Diferensial fungsi sederhana
Kaidah-kaidah diferensiasi 1.
2.
Diferensiasi konstanta Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka dy/dx = 0 contoh : y = 5 dy/dx = 0 Diferensiasi fungsi pangkat Jika y = xn, dimana n adalah konstanta, maka dy/dx = nxn-1 contoh : y=x3dy/dx=3x3-1=3x2
3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi Jika y = kv, dimana v = h(x), dy/dx = k dv/dx contoh : y = 5x3 dy/dx = 5(3x2) = 15x2 4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi jika y = k/v, dimana v=h(x), maka :
dy kdv / dx dx v2
5 dy 5(3x 2 ) 15 x 2 contoh : y 3 , 3 2 6 x dx (x ) x
5. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi jika y = u + v, dimana u = g(x) dan v = h(x) maka dy/dx = du/dx + dv/dx contoh : y = 4x2 + x3 u = 4x2 du/dx = 8x v = x3 dv/dx = 3x2 dy/dx =du/dx + dv/dx = 8x + 3x2 6. Diferensiasi perkalian fungsi Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x)
dy dv du maka u v dx dx dx contoh : y (4 x 2 )( x 3 ) dy dv du u v (4 x 2 )(3x 2 ) ( x 3 )(8 x) 12 x 4 8 x 4 20 x 4 dx dx dx
7. Diferensiasi pembagian fungsi Jika y = u/v. dimana u = g(x) dan v = h(x)
du dv v u dy maka dx 2 dx dx v 2 4x contoh : y 3 x du dv v u 3 2 2 dy ( x )( 8 x ) ( 4 x )( 3 x ) dx dx 2 3 2 dx v (x ) 8 x 4 12 x 4 4 2 4 x 6 2 x x
8. Diferensiasi Fungsi komposit Jika y=f(u) sedangkan u=g(x),dengan bentuk lain y=f{g(x)}, maka : dy dy du dx du dx contoh : y (4 x 3 5) 2 misal : u 4 x 3 5 y u 2 du 2 dy 12 x , 2u dx du dy dy du 2u (12 x 2 ) 2(4 x 3 5)(12 x 2 ) 96 x 5 120 x 2 dx du dx
9. Diferensiasi fungsi berpangkat Jika y=un, dimana u=g(x) dan n adalah konstanta, maka dy/dx =nun-1 .(du/dx) Contoh :
du y (4 x 5) , misal : u 4 x 5 12 x 2 dx dy du n 1 nu 2(4 x 3 5)(12 x 2 ) 96 x 5 120 x 2 dx dx 3
2
3
10. Diferensiasi fungsi logaritmik Jika y = alogx, maka
dy 1 dx x ln a dy 1 1 contoh : y log 2, dx x ln a 2 ln 5 5
11. Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik Jika y=alogu, dimana u=g(x), maka : a
log e du dx u dx x 3 contoh : y log x2 ( x 3) du ( x 2) ( x 3) 5 misalkan : u ( x 2) dx ( x 2) 2 ( x 2) 2 dy
a
log e du dx u dx log e 5 5 log e 5 log e x 3 ( x 2) 2 ( x 3)( x 2) ( x 2 x 6) x 2 dy
12. Diferensiasi fungsi komposit-logaritmikberpangkat Jika y = (alogu)n, dimana u = g(x) dan n adalah konstanta, maka :
dy dy a log e du dx du u dx contoh : y (log 5 x 2 ) 3 du 2 misalkan u 5 x 10 x dx dy 2 2 log e 3(log 5 x ) 2 (10 x) dx 5x 30 x(log 5 x 2 ) 2 log e 6 2 2 (log 5 x ) log e 2 5x x
Jika y =fungsi ln x, maka dy/dx = 1/x 13. Diferensiasi logaritmik-Napier Contoh : y = ln 5, dy/dx = 1/x = 1/5 14. Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier Jika y = ln u, dimana u = g(x), maka :
dy 1 du dx u dx x 3 contoh : y ln x2 ( x 3) du 5 misalkan : u ( x 2) dx ( x 2) 2 dy 1 du ( x 2) 5 5 2 2 dx u dx ( x 3) ( x 2) ( x x 6)
15. Diferensiasi fungsi KompositLogaritmik-Napier-berpangkat Jika y = (ln u)n, dimana u = g(x) dan n : konstanta Maka :
dy dy 1 du dx du u dx contoh : y (ln 5 x 2 )3 du misalkan u 5 x 10 x dx dy 6 2 2 1 3(ln 5 x ) 2 (10 x) (ln 5 x 2 ) 2 dx x 5x 2
16. Diferensiasi fungsi eksponensial Jika y = ax, dimana a : konstanta, maka :dy/dx = ax ln a Contoh : y = 5x,
dy x x a ln a 5 ln 5 dx dy x Dalam hal y e , maka e juga, dx sebab ln e 1 x
Jika y = au dimana u = g(x), maka :
17. Diferensasi fungsi komposit eksponensial dy du a u ln a dx dx Contoh : y 9
3 x2 4
du misalkan u 3x 4 6x dx 2
dy du u 3 x2 4 3 x2 4 a ln a 9 (ln 9)(6 x) (6 x)9 ln 9 dx dx dy du Kasus Khusus : dalam hal y e u , maka eu dx dx
18. Diferensiasi fungsi kompleks Jika y = uv, dimana u =g(x) dan v =h(x) Maka :
dy du dv v 1 v vu u ln u dx dx dx contoh : y 4 x , misalkan : u 4 x du / dx 4 x3
v x 3 dv / dx 3x 2 dy du dv v 1 v vu u ln u dx dx dx ( x )4 x 3
16 x 4x
x 3 1
x3 2
x 32
(4) 4 x ln 4 x(3x 2 )
12 x
x3
x3 2
ln 4 x
(4 3 ln 4 x)
19. Diferensiasi fungsi balikan Jika y = f(x) dan x = g(y) adalah fungsi-fungsi yang saling berbalikan (inverse functions) Maka :
dy 1 dx dy / dx contoh : x 5 y 0,5 y dy dy 1 1 3 5 2y 3 dx dx dy / dx (5 2 y ) 4
20. Diferensiasi Implisit Jika f (x, y)=0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak mungkin dieksplisitkan), dy/dx dapat diperoleh dengan mendiferensiasikan suku demi suku, dengan menganggap y sebagai fungsi dari x
contoh : 4 xy 2 x 2 2 y 0, tentukan dy dy 2 8 xy 4 y 2 x 2 0 dx dx dy 8 xy 2 2 x 4 y 2 dx dy 2 x 4 y 2 x 2 y 2 dx 8 xy 2 4 xy 1
dy dx
Turunan Fungsi Turunan Fungsi Trigonometri Sama halnya turunan fungsi aljabar, turunan fungsi trigonometri dapat ditentukan dengan mudah dengan menggunakan definisi dan rumus turunan fungsi. Berikut adalah beberapa definisi dan rumus turunan fungsi trigonometri: 1. Jika f ( x) sin x, maka f ' ( x) cos x 2. Jika f ( x) cos x, maka f ' ( x) sin x
3. Jika f ( x) tan x, maka f ' ( x) sec2 x 4. Jika f ( x) cot x, maka f ' ( x) csc2 x 5. Jika f ( x) sec x, maka f ' ( x) sec x. tan x 6. Jika f ( x) csc x, maka f ' ( x) csc x. cot x
Turunan Fungsi Turunan Fungsi Trigonometri Contoh 1: Buktikan bahwa turunan dari fungsi f(x)=sin x adalah f’(x)=cos x ! Jawab: f ( x) sin x f ( x h) sin( x h)
f ( x h) f ( x) h0 h sin( x h) sin x f ' ( x) lim h0 h 1 2 cos x. sin( h) 2 f ' ( x) lim h 0 h
f ' ( x) lim
f ' ( x ) 2 cos x. lim
1 h) 2 h
sin(
h 0
1 f ' ( x) 2 cos x. cos x 2
(terbukti)
Turunan Fungsi Turunan Fungsi Trigonometri Contoh 2: Tentukan turunan dari fungsi f ( x) x 2 . sin x ! Jawab: Misal : u x 2 u' 2 x v sin x v' cos x
f ' ( x) u ' v uv' f ' ( x) 2 x. sin x x 2 . cos x
Catatan: f ( x) sin n (ax b) f ' ( x) an. sin n1 (ax b). cos(ax b)
Aturan Rantai Untuk Mencari Turunan dari Komposisi Fungsi Jika u = f(x), v = f(u), y = f(v), dimana u, v, dan y terdiferensialkan, maka berlaku:
dy dy dv du dx dv du dx
Contoh: a
dy , jika y (2 x 2 3) 4 dx du Misal : u 2 x 2 3 4x dx dy y u4 4u 3 4(2 x 2 3)3 du dy dy du . dx du dx dy 4(2 x 2 3)3 .4 x 16 x.(2 x 2 3)3 dx
Tentukan
Aturan Rantai Untuk Mencari Turunan dari Komposisi Fungsi
b
dy , jika y sin 3 ( x 2 ) dx du Misal : u x 2 2x dx dv v sin u cosu du dy y v3 3v 2 du dy dy dv du . . dx dv du dx dy 3v 2 . cosu.2 x dx dy 6 x. sin 2 u. cosu dx dy 6 x. sin 2 ( x 2 ). cos(x 2 ) dx
Tentukan
