modellen die in deze methodes worden gebruikt. 2.2 Het programma Er zijn 48 opgaven gekozen op het gebied van voortgezet rekenen. Ze kunnen met informele of formele rekenmethodes worden opgelost. Tabel 1 geeft een overzicht van de verschillende typen opgaven die in het programma worden opgenomen. Per les kan een keuze gemaakt worden uit de verschillende onderwerpen zodat leerlingen telkens een ander type probleem krijgen aangeboden. Tabel 1: Overzicht van onderwerpen in de toepassingsopgaven van Wistips
Onderwerpen
aantal opgaven
visuele modellen en rekenaanpakken (alleen Wistips+)
hoofdbewerkingen
12
geld, metrische maten plaatswaarde in getallen
procenten
10
deel-uit-geheel schema (17% korting) en deel-ingeheel schema (na 10% groei is de lengte1.67 m)
breuken/ verhoudingen
10
verhoudingstabel, dubbele getallenlijn
meten: oppervlakte 10 en inhoud
en
schema’s
rooster, rechthoek- en driehoeksstrategie oppervlakte en 'lagen' bij inhoudsbepaling
voor
bij
8
meetkunde
6
plattegronden, uitslagen en kijklijnen
Om leerlingen bewust te maken het nut van de episodes van probleemoplossen (zie het onderzoek van Schoenfeld in paragraaf 1.1) zijn er vrij complexe opgaven samengesteld. Het zijn geen standaardproblemen, die direct herkend worden. De leerling moet ze goed lezen en proberen na te gaan welke rekenkennis nodig is om ze op te lossen. De opgaven voldoen aan de volgende eisen die hun gematigd ‘problematisch karakter’ aangeven: a) ze vereisen nauwkeurig lezen en kijken en ze zijn niet zo maar op te lossen, b) ze kunnen met meerdere methodes worden opgelost c) ze hebben slechts één juist antwoord (zie Foshay en Kirkley, 2003). De volgende uitwerkingen van de episodes van Schoenfeld zullen in het programma worden vormgegeven: • Analyseer het probleem grondig (Waar gaat het over?) • Ga na welke rekenkennis nodig zal zijn (Waar gaat het over?) • Maak een plan en voer het uit (Wat reken je uit?) • Controleer je antwoord (Feedback van het programma en terugblik met Modelantwoord) Om met het programma te leren werken bespreekt de leerkracht eerst een introductieopdracht waarin de leerkracht de leerlingen laat zien hoe ze met het programma kunnen omgaan. De opdracht gaat over het vinden van afstanden op basis van snelheden en tijd (een type opgave waar leerlingen vaak moeite mee hebben) en de leerkracht kan hiermee duidelijk maken wat het nut van de hints is en waarom de hints beter in een bepaalde volgorde kunnen worden gebruikt. Na de introductie logt de leerling in op het programma en krijgt een lijstje met opgaven te zien. Per les zijn er vier opgaven. De eerste drie opgaven zijn kernopgaven bedoeld voor alle leerlingen en de vierde opgave is voor de snelle leerlingen. Als de leerling een opgave selecteert krijgt hij deze te zien in een scherm samen met hints en de mogelijkheid om te antwoorden (zie figuur 1).
9
Figuur 1: opgave met knoppen voor hints en antwoord geven
De opgave wordt op de linker helft van het scherm weergegeven en de hints met aanwijzingen staan rechts op het scherm. Hints bij Waar gaat het over? Als een leerling problemen heeft met het analyseren van een toepassingsopgave of geen idee heeft over welke rekenkennis nodig zal zijn, dan kan de leerling deze hint aanklikken. Figuur 2 laat een voorbeeld zien over hoe de hints zichtbaar worden. De tekst en afbeeldingen van de hints komen rechts in beeld. De leerling kan uit twee manieren kiezen. Door te scrollen kan de leerlingen de tekst en afbeeldingen van de hints zichtbaar maken. Met de knop Terug gaat de leerling terug naar het scherm met het hints menu.
10
Figuur 2: Rechts de hint: Waar gaat het over?
Manier 1 is een oplossing met een schets en getallen, terwijl manier 2 aanstuurt op het gebruik van een verhoudingstabel De twee manieren waaruit de leerlingen kunnen kiezen zijn in de figuur 3 weergegeven. De leerling wordt op de eerste manier vooral op een rekenaanpak gewezen en bij de tweede manier wordt er gewezen over de verhouding tussen paper en het echt van de hoogte en breedte van de tafel. De leerling kan zelf besluiten op welke manier hij wil beginnen aan het probleem. Manier 1 Maak een schetsje van de tafel en zet erbij hoe lang en hoe hoog de tafel op papier is.
Hoe kun je uitrekenen hoe hoog en lang de tafel in het echt is? Manier 2 Op papier: lang .. mm en breed ... mm In het echt: lang .... cm en breed ... cm Figuur 3: twee manieren bij de hints in ‘Waar gaat het over?’
11
Hints bij Wat reken je uit? Als een leerling hulp nodig heeft bij het bedenken van een oplossingsplan dan zijn deze hints geschikt. Er zijn in dit voorbeeld twee oplossingsmanieren uitgewerkt. De leerling kan kiezen. In figuur 4 zijn de twee manieren gepresenteerd. Er wordt geen volledige oplossing geboden maar de leerling wordt bij de hand genomen en als hij de opgave begrijpt kan hij inzien hoe de probleemsituatie in een oplossingsplan kan worden omgezet. Manier 1 De tekening is schaal 1 op 20. Dat betekent 1 mm op papier is 20 mm in werkelijkheid. a. De tafel is 33 mm hoog op de tekening. In werkelijkheid dus 20 keer zoveel. b. De tafel is 55 mm lang op de tekening. In werkelijkheid dus 20 keer zo lang. Tip: Maak er daarna cm van Manier 2
Figuur 4: twee manieren bij de hints in ‘ Wat reken je uit?’
Er zijn twee rekenmethodes gekozen waar leerlingen vanuit zichzelf vaak gebruik van maken. De tweede methode is de manier die vaak door rekenmethoden wordt aangeboden. We zien dat terug in de oplossingen van goede probleemoplossers. De eerste manier wordt echter ook door veel leerlingen gebruikt. De hints zijn bedoeld om leerlingen duidelijk te maken dat er meerdere manieren zijn en dat zij zelf een keuze moeten maken voor de manier die het best bij hen past. Het gebruik van hints is weliswaar niet verplicht, maar als de leerling een verkeerd antwoord geeft krijgt de leerling de expliciete aanbeveling om de hints te gebruiken en bij Waar gaat het over? te beginnen. Leerlingen hoeven een probleem niet direct op te lossen ze kunnen de opgave verlaten en terug gaan naar het hoofdmenu en daar eerst aan een andere opgave werken. Ze krijgen drie keer de kans om een goed antwoord te geven. Modelantwoorden: Na het geven van het eindantwoord krijgt elke leerling de kans om uitgewerkte voorbeelden te zien van oplossingen van de opgave.
12
Manier 1 De schaal is 1 : 20. Dus 1 mm op papier is 20 mm in werkelijkheid. a. De hoogte van de tafel is 33 x 20 = 330 x 2 = 660mm = 66 cm b. De lengte is van de tafel 55 x 20 = 550 x 2 = 1100 mm = 110 cm Manier 2
Figuur 5: Modelantwoorden
In de modelantwoorden zijn weer verschillende manieren uitgewerkt en de leerling kan de manier bestuderen die hem het meest aanstaat of nagaan hoe het probleem ook op een andere manier kan worden aangepakt.
13
3. Onderzoeksopzet Van maart tot mei 2008 is een praktijkonderzoek gedaan in groep 8. De leerlingen zijn per klas verdeeld in een experimentele groep en controlegroep, waarbij zowel een voortoets als een natoets probleem oplossen zijn afgenomen. De experimentele groep werkt met Wistips+ en krijgt toepassingsopgaven met hints. De controlegroep krijgt Wistips- met alleen feedback goed/fout op het antwoord dat de leerlingen geven. In het onderzoek wordt nagegaan of het gebruik van hints tijdens het oplossen van opgaven en het modelantwoord achteraf, leiden tot verbetering van het oplossen van toepassingsopgaven. 3.1 De opzet van het onderzoek in de scholen Er zijn drie groepen acht van drie scholen met respectievelijk 18, 21 en 18 leerlingen bij het onderzoek betrokken. De leerlingen zijn per klas willekeurig verdeeld: de helft van de klas deed Wistips+ en de andere helft Wistips-. Tabel 2: verdeling van leerlingen over onderzoeksgroepen
Wistips + 9 leerlingen school A 10 leerlingen school B 9 leerlingen school C
Wistips 9 leerlingen school A 11 leerlingen school B 9 leerlingen groep C
Totaal 28
Totaal 29 leerlingen
De leerlingen wijken wat betreft de sociale achtergrond niet sterk af van de Nederlandse populatie (22% van de leerlingen is van laag sociaal economisch niveau en heeft een leerlinggewicht, maar er waren slechts enkele kinderen van allochtone afkomst). Elke klas is willekeurig gesplitst in een experimentele en een controlegroep. De leerlingen van de experimentele groep kregen Wistips+ en de leerlingen van de controlegroep een versie zonder hints, (Wistips-). In beide versies van Wistips zijn er dezelfde opgaven en is er drie keer de mogelijkheid om een antwoord te geven. Beide versies van het programma zijn op de servercomputer van de school geïnstalleerd. De leerlingen starten het programma via de leerlingcomputers (clients) die met de server zijn verbonden. Op de scholen waren in en rond de gemeenschapsruimte 12 tot 15 leerlingcomputers beschikbaar waarop leerlingen konden werken met het programma. De servercomputer krijgt automatisch gegevens binnen over: de opgaven die de leerlingen maken, de hulp die ze daarbij gebruiken en of ze uiteindelijk een goed of fout antwoord geven, dan wel de opgave afbreken. Zo ontstaat er een centrale registratie is van de gedane opgaven en gebruikte hints voor elke leerling. Procedure De leerlingen werken gedurende 12 lessen van 30 minuten met het programma. Ze krijgen drie opgaven per keer en er is een extra opgave voor snelle leerlingen: in totaal zijn 48 opgaven beschikbaar in het programma. De opgaven zijn ingewikkelder dan de meeste van de opgaven uit het rekenboek. Leerlingen zullen ze niet zo maar, zonder hulp, kunnen oplossen en ze zullen vaak baat hebben bij hints. In Wistips+ worden deze hints gegeven passend bij episodes van probleemoplossen. Leerlingen kunnen er voor kiezen deze hulp te gebruiken, maar dat is niet verplicht. De leerkrachten van de drie klassen geven tijdens een rekenles eerst les aan de ene helft van de klas met Wistips+ terwijl de andere helft van de klas zelfstandig uit het rekenboek werkt onder leiding van een onderwijsassistent. Daarna wisselen de leerlingen en geeft de leerkracht les aan de andere helft van de klas die met Wistips- werkt. De overige leerlingen gaan nu met
14
hun rekenboek aan het werk onder leiding van de onderwijsassistent. Er zijn gedurende 6 weken twee keer per week rekenlessen gepland waarin om en om, een half uur, met beide versies van Wistips wordt gewerkt. De activiteiten van de leerkracht bij Wistips+ zullen bestaan uit het houden van een bespreking aan het begin van de lessenreeks over de wijze van oplossen van toepassingsopgaven. De leerkracht laat de leerlingen eerst met de introductieopgave werken en houdt dan een vraaggesprek over welke stappen er in het oplossingsproces zitten (Waar gaat het over en welke vraag moet je beantwoorden? Wat moet je uitrekenen en wat is je plan? Plan uitvoeren en hoe controleer je je antwoord?). De episodes van probleemoplossen worden op het bord geschreven en de leerkracht vraagt welke hulp uit Wistips+ bij welke stappen behoren. Tijdens het werken met Wistips geeft de leerkracht procedurele hulp aan leerlingen die niet verder kunnen en verwijst naar de hints in het programma. De leerkracht geeft geen verdere uitleg. Aan het einde van elke Wistips+ les wordt een korte nabespreking over de oplossingswijzen van leerlingen gehouden. De activiteiten van de leerkracht bij Wistips- zal bestaan uit het laten maken van de voorbeeldopgave en daarna wordt de oplossing op het bord besproken. De leerkracht biedt tijdens het werken met het programma geen hulp bij de analyse van de opgave, het berekenen of de controle ervan. Aan het eind van elke les zet de leerkracht de oplossing van een opgave die alle kinderen hebben gedaan op het bord en bespreekt die. De leerkracht beperkt zich bewust tot de berekening en gaat niet in op de episodes van probleemoplossen. De twee verschillende onderzoekscondities zijn van te voren goed doorgesproken met de leerkrachten en met hen is overlegd over de inrichting van het onderwijs bij Wistips+ en Wistips-. De leerkrachten hadden van te voren het idee dat sommige leerlingen onvoldoende rekenkennis hadden om de opgaven met of zonder hints uit te kunnen voeren. Er is daarom in voorzien om na de eerste twee lessen te overleggen met de onderzoekers of de geplande manier van begeleiden van leerlingen inderdaad haalbaar was.. De leerkracht en de leerling kunnen in het programma zien welke opgaven een leerling heeft gedaan en of dit met een correct antwoord is afgesloten. Om leerlingen te motiveren laten we hen per les bijhouden hoeveel opgaven ze hebben gedaan en hoeveel met succes afgerond. Het programma geeft hen het percentage goed. In het onderzoek wordt via observaties in de groepen nagegaan in hoeverre de leerkrachten op de afgesproken manier lesgeven in de experimentele groep en de controlegroep. Er zijn per klas 8 lessen geobserveerd. Elke week is er een observatie gedaan van hoe de leerkracht tijdens een rekenles van 50 minuten achtereenvolgens de helft van de leerling met Wistips+ begeleidt en vervolgens de andere helft van de klas met Wistips-. 3.2 Instrumenten Om de vaardigheden van leerlingen in het probleemoplossen vast te stellen is twee keer een toets afgenomen. Het betreft twee parallelversies van een zelfde toets. De toets bestaat uit een introductie en acht toepassingsopgaven: hoofdbewerkingen (2 x), breuken/verhoudingen (2 x), procenten (1 x), meten (2x), meetkunde) (1x). De volgende voorbeeldopgave is bedoeld om leerlingen te wennen aan de toets. Karin fietst met haar vriendin van Emmen naar Assen. Ze vertrekt 's morgens om 9.00 uur en komt om 14.00 uur (2 uur ‘s middags) aan. De afstand van Emmen naar Assen over de weg is 60 km. Hoeveel kilometer heeft ze gemiddeld per uur gefietst? A. Waar gaat de opgave over? Maak een schets en zet er bij toelichting bij. (Je moet een tekening maken van de som en de juiste getallen en namen in de tekening zetten) B. Wat reken je uit? Schrijf de berekening volledig op. (Je mag een zakrekenmachine gebruiken voor het uitrekenen) C. Hoe controleer je je antwoord? Schrijf op hoe je dat doet. (Je moet een redenering of berekening
15
geven die laat zien dat je de vraag goed hebt beantwoord).
De voorbeeldopgave wordt door de leerlingen gemaakt en daarna voorgedaan op het bord door de onderzoeker. Het gaat om : a) In schema zetten van de opgave: deze opgave laat zich goed in schema zetten met de relevante getallen erbij. De leerlingen moeten bepalen hoeveel km er elk uur is gefietst om in 5 uur 60 km af te leggen; b) Oplossing opschrijven. Leerlingen moeten begrijpen hoe je de berekening opschrijft. c) Controle uitvoeren: De leerlingen moeten nagaan of hun antwoord kan kloppen. Na de uitleg over hoe ze de oplossing van een opgave moeten opschrijven, gaan de leerlingen acht toepassingsopgaven maken. De opgaven zijn eenvoudiger dan die in het programma Wistips en wat moeilijker dan die in de CITO-eindtoets. De leerlingen mogen de zakrekenmachine gebruiken. Het gaat er vooral om nauwkeurig te lezen en de probleemsituatie goed te analyseren vanuit de gestelde vraag. De leerling die met Wsitips+ gaan werken zullen de drie onderdelen die ze moeten opschrijven bij elke opgave herkennen als episodes van probleemoplossen waarover hints worden gegeven in hun versie van het programma. Geen van de leerlingen wordt echter getraind in het opschrijven van de oplossing van opgaven op boven aangegeven manier. In die zin zijn de toetsen voor alle leerlingen gelijk. We geven drie opgaven uit de natoets. 1. Ralf heeft een afbeelding van een oud zeilschip uit 1911. Het is een driemaster op volle zee. Ralf leest dat de grote mast wel 30 meter hoog was. Maar nergens staat hoe lang het schip was. Onder aan de tekening staat: Schaal 1: 750 Hij pakt een liniaal en meet de lengte van het schip op de tekening. Die is 9,5 cm. Hoeveel meter was het schip lang?
5.In een goederenwagon van de trein worden koelkasten geladen. Er kunnen 200 koelkasten in de wagon. Er staan 185 koelkasten op een grote vrachtwagen. De koelkasten worden met een wagentje -een vorkheftruck- in de goederenwagon geladen. Er kunnen 6 koelkasten per keer op het wagentje. Hoeveel keer moet het wagentje heen en weer rijden om alle koelkasten naar de wagon te brengen?
7. Het is hoog water langs de rivier de IJssel en de kelder van familie Bonthuis loopt onder water. De keldervloer is 8,5 meter lang en 6,5 meter breed. Het water staat na de eerste dag 30 cm boven de vloer en na drie dagen wel 70 cm boven de vloer. Het water stijgt niet meer en de brandweer wordt gebeld. Die zal het water uit de kelder pompen. De brandweer vraagt hoeveel kubieke meter water er in de kelder staat. Als ze dat weten kunnen ze beslissen of ze een grote of een kleine pomp meenemen. Hoeveel kubieke meter water staat er in de kelder?
Scoring van de opgaven: Elke opgave staat op een aparte pagina en de leerlingen schrijven per opgave: A. een schets van de opgave met bijbehorende getallen, B. de berekeningswijze en het eindantwoord C. hoe ze controleren of hun antwoord klopt en past bij de vraag. Weergeven van probleemoplossen: Voor onderdeel A kunnen leerlingen maximaal 2 punten krijgen (0= niet, 1= onvolledig en 2 = volledige weergegeven). Voor onderdeel B maximaal 3 punten: 0 = niet, 1 = onvolledige berekening, 2 = volledige berekening maar onjuist eindantwoord, 3 = volledige berekening en juist eindantwoord). Voor onderdeel C is er maximaal 1 punt (0 = geen controle en 1 = controle van eindantwoord). Bij 8 opgaven kunnen leerlingen
16
voor het opschrijven van de oplossingsprocedure 6 punten x 8 = 48 punten verkrijgen. Aantal goed: Naast het weergeven van de eigen oplossingsprocedure is vastgesteld hoe vaak het correcte antwoord is gegeven: in totaal kan de score voor het goede antwoord 8 punten bedragen voor 8 opgaven. Lesobservaties Tijdens de lessen met het programma zijn de leerkrachten en leerlingen geobserveerd. Per les is nagegaan of a) de leerkracht in de eerste les de uitleg geeft die overeenkomt met de geplande introductie per versie van het programma (Wistips+ voorbeeldopgave en episodes in het programma bespreken versus Wistips- Voorbeeldopgave op bord oplossen). b) de leerkracht een opgave met de leerlingen kort nabepreekt (Wistips- een opgave op bord uitrekenen met nadruk op rekenprocedure en in Wistips + de verschillende aanpakken van leerlingen bij een gemaakte opgave even met de leerlingen doornemen) c) eventueel extra rekeninstructie aan zwakke leerlingen (vanaf het begin van het onderzoek vermoedden de leerkrachten dat de zwakke rekenaars extra instructie nodig zouden hebben in rekenkennis die nodig is voor de opgaven van een les; er is nagegaan hoe vaak extra uitleg aan groepje zwakke rekenaars is gegeven )
17
4. Resultaten 4.1 De implementatie van beide programmaversies Er zijn per onderzoeksgroep acht keer lesobservaties gedaan in elke klas. Hieronder is een voorbeeld van een lesobservatie in een groep die met Wistips+ werkte. De lesobservaties zijn door een onderzoeker gedaan. In het begin leidden de lesobservaties tot bijstelling van de aanwijzingen voor de leerkracht, namelijk meer richten op zwakke rekenaars omdat die vast dreigden te lopen in het programma. Verslag van een observatie van een les met Wistips+ De start (3 minuten) Dit is de helft van groep 8 en er zijn 10 leerlingen. De kinderen zitten verspreid over de gemeenschapsruimte (10 computers). De leerkracht kan de plaatsen waar de leerlingen zitten goed overzien. Er zijn geen andere leerlingen in de gemeenschapsruimte en het is rustig. De leerlingen beginnen aan de tweede les met Wistips. In de eerste les is al een begin gemaakt met de oplossingsstappen (episodes) en de hulp die je kunt krijgen van Wistips+. De leerlingen hebben van les 1 twee van de drie opgaven afgemaakt en zijn vaak aan de derde begonnen. Bij de aanvang van de les zijn door de leerkracht de computers aangezet en de leerlingen zijn in hun versie van het programma ingelogd. De leerlingen beginnen 5 minuten vertraging, want ze komen uit het leslokaal en de computers moeten nog worden opgestart en hun schrift met de gemaakte en goede antwoorden van de 48 opgaven opgezocht. Deze les begint om 9.30 en eindigt om ongeveer 10.00. De leerkracht start met het geven van de opdracht om opgave 4, 5 en 6 te maken en als er tijd over is ook opgave 7. De twee opgaven gaan over: • Carnaval in Dogogo (hoeveel mensen in een optocht van 26 km als ieder ongeveer 65 cm ruimte inneemt), • Kleren kopen (kortingspercentages van kleren). • Kaas prijzen (stukken kaas prijzen met hulp van verhoudingen en kommagetallen) . • Land verdelen (oppervlakte berekening) De leerkracht laat de leerlingen nog even de introductieopgave uit de vorige les aanklikken en navertellen bij welke stappen in het oplossingsproces ze hulp kunnen krijgen. De leerlingen gaan daarna aan het werk. Ze mogen op papier rekenen en tekenen zo veel ze willen. Intermezzo 1 (8 minuten) Een leerlingen begrijpt de opgave over de carnavalsoptocht niet. De leerkracht laat deze leerling de hulp aanklikken: daar staat een tekening van een weg met poppetjes. Wat is de bedoeling? De leerling begrijpt de opgave nu, maar kan hem net als andere zwakke rekenaars niet uitrekenen. De leerkracht neemt drie meisjes en een jongen die echt moeite met het uitrekenen van de opgave hebben, even apart. Het zijn leerlingen die ook in de gewone rekenlessen zwak zijn. De drie leerlingen begrijpen de opgave wel: 26 km en hoeveel lengtes van 65 cm zijn daar binnen? Ze proberen door in grote happen te tellen het antwoord te vinden: '10 mensen nemen 6.5 meter in en 100 mensen 65 meter, maar dan ben ik er nog lang niet' zegt een van hen. De leerkracht wijst op de hulp onder 'Wat reken je uit'. De leerlingen zien nu dat ze de lengte van de optocht moeten omrekenen in centimeters. Daarbij hebben ze hulp nodig. De leerkracht laat ze eerst van 26 km naar 26000 meters herleiden en dan naar 2 600 000 centimeters. Nu kun je grote happen, uitgaande van 65 cm, nemen. De leerkracht raadt de leerlingen aan de hints van Wistips+ te volgen voor het uitrekenen. De leerlingen gaan weer terug naar hun eigen computer en proberen zelf hoe ze dit probleem kunnen oplossen. Twee van hen komen met behulp van de hints tot een handige deelsom. De nadere twee blijven verstrikt in de grote getallen. De overige zeven leerlingen hebben de eerste opgave meestal via gebruik van hulp en daarna cijferend opgelost. Geen van hen gebruikt de
18
zakrekenmachine. Ze gaan bezig met de tweede opgave. Intermezzo 2 (10 minuten) De tweede opgave is die waarin een broek van f 75,- met 30% korting wordt aangeboden. Iemand heeft f 66 bij zich en de vraag is wat de broek nu kost. Er zijn nu vier leerlingen die met het rekenen met procenten geen raad weten (twee meisjes en twee jongens). Ze zijn luk raak met de getallen aan het aftrekken gegaan en begrijpen ook de hulp in Wistips+ niet goed. De leerkracht neemt ze als groepje bij elkaar en laat ze eerst de opgave nog eens lezen en terug vertellen wat er staat. Dan laat ze de hulp 'Waar gaat het over' aanklikken. Het blijkt dat de hulp overeen komt met wat ze zelf al hebben verteld. De hulp geeft verder als suggestie om eens te schatten hoeveel de broek nu kost. De leerkracht zegt: 'Als de korting 50% is hoeveel zou de broek dan kosten? De leerlingen begrijpen dat je dan de helft van de prijs moet betalen. Je kunt zeggen: 'de helft is korting en hoef je niet te betalen'. De leerkracht vraagt: 'Hoeveel is 10% korting?'. De leerlingen zijn vergeten dat 10% gelijk is aan 1/10 deel. In de methode is daar in groep 7 vaak mee geoefend, maar in groep 8 niet meer. De leerkracht tekent een staaf op een vel papier en laat die door de helft en in stukken van 1/10 deel verdelen: zo komt ze op 10%, 20% etc tot 100%. Hierna moeten de leerlingen de opgave zelf verder maken en goed de hulp bij 'Hoe reken je het uit' lezen als ze die nog nodig hebben. De andere leerlingen hebben vaak met hulp uit Wistips+ de opgave zelf gemaakt. Intermezzo 3 (5 minuten) De meeste leerlingen kunnen de opgave over land verdelen goed aan: het gaat om handig rekenen met vierkanten en driehoeken. Ze maken gebruik van de hints. De leerkracht loopt langs bij enkele zwakke leerlingen en laat hen de hints aanklikken en voorlezen. Twee leerlingen zijn begonnen aan opgave 3, maar de tijd is echter om en ze kunnen die de volgende keer proberen af te maken. Intermezzo 3 (5 minuten) De leerkracht laat leerlingen even vertellen hoe ze de opgave over de korting hebben gedaan. De meeste leerlingen bleken geen moeite te hebben met het begrijpen van de opgave, maar wel met de omzetting ervan in een oplossingsplan. Opvallend is dat zwakke rekenaars soms de zakrekenmachine gebruiken om het antwoord te vinden. Bijvoorbeeld: 30% van f 75. Ze tikken de som in, maar krijgen vaak het verkeerde antwoord: 75 : 30% geeft als antwoord 250 op sommige rekenmachines. De leerlingen weten vaak wel dat ze in zo'n geval geen goed antwoord hebben. De betere rekenaars, die vaak handmatig rekenen, hebben minder problemen. Sommige van hen rekenen via 1 procent uit hoeveel 30% van f 75,- is en trekken dat van f 75 af. Anderen werken met een verhoudingstabel zoals ze dat op school hebben geleerd en zoals dat ook in de hulpaanwijzingen van Wistips staat.
Conclusie over de eerste lessen en aanbevelingen voor de begeleiding Na de eerste twee lessen met Wistips+ en Wistips- zijn de voorlopige resultaten geëvalueerd met de drie leerkrachten. De verwerkte leerstof verschilt tussen leerlingen. De meeste leerlingen lukt het om zelfstandig met de programma’s te werken. De leerlingen werken over het algemeen goed door tijdens de lessen en vinden het leuk. Er is niet veel tijd verloren gegaan. Wistips+ heeft een groot gebruiksgemak, de interface met keuzemenu van de opgaven en de het menu met hulpknoppen is duidelijk. Ook Wistips- is zelfstandig te gebruiken als de leerlingen over voldoende voorkennis beschikken op het gebied van rekenen. Voor snelle leerlingen is wellicht meer extra stof nodig. Gemiddeld komen drie tot vier op de tien leerlingen niet helemaal uit de drie kernopgaven. Ze hebben extra aanwijzingen van de leerkracht nodig. Vooral de zwakke rekenaars hebben de grootste moeite met het vinden van een goede probleemaanpak en passen het liefst optel- en aftrekmethodes toe in situaties waar delen, procenten of breuken nodig zijn. Bij breuken en procenten haken de zwakkeren eigenlijk af.
19
Het programma Wistips+ gaat er echter van uit dat rekenkennis aanwezig is. Het wil ‘slechts’ leerlingen helpen die kennis toe te passen in nieuwe situaties. Voor zwakke rekenaars is het nodig dat een leerkracht de leerlingen bemoedigt en op het goede rekenspoor zet door herhaalde instructie en directe hulp. Besloten is dat de leerkrachten proberen de zwakke rekenaars vooraf in kleine groepjes uitleg te geven van de benodigde rekenkennis over meten, meetkunde, breuken, verhoudingen of procenten die voor de drie kernopgaven nodig zijn. Ze geven herhaalde instructie van kleine onderdelen uit het rekenboek die van te voren met de onderzoeker zijn doorgesproken: Er is bij de leerkrachten op aangedrongen om de zwakke rekenaars vooral te ondersteunen in hun rekenkennis en voor de rest van het oplossen van de toepassingsopgaven te blijven verwijzen naar de hints in het programma (als ze de versie Wistips+ gebruikten). Het is dus alleen de bedoeling dat leerkrachten de ontbrekende rekenkennis van zwakker rekenaars compenseren door korte uitleg vooraf. Het analyseren van een opgave, het maken van een passend rekenplan en het terugkijken blijven de eigen verantwoordelijkheid van de leerling. Wistips+ helpt daarbij en Wistips- niet. Overzicht van de uitvoering van alle lessen Er zijn in totaal acht lesobservaties (van de zestien lessen) in de experimentele en in de controlegroep gehouden. Er is nagegaan of: inleidende uitleg voor hele groep is gegeven, aan het einde van een les korte bespreking van oplossingen zijn gehouden met de leerlingen en extra rekeninstructie is gegeven aan zwakke leerlingen. In onderstaande tabel zijn de gegevens samengevat van de lesobservaties van de uitvoering van Wistips+ en Wistips-. Tabel 3 : overzicht van gebruik van beide programma’s door de leerkracht/onderzoeker inleidende les met uitleg over Wistips
nabespreking
extra rekeninstructie zwakke rekenaars
aan
Wistips+
Ja
De verschillende oplossingen van de leerlingen zijn groepsgewijs kort nabesproken
In de les is de rekenkennis voor de opgaven aan de zwakke rekenaars extra uitgelegd
Wistips-
Ja
Aan het eind van de lessen is met de groep een oplossing op het bord nabesproken
In de les is met de zwakke rekenaars de rekenkennis voor de opgaven nog eens uitgelegd
a) introductie De leerkrachten zijn bij Wistips+ begonnen met het bespreken van de voorbeeldopgave en de functie van de hulpknoppen. De voorbeeldopgave is eerst door de leerlingen gedaan en zij vertelden in de bespreking over hun gebruik van de hints en het modelantwoord. De leerkracht heeft tot slot herhaald waarvoor de verschillende bedoeld zijn en in welke volgorde ze kunnen worden gebruikt De leerkrachten hebben bij Wistips- een voorbeeldopgave voorgedaan op het bord ter introductie van de lessen b) nabespreking Bij Wistips+ is tijdens de korte nabespreking aan het eind van de lessen steeds gevraagd naar de oplossingswijze van een opgave. Sommige leerlingen vertelden hoe ze de opgave hadden opgelost. Soms kwam daar ook het gebruik van hints uit het programma bij aan de orde. Aan het eind van een les werd de oplossing van een opgave op het bord besproken. Bij Wistips- hebben de leerkrachten in elke geobserveerde les een opgave op het bord uitgewerkt, c.q. een
20
modelantwoord gegeven. Hierbij werd vooral ingegaan op de berekening.
21
c) extra rekeninstructie aan zwakke rekenaars Tijdens de lessen met beide versies werd extra rekenhulp gegeven aan zwakke leerlingen. De rekenkennis die nodig is voor het oplossen van de twee opgaven in een les is van te voren aan de leerlingen uitgelegd. De uitleg vond plaats in een klein groepje met zwakke rekenaars. De uitleg is gegeven omdat deze leerlingen anders niet verder konden werken met het programma. Ze bezitten vaak te weinig basiskennis van rekenen-wiskunde. Gegevens over het gebruik van het programma door leerlingen Er is via de computer bijgehouden welke opgaven leerlingen hebben gedaan, welke ze goed hadden en (bij Wistips+) welke hulp er door de leerlingen werd gebruikt. Er waren van te voren geen duidelijke verwachtingen over het aantal opgaven dat leerlingen uit het programma konden maken. We verwachten wel dat door de extra hulp in de vorm van hints de leerlingen die met Wistips+ werkten meer opgaven uit het programma goed zouden maken dan leerlingen die met Wistips- werkten. Dit zou een eerste indicatie zijn dat hints een positief effect hebben op het oplossen van opgaven. Voorwaarde daarvoor is dat leerlingen in de experimentele groep ook daadwerkelijk de hints gebruiken als ze niet verder kunnen met een opgave. Er zijn daarom in de log-bestanden van de computer per leerling bekeken hoe vaak ze een opgave hebben afgemaakt en in hoeveel procent van die gevallen er sprake was van hulp bij: ‘Waar gaat het over” en “Wat reken je uit”. Daarnaast is ook berekend in hoeveel procent van de gevallen het Modelantwoord is aangeklikt door de leerlingen nadat ze hun antwoord al hadden gegeven. Uit de eerste analyses van de gegevens blijkt dat in de experimentele groep zowel leerlingen die hoger dan gemiddeld scoorden op de voortoets als leerlingen die lager scoorden bij de door hen gemaakte opgaven evenveel gebruik maakten van de hints. Het is dus niet zo dat vooral zwakkere rekenaars op de voortoets de hints gebruikten. Tabel 4: Percentage opgaven waarbij hulp is gebruikt bij Wistips+ en aantal goede antwoorden die zijn gegeven bij beide versies (standaarddeviaties tussen haakjes)
Antwoorden
Wistips+ (n= 28)
Wistips- (n=29)
Antwoord gegeven
33 (4)
31 (4)
Antwoord goed
28 goed (5)
21 goed (4)
Waar gaat het over
48% (20%)
nvt
Wat reken je uit
68% (16%)
nvt
Modelantwoord
58% (21%)
nvt
Gebruik van hulp:
Vergelijking van de gemiddelden over de gegeven antwoorden en het aantal goede antwoorden binnen het programma geeft aan dat leerlingen van Wistips+ vaker tot een goed antwoord zijn gekomen (bij gemiddeld 28 van de 33 gemaakte opgaven) dan leerlingen van Wistips- (bij 21 van de 31 opgaven). Het verschil is statistisch significant (T = 6,3; p < .05). Dit is niet zo verwonderlijk omdat leerlingen die met Wistips- werkten geen hulp konden gebruiken en leerlingen van Wistips+ wel. Leerlingen die met Wistips+ werkten lijken ook iets meer opgaven te hebben gedaan dan leerlingen die met Wistips- werkten. Het verschil is echter niet significant. De tabel laat zien dat leerlingen bij Wistips+ vooral gebruik hebben gemaakt van 'Wat reken je uit'. De standaarddeviatie van 16% geeft aan dat tweederde van de leerlingen bij 52% tot 84%
22
van de opgaven deze hulp gebruikt. Op zichzelf is het niet zo opmerkelijk dat leerlingen vooral hulp zoeken bij 'Wat je reken je uit'. Een oplossingsplan zoals een rekensom staat dichter bij de oplossing dan een toelichting over de inhoud van de opgave in 'Waar gaat het over'. Maar de verschillen tussen leerlingen in het gebruik van 'Waar gaat het over' zijn groter dan in het gebruik van “Wat reken je uit”. De standaarddeviatie van 20% bij ‘Waar gaat het over’ geeft aan dat tweederde van de leerlingen tussen 28% en 68% van de opgaven gebruik maakten van deze vorm van hulp. Er blijkt een verband te zijn tussen het gebruik van de beide vormen van hulp. Leerlingen die vaak de hulp 'Wat reken je uit' gebruiken hebben vaker 'Waar gaat het over' gebruikt dan andere leerlingen. Er is geen duidelijk verband tussen het aantal keren gebruik van de hulp bij ‘Waar gaat het over’ en ‘Wat reken je uit’ enerzijds en het gebruik van 'Modelantwoord' aan het einde van een opgave anderzijds (zie tabel 6 voor verdere analyse).
4.2 De effecten bij de leerlingen Verwacht wordt dat leerlingen die met Wistips+ werkten, meer gestructureerd een probleem kunnen oplossen dan zij die met Wistips- werkten. Dat wil zeggen: vaker de opgave van te voren analyseren, vollediger een oplossingswijze kunnen weergeven en vaker de uitkomst van een opgave controleren. We noemen dit Weergeven van probleemoplossen Er zijn voorafgaande aan het experiment voor- en natoetsen afgenomen waarbij steeds is gekeken naar zowel het weergeven van de oplossingen als ook het goede antwoord. Er zijn acht korte toepassingsopgaven in de toetsen. De onderstaande tabel laat de resultaten zien op de voortoets en natoets. Tabel 5: Gemiddelde natoetsscores van beide onderzoeksgroepen Voortoets
Natoets
Weergeven van probleem oplossen (schaal 0 – 48)
Aantal goed (schaal 0-8)
Weergeven van probleem oplossen (schaal 0- 48)
Aantal goed (schaal 0 – 8)
experimentele groep n= 28
22 (9)
3,8 (1,5)
38 (8)
6,5 (1,3)
controlegroep n=29
23(8)
3,6 (1,6)
31 (9)
5,2 (1,9)
Weergeven van oplossingen: Het blijkt dat de meeste leerlingen op de voortoets de oplossing van een opgave nog niet systematisch kunnen opschrijven. Het blijkt uit nadere analyse van de totaalscore voor probleemoplossen dat ze vooral moeite hebben met het in eigen woorden weergeven van de opgave en het controleren van de opgave. De meeste punten op de voortoets worden verzameld door het uitschrijven van een mogelijke oplossing. Er is geen verschil tussen de leerlingen op de voortoets. Op de natoets is het verschil tussen de twee groepen aanzienlijk groter. Het is in tabel 5 te zien dat leerlingen in beide groepen hoger scoren op het opschrijven van de oplossing van de opgaven dan op de voortoets. De groep met Wistips+ scoort gemiddeld 38 punten op probleemoplossen en de groep met Wistips- gemiddeld 31. Het verschil is statistisch significant (T= 3.3; p<.05).
23
Aantal goed: op de voortoets is het aantal goede antwoorden is beperkt: gemiddeld 3,7 van de 8 opgaven goed. Er is geen verschil tussen de beide groepen op de voortoets. Op de natoets is evenwel een duidelijk verschil: de groep met Wistips+ scoort ruim een punt hoger dan de groep met Wistips- (T= 3.0; p<.05). Het verschil is ook relevant: de effectgrootte is te berekenen door het verschil tussen de beide groepen te delen door de standaarddeviatie van de controlegroep, of wel 1,3 / 1.9 = 0.68. Het betekent dat 47% van de leerlingen die met Wistips+ werkten hoger scoort op de natoets dan de leerlingen die met Wistips- werkten. Leidt hintgebruik tot betere resultaten? In de tabel hieronder is voor de experimentele groep (n= 28) aangegeven hoe hoog de samenhang was tussen het percentage hintgebruik dat leerlingen hadden en het aantal antwoorden goed in het programma en aantal goed op de natoets. Tabel 6: verbanden tussen hintgebruik en resultaten op de natoets bij Wistips+
Wat reken Modelantje uit? woorden
Waar gaat het over? Wat reken je uit? Modelantwoor-den Aantal goed in Wistips+
.59*
Aantal Natoets goed in (aantal Wistips+ goed)
.32
.61
.41*
.08
.53
.44*
.18
.13 .40
* Statistisch significant verband (p <.05). Sterkte van verbanden gecontroleerd voor verschillen tussen leerlingen op de voortoets (aantal goed)
Ongeacht hun score op de voortoets hebben leerlingen die meer gebruik maakten van de hulp bij Waar gaat het over? en Wat reken je uit? meer antwoorden goed in het programma Wistips+ en ook meer antwoorden goed op de natoets probleemoplossen. Corrigeren we op statistische wijze ook voor verschillen tussen leerlingen in aantal goed in het programma, dan is er geen verband meer tussen hintgebruik en aantal goed op de natoets. Kennelijk is het zo dat leerlingen die meer hints gebruiken, eerst meer antwoorden goed doe in het programma Wistips+ en daardoor ook beter scoren op de natoets. De hulp heeft hen geholpen meer oefenopgaven goed op te lossen en wellicht is daardoor hun inzicht in het gebruik van de episodes van probleemoplossen (Waar gaat het over, wat is de vraag, welke rekenkennis is nodig en hoe maak ik een goed plan?) daardoor toegenomen. Opvallend is dat het gebruik van Modelantwoord niet samenhangt met verhoging van de score op de natoets. Kennelijk is de hulp tijdens het oplossen van opgaven (just-in-time-instructie) het meest effectief voor het leren oplossen van toepassingsopgaven. Verdere analyse van de resultaten Er is nagegaan of leerlingen die met Wistips+ werkten en die lager dan gemiddeld scoorden op de voortoets wellicht meer leerwinst hadden geboekt op de natoets dan leerlingen die hoger dan gemiddeld scoorden op de voortoets. De veronderstelling was dat leerlingen die lager scoorden op de voortoets vaker gebruik zouden maken van hulp en ook meer van die hulp zouden leren dan leerlingen die hoger scoorden op de voortoets. Inmiddels was aan de aller zwakste rekenaars in beide onderzoeksgroepen (zowel Wistips + als Wistips-) door de leerkracht ook extra rekeninstructie geboden voorafgaande aan het maken van de opgaven. Ook de zwakste rekenaars kenden de benodigde rekenkennis voor de toepassingsopgaven in het programma.
24
Er is eerst nagegaan of het inderdaad zo is dat leerlingen met een relatief lage score op de voortoets ook veel van de hints in Wistips+ gebruik gemaakt hebben. Dit bleek niet het geval, het maakte niet uit voor hun gebruik van hints in het programma of de leerlingen lager of hoger op de voortoets hadden gescoord. De grafiek van figuur 6 laat zien hoe leerlingen van Wistips+ en Wistips- met een lager of juist hoger voorafgaand rekenniveau presteerden op de natoets. Er lijkt geen sprake van te zijn dat rekenaars met een lager niveau het vooral beter doen met Wistips+. Deze indruk wordt bevestigd door een statistische analyse. (We voerden een tweeweg variantie-analyse uit met het niveau van de leerlingen en de onderzoekscondities als onafhankelijke variabelen en het aantal goed e antwoorden op de natoets als afhankelijke variabele. De analyse wijst uit dat er geen interactie-effect is: maar alleen twee hoofdeffecten: één van Wistips+ versus Wistips- en één van hoog versus laag niveau). niveau laag hoog
8
Mean natoets
6
4
2
0 hints
geen hints
conditie
Figuur 6: de prestaties van goede en zwakke leerlingen in beide onderzoekscondities
Zowel de leerlingen met een lagere voortoetsscore als de leerlingen met een lage voortoetsscore in Wistips+ profiteren van dit programma meer dan hun soortgenoten in Wistips-. Het is niet zo dat door het werken met het programma het verschil in vaardigheid met toepassingsopgaven tussen de betere en mindere goede rekenaars afneemt. Het programma bevordert het probleemoplossen van beide groepen leerlingen in ongeveer gelijke mate.
25
Hoofdstuk 5. Conclusies en Aanbevelingen
5.1 Conclusies In dit onderzoek is gekeken naar de mogelijkheden om met een softwareprogramma voor probleemoplossen, de vaardigheden in het systematisch oplossen van toepassingsopgaven bij leerlingen te bevorderen. Het onderzoek werd gedaan in drie groep 8 klassen en had als doel om leerlingen te leren toepassingsopgaven rekenen systematischer op te lossen. De leerkrachten kregen instructie hoe ze met twee versies van een softwareprogramma moesten omgaan. De ene versie bestond uit toepassingsopgaven met inhoudelijke hints passend bij episodes van probleemoplossen (Wistips+). De andere versie uit dezelfde opgaven maar nu zonder hints en slechts feedback goed of fout (Wistips-). In beide versies kregen leerlingen per opgave drie keer de kans om een goed antwoord te geven. Het programma bevat 12 lessen. Na twee lessen is er nader overleg geweest tussen de onderzoeker en de leerkrachten over hun rol als begeleider. Het bleek dat er in elke groep wel enkele leerlingen waren die te weinig voorkennis van rekenen en wiskunde hadden om de opgaven te kunnen oplossen. Het gaat hier om 30 tot 40% van de leerlingen in beide onderzoeksgroepen. Ze hadden tekorten in kennis van: metriekstelsel, meetkunde, verhoudingen, breuken, procenten en kommagetallen. Om deze reden is besloten dat leerkrachten van te voren in een korte instructie per les de rekenkennis met de zwakkere leerlingen te besperken. Dit is bij beide versies van het programma gedaan om de situatie zo veel mogelijk gelijk te houden. Bij de conclusies over de effecten van de Wistips+ versie moeten we dus in aanmerking nemen dat het niet alleen gaat om een programma dat geheel zelfstandig door leerlingen kan worden gebruikt, maar dat een deel van de leerlingen ook extra instructie van de leerkracht nodig heeft op het gebied van rekenkennis waarvan het programma verondersteld dat die aanwezig is bij leerlingen. We kunnen dan ook stellen dat het programma voor dat deel van de leerlingen niet kon worden gebruikt zoals bedoeld en dat wellicht een deel van het effect van het programma Wistips+ voor deze leerlingen aan de leerkrachten is toe te schrijven. In dit onderzoek is nagegaan of leerlingen die met Wistips+ en Wistips- werkten ook daadwerkelijk gebruik hebben gemaakt van de opgaven in het programma. De leerlingen maakten gemiddeld circa 32 van de 36 kernopgaven maar meestal geen extra opgave (zie tabel 4). Dank zij de leerkrachten hebben de zwakkere leerlingen toch vaak wel de toepassingsopgaven kunnen beantwoorden. De zwakkere leerlingen hebben wel minder opgaven goed dan de andere leerlingen. Dit verschil geldt in beide versies van het programma (zie figuur 6). Binnen het programma Wistips+ is er vooral gebruik gemaakt van de hints voor het maken van een oplossingsplan ‘Wat reken je uit?’ (68% van de gemaakte opgaven) en in mindere mate is gebruik gemaakt van hints voor het lezen en analyseren van de opgave ‘Waar gaat het over?’ (48% van de gemaakte opgaven). De Modelantwoorden na het geven van een antwoord zijn in 58% van de gevallen ingekeken. Gemiddeld genomen werd bij 84 % van de gemaakte opgaven een of meer hints gebruikt. Onze analyses laten zien dat leerlingen die met Wistips+ werkten over het algemeen betere natoetsresultaten haalden in het oplossen van toepassingsopgaven dan leerlingen die met Wistips- werkten. Dankzij de hulp die de leerkrachten aan de zwakkere leerlingen gaven kunnen we stellen dat zowel zwakke als goede leerlingen van Wistips+ profiteerden. Er is nagegaan of er binnen de groep de leerlingen die Wistips+ gebruikten wellicht een samenhang was tussen hintgebruik, het goed maken van opgaven in het programma en de scores op de natoets. Dit bleek het geval: zowel het gebruik van hints bij ‘Wat reken je uit?’ als ook bij ‘Waar gaat het over?’ heeft een positieve samenhang met het aantal goed gemaakte opgaven in het programma en met de scores de natoets (zie tabel 6). Het lijkt er op dat door het gebruik van de
26
hints leerlingen meer opgaven goed oplosten en dat ze daardoor meer inzicht kregen in het systematisch gebruik van episodes van probleemoplossen. Dit kan er toe hebben geleid dat ze vollediger antwoord hebben gegeven op de natoets en ook daar meer opgaven goed maakten. Het gebruik van Modelantwoorden na het beantwoorden van een opgave hangt niet samen met de natoetsscores van leerlingen. Kennelijk droeg het achteraf bekijken van uitgewerkte antwoorden weinig bij aan het begrip van de systematiek in oplossen van opgaven. Wellicht wel aan de rekenkennis, maar dat is niet onderzocht omdat het niet de doelstelling van het onderzoek was. 5.2 Discussie Het effect van het programma Wistips is bemoedigend. We menen dat er enige empirische onderbouwing is gegeven voor het uitgangspunt dat episodes in het probleemoplossen effectief kan zijn in een computerprogramma dat leerlingen de gelegenheid geeft zichzelf te helpen door gebruik te maken van hints die volgens de episodes zijn geordend en die keuzes uit meerdere rekenmethodes toelaten. Schoenfeld (1992) liet zien hoe beginners kunnen leren om de episodes toe te passen als de leerkracht hen er toe aanzette om na te denken over manieren om tot een oplossing te komen. Men kan leerlingen bijvoorbeeld vragen om te vertellen welke stappen hij al heeft gedaan en wat de stap zal zijn die hij nu moet zetten. Door niet alleen procedurele feedback te geven maar ook door inhoudelijke voorbeelden en hints liet Schoenfeld zien hoe je leerlingen kunt helpen om op een meer systematische wijze episodes van probleemoplossen toe te passen. In ons softwareprogramma zijn er per episode verschillende hints die verwijzen naar formele en informele rekenmethodes. Leerlingen kregen de gelegenheid om die informatie uit de hints te kiezen die paste bij hun voorkeur voor een rekenmethode. Leerlingen die veelvuldig gebruik maakten van de hints hebben er van geprofiteerd. Onze indruk is dat de meeste leerlingen zowel de informatie in de hints over formele als informele rekenmethodes gebruikten. Ons onderzoek laat zien dat Schoenfeld's probleemoplossingsmodel effectief kan worden ingebouwd in een softwareprogramma. Maar voor zeer zwakke rekenaars is het programma niet zonder meer geschikt. Er is dan systematische hulp van de leerkracht nodig, zoals hierboven gerapporteerd Wood en Wood (1999) vonden in hun onderzoek dat leerlingen met zwakke voorkennis over het algemeen meer gebruik maakten van hun instructieprogramma voor beginnende algebra wanneer ze nog nadachten over een oplossing en leerlingen met meer voorkennis pas hulp gebruikten als ze merkten dat hun antwoord niet juist was. In ons onderzoek hebben we dit onderscheid niet kunnen maken omdat het programma niet noteerde wanneer welke hints werden gebruikt, maar alleen of ze werden gebruikt. In ons onderzoek was er geen significant verschil in hintgebruik tussen goede en zwakke rekenaars, en er lijkt zelfs een lichte tendens dat vooral goede rekenaars gebruik hebben gemaakt van de hints. Misschien moeten zwakke rekenaars meer gestuurd moeten worden in hun gebruik van de hints, zo dat ze meer vooruitgang boeken. De vraag die dan rijst is: zullen zwakke rekenaars profiteren van een meer stapsgewijze begeleiding door de episodes van probleemoplossen en moeten de episodes om zowel hun rekenkennis als hun systematisch probleemoplossen te verbeteren? Maccini et al (1999) concluderen in een overzicht van ‘problem-solving research’ dat stap-voor-stap training in het gebruik van episodes van probleemoplossen zwakke probleemoplossers meer zal helpen dan training die de oplossingweg voor een deel aan de leerlingen zelf overlaat. Anderen (Jitendra et al, 2002) concluderen dat zwakke leerlingen vooral zijn geholpen bij een benadering waarin toepassingopgaven worden gebruikt die vooral een informele rekenmethode toe alten om geleidelijk aan te komen tot opgaven die om een meer formele aanpak vragen. De onderzoekers laten zien dat eenvoudig uit te rekenen problemen het gebruik van informele rekenmethodes bij zwakke leerlingen stimuleren. Meer complexe problemen worden door deze leerlingen vaak aangepakt met informele methodes en de leerlingen moeten leren dat het analyseren volgens een informele aanpak goed is maar dat voor het oplossen vaak een formele methode minder foutgevoelig is. Daarom moeten leerlingen vanuit informele rekenmethodes geleerd worden om
27
formele oplossingmethodes te hanteren. Bijvoorbeeld: het probleem van het vervoer van 460 supporters in bussen waar 50 personen in kunnen; eerst laten tekenen als probleem waarin herhaald aftrekken naar voren komt en dan laten zien dat je dit het best kunt oplossen als een deelsom met rest. Sfard en Kieran (2001) wijzen er op dat effectieve hints gebaseerd moeten worden op de (informele) methodes die succesvolle leerlingen gebruiken en dat de hints de woorden en schetsjes moeten bevatten die leerlingen gebruiken om hun gedachten weer te geven als ze samenwerken. Het feit dat in ons onderzoek de zwakkere leerlingen niet meer gebruik maakten van de hints dan de betere leerlingen wijst er op dat de zwakke leerlingen het programma nog niet gebruikten zoals bedoeld. Het verdient overweging om voor zwakke probleemoplossers het gebruik van de episodes met hints meer stap voor stap te laten plaats vinden. Deze leerlingen hebben waarschijnlijk baat bij meer sturing van hun zelfregulatie processen (Goos, 2002, Teong, 2003). Een mogelijkheid is om zwakke leerlingen verplicht de episodes met de hints van voor naar achter te laten doorlopen. Daartoe kunnen de huidige hints in het programma Wistips+ verder worden uitgebreid in deelstappen. Bijvoorbeeld: a) Waar gaat het over?, b) Wat is de vraag?, c) Welke rekenkennis is nodig?, d) Wat reken je uit?, e) Hoe controleer je? Bij elk van de stappen kunnen meerkeuzevragen worden gesteld met inhoudelijke feedback, waarin zowel wordt ingegaan op informele methode voor het analyseren van het probleem als ook meer formele rekenmethodes voor het oplossen. Er zal een opbouw van makkelijke naar meer complexe opgaven moeten worden gemaakt voor deze doelgroep. We kunnen dan onderzoeken of een dergelijk gestructureerd ontwerp van het programma met hints voor zwakke leerlingen effectiever is dan een ontwerp waarin leerlingen vrije keuze heeft voor het gebruik van hints zoals nu het geval is. 5.3 Praktische aanbevelingen Voor de onderwijspraktijk is het nuttig om te weten dat sommige computerprogramma’s, mits goed begeleid door de leerkracht, kunnen helpen om leerlingen meer systematisch te laten omgaan met het oplossen van opgaven. Bij een goed gebruik van het programma Wistips+ zal de leerkracht een belangrijke rol moeten spelen. In dit onderzoek is er gewerkt met een onderwijsassistent die de helft van de leerlingen onder haar/ zijn hoede nam, terwijl de andere helft van de klas met de leerkracht in een computerruimte aan het werk was. Het programma Wistips+ bleek effectief binnen een context waarin de leerkracht: • het programma introduceert en leerlingen laat ervaren hoe de hints het best kunnen worden gebruikt • gedurende 6 weken tenminste twee keer per week lessen geeft • elke les voorbereidende instructie geeft aan zwakke leerlingen, • toezicht houdt op het werk van de leerlingen tijdens het programma • achteraf met hen een opgaven nabespreekt en hen wijst op het belang van systematisch gebruik van de hints. Het is de vraag of bij een minder intensieve begeleiding dezelfde resultaten kunnen worden behaald. Dat zal niet het geval zijn voor zwakke leerlingen die de basiskennis van het voortgezet rekenen niet beheersen. Deze leerlingen kunnen niet zelfstandig met het programma werken. Het huidige programma is er uitsluitend op gericht om leerlingen hun kennis van rekenen en wiskunde te laten toepassen en niet om daarin extra instructie te geven. De opgaven bestrijken verschillende gebieden van rekenen en wiskunde voor groep 8 en hebben geen opbouw in moeilijkheidsgraad. Voor de betere rekenaars die nog wel problemen hebben met toepassingopgaven kan het programma, toegepast zonder veel begeleiding, waarschijnlijk wel goede diensten bewijzen.
28
Literatuur Butler, F.M..; Miller, Susan P.; Crehan, Kevin; Babbitt, Beatrice; Pierce, Thomas (2003) Fraction Instruction for Students with Mathematics Disabilities: Comparing Two Teaching Sequences. Learning Disabilities: Research & Practice, v18 n2 p99-111 Cramer, K., Post, T., & Currier, S. (1993). Learning and Teaching Ratio and Proportion: Research Implications. In D. Owens (Ed.), Research Ideas For the Classroom (pp. 159178). NY: Macmillan Publishing Company. Dreyfuss, T. en Eisenberg, T (1996). On Different Facets of Mathematical Thinking. In: R.J. Sternberg, en T. Ben-Zeev, (Eds.) The Nature of Mathematical Thinking. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Foshay, R en Kirkley, J. (2003) Principles for Teaching Problem Solving. Technical Paper 4, PLATO Learning, Inc. Retrieved November 5, 2008,: http://www.griffith.edu.au/centre/gihe/griffith_graduate/toolkit/problem/resource.htm Garofalo, J., en Lester, F.K. (1985). Metacognition, cognitive monitoring, and mathematical performance. Journal for Research in Mathematics Education, 16, 163-176. Goos, M. (2002) Understanding metacognitive failure. Journal of Mathematical Behavior, 21, 283–302. Harskamp, E en Deinum, J.F. (1995) Verbeteringen in het gebruik van realistische rekenmethoden. GION:Groningen Harskamp, E. G. & Suhre, C. J. M. (2007). Schoenfeld's problem solving theory in a student controlled learning environment. Computers & Education, 49, 3, 822-839. Janssen, J (2005) Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 4, Citogroep: Arnhem Jitendra, A. K., DiPipi, C. M., & Perron-Jones, N. (2002). An exploratory study of word problem-solving instruction for middle school students with learning disabilities: An emphasis on conceptual and procedural understanding. Journal of Special Education, 36(1), 23-38. Jonassen, D. H. (1996). Computers in the classroom: Mindtools for critical thinking. Columbus, OH: Merrill/Prentice-Hall. Jong, T., de en Joolingen, R. van (1998). Scientific Discovery Learning With Computer Simulations of Conceptual Domains. Review of Educational Research, 68, 179-201. Koedinger K. R.; Nathan, M.J. (2004) The Real Story Behind Story Problems: Effects of Representations on Quantitative Reasoning. Journal of the Learning Sciences, 13, 2, p. 129 - 164 Maccini, P. McNaughton, D. en Ruhl, K. (1999). Algebra Instruction for Students with Learning Disabilities: Implications from a Research Review. Learning Disability Quarterly, 22, 113-26. Mayer, R. E. (1992). Thinking, problem solving, cognition. Second edition. New York: W. H. Freeman and Company. Mayer, R.E (2007) Learning and Instruction. Second Edition. Pearson Education Schoenfeld, A.H. (1987) Cognitive Science and Mathematics Education. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Schoenfeld, A.H. (1992). Learning to Think Mathematically: Problem Solving, Metacognition, and Sense Making in Mathematics. In: D.A. Grouws, (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching. New York: MacMillan Publishing, 334-70. Sfard, A. en Kieran, C. (2001) Preparing Teachers for Handling students' Mathematical Communication: Gathering Knowledge and Building Tools. In: Lin, F. and Coney (ed), T. Making sense of mathematics teacher education. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 185-205. Sharp, J., & Adams, B. (2002). Children's constructions of knowledge for fraction division after solving realistic problems. The Journal of Educational Research, 95, 333–347.
29
Shute, V.J. en Psotka, J. (1996) Intelligent Tutoring Systems: Past, Present and Future. In: D.H. Jonassen, (Ed.), Handbook of research for Educational Communications and Technology. New York: MacMillan, 570-601. Teong, S. K. (2003). The effect of metacognitive training on mathematical word-problem solving. Journal of Computer Assisted Learning, 19(1), 46-55. Verschaffel, L., Greer, B. & de Corte, E. (2000). Making sense of word problems. Lisse: Swets & Zeitlinger. Wood, H en Wood, D (1999) Help seeking, learning and contingent tutoring. Computers and Education, 33, 153- 199.
30
